Επίπεδα Γραφήματα : Έλεγχος Επιπεδότητας

Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας

α β

ζη

ε

γ

θ

Το γράφημα εισόδου δίνεται ως ακολουθία ακμών:

π.χ. (α,β), (β,γ), (α,ε), (β,η), (θ,ζ), (η,ε), (ζ,α), (γ,θ), (θ,β), (ε,ζ), (η,θ), (ζ,η)


Για κάθε κορυφή δίνουμε μια κυκλική διάταξη των γειτονικών της ακμών, π.χ. δεξιόστροφα (κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού).

α β

ζη

ε

γ

θ

α : (α,β), (α,ε), (α,ζ)β : (β,α), (β,γ), (β,θ), (β,η)γ : (γ,β), (γ,θ)ε : (ε,α), (ε,η), (ε,ζ)ζ : (ζ,α), (ζ,ε), (ζ,η)η : (η,ζ), (η,ε), (η,β), (η,θ)θ : (θ,η), (θ,β), (θ,γ), (θ,ζ)

Συνδυαστική αναπαράσταση επίπεδου γραφήματος


Αλγόριθμοι ελέγχου επιπεδότητας

Μέθοδος των Auslander και Parter (1961), και Goldstein (1963)

Γραμμικός αλγόριθμος των Hopcroft και Tarjan (1974)

Μέθοδος Lempel, Even και Cederbaum (1967)

Μπορεί να υλοποιηθεί σε γραμμικό χρόνο με τη βοήθεια των παρακάτω αποτελεσμάτων :

Γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού δισυνεκτικών συνιστωσών [Tarjan 1972], γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού st-αρίθμησης [Even και Tarjan 1975], PQ-δένδρα [Booth και Lueker 1975].

Άλλοι αλγόριθμοι ελέγχου που βασίζονται στον LEC : Shih και Hsu (1993), Boyer και Myrvold (1999).


Θα εξετάσουμε τη μέθοδο των Lempel, Even και Cederbaum (1967)

Δίνει αλγόριθμο γραμμικού χρόνου με τη βοήθεια των παρακάτω αποτελεσμάτων :

• Γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού δισυνεκτικών συνιστωσών [Tarjan 1972].

• Γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού st-αρίθμησης [Even και Tarjan 1975].

• PQ-δένδρα [Booth και Lueker 1975].


Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες :

• Είναι απλό (δεν έχει βρόχους και παράλληλες ακμές).

• Έχει τουλάχιστον 5 κόμβους.

• Έχει το πολύ 3n-6 ακμές.

• Είναι συνεκτικό.

• Είναι δισυνεκτικό.



• Είναι απλό (δεν έχει βρόχους και παράλληλες ακμές).

Ένας βρόχος (v,v) μπορεί να σχεδιαστεί πολύ κοντά στον κόμβο v.

Οι παράλληλες ακμές μπορούν να σχεδιαστούν πολύ κοντά μεταξύ τους.



• Έχει τουλάχιστον 5 κόμβους.

1 2

3 4

Το πλήρες γράφημα με 4 κόμβους είναι επίπεδο.



• Έχει το πολύ 3n-6 ακμές.

Αν και δεν υπάρχουν βρόχοι και παράλληλες ακμές τότε



• Είναι συνεκτικό.

Κάθε συνεκτική συνιστώσα πρέπει να ορίζει επίπεδο γράφημα.



• Είναι δισυνεκτικό.

Ισχύει η ακόλουθη πρόταση :

Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα.



Δισυνεκτική συνιστώσα : Μείζον δισυνεκτικό υπογράφημα.

Άρθρωση : κόμβος v του G, η διαγραφή του οποίου αποσυνδέει το G, δηλαδή το γράφημα G-v δεν είναι συνεκτικό.

Γέφυρα : ακμή e του G, η διαγραφή της οποίας αποσυνδέει το G, δηλαδή το γράφημα G-e δεν είναι συνεκτικό.

Δισυνεκτικό γράφημα : Γράφημα χωρίς αρθρώσεις.



δισυνεκτική συνιστώσα

γέφυρα

άρθρωση



Απόδειξη

Αν το G είναι επίπεδο τότε προφανώς και οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα.

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε το αντίστροφο: Aν οι δισυνεκτικές συνιστώσες του G είναι επίπεδα γραφήματα τότε και το G είναι επίπεδο.

Η απόδειξη είναι με επαγωγή ως προς τον αριθμό α των αρθρώσεων του G.

Βάση α=0 : Η πρόταση προφανώς ισχύει αφού το G είναι δισυνεκτικό.

Επαγωγική Υπόθεση : Η πρόταση ισχύει για κάθε γράφημα με ≤α αρθρώσεις.



Απόδειξη

Επαγωγικό Βήμα : Υποθέτουμε ότι το G έχει α+1 αρθρώσεις.

Έστω v μία άρθρωση του G. Το G-v έχει συνεκτικές συνιστώσες G1, G2, …, Gk.

Κάθε συνεκτική συνιστώσα Gi έχει το πολύ α αρθρώσεις. Συνεπάγεται από την επαγωγική υπόθεση ότι κάθε Gi είναι επίπεδο γράφημα.

Θεωρούμε ένα αυθαίρετο σχέδιο του Gi στο επίπεδο. Επιλέγουμε μια όψη που

περιέχει τον κόμβο v και την κάνουμε εξωτερική (βλ. προηγούμενη διάλεξη). Με αυτόν τον τρόπο αποκτούμε σχέδια των G1, G2, …, Gk όπου ο κόμβος v είναι στην εξωτερική όψη όλων των συνιστωσών.



Απόδειξη

v v

β

γ

δ

ε

ζv

δ

γ

ζ

β

εδ

γ

ζ

β

ε



Απόδειξη

Με αυτόν τον τρόπο αποκτούμε σχέδια των G1, G2, …, Gk όπου ο κόμβος v είναι

στην εξωτερική όψη όλων των συνιστωσών. Μπορούμε να συγχωνεύσουμε όλα αυτά τα σχέδια μέσω του v και να λάβουμε ένα σχέδιο στο επίπεδο του αρχικού γραφήματος G.

G2

Gk

G1 Συνεπάγεται ότι το G είναι επίπεδο.


st-αρίθμηση

Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E.

Μια st-αρίθμηση του G είναι μια αρίθμηση των κόμβων π : V → {1,…,n}, τέτοια ώστε π(s)=1, π(t)=n, και κάθε κόμβος v ϵ V-{s,t} έχει ένα γειτονικό κόμβο με μικρότερη αρίθμηση και ένα γειτονικό κόμβο με μεγαλύτερη αρίθμηση, δηλαδή υπάρχουν ακμές (u,v) ϵ E και (w,v) ϵ E τέτοιες ώστε π(u)<π(v)<π(w).

2

t

s

5

4

3

6

1


st-αρίθμηση

Θα αποδείξουμε πρώτα την ύπαρξη μιας st-αρίθμησης χρησιμοποιώντας έναν απλό αλγόριθμο. Στη συνέχεια θα δώσουμε ένα γραμμικό αλγόριθμο με χρήση καθοδικής διερεύνησης.

Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολογιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m≥n).


st-αρίθμηση

Η st-αρίθμηση ορίζει μια γραμμική διάταξη των κόμβων, με πρώτο τον s και τελευταίο τον t.

2

t

s

5

4

3

6

1

1 2 543 6



st-αρίθμηση

Η st-αρίθμηση ορίζει μια γραμμική διάταξη των κόμβων, με πρώτο τον s και τελευταίο τον t.

s t

Ιδέα: Ξεκινάμε με μια διάταξη που περιλαμβάνει μόνο τους s και t την οποία επεκτείνουμε σε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα βρίσκουμε ένα μονοπάτι που συνδέει δύο κόμβους που βρίσκονται ήδη σε διάταξη και τοποθετούμε στη διάταξη τους κόμβους του μονοπατιού.



st-αρίθμηση


s t

Έστω ένας κόμβος v που ανήκει στην τρέχουσα διάταξη αλλά έχει γειτονικό κόμβο w εκτός της διάταξης. Βρίσκουμε ένα μονοπάτι P από το w προς κάποιο κόμβο u≠v που ανήκει στην τρέχουσα διάταξη. (Το P υπάρχει γιατί το G-v είναι συνεκτικό.) Αν ο v προηγείται του u στη διάταξη τότε εισάγουμε τους κόμβους του P αμέσως μετά τον v. Διαφορετικά εισάγουμε τους κόμβους του P αμέσως πριν τον v.

v u

wυπογράφημα του G εκτός της τρέχουσας διάταξης

s tv uw


Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο

s α

t δ

γ

β

ε

ζ

γ α

δ

α

s

t α ε

ζ δ

ε δ

s

t

s

α

β

γ

δ

ε

ζ

t

t

γ δ

ζ

ε β

ε

s

α β



s α

t

γ

β

ε

ζ

t

s

Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T

1

2

δ



s α

t

γ

β

ε

ζ

t

s

γ


1

2

3

δ



s α

t

γ

β

ε

ζ

t

s

γ


α

1

2

3

4

δ



s α

t

γ

β

ε

ζ

t

s

γ


α

δ

1

2

3

4

5

δ



s α

t

γ

β

ε

ζ

t

s

γ


α

δ

ε1

2

3

4

56

δ



s α

t

γ

β

ε

ζ

t

s

γ


α

δ

ε

ζ

1

2

3

4

56

7

δ



s α

t

γ

β

ε

ζ

t

s

γ


α

δ

ε

βζ

1

2

3

4

8

56

7

δ



s α

t

γ

β

ε

ζ

t

s

γ


α

δ

ε

βζ

1

2

3

4

8

56

7

δ

δενδρική ακμή

ανιούσα ακμή



Κατά την καθοδική διερεύνηση αποθηκεύουμε δύο αριθμούς για κάθε κόμβο v :

s(v) = σειρά (χρόνος) ανακάλυψης του v.

L(v) = ελάχιστο s(u) τέτοιο ώστε υπάρχει ανιούσα ακμή (w,u) για κάποιο απόγονο w του v· L(v)=s(v) αν δεν υπάρχει τέτοιος απόγονος w του v.

t

s

γ α

δ

ε

βζ

1

2

3

4

5

6

78

s(ε)=6, L(ε)=4

s(α)=4, L(α)=1

p(v) = γονέας του v στο Τ.



Κατά την καθοδική διερεύνηση αποθηκεύουμε δύο αριθμούς για κάθε κόμβο v :

s(v) = σειρά (χρόνος) ανακάλυψης του v.

L(v) = ελάχιστο s(u) τέτοιο ώστε υπάρχει ανιούσα ακμή (w,u) για κάποιο απόγονο w του v· L(v)=s(v) αν δεν υπάρχει τέτοιος απόγονος w του v.

p(v) = γονέας του v στο Τ.

Ιδιότητα: Αν το G είναι δισυνεκτικό τότε L(v)<s(p(v)) για κάθε κόμβο v τέτοιον ώστε s(p(v))≠1. Αν s(p(v))=1 τότε L(v)=s(p(v))=1.



Μετά την ολοκλήρωση της καθοδικής διερεύνησης και τον υπολογισμό των p(v), s(v) και L(v), ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί μια βοηθητική ρουτίνα PathFinder η οποία ανακαλύπτει μονοπάτια και σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές τους ως εξής:

• Αρχικά μόνο οι κόμβοι s,t και η ακμή (s,t) είναι σημειωμένοι.

• Η πρώτη κλήση PathFinder(s) βρίσκει ένα απλό μονοπάτι από τον s στον t που

δεν περιέχει την ακμή (s,t). Σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές του μονοπατιού.

• Κάθε επόμενη κλήση PathFinder(v) βρίσκει ένα απλό μονοπάτι με νέες (=μη σημειωμένες) ακμές, από σημειωμένο κόμβο v σε σημειωμένο κόμβο w≠v. Σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές του μονοπατιού.



PathFinder(v)

(1) αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον w πρόγονο του v τότε

σημείωσε την (v,w)

επιστροφή μονοπατιού P = (v,w)

(2) διαφορετικά αν υπάρχει νέα δενδρική ακμή (v,w) όπου v=p(w) τότε

σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w)

ενόσω ο κόμβος w δεν είναι σημειωμένος

βρες (νέα) ακμή (w,x) με s(x)=L(w) ή L(x)=L(w)

σημείωσε τον w και την (w,x)

P = P • (w,x)

w = x

w

v

v

w

x



PathFinder(v)

(3) διαφορετικά αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον v πρόγονο του w τότε



βρες (νέα) ακμή (w,x) με x=p(w)


P = P • (w,x)

w = x

(4) διαφορετικά

P =

v

x

w



PathFinder(v)

(3) διαφορετικά αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον v πρόγονο του w τότε



βρες (νέα) ακμή (w,x) με x=p(w)


P = P • (w,x)

w = x

(4) διαφορετικά

P =

v

x

w

Παρατήρηση: Στην περίπτωση (3) όλα τα παιδιά του v είναι σημειωμένα. Επομένως, το P τερματίζει σε απόγονο του w του v όπου w≠v.



Ο αλγόριθμος υπολογίζει μια st-αρίθμηση χρησιμοποιώντας τη βοηθητική ρουτίνα PathFinder μαζί με μία στοίβα Σ:

• Η στοίβα Σ περιέχει σημειωμένους κόμβους. Αρχικά τοποθετούνται στην Σ οι

κόμβοι t και s, με τον s στην κορυφή.

• Κάθε φορά διαγράφεται ο κόμβος v στην κορυφή της Σ και καλείται η PathFinder(v) η οποία επιστρέφει ένα μονοπάτι P.

• Αν P= τότε ο v λαμβάνει τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό και δεν τοποθετείται ξανά στη στοίβα.

• Αν P = (v1,v2) (v2,v3) ... (vk-1,vk), όπου v1=v, τότε οι κόμβοι vk-1, vk-2, …, v2 και v1 τοποθετούνται στην κορυφή της στοίβας.



stNumber

σημείωσε τους κόμβους s,t και την ακμή (s,t)

Σ.ώθηση(t), Σ.ώθηση(s), i=0

ενόσω η Σ δεν είναι κενή

v = Σ.απώθηση()P = (v1,v2) (v2,v3) ... (vk-1,vk) = PathFinder(v)

αν P≠ τότεγια j=k-1 έως 1 Σ.ώθηση(vj)

διαφορετικά

αρίθμηση(v)=i+1



t

s

γ α

δ

ε

βζ

t

s

Σ



t

s

γ α

δ

ε

βζ

t

γ

Σ

P = (s,γ), (γ,t)

s



t

s

γ α

δ

ε

βζ

t

γ

Σ

P = (s,α), (α,δ), (δ,t)

δ

α

s



t

s

γ α

δ

ε

βζ

t

γ

Σ

δ

α

αρίθμηση(s)=1



t

s

γ α

δ

ε

βζ

t

γ

Σ

δ

ε


P = (α,ε), (ε,δ)

α



t

s

γ α

δ

ε

βζ

t

γ

Σ

δ

ε


P = (α,β), (β,ε)

β

α



t

s

γ α

δ

ε

βζ

t

γ

Σ

δ

ε

αρίθμηση(s)=1αρίθμηση(α)=2

β



t

s

γ α

δ

ε

βζ

t

γ

Σ

δ

ε

αρίθμηση(s)=1αρίθμηση(α)=2αρίθμηση(β)=3



t

s

γ α

δ

ε

βζ

t

γ

Σ

δ

ζ

αρίθμηση(s)=1αρίθμηση(α)=2αρίθμηση(β)=3

P = (ε,ζ), (ζ,δ)

ε



t

s

γ α

δ

ε

βζ

t

γ

Σ

δ

ζ

αρίθμηση(s)=1αρίθμηση(α)=2αρίθμηση(β)=3αρίθμηση(ε)=4



t

s

γ α

δ

ε

βζ Σ

αρίθμηση(s)=1αρίθμηση(α)=2αρίθμηση(β)=3αρίθμηση(ε)=4αρίθμηση(ζ)=5αρίθμηση(δ)=6αρίθμηση(γ)=7αρίθμηση(t)=8



s α

t δ

γ

β

ε

ζ

8

1

7

2

3

64

5



Ιδιότητες: • Από τη στιγμή που ένας κόμβος v τοποθετείται στη στοίβα Σ, κανένας κόμβος που βρίσκεται κάτω από τον v στη Σ δε λαμβάνει αρίθμηση πριν τον v.

• Ένας κόμβος διαγράφεται μόνιμα από την Σ μόνο εφόσον όλες οι ακμές που προσπίπτουν σε αυτών έχουν σημειωθεί.



Ιδιότητες: • Κάθε κόμβος u ≠ s,t τοποθετείται στην Σ προτού διαγραφεί ο t.

Απόδειξη

Αφού το G είναι δισυνεκτικό, υπάρχει μονοπάτι s=w1,...,wk=u το οποίο δεν περιέχει τον t. Έστω wj ο κόμβος του μονοπατιού με μέγιστο δείκτη j που τοποθετείται στην Σ προτού διαγραφεί ο t. Θα δείξουμε ότι η υπόθεση wj ≠ wk

οδηγεί σε άτοπο.

Τότε ο wj διαγράφεται μόνιμα πριν διαγραφεί ο t. Για να συμβεί αυτό πρέπει η ακμή (wj,wj+1) να σημειωθεί, δηλαδή να τοποθετηθεί ο wj+1 στην Σ, το οποίο όμως αντιβαίνει τον ορισμό του wj.



Ιδιότητες: • Ο αλγόριθμος stNumber παράγει έγκυρη st-αρίθμηση.

Απόδειξη

Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει ότι όλοι κόμβοι λαμβάνουν αρίθμηση και επιπλέον αρίθμηση(s)=1 και αρίθμηση(t)=n. Έστω αυθαίρετος κόμβος u ≠ s,t. Για να τοποθετηθεί ο u στην Σ για πρώτη φορά, πρέπει μια κλήση PathFinder(v) να επιστρέψει ένα απλό μονοπάτι P που περιέχει τον u.

Έστω x ό κόμβος που προηγείται του u στο P και έστω y ό κόμβος που έπεται του u στο P. Τότε ο u τοποθετείται πάνω από τον y και κάτω από τον x στην Σ. Άρα θα έχουμε αρίθμηση(x)<αρίθμηση(u)<αρίθμηση(y).


PQ-δένδρα

Δομή δεδομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συγκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Παράδειγμα

Έστω σύνολο U={α,β,γ,δ} και υποσύνολα S1={α,β,γ}, S2={α,δ}.

Οι έγκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες:• β,γ,α,δ• γ,β,α,δ• δ,α,β,γ• δ,α,γ,β


PQ-δένδρα

Δομή δεδομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συγκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Παράδειγμα



Αν είχαμε επιπλέον το υποσύνολο S3={β,δ} τότε δεν υπάρχει καμία έγκυρη μετάθεση του U.


PQ-δένδρα

Ένα PQ-δένδρο για το σύνολο στοιχείων U είναι ένα διατεταγμένο δένδρο όπου :

• Στα φύλλα του δένδρου βρίσκονται στοιχεία του U.

• Οι εσωτερικοί κόμβοι διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: στους P-κόμβους και στους Q-κόμβους.


PQ-δένδρα

Ένα PQ-δένδρο ορίζεται αναδρομικά ως εξής :

2. Έστω PQ-δένδρα T1, T2, ..., Tk. Ένας P-κόμβος v με παιδιά τα Τi είναι ένα PQ-δένδρο με ρίζα v. Αναπαριστά όλες τις μεταθέσεις των T1, T2, ..., Tk.

1. Ένα φύλλο v που περιέχει ένα στοιχείο του U είναι ένα PQ-δένδρο με ρίζα v.

T1 T2 Tk

...

3. Έστω PQ-δένδρα T1, T2, ..., Tk. Ένας Q-κόμβος v με παιδιά τα Τi είναι ένα PQ-δένδρο με ρίζα v. Αναπαριστά τη διάταξη T1, T2, ..., Tk ή τη διάταξη Tk, Tk-1, ..., T1.

T1 Tk

...T2


PQ-δένδρα

Ένα PQ-δένδρο είναι έγκυρο όταν :

• Κάθε στοιχείο του U εμφανίζεται σε ακριβώς ένα φύλλο.

• Κάθε P-κόμβος έχει τουλάχιστον 2 παιδιά.

• Κάθε Q-κόμβος έχει τουλάχιστον 3 παιδιά.


PQ-δένδρα

Παράδειγμα



β γ

α δ

PQ-δένδρο


PQ-δένδρα

Παρατήρηση : Οι Q-κόμβοι είναι απαραίτητοι.

Π.χ. οι μεταθέσεις του συνόλου U={α,β,γ} με υποσύνολα S1={α,β} και S2={β,γ}

δεν μπορούν να αναπαρασταθούν από δένδρο με μόνο φύλλα και P-κόμβους.


PQ-δένδρα

Παρατήρηση : Οι Q-κόμβοι είναι απαραίτητοι.

Π.χ. οι μεταθέσεις του συνόλου U={α,β,γ} με υποσύνολα S1={α,β} και S2={β,γ}

δεν μπορούν να αναπαρασταθούν από δένδρο με μόνο φύλλα και P-κόμβους.

Οι έγκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες:• α,β,γ• γ,β,α

α β γ

PQ-δένδρο


PQ-δένδρα

Δύο PQ-δένδρα είναι ισοδύναμα όταν το ένα μπορεί να μετατραπεί στο άλλο με χρήση 0 ή παραπάνω μετασχηματισμούς ισοδυναμίας.

Τύποι μετασχηματισμών ισοδυναμίας :

1. Αυθαίρετη μετάθεση των παιδιών ενός P-κόμβου.

T1 T2 T4T3 T2 T3 T1T4

2. Αντιστροφή των παιδιών ενός Q-κόμβου

T1 T3T2 T4 T4 T2T3 T1


PQ-δένδρα

β γα

δ

ιε ζ

η θ κ λ

β

ι

θ η κ λ

ε ζ

δ

γ α

ισοδύναμο με


PQ-δένδρα

Δομή δεδομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συγκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Αλγόριθμος

Έστω U={a1,a2,...,am} και έστω S={S1, S2, ..., Sn}.

Ξεκινάμε με ένα αρχικό PQ-δένδρο με ρίζα ένα P-κόμβο που έχει ως παιδιά m φύλλα με τα στοιχεία του U. a1 a2 am...

Επεξεργαζόμαστε ένα-ένα τα υποσύνολα Sj ϵ S. Για κάθε τέτοιο υποσύνολο Sj τροποποιούμε κατάλληλα το PQ-δένδρο ώστε τα στοιχεία του Sj να εμφανίζονται συνεχόμενα.

Η επεξεργασία του PQ-δένδρου για το υποσύνολο Sj γίνεται από κάτω προς τα πάνω και επηρεάζει τους κόμβους που είναι πρόγονοι φύλλων που αντιστοιχούν στα στοιχεία του Sj.


PQ-δένδρα



α β δγ

αρχικό PQ-δένδρο


PQ-δένδρα



α β δγ

αρχικό PQ-δένδρο

προσθήκη συνόλου S1

α γβ

δ


PQ-δένδρα



προσθήκη συνόλου S2

α γβ

δ

β αγ

δ

β

α

γ

δ


Η επεξεργασία του PQ-δένδρου για το υποσύνολο Sj γίνεται από κάτω προς τα πάνω και επηρεάζει τους κόμβους που είναι πρόγονοι φύλλων που αντιστοιχούν στα στοιχεία του Sj.

PQ-δένδρα

Έστω U(v) το σύνολο των στοιχείων του U που είναι αποθηκευμένα στα φύλλα του υποδένδρου με ρίζα v. Ο κόμβος v είναι :

• Πλήρης (για το Sj), όταν U(v) Sj.

• Κενός (για το Sj), όταν U(v) ∩ Sj =.

• Μερικός (για το Sj), όταν U(v) ∩ Sj ≠.

Ένας πλήρης ή μερικός κόμβος v λέμε ότι είναι σχετικός (για το Sj).


Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του.

PQ-δένδρα

• Αν ο κόμβος v είναι πλήρης ή κενός τότε δεν πραγματοποιείται καμία αλλαγή.



PQ-δένδρα

• Αν ο κόμβος v είναι μερικός P-κόμβος τότε διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με το αν (1) ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και (2) αν έχει (1 ή 2) παιδιά που είναι μερικά.

β γα

δ

ιε ζ

η θ κ λ

v Sj={β,ι}



PQ-δένδρα

• Αν ο κόμβος v είναι μερικός P-κόμβος τότε διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με το αν (1) ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και (2) αν έχει (1 ή 2) παιδιά που είναι μερικά.

• Αν δεν μπορεί να εφαρμοστεί κανένας μετασχηματισμός για τον κόμβο v τότε δεν υπάρχει μετάθεση του U που να ικανοποιεί τους περιορισμούς του S.



PQ-δένδρα

α) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και δεν έχει κανένα μερικό παιδί.

... ...

κενοί πλήρεις

...

...



PQ-δένδρα

β) Ο v δεν είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και δεν έχει κανένα μερικό παιδί.

... ...

κενοί πλήρεις

... ...



PQ-δένδρα

γ) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ένα μερικό παιδί.

... ...

... ...

... ......

...



PQ-δένδρα

δ) Ο v δεν είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ένα μερικό παιδί.

... ...

... ...

... .........



PQ-δένδρα

ε) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς δύο μερικά παιδιά.

... ...

... ...

... ......

......

.........



PQ-δένδρα

• Ανάλογοι μετασχηματισμοί ορίζονται και για τους Q-κόμβους.



PQ-δένδρα

γ’) Ο v έχει ακριβώς ένα μερικό παιδί.

... ...

... ...

... ......

...



PQ-δένδρα

δ’) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς δύο μερικά παιδιά.

... ...

... ...

... ... ...

......

.........

...

...


PQ-δένδρα

β γα

δ

ιε ζ

η θ κ λ


Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-δένδρο.


PQ-δένδρα

β γα

δ

ιε ζ

η θ κ λ



(β)


PQ-δένδρα

β γα

δ

ιε ζ

η θ κ λ




PQ-δένδρα

β γα

δ

ζ ε ι

θηλκ




PQ-δένδρα

β γα

δ

ζ ε ι

θηλκ



(δ’)


PQ-δένδρα

β γα

δ ζ ε ι

θηλκ




PQ-δένδρα

Η αποδοτική υλοποίηση των μετασχηματισμών του PQ-δένδρου απαιτεί προσοχή!

Ένα PQ-δένδρο μπορεί να υπολογίσει τις μεταθέσεις ενός συνόλου U με m στοιχεία έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί n υποσυνόλων S1, S2, ..., Sn

σε συνολικό χρόνο


Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum

Έστω G ένα απλό, δισυνεκτικό γράφημα με n≥5 κόμβους και m≤3n-6 ακμές.

Υπολογίζουμε μια st-αρίθμηση του G. Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους του G σε αύξουσα st-αρίθμηση ως εξής :

Έστω Gi το υπογράφημα του G που περιλαμβάνει τους κόμβους 1, 2, … ,i και

τις μεταξύ τους ακμές.

2

t

s

5

4

3

6

1







2

t

s

5

4

3

6

1G3







Για i=2,…,n-1, έχουμε μια (έμμεση) αναπαράσταση του Gi στο επίπεδο την

οποία επεκτείνουμε με την προσθήκη του κόμβου i+1.



Θεωρούμε ένα σχέδιο του G στο επίπεδο όπου η ακμή (1,n) βρίσκεται στην εξωτερική όψη.

Gi

n

Στο αντίστοιχο σχέδιο του Gi, ο κόμβος n βρίσκεται στην εξωτερική όψη.



Θεωρούμε ένα σχέδιο του G στο επίπεδο όπου η ακμή (1,n) βρίσκεται στην εξωτερική όψη.

Gi

j

n

Στο αντίστοιχο σχέδιο του Gi, ο κόμβος n βρίσκεται στην εξωτερική όψη.

Επιπλέον, για κάθε κόμβο j>i, υπάρχει μονοπάτι από τον j στον n το οποίο δεν περιέχει κόμβους του Gi (συνεπάγεται από την st-αρίθμηση).

Άρα όλοι οι κόμβοι j>i πρέπει να βρίσκονται στην εξωτερική όψη του Gi.



Αρκεί να ελέγξουμε αν το Gi μπορεί να σχεδιαστεί έτσι ώστε οι κόμβοι i+1,…,n να

βρίσκονται στην εξωτερική του όψη.

2

t

s

5

4

3

6

1G3

2

3

1B3

6

5 5 4

Ορίζουμε ένα βοηθητικό γράφημα Bi το οποίο προκύπτει από το Gi με την

προσθήκη κόμβων και ακμών ως εξής:

Για κάθε ακμή (k,j) του G με k≤i και j>i προσθέτουμε ένα νέο αντίγραφο του κόμβου j μαζί με την ακμή (k,j).



Αρκεί να ελέγξουμε αν το Gi μπορεί να σχεδιαστεί έτσι ώστε οι κόμβοι i+1,…,n να

βρίσκονται στην εξωτερική του όψη.

Ορίζουμε ένα βοηθητικό γράφημα Bi το οποίο προκύπτει από το Gi με την

προσθήκη κόμβων και ακμών ως εξής:

Για κάθε ακμή (k,j) του G με k≤i και j>i προσθέτουμε ένα νέο αντίγραφο του κόμβου j μαζί με την ακμή (k,j).

Τώρα πρέπει να ελέγξουμε αν οι νέοι κόμβοι μπορούν να τοποθετηθούν στην εξωτερική όψη :• Για το B1 προφανώς ισχύει.• Έστω ότι ισχύει για το Bi-1. • Αρκεί να εξετάσουμε αν υπάρχει αναπαράσταση του Bi όπου οι νέοι γειτονικοί κόμβοι του i μπορούν να τοποθετηθούν σε συνεχόμενες θέσεις.

i

i



Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε Bi μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του Bi.

5 4

12

3




5

12

3


(1,2) (1,3) (1,5)

B1

Εισάγουμε P-κόμβο για τις ακμές (1,j) με j>1.




5

12

3


(1,2) (1,3) (1,5)

Ομαδοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 2. Υπάρχει μόνο η (1,2) οπότε δεν αλλάζει κάτι.





(1,3) (1,5)

B2

5 4

12

33

5

(2,3) (2,4) (2,5)

Εισάγουμε στη θέση της ακμής (1,2) ένα P-κόμβο για τις ακμές (2,j) με j>2.





(1,3) (1,5)

5 4

12

5

(2,3) (2,4) (2,5)

Ομαδοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 3.

3





(1,5)

5 4

12

5

(2,4)

(2,3)

(2,5)

(1,3)


3





B3

5 4

12

35

5 4

(1,5)

(2,4)

(2,3)

(2,5)

(1,3)





B3

5 4

12

35

5 4

(1,5)

(2,4) (2,5) (3,4) (3,5)

Εισάγουμε στη θέση των ακμών(1,3) και (2,3) ένα P-κόμβο για τις ακμές (3,j) με j>3.





5

12

35

5

(1,5)

(2,4) (2,5) (3,4) (3,5)

4






54

12

35

5

(1,5)

(2,5) (2,4) (3,4) (3,5)





B4

54

12

35

5

(1,5)

(2,5) (4,5) (3,5)

5

Εισάγουμε στη θέση των ακμών(3,4) και (3,5) ένα φύλλο για την ακμή (4,5).





5

12

3 (1,5)

(2,5) (4,5) (3,5)


Ομαδοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 5. Είναι ήδη σε συνεχόμενη διάταξη.

Επίπεδα Γραφήματα : Έλεγχος Επιπεδότητας

Documents

Transcript of Επίπεδα Γραφήματα : Έλεγχος Επιπεδότητας