3o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισµικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισµολογίας

5–7 Νοεµβρίου, 2008 Άρθρο 1950

Έλεγχος φέρουσας ικανότητας διατηρητέου κτιρίου και διερεύνηση της εξάρτησής της από τη θεώρηση

ταυτοχρόνων εντατικών µεγεθών φασµατικής σεισµικής ανάλυσης

Assessment of bearing capacity of a scheduled building and investigation of its dependence from the regard of simultaneous

response-spectrum analysis internal forces

Γεώργιος ΝΤΑΒΛΙΑΚΟΣ1, Ανδριανή ΣΤΕΦΑΝΑΚΗ2, Ιωάννης ∆ΟΥ∆ΟΥΜΗΣ3

ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην εργασία παρουσιάζεται ο έλεγχος της φέρουσας ικανότητας παλαιού διώροφου διατηρητέου κτηρίου στην οδό Πίνδου, στα Λαδάδικα της Θεσσαλονίκης. Ο φέρων οργανισµός του κτιρίου αποτελείται από περιµετρική τοιχοποιία, ξύλινα υποστυλώµατα και δοκούς και ξύλινη κεραµοσκεπή στέγη. Χρησιµοποιώντας επιφανειακά και γραµµικά πεπερασµένα στοιχεία, διαµορφώθηκε ενιαίο προσοµοίωµα για το σύνολο του φέροντα οργανισµού του κτηρίου, το οποίο υποβλήθηκε σε στατική και δυναµική φασµατική ανάλυση µε την βοήθεια του προγράµµατος SAP2000. Ο έλεγχος των διατοµών έγινε µε δύο εναλλακτικούς τρόπους, αφ’ ενός θεωρώντας ταυτόχρονη δράση των ακραίων τιµών φασµατικής σεισµικής ανάλυσης για όλα τα εντατικά µεγέθη κάθε διατοµής και αφ’ ετέρου θεωρώντας τις ταυτόχρονες τιµές των λοιπών φορτίων διατοµής που συνοδεύουν την ακραία τιµή καθενός από αυτά, µέσω πρόσθετης προγραµµατιστικής εργασίας. Τα αποτελέσµατα της δεύτερης θεώρησης ήταν σαφώς πιο ευµενή από τα πρώτα, αποτελώντας συγχρόνως µία πολύ καλύτερη προσέγγιση της αναµενόµενης ακραίας εντατικής κατάστασης στην οποία θα ευρεθεί το κτίριο σε περίπτωση σεισµού. ABSTRACT : In the current essay the assessment of the bearing capacity of a scheduled two-storey building in Pindou Street, in the region of “Ladadika”, Thessaloniki is presented. The load bearing system of the building is constructed by perimetric masonry and wooden columns and beams. The roof’s skeleton is wooden and covered by tiles. The load bearing system was modeled by using shell and frame finite elements and the static and dynamic spectral analysis was performed with the use of program SAP2000. The cross-sections of the model were checked by using two methods; on the one hand, by considering simultaneous action of the extreme values (exFi) of the response-spectrum analysis for each cross section’s internal forces and on the other hand, by considering the simultaneous values of the remaining internal forces that follow the extreme value of each one of them, through further suitable manipulation (with the use of a spreadsheet program). The results of the second method were more favorable than the results of the first one, constituting at the same time a much better approach to the developing internal forces which the building will face in case of an earthquake. 1 Πολιτικός Μηχανικός, email: gdavliakos@gmail.com 2 Πολιτικός Μηχανικός, email: astefanaki@gmail.com 3 Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, email: doud@civil.auth.gr

2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παρούσα εργασία αποσκοπεί στην παρουσίαση των συνεπειών που έχει στη διαστασιολόγηση και τον έλεγχο της φέρουσας ικανότητας µίας κατασκευής, η αδυναµία πολλών σύγχρονων πακέτων λογισµικού πεπερασµένων στοιχείων (SAP2000 ver. 9.03, ETABS ver.9.1, κλπ), αναφορικά µε τη θεώρηση πιθανών ταυτοχρόνων εντατικών µεγεθών κατά την δυναµική φασµατική µέθοδο υπολογισµού της σεισµικής απόκρισης. Σε αυτά τα προγράµµατα, τα αποτελέσµατα της δυναµικής φασµατικής ανάλυσης περιορίζονται στον υπολογισµό της απόλυτης τιµής των πιθανών ακραίων τιµών (exAi) των µεµονωµένων εντατικών µεγεθών σε κάθε θέση ή διατοµή, χωρίς να υπάρχει η δυνατότητα υπολογισµού των ταυτόχρονων τιµών των λοιπών εντατικών µεγεθών της διατοµής (Bi,Ai) που συνοδεύουν την ακραία τιµή (exAi) καθενός εξ αυτών. Άµεση συνέπεια του γεγονότος αυτού, κατά τη φάση του ελέγχου αντοχής ή της διαστασιολόγησης µιας διατοµής µε περισσότερα του ενός µεγέθη έντασης (διαξονική κάµψη, κάµψη µε ορθή δύναµη), είναι η αναπόφευκτη θεώρηση των πιθανών ακραίων τιµών (exΑi) όλων των εντατικών µεγεθών της διατοµής ως ταυτόχρονων (ΕΑΚ2000). Στη συνέχεια, η αβεβαιότητα του προσήµου των τιµών (exΑi) αντιµετωπίζεται συνήθως είτε µε τη θεώρηση όλων των δυνατών συνδυασµών των προσήµων τους, γεγονός που οδηγεί στη δηµιουργία πραγµατικής περιβάλλουσας της δυσµενέστερης εντατικής κατάστασης και σε ασφαλή αλλά συντηρητική διαστασιολόγηση, είτε µε τη θεώρηση λιγότερων συνδυασµών προσήµων, γεγονός που οδηγεί σε λιγότερη υπολογιστική εργασία και σε λιγότερο συντηρητική διαστασιολόγηση, η οποία όµως δεν είναι κατ’ ανάγκη προς τη πλευρά της ασφάλειας. Επισηµαίνεται το γεγονός ότι και στις δύο αυτές περιπτώσεις τα αποτελέσµατα της διαστασιολόγησης είναι αρκετά συντηρητικά και οδηγούν σε αυξηµένες απαιτήσεις αντοχής, που δύσκολα διαθέτουν εν γένει τα υπάρχοντα παλαιά κτίρια. Από τα προαναφερθέντα προκύπτει ότι, στην περίπτωση ελέγχου της αντοχής υπαρχόντων παλαιών κτιρίων, η δυνατότητα διαστασιολόγησης των διατοµών τους µε χρήση ταυτόχρονων εντατικών µεγεθών δυναµικής φασµατικής ανάλυσης είναι ιδιαίτερα χρήσιµη και επιθυµητή από οικονοµική άποψη. Μία τέτοια προσπάθεια επιχειρήθηκε στην παρούσα εργασία, µε αφορµή τον έλεγχο της φέρουσας ικανότητας παλαιού διώροφου διατηρητέου κτηρίου στην οδό Πίνδου, στα Λαδάδικα της Θεσσαλονίκης, η οποία πραγµατοποιήθηκε µε τη βοήθεια του προγράµµατος στατικής και δυναµικής ανάλυσης SAP2000. Ειδικότερα, για να ξεπεραστεί η αδυναµία υπολογισµού από το πρόγραµµα των πιθανών ταυτόχρονων εντατικών µεγεθών µιας διατοµής που συνοδεύουν την πιθανή ακραία τιµή καθενός εξ αυτών, αξιοποιήθηκαν οι ιδιοµορφικές τιµές των φορτίων διατοµής που παρέχει το πρόγραµµα για κάθε ιδιοµορφή. Κατόπιν, µέσω πρόσθετης κατάλληλης µετεπεξεργασίας τους (έξω από το υπολογιστικό περιβάλλον του προγράµµατος SAP2000) υπολογίσθηκαν οι ταυτόχρονες τιµές των φορτίων διατοµής που συνοδεύουν την ακραία τιµή καθενός εξ αυτών, σύµφωνα µε όσα αναφέρει ο ΕΑΚ και όπως παρουσιάζονται στην συνέχεια.

ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Για τον υπολογισµό των αναµενόµενων ακραίων τιµών της σεισµικής απόκρισης που υπεισέρχονται στους ελέγχους της φέρουσας ικανότητας, χρησιµοποιήθηκαν δύο

3

διαφορετικές µεθοδολογίες, µε σκοπό να συγκριθούν τα παρεχόµενα από αυτές αποτελέσµατα: α) Η δυναµική φασµατική ανάλυση µε την συνήθη µορφή της, που παρέχει ως τελικά αποτελέσµατα τις πιθανές ακραίες τιµές όλων των εντατικών µεγεθών κάθε διατοµής, χωρίς να υπάρχει η δυνατότητα υπολογισµού των ταυτόχρονων εντατικών µεγεθών που συνοδεύουν την ακραία τιµή καθενός από αυτά (SAP2000), β) Η δυναµική φασµατική ανάλυση µε την προσθήκη της δυνατότητας υπολογισµού των ταυτόχρονων τιµών των λοιπών εντατικών µεγεθών µιας διατοµής που συνοδεύουν την ακραία τιµή του καθενός από αυτά, µε τον τρόπο που προβλέπεται από τον ΕΑΚ. Τα βασικά στάδια καθεµιάς από αυτές περιγράφονται συνοπτικά στην συνέχεια. ∆υναµική φασµατική µέθοδος µε χρήση ακραίων µεγεθών

Για τη δυναµική ανάλυση απαιτείται ο ορισµός του φάσµατος σχεδιασµού (response spectrum). Λαµβάνουµε υπόψη µας ταυτόχρονη δράση του σεισµού κατά x και y. Η κατακόρυφη συνιστώσα του σεισµού δε λαµβάνεται υπόψη. Οι ιδιοµορφικές επαλληλίες γίνονται µε τον κανόνα CQC και οι χωρικές επαλληλίες γίνονται µε τον κανόνα SRSS και προκύπτουν οι πιθανές ακραίες τιµές των φορτίων διατοµής για σεισµική δράση. Ο συνδυασµός που ελήφθη είναι: G+0.3Q+Ε. Σηµειώνεται ότι το πρόγραµµα λαµβάνει το σεισµό µία φορά µε θετικό και µία φορά µε αρνητικό πρόσηµο. ∆υναµική φασµατική µέθοδος µε χρήση ταυτόχρονων µεγεθών

Ως γνωστόν η ηµιδιακριτοποιηµένη εξίσωση κίνησης υπό δυναµική φόρτιση είναι: ext =++ uKuCu &&& (1)

∆εδοµένων των αρχικών συνθηκών 00 0 uut ===

και 00 0 uut && === και µε την αντικατάσταση gr u&&&&&& += uu λαµβάνει την τελική µορφή:

⇒=+++++= 0uuu grg0tg rr KuδuCδuMδ &&&&&& (2)

δuKuCu rrr gu&&&&& −=++ (3)

Βασιζόµενοι στη γραµµικότητα του προβλήµατος µπορούµε να αξιοποιήσουµε την περιγραφή της λύσης στην ορθοκανονική βάση που προκύπτει από το πρόβληµα ιδιοτιµής. Πιο συγκεκριµένα εκφράζουµε τη λύση ως:

(x)φφu iir )t(yy ii

i ==∑ (4)

που παριστάνει συγχρονισµένη κίνηση του συστήµατος, δηλαδή παριστάνει µια κίνηση µε κοινή χρονική εξέλιξη y(t) των µετατοπίσεων όλων των µαζών, ενώ η χωρική θέση τους καθορίζεται από το σταθερό διάνυσµα φ. Ακόµη σηµειώνεται ότι:

4

=

≠=

ji,M

ji,0

ij

Ti Mφφ και

=

≠=

ji,M

ji,0

i2iω

jTi Kφφ (5)

Όπου Μi η γενικευµένη µάζα για την κανονικοποίηση (normalization) των ιδιοµορφών και i = 1, N, όπου Ν οι βαθµοί ελευθερίας.

Όµως: i2ii MK ω= όπου ωi η ιδιοσυχνότητα και µε γενικευµένη µάζα 1M i = προκύπτει

2iiK ω= .

Άρα προκύπτει ότι:

⇒−=

++ )t(ugδMφKuuCuMφ T

iiii

..Ti & (6)

[ ] ⇒−=++ )t(uyyy giiii &&&&& MδφKφφCφMφ

Tiii

Ti (7)

⇒−=++ MδφKφφCφφMφφ

Tii

Tii

Tii

Ti )t(uyyy giii &&&&& (8)

Συνεπώς:

⇒=−=++ gigTii

2iiiii

..

upu)(yy2y &&&&& Mδφωωζ (9)

2i

gii

upy

ω

&&= (10)

∆ύο τρόποι υπάρχουν για να συνεχιστεί η ανάλυση. Ο πρώτος τρόπος είναι µε χρονική επαλληλία των ιδιοµορφών και ο δεύτερος, ο οποίος εφαρµόστηκε, είναι µε φασµατική επαλληλία των ιδιοµορφών. Άρα προκύπτει για κάθε διεύθυνση του σεισµού (x και y) ότι:

xi

dnxxi A

RpA ,2, ιδιοµω

⋅= και yi

dnyyi A

RpA ,2, ιδιοµω

⋅= (11)

Τα ιδιοµορφικά φορτία διατοµής Αιδιοµ,x και Αιδιοµ,y καθώς και οι συντελεστές pnx και pny και η ιδιοσυχνότητα ωi παρέχονται από την ιδιοµορφική ανάλυση του φορέα και δίνονται από το πρόγραµµα SAP σε µορφή πίνακα. Αξιοποιώντας λοιπόν τις ιδιοµορφικές τιµές των φορτίων διατοµής που παρέχει το πρόγραµµα, µέσω πρόσθετης κατάλληλης µετεπεξεργασίας τους (έξω από το υπολογιστικό περιβάλλον του προγράµµατος SAP2000), υπολογίσθηκαν οι ταυτόχρονες τιµές των φορτίων διατοµής που συνοδεύουν την ακραία τιµή καθενός εξ αυτών. Οι πιθανές ακραίες τιµές exA τυχόντος ακραίου µεγέθους απόκρισης Α για σεισµό κατά x δίνονται από τη σχέση (όπως ορίζει ο ΕΑΚ):

∑=

±=N

1i

2x,iAx,exA (12)

5

Οι πιθανές ακραίες τιµές exA τυχόντος ακραίου µεγέθους απόκρισης Α για σεισµό κατά y δίνονται από τη σχέση (όπως ορίζει ο ΕΑΚ):

∑=

±=N

1i

2y,iAy,exA (13)

Οι πιθανές ακραίες τιµές exA τυχόντος ακραίου µεγέθους απόκρισης Α για ταυτόχρονη δράση του σεισµού και προς τις δύο διευθύνσεις δίνονται από τη σχέση (όπως ορίζει ο ΕΑΚ):

22 )y,exA()x,exA(exA +±= (14) Η πιθανή ταυτόχρονη προς την exA τιµή Β,Α ενός άλλου µεγέθους απόκρισης Β δίνεται από τη σχέση:

exA

P,B ABA = (15)

Όπου: )BABA(PP y,jy,ix,jx,i

i jijBAAB ⋅+⋅⋅== ∑∑ε (16)

Τα φορτία διατοµής που υπολογίζονται µε την προαναφερθείσα διαδικασία συνδυάζονται µε τα φορτία που προκύπτουν από το συνδυασµό G+0,3Q.

6

ΕΦΑΡΜΟΓH Η εφαρµογή των ανωτέρω αναλύσεων έλαβε χώρα στα πλαίσια εργασίας του διατµηµατικού προγράµµατος µεταπτυχιακών σπουδών «Προστασία, Συντήρηση και Αποκατάσταση Αρχιτεκτονικών Μνηµείων» του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης, όπου και πραγµατοποιήθηκε ο έλεγχος της φέρουσας ικανότητας του παλαιού διώροφου διατηρητέου κτηρίου στην οδό Πίνδου, στην περιοχή Λαδάδικα της Θεσσαλονίκης. Το κτήριο κατασκευάστηκε στα τέλη του 19ου αιώνα και ο φέρων οργανισµός του αποτελείται από περιµετρική τοιχοποιία (λιθοδοµή µε διαζώµατα από οπτόπλινθους στο ισόγειο και αµιγής οπτοπλινθοδοµή στον όροφο) και κάνναβο ξύλινων υποστυλωµάτων, τα οποία σε συνδυασµό µε τις κύριες ξύλινες δοκούς συνθέτουν 3 πλαίσια. Το κτήριο στεγάζεται µε τετράρριχτη, ξύλινη κεραµοσκεπή στέγη. Σχήµα 1. Το εν λόγω διατηρητέο κτηρίου στην οδό Πίνδου, στην περιοχή Λαδάδικα της Θεσσαλονίκης Σχήµα 2. Ο ξύλινος σκελετός της στέγης

7

Η φέρουσα τοιχοποιία (περιµετρική τοιχοποιία) προσοµοιώθηκε µε επιφανειακά στοιχεία (shell elements) και οι ξύλινες δοκοί, τα ξύλινα υποστυλώµατα και τα φέροντα στοιχεία της στέγης προσοµοιώθηκαν µε γραµµικά στοιχεία (frame elements). Το ξύλινο πάτωµα του ορόφου παραλείπεται, αλλά υπολογίζονται τα φορτία που µεταβιβάζει στις κύριες δοκούς και στις περιµετρικές τοιχοποιίες. Ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε στο να διατηρηθεί ένας όσο το δυνατόν ισοµεγέθης κάνναβος διακριτοποίησης των φερουσών τοιχοποιιών της κατασκευής σε επιφανειακά στοιχεία, κατά τρόπο τέτοιο ώστε το προσοµοίωµα να είναι κατά το δυνατόν ακριβές, αλλά όχι πολύπλοκο.

Σχήµα 3. Τρισδιάστατη απεικόνιση του συνολικού προσοµοιώµατος και της στέγης Η λιθοδοµή µε διαζώµατα από οπτόπλινθους στο ισόγειο έχει πάχος 0,80 m και η αµιγής οπτοπλινθοδοµή στον όροφο 0,65 m. Ο τρόπος και το βάθος θεµελίωσης του κτηρίου δεν είναι γνωστά διότι δεν έχει γίνει κάποια εδαφική τοµή µέχρι την έδραση των θεµελίων στο έδαφος. Λόγω έλλειψης στοιχείων έγιναν διάφορες υποθέσεις για την πιθανή µορφή τους. Τελικά αποφασίστηκε να επιλεγεί η τυπολογία που υπαγορεύει φωτογραφική τεκµηρίωση που αφορά όµορο κτήριο, δηλαδή θεµελιολωρίδες από λιθοδοµή (πάχους 0,60 m) που υποστηρίζουν τα τρία ξύλινα πλαίσια. Το βάθος επελέγη στα 2,5 m και το πάχος 1,30 m. Όσον αφορά την έδραση του κτιρίου επί του εδάφους, η προσοµοίωση της έγινε µε επιφανειακά ελατήρια βάσει στοιχείων για το έδαφος από γεώτρηση που είχε λάβει χώρα στην περιοχή.

8

Πίνακας 1. Τυποποίηση διατοµών επιφανειακών στοιχείων

Ονοµασία Υλικό Πάχος (m) ABARES ABARES 0,2 LWRIDA LITH 0,6

PLIΝΤΗ65 PLIΝΤΗ 0,65 THEMEL LITH 1,3 ΜΤΟΙΧ80 ΜΤΟΙΧ 0,8

Οι απαιτούµενοι έλεγχοι της κατασκευής όσον αφορά στη φέρουσα τοιχοποιία πρέπει να γίνουν για το σύνολο των πεσσών. Τα φορτία διατοµής σε κάθε πεσσό προκύπτουν από ολοκλήρωση των τάσεων µέσω καταλλήλων τοµών (section cuts) στις αντίστοιχες θέσεις.

Σχήµα 4. Ενδεικτικά οι θέσεις ελέγχου σε µία από τις όψεις του κτηρίου στις οποίες γίνονται τα αντίστοιχα section cuts (σηµειώνονται µε µαύρη διακεκοµµένη γραµµή) Συνεπώς, διαµορφώθηκε ενιαίο κατάλληλο προσοµοίωµα για το σύνολο του φέροντα οργανισµού το οποίο, εν συνεχεία, υποβλήθηκε σε στατική και δυναµική φασµατική ανάλυση µε την βοήθεια του προγράµµατος SAP2000. Για να είναι δυνατή η σύγκριση των αποτελεσµάτων ο φορέας επιλύθηκε µε τις δύο µεθόδους που αναλύθηκαν παραπάνω και τα αποτελέσµατα που προέκυψαν αξιολογήθηκαν. Στην δυναµική φασµατική ανάλυση χρησιµοποιήθηκε το φάσµα σεισµικών επιταχύνσεων σχεδιασµού του ΕΑΚ για τις δύο κύριες διευθύνσεις του κτηρίου (κατά x και y) δεδοµένου ότι βρισκόµαστε στη ζώνη ΙΙ και έχουµε θεωρήσει γ=1,15 και q=1,5. Στην ιδιοµορφική ανάλυση χρησιµοποιήθηκαν 200 ιδιοµορφές ώστε να ενεργοποιηθεί το απαιτούµενο ποσοστό µάζας.

Πίνακας 2. Ποσοστό ενεργοποιούµενης µάζας και ιδιοπερίοδος

Ποσοστό ενεργοποιούµενης µάζας Ιδιοπερίοδος Ux = 36,46 % (mode 10) T = 0,630 sec Uy = 28,94 % (mode 11) T = 0,561 sec

Στη συνέχεια έγινε επαλληλία των εντατικών µεγεθών που προέκυψαν µε τα εντατικά µεγέθη λόγω µονίµων και κινητών φορτίων.

9

Έλεγχος πεσσών

Ελέγχθηκε το σύνολο των πεσσών του κτηρίου σε µονοαξονική κάµψη και διάτµηση όπως ορίζει ο ευρωκώδικας 6. Έλεγχος πεσσών σε µονοαξονική κάµψη

Ο έλεγχος ασφαλείας σε κάµψη µε ορθή δύναµη γίνεται σύµφωνα µε το 6ο κεφάλαιο του Εθνικού Κειµένου Εφαρµογής (Ε.Κ.Ε.). Η ροπή αντοχής άοπλου τοίχου δίνεται από τη σχέση:

)f

1(t2

1M

d

d2dud

σσ −⋅⋅⋅⋅= λ (17)

• σd : η τιµή σχεδιασµού της θλιπτικής τάσης µε λ⋅

=t

Nddσ

• fd : η τιµή σχεδιασµού της θλιπτικής αντοχής µε Μγk

d

ff =

• t : το πάχος του τοίχου

• λ: το µήκος του τοίχου Κατά την αστοχία γίνεται παραδοχή ορθογωνικού διαγράµµατος τάσεων αντί παραβολικού-ορθογωνικού. Έλεγχος πεσσών σε µονοαξονική διάτµηση

Ο έλεγχος ασφαλείας σε διάτµηση µε ορθή δύναµη γίνεται σύµφωνα µε το κεφάλαιο 4.5.3. του EC6 και πρέπει να ικανοποιείται η σχέση: Rdsd VV ≤ (18)

• sdV : η τιµή σχεδιασµού της επιβαλλόµενης τέµνουσας

• RdV : τιµή σχεδιασµού της αντίστασης σε τέµνουσα

Μγ

cvkRd

ltfV

⋅⋅= (19)

• kfν : η χαρακτηριστική τιµή της διατµητικής αντοχής του τοίχου (παράγραφος 3.6.3. του

ΕC6) η οποία όταν δεν διατίθενται πειραµατικά αποτελέσµατα λαµβάνεται ίση µε

d0kk 4,0ff σνν ⋅+= ή bf065,0 ⋅ , αλλά όχι µεγαλύτερη από 0kfν

• t : το πάχος του τοίχου (m) • cl : το µήκος της θλιβόµενης ζώνης του τοίχου, µε την παραδοχή τριγωνικής

κατανοµής τάσεων. Αν προκύψει 0lc < σηµαίνει ότι υπάρχει αστάθεια.

• Μγ : επί µέρους συντελεστής ασφαλείας υλικού.

Στον έλεγχο διάτµησης θεωρείται ότι υπό τα φορτία dN , dM δηµιουργείται τριγωνικό

διάγραµµα ορθών θλιπτικών τάσεων και συγχρόνως η ρηγµατωµένη (λόγω εφελκυσµού)

10

περιοχή του τοίχου δεν αντιστέκεται σε τέµνουσα. Κατά συνέπεια ως πρώτο βήµα της υπολογιστικής διαδικασίας, πρέπει να προσδιοριστεί η τιµή του cl .

Αν η ρηγµατωµένη εκκεντρότητα:

6

1

lN

M

d

d ≤⋅

=γ (20)

Τότε llc = , δηλαδή δεν υπάρχει ρηγµατωµένη ζώνη. Αν αντίθετα 6

1≥γ , τότε llc < διότι

υπάρχει ρηγµάτωση. Στην περίπτωση αυτή ισχύουν τα εξής:

2

ltN c

d

σ⋅⋅= (21)

και )3

l

2

l(NM c

dd −⋅= (22)

Όµως:

−⋅=⋅⋅⇒⋅

=3

l

2

lNlN

lN

M cdd

cd

d γγ (23)

Τότε:

( ) l5,03l3

l

2

ll c

c ⋅−⋅=⇒−=⋅ γγ (24)

11

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στη συνέχεια παρατίθενται τα συγκριτικά αποτελέσµατα των δύο µεθόδων. Ενδεικτικά στο κατωτέρω σχήµα απεικονίζονται οι διατµητικές τάσεις της πρόσοψης του κτηρίου όπως δίνονται από το SAP µετά από την επίλυση βάσει της δυναµικής φασµατικής µέθοδου µε χρήση ακραίων µεγεθών.

Σχήµα 5. Οι διατµητικές τάσεις της πρόσοψης του κτηρίου όπως δίνονται από το SAP µετά από την επίλυση βάσει της δυναµικής φασµατικής µέθοδου µε χρήση ακραίων µεγεθών (1η µέθοδος). Οι τιµές δίνονται σε kPa. Παρ’ όλο που οι ανωτέρω έλεγχοι έλαβαν χώρα για το σύνολο των πεσσών του κτηρίου, ενδεικτικά επελέγη να παρουσιαστούν 2 πεσσοί του κτηρίου, οι οποίοι ελέγχθησαν και µε τις δύο µεθόδους (έλεγχος σε κάµψη και διάτµηση). Σηµειώνεται ότι όταν ο συντελεστής γ είναι µεγαλύτερος της µονάδας, τότε η διατοµή επαρκεί, ενώ όταν είναι µικρότερος της µονάδας, τότε η διατοµή αστοχεί. Στο σχήµα (6) φαίνεται η θέση των πεσσών ελέγχου (Π10x και Π16) οι οποίοι τοποθετούνται στην πρόσοψη του κτηρίου.

Σχήµα 6. Οι θέσεις ελέγχου στην πρόσοψη του κτηρίου στις οποίες γίνονται οι έλεγχοι

Π10x Π16

12

Οι πίνακες 3, 4, 7 και 8 αναφέρονται στην πρώτη µέθοδο (δυναµική φασµατική µέθοδος µε χρήση ακραίων µεγεθών) ενώ οι πίνακες 5, 6, 9 και 10 στη δεύτερη (δυναµική φασµατική µέθοδος µε χρήση ταυτόχρονων µεγεθών). Όσον αφορά στη δυναµική φασµατική µέθοδο µε χρήση ακραίων µεγεθών, οι έλεγχοι γίνονται για όλους τους πιθανούς συνδυασµούς φορτίων διατοµής όπως φαίνεται στους ακόλουθους πίνακες. Σηµειώνεται ότι το αξονικό φορτίο µε θετικό πρόσηµο αφορά θλιπτικό φορτίο. Παράδειγµα πεσσού Π10x

Πίνακας 3. Έλεγχος σε κάµψη για τον πεσσό Π10x (1η µέθοδος)

combo t(m) l(m) Nd(kN) Md(kNm) σd(kN/m2) fd(kN/m2) Mud(kNm) γ

G+0,3Q+E(max-max) 0,8 1,97 15,69 67,22 9,95 650 15,21 0,23 G+0,3Q+E(max-min) 0,8 1,97 15,69 72,59 9,95 650 15,21 0,21 G+0,3Q+E(min-max) 0,8 1,97 526,21 67,22 333,89 650 252,07 3,75 G+0,3Q+E(min- min) 0,8 1,97 526,21 72,59 333,89 650 252,07 3,47

Πίνακας 4. Έλεγχος σε διάτµηση για τον πεσσό Π10x (1η µέθοδος)

combo t(m) l(m) Vd(kN) Nd(kN) Md(kNm) VRd(kN) γ G+0,3Q+E(1) 0,8 1,97 133,05 15,69 67,22 62,54 0,47 G+0,3Q+E(2) 0,8 1,97 120,32 15,69 67,22 62,54 0,52 G+0,3Q+E(3) 0,8 1,97 133,05 15,69 72,59 62,59 0,47 G+0,3Q+E(4) 0,8 1,97 120,32 15,69 72,59 62,59 0,52 G+0,3Q+E(5) 0,8 1,97 133,05 526,21 67,22 147,23 1,11 G+0,3Q+E(6) 0,8 1,97 120,32 526,21 67,22 147,23 1,22 G+0,3Q+E(7) 0,8 1,97 133,05 526,21 72,59 147,23 1,11 G+0,3Q+E(8) 0,8 1,97 120,32 526,21 72,59 147,23 1,22

Πίνακας 5. Έλεγχος σε κάµψη για τον πεσσό Π10x (2η µέθοδος)

combo t(m) l(m) Nd(kN) Md(kNm) σd(kN/m2) fd(kN/m2) Mud(kNm) γ

exF1 0,8 1,97 226,77 44,19 650,00 0,22 173,92 3,94 exF2 0,8 1,97 208,48 39,84 650,00 0,20 163,56 4,11 exF3 0,8 1,97 200,07 41,71 650,00 0,20 158,58 3,80 exM1 0,8 1,97 222,24 41,48 650,00 0,22 171,42 4,13 exM2 0,8 1,97 219,96 44,56 650,00 0,21 170,14 3,82 exM3 0,8 1,97 209,73 41,05 650,00 0,20 164,29 4,00 exF1 0,8 1,97 212,81 39,27 650,00 0,21 166,07 4,23 exF2 0,8 1,97 231,10 43,63 650,00 0,23 176,28 4,04 exF3 0,8 1,97 239,51 41,76 650,00 0,23 180,76 4,33 exM1 0,8 1,97 217,34 41,98 650,00 0,21 168,66 4,02 exM2 0,8 1,97 219,62 38,90 650,00 0,21 169,95 4,37 exM3 0,8 1,97 229,86 42,42 650,00 0,22 175,61 4,14

13

Πίνακας 6. Έλεγχος σε διάτµηση για τον πεσσό Π10x (2η µέθοδος)

combo t(m) l(m) Vd(kN) Nd(kN) Md(kNm) VRd(kN) γ exF1 0,8 1,97 76,41 226,77 44,19 99,32 1,30 exF2 0,8 1,97 46,84 208,48 39,84 96,40 2,06 exF3 0,8 1,97 55,43 200,07 41,71 95,05 1,71 exM1 0,8 1,97 58,72 222,24 41,48 98,60 1,68 exM2 0,8 1,97 74,40 219,96 44,56 98,23 1,32 exM3 0,8 1,97 52,60 209,73 41,05 96,60 1,84 exF1 0,8 1,97 45,42 212,81 39,27 97,09 2,14 exF2 0,8 1,97 74,99 231,10 43,63 100,02 1,33 exF3 0,8 1,97 66,40 239,51 41,76 101,36 1,53 exM1 0,8 1,97 63,11 217,34 41,98 97,81 1,55 exM2 0,8 1,97 47,43 219,62 38,90 98,18 2,07 exM3 0,8 1,97 69,23 229,86 42,42 99,82 1,44

Παράδειγµα πεσσού Π16

Πίνακας 7. Έλεγχος σε κάµψη για τον πεσσό Π16 (1η µέθοδος)

combo t(m) l(m) Nd(kN) Md(kNm) σd(kN/m2) fd(kN/m2) Mud(kNm) γ

G+0,3Q+E(max-max) 0,8 1,72 196,22 81,75 142,60 650 144,52 1,77 G+0,3Q+E(max-min) 0,8 1,72 196,22 63,12 142,60 650 144,52 2,29 G+0,3Q+E(min-max) 0,8 1,72 335,60 81,75 243,89 650 165,40 2,02 G+0,3Q+E(min-min) 0,8 1,72 335,60 63,12 243,89 650 165,40 2,62

Πίνακας 8. Έλεγχος σε διάτµηση για τον πεσσό Π16 (1η µέθοδος)

combo t(m) l(m) Vd(kN) Nd(kN) Md(kNm) VRd(kN) γ G+0,3Q+E(1) 0,8 1,72 117,93 196,22 81,75 95,64 0,81 G+0,3Q+E(2) 0,8 1,72 136,64 196,22 81,75 95,64 0,70 G+0,3Q+E(3) 0,8 1,72 117,93 196,22 63,12 88,48 0,75 G+0,3Q+E(4) 0,8 1,72 136,64 196,22 63,12 88,48 0,65 G+0,3Q+E(5) 0,8 1,72 117,93 335,60 81,75 108,74 0,92 G+0,3Q+E(6) 0,8 1,72 136,64 335,60 81,75 108,74 0,80 G+0,3Q+E(7) 0,8 1,72 117,93 335,60 63,12 108,74 0,92 G+0,3Q+E(8) 0,8 1,72 136,64 335,60 63,12 108,74 0,80

Πίνακας 9. Έλεγχος σε κάµψη για τον πεσσό Π16 (2η µέθοδος)

combo t(m) l(m) Nd(kN) Md(kNm) σd(kN/m2) fd(kN/m2) Mud(kNm) γ

exF1 0,8 1,72 379,83 22,15 276,04 650,00 187,93 8,49 exF2 0,8 1,72 372,67 17,30 270,83 650,00 186,95 10,81 exF3 0,8 1,72 362,64 10,39 263,54 650,00 185,42 17,85 exM1 0,8 1,72 386,11 8,76 280,60 650,00 188,71 21,53 exM2 0,8 1,72 384,45 22,57 279,40 650,00 188,51 8,35 exM3 0,8 1,72 389,23 19,99 282,87 650,00 189,06 9,46 exF1 0,8 1,72 378,31 4,63 274,93 650,00 187,73 40,51 exF2 0,8 1,72 385,47 9,48 280,14 650,00 188,63 19,89 exF3 0,8 1,72 395,50 16,39 287,43 650,00 189,73 11,57 exM1 0,8 1,72 372,03 18,02 270,37 650,00 186,86 10,37 exM2 0,8 1,72 373,69 4,21 271,58 650,00 187,10 44,40 exM3 0,8 1,72 368,91 6,80 268,10 650,00 186,40 27,43

14

Πίνακας 10. Έλεγχος σε διάτµηση για τον πεσσό Π16 (2η µέθοδος)

combo t(m) l(m) Vd(kN) Nd(kN) Md(kNm) VRd(kN) γ exF1 0,8 1,72 26,52 379,83 22,15 115,81 4,37 exF2 0,8 1,72 33,05 372,67 17,30 114,67 3,47 exF3 0,8 1,72 42,26 362,64 10,39 113,06 2,68 exM1 0,8 1,72 51,70 386,11 8,76 116,82 2,26 exM2 0,8 1,72 27,21 384,45 22,57 116,55 4,28 exM3 0,8 1,72 33,33 389,23 19,99 117,32 3,52 exF1 0,8 1,72 56,60 378,31 4,63 115,57 2,04 exF2 0,8 1,72 50,07 385,47 9,48 116,72 2,33 exF3 0,8 1,72 40,86 395,50 16,39 118,32 2,90 exM1 0,8 1,72 31,42 372,03 18,02 114,56 3,65 exM2 0,8 1,72 55,91 373,69 4,21 114,83 2,05 exM3 0,8 1,72 49,79 368,91 6,80 114,07 2,29

Για την πληρέστερη απεικόνιση των αποτελεσµάτων, επελέγη να χρησιµοποιηθούν τα κατωτέρω γραφήµατα στα οποία µε πράσινο χρώµα απεικονίζεται το συνολικό ποσοστό των πεσσών που επαρκούν και µε κόκκινο χρώµα το συνολικό ποσοστό των πεσσών που αστόχησαν. Παρουσιάζονται χωριστά οι έλεγχοι σε κάµψη και διάτµηση για τη δυναµική φασµατική µέθοδο µε χρήση ακραίων µεγεθών και τη δυναµική φασµατική µέθοδο µε χρήση ταυτόχρονων µεγεθών.

Σχήµα 7. Έλεγχος σε κάµψη για δυναµική φασµατική µέθοδο µε χρήση ακραίων µεγεθών

Σχήµα 8. Έλεγχος σε διάτµηση για δυναµική φασµατική µέθοδο µε χρήση ακραίων µεγεθών

Σχήµα 9. Έλεγχος σε κάµψη για δυναµική φασµατική µέθοδο µε χρήση ταυτόχρονων µεγεθών

15

Σχήµα 10. Έλεγχος σε διάτµηση για δυναµική φασµατική µέθοδο µε χρήση ταυτόχρονων µεγεθών

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Συγκρίνοντας τα αποτελέσµατα των ελέγχων για τους δύο πεσσούς και µε τις δύο µεθόδους και βάσει των ανωτέρω γραφηµάτων, συµπεραίνουµε ότι τα αποτελέσµατα της διαδικασίας µε χρήση ταυτόχρονων µεγεθών ήταν σαφώς πιο ευµενή από αυτά µε χρήση ακραίων µεγεθών. Συγχρόνως προσεγγίζεται πολύ καλύτερα η αναµενόµενη ακραία εντατική κατάσταση στην οποία θα ευρεθεί το κτίριο σε περίπτωση σεισµού. ∆εδοµένου και ότι το κτήριο είναι διατηρητέο, µια θεώρηση αρκετά συντηρητική και προς την πλευρά της ασφάλειας, όπως αυτή της δυναµικής ανάλυσης µε χρήση ακραίων µεγεθών, οδηγεί σε εκτεταµένες επεµβάσεις οι οποίες δεν είναι αναγκαίες και συνεπώς σε αντιοικονοµική λύση.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θέλουµε ιδιαιτέρως να ευχαριστήσουµε τον ∆ρ. Πολιτικό Μηχανικό, Ηλία Παρασκευόπουλο για την πολύτιµη και καθοριστική βοήθειά του στην εκπόνηση της παρούσας εργασίας.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Εγχειρίδιο του προγράµµατος SAP2000 Ελληνικός Αντισεισµικός Κανονισµός (Ε.Α.Κ.2000) Χρήστος Ιγνατάκης, Κοσµάς Στυλιανίδης (2000), Κατασκευές από φέρουσα τοιχοποιία,

φοιτητικές σηµειώσεις του Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., Τοµέας Επιστήµης και Τεχνολογίας των Κατασκευών, Εργαστήριο Σιδηροπαγούς Σκυροδέµατος.