Die kosmologischen Parameter ΩM und ΩΛ · das Universum wieder kollabieren und in einem Big...

Die kosmologischen Parameter

ΩM und ΩΛ

Eine Ubersicht uber Bestimmungsmethoden

und Ergebnisse

Diplomarbeitangefertigt an der Hamburger Sternwarte

im Fachbereich Physik der Universitat Hamburgunter Anleitung von Prof. Sjur Refsdal

vorgelegt von

Oliver Czoskeaus Hamburg

HamburgJuni 1995

Vorbemerkung

Die von mir selbst angefertigten Diagramme wurden mit Hilfe von Rainer KaysersProgrammpaket GRAL erstellt. Bei den notwendigen numerischen Rechnungen ver-wendete ich einige FORTRAN–Routinen aus den “Numerical Recipes” von Press etal.1

1Press, W. H., Flannery, B. P., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T. 1986, “Numerical Recipes”(Cambridge University Press)

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 11

1 Die Geometrie des Universums 12

1.1 Das Kosmologische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Die Robertson–Walker–Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Die Dynamik des Universums 16

2.1 Die Friedmann–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Eine andere Parametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Losungen der Friedmann–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Raumlich flache Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Modelle mit ΩΛ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.3 Bounce–Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.4 Zeitlich offene und geschlossene Modelle . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Zeitabhangigkeit der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Ausschluß von Bounce–Modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Klassische Tests 32

3.1 Winkeldurchmesserentfernung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.1 Radiogalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.2 Kompakte Radioquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.3 Hellste Haufengalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.4 Galaxienhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Leuchtkraftentfernung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.1 Hellste Haufengalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Radiogalaxien im K–Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Galaxienzahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.1 N–z–Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 N–m–Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Gravitationslinsen 48

4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Effekte eines antipodischen Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Gravitationslinsenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4 Linsenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Alterstests 55

5.1 Der Hubble–Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Kugelsternhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.1 Modellierung von Isochronen im FHD . . . . . . . . . . . . . 615.2.2 Absolute Helligkeit von RR Lyrae–Sternen . . . . . . . . . . 625.2.3 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5

6 INHALTSVERZEICHNIS

5.2.4 Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2.5 Zusammenfassung: Kugelsternhaufen . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3 Weiße Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 Nukleokosmochronologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5 Zusammenfassung: Galaktische Alterstests . . . . . . . . . . . . . . . 765.6 Hochrotverschobene Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.6.1 Beobachtungen des stellaren Lichtes . . . . . . . . . . . . . . 805.6.2 Ursprung der Kontinuumsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . 815.6.3 Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6.4 Modelle fur die Sternentstehung . . . . . . . . . . . . . . . . 855.6.5 Eine Galaxie bei z = 1.175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6 Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis 92

6.1 Rotationskurven von Spiralgalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 Elliptische Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3 Galaxiengruppen und –haufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.4 Zusammenfassung: Gebundene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 966.5 Baryonische Materie in Galaxienhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.5.1 Urknallnukleosynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.5.2 Vergleich mit den Masseanteilen in Galaxienhaufen . . . . . . 101

7 Lokale großraumige Bewegungen 104

7.1 Lineare Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.1.1 Rotverschiebungssurveys und Dichtefeld im Ortsraum . . . . 1087.1.2 Geschwindigkeitssurveys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.1.3 Der Bias–Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.2 Dipolbestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.2.1 IRAS–Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.2.2 Optisch selektierte Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2.3 Galaxienhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.4 Rontgen–AGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.5 Richtung des Dipols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.6 Konvergenz der Dipolmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.3 POTENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3.1 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.4 Statistik von Rotverschiebungssurveys . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8 Zusammenfassung 129

Literatur 133

Danksagung 141

Abbildungsverzeichnis

2.1 Flache Weltmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Weltmodelle mit ΩΛ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Urknall– und Nichturknallmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Zeitlich offene und geschlossene Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Losungsklassen der Friedmann–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Entwicklungswege in der Parameterebene . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 ΩM(t) und ΩΛ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8 Maximale Rotverschiebung in Bounce–Modellen . . . . . . . . . . . . 302.9 Maximale Rotverschiebung in Eddington–Lemaıtre–Modellen . . . . 30

3.1 ϑ–z–Diagramm, Radiogalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 ϑ–z–Diagramm, hellste Haufengalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Hubble–Diagramm, bolometrisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Hubble–Diagramme in V und K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Schema eines Gravitationslinsensystems . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Optische Tiefe und mittlerer Bildabstand . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Antipodischer Punkt bei z = 3.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1 Kurven konstanten Weltalters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2 Kugelsternhaufen–FHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3 Leuchtkraftfunktion Weißer Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4 t0 = 13 Gyr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.5 t0 = 17 Gyr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.6 Spektrale Energieverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.7 Schema eines Populationssynthesemodells . . . . . . . . . . . . . . . 845.8 Evolution eines Instantaneous Burst Modells . . . . . . . . . . . . . 855.9 t(3.4) = 1.5 Gyr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.10 t(4.25) = 0.5 Gyr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.11 Chambers & Charlot–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.12 t(1.2) = 2.9 Gyr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1 Rotationskurven von Spiralgalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 M/L gebundener Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.3 Theoretische Elementhaufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.1 Richtungen verschiedener Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2 Schema des POTENT–Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.1 Einschrankungen der ΩM–ΩΛ–Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7

8 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis

3.1 m–z–Test mit hellsten Haufengalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1 Hubble–Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Altersbestimmungen von Kugelsternhaufen . . . . . . . . . . . . . . 655.3 Koeffizienten in Altersrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4 Fehler in der Altersbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5 Altersbestimmungen hochrotverschobener Galaxien . . . . . . . . . . 895.6 Parameter in Modellen zur Sternentstehungsrate . . . . . . . . . . . 89

7.1 Dipolbestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2 Statistik von IRAS–Rotverschiebungssurveys . . . . . . . . . . . . . 127

9

10 TABELLENVERZEICHNIS

Einleitung

Aufgabe dieser Diplomarbeit ist es, einen Uberblick uber den derzeitigen Kenntnis-stand bezuglich der Parameter des Standardmodells der relativistischen Kosmologie,des Friedmann–Robertson–Walker–Modells, zu schaffen. Die Kenntnis dieser Para-meter ist aus mehreren Grunden interessant: Es ist von grundsatzlichem Interesse,zu wissen, wie das Universum, in dem wir leben, beschaffen ist, zu wissen, ob derRaum flach ist oder ob er positiv oder negativ gekrummt ist; ferner, ob sich dasUniversum ewig ausdehnen wird oder ob sich die Expansion irgendwann umkehren,das Universum wieder kollabieren und in einem Big Crunch enden wird.

Aber auch aus praktischer Sicht ist die Kenntnis der Werte der kosmologischenParameter wichtig. Die Umrechnung beobachteter Großen von hochrotverschobenenObjekten in die entsprechenden intrinsischen Eigenschaften, beispielsweise die Um-rechnung von scheinbarer Helligkeit in absolute Leuchtkraft oder von beobachtetemWinkeldurchmesser in einen physikalischen Durchmesser, hangt von der Strukturdes Raumes (besser der Raumzeit) zwischen uns und dem Objekt, also von denkosmologischen Parametern ab. Dadurch werden auch die astrophysikalischen Mo-delle dieser Objekte von den kosmologischen Parametern abhangig. Meist wird indiesen Modellen ein bestimmtes Weltmodell angenommen (darunter verstehe ichein Friedmann–Robertson–Walker–Modell mit einem vorgegebenen Satz von Pa-rametern) und darauf gehofft, daß der mogliche Fehler dadurch nicht sehr großsein wird. Andererseits gibt es Weltmodelle mit auch qualitativ sehr verschiedenenEigenschaften, so daß sich auch die aus astrophysikalischen Modellen abgeleitetenEigenschaften stark voneinander unterscheiden konnen.

In der Praxis ist das Wechselspiel zwischen astrophysikalischen und kosmolo-gischen Modellen komplexer. Da es keine modellunabhangigen Methoden zur Be-stimmung der kosmologischen Parameter gibt, muß man sich auf mehr oder wenigergesicherte astrophysikalische Modelle von Objekten in kosmologisch interessantenEntfernungen stutzen. Die tatsachlichen Werte der kosmologischen Parameter erge-ben sich dann aus den (hoffentlich konsistenten) Ergebnissen mehrerer unabhangigerMethoden.

Das Ziel meiner Arbeit ist es daher, diese Methoden und Ergebnisse zusam-menzutragen, mogliche Fehlerquellen hervorzuheben und schließlich den nach der-zeitigem Wissen erlaubten Bereich im Parameterraum zu rekonstruieren. Ich hoffe,daß diese Arbeit vor allem zukunftigen Diplomanden hilfreich sein wird, die sich mitFragen befassen, in die auch die kosmologischen Parameter mittelbar oder unmittel-bar eingehen, alles diesbezuglich Wichtige an einem Ort zu finden (oder zumindestHinweise auf weitergehende Informationen dazu).

11

Kapitel 1

Die Geometrie desUniversums

1.1 Das Kosmologische Prinzip

Wir fassen das Universum als ein vierdimensionales Raum–Zeit–Kontinuum auf,dessen Geometrie durch seine Metrik beschrieben wird. Zur Auswahl einer moglichsteinfachen Metrik mussen wir etwas uber die großraumige Struktur des Univer-sums wissen. Leider sind unsere Beobachtungsmoglichkeiten sehr eingeschrankt: Wirkonnen das Weltall nur von einem Punkt — der Erde — aus betrachten, und wegender Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit beziehen sich die Beobachtungen stets aufunseren Ruckwartslichtkegel.

Eine der beeindruckendsten Beobachtungen in der Kosmologie ist die einer fastperfekten Isotropie der 3 K–Mikrowellen–Hintergrundstrahlung (im folgenden mitCMB abgekurzt). Reduziert man die Beobachtungen auf ein Bezugssystem, welchesrelativ zum Schwerpunkt der Lokalen Gruppe von Galaxien ruht, so zeigt die Tempe-raturverteilung der CMB ein Dipolmoment der Große δT/T ∼ 1.23× 10−3, welchesin die Richtung ℓ = 276, b = 30 in galaktischen Koordinaten zeigt (Kogut et al.1993). Die einfachste Erklarung fuhrt diesen Dipol auf einen Dopplereffekt zuruck,durch den die Photonen aus der einen Richtung rot–, aus der anderen Richtung blau-verschoben sind (Peebles 1993, §6). Diese Erklarung impliziert, daß die Lokale Grup-pe eine Pekuliargeschwindigkeit von ∼ 627 km s−1 gegenuber einem Bezugssystemaufweist, in welchem das Dipolmoment der CMB–Temperaturverteilung verschwin-det, dem CMB–System. Nach Reduktion auf das CMB–System weist die Tempera-turverteilung der CMB nur noch Fluktuationen der Großenordnung δT/T ∼ 10−5

auf Skalen <∼ 10 auf (Smoot et al. 1992).Ein vergleichbares Dipolmoment, welches in die gleiche Richtung weist wie der

CMB–Dipol, wird auch in Galaxienkatalogen und Rotverschiebungssurveys nachMittelung uber hinreichend große Skalen beobachtet (siehe Kapitel 7). Allerdingsreichen Galaxienkataloge nur bis zu Entfernungen1 von ∼ 200 h−1Mpc, entspre-chend einer Rotverschiebung von z ∼ 0.2, wahrend die CMB ihren Ursprung beiz ∼ 103 hat. Ansonsten ist die Galaxienverteilung am Himmel, abgesehen von dergalaktischen Absorption, weitgehend isotrop.

Die Beobachtungen deuten also darauf hin, daß es moglich ist, ein lokales (Min-kowski–)Bezugssystem zu finden, in welchem das Universum isotrop ist, d. h. inallen Richtungen gleich aussieht.

Seit Kopernikus neigt die Wissenschaft dazu, der Menschheit keinen ausgezeich-neten, sondern nur einen typischen Platz im Kosmos zuzuweisen. Angewandt auf die

1Ich verwende fur die Hubble–Konstante die Parametrisierung H0 = 100 h−1 km s−1 Mpc−1.

12

1.2. DIE ROBERTSON–WALKER–METRIK 13

Struktur des Universums bedeutet dieses Kopernikanische Prinzip, daß es an jedemOrt (damit ist hier ein Ereignis in der Raumzeit gemeint) im Universum moglichsein muß, ein lokales Bezugssystem zu finden, in welchem das Universum isotroperscheint.

Weitergehend wird angenommen, daß es moglich ist, die Zeitkoordinaten derlokalen Minkowski–Bezugssysteme so zu synchronisieren, daß zu einem gegebenenZeitpunkt das Universum in jedem Punkt des Raumes (damit ist ein dreidimensio-naler Schnitt senkrecht zur Zeitachse gemeint) gleich aussieht, daß also der Raum

homogen ist. Tatsachlich wird die Synchronisation dann dadurch vollzogen, daßbestimmte Ereignisse, wie die Strahlungs–Materie–Entkopplung oder sonstige Pha-senubergange im fruhen Universum, als uberall gleichzeitig betrachtet werden; dieseZeit wird als Kosmische Zeit bezeichnet. Die raumliche Homogenitat ist nicht direktdurch Beobachtungen nachweisbar; tatsachlich weisen auch die tiefsten Galaxien–Rotverschiebungssurveys, die derzeit zur Verfugung stehen, Strukturen auf, die uberSkalen, die der Sampletiefe entsprechen, koharent sind. Wegen dieser Beobachtungzweifeln einige Autoren die Homogenitat des Universums an und favorisieren dem-gegenuber Modelle, in denen die Struktur des Universums als fraktal beschriebenwird (Baryshev et al. 1995). Man sollte aber beachten, daß die verfugbaren Gala-xiensurveys nur einen kleinen Teil des Universums abdecken und die geometrischeHomogenitat des Universums erst durch Strukturen gefahrdet wird, die auf etwader Hubble–Lange c/H0 koharent sind.

Diese Uberlegungen werden in einem Postulat zusammengefaßt, dem Kosmolo-gischen Prinzip:

Es ist moglich, ein globales Koordinatensystem zu finden, derart, daßdas Universum von jedem Punkt aus isotrop und zu einer gegebenenZeit in jedem Punkt gleich aussieht, also raumlich homogen ist.

Ein weitergehendes “Perfektes” Kosmologisches Prinzip, welches neben der Homoge-nitat im Raum (also in einem Schnitt senkrecht zur Zeitachse) auch die Homogenitatin der Zeit fordert2, fuhrt zum Steady State Modell von Bondi, Gold und Hoyle. Daaber beobachtet wird, daß beispielsweise Galaxien auf unserem Ruckwartslichtkegeleben nicht in jeder Entfernung gleich aussehen, sondern sich vielmehr in der Zeitentwickeln, wird das Steady State Modell heute von der uberwiegenden Mehrheitder Kosmologen nicht mehr als gutes Modell fur das Universum angesehen.

1.2 Die Robertson–Walker–Metrik

Die mathematische Beschreibung des homogenen und isotropen Universums erfolgtdurch vier Koordinaten (x0, x1, x2, x3) im Raum–Zeit–Kontinuum. Fur das Lini-enelement gilt allgemein:

ds2 = gαβ(x)dxαdxβ . (1.1)

Dabei laufen griechische Indizes wie ublich von 0 bis 3, und es gilt die Summenkon-vention. Der (symmetrische) metrische Tensor ist hierbei noch vom Weltpunkt xabhangig geschrieben. Durch Anwendung des Kosmologischen Prinzips kann dieForm der Metrik weitgehend eingeschrankt werden. Wegen der Isotropie des Uni-versums gibt es keine ausgezeichneten Richtungen, in die die Vektoren gi0 bzw. g0i

(lateinische Indizes laufen von 1 bis 3) zeigen konnten, d. h. es ist moglich, zeitor-

thogonale Koordinaten zu finden, so daß

gi0 = g0i = 0 (1.2)

2d. h. das Universum soll auch zu jedem Zeitpunkt an jedem Ort gleich aussehen.

14 KAPITEL 1. DIE GEOMETRIE DES UNIVERSUMS

gilt. Die kosmische Zeit ist dann x0 =: t 3, so daß

g00 = 1 (1.3)

ist. Wegen der Homogenitat des Raumes mussen die Metrikkomponenten gij vomOrt unabhangig sein, es darf nur noch ein gemeinsamer Faktor a2(t) auftreten. DasLinienelement hat damit die Form:

ds2 = dt2 − a(t)2gijdxidxj . (1.4)

Die, jetzt konstanten, Koeffizienten gij mussen positiv gewahlt werden, damit sichlokal die Signatur (+ − − −) der Minkowski–Metrik ergibt.

Wegen der Homogenitat des Raumes muß insbesondere die Raumkrummung

K(t) =k

R(t)2(1.5)

vom Ort unabhangig sein. Dabei ist k = +1,−1 oder 0. Im Falle k = +1 hatder Raum in jedem Punkt positive Krummung, also lokal die Geometrie S3 einerdreidimensionalen Sphare mit dem Krummungsradius R(t) (allgemein Skalenfaktorgenannt). Der Fall k = −1 stellt einen hyperbolischen Raum mit der lokalen Geo-metrie H3 dar. Der Krummungsradius ist jetzt strenggenommen iR(t). Der dritteFall k = 0 ist der des flachen, lokal euklidischen (R3) Raumes; der Skalenfaktor R(t)ist hier frei normierbar.

Die lokale Geometrie des Raumes hat nichts mit seiner globalen Topologie zutun. Beispielsweise kann ein flacher Raum mit k = 0 entweder “offen”, d. h. mitunendlichem Rauminhalt, oder “geschlossen”, d. h. mit endlichem Rauminhalt, sein(siehe z. B. Heidmann 1980, Kolb & Turner 1989)4.

Ein Raum konstanter Krummung kann durch eine radiale Koordinate r und zweiWinkelkoordinaten ϑ und ϕ beschrieben werden, so daß das raumliche Linienelementdie Form

dl2 = R(t)2[

dr2

1 − kr2+ r2(dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2)

]

(1.6)

erhalt.Fur die Metrik des isotropen und homogenen Universums erhalt man somit die

Robertson–Walker–Metrik:

ds2 = dt2 −R(t)2[

dr2

1 − kr2+ r2(dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2)

]

. (1.7)

Mit der Definition

r =: Sk(χ) (1.8)

mit

Sk(χ) =

sinhχ , k = −1χ , k = 0

sinχ , k = +1(1.9)

erhalt die Robertson–Walker–Metrik die folgende Form, die fur Rechnungen haufigeinfacher zu handhaben ist:

ds2 = dt2 −R(t)2[

dχ2 + S2k(χ)(dϑ2 + sin2ϑ dϕ2)

]

. (1.10)

3In den theoretischeren Teilen werde ich c = 1 setzen; in einigen praktischeren Formeln werdeich c dagegen explizit schreiben.

4Man stelle sich als flache, wenigstens in einer Dimension geschlossene, zweidimensionale Man-nigfaltigkeit die Oberflache eines Zylinders vor.

1.2. DIE ROBERTSON–WALKER–METRIK 15

Folgerungen aus der Robertson–Walker–Metrik bezuglich verschiedener Entfer-nungsbegriffe und Lichtlaufzeiten werden in den Kapiteln 3 und 5 besprochen.

Die zeitliche Veranderlichkeit des Skalenparameters R(t) fuhrt zur kosmologi-schen Rotverschiebung in den Spektren weit entfernter Galaxien oder Quasare (zu-erst beobachtet von Slipher, systematisch untersucht und gedeutet von Hubble). EinPhoton erfahrt zwischen Emission und Absorption (Beobachtung) eine Anderungseiner Wellenlange: Die Wellenlange im Bezugssystem des Emitters (zum Zeitpunkttem) ist λem, im Bezugssystem des Beobachters (zur Zeit tobs = t0) ist sie

λobs =R(tobs)

R(tem)λem . (1.11)

Man definiert daher die Rotverschiebung z durch

1 + z =λobs

λem=

R0

R(t). (1.12)

Ein Beobachter mit zeitlich festen Koordinaten (r, ϑ, ϕ) ist ein Fundamentalbeob-

achter. Fundamentalbeobachter konnen die Isotropie des Universums explizit beob-achten, insbesondere ist die Rotverschiebung (1.12) von der Beobachtungsrichtungunabhangig. Beobachter, die eine Pekuliargeschwindigkeit haben, deren raumlicheKoordinaten also zeitlich veranderlich sind, beobachten Anisotropien, beispielsweiseeine Dipolanisotropie in der kosmischen Hintergrundstrahlung . Dies sind Effekteder Speziellen Relativitatstheorie, die in der lokalen Minkowski–Metrik beschriebenwerden konnen.

Zur kosmologischen Rotverschiebung kommt nun ein Beitrag durch die Pekuliar-geschwindigkeit hinzu, der mittels der speziell–relativistischen Doppler–Formel be-rechnet werden muß. Ein entsprechender Beitrag kommt von der Pekuliargeschwin-digkeit des Emitters. Da Pekuliargeschwindigkeiten von Galaxien und Quasaren imallgemeinen klein sind (vpec <∼ 1000 km s−1 ≪ c), kann hierfur die linearisierteDoppler–Formel verwendet werden, so daß man erhalt:

z =R0

R(t)− 1 +

vempec

c+vobspec

c. (1.13)

Da die Pekuliargeschwindigkeit des Beobachters eine ausgezeichnete Richtung defi-niert, ist die Isotropie des Universums fur ihn zerstort.

Kapitel 2

Die Dynamik des Universums

2.1 Die Friedmann–Gleichung

Allein auf Grund von Beziehungen, die aus der Robertson–Walker–Metrik herge-leitet werden konnen (Leuchtkraftentfernung, Winkelentfernung, Ruckblickzeiten)ließe sich im Prinzip schon die Geometrie des Universums bestimmen. Ein fruherhaufig versuchter Test ist der m–z–Test1, bei dem fur eine Klasse von Objekten mitbekannter einheitlicher intrinsischer Leuchtkraft (Standardkerzen) die scheinbarenHelligkeiten m und die Rotverschiebungen z = R0/R(t) − 1 gemessen werden. Beidichtem Sampling stellt die Gleichung fur die Leuchtkraftentfernung eine Integral-gleichung fur den Skalenparameter R(t) dar, der somit bestimmt werden konnte.In der Praxis ist dieses Verfahren naturlich aussichtslos, da die hierfur notwendi-ge Samplingdichte nicht erreicht werden kann. Praktikabler wird der Test, wennman R(t) fur kleine Ruckblickzeiten t, bzw. fur kleine Rotverschiebungen z ≪ 1entwickelt:

R(t) = R0 + R(t0)(t− t0) +1

2R(t0)(t− t0)

2 + · · ·

= R0[1 +H0(t− t0) −1

2q0H

20 (t− t0)

2 + · · ·] . (2.1)

Dabei ist

H0 =R(t0)

R(t0)(2.2)

der heutige Hubble–Parameter und

q0 = − RRR2

∣

∣

∣

∣

∣

t=t0

(2.3)

der Abbremsparameter. In dieser Entwicklung lautet die Beziehung zwischen schein-barer bolometrischer Helligkeit m und der Rotverschiebung z:

m = M + 5 log z + 1.086(1− q0)z + O(z2) . (2.4)

Auch diese Darstellung ist praktisch nicht zu verwenden, da bei den kleinen z,bei denen die Entwicklung gultig ist, noch keine signifikante Abweichung von demlogarithmischen Term zu beobachten ist und bei großeren Rotverschiebungen dieEntwicklung nicht mehr gilt. Tatsachlich geht man einen Schritt weiter und machtein Modell fur die Dynamik des Universums.

1Der m–z–Test wird in Abschnitt 3.2 diskutiert.

16

2.1. DIE FRIEDMANN–GLEICHUNG 17

Die grundlegende Annahme hierbei ist, daß die richtige Theorie zur Beschrei-bung der Dynamik des Universums die Allgemeine Relativitatstheorie ist. Aus denEinsteinschen Feldgleichungen

Rαβ − 1

2gαβR = 8πGTαβ (2.5)

folgt die Friedmann–Gleichung, die Bewegungsgleichung fur den Skalenfaktor:

(

R

R

)2

+k

R2=

8πG

3

∑

i

ρi , (2.6)

wobei die ρi die verschiedenen Beitrage zur Energiedichte des Universums sind.Aus der Kontinuitatsgleichung fur den Energie–Impuls–Tensor folgt fur jede

Komponente ρi:

d(ρiR3) = −pi d(R

3) . (2.7)

Dies ist im wesentlichen der erste Hauptsatz der Thermodynamik, angewandt aufdie adiabatische Expansion des Universums.

Zur vollstandigen Beschreibung der Dynamik des Universums fehlen noch dieZustandsgleichungen fur die einzelnen Komponenten:

pi = f(ρi) . (2.8)

Oft wird die Kontinuitatsgleichung (2.7) durch eine Gleichung fur die zweite Ablei-tung des Skalenfaktors ersetzt. Dazu wird (2.7) in die zeitliche Ableitung von (2.6)eingesetzt und es folgt:

R = −4πG

3

∑

i

(ρi + 3pi)R . (2.9)

Man kann nun prinzipiell beliebig viele Energiebeitrage betrachten. Die gelaufig-sten sind die folgenden (Charlton & Turner 1987):

1. Nichtrelativistische Materie (druckloser Staub) mit der Zustandsgleichung

p = 0 . (2.10)

Daraus folgt ρM ∝ R−3.

2. Strahlung (ultrarelativistische Materie) mit der Zustandsgleichung

p =1

3ρrad . (2.11)

Daraus ergibt sich ρrad ∝ R−4.

3. Vakuumenergiedichte mit der Zustandsgleichung

p = −ρvac , (2.12)

also ρvac = const.

4. leichte schnellbewegliche nichtwechselwirkende Strings mit

ρFS ∝ 1

R(t) t(2.13)

18 KAPITEL 2. DIE DYNAMIK DES UNIVERSUMS

5. Netz leichter nicht–Abelscher Strings mit

ρnet ∝ R−2(t) (2.14)

6. zerfallende nichtrelativistische Teilchensorten

7. relativistische Teilchensorten, die bei solchen Zerfallen entstehen.

Die Strahlungsdichte im heutigen Universum ist sehr gering. Die Energiedichteder kosmischen Mikrowellen–Hintergrundstrahlung betragt beispielsweise nur et-wa ρCMB = 4.2 × 10−13 erg cm−3 = 4.7× 10−34 g cm−3 gegenuber einigen 10−29 gcm−3 in nichtrelativistischer Materie. Da die Energiedichte in relativistischer Ma-terie gegenuber der in nichtrelativistischer Materie vernachlassigbar ist, werde ichdiese im folgenden nicht weiter betrachten. Ebenso werde ich die Energiedichte inStrings und instabilen Teilchensorten nicht weiter betrachten, da diese Objekte zumgegenwartigen Zeitpunkt rein spekulativ sind.

Dagegen werde ich die Vakuumenergiedichte nicht von vornherein gleich Nullsetzen. Daß es Vakuumfluktuationen gibt, ist experimentell hinreichend nachgewie-sen, zum Beispiel im Casimir–Effekt. Beim Casimir–Effekt (z. B. Itzykson & Zuber1985) wird die Kraft gemessen, die zwischen zwei im Vakuum aufgehangten Me-tallplatten wirkt. Durch die Platten werden Randbedingungen eingefuhrt, die diemoglichen Moden der Quantenfelder einschranken. Dadurch ist die Vakuumener-giedichte zwischen den Platten verschieden von der, die sich ohne Platten ergebenwurde. Obwohl beide Energiedichten formal divergieren, ist ihre Differenz endlichund abhangig vom Abstand der Platten, so daß sich eine Kraftwirkung ergibt. DerCasimir–Effekt beweist daher, daß es Vakuumfluktuationen gibt, sagt aber nichtsuber deren absoluten Energiegehalt und gravitative Wirkung aus.

Zwar gibt es theoretische Argumente fur eine verschwindende Vakuumenergie-dichte, doch sind diese alle nicht zwingend. Eine naive Betrachtung integriert bei-spielsweise uber die Moden der Vakuumfluktuationen und erhalt

ρvac ∝C∫

0

ω4 dω , (2.15)

wobei C hier ein Cut–off zur Regularisierung des divergenten Integrals ist (Carroll etal. 1992). Setzt man fur C die einzig denkbare naturliche Energieskala, die Planck–Masse MPl ein, so ergibt sich

8πGρvac

3H20

∼ 10120 . (2.16)

Astronomische Beobachtungen schranken diese Große auf <∼ 3 ein (siehe Abschnitt4.2), also auf einen Wert, der ∼ 120 Großenordnungen kleiner ist als die theoretischeAbschatzung. Die tatsachliche Vakuumenergiedichte soll also, bezogen auf ihren“naturlichen Wert” bis auf 120 Stellen nach dem Komma Null sein, aber dochnicht ganz verschwinden! Dieses scheinbar notwendige fine–tuning veranlaßt vieleTheoretiker, einen Wert ρvac = 0 zu postulieren.

Die oben gemachte Abschatzung ist meines Erachtens zu naiv, da die Beseitigungder Divergenz im Integral (2.15) nur durch einen einfachen Cut–off beseitigt wird,wahrend eigentlich noch eine Renormierung durchzufuhren ware. Man kann diesmit der Berechnung der Elektronenmasse durch Integration uber die Energie dervirtuellen Teilchenwolke des Elektrons (Summation uber die relevanten Feynmann–Diagramme) vergleichen. Auch hier sind die einzelnen Beitrage divergent, nach Re-gularisierung der Integrale (um das Rechnen mit den Integralen zu ermoglichen)und Renormierung durch Einfuhrung einer (divergenten) nackten Elektronenmasse

2.1. DIE FRIEDMANN–GLEICHUNG 19

erhalt man dann die (endliche) beobachtete Elektronenmasse. Bei der obigen Argu-mentation bezuglich der Vakuumenergiedichte wurde die Energiedichte des unbeob-achtbaren nackten Vakuums jedoch implizit = 0 gesetzt. Auch die Elektronenmasseist im ubrigen klein gegen die “naturliche” Planck–Masse! Es ist daher geboten, dieVakuumenergiedichte und die ihr entsprechende Kosmologische Konstante analogzur Elektronenmasse vorerst als Beobachtungsgroße und freien Parameter in derTheorie anzusehen, da ein definitiver Wert fur ρvac derzeit noch von keiner (expe-rimentell bestatigten2) Theorie vorhergesagt wird.

Ich werde folgende Parametrisierungen fur die Energiedichten verwenden (Car-roll et al. 1992):

• Nichtrelativistische Materie:

ΩM =8πGρM

3H20

(2.17)

• Vakuumdichte (Kosmologische Konstante)

ΩΛ ≡ λ =8πGρvac

3H20

=Λ

3H20

. (2.18)

Die Krummung wird durch einen analogen Parameter beschrieben:

Ωk = − k

R20H

20

. (2.19)

Die Friedmann–Gleichung (2.6) lautet daher:

R2

R2=

8πG

3ρM +

Λ

3− k

R2, (2.20)

beziehungsweise

R

R= H0E(z) = H0

[

ΩM(1 + z)3 + Ωk(1 + z)2 + ΩΛ

]1/2

= H0

[

(1 + ΩMz)(1 + z)2 − ΩΛz(2 + z)]1/2

. (2.21)

Wertet man diese Beziehung fur t = t0 bzw. z = 0 aus, so erhalt man den einfachenZusammenhang:

ΩM + ΩΛ + Ωk = 1 . (2.22)

Das Modell ist also durch die drei Parameter ΩM, ΩΛ und H0 gekennzeichnet, alleanderen Parameter sind dadurch eindeutig festgelegt. Die heutige Raumkrummungk/R2

0 ist beispielsweise durch (2.22) und (2.19) gegeben zu

k

R20

= H20 (ΩM + ΩΛ − 1) . (2.23)

2Theorien mit perfekter Supersymmetrie sagen anscheinend eine verschwindende kosmologischeKonstante voraus (Weinberg 1989)


2.2 Eine andere Parametrisierung

Das Friedmann–Robertson–Walker–Modell des Universums benotigt, wie gesehen,drei Parameter. Davon ist die Hubble–Konstante, H0, allgemein gebrauchlich. An-stelle von ΩM und ΩΛ werden vor allem in alteren Arbeiten zum Teil aber auch dieParameter σ0 und q0 benutzt. Der Zusammenhang zu ΩM und ΩΛ ist der folgende:

σ0 =ΩM

2und q0 =

ΩM

2− ΩΛ , (2.24)

bzw.

ΩM = 2σ0 und ΩΛ = σ0 − q0 . (2.25)

σ0 ist der Dichteparameter, q0 der Abbrems– oder Dezelerationsparameter (cf. Glei-chung (2.1)).

Die allgemeine Definition des Abbremsparameters ist

q0 := − R(t0)R(t0)

R(t0)2= − R(t0)

H20R0

. (2.26)

Die Friedmann–Gleichung (2.20) kann geschrieben werden als:

R2 = ΩMH20

R30

R+ ΩΛH

20R2 + ΩkR

20H

20 . (2.27)

Die zeitliche Ableitung davon ergibt

R = −ΩMH20R

30

2R2+ ΩΛH

20R . (2.28)

Dies ausgewertet zur Zeit t = t0 und eingesetzt in (2.26) ergibt den obigen Zusam-menhang zwischen q0 und ΩM und ΩΛ.

In vielen Arbeiten, die vorgeben, den Abbremsparameter zu bestimmen (diessind vor allem Arbeiten zu den klassischen Tests, siehe Kapitel 3), wird ΩΛ = 0angenommen, bzw. σ0 = q0. Ein solches Ergebnis darf dann nicht auf die Kur-ve ΩM/2 − ΩΛ = q0 in der ΩM–ΩΛ–Ebene extrapoliert werden, sondern muß alsBestimmung von ΩM/2 unter der Annahme ΩΛ = 0 verstanden werden.

Es wird oft behauptet, die klassischen geometrischen Tests wurden direkt denAbbremsparameter bestimmen, was mit der Entwicklung (2.4) begrundet wird, indie kein dynamisches Modell eingeht. Tatsachlich wird aber immer zur Interpretati-on der Beobachtungen das Friedmann–Modell verwendet, so daß stets die Parameterdieses Modells gemessen werden. Unter der Annahme ΩΛ = 0 bzw. q0 = σ0 wirddann die Mattig–Formel, eine analytische Losung der Friedmann–Gleichung, in derForm

R0r(z) =c

H0q20(1 + z)

q0z + (q0 − 1)[

−1 +√

1 + 2q0z]

(2.29)

verwendet (Sandage 1995; eine Herleitung dieser Beziehung findet sich bei Peebles1993, hier aber mit ΩM geschrieben).

2.3 Losungen der Friedmann–Gleichung

Zur Losung der Friedmann–Gleichung benotigt man eine Anfangsbedingung: Dazusetzt man den heutigen Wert des Skalenfaktors fest, also

R(t = t0) = R0 , (2.30)

2.3. LOSUNGEN DER FRIEDMANN–GLEICHUNG 21

und berucksichtigt, daß das Universum derzeit expandiert:

R(t0) > 0 . (2.31)

Die Friedmann–Gleichung muß im allgemeinen numerisch gelost werden. Es gibtanalytische Losungen fur einige Spezialfalle, z. B. fur das Einstein–de Sitter–Univer-sum mit ΩM = 1 und ΩΛ = 0. In diesem Fall ergibt sich :

R(t) ∝ t2/3 . (2.32)

Fur einige Weltmodelle wird in den Abbildungen 2.1. . . 2.4 der Verlauf des aufden heutigen Wert normierten Skalenparameters R(t) in Abhangigkeit von der aufdie Hubble–Zeit H−1

0 normierten Zeit aufgetragen. Zur Losung der Friedmann–Gleichung wurde ein von Felten & Isaacman (1985) angegebenes Verfahren benutzt,bei dem die Losung R(t) von t = t0 ausgehend schrittweise durch Taylorentwicklungbis zur zweiten Ordnung fortgesetzt wird. Sei die Losung im Punkte t bekannt, soerhalt man fur die Losung im benachbarten Punkt t+ ∆t:

R(t+ ∆t) ≈ R(t) + R(t)∆t+1

2R(t)∆t2. (2.33)

Die Friedmann–Gleichung und ihre zeitliche Ableitung werden nun verwendet, umR(t) und R(t) durch R(t) auszudrucken. Damit erhalt man einen Ausdruck furR(t + ∆t), der nur von R(t) und den kosmologischen Parametern abhangt. Vont+ ∆t ausgehend kann man dann R(t+ 2∆t) berechnen und so fort.

2.3.1 Raumlich flache Modelle

In Abbildung 2.1 sind Modelle mit k = 0, also ΩM + ΩΛ = 1, gezeigt. Modelle mitΩM < 1 sind offen, d. h. sie expandieren bis ins Unendliche. Die oberste Kurve stelltdas de Sitter–Universum mit ΩM = 0 und ΩΛ = 1 dar: Die Friedmann–Gleichungzeigt, daß in diesem Fall R/R = H = const. ist, d. h. das Universum expandiertexponentiell:

R(t) ∝ eHt. (2.34)

Modelle mit ΩM > 1 erreichen in der Zukunft ein Maximum (R = 0) und kollabierendann wieder. Das Einstein–de Sitter–Modell mit ΩM = 1 und ΩΛ = 0 stellt denGrenzfall dar: Es expandiert ins Unendliche, aber mit Grenzgeschwindigkeit 0:

limt→∞

R(t) = 0 . (2.35)

2.3.2 Modelle mit ΩΛ = 0

Abbildung 2.2 zeigt Modelle mit verschwindender Kosmologischer Konstante, ΩΛ =0. Wieder expandieren Modelle mit ΩM < 1 ins Unendliche, solche mit ΩM > 1kollabieren; das Einstein–de Sitter–Modell ist wiederum der Grenzfall.

2.3.3 Bounce–Modelle

In Abbildung 2.3 sind Modelle mit ΩM = 0.5 und ΩΛ in der Gegend von 2 gezeigt.Das Modell mit ΩM = 0.5 und ΩΛ = 2.0 ist ein Eddington–Lemaıtre–Modell. In die-sen Modellen strebt der Skalenfaktor fur t → −∞ asymptotisch gegen einen festenWert Rmin. Modelle mit ΩΛ > 2 durchlaufen in der Vergangenheit ein Minimumdes Skalenfaktors; man bezeichnet diese Modelle als Bounce–Modelle oder Nichtur-knallmodelle. Die Modelle mit ΩΛ < 2 dagegen sind Urknallmodelle, d. h. zu einemZeitpunkt in der Vergangenheit ist R = 0.


H0(t− t0)

R

R0

a b

c

d

e

f

−1.0 0.0 1.0 2.0

1.0

2.0

Abbildung 2.1: Flache Weltmodelle. Kurvenparametrisierung durch (ΩM,ΩΛ).a. . . (0.0,1.0); b. . . (0.3,0.7); c. . . (0.7,0.3); d. . . (1.0,0.0); e. . . (1.3,−0.3); f. . . (1.5,−0.5)

H0(t− t0)

R

R0

a

bc

d

e

f

−1.0 0.0 1.0 2.0

1.0

2.0

Abbildung 2.2: Weltmodelle mit ΩΛ = 0. Kurvenparametrisierung durch (ΩM,ΩΛ).a. . . (0.0,0.0); b. . . (0.3,0.0); c. . . (0.7,0.0); d. . . (1.0,0.0); e. . . (2.0,0.0); f. . . (4.0,0.0)


Die Bedingung dafur, daß ein Modell in der Vergangenheit ein Minimum desSkalenfaktors aufweist, ist R(t) = 0 fur t < t0, bzw.

E(z)2 = ΩM(1 + z)3 + Ωk(1 + z)2 + ΩΛ = 0 fur 0 < z < 1 . (2.36)

Dies ist eine kubische Gleichung in (1+ z). Durch die Ersetzung x := (1+ z)−1 undDivision durch ΩΛ wird diese Gleichung in die reduzierte Form

x3 +Ωk

ΩΛx+

ΩM

ΩΛ= 0 (2.37)

uberfuhrt (ΩΛ 6= 0). Das Losungsverhalten dieser Gleichung wird durch ihre Diskri-minante bestimmt; das Eddington–Lemaıtre–Modell ergibt sich, falls die Diskrimi-nante verschwindet:

D =

(

Ωk

3ΩΛ

)3

+

(

ΩM

2ΩΛ

)2

= 0 . (2.38)

Damit kann man zu jedem ΩM einen kritischen Wert fur ΩΛ angeben (Felten &Isaacman 1985, Carroll et al. 1992):

ΩΛcrit,1 = 4ΩM

Ck

[

1

3C

−1k

(

1 − ΩM

ΩM

)]3

. (2.39)

Dabei ist

Ck(x) =

coshx ; ΩM < 1/2x ; ΩM = 1/2

cosx ; ΩM > 1/2. (2.40)

Fur Modelle mit ΩΛ > ΩΛcrit,1 ist die Diskriminante D negativ, die Gleichung(2.36) hat daher drei reelle Losungen, davon zwei mit 0 < x = R/R0 < 1. Bei dergroßeren dieser Losungen hat R(t) ein Minimum, d. h. es liegt ein Bounce–Modellvor. Die kleinere der beiden positiven Losungen stellt ein zeitlich geschlossenes Ur-knallmodell mit Maximum Rmax < R0 dar; diese Losung erfullt jedoch nicht dieAnfangsbedingung R(t0) = R0.

2.3.4 Zeitlich offene und geschlossene Modelle

In Abbildung 2.4 ist die entsprechende Situation in der Zukunft am Beispiel derModelle mit ΩM = 4 gezeigt. Das Modell mit ΩΛcrit = 0.3472248 strebt gegeneinen konstanten Wert Rmax, Modelle mit ΩΛ < ΩΛcrit kollabieren, solche mitΩΛ > ΩΛcrit expandieren exponentiell ins Unendliche. Analog zu den Eddington–Lemaıtre–Modellen kann man wiederum zu jedem ΩM einen kritischen Wert fur ΩΛ

angeben, der den Grenzfall zwischen zeitlich offenen und geschlossenen Modellendarstellt:

ΩΛcrit,2 = 4ΩM cos3

1

3arccos

1 − ΩM

ΩM+

4π

3

. (2.41)

Auch diese Beziehung folgt aus der Bedingung, daß die Diskriminante der Gleichung(2.36) verschwindet. Fur ΩΛ < ΩΛcrit,2 ist die Diskriminante negativ, es gibt zweinegative Losungen fur x = R/R0 und eine positive mit x > 1 (ein Maximum inR(t), d. h. die physikalische Losung ergibt ein zeitlich geschlossenes Urknallmodell.

Man kann also die zweiparametrige Losungsschar der Friedmann–Gleichung inverschiedene Losungsklassen einteilen (siehe auch Stabell & Refsdal 1966). Die zu-gehorige Aufteilung der ΩΛ–ΩM–Ebene ist in Abbildung 2.5 gezeigt. Aufgetragensind hier die Gerade k = 0 (ΩM + ΩΛ = 1), die Gerade ΩΛ = 0, die Kurve derEddington–Lemaıtre–Modelle (Gleichung 2.39) sowie die Grenzkurve zwischen kol-labierenden und nicht kollabierenden Modellen (Gleichung 2.41).


H0(t− t0)

R

R0

a

b

c

d e f

−2.0 −1.0 0.0 1.0 2.0

1.0

2.0

Abbildung 2.3: Weltmodelle mit und ohne Urknall. Kurvenparametrisierung durch(ΩM,ΩΛ). a. . . (0.5,2.5); b. . . (0.5,2.05); c. . . (0.5,2.0); d. . . (0.5,1.995); e. . . (0.5,1.95); zumVergleich f. . . (1.0,0.0)

H0(t− t0)

RR0

a b

c

d

ef

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

1.0

2.0

Abbildung 2.4: Zeitlich offene und geschlossene Weltmodelle. Kurvenparametrisie-rung durch (ΩM,ΩΛ). a. . . (1.0,0.0); b. . . (4.0,0.4); c. . . (4.0,0.35); d. . . (4.0,0.347 248);e. . . (4.0,0.34); f. . . (4.0,0.3)


ΩΛ

ΩM

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

1.0

2.0

3.0

4.0

Abbildung 2.5: Aufteilung der Parameterebene (ΩM,ΩΛ) nach Losungsklassen derFriedmann–Gleichung


2.4 Zeitabhangigkeit der Parameter

Die Werte, die ein Beobachter fur die Parameter ΩM und ΩΛ mißt, hangen vomZeitpunkt t der Messung ab. Die allgemeinen zeitabhangigen Definitionen der Pa-rameter lauten

ΩM(t) =8πGρ(t)

3H2(t)(2.42)

und

ΩΛ(t) =Λ

3H2(t). (2.43)

Die Zeitabhangigkeit der Materiedichte ist gegeben durch

ρ(t) = ρ0R3

0

R3(t), (2.44)

die des Hubble–Parameters durch

H(t) = H0E(R0/R(t) − 1) (2.45)

mit E(z) aus Gleichung (2.21). Setzt man dies und (1 + z) = R0/R(t) in die Defi-nitionen der Parameter ein, so ergibt sich fur die zeitabhangigen Parameter

ΩM(t) = Ω0M

1

Ω0M + Ω0

k(R/R0) + Ω0Λ(R/R0)3

(2.46)

und

ΩΛ(t) = Ω0Λ

(R/R0)3

Ω0M + Ω0

k(R/R0) + Ω0Λ(R/R0)3

. (2.47)

Die zeitliche Entwicklung der meßbaren Parameter in Weltmodellen mit ver-schiedenen Startwerten (Ω0

M und Ω0Λ bei t = t0) ist in Abbildung 2.6 dargestellt.

Außer bei den beiden Bounce–Modellen beginnt die Entwicklung bei t = 0 bei allenModellen im Einstein–de Sitter–Modell. Zeitlich offene Modelle streben fur t → ∞gegen das de Sitter–Modell (ΩM = 0, ΩΛ = 1). Die zeitlich geschlossenen Modellemit ΩΛ < 0 laufen ins Unendliche (da H = 0 im Umkehrpunkt des Skalenfaktors)und dann auf dem gleichen Weg wieder zuruck, um als Einstein–de Sitter–Modellim “Big Crunch” zu enden. Bounce–Modelle streben fur t → ±∞ gegen das deSitter–Modell, die Parameterwerte divergieren hier im Minimum.

Fur das Modell mit Ω0M = Ω0

Λ = 0.5 sind log ΩM(t) und log ΩΛ(t) in Abbildung2.7 geplottet. Aus dem Verlauf von ΩM(t) in Abbildung 2.7 wird der Kern desDicke–Peebles–Arguments (Peebles 1993, S. 364) fur das Einstein–de Sitter–Modelldeutlich: Fur H0(t − t0) >∼ 1/2 ist im offenen Universum R/R0 ≫ 1 und R ∼exp(H0t/

√ΩΛ), so daß ΩM ∼ R−3, also log ΩM ∼ −t verlauft. Wenn wir also

den Wertebereich von ΩM(t) in Dekaden (0.1,1], (0.01,0.1] und so fort aufteilen,so bedeutet dies, daß ΩM wahrend gleicher Zeitspannen in den einzelnen Dekadenliegt:

∆t(

ΩM ∈ (10−1, 10−2])

≃ ∆t(

ΩM ∈ (10−4, 10−3])

≃ . . . (2.48)

ΩΛ(t) liegt in diesem Modell nur kurze Zeit bei Werten < 0.1, so daß es nichtuberraschend ist, daß ein zufallig in der Zeit plazierter Beobachter ΩΛ ∼ 1 mißt.Warum aber, so fragen Dicke und Peebles, sollten wir ausgerechnet zu der Epocheleben, in der ΩM und ΩΛ in der gleichen Großenordnung liegen, insbesondere, warumsollte ΩM ∈ (0.1, 1] sein? Dieses Zusammentreffen der Großenordnungen von ΩM

und ΩΛ wurde einen ausgezeichneten Zeitpunkt in der Geschichte des Universumsdarstellen, und die Tatsache, daß wir eben zu diesem Zeitpunkt vorhanden sind,stunde im Widerspruch zum Kopernikanischen Prinzip.

2.4. ZEITABHANGIGKEIT DER PARAMETER 27

ΩΛ

ΩM

-4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4.

1.2.

3.4.

Abbildung 2.6: Zeitliche Entwicklung von Weltmodellen mit Startwerten (Ω0M,Ω

0Λ) in der

Parameterebene. Rechnungen jeweils bis funf Hubble–Zeiten in die Zukunft und Vergan-genheit. Die Kurven konnen durch ihre Startpunkte identifiziert werden: (0.3, 0), (1,−3),(2,−4), (2,−1), (4, 1), (1, 1), (0.5, 0.5), (1, 3), (1, 5) im Uhrzeigersinn von unten beginnend.


H0(t− t0)

log Ω(t) log ΩM

log ΩΛ

0. 1. 2. 3. 4.

-4.

-3.

-2.

-1.

0.

0. 1. 2. 3. 4.

-4.

-3.

-2.

-1.

0.

Abbildung 2.7: Zeitabhangige Parameter ΩM(t) und ΩΛ(t) in dem Modell mit Ω0M =

Ω0Λ = 0.5.

2.5. AUSSCHLUSS VON BOUNCE–MODELLEN 29

Einen Ausweg aus diesem Dilemma bietet das Einstein–de Sitter–Modell, da hierΩM(t) = 1 = const. und ΩΛ(t) = 0 = const. gilt, also alle Zeitpunkte bezuglich derMessung der kosmologischen Parameter gleichberechtigt sind. Das Dicke–Peebles–Argument wird daher von vielen als gewichtiges theoretisches Argument fur dasEinstein–de Sitter–Modell angesehen.

Man muß aber beachten, daß Argumente von der Art des Dicke–Peebles–Argu-ments hochstens Plausibilitatsargumente sind, die auf a priori Wahrscheinlichkeitenbasieren, die allein aus den kinematischen Eigenschaften verschiedener Weltmodellefolgen. Um zu sinnvollen Aussagen zu gelangen, die in irgendeiner Form einen Beob-achter involvieren, reicht dies aber nicht aus! Insbesondere geht das Dicke–Peebles–Argument von einer Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit fur das Auftreten intel-ligenter Beobachter aus. Tatsachlich hangt diese Wahrscheinlichkeitsverteilung vonden physikalischen Bedingungen im Universum ab: Im fruhen Universum fuhreninsbesondere die hohe Temperatur der Hintergrundstrahlung, die hohe allgemei-ne Materiedichte und der kurze Zeitraum, der zur Bildung ausreichend langlebigerHauptreihensterne zur Verfugung stand, zu einer Absenkung der Wahrscheinlichkeitfur das Auftreten intelligenter Beobachter. Im spaten Universum durfte die großeZahl ausgebrannter Weißer Zwerge, Neutronensterne und Schwarzer Locher sowiedie allgemeine Anreicherung schwerer Elemente den gleichen Effekt haben. Es istalso plausibel, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilung fur das Auftreten intelligenterBeobachter ein Maximum hat, welches (in Anbetracht der Beobachtungstatsache,daß wir vorhanden sind) moglicherweise so liegt, daß die Wahrscheinlichkeitsvertei-lung fur die zu beobachtenden kosmologischen Parameter ebenfalls ein Maximumbei (ΩM,ΩΛ) ∈ (0.1, 1] × (0.1, 1] hat.

Auch diese Argumente sind selbstverstandlich nur Plausibilitatsargumente: Einesaubere Quantifizierung samtlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die fur Argu-mente von der Art des Dicke–Peebles’schen relevant sind, ist derzeit noch nichtmoglich. Allerdings zeigen die oben genannten Argumente, wie man dem Dicke–Peebles–Argument entkommen kann, und starken die meiner Arbeit zugrundelie-gende Philosophie, daß die Werte der kosmologischen Parameter in erster LinieBeobachtungssache sind.

2.5 Ausschluß von Bounce–Modellen

In den Bounce–Modellen gibt es eine maximale beobachtbare Rotverschiebung; dieseergibt sich als positive reelle Wurzel aus dem Polynom

E(z) = ΩM(1 + z)3 + (1 − ΩM − ΩΛ)(1 + z)2 + ΩΛ = 0 . (2.49)

Die Linien mit konstantem zmax in der ΩM–ΩΛ–Ebene sind die Geraden

ΩM =zmax + 2

(zmax + 1)2ΩΛ − 1

zmax. (2.50)

Diese sind in Abbildung 2.8 gezeigt. Fur großeres zmax wird der Achsenabschnittpositiver; gleichzeitig nimmt die Steigung der Gerade ab. Da aber ein Schnittpunktim Bounce–Gebiet physikalisch unsinnig ist, werden in diesem Gebiet die Geradenzmax = const. im wesentlichen nach oben verschoben. Daraus folgt, daß, falls einParameter festgehalten wird, die maximal mogliche Rotverschiebung auf der Grenz-kurve, also im entsprechenden Eddington–Lemaıtre– Modell auftritt. Wir haben alsofur ΩΛ = const. (Carroll et al. 1992):

zmax ≤ zc = 2 Ck

[

1

3C

−1k

(

1 − ΩM

ΩM

)]

− 1. (2.51)


ΩΛ

ΩM

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Abbildung 2.8: Maximale Rotverschiebung in Bounce–Modellen. Von rechts nach links:zmax = 0.6, 0.8, 1, 2 .

ΩM

zmax

0.5 1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

Abbildung 2.9: Maximale Rotverschiebung in Eddington–Lemaıtre–Modellen inAbhangigkeit von ΩM

2.5. AUSSCHLUSS VON BOUNCE–MODELLEN 31

Dabei ist zc die maximale Rotverschiebung im Eddington–Lemaıtre–Modell mit ΩM

und ΩΛcrit,1 nach Gleichung (2.39). Abbildung 2.9 zeigt die maximale Rotverschie-bung in Eddington–Lemaıtre–Modellen in Abhangigkeit von ΩM.

Der Quasar mit der hochsten beobachteten Rotverschiebung ist PC 1247+ 3406bei z = 4.897 (Schneider et al. 1991). Diese Rotverschiebung (unter der Annahme,daß sie kosmologischen Ursprungs ist) ist nach Gleichung (2.51) und den Abbildun-gen 2.9 und 2.8 nur beobachtbar in Eddington–Lemaıtre–Modellen (und a fortiori inBounce–Modellen) mit ΩM < 0.01. Da schon dynamische Abschatzungen der Massein reichen Galaxienhaufen ΩM > 0.01 ergeben (siehe Kapitel 7 und Peebles 1993)und dynamische Tests uber großere Skalen auf ΩM > 0.1 hinweisen (cf. Kapitel 7),konnen Bounce–Modelle im folgenden von der Diskussion ausgeschlossen werden.

Kapitel 3

Klassische Tests

Zur Bestimmung der Parameter des Friedmann–Robertson–Walker–Modells sollzunachst die Geometrie des Universums untersucht werden. Die prinzipielle Idee da-bei ist, aus Messungen von Langen und Winkeln Informationen uber die Krummungdes Raumes zu erhalten. Als Markierungspunkte in kosmologisch interessanten Ent-fernungen dienen dabei Galaxien, Radiogalaxien und Quasare; wir nehmen derEinfachheit halber an, daß diese Fundamentalbeobachter sind, d. h. daß ihre mit-bewegten Koordinaten r, ϑ und ϕ konstant sind: Die Rotverschiebungen der furklassische Tests verwendeten Objekte liegen im Bereich ∼ 0.5 . . . 4, wahrend Pe-kuliargeschwindigkeiten von Galaxien in unserer Umgebung (bis ∼ 150h−1Mpc)typischerweise <∼ 1000km s−1 betragen, entsprechend einer Dopplerverschiebungzpec ∼ 3 × 10−3 ≪ zcosm. Den irdischen Beobachter legen wir in den Ursprungr = 0 des Koordinatensystems.

Wir betrachten jetzt die Entfernung einer Galaxie mit der Radialkoordinater. Als erstes Entfernungsmaß dient die Rotverschiebung z der Galaxie, und es sollzunachst der Zusammenhang zwischen der Radialkoordinate r und der Rotverschie-bung z hergeleitet werden. Dazu wird in der Robertson–Walker–Metrik (1.7) langseiner Nullgeodate integriert:

r(z)∫

0

dr′√1 − kr′2

=

t0∫

tem

dt

R(t). (3.1)

Die linke Seite kann elementar aufintegriert werden, in die rechte wird die Substi-tution dt = dR/R eingefuhrt:

S−1k (r(z)) =

R0∫

Rem

dR

RR=

R0∫

Rem

dR

R2(

R/R)

=

zem∫

0

dz

R0H0E(z).

Dabei wurde die Friedmann–Gleichung (2.21) verwendet, und der Skalenfaktor wur-de nach Gleichung (1.12) durch die Rotverschiebung ersetzt. Die Funktion Sk istwie in Gleichung (1.9) definiert. Man erhalt also fur die Koordinatenentfernung:

r(z) = Sk

1

R0H0

z∫

0

dz′

E(z′)

32

3.1. WINKELDURCHMESSERENTFERNUNG 33

= Sk

|Ωk|1/2

z∫

0

dz′

E(z′)

. (3.2)

Fur die lineare Radialkoordinate χ = S−1k (r) ergibt sich einfacher:

χ(z) = |Ωk|1/2

z∫

0

dz′

E(z′). (3.3)

Der einfachste physikalische Entfernungsbegriff ist der der Eigenentfernung. Un-ter dem Eigenabstand zweier raumartig getrennter Ereignisse versteht man in derRelativitatstheorie bekanntlich den raumlichen Abstand, gemessen in einem Be-zugssystem, in dem die Ereignisse gleichzeitig sind. Um die Eigenentfernung ei-ner Galaxie bei r(z) zum heutigen Zeitpunkt t0 zu bestimmen, muß man in derRobertson–Walker–Metrik langs eines Weges mit dt = 0 integrieren:

dprop = −∫

ds = R0

r(z)∫

0

dr′√1 − kr′2

, (3.4)

also

dprop = R0 S−1k (r(z)) =

c

H0

z∫

0

dz′

E(z′). (3.5)

Dabei wurde die Lichtgeschwindigkeit c explizit geschrieben.

Im kosmologischen Rahmen sind Eigenentfernungen prinzipiell nicht meßbar,da unsere Beobachtungsmoglichkeiten immer auf den Ruckwartslichtkegel einge-schrankt sind und daher grundsatzlich dt 6= 0 zur Folge haben. Durch Verknupfungder Rotverschiebung mit anderen Beobachtungsgroßen konnen aber weitere Ent-fernungsmaße definiert werden, die den gleichen Informationsgehalt haben wie diekonzeptionell einfachere Eigenentfernung.

3.1 Die Winkeldurchmesserentfernung

(Angular Size Distance)

In Analogie zum euklidischen Raum kann uber die Beziehung zwischen dem schein-baren Winkeldurchmesser ϑ und dem physikalischen Durchmesser ℓ eines ausge-dehnten Objekts ein Maß fur die Entfernung des Objekts definiert werden, dieWinkeldurchmesserentfernung (im englischen angular size distance):

dang =ℓ

ϑ. (3.6)

Der Winkel zwischen zwei Lichtstrahlen im Universum bleibt wegen der Isotropieder Expansion zeitlich konstant. Um den scheinbaren Durchmesser ϑ eines Objektsmit Durchmesser ℓ zu bestimmen, muß man daher in der Robertson–Walker–Metrikzum Zeitpunkt der Lichtemission uber den Winkel integrieren:

ℓ = −∫

ds = R(tem)r(z)

ϑ∫

0

dϑ′ =R0r(z)ϑ

1 + z. (3.7)

34 KAPITEL 3. KLASSISCHE TESTS

Dabei wurde ohne Beschrankung der Allgemeinheit das Koordinatensystem so ge-dreht, daß dϕ = 0 langs ℓ. Fur die Winkeldurchmesserentfernung ergibt sich somit:

dang =R0r(z)

1 + z=

R0

1 + zSk

|Ωk|1/2

z∫

0

dz′

E(z′)

=c

H0|Ωk|−1/2(1 + z)−1

Sk

|Ωk|1/2

z∫

0

dz′

E(z′)

. (3.8)

Dieser Ausdruck hangt von den kosmologischen Parametern H0, ΩM und ΩΛ ab,wobei relative Entfernungen sogar nur von ΩM und ΩΛ abhangen. Betrachtet mandaher eine Objektklasse, deren Vertreter einen einheitlichen physikalischen Durch-messer haben und sich uber einen weiten Rotverschiebungsbereich verteilen, so kannman aus der beobachteten Beziehung zwischen Winkeldurchmesser und Rotver-schiebung die Parameter ΩM und ΩΛ bestimmen (H0 konnte prinzipiell ebenfallsbestimmt werden, falls der Durchmesser der Objekte hinreichend genau definiertund absolut bekannt ware.).

3.1.1 Radiogalaxien

In der Vergangenheit wurde der ϑ–z–Test auf Radiogalaxien und Radioquasare,kompakte Radioquellen, Galaxien und Galaxienhaufen angewendet.

Radiogalaxien und Radioquasare mit ihrer charakteristischen Doppelstrukturhaben den Vorteil, daß sie sehr leuchtkraftig und ausgedehnt, also bis zu sehrgroßen Rotverschiebungen sichtbar und auflosbar sind, wobei hier die starke Auf-losungsfahigkeit der Radiointerferometrie (VLA, VLBI) zum Tragen kommt. Ra-diogalaxien vom Typ Fanaroff–Riley 2 (Fanaroff & Riley 1974) besitzen einen klardefinierten Durchmesser, namlich den Abstand der heißen Flecken in den außerenBereichen der Radiodoppelkeulen.

Fruhe Arbeiten (z. B. Legg 1970, Miley 1971, Kellermann 1972, Wardle & Mi-ley 1974) verwendeten sehr inhomogene Samples, die klassische Doppelquellen mitDreifachquellen, Objekten, bei denen nur eine Keule sichtbar ist, und kompaktenQuellen vermischten. Ein neueres Sample von Nilsson et al. (1993), welches nur auf-geloste Doppelquellen vom Typ FR 2 umfaßt, bestatigt aber das allgemeine Bild:Die Streuung der Winkeldurchmesser bei fester Rotverschiebung ist sehr groß, esgibt aber eine recht scharfe obere Begrenzung, die etwa ∼ z−1 verlauft. Dabeizeigt sich eine gute Kontinuitat zwischen Radiogalaxien und Radioquasaren (cf.Fig. 5 in Nilsson et al. 1993), ein Hinweis auf eine vereinheitlichte Theorie der ak-tiven Galaxienkerne. Der z−1–Verlauf der beobachteten ϑ–z–Beziehung entsprichtder ersten Ordnung der erwarteten Beziehung in einem Friedmann–Universum undwurde exakt gelten in einem euklidischen Raum, in dem sich alle Galaxien gemaßdem Hubble–Gesetz voneinander entfernen.

Bei der Interpretation des ϑ–z–Diagramms mussen allerdings weitere Effekteberucksichtigt werden: Korrelationen zwischen dem Durchmesser ℓ der Radioquellenund der Rotverschiebung z einerseits und der Radioleuchtkraft P andererseits.

Bei einer ℓ–z–Korrelation handelt es sich einfach um kosmische Evolution derRadioquellen. Um die beobachtete ϑ–z–Beziehung mit der Vorhersage in Friedmann–Universen in Einklang zu bringen, mußte man annehmen, daß die radioemittie-renden Strukturen mit der kosmischen Zeit großer wurden, so daß bei großerenRotverschiebungen relativ zu kleine Winkeldurchmesser beobachtet werden. Da dieRadioemission von Radiogalaxien ein kurzlebiges Phanomen ist (∼ 0.1 Gyr, Cham-bers et al. 1990), ist ein galaxienintrinsischer Ursprung der Evolution des maximalenDurchmessers von Radiogalaxien (Dies ist eine statistische Große) unwahrscheinlich.


Vielmehr wird der Einfluß der ∼ (1+z)3 zunehmenden Dichte des intergalaktischenoder zirkumgalaktischen Mediums als Ursache der ℓ–z–Korrelation diskutiert. DieAusdehnung der Radioquellen ist dabei durch ein Gleichgewicht zwischen dem in-ternen Druck der heißen Flecken am Ende des Plasmastroms und dem Staudruckdes umgebenden heißen Mediums bestimmt. Abschatzungen dieses Effekts lieferneine Korrelation von etwa ℓ ∼ (1+z)−1.5 (z. B. Barthel & Miley 1988, Kapahi 1989).Korrigiert man die Vorhersagen von Friedmann–Modellen um diese Korrelation, soergibt sich eine recht gute Anpassung an die beobachtete ϑ–z–Beziehung.

Die beobachtete ϑ–z–Beziehung kann auch uber eine inverse P–ℓ–Korrelationmit Friedmann–Modellen in Einklang gebracht werden. Jackson (1974) schlug eineinfaches Modell vor, in dem die fur die Radioemission verantwortlichen Jets freimit konstanter Geschwindigkeit v expandieren, wahrend gleichzeitig die Radiole-uchtkraft exponentiell abnimmt. Er fand die Beziehung

ϑ ∝ 1

dangln

(

P

4πd2angf(1 + z)5+α

)

, (3.9)

wobei f das Flußdichtelimit eines flußlimitierten Samples und α der Spektralindexder Quelle sind.

Als ein weiteres Modell fur eine P–ℓ–Korrelation wurde vorgeschlagen, daß eseine scharfe Obergrenze fur die gesamte in Form von Radiostrahlung emittierteEnergie gibt. Dadurch ergibt sich eine Antikorrelation zwischen der Radioleuchtkraftund dem Volumen bzw. dem linearen Durchmesser des radioemittierenden Gebiets:ℓ ∼ P−4/9.

Abbildung 3.1 zeigt die Daten aus dem Sample von Nilsson et al. (1993), dazudrei Friedmann–Modelle mit (ΩM,ΩΛ) =(1, 0), (0.1, 0) sowie (0.1, 0.9), ein Evolu-tionsmodell mit ℓ ∝ z−1.5 (ΩM = 1,ΩΛ = 0), ein Korrelationsmodell nach Jackson(1973), Gleichung (3.9) mit dem Spektralindex α = −0.8 (entsprechend dem Mittel-wert in Nilsson et al.’s Daten) und eine einfache z−1–Relation. Die Normierung undeventuelle weitere Konstanten in den Modellen wurden nach Augenmaß angepaßt,es handelt sich bei der Abbildung nicht um einen sauberen statistischen Fit (DieKorrektur nach dem P–ℓ–Korrelationsmodell sollte eigentlich bei den individuellenDatenpunkten angebracht werden).

Den augenscheinlich besten Fit ergibt das (physikalisch unmotivierte) z−1–Gesetz.Die reinen Friedmann–Modelle beschreiben die Daten sehr schlecht; insbesonderesagen die Modelle bei hohen Rotverschiebungen um einen Faktor 3 . . . 5 zu großemaximale Winkeldurchmesser voraus. Die notwendige Korrektur — ob in Form ei-ner P–ℓ– oder einer ℓ–z–Korrelation — ist mindestens so groß wie der Unterschiedzwischen den betrachteten Weltmodellen. Beide Korrelationen ergeben recht guteFits an die Daten. Allerdings konnte auch mit unabhangigen Methoden, z. B. derUntersuchung des Zusammenhangs zwischen dem Winkeldurchmesser und der beob-achteten Radioflußdichte, die Frage, welche der beiden Korrelationen eine wie großeRolle spielt, noch nicht geklart werden und bleibt kontrovers. Nilsson et al. (1993)finden in ihren Daten eine hohere Signifikanz fur eine P–ℓ–Korrelation (konnen aberEvolution nicht ausschließen); nach Korrektur um ihre empirisch gefundene Korre-lation sind die Daten sowohl mit Friedmann–Modellen mit (ΩM,ΩΛ) = (1, 0) alsauch mit Modellen mit (ΩM,ΩΛ) = (0, 0) konsistent.

Die Streuung der Datenpunkte (bedingt durch die Streuung der intrinsischenphysikalischen Parameter) und die zu unscharfe obere Grenze machen eine strengestatistische Analyse schwierig; die Große und Unsicherheit der notwendigen Kor-rekturen machen den ϑ–z–Test bei Radiogalaxien und Quasaren unbrauchbar furdie Bestimmung der kosmologischen Parameter.


z

Win

keld

urch

mes

ser

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

50.0

100.

015

0.0

200.

025

0.0

300.

035

0.0

z

Win

keld

urch

mes

ser

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

50.0

100.

015

0.0

200.

025

0.0

300.

035

0.0

z

Win

keld

urch

mes

ser

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

50.0

100.

015

0.0

200.

025

0.0

300.

035

0.0

z

Win

keld

urch

mes

ser

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

50.0

100.

015

0.0

200.

025

0.0

300.

035

0.0

z

Win

keld

urch

mes

ser

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

50.0

100.

015

0.0

200.

025

0.0

300.

035

0.0

z

Win

keld

urch

mes

ser

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

50.0

100.

015

0.0

200.

025

0.0

300.

035

0.0

z

Win

keld

urch

mes

ser

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

50.0

100.

015

0.0

200.

025

0.0

300.

035

0.0

Abbildung 3.1: ϑ–z–Diagramm fur Radiogalaxien und Radioquasare (Daten von Nilssonet al. 1993). Die Modellkurven entsprechen (bei z = 1.5 von oben nach unten):

Friedmann–Modell ΩM = 1.0, ΩΛ = 0

Friedmann–Modell ΩM = 0.1, ΩΛ = 0

Friedmann–Modell ΩM = 0.1, ΩΛ = 0.9

Friedmann–Modell ΩM = 0.3, ΩΛ = 0.7 mit Korrektur fur P–ℓ–Korrelation nach Gleichung

(3.9)

“Euklidisches” Modell ϑ ∝ z−1

Friedmann–Modell ΩM = 1.0, ΩΛ = 0 mit Evolutionskorrektur ℓ ∝ z−1.5


3.1.2 Kompakte Radioquellen

Kellermann (1993a, b) untersucht die ϑ–z–Beziehung fur ein Sample von 82 kompak-ten Radioquellen. Kompakte Radioquellen haben gegenuber ausgedehnten Quellenzwei Vorteile:

• Ihre linearen Durchmesser liegen im Bereich von einigen Parsec, d. h. die ra-dioemittierenden Regionen sind weit kleiner als die Muttergalaxien, so daß sienicht mit dem sich entwickelnden intergalaktischen Medium in Wechselwir-kung treten.

• Die typische Lebensdauer von kompakten Radioquellen betragt ∼ 102 Jahre,so daß sie keiner kosmologischen Evolution unterliegen.

Der Nachteil der kompakten Radioquellen gegenuber den ausgedehnten Quellenvom Typ FR 2 ist, daß die Radiohelligkeit stetig vom Zentrum nach außen hinabnimmt, d. h. ein eindeutiger Radius ist nicht definierbar. Kellermann nimmt alsWinkelgroße einer Quelle den Abstand vom Zentrum zu dem am weitesten entfern-ten Punkt, in dem die Flachenhelligkeit 2 % der zentralen Flachenhelligkeit betragt.Der dieser Winkelgroße entsprechende lineare Durchmesser ist allerdings außer vomkosmologischen Modell zusatzlich vom Helligkeitsprofil der Quelle abhangig (sieheAbschnitt 3.1.3).

Kellermann verteilt seine Daten auf sieben Rotverschiebungsbins im Bereichz ∼ 0.04 . . .3 und findet, daß die gebinnten Daten mit dem Einstein–de Sitter–Modell mit (ΩM,ΩΛ) = (1, 0) konsistent sind. Dieses Ergebnis beruht allerdingsnur auf einem visuellen Vergleich zwischen den Datenpunkten und den theoretischvorhergesagten Kurven im ϑ–z–Diagramm.

Kayser (1995) und Stepanas & Saha (1995) unterziehen Kellermanns Daten einerstrengen statistischen Untersuchung. Beide finden, daß das Ergebnis stark von derLage der Rotverschiebungsbins abhangt; insbesondere Figure 3 in Stepanas & Saha(1995) zeigt dies deutlich. Durch das Binning geht in diesem Fall zu viel Informationverloren, und es werden gleichzeitig zu viele zusatzliche freie Parameter eingefuhrt,als daß sich aus den gebinnten Daten sinnvolle statistische Aussagen ableiten ließen.Kayser (1995) verwendet einen Kolmogorov–Smirnov–Test und vergleicht die Datenmit Vorhersagen aus 300×300 Weltmodellen mit ΩM = 0 . . . 10 und ΩΛ = −5 . . .+5.Er findet, daß die Daten mit den Modellen in fast der gesamten Parameterebenemit einer Signifikanz 10% konsistent sind; ΩM > 0.2 mit der marginalen Signifikanzvon 10%. Stepanas & Saha (1995) schließen ϑ ∝ z−1 mit einer Signifikanz von> 99% aus; dies ist der bisher uberzeugendste Hinweis darauf, daß die beobachteteϑ–z–Beziehung mit den Vorhersagen der Friedmann–Modelle konsistent ist.

Die Streuung der Datenpunkte (Kayser 1995 zeigt die ungebinnten Datenpunk-te) ist auch bei den kompakten Radioquellen zu groß, als daß sich aus ihnen gutestatistische Aussagen uber die kosmologischen Parameter machen lassen konnten.Zudem ist die Zahl der verfugbaren Daten noch zu klein, um etwa eine saubere obe-re Einhullende fur die maximal mogliche Quellengroße zu definieren. Wie bei denausgedehnten Radioquellen liegt die Ursache fur die Streuung der Winkeldurchmes-ser in der Streuung der intrinsischen physikalischen Parameter, z. B. der mittlerenEnergie der Elektronen.

3.1.3 Hellste Haufengalaxien

Djorgovski & Spinrad (1981) wenden den ϑ–z–Test auf ein Sample von 25 hellstenund zweithellsten Haufengalaxien mit Rotverschiebungen zwischen ∼ 4× 10−3 und∼ 1.2 an. Bei den meisten Objekten handelt es sich um große elliptische Galaxien,


bei einigen hoherrotverschobenen Galaxien konnte die Morphologie nicht eindeu-tig festgestellt werden, so daß sich auch einige Spiralgalaxien im Sample befindenkonnten.

Bei Galaxien stellt sich wie bei den kompakten Radioquellen das Problem, daßsich ein scharfer Durchmesser nicht eindeutig definieren laßt. Um den ϑ–z–Test an-wenden zu konnen, benotigt man ein Maß fur einen metrischen Durchmesser derGalaxien. Ein isophotaler Winkeldurchmesser, definiert durch eine Isophote mit vor-gegebener Flachenhelligkeit, ist unzureichend, da der zugehorige metrische Durch-messer von der Entfernung der Galaxie abhangt1. Djorgovski & Spinrad verwendendaher Petrosians η–Parameter (Petrosian 1976, Tinsley 1976), das Verhaltnis dermittleren Flachenhelligkeit innerhalb eines Radius rs zu der Flachenhelligkeit beidiesem Radius:

η(rs) =〈SB〉rs

SBrs

. (3.10)

Als Maß fur einen metrischen Galaxiendurchmesser dient der Winkeldurchmessereiner Isophote, die einem vorgegebenen Wert η entspricht. Die Beziehung zwischenη und dem zugehorigen metrischen Radius rs hangt nur noch vom Helligkeitsprofilder Galaxien ab; nimmt man an, daß das Helligkeitsprofil (insbesondere der charak-teristische Radius, z. B. der Effektivradius) bei allen Galaxien im Sample gleich ist,so entspricht der beobachtete Winkeldurchmesser einem festen intrinsischen Durch-messer.

Die Daten von Djorgovski & Spinrad sind in Abbildung 3.2 gezeigt. Es fallt auf,daß die Streuung der Datenpunkte im Vergleich zu den Radioquellen (Abbildung3.1) klein ist, so daß die statistische Auswertung einfacher ist; allerdings ist dieZahl der verwendeten Daten sehr klein. Die “euklidische” Beziehung stellt wiederden besten Fit dar, die Friedmann–Modelle beschreiben die Daten weniger gut.

Eine Maximum–Likelihood–Analyse der Daten im Rahmen von Friedmann-Mo-dellen fuhrt zu einem besten Weltmodell mit (2σ–Fehler)

ΩM = −0.6+3.2−2.2 ΩΛ = −0.25+2.7

−2.7 . (3.11)

Der unphysikalische negative Wert fur ΩM deutet darauf hin, daß hier systematischeEffekte auftreten (unter der Annahme, daß die Friedmann–Kosmologie richtig ist).Hierfur kommen in Frage:

• Malmquist–Bias: Bei hohen Rotverschiebungen werden vorwiegend leucht-kraftigere Galaxien beobachtet; diese sind intrinsisch großer (großerer Effek-tivradius).

• Eine Helligkeitsevolution kann eine Rolle spielen, falls sie mit einer Anderungdes Helligkeitsprofils oder Farbgradienten einhergeht.

• Dynamische Entwicklung: Es gibt Anzeichen dafur, daß auch bei moderatenRotverschiebungen bis ∼ 1 Galaxienverschmelzungen eine Rolle gespielt ha-ben (z. B. Bahcall & Tremaine 1988). Dies hatte zur Folge, daß bei kleinerenRotverschiebungen intrinsisch großere Galaxien beobachtet werden. Wird die-ser Effekt nicht korrigiert, so ergibt der ϑ–z–Test ein zu kleines ΩM. Zur reinenGroßenentwicklung kommt schließlich noch die erhohte Sternentstehungsratebei verschmelzenden Galaxien hinzu; deren Auswirkung auf den ϑ–z–Test laßtsich kaum kontrollieren.

1Dies macht man sich anhand einer Scheibe konstanter Flachenhelligkeit klar: Ist die Scheibenah genug, daß die beobachtete Flachenhelligkeit uber dem Detektionslimit liegt, so entspricht derbeobachtete (isophotale) Winkeldurchmesser dem wahren metrischen Durchmesser der Scheibe; istsie dagegen so weit entfernt, daß die beobachtete Flachenhelligkeit unter der Beobachtungsgrenzeliegt, so betragt ihr scheinbarer Durchmesser Null, entsprechend einem metrischen DurchmesserNull. Der isophotale Winkeldurchmesser ist daher kein Maß fur einen konstanten intrinsischenDurchmesser.


log z

ϑ

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Abbildung 3.2: ϑ–z–Diagramm fur 25 hellste Haufengalaxien (Daten aus Djorgovski &Spinrad 1981). Die Modellkurven entsprechen von oben nach unten: (ΩM,ΩΛ) = (1, 0),(ΩM,ΩΛ) = (0,−0.25), ϑ ∝ z−1.

Der Vorteil des ϑ–z–Tests bei hellsten Haufengalaxien ist die geringe Streuung derDatenpunkte (siehe Abbildung 3.2) im Vergleich zu Radioquellen. Allerdings ma-chen auch hier systematische Effekte den ϑ–z–Test fur die Bestimmung der kosmo-logischen Parameter unbrauchbar.

Mutz et al. (1994) untersuchen die Verteilung der Winkelskalenlangen der Schei-ben eines Samples von mit dem Hubble Space Telescope beobachteten Spiralgala-xien. Auch hier ist die intrinsische Streuung der Skalenlangen zu groß, als daß sichaus der ϑ–z–Verteilung die kosmologischen Parameter bestimmen ließen.

3.1.4 Galaxienhaufen

Eine Reihe von Autoren hat versucht, den ϑ–z–Test auf charakteristische Großenvon Galaxienhaufen anzuwenden. Ein Problem ist hierbei, ein geeignetes Maß fureinen charakteristischen Haufendurchmesser zu finden. Bruzual & Spinrad (1978)bestimmen den Abbremsparameter q0 = ΩM/2 unter der Annahme ΩΛ = 0 auseinem Sample von 44 Galaxienhaufen. Als charakteristischen Großenparameter ver-wenden sie den Kernradius, der aus der Anpassung eines dreiparametrigen Modellsfur die Flachenhelligkeitsverteilung bestimmt wurde. Sie erhalten

ΩM = 0.46 ± 1.02 . (3.12)

Hickson & Adams (1979) untersuchen Hicksons (1977) Sample von 99 Galaxien-haufen, wobei als charakteristische Große das harmonische Mittel der Abstande der40 hellsten Haufengalaxien, korrigiert fur die endliche Apertur, diente. Außerdemunterziehen sie das Sample von Bruzual & Spinrad (1978) einer neuen Untersu-chung, wobei ΩΛ ebenfalls als freier Parameter betrachtet wird. Sie erhalten furbeide Samples mit einer Signifikanz von 1σ negative Werte fur ΩM, was sie alsHinweis auf Evolution der Haufengroßen interpretieren.


Dieser eindeutige Hinweis auf Evolution sowie Hinweise darauf, daß sich vieleGalaxienhaufen noch nicht im dynamischen Gleichgewicht befinden, fuhrten dazu,daß der ϑ–z–Test fur Galaxienhaufen seither nicht weiter verfolgt wurde.

Bei allen diskutierten Arbeiten zum ϑ–z–Test zeigt sich, daß sich das prinzipiellvorhandene Potential dieses Tests zur Bestimmung der kosmologischen Parameterin der Praxis aufgrund zu großer intrinsischer Streuungen und systematischer Kor-relationen und Entwicklungseffekte nicht realisieren laßt.

3.2 Die Leuchtkraftentfernung

— Das Hubble–Diagramm

Die Leuchtkraftentfernung eines Objekts bei r(z) ist definiert durch die zum eu-klidischen Raum analoge Beziehung zwischen seiner bolometrischen Leuchtkraft Lund der gemessenen bolometrischen Flußdichte f :

f =L

4πd2lum

, (3.13)

bzw. fur scheinbare und absolute bolometrische Helligkeiten:

mbol = Mbol − 5 log dlum + const. (3.14)

Die vom Beobachter gemessene Flußdichte des Objektes ist bestimmt durch dreiEffekte:

• die geometrische Verdunnung der Strahlung auf eine Kugel mit der Ober-flache 4πR2

0r(z)2. Dies erhalt man aus der Robertson-Walker-Metrik durch

Winkelintegration zum Zeitpunkt der Beobachtung.

• Die Energie der einzelnen Photonen ist durch die kosmologische Rotverschie-bung im Bezugssystem des Beobachters um einen Faktor (1 + z) gegenuberdem Bezugssystem des Emitters erniedrigt.

• Ebenso ist der Photonenstrom (Zahl der Photonen durch die Detektorflachepro Zeiteinheit) um einen Faktor (1 + z) erniedrigt.

Damit erhalt man

f =L

4πR20r(z)

2(1 + z)2, (3.15)

so daß sich fur die Leuchtkraftentfernug ergibt:

dlum(z) = R0r(z) (1 + z) = dang(z) (1 + z)2 , (3.16)

also

dlum(z) =c

H0

(1 + z)

|Ωk|1/2 Sk

|Ωk|1/2

z∫

0

dz′

E(z′)

. (3.17)

Die bolometrische m–z–Relation (3.14) — das Hubble–Diagramm — ist in Ab-bildung 3.3 gezeigt. Bei z = 3 betragt der Unterschied zwischen den außersten dergezeigten Weltmodelle etwa zwei Magnituden.

In der Praxis werden keine bolometrischen Helligkeiten gemessen, sondern Hel-ligkeiten in einem begrenzten Wellenlangenbereich. Wegen der kosmologischen Rot-verschiebung stimmt das Beobachtungsband nicht mit dem Wellenlangenbereichuberein, in dem die Strahlung emittiert wurde. Daher ist ein Korrekturterm−2.5 log(1+z) anzubringen, der die Anderung der Bandbreite berucksichtigt, sowie

3.2. LEUCHTKRAFTENTFERNUNG 41

z

sch.

Hel

ligke

it

1.0 2.0 3.0

34.0

32.0

30.0

28.0

26.0

24.0

z

sch.

Hel

ligke

it

1.0 2.0 3.0

34.0

32.0

30.0

28.0

26.0

24.0

z

sch.

Hel

ligke

it

1.0 2.0 3.0

34.0

32.0

30.0

28.0

26.0

24.0

z

sch.

Hel

ligke

it

1.0 2.0 3.0

34.0

32.0

30.0

28.0

26.0

24.0

Abbildung 3.3: Bolometrische m–z–Relation (Hubble-Diagramm) fur vier Weltmodelle.Von oben nach unten: (ΩM,ΩΛ)=(0.1, 0.9), (0.1, 0), (1, 0), (2, 0).

eine Korrektur, die die spektrale Energieverteilung der Quelle modelliert. Letzte-re kann aus einer lokalen Population der gleichen Objektklasse statistisch relativproblemlos bestimmt werden. Beide Terme werden zur K–Korrektur Kλ(z) zusam-mengefaßt; sie betragt ∼ 1 mag fur gE–Galaxien im R–Band bei z ∼ 1 (Sandage1995), ist also mit dem Unterschied in verschiedenen Weltmodellen vergleichbar.

Zusatzlich muß eine Evolutionskorrektur Eλ(z) hinzugefugt werden, da mit zu-nehmender Rotverschiebung Objekte beobachtet werden, die junger sind und sichin einem fruheren Entwicklungsstadium befinden als lokale Vergleichsobjekte. Diem–z–Beziehung lautet damit:

mλ = Mλ −Kλ(z) − Eλ(z) − 5 log dlum + const. (3.18)

Die praktische Seite des m–z–Tests (Aperturkorrekturen und ahnliches) wird vonSandage (1988, 1995) eingehend behandelt.

3.2.1 Hellste Haufengalaxien

Der m–z–Test war lange Zeit der Hoffnungstrager bei der Bestimmung der kosmolo-gischen Parameter, ein Status, den der Test seit etwa 10 Jahren weitgehend verlorenhat. In den siebziger Jahren erschien eine Reihe von Arbeiten, die die Parameter ausdem Hubble–Diagramm fur die hellsten Galaxien in Galaxienhaufen zu bestimmenversuchten; eine Auswahl ist in Tabelle 3.1 aufgefuhrt. Diese Arbeiten maßen opti-sche Helligkeiten — meist im V –Band —, die Streuung der absoluten Helligkeitenlag etwa bei σ(MV ) ∼ 0.4 (Gunn & Oke 1975). Die Autoren bestimmten zumeistq0 unter der Annahme Λ = 0, also q0 = ΩM/2.

Man sieht in Tabelle 3.1, daß die bestimmten Werte fur q0 teilweise sehr starkstreuen, insbesondere der Wert von Kristian et al. (1978) fallt stark aus dem Rah-men. Die ubrigen drei Arbeiten deuten auf negatives q0 hin, also auf eine be-schleunigte Expansion des Universums. Im Rahmen der Friedmann–Kosmologie mitΩΛ = 0 ist dies naturlich unmoglich. Die Fehler, die in der Tabelle angegeben sind,


Referenz q0(ΩΛ = 0) zmax

Gunn & Oke (1975) −0.15±0.57 0.4Kristian et al. (1978) 1.6±0.5 0.4Hoessel et al. (1980) −0.55±0.45 0.15Lebofsky (1981) −0.05±0.30 0.5

Tabelle 3.1: Arbeiten zum m–z–Test mit hellsten Haufengalaxien unter der AnnahmeΩΛ = 0 ohne Evolutionskorrektur.

stellen rein formale Fehler dar, die nur die Gute der Modellanpassung an die Datenbeschreiben. Tatsachlich war auch damals schon klar, daß Evolution der Galaxien-leuchtkrafte eine Rolle spielen mußte. Die bekannten Entwicklungsmodelle zu derZeit waren noch sehr einfach und beschrankten sich meist auf analytische Naherun-gen wie

tdMV

dt= 1 − 0.25x , (3.19)

wobei x die Steigung der anfanglichen Massenverteilung (IMF, Salpeter 1955) be-deutet (Tinsley 1978). Den Ergebnissen in Tabelle 3.1 ist daher heute keine Bedeu-tung mehr beizumessen.

3.2.2 Radiogalaxien im K–Band

Anfang der achtziger Jahre wurden die ersten detaillierteren Entwicklungsmodellefur Galaxien entwickelt (Populationssynthesemodelle, siehe auch Abschnitt 5.6.3),insbesondere von Bruzual A. (1983)2. Damit konnten die Entwicklungseffekte in derGalaxienphotometrie und ihre Auswirkungen auf das Hubble–Diagramm genaueruntersucht werden.

Der zweite große Fortschritt das Hubble–Diagramm betreffend war die Entwick-lung von Infrarot–Detektoren, die es erlaubten, das Hubble–Diagramm im K–Bandzu konstruieren (Lilly & Longair 1984). Das K–Band–Hubble–Diagramm hat ge-genuber dem bei kurzeren Wellenlangen eine Reihe von Vorteilen:

• ImK–Band wird Licht empfangen, welches vorwiegend von kuhleren, massear-men und daher langlebigen Sternen stammt. Daher sind die Evolutionskorrek-turen im K–Band kleiner als in den von massereicheren Sternen dominiertenoptischen Bandern.

• Ebenso ist der Einfluß von Sternentstehung im K–Band klein; dies fuhrt zueiner geringeren Streuung der absoluten Galaxienhelligkeiten.

• Da der Verlauf typischer Galaxienspektren im Nah–Infrarot mehr oder weni-ger flach ist, sind auch die notigen K–Korrekturen geringer als bei kurzerenWellenlangen (Spinrad & Djorgovski 1987).

Abbildung 3.4a zeigt das V –Band–Hubble–Diagramm fur hellste Haufengalaxienund 3CR– und 1 Jy–Radiogalaxien (aus Spinrad 1986), Abbildung 3.4b das entspre-chende Diagramm im K–Band mit den Daten von Lilly & Longair (1984) und Lillyet al. (1985) (aus Spinrad & Djorgovski 1987). Die Streuuung der V –Helligkeitenbetragt bei z ∼ 1 fast zwei Magnituden, die der K–Helligkeiten dagegen nur etwaeine Magnitude; auch wenn man Daten von Galaxien bei hoheren Rotverschiebun-gen hinzufugt (siehe Abschnitt 5.6), nimmt die Streuung im K–Band erst fur z >∼ 2ein wenig zu (Eales et al. 1993). Zusatzlich zu den Daten sind Modellkurven fur

2Dabei handelt sich um Bruzuals Dissertation; sie liegt mir nicht vor.

3.2. LEUCHTKRAFTENTFERNUNG 43

Abbildung 3.4: V – und K–Band–Hubble–Diagramme fur hellste Haufengalaxien undRadiogalaxien (aus Spinrad 1986 und Spinrad & Djorgovski 1987). Zum Vergleich sindEntwicklungsmodelle nach Bruzual eingezeichnet.


ΩM = 0 und ΩM = 1 (ΩΛ = 0) mit den c– und µ–Modellen3 von Bruzual (1983)eingezeichnet, die die Daten in etwa einrahmen. Im V –Band sind auch die Vorhersa-gen ohne Evolutionskorrekturen eingetragen; es ist klar, daß diese bei z >∼ 1 viel zuschwache Helligkeiten vorhersagen. Um die Daten ohne Evolution zu beschreiben,brauchte man unrealistisch hohe Werte ΩM ∼ 5 (Wampler 1987). Im V –Band sinddie Evolutionskorrekturen (z. B. der Unterschied der q0 = 0 Modelle fur µ = 0.5und µ = 0.7) von der gleichen Großenordnung wie die Unterschiede in verschiede-nen kosmologischen Modellen (die beiden Modelle mit µ = 0.5). Dagegen sind dieUnterschiede zwischen den c– und den µ–Modellen im K–Band kleiner als die Un-terschiede zwischen den ΩM = 0 und ΩM = 1 Modellen. Dennoch ist die Streuungder K– Helligkeiten noch groß genug, um eine einigermaßen genaue Bestimmungder kosmologischen Parameter zu verhindern, insbesondere, da einige Effekte nochnicht berucksichtigt wurden:

• Die Modelle in Abbildung 3.4 wurden nur fur ΩΛ = 0 berechnet. Ein zweiterfreier kosmologischer Parameter neben ΩM erschwert die Bestimmung nochweiter.

• Die Evolutionsmodelle berucksichtigen nur die reine Leuchtkraftentwicklung.Tatsachlich muß auch noch die dynamische Entwicklung berucksichtigt wer-den, insbesondere das Aufsaugen kleinerer Galaxien durch die betrachtetenmassiven Radiogalaxien und hellsten Haufengalaxien (Kannibalismus).

• Die Frage nach einer moglichen Korrelation zwischen Radioleuchtkraften undden optischen und infraroten absoluten Helligkeiten ist noch nicht geklart(z. B. Yates et al. 1987). Eine derartige Korrelation hatte einen Malmquist–Bias im Hubble–Diagramm zur Folge, da bei hohen Rotverschiebungen nur dieradiohellsten Galaxien gefunden werden, die dann auch uberdurchschnittlicheoptische und infrarote Helligkeiten hatten.

In Anbetracht all dieser Unsicherheiten wird der m–z–Test heute als ungeeignet furdie Bestimmung der kosmologischen Parameter angesehen.

Der m–z–Test konnte allerdings in naher Zukunft eine Renaissance erfahren,indem er auf Supernovae vom Typ Ia angewandt wird (Goobar & Perlmutter 1995).Sollte das ubliche Modell von Supernovae Ia zutreffen, nach dem hier ein WeißerZwerg in einem engen Doppelsternsystem Materie von seinem Begleiter aufsaugtund so seine Masse die Chandrasekhar–Grenze uberschreitet, dann sollten diese Su-pernovae sehr gute Standardkerzen mit kleiner Streuung in der maximalen Helligkeitsein. Die Durchfuhrbarkeit der Suche nach einer ausreichenden Zahl von Supernovaewurde kurzlich von Perlmutter et al. (1995) gezeigt.

3.3 Galaxienzahlungen

Die physikalische Große eines mitbewegten Volumens, also eines Volumens, dessenOberflache in mitbewegten Koordinaten r, ϑ und ϕ konstant ist, hangt von derGeometrie des Universums und somit von den kosmologischen Parametern ab. Einsolches Volumen laßt sich durch Galaxienzahlungen ausmessen, falls die mitbewegteAnzahldichte von Galaxien bekannt ist (Im einfachsten Fall wird diese konstantsein.). Die Zahlung von Galaxien in Abhangigkeit von der Rotverschiebung (N–z–Test) oder der scheinbaren Helligkeit (N–m–Test) bietet daher im Prinzip eineweitere Moglichkeit, die kosmologischen Parameter zu bestimmen.

3c–Modelle verwenden eine konstante Sternentstehungsrate uber den Zeitraum τ , µ–Modelleeine exponentiell abfallende Sternentstehungsrate, deren Zeitskala durch den Parameter µ gegebenist.

3.3. GALAXIENZAHLUNGEN 45

3.3.1 N–z–Test

Ein Volumelement dV bei einer Rotverschiebung z ist gleich dem Produkt derFlache d2

ang(z) dω (mit dem Raumwinkelelement dω = sinϑ dϑ dϕ) und dem ra-

dialen Durchmesser R(1 − kr2)−1/2 dr:

dV = d2ang(z) dω ·R(z)

dr√1 − kr2

= d2ang dωR |Ωk|1/2 dz

E(z)

=c

H0d2ang

dz dω

(1 + z)E(z). (3.20)

Mit einer Galaxiendichte n(z) ergibt sich somit fur differentielle Galaxienzahlungenim Einheitsraumwinkel:

dN

dz=n(z) dV

dz= n(z)

c

H0

d2ang(z)

(1 + z)E(z). (3.21)

Ist die mitbewegte Galaxiendichte konstant, so ist n(z) = n0(1 + z)3, wobei n0 dieheutige, lokal beobachtete Galaxiendichte ist, und

dN

dz= n0

c

H0

d2ang(1 + z)2

E(z). (3.22)

In der Praxis ist die Galaxiendichte durch die Leuchtkraftfunktion gegeben. Eineeinfache Parametrisierung ist die Schechterform (Schechter 1976):

ΦT(L) = Φ∗

T

(

L

L∗T

)αT

e−L/L∗T d

(

L

L∗T

)

, (3.23)

wobei der Index T darauf hinweisen soll, daß sich fur unterschiedliche morphologi-sche Galaxientypen bzw. unterschiedliche Farben i. a. unterschiedliche Leuchtkraft-funktionen ergeben (z. B. Fig.2 in Shanks 1990).

Die Leuchtkraftfunktion wird in einem Friedmann–Robertson–Walker–Univer-sum nicht zeitlich konstant sein. An den drei Parametern Φ∗

T, L∗T und αT lassen

sich die moglichen Entwicklungseffekte aufzeigen:

Φ∗T . . . Die mitbewegte charakteristische Galaxiendichte kann durch Verschmelzung

(merging) und Neubildung von Galaxien zeit- und damit rotverschiebungs-abhangig werden.

L∗T . . . Die charakteristische Galaxienleuchtkraft wird durch eine gleichmaßige Leucht-

kraftevolution der Galaxienpopulation zeitabhangig. Da bei einer praktischenDurchfuhrung des N–z–Tests uber die Leuchtkraftfunktion integriert wird(s. u.), macht sich dieser Effekt nur durch die Flußbegrenzung des Samples inder unteren Integrationsgrenze bemerkbar. Er kann daher abgemildert wer-den, indem man zu schwacheren Grenzhelligkeiten geht und so weiter zumleuchtschwachen Ende der Leuchtkraftfunktion hin beobachtet.

αT . . . Durch differentielle Leuchtkraftentwicklung (Abhangigkeit der Entwicklungvon der Farbe oder vom Galaxientyp; dies kann eine Rolle spielen, falls diebetrachteten Galaxienklassen zu großzugig gewahlt werden) andert sich dieForm der Leuchtkraftfunktion, parametrisiert durch αT.


Fur die Galaxiendichte ergibt sich somit in einem flußbegrenzten Sample:

n(z) = (1 + z)3∑

T

∞∫

Lmin(z;mmax)

ΦT(L, z) dL , (3.24)

wobei sich die Summe uber die nT betrachteten morphologischen Galaxientypen4

erstreckt und Lmin die dem Helligkeitslimit mmax bei der Rotverschiebung z ent-sprechende Galaxienleuchtkraft ist. Die Lmin–z–Beziehung hangt naturlich nachGleichung (3.18) von den kosmologischen Parametern (und von der K–Korrektur)ab. (Beim N–z–Test ist im Prinzip ein volum- bzw. z–begrenztes Sample vorzuzie-hen; hier muß allerdings bei z < zmax die scheinbare Helligkeit bestimmt werden, diedem Vollstandigkeitslimit bei zmax entspricht, so daß auch hier die kosmologischenParameter sowie die K–Korrektur ins Spiel kommen.)

Es ist klar, daß die 3nT potentiell evolutionsabhangigen Parameter Φ∗T, L∗

T undαT eine Bestimmung der kosmologischen Parameter ΩM und ΩΛ erheblich storenbzw. ganz unmoglich machen.

Als Beispiel fur einen Versuch, mit Hilfe des N–z–Tests ΩM und ΩΛ zu bestim-men, moge die Arbeit von Loh & Spillar (1986) dienen (siehe auch Loh 1986 undLoh 1988). Ihr Sample bestand aus 406 Galaxien bis z ≈ 0.85. Unter Annahme eineruniversellen Schechter–Leuchtkraftfunktion mit konstanten Parametern Φ∗, L∗ undα (unabhangig vom Galaxientyp) erhielten sie (Loh 1986, 95%–Konfidenzlimits):

ΩM − ΩΛ = 0.9+0.7−0.5 − 1.5 < ΩM + ΩΛ < 7.1 , (3.25)

bzw. unter der durch das Inflationsszenario motivierten Annahme eines flachen Uni-versums (Ωk = 0):

ΩM = 0.9+0.4−0.2 ΩΛ = 0.1+0.2

−0.4 . (3.26)

Dieses Ergebnis wurde zum Zeitpunkt seiner Veroffentlichung als starker Hinweisdarauf gewertet, daß wir in einem Einstein–de Sitter–Universum leben. Bahcall &Tremaine (1988) wiesen jedoch auf zwei Effekte hin, durch die das Ergebnis in Fragegestellt wird:

• Laßt man die unterschiedliche Leuchtkraftentwicklung von Spiralgalaxien undelliptischen Galaxien unberucksichtigt (Die Leuchtkraft von elliptischen Gala-xien nimmt durch passive Evolution mit der Zeit ab, wahrend die Leuchtkraftvon Spiralgalaxien wegen der anhaltenden Neubildung von Sternen etwa kon-stant bleibt), so wird ΩM uberschatzt. Nach einer Abschatzung von Bahcall& Tremaine liegt dieser Effekt in der Großenordnung ∆ΩM ∼ 1.

• Berucksichtigung von Galaxienverschmelzung, insbesondere des Aufsaugenskleiner Satellitengalaxien durch leuchtkraftige Galaxien, fuhrt zu großerenΩM–Werten. Bahcall & Tremaine schatzen diesen Effekt ab zu ∆ΩM ∼ 2.

Evolutionseffekte haben also einen sehr starken Einfluß auf die bestimmten Werteder kosmologischen Parameter. Andererseits konnen die Entwicklungseffekte nichtgenau genug modelliert werden, als daß sich aus dem N–z–Test sinnvolle Ein-schrankungen fur ΩM und ΩΛ machen ließen.

3.3.2 N–m–Test

Galaxienzahlungen in Abhangigkeit von der scheinbaren Helligkeit sind beobach-tungstechnisch einfacher durchzufuhren als der N–z–Test, da keine Rotverschie-bungen benotigt werden. Die verwendeten Samples sind daher großer und reichen

4z. B. nT = 2, falls nur zwischen elliptischen und Spiralgalaxien unterschieden wird.

3.3. GALAXIENZAHLUNGEN 47

zu großeren Rotverschiebungen. Die Interpretation der Daten hingegen ist eher nochschwieriger.

Die theoretischeN–m–Beziehung liegt parametrisiert in den beiden Beziehungen

dN

dz=

c

H0n(z)d2

ang

(1 + z)2

E(z)(3.27)

sowiem = M − 5 log dlum + const. (3.28)

vor. Bei Beobachtung in einem bestimmten Wellenlangenband muß naturlich auchdie K–Korrektur berucksichtigt werden.

Zur Bestimmung der in der Praxis erwarteten N–m–Beziehung muß wieder uberdie Leuchtkraftfunktion integriert und uber den morphologischen Mix summiertwerden, so daß hier die gleichen Evolutionseffekte auftreten wie beim N–z–Test,allerdings wegen der großeren Samplereichweite noch in verscharfter Form.

Galaxienzahlungen werden heute vor allem zur Untersuchung der Evolution vonGalaxien verwendet, die Abhangigkeit von den kosmologischen Parametern erscheintdazu sekundar.

Kapitel 4

Gravitationslinsen

4.1 Allgemeines

Der Gravitationslinseneffekt ist ein starkes Instrument zur Untersuchung der Geo-metrie des Universums. Seine große Reichweite (im Prinzip nur begrenzt durch dieHelligkeit der abgebildeten Quasare) stutzt die Hoffnung, mit seiner Hilfe die kos-mologischen Parameter bestimmen oder wenigstens einschranken zu konnen. Eineinzelnes Linsensystem ist hierzu allerdings kaum brauchbar, da hier durch dieNotwendigkeit zu genauer Modellierung der Linsengalaxie (und eventuell beitra-gender Galaxienhaufen) die Abhangigkeit von der Kosmologie weitgehend unter-druckt wird. Fur kosmologische Untersuchungen ist die Gravitationslinsenstatistikerheblich aussagekraftiger, da sich hier die Abhangigkeit von den Eigenschaften deseinzelnen Linsensystems zum großen Teil herausmittelt und das statistische Sam-ple daher gut durch ein einfacheres Modell beschrieben werden kann. Im folgendensollen kurz einige Grundlagen der Gravitationslinsenstatistik bereitgestellt werden.

Abbildung 4.1 zeigt schematisch die Struktur eines einfachen Linsensystems be-stehend aus der Quelle Q (meist ein Quasar), einer Linse L (eine Galaxie) sowie demBeobachter B auf der Erde. Sei α der Ablenkwinkel des Lichtstrahls bei der Linsen-galaxie und β der Winkel, um den das Bild des Quasars von seiner unverschobenenPosition abweicht. Dann gilt (fur kleine Winkel):

αdang(L → Q) = β dang(B → Q) . (4.1)

Mit den angular size distances1

dang(L → Q) =R0

1 + zQSk(χQ − χL) (4.2)

und

dang(B → Q) =R0

1 + zQSk(χQ) (4.3)

kann man einfacher schreiben:

α Sk(χQ − χL) = β Sk(χQ) . (4.4)

Als kosmologisch besonders interessante Großen in der Gravitationslinsenstati-stik haben sich die optische Tiefe fur Mehrfachabbildung durch Gravitationslinsen-effekt sowie der mittlere Bildabstand erwiesen.

1χ ist die lineare mitbewegte Koordinate (Gleichung 1.8), man kann daher verschiedene χ–Werte einfach addieren oder voneinander subtrahieren. Dies gilt nicht fur das nichtlineare r.

48

4.1. ALLGEMEINES 49

-dang(B → Q)

-dang(B → L)

-dang(L → Q)

x x

x

B L

Q

(((((((((((((((((((((((((((((

XXXXXXXXXXXX

β

α

Abbildung 4.1: Schema eines Gravitationslinsensystems. B. . . Beobachter, L. . . Linse,Q. . . Quelle

Die Anzahl von Galaxien in einer Kugelschale in der Entfernung χ ist

n0(1 + z)3 dV = 4πn0(1 + z)3d2ang(χ)Rdχ

= 4πn0(1 + z)3R2

0

(1 + z)2S

2k(χ)

R0

1 + zdχ

= 4πn0R30 S

2k(χ) dχ . (4.5)

Um den Wirkungsquerschnitt einer Galaxie zu bestimmen, benotigt man einModell fur die Massenverteilung der Galaxie. Als ein fur die Statistik brauchbareseinfaches Modell hat sich die singulare isotherme Sphare (SIS) erwiesen (Schneideret al. 1992, S. 243); hier hat die Massenverteilung die Form

M(r) ∝ r bzw. ρ(r) ∝ r−2 . (4.6)

Der Winkel α, um den ein Lichtstrahl beim Passieren einer SIS abgelenkt wird, istunabhangig vom Impaktparameter und betragt

α = 4π(σ‖

c

)2

. (4.7)

σ‖ ist dabei die eindimensionale Geschwindigkeitsdispersion der Sterne der Galaxielangs der Sehlinie und ein Maß fur die Gesamtmasse der Galaxie.

Das Bild des QSO ist um den Winkel

β = βcrit = 4π(σ‖

c

)2 Sk(χQ − χL)

Sk(χQ)(4.8)

gegen seine wahre Position verschoben. Ist der Winkel zwischen der wahren Qua-sarposition und der Linse kleiner als βcrit, so beobachtet man zwei Bilder mit demBildabstand ϑ = 2βcrit (dazu ein schwaches Bild dazwischen, welches im Falle einerecht singularen Massenverteilung die Intensitat 0 hat); ist der Winkel großer alsβcrit, so sieht man nur ein Bild.

Der Wirkungsquerschnitt fur Mehrfachlinseneffekt ist daher πβ2crit, und die Wahr-

scheinlichkeit, daß ein beliebiger Quasar von einer bestimmten Galaxie mehrfachabgebildet wird, ist πβ2

crit/4π = β2crit/4.

50 KAPITEL 4. GRAVITATIONSLINSEN

Die optische Tiefe fur Mehrfachlinseneffekt (bis zur Quasarentfernung χQ) aneiner Galaxienpopulation mit konstanter Anzahldichte ist damit

τ =

χQ∫

0

dχL 4πn0R30 S

2k(χL) · β

2crit

4

= n0πR30α

2

χQ∫

0

[

Sk(χL) Sk(χQ − χL)

Sk(χQ)

]2

dχL . (4.9)

1τ

dτdχ

∣

∣

∣

χL

ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Quasar von einer Linse bei χL mehrfach

abgebildet wird, der zugehorige Bildabstand ist ∆ϑ = 2βcrit. Der Erwartungswertfur den Bildabstand eines Quasars bei χQ ist daher

〈∆ϑ〉 =1

τ

χQ∫

0

2n0πα3R3

0 S2k(χL)

[

Sk(χQ − χL)

Sk(χQ)

]3

dχL . (4.10)

Die Integrale in den Gleichungen (4.9) und (4.10) sind elementar losbar (siehe Gott,Park & Lee 1989). Abbildung 4.2 zeigt den Verlauf von τ und 〈∆ϑ〉 in Abhangigkeitvon der Quasarrotverschiebung in verschiedenen Weltmodellen.

4.2 Effekte eines antipodischen Punktes

Gott, Park & Lee (1989) weisen darauf hin, daß man aus der Tatsache, daß derQuasar 2016+112 (Lawrence et al. 1984) ein normales Mehrfachlinsensystem ist,Einschrankungen fur die kosmologischen Parameter gewinnen kann.

In Weltmodellen mit spharischer Geometrie (k = +1) gilt:

r = sinχ = sin

|Ωk|1/2

z∫

0

dz′

E(z′)

, (4.11)

d. h. r ist eine periodische Funktion von χ. Fur χ = π/2 erreicht r ein Maximum undnimmt fur χ > π/2 wieder ab. Bei χ = π ist r = 0, man spricht vom antipodischen

Punkt. Die Existenz eines antipodischen Punktes hat deutliche Auswirkungen aufdie Statistik von Linsensystemen und das Aussehen eines gelensten Quasars, dersich in der Nahe dieses Punktes befindet. Wie Abbildung 4.2 zeigt, weisen sowohldie optische Tiefe als auch der mittlere Bildabstand fur χ→ π in spharischen Welt-modellen Singularitaten auf. Bei Rotverschiebungen knapp unterhalb der antipodi-schen Rotverschiebung sollten daher viel mehr mehrfachgelenste Quasare auftretenals bei anderen Rotverschiebungen; diese sollten zudem sehr große Bildabstandehaben. Gott, Park & Lee (1989) zeigen zudem, daß (abgesehen von wenigen un-wahrscheinlichen Spezialfallen) es fur Rotverschiebungen knapp jenseits der antipo-dischen Rotverschiebung bei gelensten Quasaren stets nur ein abgeschwachtes Bildgibt; in flußbegrenzten Quasarkatalogen sollte es daher einen Rotverschiebungsbe-reich niedrigerer Quasardichte geben.

Diese Effekte werden bei den bisher bekannten Gravitationslinsensystemen undQuasarkatalogen nicht beobachtet (z. B. Hewitt & Burbidge 1987, 1989). Insbeson-dere ist der Quasar 2016+112 bei z = 3.27 normal mehrfach abgebildet, d. h. fallses in unserem Universum einen antipodischen Punkt gibt, so befindet er sich beiz > 3.27. Aus der Bedingung

χ(z = 3.27) = |Ωk|1/2

3.27∫

0

dz

E(z)< π (4.12)

4.2. EFFEKTE EINES ANTIPODISCHEN PUNKTES 51

χQ

〈∆ϑ〉α

b

k = +1 k = +1

k = 0

k = −1

1. 2. 3. 4. 5.

1.2.

3.4.

1. 2. 3. 4. 5.

1.2.

3.4.

1. 2. 3. 4. 5.

1.2.

3.4.

χQ

τ

a

k = 0 k = +1 k = +1

k = −1

1. 2. 3. 4. 5.

1.2.

3.4.

1. 2. 3. 4. 5.

1.2.

3.4.

1. 2. 3. 4. 5.

1.2.

3.4.

Abbildung 4.2: (a) Optische Tiefe und (b) mittlerer Bildabstand in Abhangigkeit vonder Quasarentfernung χQ.


ΩM

ΩΛ

1. 2. 3. 4.

1.2.

3.4.

1. 2. 3. 4.

1.2.

3.4.

Abbildung 4.3: Die dicke Linie stellt alle Weltmodelle dar, die einen antipodischen Punktbei z = 3.27 haben; Weltmodelle rechts davon sind nach Gott, Park & Lee (1989) aus-zuschließen. Die dunne Linie gibt zum Vergleich die Grenzlinie zu den Bounce–Modellenan.

kann man daher Einschrankungen fur ΩM und ΩΛ erhalten. Das verbotene Gebietbefindet sich in Abbildung 4.3 rechts der eingezeichneten Linie. Die Grenzlinie be-findet sich in der Nahe der Grenze zu den Bounce–Modellen, dennoch laßt sich eingroßerer Bereich mit Sicherheit ausschließen.

4.3 Gravitationslinsenstatistik

Mit Hilfe einer detaillierteren Gravitationslinsenstatistik kann man hoffen, genaue-re Einschrankungen fur die kosmologischen Parameter zu erhalten, indem mandie theoretisch vorhergesagte Haufigkeit fur Gravitationslinseneffekt (ausgedrucktdurch die optische Tiefe) mit der tatsachlich beobachteten Anzahl von mehrfach ab-gebildeten Quasaren in Quasarkatalogen vergleicht. Die entscheidenden Annahmenund Schwierigkeiten liegen dabei sowohl in der Modellierung der optischen Tiefe alsauch im Vergleich mit den Beobachtungen (Auswahleffekte).

Um aus Gleichung (4.9) eine realistische Vorhersage fur die Haufigkeit des Gra-vitationslinseneffektes zu erhalten, muß uber die Verteilung der Geschwindigkeitsdi-spersion in Galaxien verschiedenen Typs integriert werden. Dazu geht man zunachstuber die Faber–Jackson–Relation im Falle elliptischer Galaxien bzw. die Tully–Fisher–Relation im Falle von Spiralgalaxien von der Geschwindigkeitsdispersionuber zu absoluten Helligkeiten und integriert dann uber die Leuchtkraftfunktion,meist in der Schechter–Form (3.23). Damit gehen in die optische Tiefe die folgenden

4.3. GRAVITATIONSLINSENSTATISTIK 53

Annahmen und Fehlerquellen ein:

• Die Massenverteilung in den Galaxien wird durch die singulare isothermeSphare beschrieben. Abweichungen der tatsachlichen Massenverteilung vonder SIS, beispielsweise endlicher Kernradius oder Abweichungen von der Kugel-symmetrie des Gravitationspotentials, beeinflussen den Wirkungsquerschnittfur den Gravitationslinseneffekt. Fukugita & Turner (1991) schatzen, daß da-durch die optische Tiefe um einen Faktor ∼ 2 verkleinert wird.

• Die Parameter der Leuchtkraftfunktion sind mit Fehlern behaftet, die bis zu∼ 30% bei Φ∗ und M∗ betragen konnen (Fukugita & Turner 1991). Zudemmussen auch hier wie bei Galaxienzahlungen (Abschnitt 3.3) Evolutionskor-rekturen, insbesondere dynamische Korrekturen, die Galaxienverschmelzun-gen berucksichtigen, angebracht werden (Sasaki & Takahara 1993).

• Um die integrale optische Tiefe zu erhalten, muß uber den morphologischenMix summiert werden; der Fehler hierbei betragt etwa 10 % (Fukugita &Turner 1991).

Effekte, die die Anzahl der tatsachlich gefundenen Linsensysteme gegenuber dertheoretischen Vorhersage beeinflussen, sind:

• Die endliche Winkelauflosung bei der Suche nach Gravitationslinsensystemen(∼ 2′′ bei Webster, Hewett & Irwin 1988, < 1′′ bei Hewitt et al. 1989 undSurdej et al. 1988, >∼ 0.5′′ im NOT–Survey, Jaunsen et al. 1995) fuhrt dazu,daß Systeme mit kleinem Bildabstand nicht gefunden werden. Dieser Effektist wegen der unterschiedlichen Auflosung der einzelnen Surveys schwer zuquantifizieren; Fukugita & Turner (1991) schatzen den notwendigen Korrek-turfaktor auf ∼ 3 ab.

• Durch die Flußlimitierung der Linsensurveys werden schwache Systeme nichtgefunden. Entscheidend ist dabei die Helligkeit des zweithellsten Bildes, dazur Identifikation eines Linsensystems wenigstens zwei Bilder beobachtet wer-den mussen. Wichtig ist hierbei auch der Helligkeitsunterschied der beidenhellsten Bilder: Die Mehrzahl der Quasare in einem Quasarkatalog liegt nurverhaltnismaßig knapp uber der Helligkeitsgrenze, da in einem flußlimitiertenSample die Wahrscheinlichkeit, daß entweder die hellere (durch gezielte Wahlder durchmusterten Himmelsregion) oder die schwachere Komponente (wegendes Helligkeitslimits) nicht beobachtet wird, einigermaßen groß ist.

• Die Flußlimitierung hat noch einen zweiten, gegenlaufigen Effekt, den am-

plification bias : Da beim Gravitationslinseneffekt die Gesamthelligkeit allerBilder eines Quasars großer ist als die ursprungliche Helligkeit des Quasars,wird die Anzahl der in einem flußlimitierten Linsensurvey gefundenen Systemegegenuber der theoretischen Vorhersage erhoht. Um diesen Effekt quantifizie-ren zu konnen, muß die Quasarleuchtkraftfunktion bis zu Helligkeiten jenseitsdes Surveyflußlimits bekannt sein. Fukugita & Turner (1991) schatzen diesenEffekt auf einen Faktor von >∼ 2.5, fur Systeme mit mB <∼ 18m sogar auf ∼ 10ab. Demgegenuber glauben Sasaki & Takahara (1993), daß der entsprechendeFaktor nur etwa 1/5 des Wertes von Fukugita & Turner betragt.

Angesichts der großen Unsicherheit bei der Modellierung der Haufigkeit mehr-fach abgebildeter Quasare ist es nicht uberraschend, daß aus dem Vergleich derAnzahl bekannter Linsensysteme in einem Quasarkatalog mit der Gesamtzahl derin ihm enthaltenen Quasare je nach Berucksichtigung oder Nichtberucksichtigungder genannten Effekte sehr unterschiedliche Folgerungen fur die kosmologischen Pa-rameter gezogen werden.


Turner (1990) vergleicht die Anzahl der bekannten (bzw. vermuteten) Linsensys-teme in den Quasarkatalogen von Schneider, Schmidt & Gunn 1989 (11 Quasare mitz > 4, darunter kein Linsensystem), Boyle et al. 1990 (420 Quasare, darunter keinLinsensystem) und Hewitt & Burbidge 1987, 1989 (4250 Quasare, darunter 9 Linsen-systeme) mit der theoretischen Anzahl ohne Berucksichtung von Auswahleffektenund findet, daß die tatsachliche Anzahl von Linsensystemen in flachen Weltmodel-len mit ΩM <∼ 0.2 mit einer Signifikanz von 95 % zu klein ist. Fukugita & Turner(1991) korrigieren gegenuber Turner (1990) die Normierung der optischen Tiefe ausder Integration uber die Leuchtkraftfunktion und finden einen um einen Faktor 3kleineren Wert. Außerdem berucksichtigen sie Abweichungen vom SIS–Modell, dieendliche Winkelauflosung der Linsensurveys und den amplification bias und findendamit (aus dem Hewitt & Burbidge–Katalog) im wesentlichen das gleiche Ergeb-nis wie Turner (1990), wenn auch in abgeschwachter Form: Sie schließen mit 95%Konfidenz flache Modelle mit ΩΛ > 0.95 aus.

Sasaki & Takahara (1993) berucksichtigen zusatzlich Evolution der Galaxien-dichte nach einem groben Modell nach Gunn & Gott (1972) mit verschiedenenGalaxienentstehungsepochen (zf =1, 2, 3) sowie einen schwacheren amplificationbias und finden, daß im Gegensatz zu den alteren Arbeiten Modelle mit großemΩΛ sogar bevorzugt werden. Allerdings finden sie auch, daß der Einfluß der Gala-xienentstehungsepoche großer ist als der Einfluß des Weltmodells, so daß sie keinestrenge Einschrankung fur die kosmologischen Parameter machen konnen.

4.4 Linsenverteilung

Kochanek (1992) hat vorgeschlagen, auch die Verteilung der Linsenrotverschiebungin den bekannten Gravitationslinsensystemen in die Statistik einzubeziehen. DieserAnsatz wird von King (1993) und Helbig & Kayser (1995) weiterverfolgt, allerdingskommen sie zu dem Ergebnis, daß auf diese Weise mit den bekannten Systemen(sie betrachten sechs Systeme als hinreichend genau untersucht) noch nichts uberdie kosmologischen Parameter ausgesagt werden kann, und daß auch in naherer Zu-kunft nicht genugend viele zusatzliche Systeme entdeckt werden, um diese Methodestatistisch sinnvoll zu machen.

Kapitel 5

Alterstests

Das heutige Alter des Universums hangt von der Geschichte seiner Expansion abund damit von den kosmologischen Parametern. Die Ruckblickzeit bis zu einer Rot-verschiebung z (die Lichtlaufzeit) ist

t0 − t(z) =

t0∫

t(z)

dt′ =

χ(z)∫

0

Rdχ , (5.1)

wobei langs einer Nullgeodate ds = 0 in der Robertson–Walker–Metrik integriertwird. Mit dem Ausdruck (3.3) fur χ(z) und R(z) = R0/(1 + z) folgt daraus

t0 − t(z) =c

H0

z∫

0

dz

(1 + z)E(z). (5.2)

Fur z → ∞ erhalt man daraus das heutige Weltalter:

t0 =c

H0

∞∫

0

dz

(1 + z)E(z). (5.3)

Durch die Substitution x = (1 + z)−1 kann man dies in ein eigentliches Integralumformen, wodurch die numerische Auswertung vereinfacht wird:

t0 =c

H0

1∫

0

√xdx√

ΩM + Ωkx+ ΩΛx3. (5.4)

In Abbildung 5.1 sind in der ΩM–ΩΛ–Ebene Konturlinien gleichen Weltalterst0H0 (also Weltalter in Einheiten der Hubble–Zeit H−1

0 ) gezeichnet. Das Weltalternimmt von links oben nach rechts unten in der Parameterebene zu und divergiert aufder Grenzlinie zu den Nicht–Urknall–Modellen; bei diesen ist ein Weltalter naturlichnicht mehr definiert. Falls man eine Untergrenze fur das Weltalter kennt, so kannman (wenn H0 bekannt ist) alle Weltmodelle oberhalb der entsprechenden Kontur-linie ausschließen.

Man kann eine Untergrenze fur das Weltalter erhalten, falls man das Alter deraltesten Objekte im Universum bestimmen kann. Insbesondere eignen sich dafurKugelsternhaufen, da man annimmt, daß diese zeitgleich mit dem Milchstraßensy-stem entstanden sind, und zudem die Altersbestimmung recht einfach ist. Dies wirdin Abschnitt 5.2 behandelt.

55

56 KAPITEL 5. ALTERSTESTS

ΩΛ

ΩM

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

12

34

Abbildung 5.1: Kurven konstanten Weltalters t0H0 in der ΩM–ΩΛ–Ebene. Konturlinienvon t0H0 = 0.4 bis 1.5 in Schritten von 0.1 (von links oben nach rechts unten).

5.1. DER HUBBLE–PARAMETER 57

Weitere alte galaktische Objekte, deren Alter bestimmbar ist, sind Weiße Zwer-ge; da man allerdings nur Weiße Zwerge in der galaktischen Scheibe kennt, diewahrscheinlich junger ist als der galaktische Halo, erhalt man eine schwachere Un-tergrenze fur das Weltalter als bei den Kugelsternhaufen. Die Weißen Zwerge werdenin Abschnitt 5.3 diskutiert.

Die Nukleokosmochronologie versucht, das Weltalter aus den Haufigkeiten lang-lebiger instabiler Elemente zu bestimmen: Aus der bekannten Zerfallsdauer in Ver-bindung mit einem Modell fur die Entstehung dieser schweren Elemente erhalt mandie Zeit, die seit ihrer Entstehung vergangen ist. Abschnitt 5.4 beschaftigt sich mitdieser Methode.

In den letzten Jahren wurden große Fortschritte in der Beobachtung hochrot-verschobener Radiogalaxien in den optischen und infraroten Spektralbereichen ge-macht. Vergleicht man die Spektrophotometrie dieser Objekte mit Entwicklungsmo-dellen fur Galaxien, so kann man ihr Alter (oder wenigstens eine Untergrenze fur dasAlter) bestimmen. Das Alter hochrotverschobener Galaxien stellt eine Untergrenzedar fur das Alter des Universums zu der Epoche, die der gemessenen Rotverschie-bung entspricht, so daß sich auch damit Einschrankungen fur die kosmologischenParameter machen lassen. Dies wird in Abschnitt 5.6 diskutiert.

5.1 Der Hubble–Parameter

Aus dem Friedmann–Modell kann man das Weltalter nur in der Kombination t0H0

bestimmen, also in Einheiten der Hubble–Zeit tH = H−10 . Um die Modellvorhersage

mit den Beobachtungen, die das Alter in Milliarden Jahren geben, vergleichen zukonnen, muß man daher den Hubble–Parameter, gewissermaßen den Maßstab, ken-nen. Die Bemuhungen, H0 zu bestimmen, haben eine lange Geschichte, und auchheute noch stellt die Bestimmung von H0 eines der großten Probleme der extra-galaktischen Astronomie dar. Eine eingehende Diskussion des Hubble–Parameterswurde den Rahmen dieser Arbeit sprengen, deshalb muß ich mich hier auf einenkurzen Uberblick beschranken.

Van den Bergh (1994) diskutiert einige neuere Arbeiten zur Bestimmung vonH0. Der obere Teil von Tabelle 5.1 ist aus dieser Arbeit entnommen, im unterenTeil sind einige Arbeiten des vergangenen Jahres aufgefuhrt, insbesondere die auf-sehenerregenden Arbeiten zur Beobachtung von Cepheiden im Virgo–Haufen. DieSituation bezuglich H0 ist angesichts der Arbeiten von Sandage & Tammann nochimmer verwirrend, eine Unsicherheit vom Faktor 2 ist fur den Wert von H0 immernoch gegeben. Ich werde im folgenden stets einen “erlaubten” Bereich fur H0 von40 . . . 100 km s−1 Mpc−1 annehmen (bzw. h = 0.4 . . . 1).

5.2 Kugelsternhaufen

Die altesten Objekte, deren Alter einigermaßen verlaßlich bestimmt werden kann,sind die Kugelsternhaufen im galaktischen Halo. Sie enthalten metallarme Sterneder Population II (mit einer Streuung der Metallhaufigkeit [Fe/H] von ∼ −0.7 bis∼ −2.4). Die Frage, ob dabei eine eindeutige Alters–Metallizitats–Beziehung be-steht, wonach die Haufen mit dem niedrigsten Metallgehalt die altesten sind, istnoch nicht endgultig geklart und hangt insbesondere von der Kalibrierung der ab-soluten Helligkeit der RR Lyrae–Haufenveranderlichen ab (siehe z. B. Chaboyer etal. 1992b). Unter der wohlbegrundeten Annahme, daß alle Sterne eines Kugelstern-haufens zur gleichen Zeit entstanden sind (Stetson 1993 findet eine Altersstreuungder Sterne in M92 von 2.4%), kann man das Farben–Helligkeits–Diagramm einesKugelsternhaufens mit Isochronen vergleichen, die aus theoretischen Modellen zur


Methode H0 Referenz

Supernovae Ia 75±12 Jacoby & Pierce (1994)Supernovae II 68 . . . 81Tully–Fisher 84±8 Lu et al. (1994)Flachenhelligkeitsfluktuationen 87±12 Jacoby et al. (1992)Planetarische Nebel (Virgo) 86±18 Mendez et al. (1993)Planetarische Nebel (Fornax) 75±8 McMillan et al. (1993)Galaxiendurchmesser 76 . . .124Kugelhaufen (Virgo) >∼ 73Flachenhelligkeitsprofile 99±16 Young & Currie (1994)

(Virgo)Gravitationslinsen < 87 Bernstein et al. (1993)Sunyaev–Zeldovich–Effekt 55±17 Birkinshaw & Hughes (1994)Kompakte Radioquellen ∼ 100 Roland (1994)∗Cepheiden (Virgo) 87±7 Pierce et al. (1994)∗Cepheiden (Virgo) 80±17 Freedman et al. (1994)∗Time Delay (0957+561) 10 . . . 90 Pelt et al. (1995)∗Supernovae Ia ∼ 50 Sandage & Tammann (1995)

Tabelle 5.1: Arbeiten zur Hubble–Konstante H0 (in km s−1 Mpc−1). Die meisten Hin-weise wurden aus van den Bergh (1994) ubernommen, die mit ∗ gekennzeichneten Eintragesind eigene Erganzungen

Sternentwicklung konstruiert werden, und so das Alter des Haufens bestimmen.

Ein typisches Farben–Helligkeits–Diagramm (FHD) eines Kugelhaufens ist inAbbildung 5.2 gezeigt. Die unterschiedlich schnelle Entwicklung von Sternen mitverschiedenen Massen fuhrt zum charakteristischen Ausssehen dieses Diagramms:Sterne niedriger Masse befinden sich noch im Hauptreihenstadium, wahrend Sternehoherer Masse die Hauptreihe schon verlassen und sich in Richtung des Gebiets derRoten Riesen fortentwickelt haben. Die Hauptreihe (MS) ist daher auf einen kurzenAst rechts unten im Diagramm verkurzt, oberhalb des Hauptreihenabknickpunktes(TO) befindet sich der Rote–Riesen–Ast (RGB). Sterne noch großerer Masse, dieihren Helium–Flash schon hinter sich haben, befinden sich auf dem Horizontalast(HB), der sich vom Blauen bei etwa konstanter Leuchtkraft uber die mit RR Lyrae–Sternen bevolkerte Veranderlichen–Lucke zum Roten hin erstreckt und dort in denAsymptotischen Riesenast ubergeht.

Ein solches Farben–Helligkeits–Diagramm soll nun mit einem theoretischen Mo-dell verglichen werden, um daraus das Alter des Haufens zu bestimmen. Es gibtdrei Verfahren, dies zu tun: Das erste verwendet die vollstandigen theoretischenIsochronen (diese liegen im allgemeinen von der Hauptreihe bis zum oberen Roten–Riesen–Ast vor) und sucht jene Isochrone heraus, die das beobachtete FHD ambesten beschreibt. Dieses Verfahren funktioniert nur qualitativ (nach Augenmaß);wegen der vielen involvierten freien Parameter und der großen Streuung im beob-achteten FHD ist eine quantitative statistische Implementation dieser Methode nochnicht gemacht worden. Die Isochronenanpassung verwendet zwar von allen Verfah-ren die meiste Information (das vollstandige beobachtete FHD), muß aber auchdie großte Zahl freier Parameter bestimmen: Beispielsweise sind die Entfernung desHaufens und die interstellare Rotung im Rahmen ihrer Fehler aus Bestimmungenanhand unabhangiger Methoden freie Parameter. Isochronen mit nur wenig ver-schiedenen Entfernungsmoduln und Rotungen, aber Altersunterschieden von bis zu2 Gyr konnen die Farben–Helligkeits–Diagramme ahnlich gut beschreiben (Cha-

5.2. KUGELSTERNHAUFEN 59

B-V

V

0.2 0.4 0.6 0.8

23.0

22.0

21.0

20.0

19.0

18.0

Abbildung 5.2: Farben–Helligkeits–Diagramm des galaktischen Kugelsternhaufens NGC7492 (Daten von Buonanno et al. 1987)


boyer et al. 1992a). Bei Isochronenanpassung mussen zudem theoretische Farbenbestimmt werden. Wie weiter unten auszufuhren sein wird, sind gerade diese beson-ders unsicher (v. a. wegen der Unsicherheit in der konvektiven Mischungslange α).Renzini (1991) weist aus diesen Grunden energisch darauf hin, daß das Alter vonKugelsternhaufen nicht durch Isochronenanpassung bestimmt werden kann.

Die beiden anderen Methoden, durch Vergleich des beobachteten Farben–Hellig-keits–Diagramms mit theoretischen Isochronen das Alter eines Kugelsternhaufenszu bestimmen, verwenden nur die Lage charakteristischer Punkte im FHD. Die∆(B − V )–Methode benutzt den Unterschied in der Farbe zwischen dem Hauptrei-henabknickpunkt und dem Fuß des Roten–Riesen–Astes. Mit zunehmendem Alterdes Haufens verschiebt sich der Abknickpunkt langs der Hauptreihe nach rechtsunten, also zu roterem B − V und schwacherer Helligkeit V . Der Fuß des Riesen-astes bleibt dagegen bei etwa konstanter Farbe, so daß mit zunehmendem Alterdie Farbdifferenz ∆(B − V ) abnimmt. Diese Methode ist unabhangig von der in-terstellaren Rotung1 und von der Entfernung zum Haufen und hangt nur schwachvon den Metallhaufigkeiten ab (Chaboyer et al. 1992a). Die Hauptunsicherheit beider Anwendung der ∆(B − V )–Methode liegt in der Modellierung der Farben vonAbknickpunkt und Rotem–Riesen–Ast, da diese vor allem von der (noch nicht aus-reichend verstandenen) Struktur der außeren Sternhulle abhangen. Insbesonderesind hier die Unsicherheiten in den Modellradien und in der Farbtransformationvom theoretischen Hertzsprung–Russell–Diagramm (logL vs. logTeff) ins Farben–Helligkeits–Diagramm (V vs. B − V ) zu nennen, ferner die Empfindlichkeit derFarben fur Sauerstoffanreicherung [O/Fe] und Helium–Diffusion (Demarque et al.1991). Diese Unsicherheiten beeinflussen vor allem die absolute Altersbestimmungmittels dieser Methode; andererseits ist die Methode gut zur Bestimmung von Al-tersunterschieden geeignet (Sarajedini & Demarque 1990).

Die dritte Methode benutzt im wesentlichen die absolute Helligkeit desHauptreihenabknickpunktes. Da zunachst nur die scheinbare Helligkeit bekannt ist,wird die absolute Helligkeit (also im wesentlichen die Entfernung des Haufens) ausder Helligkeit des Horizontalastes und hier wiederum der RR Lyrae–Sterne be-stimmt. Die entscheidende Beobachtungsgroße ist hier also der Helligkeitsunter-schied zwischen dem Abknickpunkt und dem Horizontalast ∆V (TO − HB). DieseMethode ist unabhangig von Farben (und damit von der interstellaren Rotung) undbetrachtet nur Leuchtkrafte, die theoretisch besser verstanden sind. Der Fehler inder Bestimmung von MV (TO) aus den theoretischen Isochronen betragt beispiels-weise nur etwa 0.01 mag (Chaboyer et al. 1992b; dies bezieht sich selbstverstandlichnur auf den Ablesefehler, der Fehler bei der Erstellung der Isochronen ist großer.).Die Probleme der ∆V –Methode liegen in der praktischen Bestimmung der Helligkei-ten des Abknickpunktes (hier verlauft das FHD senkrecht, siehe Sarajedini & King1989), des Horizontalastes (endliche Dicke!) sowie in der Bestimmung der absolutenHelligkeit der RR Lyrae–Sterne (siehe Abschnitt 5.2.2).

Die ∆V (TO − HB)–Methode eignet sich am besten fur die Bestimmung desabsoluten Alters von Kugelsternhaufen, die ∆(B − V )–Methode dagegen mehr furdie Bestimmung von Altersunterschieden. Im folgenden werde ich mich daher aufdie ∆V (TO − HB)–Methode beschranken.

Die Hauptprobleme bei der Altersbestimmung von Kugelsternhaufen sind somitdie folgenden:

• Die Modellierung der Sternentwicklung, also die theoretische Vorhersage derLage von Isochronen, insbesondere des Hauptreihenabknickpunktes, im Farben–Helligkeits–Diagramm: Besondere Bedeutung haben dabei neben den grundle-genden physikalischen Annahmen die Parameter, die in ein derartiges Modell

1Die Farbdifferenz ist zu klein, als daß die differentielle interstellare Absorption eine Rollespielen konnte.


eingehen.

• Die Bestimmung der absoluten Helligkeit des Horizontalastes, bzw. der RRLyrae–Veranderlichen.

• Da die Isochronen im FHD im Bereich des Abknickpunktes senkrecht verlau-fen, ist die Helligkeit des Abknickpunktes nicht wohldefiniert. Dies ist schonin Abbildung 5.2 erkennbar, obwohl die einzelnen Aste bei diesem Farben–Helligkeits–Diagramm relativ scharf definiert sind.

Im folgenden sollen die Teilbereiche des Problems der Altersbestimmung von Ku-gelhaufen nach der ∆V (TO − HB)–Methode im einzelnen besprochen werden.

5.2.1 Modellierung von Isochronen im FHD

Obwohl bei der ∆V (TO − HB)–Methode eigentlich nur die Lage des Hauptrei-henabknickpunktes von Interesse ist, muß man dennoch die Isochronen in einemgroßeren Massenbereich bestimmen, um einerseits den Abknickpunkt hinreichendgenau definieren zu konnen und andererseits durch den Vergleich der Isochronen mitbeobachteten Farben–Helligkeits–Diagrammen die Qualitat der Modellrechnungenuberprufen zu konnen.

Zunachst werden Entwicklungswege von Sternen mit verschiedenen Massen undverschiedenen Metallhaufigkeiten [Fe/H] im theoretischen Hertzsprung–Russell–Dia-gramm berechnet. Wegen der großeren Unsicherheiten in den Modellen im Postrie-senstadium erstrecken sich die Entwicklungswege meist von der Nullalterhauptreihebis zur Spitze des Roten–Riesen–Astes. Durch Interpolation werden dann aus denEntwicklungswegen zu einer festen Metallhaufigkeit Isochronen bestimmt, langs de-rer die Masse variiert. Zuletzt werden diese Isochronen mittels einer Farbtransforma-tion aus der theoretischen logL–logTeff–Ebene in die V –(B−V )–Ebene uberfuhrt.Aus diesen Isochronen ermittelt man ein Gitter, bestehend aus dem Alter t9 (in109 Jahren), der absoluten Helligkeit MV (TO) des Abknickpunktes und der Me-tallhaufigkeit [Fe/H], das im allgemeinen durch eine Gleichung der Form

log t9 = b0 + b1MV (TO) + b2[Fe/H] (5.5)

interpoliert wird. Die einzelnen Arbeiten zur Altersbestimmung von Kugelstern-haufen unterscheiden sich in den Koeffizienten, die wiederum von den verwendetenSternentwicklungsmodellen abhangen.

Die Unsicherheiten in den Sternentwicklungsrechnungen liegen vor allem in denangenommenen Zustandsgleichungen, Opazitaten und der Konvektionsmischungs-lange α. Eine eingehende Diskussion der Bedeutung dieser Parameter fur die Ent-wicklungsmodelle wurde hier zu weit fuhren. Im Abschnitt 5.2.4 werden die Fehler,die Unsicherheiten in diesen Parametern in die Altersbestimmung induzieren, ab-geschatzt.

Die angenommenen Metallhaufigkeiten unterscheiden sich kaum voneinander;tatsachlich verwenden die meisten Autoren die Metallhaufigkeiten von Zinn & West(1984) und Zinn (1985), die einen Fehler von ∆[Fe/H]≃ 0.3 dex haben. Die Heli-umhaufigkeit wird von fast allen Autoren zu Y = 0.23 ± 0.2 angenommen, so daßsie in Gleichung (5.5) nicht als freier Parameter auftritt. Ein Fehler in Y von ∼ 0.2wurde in der Altersbestimmung einen Fehler von ∼ 5% ausmachen (Chaboyer 1995).

Es steht inzwischen zweifelsfrei fest, daß in metallarmen Halosternen Sauerstoffgegenuber Metallen angereichert ist, d. h. [O/Fe] > 0. Unklarheit herrscht dagegennach wie vor uber den genauen Zusammenhang zwischen [O/Fe] und [Fe/H]. King(1994) untersucht ein homogenes Sample von Halosternen und findet bei den metall-armen Sternen eine ungefahr konstante Sauerstoffanreicherung von [O/Fe] ≈ 0.5,


unabhangig von [Fe/H]. Bei den metallreicheren Sternen fallt [O/Fe] mit zuneh-mendem [Fe/H] ab bis hin zu solarer Sauerstoffhaufigkeit bei [Fe/H] = 0. Die La-ge des Ubergangspunktes von konstanter zu abnehmender Sauerstoffuberhaufigkeitliegt zwischen [Fe/H] = −1.7 und −1.0 (King 1994 findet Hinweise darauf, daßder Ubergangspunkt naher bei −1.0 liegt). Damit wird im wesentlichen die zusam-menfassende Ubersicht von Wheeler et al. (1989) bestatigt, die bei metallarmenHalosternen ([Fe/H] <∼ −1.0) ebenfalls eine konstante Sauerstoffuberhaufigkeit von[O/Fe] = 0.35 findet.

Dagegen finden Abia & Rebolo (1989), daß die Sauerstoffanreicherung bis zu denmetallarmsten Halosternen zunimmt, mit einer Steigung d[O/Fe]/d[Fe/H] ≈ −0.4,so daß bei [Fe/H] ≈ −2 eine Sauerstoffhaufigkeit [O/Fe] ≈ 1 erreicht wird.

5.2.2 Absolute Helligkeit von RR Lyrae–Sternen

Die Sternentwicklungsrechnungen liefern einen Zusammenhang zwischen der absolu-ten Helligkeit des Hauptreihenabknickpunktes, der Metallhaufigkeit und dem Altereines Kugelsternhaufens. Beobachtbar ist nur die scheinbare Helligkeit des Abknick-punktes, so daß die absolute Helligkeit aus dieser uber die Entfernung des Haufenserrechnet werden muß.

Die RR Lyrae–Sterne in der Veranderlichenlucke des Horizontalastes stelleneinen brauchbaren Entfernungsindikator dar, da ihre absolute Helligkeit in einemkleinen Bereich variiert. Die absolute Helligkeit der RR Lyrae–Sterne hangt von ih-rem Entwicklungsstadium ab: Ausgehend vom Nullalterhorizontalastniveau (ZAHB)entwickeln sie sich zu großeren Leuchtkraften hin. Man muß daher stets beachten, obeine Methode zur Kalibrierung von MV (RR) sich auf den ZAHB oder auf die mitt-lere Helligkeit einer RR Lyrae–Population bezieht. Die entsprechende Umrechnungist einfach (die Differenz der beiden Niveaus ist < 1 mag) und wird in Abschnitt5.2.3 (Punkt IV) angesprochen. Ich beziehe mich im folgenden immer auf den Nul-lalterhorizontalast.

Die absolute Helligkeit von RR Lyrae–Veranderlichen hangt zudem linear vonder Metallhaufigkeit [Fe/H] ab,

MV (RR) = a0 + a1[Fe/H] . (5.6)

Zur Bestimmung der Koeffizienten a0 und a1 werden verschiedene Methoden ver-wendet, die nicht immer konsistente Ergebnisse liefern.

Die Baade–Wesselink–Methode bestimmt Entfernungen von Pulsationsverander-lichen durch gleichzeitige Messung der radialen Pulsationsgeschwindigkeiten (Dopp-lereffekt) und der Lichtkurven. Untersuchungen mit der Baade–Wesselink–Methodefur RR Lyrae–Sterne konnen durch die Gleichung

〈MV (RR)〉 = 1.01 + 0.16[Fe/H] (5.7)

zusammengefaßt werden (siehe Carney at al. 1992 und darin angegebene Referen-zen).

Lee et al. konstruieren theoretische Modelle fur den Horizontalast und finden

〈MV (RR)〉 = 0.82 + 0.17[Fe/H] (5.8)

fur eine Heliumhaufigkeit auf der Hauptreihe YMS = 0.23. Erniedrigung auf YMS =0.22 liefert

〈MV (RR)〉 = 0.97 + 0.19[Fe/H] , (5.9)

in guter Ubereinstimmung mit den Baade–Wesselink–Ergebnisse (Lee 1990). Aller-dings sind Horizontalastmodelle wegen der unsicheren Behandlung der Konvektionim stellaren Kern unsicher.


Sandages Periodenverschiebungseffekt beruht auf einer beobachteten Korrela-tion der Perioden von RR Lyrae–Sternen mit der Metallhaufigkeit (dabei sollendie Perioden von Sternen gleicher Effektivtemperatur in Haufen unterschiedlicherMetallizitat — Oosterhoff–Klasse — verschieden sein). Verbunden mit der aus Pul-sationsmodellen bestimmten Beziehung zwischen der Periode, Masse, Leuchtkraftund Effektivtemperatur kann dann die Beziehung zwischen Leuchtkraft und Me-tallhaufigkeit abgeleitet werden. Sandage erhalt durchweg hohe Steigungen, z. B.a1 = 0.35 in Sandage (1993). Da dieses Ergebnis nicht konsistent ist mit den Er-gebnissen aus Hauptreihenanpassungen (siehe weiter unten), stellt es die Gultigkeitder Pulsationsmodelle oder der Hauptreihenmodelle in Frage. Carney et al. (1992)verwenden eine andere Temperaturskala als Sandage und erhalten a1 = 0.20 inUbereinstimmung mit den niedrigen Werten aus Baade–Wesselink–Untersuchungen.Bono et al. (1995) verwenden neue Pulsationsmodelle und zeigen, daß diese kon-sistent sind mit Hauptreihenmodellen und Beobachtungen, nicht jedoch mit derRealitat des Sandage Periodenverschiebungseffektes (dessen Beobachtungsgrundla-ge wird von einigen Autoren angezweifelt). Die Situation ist noch nicht endgultiggeklart.

Durch Anpassung theoretischer Hauptreihenisochronen an die beobachtete Haupt-reihe konnte sofort die Entfernung eines Haufens bestimmt werden. Meist wird je-doch der Umweg uber die Kalibration des Horizontalastes genommen, vermutlich,um die Ergebnisse mit unabhangigen Methoden vergleichen zu konnen. Buonannoet al. (1990) finden eine Steigung a1 = 0.392, also erheblich hoher als die mit derBaade–Wesselink–Methode erhaltenen Ergebnisse. Carney et al. (1992) identifizie-ren jedoch einen Farbfehler in den von Buonanno et al. verwendeten Isochronen(von VandenBerg & Bell 1985) und erhalten nach der entsprechenden Korrektur ei-ne kleinere Steigung, in Ubereinstimmung mit ihren Baade–Wesselink–Ergebnissen.

Ajhar et al. (1994, zitiert in van den Bergh 1995) haben zwei Kugelsternhaufenin M 31 photometriert (K 58 mit [Fe/H] = −0.57 und K 219 mit [Fe/H] = −1.83)und finden eine Steigung a1 = 0.12, wieder in Ubereinstimmung mit der Baade–Wesselink–Methode. Der Vorteil der Beobachtung von Kugelsternhaufen in M 31ist, daß alle Haufen praktisch in der gleichen Entfernung von uns stehen, so daß dieBestimmung der Steigung a1 unabhangig ist vom Nullpunkt a0.

Leider ist der Nullpunkt der MV (RR)–[Fe/H]–Relation nicht mit guter Genau-igkeit aus Hauptreihenanpassung zu bestimmen, da dazu metallarme Sterne derunteren Hauptreihe mit gemessenen trigonometrischen Parallaxen benotigt werden.Das Paradeobjekt fur solche Sterne ist HD 103095 mit einem Fehler im Entfer-nungsmodul von 0.07 mag. Die Gesamtzahl von Sternen mit hinreichend genaugemessener Parallaxe ist jedoch noch viel zu klein, als daß sich damit a0 mit gu-ter Genauigkeit bestimmen ließe. Abschatzungen stimmen mit den Ergebnissen ausder Baade–Wesselink–Methode uberein und deuten auf a0 ∼ 1 hin (Buonanno etal. 1989).

Walker (1992) benutzt die scheinbaren Helligkeiten von RR Lyrae–Sternen inder Großen Magellanschen Wolke zusammen mit der aus unabhangigen Untersu-chungen bekannten Entfernung, um die absolute Helligkeit der RR Lyrae–Sterne zubestimmen, und erhalt a0 = 0.93, entsprechend hellen RR Lyrae–Helligkeiten bzw.einer großen galaktischen Entfernungsskala. Helle RR Lyrae–Helligkeiten fuhren zuhellen TO–Helligkeiten und damit zu einem niedrigen Alter der Kugelsternhau-fen. Die Hauptunsicherheit an diesem Ergebnis ist die Frage, ob sich die Helligkeitder LMC–Feld–RR Lyrae–Sterne einfach auf die galaktischen Haufenveranderlichenubertragen laßt. Insbesondere weiß man, daß die Horizontalastmorphologie nebender Metallhaufigkeit noch von einem zweiten Parameter abhangt, moglicherweise

2Dies ist eine neue Analyse der in Buonanno et al. (1989) verwendeten Daten (siehe Abschnitt5.2.3).


vom Alter. Sollte dies auch bei RR Lyrae–Sternen der Fall sein, so ist die Anwend-barkeit von Walkers Ergebnis auf galaktische Kugelsternhaufen eher zweifelhaft, dadie Magellanschen Wolken erheblich junger sind als das Milchstraßensystem.

Layden et al. (zitiert in Chaboyer 1995 und van den Bergh 1995)3 bestimmen dieabsoluten Helligkeiten von RR Lyrae–Sternen im Feld uber statistische Parallaxen,also durch eine statistische Untersuchung der Eigenbewegungen in einem Sample vonRR Lyrae–Sternen bei bekannter Eigengeschwindigkeit der Sonne. Dabei ergebensich Helligkeiten, die um 0.25 mag heller sind als die von Walker (1992) bestimmten,und somit Werte fur das Alter der Kugelsternhaufen, die um etwa 4 Gyr hoherliegen. Altere Arbeiten zu statistischen Parallaxen favorisieren ebenfalls a0 ∼ 1.2;wegen zu kleiner Samples waren die Fehler in diesen Arbeiten allerdings noch sehrgroß (Barnes & Hawley 1986, Strugell et al. 1986, beide zitiert in Carney et al.1992).

Die Unsicherheit in der Entfernungsbestimmung (insbesondere im Absolutgliedder MV (RR)–[Fe/H]–Beziehung) stellt die großte Unsicherheit bei der Altersbestim-mung von Kugelsternhaufen dar. Die nach dem derzeitigen Erkenntnisstand besteBeziehung ist

MV (RR) ≈ 1.20 + 0.20[Fe/H] , (5.10)

wobei die Steigung auf der Baade–Wesselink-Methode, der Beobachtung von RRLyrae–Haufenveranderlichen in M 31 und auf Horizontalastmodellen beruht. DerNullpunkt beruht vor allem auf statistischen Parallaxen.

5.2.3 Ergebnisse

Tabelle 5.2 gibt eine Ubersicht uber Ergebnisse verschiedener Autoren zum Altereiner Reihe galaktischer Kugelsternhaufen. Im oberen Teil sind Kugelsternhaufenaufgefuhrt, zu denen von mindestens vier Autoren Ergebnisse vorliegen; der untereTeil gibt der Vollstandigkeit halber Kugelsternhaufen wider, zu denen nur von ei-nem Teil der Autoren Ergebnisse angegeben werden. Kugelhaufen, deren Alter nurvon einem oder von zwei Autoren bestimmt wurden, wurden nicht in die Tabelleaufgenommen. Die erste Spalte gibt die ubliche Bezeichnung des Kugelsternhaufensan (meist aus dem New General Catalogue), Spalte 2 die Metallhaufigkeiten [Fe/H]nach Zinn (1985). In den Spalten 3 bis 10 steht das Alter des Haufens in 109 Jahren(Gyr) nach den verschiedenen Autoren, die Spalte 11 schließlich gibt fur die Haufenmit fast vollstandiger Ergebnislage das minimale bestimmte Alter an.

Im folgenden sollen die Annahmen der einzelnen Autoren zusammengestellt wer-den.

I Gratton (1985) verwendet Isochronen von VandenBerg (1983), fur die er fol-gende Beziehung fur das Alter t9 (in Gyr) angibt:

log t9 = −0.815 + 0.440MV (TO) − 0.125[Fe/H] . (5.11)

Diese Isochronen verwenden die Heliumhaufigkeit Y = 0.23, berucksichti-gen keine Anreicherung der α–Elemente und nehmen fur die konvektive Mi-schungslange α = 1.6 an. Gratton ubernimmt die Photometrie ebenso wie dieMetallhaufigkeiten von einer Vielzahl von Autoren.

Die Helligkeitskalibration des Horizontalastes erfolgt bei Gratton mit zweiunabhangigen Methoden:

Ia Aus theoretischen HB-Modellen erhalt Gratton (ZAHB–Methode):

MV (HB) = 0.92 + 0.16[Fe/H] (5.12)

3Die Ergebnisse von Layden et al. sind noch nicht veroffentlicht.


Nummer [Fe/H] I a I b II III IV a IV b V VI min.

NGC 104 -0.71 17.9 17.7 20.9 15.2 15.2 14.2 14.0 13.0 13.0NGC 288 -1.30 15.1 14.4 20.0 16.4 17.1 14.7 14.9 16.0 14.4NGC 362 -1.30 15.3 14.7 17.2 12.7 14.3 12.5 12.1 13.8 12.1NGC 1261 -1.30 - - - 13.8 14.9 13.0 14.2 12.8 12.8NGC 2808 -1.27 15.4 14.7 18.4 15.0 15.6 13.5 13.4 14.6 13.4NGC 4590 -2.09 - - 16.8 14.1 16.4 13.2 12.9 12.1 12.1NGC 5139 -1.59 16.9 14.8 21.4 17.1 19.4 16.3 - 16.4 14.8NGC 5272 -1.66 17.8 15.6 18.7 15.0 17.0 14.2 14.2 14.0 14.0NGC 5904 -1.13 14.7 13.9 18.3 14.1 15.6 13.5 13.3 14.3 13.3NGC 6121 -1.33 15.4 14.7 19.2 15.1 16.0 13.9 14.0 15.0 13.9NGC 6171 -0.99 14.0 13.6 20.0 15.4 15.3 13.8 14.0 16.2 13.6NGC 6205 -1.65 17.3 15.1 19.1 15.4 17.5 14.6 14.6 14.5 14.5NGC 6341 -2.24 16.4 13.3 20.9 17.3 21.3 16.8 17.0 15.2 13.3NGC 6397 -1.91 22.3 17.6 20.9 16.8 20.1 16.2 16.4 15.4 15.4NGC 6752 -1.54 15.7 14.3 20.9 16.6 18.6 15.6 16.0 16.1 14.3NGC 6809 -1.82 - - 19.2 15.5 18.0 15.0 14.8 14.3 14.3NGC 7078 -2.15 15.7 12.8 18.9 15.7 19.0 15.3 15.1 13.9 12.8NGC 7099 -2.13 15.0 12.1 18.9 15.5 18.7 15.1 14.9 13.7 12.1NGC 7492 -1.82 - - 20.2 16.3 16.2 14.5 15.8 15.7 14.5Pal 5 -1.47 13.2 11.6 16.9 13.4 14.8 12.7 12.2 13.1 11.6Pal 12 -1.14 11.2 10.7 - 12.0 10.8 9.6 10.5 10.6 9.6Rupr 106 -1.90 - - - 11.1 11.3 9.5 10.0 12.0 9.5NGC 1851 -1.27 - - - 12.6 - - 11.4 -NGC 1904 -1.69 13.7 12.9 - 13.6 - - 12.6 -NGC 2298 -1.85 12.0 11.3 - 14.8 - - 14.0 -NGC 3201 -1.27 13.5 14.7 - 13.7 - - 13.0 -NGC 4147 -1.80 - - - 16.2 - - 15.6 -NGC 5053 -2.58 13.7 11.2 - 16.2 - - 14.7 -NGC 5466 -2.22 - - - 16.3 - - 15.8 -NGC 6101 -1.80 - - - 15.5 - - 12.8 -NGC 6218 -1.40 - - - 15.8 14.3 12.2 - 13.3NGC 6254 -1.54 - - - 15.3 18.5 15.6 - 12.7NGC 6656 -1.75 18.2 15.6 - 13.6 - - - -NGC 7006 -1.77 7.7 6.8 - 14.8 - - 14.5 -Pal 13 -1.79 12.7 11.2 - 13.5 - - 12.6 -

Tabelle 5.2: Altersbestimmungen von Kugelsternhaufen nach verschiedenen Autoren: IGratton (1985), II Buonanno et al. (1989), III Walker (1992), IV Carney et al. (1992),V Chaboyer et al. (1992b), VI Sandage (1993). Spalte 2 gibt die Metallhaufigkeiten nachZinn (1985).


und somitlog t9 = −0.41 + 0.44∆V − 0.055[Fe/H] . (5.13)

Wegen der unsicheren bolometrischen Korrekturen bei der Transforma-tion vom Hertzsprung–Russell–Diagramm ins FHD sieht Gratton dieseMethode als moglicherweise fehlerbehaftet an.

Ib Die zweite Methode verwendet Sandage’s Periodenverschiebungseffekt(Sandage period shift effect), der sich in einer Korrelation der Periodenvon RR Lyrae–Sternen mit ihrer Metallhaufigkeit außert. Da gleichzeitigdie Periode mit der Leuchtkraft korreliert, erhalt Gratton fur die absoluteHelligkeit:

MV (RR) = 1.035 + 0.315[Fe/H] , (5.14)

wobei das Absolutglied aus Pulsationsmodellen fur RR Lyrae–Sterne be-stimmt wird4. Damit wird

log t9 = −0.432 + 0.44∆V + 0.0136[Fe/H] .5 (5.15)

II Buonanno et al. (1989) verwenden ein relativ homogenes Sample, zu dem siedie photometrische Bestimmung der Farben–Helligkeits–Diagramme weitge-hend selbst durchgefuhrt haben. Ein interessantes Ergebnis ist, daß ∆V (TO−HB) im Rahmen der Fehler konstant ist; das Vorhandensein einer Altersstreu-ung unter den galaktischen Kugelhaufen hangt daher im wesentlichen vonder Steigung der MV (HB)–[Fe/H]–Beziehung ab. Die verwendeten Isochronenstammen von VandenBerg & Bell (1985), berucksichtigen keine α–Element–Anreicherung und nehmen Y = 0.23 und α = 1.6 an. Die daraus abgeleitetet9–MV (TO)–[Fe/H]–Relation lautet:

log t9 = −0.51 + 0.37MV (TO) − 0.13[Fe/H] . (5.16)

Die verwendeten Metallhaufigkeiten stammen von Zinn (1985).

Der Hauptzweck der Arbeit von Buonanno et al. (1989) ist die Kalibrierungder MV (HB)–[Fe/H]–Relation, diese wird entsprechend grundlich in der Ar-beit diskutiert. Fur die Steigung ∆MV (HB)/∆[Fe/H] kommen demnach dieWerte 0.37 (aus Anpassung der Hauptreihe des Haufen–FHD an Hauptrei-henmodelle) bzw. 0.18 (aus Horizontalastmodellen) in Frage. Zur Altersbe-stimmung verwenden Buonanno et al. den ersten Wert und bestimmen dasAbsolutglied der Beziehung aus einer Anpassung von Hauptreihen in Haufen–FHDs an Unterzwerge mit gemessenen Parallaxen:

MV (HB) = 1.29 + 0.37[Fe/H] . (5.17)

Damit ergibt sich:log t9 = −0.03 + 0.37∆V . (5.18)

Hier besteht keine Korrelation zwischen Alter und Metallhaufigkeit!

III Walker (1992) betrachtet ein sehr großes Sample an Kugelsternhaufen. Erverwendet sauerstoffangereicherte Isochronen von VandenBerg & Bell (1985):

log t9 = −0.51 + 0.37MV (TO) − 0.13[Fe/H]− 0.12[O/Fe]

= −0.51 + 0.37MV (TO) − 0.1[Fe/H] , (5.19)

4Tatsachlich gibt Gratton (1985) fur das Absolutglied den Wert 0.974 an. Aus den Werten,die er in seiner Tabelle 6 fur MV (RR) angibt, ist jedoch ersichtlich, daß zu ihrer Berechnung dieBeziehung (5.14) verwendet wurde.

5Alter und Metallhaufigkeit sind hier positiv korreliert!


wobei nach Bessell et al. (1991) [O/Fe] = −0.25[Fe/H] angenommen wurde.

Die Arbeit von Walker (1992) zielt vor allem auf eine Neukalibrierung derabsoluten Helligkeit der RR Lyrae–Sterne hin. Er beobachtet dazu RR Lyrae–Sterne in der großen Magellanschen Wolke, die alle etwa in der gleichen Ent-fernung von uns stehen, so daß die Entfernung mittels unabhangiger Metho-den bestimmt werden kann. Die Steigung ∆MV (RR)/∆[Fe/H] = 0.20 wirdvon Carney et al. (1992, siehe Punkt IV) ubernommen, das Absolutglied derMV (RR)–[Fe/H]–Beziehung wird zu a0 = 0.93 bestimmt. Tatsachlich gibtWalker die Beziehung fur die mittlere Helligkeit der RR Lyrae–Sterne an,wahrend eigentlich die absolute Helligkeit des Nullalterhorizontalastes gesuchtist. Ich verwende daher die Beziehung

〈V (HB)〉 = V (ZAHB) − 0.05[Fe/H]− 0.20 , (5.20)

die Sandage (1993) aus einem Sample von dreizehn Kugelsternhaufen empi-risch gefunden hat, um vom mittleren Horizontalastniveau auf den Nullalter-horizontalast umzurechnen. Mit

MV (RR) = 0.93 + 0.20[Fe/H] (5.21)

ergibt sich dann:

log t9 = −0.17 + 0.37∆V − 0.026[Fe/H] . (5.22)

Diese Beziehung unterscheidet sich von der in Walker (1992) angegebenen, daWalker falschlicherweise nicht die Umrechnung (5.20) macht.

Aus den in Walker (1992) angegebenen Werten fur ∆V (von verschiedenenAutoren; der großte Teil stammt von Buonanno et al. 1989) und [Fe/H] (vonZinn 1985) habe ich dann die in Tabelle 5.2 angegebenen Werte fur das Alterder Kugelsternhaufen berechnet.

IV Carney et al. (1992) benutzen ihre Neukalibrierung der absoluten Helligkeitder RR Lyrae–Sterne mittels der Baade–Wesselink–Methode, um das Alterder Kugelsternhaufen neu zu bestimmen. Sie verwenden die Beziehung

〈MV (RR)〉 = 1.01 + 0.15[Fe/H] (5.23)

wobei die Steigung aus der Baade–Wesselink–Methode folgt und das Absolut-glied aus statistischen Parallaxen. Carney et al. mussen, wie Walker (1992),die absolute RR Lyrae–Helligkeit zuerst vom mittleren Horizontalast auf denNullalterhorizontalast umrechnen. Sie verwenden dazu die gleichen Daten wieSandage (1993), kommen aber auf die Beziehung

〈V (HB)〉 = V (ZAHB) − 0.05[Fe/H]− 0.16 , (5.24)

also mit einem um 0.04 mag verschiedenen Absolutterm. Die absolute Hellig-keit der RR Lyrae–Sterne auf ZAHB–Niveau ergibt sich somit zu

MV (RR) = 1.21 + 0.2[Fe/H] . (5.25)

Carney et al. verwenden zur Altersbestimmung die Revised Yale Isochrones(Green et al. 1987). Sie betrachten zwei verschiedene Abhangigkeiten der Sau-erstoffuberhaufigkeit von der Metallhaufigkeit:

IVa [O/Fe] = +0.3 (5.26)

bzw. IVb [O/Fe] = 0.22 − 0.42[Fe/H] , (5.27)


wobei in beiden Fallen fur die Uberhaufigkeit der ubrigen α–Elemente [α/Fe] =+0.3 angenommen wurde. Damit berechnen Carney et al. eine logarithmischeeffektive Metallhaufigkeit [Zeff ] und verwenden die entsprechende Isochrone6.

Carney et al. geben keine explizite Formel an, mit der sie die log t9–MV (TO)–[Fe/H]–Beziehung fitten. Aus den angegebenen Daten fur t9, Mbol(TO) und[Fe/H] habe ich daher — zum Vergleich mit den anderen Arbeiten — durcheinen least squares fit, also durch Minimierung der Summe der quadratischenAbweichungen

∑

i

(b0 + b1Mbol(TO)i + b2[Fe/H]i − log t9,i)2 = min! , (5.28)

die folgenden Beziehungen rekonstruiert:

IVa log t9 = −0.59 + 0.37Mbol(TO) − 0.17[Fe/H] (5.29)

und

IVb log t9 = −0.57 + 0.36Mbol(TO) − 0.12[Fe/H] . (5.30)

Da Carney et al. außerdem nicht angeben, mit welcher bolometrischen Kor-rektur die Umrechnung von visuellen auf bolometrische Helligkeiten gemachtwurde, ubernehme ich die Angabe von Sandage, wonach MV −Mbol ≃ 0.09mag ist, und erhalte:

IVa log t9 = −0.62 + 0.37MV (TO) − 0.17[Fe/H] (5.31)

und IVb log t9 = −0.60 + 0.36MV (TO) − 0.12[Fe/H] . (5.32)

Dies ist naturlich nur eine ungefahre Abschatzung der tatsachlich von Carneyet al. verwendeten Beziehungen.

V Chaboyer et al. (1992b) untersuchen den Einfluß von Helium–Diffusion aufdas Alter der Entwicklungsmodelle von Kugelsternhaufen, finden jedoch, daßdieser Einfluß klein ist (vergleiche dazu in Chaboyer et al.’s Tabelle 3 die Er-gebnisse fur das Standardmodell mit den Ergebnissen unter Berucksichtigungder Helium–Diffusion mit zwei verschiedenen Diffusionskoeffizienten). Sie ver-wenden die Revised Yale Isochrones (Green et al. 1987), die sie durch dieBeziehung

t9 = 69.589−46.704∆V+8.434∆V 2−0.6724[Fe/H]2−1.082∆V [Fe/H] (5.33)

interpolieren. Durch Minimierung der Summe der quadratischen Abweichun-gen habe ich Chaboyer et al.’s Beziehung auf die Form (5.5) gebracht, umleichter mit den Beziehungen der anderen Autoren vergleichen zu konnen:

log t9 = −0.44635 + 0.42877∆V − 0.05159[Fe/H] . (5.34)

In der von Chaboyer et al. angegebenen Beziehung (5.33) ist die Kalibrierungder absoluten Helligkeit des Horizontalastes schon enthalten. Sie erfolgte nachHorizontalastmodellen von Lee (1990), wobei zwischen zwei Beziehungen furverschiedene Heliumhaufigkeiten interpoliert wurde (Die Art und Weise derInterpolation geht aus der Arbeit von Chaboyer et al. nicht klar hervor.).

In Tabelle 5.2 habe ich nur Chaboyer et al.’s Ergebnisse fur das Standardmo-dell (also keine Helium–Diffusion) aufgefuhrt.

6Die Revised Yale Isochrones sind ursprunglich nicht fur Sauerstoffanreicherung gerechnet.


VI Sandage (1993) verwendet seine Neukalibrierung der absoluten Helligkeit vonRR Lyrae–Sternen mittels des Sandage–Periodenverschiebungseffektes7, umdas Alter von Kugelsternhaufen zu bestimmen. Die absolute Helligkeit derRR Lyrae–Sterne bestimmt Sandage zu

〈MV (RR)〉 = 0.94 + 0.30[Fe/H] . (5.35)

Mit der Beziehung (5.20) auf den Nullalterhorizontalast umgerechnet ergibtsich daraus:

MV (RR) = 1.10 + 0.35[Fe/H] . (5.36)

Sandage verwendet die sauerstoffangereicherten Isochronen von Bergbusch &VandenBerg (1992) mit

log t9 = −0.59 + 0.39MV (TO) − 0.10[Fe/H] . (5.37)

Dabei wurde gegenuber der von Sandage angegebenen Gleichung die bolome-trische Korrektur von 0.09 mag gleich eingerechnet. Uber die Art der Sau-erstoffanreicherung laßt sich Sandage nicht aus. Insgesamt ergibt sich darausfur das Alter:

log t9 = −0.16 + 0.39∆V + 0.04[Fe/H] . (5.38)

Die altesten Haufen sind — darin stimmen die betrachteten Arbeiten im wesent-lichen uberein — NGC 6341 (M 92), NGC 6397 und NGC 5139 (ω Cen), Tabelle5.2. Insbesondere ist die minimale Altersangabe fur NGC 6397 mit 15.4 Gyr (vonSandage 1993) die großte von allen. Auch fur NGC 5139 ist das minimale Alter von14.8 Gyr (nach Gratton 1985) noch sehr hoch (allerdings liegen fur diesen HaufenBeobachtungshinweise fur eine nicht unerhebliche Streuung der Metallhaufigkeiteninnerhalb des Haufens vor — Noble et al. 1991, zitiert in Chaboyer et al. 1992b).Im Rahmen der betrachteten Arbeiten kann man daher auf eine gewisse Uberein-stimmung beim Alter der altesten Kugelhaufen bei etwa 15 Gyr schließen.

Eine weitergehende Interpretation dieses Ergebnisses muß allerdings noch dievon den Autoren angegebenen Fehler sowie die eingehenden Annahmen berucksich-tigen.

5.2.4 Fehler

Tabelle 5.3 gibt eine Ubersicht uber die verwendeten Koeffizienten in den Beziehun-gen

log t9 = b0 + b1MV (TO) + b2[Fe/H] (5.39)

undMV (RR) = a0 + a1[Fe/H] . (5.40)

Dies sind die theoretischen Beziehungen, die das Alter festlegen; in ihnen wird derUrsprung der Koeffizienten ai und bj deutlich. Die Beziehung, die das Alter mit denBeobachtungsgroßen verknupft, ist

log t9 = (b0 + b1a0) + b1∆V + (b2 + b1a1)[Fe/H] , (5.41)

bzw.t9 = exp (ln 10(b0 + b1a0) + b1∆V + (b2 + b1a1)[Fe/H]) . (5.42)

Die letzte Zeile in der Tabelle gibt die Mittelwerte fur die Koeffizienten ai und bj an,sowie den Bereich, uber den die Werte streuen. Die mittleren Beziehungen lautenalso:

log t9 = (−0.7 ± 0.3) + (0.4 ± 0.05)MV (TO) + (−0.13 ± 0.03)[Fe/H] (5.43)7Bei Sandage heißt er “Oosterhoff Period–Metallicity Effect”.


a0 a1 b0 b1 b2

Ia 0.92 0.16 -0.815 0.440 -0.125Ib 0.974 0.315 -0.815 0.440 -0.125II 1.29 0.37 -0.51 0.37 -0.13

III 0.93 0.20 -0.51 0.37 -0.1IVa 1.21 0.20 -0.62 0.37 -0.17IVb 1.21 0.20 -0.60 0.36 -0.12

V 1.17 0.21 -0.95 0.43 -0.140.99 0.22 -0.88 0.43 -0.14

VI 1.10 0.35 -0.59 0.39 -0.10Mittelwert 1.1 ± 0.2 0.26 ± 0.1 −0.7 ± 0.3 0.4 ± 0.05 −0.13 ± 0.03

Tabelle 5.3: In den verschiedenen Arbeiten verwendete Koeffizienten in den BeziehungenMV (RR) = a0 + a1[Fe/H] und log t9 = b0 + b1MV (TO) + b2[Fe/H]. Die letzte Zeile gibtdie Mittelwerte fur die Koeffizienten ai und bj mit ihrer jeweiligen Spannbreite.

undMV (RR) = (1.1 ± 0.2) + (0.26 ± 0.1)[Fe/H] . (5.44)

Anhand der Gleichungen (5.42), (5.43) und (5.44) konnen wir nun den Einflußabschatzen, den die einzelnen Fehlerquellen auf die Altersbestimmung haben. Sei pein beliebiger Parameter (einer der Koeffizienten ai, bj oder eine Beobachtungsgroße∆V oder [Fe/H]), dann gilt fur den relativen Fehler im Alter:

δt9t9

= ln 10∂ log t9∂p

δp . (5.45)

Die Fehler fur die einzelnen Parameter mit ihren Auswirkungen auf das Alter sindin Tabelle 5.4 zusammengestellt. Wo δt9/t9 noch von anderen Parametern abhangt,wird fur ai und bi der Mittelwert aus Tabelle 5.3 angenommen, außerdem ∆V = 3.6und [Fe/H] = −2. Bei der Interpretation der Tabelle ist zu beachten, daß hier jeweilsnur der Fehler eines einzelnen Parameters betrachtet wurde; tatsachlich werden aberalle Fehler zusammenspielen und sich gegenseitig verstarken oder aufheben.

Der Fehler, der beim Ablesen von ∆V (TO−HB) aus einem gegebenen Farben–Helligkeits–Diagramm gemacht wird, betragt etwa 0.15 mag (Chaboyer 1995b) undergibt einen relativen Fehler im Alter von etwa 15%. Die Große des Ablesefehlers istdurch den senkrechten Verlauf des Farben–Helligkeits–Diagramms im Bereich desHauptreihenabknickpunktes bedingt und kann im Einzelfall nicht verkleinert wer-den. Allerdings beruht die Bestimmung einer Untergrenze fur das Alter der altestenKugelsternhaufen nicht auf einem einzigen Objekt; der zufallige Ablesefehler spieltdabei nur eine untergeordnete Rolle.

Der Fehler in den Metallhaufigkeiten wirkt sich auf die Altersbestimmung nurim Prozentbereich aus und ist daher vernachlassigbar.

Die Entfernungsbestimmung ist der großte einzelne Unsicherheitsfaktor in derAltersbestimmung. Der Fehler der Steigung a1 der MV (RR)–[Fe/H]–Beziehung be-wirkt eine Fehler von ∼ 20 % im Alter; der Fehler durch das Absolutglied liegtin der gleichen Großenordnung. Zusammen bewirkt die Unsicherheit in der Entfer-nungsbestimmung einen Fehler δt9/t9 ∼ 30 %; bei t9 ∼ 15 Gyr macht dies etwa 4Gyr aus. Eine genauere Kalibrierung von MV (RR) ist daher zur Verbesserung derAltersbestimmung von Kugelsternhaufen dringend erforderlich.

Die Gleichung (5.33) von Chaboyer et al. (1992) weist gegenuber den Punktenihres Isochronengitters eine mittlere quadratische Streuung von 0.15 Gyr auf, derentsprechende relative Fehler, der durch eine solche Anpassung gemacht wird, liegt


Parameter Fehler δt9/t9

∆V 0.15 0.15[Fe/H] 0.3 0.01a0 0.2 0.18a1 0.1 0.2(b0) (0.3) (0.7)(b1) (0.05) (0.5)(b2) (0.03) (0.14)

Tabelle 5.4: Fehler der einzelnen Parameter und ihr Einfluß auf die Altersbestimmung.

also im Prozentbereich und ist vernachlassigbar. Darin enthalten sind naturlich nochnicht systematische Fehler, die durch Annahmen in den Sternentwicklungsmodellengemacht werden!

Die Fehlerangaben zu den Koeffizienten bi sind einzeln nicht ernstzunehmen(und daher in Tabelle 5.4 eingeklammert), da es sich bei der Gleichung (5.42) umeine Ausgleichsbeziehung in einem diskreten Gitter handelt, d. h. die Koeffizien-ten bi werden zusammen bestimmt, und entsprechend kann nur ihre gemeinsameFehlerwirkung untersucht werden, besonders, da die Gute der Anpassung an dieIsochronengitter so gut ist. Der Einfluß von Fehlern in Sternentwicklungsmodellenentsteht schon vorher.

Chaboyer (1995) untersucht die Auswirkungen, die die Parameter, die in dieBestimmung der Isochronen eingehen, auf die Altersbestimmung haben. Er findet,daß die großte Fehlerquelle die unsichere Behandlung der Konvektion ist. In denModellen wird im allgemeinen eine solare Mischungslange von α = 1.7 angenommen.Nimmt man stattdessen eine sehr hohe (niedrige) Mischungslange α = 3.0 (1.0), soweicht das bestimmte Alter vom Standardwert um bis zu 10 % ab. Es liegen keineBeobachtungshinweise auf eine außergewohnlich hohe oder niedrige Mischungslangein Hauptreihensternen in Kugelsternhaufen vor, andererseits sieht Chaboyer auchkeine Moglichkeit, derartige Werte auszuschließen.

Die Unsicherheit in der Wahl der Farbtransformation beim Ubergang vom Hertz-sprung–Russell–Diagramm ins Farben–Helligkeits–Diagramm bewirkt einen relati-ven Fehler von etwa 5 % in der Altersbestimmung.

Eine weitere ernstzunehmende Fehlerquelle liegt in der Nichtberucksichtigungnichtidealer Korrekturen zu den verwendeten Zustandsgleichungen. Die ublichenSternentwicklungsmodelle behandeln die stellare Materie als ideales (klassischesoder Quanten-, entartetes oder nichtentartetes) Gas. Nichtideale Korrekturen fuhrenzu Anderungen in der Altersbestimmung von etwa 5 %.

Helium–Diffusion hat in den Modellen einen Einfluß von etwa 7 % auf das Alter.Allerdings deutet die Tatsache, daß die Lithium–Haufigkeit in Halo–Sternen ubereinen weiten [Fe/H]–Bereich etwa konstant ist (Spite & Spite 1982), darauf hin, daßHelium–Diffusion in Sternen tatsachlich keine Rolle spielt und daher auch in denEntwicklungsmodellen vernachlassigt werden kann.

Die ubrigen Annahmen in den Entwicklungsmodellen haben auf das Alter einenEinfluß hochstens im Bereich von einigen Prozent.

5.2.5 Zusammenfassung: Kugelsternhaufen

Die in Abschnitt 5.2.3 diskutierten Arbeiten zur Altersbestimmung in Kugelhaufenunterscheiden sich in den gemachten Annahmen zum Teil erheblich. Dennoch ist ausTabelle 5.2 ersichtlich, daß die Autoren fur das Alter der altesten Kugelsternhaufenrecht konsistent t >∼ 15 Gyr angeben. Man sollte sich aber davor huten, in dieser Zahl


eine strenge Untergrenze fur das Alter des Universums zu sehen: Die Unsicherheitenin der Altersbestimmung sind noch zu vielfaltig und unverstanden. Insbesondere isthier die Unsicherheit in der Entfernungsbestimmung hervorzuheben.

Mit der “besten Beziehungen”

MV (RR) = 1.2 + 0.2[Fe/H] (5.46)

ergeben sich fur das Alter der altesten Kugelsternhaufen Werte im Bereich von∼ 18 Gyr. Akzeptiert man dagegen die Kalibration der RR Lyrae–Helligkeit in derGroßen Magellanschen Wolke von Walker (1992) so ergeben sich Alterswerte, dieetwa 4 Gyr niedriger liegen (mit den New Yale Isochrones, Chaboyer 1995; mit denIsochronen, die Walker in seiner Arbeit verwendet, liegen auch seine Ergebnisse bei>∼ 16 Gyr). Obwohl die derzeitigen Beobachtungen eher fur die galaktische Kalibra-tion (5.46) zu sprechen scheinen, ist diese Frage noch nicht endgultig geklart. DieUnsicherheiten in den Sternentwicklungsrechnungen sind dagegen verhaltnismaßigklein und machen hochstens noch eine Abweichung nach unten von ∼ 1 . . . 2 Gyraus. Daher kann man konservativ eine Untergrenze fur das Alter der altesten Ku-gelsternhaufen von

tWalker >∼ 13 Gyr (5.47)

annehmen. Mit der RR Lyrae–Kalibration (5.46) ergibt sich eine strengere Unter-grenze

tgal >∼ 17 Gyr . (5.48)

5.3 Weiße Zwerge

Weiße Zwerge stellen die Endstadien in der Entwicklung von Sternen mit Anfangs-massen <∼ 7 . . . 8M⊙ dar. In ihnen ist der Vorrat an thermonuklearem Brennma-terial aufgebraucht, die gesamte abgestrahlte Energie stammt aus der thermischenEnergie, die in den nichtentarteten Ionen im Kern des Sterns gespeichert ist (siehez. B. Fontaine & Wesemael 1992). Ein Weißer Zwerg kann also nur noch abkuhlen;dementsprechend ist die Theorie der Entwicklung Weißer Zwerge im Prinzip rechteinfach. Die Zeitskala fur die Abkuhlung ist vergleichbar mit dem Alter des Milch-straßensystems, so daß man hoffen kann, eine Untergrenze fur das Alter des Univer-sums zu finden, wenn es gelingt, das Alter der altesten Weißen Zwerge zu bestimmen.

Die Leuchtkraftfunktion der Weißen Zwerge kann wegen der geringen intrinsi-schen Leuchtkrafte und der begrenzten Reichweite der parallaktischen Entfernungs-bestimmung bisher nur in der Umgebung der Sonne bis zu einer Entfernung von∼ 15 pc beobachtet werden. Die damit erfaßten Weißen Zwerge gehoren kinema-tisch zum uberwiegenden Teil der alten galaktischen Scheibenpopulation an, dieBeitrage vom galaktischen Halo und der jungen Scheibenpopulation machen je-weils etwa 5 % aus. Die beobachtete Leuchtkraftfunktion steigt mit abnehmenderLeuchtkraft an (Abb. 5.3), wie zu erwarten ist, wenn man berucksichtigt, daß hei-ße, leuchtkraftige Weiße Zwerge schneller abkuhlen als kuhle, leuchtschwache. Beieiner Leuchtkraft logL/L⊙ ≃ −4.5 beobachtet man dagegen einen plotzlichen Ab-fall in der Leuchtkraftfunktion, schwachere Weiße Zwerge werden nicht gefunden(Winget et al. 1987). Dieses Defizit an leuchtschwachen Weißen Zwergen ist real: Eskommt nicht durch die Flußbegrenzung der verwendeten Sternkataloge zustande!Man kann diese Beobachtung erklaren, indem man annimmt, daß die altesten Wei-ßen Zwerge in der galaktischen Scheibe noch sichtbar sind, d. h. daß die Zeit seitder Entstehung der Galaxis zu kurz war, als daß die altesten Weißen Zwerge unterdie Sichtbarkeitsgrenze hatten abkuhlen konnen. Winget et al. (1987) konnen durchModellierung der beobachteten Leuchtkraftfunktion das Alter der altesten WeißenZwerge bestimmen.

5.3. WEISSE ZWERGE 73

Abbildung 5.3: Die Leuchtkraftfunktion Weißer Zwerge in der Umgebung der Sonne (ausWinget et al. 1987)

Die Leuchtkraft eines Weißen Zwerges hangt von seiner Masse und seinem Alterab (genauer von der Zeit seit dem Eintreten in das Stadium des Weißen Zwerges).Unter der Annahme, daß die Entstehungsrate Weißer Zwerge uber die Geschichteder galaktischen Scheibe hinweg konstant war, modellieren Winget et al. die Leucht-kraftfunktion Weißer Zwerge durch Addition der Abkuhlsequenzen fur verschiedeneMassen, gewichtet nach den beobachteten Haufigkeitsverhaltnissen der jeweiligenMassen. Da die Massenverteilung Weißer Zwerge im Feld sehr stark von Sternenmit ≃ 0.6M⊙ dominiert wird (die Streuung betragt nur σ ≃ 0.1M⊙, Sion 1992),wird der Abfall der Leuchtkraftfunktion bei einem gegebenen Alter im wesentlichendurch die altesten Sterne dieser Masse bestimmt und ist daher sehr steil.

Winget et al. (1987) vergleichen den Abfall in der Modelleuchtkraftfunktion mitdem Abfall der beobachteten Leuchtkraftfunktion und finden daraus fur die altestenWeißen Zwerge:

tWD = 9.0 ± 1.8 Gyr . (5.49)

Die Lebensdauer der entsprechenden Sterne vor dem Eintritt in das Stadium desWeißen Zwerges betragt etwa 0.3 Gyr (diese Zeit ist offensichtlich kleiner als derFehler in tWD), so daß Winget et al. fur das Alter der galaktischen Scheibe finden:

tdisk = 9.3 ± 2.0 Gyr . (5.50)

Die Hauptunsicherheiten in diesem Ergebnis liegen in dem verwendeten Modellfur die Abkuhlung der Weißen Zwerge: Winget et al. benutzen ein Modell, dasdie Weißen Zwerge als homogen und aus reinem Kohlenstoff bestehend beschreibt.Tatsachliche Weiße Zwerge haben aber Beimischungen von Sauerstoff im Kern undvon Helium (Wasserstoff nur in heißeren Weißen Zwergen) in der Hulle. Winget etal. schatzen den Einfluß von Hullen–Helium (uber die Opazitaten) und von Kern–Sauerstoff (uber die Warmekapazitat) auf die Abkuhlzeit zu jeweils etwa 15 %ab; die beiden Effekte wirken jedoch im entgegengesetzten Sinn und heben sichgegenseitig etwa auf. Aus diesem Grunde berucksichtigen Winget et al. diese Effektenicht explizit, sondern nehmen nur einen Fehler von 15% im bestimmten Alter an.


Eine weitere vereinfachende Annahme in der Methode ist die einer konstantenEntstehungsrate fur Weiße Zwerge. Da zur Altersbestimmung aber nur das vonalten Sternen dominierte leuchtschwache Ende der Leuchtkraftfunktion im Bereichdes Abfalls von Bedeutung ist, ist diese Annahme unkritisch.

Ein weitergehender Schluß auf das Alter der Galaxis erfordert genauere Kennt-nis der Entstehungsgeschichte des Milchstraßensystems. Es herrscht allgemeine Ube-reinkunft daruber, daß die galaktische Scheibe junger ist als der galaktische Halo; dieentsprechenden Zeitskalen sind allerdings noch sehr kontrovers, so daß das Ergebnis(5.50) nur als Untergrenze fur das Alter der Galaxis und des Universums gesehenwerden kann (Winget et al. nehmen fur die Zeit vom Urknall bis zur Entstehungder galaktischen Scheibe 1 Gyr an und bestimmen so das Alter des Universums auf10.3 Gyr; wie im Abschnitt 5.2 gezeigt wurde, scheinen die Kugelsternhaufen jedochum wenigstens 2 bis 3 Gyr alter zu sein, so daß Winget et al.’s Abschatzung etwasgewagt erscheint.). Die Bedeutung der Altersbestimmung Weißer Zwerge liegt vorallem in einem Konsistenztest zu den ubrigen Alterstests und darin, daß sie eineverhaltnismaßig sichere Untergrenze fur das Alter des Universums liefert.

5.4 Nukleokosmochronologie

Die Existenz langlebiger Isotope, die in den ersten Sterngenerationen gebildet wur-den und Lebensdauern in der Großenordnung der Hubble–Zeit haben, ermoglichtes, aus der Untersuchung der Isotopenverhaltnisse den Zeitraum zu bestimmen, derseit der ersten Sternentstehung im Universum vergangen ist. Bei der Darstellungdes Prinzips dieser Methode orientiere ich mich an Peebles (1993), eine detaillierteUbersicht uber nukleokosmochronologische Verfahren bieten beispielsweise Cowanet al. (1991).

Wenn wir der Einfachheit halber zunachst annehmen, daß zwei Isotope A undB mit Zerfallskonstanten λA bzw. λB zu einem Zeitpunkt t1 in der Vergangenheit8

mit dem Produktionsverhaltnis (A/B)p entstanden sind, so betragt das heutigeIsotopenverhaltnis

A

B=

(

A

B

)

p

e−λAt1

e−λBt1. (5.51)

A/B, λA und λB sind meßbar, (A/B)p muß aus einem Modell fur die Entstehungschwerer Elemente in Supernovae berechnet werden, so daß t1 aus dieser Gleichungbestimmt werden kann.

Tatsachlich hat die Entstehung der schweren Elemente nicht zu einem Zeitpunktstattgefunden, sondern verteilt uber den Zeitraum von der ersten Sterngenerationtg bis zur Entstehung des Sonnensystems, te. Es wird angenommen, daß das Son-nensystem seit seiner Entstehung chemisch isoliert ist, also kein Material von außenmehr aufgenommen hat, so daß bei der Berechnung von te nur der reine Kern-zerfall berucksichtigt werden muß. Der Anteil der Elemente, der zum Zeitpunkt tentstanden ist, sei

df =df

dtdt mit

tg∫

te

df

dtdt = 1 . (5.52)

Wenn die gesamte entstandene Menge eines Isotops A mit Ap bezeichnet wird (Aund Ap sind absolut nicht meßbar, meßbar sind nur Isotopenverhaltnisse), so ist derheute noch vorhandene Bruchteil von A, der zum Zeitpunkt t entstanden ist,

dA = Ap df e−λAt = Ap e−λAt df

dtdt , (5.53)

8Die Zeit werde in diesem Zusammenhang positiv von heute in die Vergangenheit gemessen.

5.4. NUKLEOKOSMOCHRONOLOGIE 75

so daß die heute vorhandene Menge des Isotops A

A = Ap

tg∫

te

e−λAt df

dtdt (5.54)

ist. Das Verhaltnis zweier Isotope A und B ist

A

B=

(

A

B

)

p

tg∫

te

e−λAt dfdt dt

tg∫

te

e−λBt dfdt dt

. (5.55)

Das Alter des Sonnensystems kann aus der Messung von Isotopenverhaltnissenin Meteoriten und ozeanischen Sedimenten sehr genau bestimmt werden und betragt

te = 4.6 ± 0.1 Gyr (5.56)

(Wasserburg et al. 1977). (A/B)p wird aus der Theorie der Elemententstehungin Supernovae bestimmt, A/B wird heute gemessen. Das Alter der Elemente, tg,kann somit bestimmt werden, wenn eine Annahme uber den zeitlichen Verlauf derElemententstehungsrate (also der Supernovarate) df

dt gemacht wird.Ein plausibles Modell geht auf Dicke zuruck: Danach entsteht ein Bruchteil F

der Elemente in einem kurzen Burst zum Zeitpunkt tg, der Rest (1 − F ) entstehtmit konstanter Rate im Zeitraum (tg − te). Der Anteil von A, der dem anfanglichenBurst entstammt, ist

Aburst = F Ap e−λAtg , (5.57)

der Rest ist

Aconst = Ap

tg∫

te

(1 − F ) dt

tg − tee−λAt = Ap e−λAtg

1 − F

λA(tg − te)

(

eλA(tg−te) − 1)

,

(5.58)also

A = Aburst +Aconst = Ap e−λAtg

[

F +1 − F

λA(tg − te)

(

eλA(tg−te) − 1)

]

. (5.59)

Das maximale Alter tg ergibt sich in diesem Modell, wenn F = 0 ist, d. h. wennsich die Elemententstehung gleichmaßig uber die Geschichte der Galaxis verteilt. Indiesem Fall ist das mittlere Alter der Elemente

∆ = te +tg − te

2, (5.60)

alsotconstg = 2∆ − te . (5.61)

Im Falle F = 1 waretburstg = ∆ . (5.62)

Wegen ∆ > te ist tconstg > tburst

g .Die geeignetsten Isotope fur die Nukleokosmochronologie sind 232Th (208Pb)

mit einer Lebensdauer τ = λ−1 = 20.270 Gyr, 235U (207Pb) mit τ = 1.0154 Gyrund 238U (206Pb) mit τ = 6.4464 Gyr (Fowler 1987). In Klammern sind jeweils dieEndprodukte der entsprechenden Zerfallsreihen genannt. Weitere langlebige Isotope,deren Anwendung auf die Nukleokosmochronologie allerdings durch theoretische


Probleme erschwert wird, sind 187Re (187Os) mit τ = 62.8 Gyr und 87Rb (87Sr) mitτ = 69.2 Gyr.

Fowler (1987) bestimmt aus den relativen Haufigkeiten dieser Isotope die Para-meter F und tg zu

F = 0.17 ± 0.02 und tg = 10.0 ± 1.5 Gyr. (5.63)

Die tatsachlichen Unsicherheiten in den Produktionsverhaltnissen und den Mo-dellen zur chemischen Evolution der Galaxis sind erheblich großer als der von Fowlerangegebene formale Fehler. Ubersichten uber Ergebnisse aus nukleokosmochronolo-gischen Untersuchungen (z. B. Clayton 1991, Cowan et al. 1991) geben daher stetssehr weite Bereiche fur das bestimmte Alter der Elemente. Sicher scheint in diesemZusammenhang eine untere Grenze fur das Alter der Galaxis

tg > 10 Gyr (5.64)

zu sein.

5.5 Zusammenfassung: Galaktische Alterstests

Die in den vorangegangenen drei Abschnitten besprochenen Alterstests bezogensich alle auf Methoden und Objekte innerhalb des Milchstraßensystems. Die altestenObjekte in der Galaxis sind Kugelsternhaufen; fur ihr Alter wurde eine konservativeAbschatzung gefunden:

t0 >∼ 13 Gyr; (5.65)

sowie eine optimistischere:t0 ∼ 17 Gyr. (5.66)

Die beiden anderen Tests — Weiße Zwerge und radioaktive Isotope — bestimmendas Alter der galaktischen Scheibe und ergaben eine weniger starke Untergrenzevon

t0 > 10 Gyr. (5.67)

Dieses Ergebnis ist insofern wertvoll, als es die Konsistenz zu den Altersbestimmun-gen von Kugelsternhaufen zeigt.

Die Abbildungen 5.4 und 5.5 zeigen die Konsequenzen dieser Altersbestimmun-gen fur die kosmologischen Parameter. In Abbildung 5.4 sind die Konturlinien furdas heutige Weltalter t0 = 13 Gyr in der ΩM–ΩΛ–Ebene geplottet; Abbildung 5.5zeigt dasselbe fur t0 = 17 Gyr. In beiden Fallen sind die Konturlinien fur vier Wertevon H0 geplottet: H0 = 40, 50, 80 und 100 km s−1 Mpc−1, dazu die Grenzlinie zuden Nichturknallmodellen.

In beiden Fallen hangen die moglichen Einschrankungen, die man fur die kos-mologischen Parameter machen kann, stark vom Wert des Hubble–Parameters H0

ab. Nur fur ΩΛ kann man eine feste Einschrankung gewinnen: Im Falle t0 = 13 Gyr(Abbildung 5.4) ist ΩΛ > −2.2, falls H0 = 50, und ΩΛ > 0.2, falls H0 = 80. Im Fallet0 = 17 Gyr gilt entsprechend ΩΛ > −0.5 fur H0 = 50 und ΩΛ > 0.6 fur H0 = 80.Sollte sich also die Messung H0 = 80 km s−1 Mpc−1 aus den Cepheiden im Virgo–Haufen bestatigen, kann gefolgert werden, daß die kosmologische Konstante Λ aufjeden Fall positiv ist, da Weltmodelle mit ΩΛ ≤ 0 nicht alt genug sind, um mit denBeobachtungen konsistent zu sein. In Verbindung mit bekannten Untergrenzen furΩM (ΩM > 0.1) lassen sich diese Einschrankungen noch ein wenig verbessern.

Fur ΩM konnen keine unmittelbaren Folgerungen gezogen werden. Die Kurvent0 = const. schneiden alle die Ortskurve der Weltmodelle mit antipodischem z =3.27, jedoch fur H0 = 50 und t0 = 17 Gyr erst bei ΩM ≃ 4.

5.5. ZUSAMMENFASSUNG: GALAKTISCHE ALTERSTESTS 77

ΩΛ

ΩM

t0 = 13 Gyr

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1.2.

3.4.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1.2.

3.4.

Abbildung 5.4: Konturlinien t0 = 13 Gyr fur H0 = 40, 50, 80, 100 (von links nachrechts); ganz rechts die Grenzlinie zu den Bounce–Modellen in der ΩM–ΩΛ–Ebene.


ΩΛ

ΩM

t0 = 17 Gyr

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1.2.

3.4.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1.2.

3.4.

Abbildung 5.5: Wie Abbildung 5.4 mit t0 = 17 Gyr.

5.6. HOCHROTVERSCHOBENE GALAXIEN 79

5.6 Hochrotverschobene Galaxien

Als letzten Alterstest mochte ich einen Test vorstellen, der das Alter des Universumsbei einer gegebenen Rotverschiebung z abschatzt. Der Zusammenhang zwischen demAlter des Universums und der Rotverschiebung folgt aus Gleichung (5.3), wenn dieuntere Integrationsgrenze durch z ersetzt wird:

t(z) =c

H0

∞∫

z

dz

(1 + z)E(z)

=c

H0

1∫

(1+z)−1

√xdx√

ΩM + Ωkx+ ΩΛx3. (5.68)

Um aus dieser Beziehung die Parameter ΩM und ΩΛ zu bestimmen, werden Ob-jekte bei großer Rotverschiebung benotigt, deren Alter hinreichend genau aus denbeobachteten Eigenschaften bestimmt werden kann. Das Alter kann dann als Un-tergrenze fur das Alter des Universums bei dieser Epoche dienen.

In den letzten Jahren wurden große Fortschritte bei der Beobachtung hochrot-verschobener Radiogalaxien in optischen und infraroten Bandern gemacht. Zu denderart beobachteten Galaxien zahlen 6C 1232+39 bei z = 3.22 (Eales et al. 1993),B2 0902+34 bei z = 3.4 (Eisenhardt & Dickinson 1992), 4C 41.17 bei z = 3.80(Chambers et al. 1990, Miley et al. 1992, Graham et al. 1994) sowie die hochstrot-verschobene optisch identifizierte Galaxie 8C 1435+63 bei z = 4.25 (Spinrad et al.1995). Unter der Annahme, daß das im Optischen und Infraroten beobachtete Lichtstellaren Ursprungs ist, also aus der eigentlichen Galaxie stammt, kann die beob-achtete spektrale Energieverteilung (SED) mit Populationssynthesemodellen (z. B.von Charlot & Bruzual 1991 und Bruzual & Charlot 1993) verglichen werden. Dasam besten passende Modell liefert dann eine Abschatzung fur das Alter der Galaxie.

Alle bisher diskutierten Alterstests wurden innerhalb unserer eigenen Galaxisgemacht. Dabei wurde stets angenommen, daß das Alter der Galaxis eine guteAbschatzung fur das Alter des Universums ist, d. h. daß die Galaxis nur kurze Zeitnach dem Urknall entstanden ist. Dabei stellt sich die Frage nach dem zeitlichenRahmen fur die Galaxienentstehung im Universum: Sind alle Galaxien mehr oderweniger gleichzeitig entstanden, oder erstreckte sich die Galaxienentstehung ubereinen langeren Zeitraum? Es ist in Anbetracht dieser Unsicherheit sinnvoll zu ver-suchen, das Alter anderer Galaxien zu bestimmen, einerseits, um Aufschluß uberdie Galaxienentstehungsepoche zu erhalten, andererseits, um moglicherweise einebessere Untergrenze fur das Weltalter zu bekommen, falls namlich das Milchstra-ßensystem tatsachlich erst spat in der Geschichte des Universums entstanden seinsollte.

Die Abhangigkeit des Alters t(z) von den kosmologischen Parametern ΩM undΩΛ ist von der des heutigen Weltalters verschieden. Insbesondere ist t(z) bei hohen zvon ΩΛ weitgehend unabhangig, wie schon aus der unterschiedlichen Zeitabhangig-keit von ΩM und ΩΛ ersichtlich ist (siehe Abschnitt 2.4 und die Abbildungen 5.9,5.10 und 5.12). Der Alterstest mit hochrotverschobenen Radiogalaxien liefert alsoauch in dieser Hinsicht Ergebnisse, die vom Test mit Kugelsternhaufen unabhangigsind.

Spiralgalaxien und elliptische Galaxien bei niedriger Rotverschiebung befindensich bezuglich ihrer spektralen Energieverteilung in einer Art Gleichgewicht: BeiGalaxien im Alter von ∼ 4 Gyr bis ∼ 20 Gyr andert sich die spektrale Energiever-teilung kaum mit der Zeit. Bei Spiralgalaxien liegt dies an der ungefahr konstantenSternentstehungsrate in der galaktischen Scheibe (Die massereichen Sterne, die dieLeuchtkraft der Galaxie dominieren, entstehen mit der gleichen Rate wie sie ver-


gehen.), bei den elliptischen Galaxien (in denen keine massereichen Sterne mehrvorhanden sind) wird das Licht von langlebigen (∼ 10 . . .20 Gyr) Sternen nied-riger Masse dominiert. Eine Ausnahme bilden irregulare Galaxien, die allerdingstatsachlich erst spat in der Geschichte des Universums entstanden sind (Bruzual &Charlot 1993).

Aus all dem folgt, daß das Alter von alten Galaxien bei niedriger Rotverschie-bung praktisch nicht bestimmt werden kann9. Wir sind daher auf hochrotverscho-bene Galaxien angewiesen. Diese sind jung und entwickeln sich sehr rasch, so daßdas jeweils durchlaufene Entwicklungsstadium recht einfach aus der beobachtetenspektralen Energieverteilung identifiziert werden kann.

Die Bestimmung des Alters von Objekten bei hoher Rotverschiebung liefert zu-dem einen Test des Friedmann–Robertson–Walker–Modells: Da auf diese Weise Al-ter und Rotverschiebung verknupft werden, stutzt ein Ergebnis, welches im Rahmendieses Modells konsistent ist mit Altersbestimmungen in unserer Galaxis, die kos-mologische Interpretation der Rotverschiebung.

5.6.1 Beobachtungen des stellaren Lichtes

Das in den roten und nahinfraroten Bandern beobachtete Licht entspricht im Ruhsy-stem der hochrotverschobenen Galaxie blauem bis nahultraviolettemLicht. Beispelsweise wird bei einer Galaxie mit z ∼ 4 im K-Band (2.2µm) Lichtaus dem B-Band (4400 rA) beobachtet. Bei vielen hochrotverschobenen Galaxi-en sind die im Optischen und Infraroten sichtbaren Regionen ausgedehnt und inRichtung der Radiostruktur gestreckt (alignment). In 4C 41.17 stimmen die Struk-turen der optischen und der Radioemission auch auf kleinen Skalen (∼ 500 pc) sehrgut uberein (Miley et al. 1992). Alle oben genannten Galaxien zeigen ausgedehnteLyα–Emissionsgebiete.

Die Spektren dieser jungen Galaxien zeigen eine typische Struktur:

• Bei Wellenlangen, die kurzer sind als die von Lyα, fallt der Strahlungsflußrapide ab. Dies konnte eine Folge der Absorption im Lyα–Forest (in Wolkenin der Nahe der Radiogalaxie) sein (Spinrad et al. 1995). Chambers et al.(1990) finden jedoch, daß der Abfall etwa dreimal so stark ist, wie ublicher-weise im Lyα–Forest, dagegen konsistent ist mit dem Abfall in einem stellarenKontinuum.

• Chambers et al. (1990) finden im Spektrum von 4C 41.17 Hinweise auf ei-ne Kante bei 1500 rA (im Ruhsystem), wie in einem stellaren Kontinuumzu erwarten ist (siehe Abschnitt 5.6.2). Eine solche Kante tritt auch in densummierten Spektren hochrotverschobener Radiogalaxien von Chambers &McCarthy (1990) auf.

• Im nahen Ultraviolett (zwischen 1500 rA und 2000 rA im Ruhsystem) verlau-fen die gut untersuchten Spektren von 4C 41.17 (Chambers et al. 1992) und6C 1232+39 (Eales et al. 1992) annahernd flach.

• Im K–Band (∼ 4000 rA im Ruhsystem) sind alle betrachteten Galaxien er-heblich heller als bei kurzeren Wellenlangen. Dieser Anstieg beim Ubergangvom nahen Ultraviolett zum sichtbaren Spektralbereich wird als “red bump”bezeichnet.

9Die Altersbestimmung bei extragalaktischen Kugelsternhaufen ist nur noch in den Magellan-schen Wolken moglich; dabei ergibt sich, daß die magellanschen Kugelsternhaufen durchweg sehrjung sind.


In Abb. 5.6 sind die beobachteten spektralen Energieverteilungen von 6C 1232+39(aus Eales et al. 1992) und 4C 41.17 (aus Chambers et al. 1990) gezeigt. In der Abbil-dung sind schon Modellspektren mit eingetragen, die man sich zunachst wegdenkensollte!

5.6.2 Ursprung der Kontinuumsstrahlung

Hochrotverschobene Galaxien konnen naturlich nicht in Einzelsterne aufgelost wer-den; nicht einmal die detaillierte Struktur der Galaxien kann beobachtet werden.Es ist daher nicht von vornherein klar, daß das beobachtete Licht tatsachlich vonSternen herruhrt. Chambers & Miley (1990) diskutieren alternative Modelle fur denUrsprung des optischen und infraroten Kontinuums:

• Synchrotronstrahlung: Die Hypothese, das optische und infrarote (im Ruhsy-stem nahultraviolette) Kontinuum stelle den hochenergetischenSchwanz des Radiosynchrotronspektrums dar, kann durch Messung der Spek-tralindizes α10 verworfen werden. Miley et al. (1992) bestimmen den Spektra-lindex zwischen dem Radiobereich (14 GHz) und dem Optischen (6900 rA)zu αR−opt = −0.8. Das Spektrum im Optischen ist erheblich flacher als dasSpektrum im Radiobereich mit αR = −1.35 (zwischen 5 GHz und 14 GHz). Extrapolation des Radiosynchrotronspektrums ins Optische fuhrt daher zueinem Fluß, der nur etwa 1/300 des gemessenen optischen Flusses betragt.

• Inverse Comptonstreuung: Durch Streuung an den relativistischen Elektronenkonnen Photonen der kosmischen Hintergrundstrahlung (derenTemperatur bei z ∼ 4 funfmal so hoch ist wie heute) Energie gewinnen undin kurzerwellige Bander gestreut werden. Allerdings mußten in den Radiojetserhebliche Abweichungen von der Gleichverteilung der Energie auf das Ma-gnetfeld und die kinetische Energie der Elektronen auftreten. Spinrad et al.(1995) halten eine Kontamination des I–Bandes in 8C 1435+63 durch inver-sen Compton–Effekt fur moglich, nicht aber des K–Bandes. Ware dies derFall, so ware die Farbe I −K noch roter als beobachtet. Da aus den Spektrender jungen Galaxien Untergrenzen fur das Alter des Universums abgeschatztwerden sollen, kann auf eine Korrektur fur den inversen Compton–Effekt (diedas Alter heraufsetzen wurde) vorerst verzichtet werden.

• Elektronenstreuung: Streuung des Lichtes eines verdeckten aktiven Galaxien-kerns an Elektronen hatte keinen Einfluß auf die Form der spektralen Ener-gieverteilung, so daß das nichtthermische Spektrum eines typischen Quasarsbeobachtet werden mußte. Das tatsachlich beobachtete Spektrum hat abereine vollig andere Form, so daß Streuung an Elektronen hochstens eine unter-geordnete Rolle spielen durfte.

• Streuung an Staub: In einigen hochrotverschobenen Radiogalaxien wird teil-weise polarisiertes blaues Licht beobachtet (di Serego Alighieri et al. 1989).Dies deutet auf Streuung des Lichtes eines verdeckten aktiven Galaxienkernsan Staub hin. Allerdings sollte in den Galaxien wegen der starken Lyα–Emission nicht viel gleichmaßig verteilter Staub vorhanden sein. Streuungan Staub ist fur rotes Licht nicht sehr effektiv; es ist daher schwierig, dasalignment der infraroten und der Radioemission durch Staubstreuung zu er-klaren. Miley et al. (1992) beobachten in 4C 41.17 eine sehr genaue Uberein-stimmung zwischen der optischen und Radioemission auch auf sehr kleinenSkalen (∼ 500 pc). Insbesondere weicht die Orientierung der langlichen Kern-region (∼ 2 kpc) von den außeren 10. . . 15 kpc um 7 ± 2 ab, was durch

10S ∝ να


Abbildung 5.6: (a) Spektrale Energieverteilung von 4C 41.17 bei z = 3.8 (aus Chamberset al. 1990). Die großen Quadrate geben photometrische Messungen in den angegebenenBandern wieder, die kleinen Quadrate sind durch Integration aus einem Spektrum niedrigerAuflosung gewonnen. Zusatzlich sind Modellspektren fur verschiedene Sternentstehungs-raten eingezeichnet. (b) Spektrale Energieverteilung von 6C 1232+39 bei z = 3.22 (ausEales et al. 1992). Die oberen Meßpunkte, an die ein Modellspektrum angepasst ist, geltenfur die eigentliche Galaxie, die unteren fur eine Komponente in der Nahe der Galaxie. Inbeiden Fallen sind Ruhwellenlangen aufgetragen.


Prazession der Elektronenquelle (in diesem Modell identisch mit der Photo-nenquelle) erklart wird. Da jedoch die Geschwindigkeit der Elektronen nuretwa 5% der Lichtgeschwindigkeit betragt, ist die Ubereinstimmung der opti-schen und der Radioemission in 4C 41.17 im Rahmen des Streubildes nur durchZufall zu erklaren und favorisiert ein Modell, in dem das optische Licht ausSternen stammt, deren Entstehung durch die Radio–Aktivitat ausgelost wird.Weiter sollte Streuung an Staub zu einer großen Streuung in der Leuchtkraft-verteilung der Radiogalaxien fuhren; das K–Band–Hubble–Diagramm zeigtjedoch, daß diese Streuung sehr klein ist. Obwohl also vermutlich Staub inhochrotverschobenen Galaxien vorhanden ist (und wegen der damit verbun-denen Rotung des Lichtes ein potentielles Problem fur die Altersbestimmungdarstellt), sollte an Staub gestreutes Licht des aktiven Galaxienkerns zumoptischen und infraroten Kontinuum nur einen kleinen Beitrag liefern.

Dagegen sprechen viele Grunde fur einen stellaren Ursprung des optischen undinfraroten Kontinuums (Chambers et al. 1990):

• Chambers & McCarthy (1990) finden in summierten Spektren hochrotverscho-bener Galaxien Absorptionsfeatures, die typischen stellaren Absorptionslinienentsprechen. Dies stellt wohl den gewichtigsten Hinweis auf einen stellarenUrsprung der Kontinuumsstrahlung dar.

• Die Spektren hochrotverschobener Galaxien ahneln den Spektren typischerGalaxien und konnen durch stellare Populationssynthesemodelle gut beschrie-ben werden.

• Die Abnahme des Kontinuumsflusses bei Lyα zu kurzeren Wellenlangen hinist etwa dreimal so stark wie ublicherweise im Lyα–Forest, dagegen konsistentmit Sternen.

• Das alignment der Emissionsgebiete des optischen und infraroten Kontinuumsund der Radiostrahlung kann durch ein Modell erklart werden, in dem mit denRadiojets verbundene Stoßwellen Sternentstehung im umgebenden Mediumauslosen.

Ich werde daher im folgenden annehmen, daß das optische und infrarote Kontinuumausschließlich von Sternen herruhrt, und etwaige sonstige Beitrage außer acht lassen.

5.6.3 Modelle

Zur Modellierung des Gesamtspektrums einer Sternpopulation konstruiert man Po-pulationssynthesemodelle. Das derzeit gebrauchlichste Modell ist das Isochronen-synthesemodell von S. Charlot und G. Bruzual A. (Charlot & Bruzual A. 1991,Bruzual A. & Charlot 1993).

Die Modelle ahneln den Modellen, die zur Modellierung der Farben–Helligkeits–Diagramme von Kugelsternhaufen verwendet werden. Allerdings sind die Anforde-rungen und Ziele etwas andere. Bei den Kugelsternhaufen genugt es, Isochronen ausden Sternentwicklungsrechnungen zu konstruieren; dies muß (und kann) allerdingsfur alle beobachteten Metallhaufigkeiten [Fe/H] gemacht werden. Die zahlenmaßigeVerteilung der Sterne im FHD ist zumindest fur die Altersbestimmung unerheblich.

Bei den Populationssynthesemodellen muß weitergehend das Gesamtspektrumder Sternpopulation bestimmt werden, d. h. zu jedem Entwicklungsstadium muß dasSpektrum eines Sterns, der dieses Entwicklungsstadium durchlauft, bekannt sein.Zudem muß die Verteilung der Sterne nach der Masse bekannt sein, um die einzel-nen Entwicklungsstadien bei der Konstruktion des resultierenden Gesamtspektrumsentsprechend gewichten zu konnen. Bisher gibt es nur Populationssynthesemodelle


Annahmen Theorie Beobachtung

Stern-entstehungsrate

Gesamtspektrumeiner beliebigenSternpopulation

Gesamtspektrumeiner Burst-population

Bibliothek vonSternspektren

Population imHR–Diagramm

Initial MassFunction

Isochronen imHR–Diagramm

Stern-entwicklungs-rechnungen

Metallhaufig-keiten

-

?

?

?

?

-

Abbildung 5.7: Schema eines Populationssynthesemodells

fur solare Elementhaufigkeiten (Modelle fur nichtsolare Haufigkeiten sind in Arbeit,Charlot 1995, personliche Mitteilung). Die Schwierigkeit besteht darin, daß nichtgenugend gute Spektren metallarmer Sterne vorliegen, die zur Berechnung des Ge-samtspektrums einer metallarmen Sternpopulation notig sind.

Der Grundbaustein aller Populationssynthesemodelle ist das Burstmodell, einModell, in dem alle Sterne gleichzeitig entstehen. Im Anfangszustand werden alleSterne entsprechend ihrer Masse auf die Nullalterhauptreihe gesetzt; die Massen-verteilung ist die empirisch bestimmte initial mass function (IMF, Salpeter 1955).Anschließend werden die Sterne entsprechend der stellaren Entwicklungsrechnun-gen zeitlich entwickelt. Modelle mit einer realistischeren, also uber einen langerenZeitraum andauernden Sternentstehungsgeschichte konnen dann durch Faltung desBurstmodells mit der Sternentstehungsrate gebaut werden.

Abbildung 5.7 zeigt die schematische Vorgehensweise bei der Konstruktion vonPopulationssynthesemodellen. Von theoretischer Seite werden Sternentwicklungswe-ge im Hertzsprung–Russell–Diagramm berechnet, aus denen dann durch Interpolati-on Isochronen konstruiert werden. Von der beobachtenden Seite wird eine Bibliothekvon Sternspektren aufgebaut, die zu verschiedenen Massen und zu verschiedenenEntwicklungsstadien typische Sternspektren enthalt. Jedem Entwicklungsstadiumauf einer gegebenen Isochrone wird nun das entsprechende Spektrum zugeordnet,


Abbildung 5.8: Evolution der Modelle mit unendlich kurzer Sternentstehungsphase (ausBruzual & Charlot 1993)

anschließend werden die Spektren gewichtet nach der IMF aufaddiert und so dasGesamtspektrum der Sternpopulation gewonnen.

In Abbildung 5.8 ist die zeitliche Evolution der Burstmodelle von Bruzual &Charlot (1993) gezeigt. Bei t = 106 yr wird die Leuchtkraft von sehr massereichenleuchtkraftigen blauen Sternen mit kurzer Lebensdauer dominiert. Das Spektrumdieses extrem jungen Modells ist dementsprechend sehr blau, das Maximum derspektralen Energieverteilung liegt weit im UV. Mit zunehmendem Alter fallt derUV–Fluß sehr rasch ab, und das Maximum der Energieverteilung verschiebt sich inden nahultravioletten Spektralbereich. Zwischen 0.3 und 0.6 Gyr beginnt sich derred bump als Folge des Aufbaus des Roten und des Asymptotischen Riesenastesauszubilden. In diesem Altersbereich zeigt die Burstmodell–SED das typische Bildder Spektren hochrotverschobener Galaxien: einen nahezu flachen Verlauf im Blau-en und nahen UV auf relativ hohem Niveau, zum Roten hin einen Anstieg zumred bump und etwa bei Lyα einen scharfen Abfall zum UV (Lyα tritt in diesenrein stellaren Modellen als Absorptionslinie auf). Fur t >∼ 4 Gyr verandert sich dasSpektrum nicht mehr, da etwa ein Gleichgewicht herrscht zwischen den Sternen, diegerade die Hauptreihe verlassen, und denen, deren Lebensweg mit dem Verlassendes Riesenastes zu Ende geht. Die Leuchtkraft wird hier von roten Riesen domi-niert, entsprechend rot ist das Synthesespektrum (ahnlich dem Spektrum heutigerelliptischer Galaxien).

5.6.4 Modelle fur die Sternentstehung

Lilly (1988) schlagt vor, das typische “flat UV + red bump” Spektrum der hoch-rotverschobenen Galaxien durch ein Modell zu beschreiben, in dem der rote Teil


ΩΛ

ΩM

z = 3.395 , t = 1.5Gyr

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1.2.

3.4.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1.2.

3.4.

Abbildung 5.9: Konsequenzen des Lilly–Modells fur die Parameterebene. Konturlinienfur t = 1.5 Gyr bei z = 3.395 fur H0 = 40, 50, 80, 100 km s−1 Mpc−1 (von oben nachunten). Rechts die Grenzlinie zu den Nichturknallmodellen.

des Spektrums von alten Sternen herruhrt, die in einem Zeitraum von ∼ 1 Gyrentstanden sind und die den großten Teil der Masse der Galaxie stellen. Das blaueund nahultraviolette Licht soll in diesem Modell von jungen leuchtkraftigen Ster-nen stammen, die in einer kurzen Sternentstehungsphase in jungerer Vergangenheitentstanden sind. Lilly (1988) schatzt damit das Alter der dominierenden Sternpo-pulation in 0902+34 auf 1 . . . 2 Gyr ab. Dieses sehr hohe Alter fuhrt zu sehr starkenEinschrankungen fur die kosmologischen Parameter, wie aus Abbildung 5.9 ersicht-lich ist, in der Konturlinien des Alters des Universums bei z = 3.395 fur t = 1.5 Gyrfur H0 = 40, 50, 80 und 100 km s−1 Mpc−1 in der ΩM–ΩΛ–Ebene aufgetragen sind.Mit dem Wert H0 = 80, der aus den kurzlichen Beobachtungen von Cepheiden imVirgo–Haufen folgt, ist auf jeden Fall ΩM < 0.5 und −2.2 < ΩΛ < 2. Insbesonde-re ist das Einstein–de Sitter–Modell in diesem Fall ausgeschlossen. Mit dem WertH0 = 50, der von Beobachtungen von Supernovae vom Typ Ia nahegelegt wird, sinddie Einschrankungen weniger stark: ΩM < 1.3, ΩΛ < 2.9.

Chambers & Charlot (1990) zeigen jedoch, daß die Spektren hochrotverscho-bener Galaxien auch sehr gut durch jungere Modelle beschrieben werden konnen,in denen alle Sterne in einer kurzen Sternentstehungsepisode entstanden sind, die∼ 0.1 Gyr andauerte. Der zeitliche Verlauf der Sternentstehungsrate ψ(t) wird dabeidurch

ψ(t) ∝(

t

τ

)−α[

1 − exp

(

− t

τ

)β]

(5.69)

mit α = 2, β = 3 und τ = 5 × 107 Gyr beschrieben (Chambers & Charlots Modell


ΩΛ

ΩM

z = 4.25 , τ = 0.5Gyr

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1.2.

3.4.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1.2.

3.4.

Abbildung 5.10: Konsequenzen des Instantaneous–Burst–Modells fur die Parameterebe-ne. Konturlinien fur t = 0.5 Gyr bei z = 4.25 fur H0 = 50, 80, 100 km s−1 Mpc−1 (vonoben nach unten). Rechts die Grenzlinie zu den Nichturknallmodellen.


ψ

t (Gyr)

0.1 0.2 0.3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Abbildung 5.11: Das Modell fur die Sternentstehungsrate ψ(t) von Chambers & Charlot(1990); Gleichung (5.69) mit α = 2, β = 3, τ = 5 × 107 yr. ψ in willkurlichen Einheiten.

B, siehe Abbildung 5.11).Mit diesem Modell erhalten Chambers & Charlot (1990) erheblich niedrigere

Werte fur das Alter der hochrotverschobenen Galaxien, im Falle von B2 0902+34 et-wa nur 0.4 Gyr. Dementsprechend sind die Einschrankungen fur die kosmologischenParameter ungleich schwacher: In einem analogen Plot zu Abbildung 5.9 wurde nurnoch die Konturlinie zu H0 = 100 erscheinen. Spinrad et al. (1995) bestimmen dasAlter der hochstrotverschobenen Galaxie 8C 1435+63 unter der Annahme, daß alleSterne gleichzeitig entstanden sind, zu >∼ 0.5 Gyr. Da diese Galaxie bei einer hoherenRotverschiebung steht als B2 0902+34, sind die daraus folgenden Einschrankungenfur die Parameterebene wieder strenger (Abbildung 5.10). Allerdings beruht Spinradet al.’s Abschatzung nur auf einer Farbe (I−K), so daß dieses Ergebnis noch etwaszweifelhaft erscheint. Die am besten untersuchte Galaxie ist wohl 4C 41.17. Cham-bers et al. (1990) schatzen das Alter dieser Galaxie mit unterschiedlichen Modellenab. Ein Lilly–Modell ergibt t ∼ 1.5 Gyr, ein Modell mit einem kurzen Starburstliefert t ∼ 0.3 Gyr. Durch eine zusatzliche intrinsische Rotung durch Staub konntedieses Alter bis auf ∼ 0.1 Gyr herabgesetzt werden. Tabelle 5.5 gibt eine Ubersichtzu Arbeiten, die das Alter hochrotverschobener Galaxien bestimmen.

Wie kann man entscheiden, welches Modell fur die Sternentstehungsrate richtigist? Wie Abildung 5.6 zeigt, beschreiben alle von Chambers et al. (1990) gerechne-ten Modelle die beobachtete spektrale Energieverteilung etwa gleich gut. Alle Ar-gumente fur oder gegen das eine oder das andere Modell mussen daher notwendigcircumstantial sein.

Chambers & Miley (1990) und Chambers et al. (1990) diskutieren die in Abbil-dung 5.6 gezeigten Modelle; deren Parameter sind in Tabelle 5.6 aufgefuhrt.

A Modell A ist das von Lilly (1988, 1990) favorisierte Modell einer alten Stern-population (konstante Sternentstehung uber 1 Gyr, dann passive Evolution)und einem kleinen Starburst (∼ 0.1 Gyr Dauer, enthalt etwa 4% der Masse derGalaxie), der moglicherweise durch die Radioquelle ausgelost wird. Chamberset al. (1990) sehen in diesem Modell ein Problem, da das Alter der alterenPopulation in Konflikt mit den meisten kosmologischen Modellen steht undzumindest sehr hohe Rotverschiebungen fur die Epoche der Galaxienentste-hung verlangt. Da im Rahmen dieser Arbeit gerade mogliche Einschrankungenfur die kosmologischen Parameter interessieren, ist dieses Argument hier nicht


Objekt z Referenz Beob. Modell Alter (Gyr)

6C 1232+39 3.22 ERD+ B, R, I, kurzer Starburst >∼ 0.7J , H , K

B2 0902+34 3.395 Lilly I −K alt + Starburst 1 . . . 2CC kurzer Starburst 0.4ED R−K kurzer Starburst 0.35

konst. Sternentst. <∼ 24C 41.17 3.80 CMvB R, I, K + alt + Starburst ∼ 1.5

kurzer Starburst ∼ 0.3“ + Staub ∼ 0.1

CC kurzer Starburst 0.33GMS+ R−Ks instantaner Burst 0.07 . . . 10

Begleitgalaxien >∼ 0.58C 1435+63 4.25 SDG I −K instantaner Burst >∼ 0.5

Tabelle 5.5: Arbeiten zu hochrotverschobenen Radiogalaxien. ERD+. . . Eales et al.(1993), Lilly. . . Lilly (1988), CC. . . Chambers & Charlot (1990), ED. . . Eisenhardt &Dickinson (1992), CMvB. . . Chambers et al. (1990), GMS+. . . Graham et al. (1994),SDG. . . Spinrad et al. (1995)

Parameter A B C D

Alter (Gyr) 1.6 0.18 0.3 0.1konsistent mit beob. SED 0.1 (6%) 0.005 (3%) 0.08 (33%) 0.1 (100%)Zeit seit max. Leuchtkraft 0.5 0.18 0.27 0Leuchtkraft/max. Leuchtkraft 0.53 0.04 0.24 1.0

Tabelle 5.6: Parameter zu den im Text beschriebenen Modellen zur Sternpopulation inhochrotverschobenen Galaxien. Die Zeit, fur die das Modellspektrum mit der beobachte-ten SED konsistent ist, ist in Gyr und als prozentualer Bruchteil des Alters des Modellsangegeben (aus Chambers et al. 1990).


brauchbar. Das Hauptproblem sehen Chambers et al. jedoch im Alignment–Effekt, der auch im Infrarot auftritt. Schreibt man das IR–Licht ausschließlichder alten Komponente zu, die in keiner Verbindung zur Radioquelle steht (de-ren Alter ist erheblich niedriger, ∼ 0.1 Gyr), so durfte keine Ausrichtung derIR–Komponente in Richtung der Radioachse beobachtet werden. Lilly (1990)entgegnet dem, daß auch die junge Komponente ∼ 20% zum Licht im K–Bandbeisteuert.

B Modell B stellt eine Population junger massereicher Sterne dar (untere Grenzeder IMF bei 5 . . . 8M⊙). Durch dieses Modell kann mit wenigen Sternen beigeringem Alter eine betrachtliche Leuchtkraft erzielt werden, wie sie fur diehochrotverschobenen Radiogalaxien typisch ist. Allerdings sind die Spektreneiner derartigen Population uber 90% ihrer Lebensdauer sehr blau und konnendie beobachteten Spektren nur wahrend etwa 3 . . . 5% ihrer Lebensdauer be-schreiben. Man sollte daher erwarten, bei hoher Rotverschiebung auch vieleblaue Galaxien zu sehen, umsomehr, als die Modelle wahrend der Zeit, inder sie gut passen, nur etwa 4% ihrer maximalen Leuchtkraft haben. WeitereProbleme sind die Kontinuitat des Hubble–Diagramms und die willkurlicheuntere Grenzmasse.

C Modell C entspricht einer vereinfachten Version der jungen Modelle von Cham-bers & Charlot (1990). Hier wird eine einfach exponentiell abfallende Stern-entstehungsrate mit τ = 7 × 107 Gyr verwendet. Das Alter dieser Populationliegt in der gleichen Großenordnung wie die Zeitskala fur den freien Fall derGalaxie (charakteristisch fur die dynamische Evolution) und das Alter der Ra-dioquelle. Dieses Modell beschreibt das beobachtete Spektrum uber etwa einDrittel seines Alters, kann das alignment erklaren, sowie die Kontinuitat im K–Band–Hubble–Diagramm. Ein Problem fur dieses Modell ist die Beobachtungteilweise polarisierter Strahlung in einigen Galaxien (di Serego Alighieri 1989).Dies deutet darauf hin, daß teilweise Streustrahlung vom aktiven Galaxien-kern das beobachtete Licht kontaminiert; allerdings kann diese Streustrahlungdas Spektrum keinesfalls dominieren.

D Das letzte Modell nimmt eine junge Sternpopulation mit konstanter Stern-entstehungsrate an (daher ist das Spektrum eigentlich weitgehend zeitun-abhangig), wobei das Spektrum durch Staub zusatzlich gerotet wird. Den wei-ter oben angefuhrten Argumenten zufolge ist es unwahrscheinlich, daß jungeGalaxien viel gleichmaßig verteilten Staub enthalten, jedoch ist es moglich,daß Staub in geklumpter Form vorhanden ist. Eine Vernachlassigung vorhan-denen Staubes wurde zu einer Uberschatzung des Alters fuhren.

Es ist derzeit nicht moglich, zwischen den Modellen von Lilly und Chambers &Charlot zu unterscheiden, außerdem ist die Frage nach dem Einfluß von Staub nochnicht geklart. Da hier nach einer Untergrenze fur das Alter des Universums bei ho-her Rotverschiebung gefragt ist, ist das Modell von Chambers & Charlot in diesemZusammenhang das zu verwendende, so daß sich die Situation wie in Abbildung 5.10darstellt. Allerdings muß beachtet werden, daß die (ohnehin schon schwachen) Ein-schrankungen der Parameterebene durch Staub noch weiter abgeschwacht werdenkonnten.

5.6.5 Eine Galaxie bei z = 1.175

Stockton et al. (1995) bestimmen aus einem Spektrum der Radiogalaxie 3C 65bei moderater Rotverschiebung z = 1.175 das Flußverhaltnis F (3400rA)/F (H) =


ΩΛ

ΩM

z = 1.175 , t = 2.9 Gyr

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1.2.

3.4.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1.2.

3.4.

Abbildung 5.12: Konturlinien t = 2.9 Gyr bei z = 1.175 fur H0 = 40, 50, 80, 100 (vonlinks nach rechts) und Grenzlinie zu den Bounce–Modellen in der ΩM–ΩΛ–Ebene.

0.374±0.045 und bestimmen daraus durch Vergleich mit dem Instantaneous–Burst–Modell von Bruzual & Charlot (1993) das Alter zu t = 4+5

−1.1 Gyr (90% Konfidenz).Sie benutzen dann ihren besten Wert t = 4 Gyr, um sehr strenge Einschrankungenfur die Kosmologie zu gewinnen. Unter der Annahme ΩΛ = 0 finden sie, daß dasEinstein–de Sitter–Modell ΩM = 1 fur H0 = 50 gerade noch erlaubt ist, fur großereH0 nicht mehr. Fur H0 = 80 finden Stockton et al. ΩM < 0.2.

In Abbildung 5.12 habe ich zwei Annahmen von Stockton et al. korrigiert, diemir zu streng erscheinen. Angesichts der großen Unsicherheiten in der Altersbe-stimmung, insbesondere solch alter Galaxien wie 3C 65 (Wie aus Abbildung 5.8ersichtlich ist, verandert sich das Spektrum von Galaxien, die alter als ∼ 1 Gyrsind, nur noch sehr langsam), die moglicherweise großere Mengen an Staub ent-halten, kann man tatsachlich mit einiger Sicherheit nur Untergrenzen fur das Altervon Galaxien bestimmen. Ich benutze daher in Abbildung 5.12 Stockton et al.’s90%–Untergrenze tmin = 2.9 Gyr. Außerdem lasse ich ΩΛ als freien Parameter zu.

Mit diesen Annahmen findet man ΩM <∼ 2.2 und ΩΛ >∼ −3 fur H0 = 80. FurH0 = 50 sind die Einschrankungen weit weniger streng. Ungeachtet der Unsicherheitin H0 ist das Ergebnis von Stockton et al. ein wenig mit Vorsicht zu genießen.

Kapitel 6

Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis auf kleinenSkalen

Alle bisher besprochenen Methoden zur Bestimmung der kosmologischen Parametersind im wesentlichen geometrischer Natur, d. h. die grundlegenden Beziehungen, diedabei verwendet werden, folgen aus der Robertson–Walker–Metrik, wobei nur derSkalenfaktor R(t) durch das dynamische Friedmann–Modell beschrieben und durchΩM und ΩΛ parametrisiert wird. Im folgenden sollen Methoden zur Bestimmungvon ΩM beschrieben werden, die auf der direkten gravitativen Wirkung der Massein Galaxien und Galaxienhaufen beruhen.

Gravitativ gebundene Systeme bieten prinzipiell die Moglichkeit, auf einfacheWeise Massen zu bestimmen, beispielsweise aus Rotationskurven von Spiralgalaxien,aus den Radialgeschwindigkeitsverteilungen von Galaxienpaaren, aus der Geschwin-digkeitsdispersion von Galaxiengruppen oder -haufen. Eine prinzipielle Schwierig-keit bei diesen Methoden besteht in den langen dynamischen Zeitskalen dieser Sy-steme. Man ist daher stets auf eine Momentaufnahme angewiesen und kann Bewe-gungen nicht zeitaufgelost beobachten. Dies fuhrt dazu, daß man stets Annahmenuber die Massenverteilung machen muß, wahrend man diese aus der zeitaufgelostenkinematischen Information erschließen konnte.

Kennt man die Masse eines Systems und seine Leuchtkraft (gemessen innerhalbdes gleichen Volumens), so kann man das mittlere Masse–Leuchtkraft–VerhaltnisM/L fur dieses System bestimmen. Die mittlere Leuchtkraftdichte im heutigenUniversum ist aus der Bestimmung der Galaxienleuchtkraftfunktion aus Rotver-schiebungssurveys in unserer Umgebung recht genau bekannt. Sie betragt in B

L = (1.93+0.8−0.6) × 108 hL⊙Mpc−3 (6.1)

(Efstathiou et al. 1988). Wenn man nun annimmt, daß das Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis eines bestimmten Systems (besser das uber ein statistisches Sample vonObjekten einer Klasse gemittelte Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis) gleich dem mittle-ren Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis im Universum ist, so erhalt man eine Abschatzungfur die Massendichte im heutigen Universum aus

ρM = 〈ML〉L . (6.2)

Nimmt man ferner an, daß hiermit nichtrelativistische Materie gemessen wird, soist

ΩM =8πG

3H20

〈ML〉L = 6.95 × 10−4 h−1 〈M/LB〉

M⊙/LB,⊙. (6.3)

92

6.1. ROTATIONSKURVEN VON SPIRALGALAXIEN 93

r

vrot

117-G19

r

123-G23

vrot

146-G6 286-G16

20. 40. 60.

100.

200.

20. 40. 60.

100.

200.

20. 40. 60.

100.

200.

20. 40. 60.

100.

200.

Abbildung 6.1: Rotationskurven von vier Spiralgalaxien (Daten von Persic & Salucci1995)

Die Massenbestimmung in gravitativ gebundenen Systemen soll an einigen Bei-spielen demonstriert werden.

6.1 Rotationskurven von Spiralgalaxien

Die Rotationsgeschwindigkeit der Scheibe einer Spiralgalaxie kann durch den Dopp-lereffekt insbesondere der 21 cm–Linie des neutralen Wasserstoffs bis zu großen Ra-dien bestimmt werden. Persic & Salucci (1995) legten kurzlich ein großes Samplevon 967 gemessenen Rotationskurven vor, von denen in Abbildung 6.1 einige ge-zeigt werden. Die Rotationskurven verlaufen in den außeren Bereichen annaherndflach, wobei es Korrelationen zwischen der Leuchtkraft und der Form der Rota-tionskurve gibt. Persic et al. (1995) geben eine universelle Beziehung an, die dieRotationskurven von Spiralgalaxien mit guter Genauigkeit analytisch beschreibt:

vURC(x) = v(Ropt)

[(

0.72 + 0.44 logL

L∗

)

1.97x1.22

(x2 + 0.782)1.43

+1.5 e−0.4(L/L∗) x2

x2 + 1.5(L/L∗)0.2

]

. (6.4)

Fur einen Probekorper, der sich auf einer Kreisbahn im Gravitationsfeld einerPunktmasse M bewegt, gilt

GM

r2=v2

r, (6.5)

also v ∝ r−1/2. Um eine vom Abstand r vom Zentrum unabhangige Rotationsge-schwindigkeit zu erhalten, muß die Masse derart verteilt sein, daß die Gesamtmasseinnerhalb von r proportional zu r zunimmt:

M(r) ≃ v2r

G. (6.6)

94 KAPITEL 6. MASSE–LEUCHTKRAFT–VERHALTNIS

Der genaue Wert der Masse, die innerhalb einer Kugel vom Radius r enthaltenist, hangt von der Massenverteilung ab; bei Spiralgalaxien ist insbesondere die Ver-teilung der Masse auf die spharische Zentralregion, den spharischen Halo und diegalaktische Scheibe von Bedeutung. Zur Bestimmung der Masse einer Spiralgala-xie benotigt man daher ein Modell fur die Massenverteilung, welches die Form derbeobachteten Rotationskurve gut beschreibt. Da die Rotationskurven nie bis zumRand der Galaxien bestimmt werden konnen, erhalt man auf diese Weise immernur Untergrenzen fur die Gesamtmassen der Galaxien und ebenso, da die 21 cm–Rotationskurven bis weit uber die sichtbaren Bereiche der Galaxien hinaus gemes-sen werden konnen, immer nur Untergrenzen fur das mittlere Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis von Spiralgalaxien.

Die Leuchtkraft– bzw. Flachenhelligkeitsverteilung in Galaxien ist dagegen un-mittelbar beobachtbar. Bei Spiralgalaxien beobachtet man einen exponentiellen Ab-fall der Flachenhelligkeit mit dem Radius:

i(r) = i0e−αr (6.7)

(Peebles 1993), mit der Skalenlange α−1 ∼ 2 . . . 4 h−1Mpc. Schon daraus ist klar,daß das Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis nach außen hin zunimmt und in den außerenBereichen großer ist als beispielsweise in der Sonnenumgebung.

Aus der beobachteten Flachenhelligkeitsverteilung kann man unter der Annah-me eines konstanten Masse–Leuchtkraft–Verhaltnisses Rotationskurven ableiten,die den inneren Anstieg der beobachteten Kurven gut beschreiben. Man erhalt soM/L ∼ (2.5 . . . 5)h−1M⊙/L⊙, was ein typischer Wert fur Sterne ist.

Das Problem der fehlenden Masse in den außeren Bereichen von Spiralgalaxienkonnte durch eine Modifikation des Newtonschen Gravitationsgesetzes auf großenSkalen gelost werden; angesichts der derzeitigen Beobachtungslage scheitert ein der-artiger Erklarungsversuch an Occams Rasiermesser. Ich werde vielmehr im folgen-den annehmen, daß durch die Form der Rotationskurven tatsachlich ein Hinweis aufnicht sichtbare Materie vorliegt.

Bahcall et al. (1995) prasentieren Masse–Leuchtkraft–Verhaltnisse fur Spiralga-laxien bis zu Radien von ∼ 200 h−1kpc. Die Daten lassen sich mit geringer Streuungdurch

M/LB

M⊙/LB,⊙= (60 ± 10)

R

100h−1kpc(6.8)

beschreiben. Bei 200 h−1Mpc ware dann

M

LB∼ 100 . . .120 h

M⊙LB,⊙

. (6.9)

Mit der oben angegebenen mittleren Leuchtkraftdichte ergabe sich damit

ΩM(Spiralgalaxien) ≃ 0.08 ± 0.03 . (6.10)

Der Fehler wurde durch Quadratur aus den Fehlern der mittleren Leuchtkraftdichte(6.1) und des Masse–Leuchtkraft–Verhaltnisses (6.8) bestimmt.

6.2 Elliptische Galaxien

Die Rotationsgeschwindigkeit von elliptischen Galaxien ist verglichen mit der Ge-schwindigkeitsdispersion der Sterne sehr klein. Die Masse von elliptischen Galaxienkann aus der Geschwindigkeitsdispersion mit Hilfe des Virialsatzes bestimmt wer-den. Danach gilt fur ein Testteilchen im Gravitationspotential im Zeitmittel (dafurkann der Ensemblemittelwert gesetzt werden):

2〈Ekin〉 + 〈Epot〉 = 0 . (6.11)

6.3. GALAXIENGRUPPEN UND –HAUFEN 95

Die mittlere kinetische Energie eines Sterns der Masse m ergibt sich aus der eindi-mensionalen Geschwindigkeitsdispersion σr durch

〈Ekin〉 =3

2mσ2

r . (6.12)

Die mittlere potentielle Energie hangt von der genauen Massenverteilung in derGalaxie ab, so daß auch hier wieder ein Modell fur den Dichteverlauf ρ(r) notig ist.

Eine weitere Moglichkeit zur Massenbestimmung ergibt sich bei isolierten mas-sereichen Galaxien, die einen ausgedehnten Rontgenhalo haben. Aus der Annahme,daß das rontgenemittierende Gas gravitativ an die Galaxie gebunden ist, ergibt sichdann eine Abschatzung fur die Masse einer solchen Galaxie.

Bahcall et al. (1995) bestimmen mit diesen Methoden die Massen elliptischerGalaxien und erhalten durch Vergleich mit den beobachteten Leuchtkraften

M/LB

M⊙/LB,⊙≃ (200 ± 50)

R

100 h−1Mpc. (6.13)

Bei einer Ausdehnung des Halos von ∼ 200 h−1Mpc ergibt sich daraus

M

LB≃ 400 h

M⊙LB,⊙

(6.14)

undΩM(Ellipt. Gal.) ≃ 0.28 ± 0.12 , (6.15)

wobei der Fehler durch Quadratur aus dem Fehler der mittleren Leuchtkraftdichteim Universum und dem Fehler der Beziehung (6.13) bestimmt wurde.

6.3 Galaxiengruppen und –haufen

Die Gesamtleuchtkraft eines Galaxienhaufens erhalt man einfach durch Zahlungder in ihm enthaltenen Galaxien unter Berucksichtigung der photometrischen Da-ten. Die Masse von Galaxienhaufen kann aus der beobachteten Verteilung und Ge-schwindigkeitsdispersion aus dem Virialsatz abgeschatzt werden (Merritt 1987):

〈v2〉 = 〈GM(r)

r〉 = GMtot〈

F (r)

r〉 , (6.16)

wobei M(r) = MtotF (r) die Verteilung der gesamten Masse (Galaxien, Rontgengas,dunkle Materie) meint und Mtot die Gesamtmasse des Galaxienhaufens ist. DieGesamtmasse kann eingegrenzt werden, indem man jene funktionalen Formen furF (r) sucht, fur die Mtot minimiert bzw. maximiert wird. Die minimale Masse ergibtsich fur eine Punktmasse,

Mmin =1

G

〈v2〉〈r−1〉 , (6.17)

die maximale Masse fur eine Verteilung konstanter Dichte bis zu einem Radius rt:

Mmax =r3tG

〈v2〉〈r2〉 . (6.18)

Die dreidimensionale Geschwindigkeitsdispersion ist dabei 〈v2〉 = 3σ2s , wobei σs die

beobachtete, auf die Sehlinie projizierte Geschwindigkeitsdispersion ist.Eine genauere Massenbestimmung ist aus Beobachtungen der Rontgenstrahlung

des heißen Gases in Galaxienhaufen (Sarazin 1988) moglich. Unter der generellenAnnahme, daß der betrachtete Haufen kugelsymmetrisch ist (naturlich kommen fur


eine einigermaßen genaue Massenbestimmung nur Haufen in Frage, die einen sym-metrischen Eindruck ohne große Unterstruktur machen), kann aus der beobachtetenFlachenhelligkeitsverteilung im Rontgenbereich die Dichte des heißen Gases ρg inAbhangigkeit vom Radius r bestimmt werden.

Die Struktur des Rontgengases folgt unter der Annahme, daß der Haufen rela-xiert ist, aus der Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts (Hughes 1989):

∇P = −ρg∇Φ . (6.19)

Mit der Annahme der Kugelsymmetrie kann man dies mit Hilfe der Zustandsglei-chung des idealen Gases schreiben als

dT

dr= − 1

ρg

dρg

drT − 4πµmHG

kB

1

r2

r∫

0

ρtot(r′)r′2 dr′ . (6.20)

Die Gesamtmasse (im wesentlichen das letzte Integral) hangt bei gegebener Gas-verteilung also vom Temperaturprofil T (r) und vom Profil der Gesamtdichte ρtot(r)ab (fur Galaxien kann man im Prinzip dieselbe Gleichung hinschreiben, allerdingstreten hier statt des Temperaturprofils die tangentiale und die radiale Geschwindig-keitsdispersion auf; da aber nur die Geschwindigkeitsdispersion langs der Sehliniemeßbar ist, benotigt man hier noch eine zusatzliche Annahme uber das Verhaltnisder radialen zur tangentialen Geschwindigkeitsdispersion).

Das Temperaturprofil des heißen Gases ist leider sehr schwierig zu messen, sodaß man in den meisten Fallen auf ein indirektes Verfahren angewiesen ist. Hughes(1989) und Briel et al. (1992) nehmen beispielsweise mehrere Modelle fur den Ver-lauf der Gesamtdichte an und berechnen daraus das Temperaturprofil, welches nachGleichung (6.20) notig ist, um das Gas im hydrostatischen Gleichgewicht zu halten.Dann werden diejenigen Modelle der Dichteverteilung ausgeschlossen, fur die dieTemperaturverteilung gewissen, recht allgemeinen Kriterien nicht genugt; insbeson-dere muß die Temperatur des Gases bis mindestens zum Grenzradius der beobach-teten Rontgenemission großer als Null sein. Die verbleibenden Modelle geben danneinen Bereich fur die Masse des Galaxienhaufens.

Anstatt einfache Modelle fur die Dichteverteilung in Galaxienhaufen anzuneh-men, kann man auch den beobachteten Dichteverlauf in Simulationen zur Struk-turbildung im Universum (z. B. im “CDM–Standardmodell” mit ΩM = 1 in kalterdunkler Materie und ΩΛ = 0) annehmen (White et al. 1993). Da die Strukturbil-dungsmodelle recht weitgehende Annahmen uber die Art und Menge der Materie imKosmos machen mussen und die Ergebnisse meist nur qualitativ mit den beobachte-ten Strukturen im Universum ubereinstimmen, liefern diese Methoden kaum bessereEinschrankungen fur die Gesamtmasse in Galaxienhaufen als die oben erwahntenModellbereiche.

6.4 Zusammenfassung: Gebundene Systeme

Bahcall et al. (1995) haben Bestimmungen des Masse–Leuchtkraft–Verhaltnisses inSystemen auf Skalen von eingen kpc bis mehreren Mpc zusammengetragen. Abbil-dung 6.2 gibt die zusammenfassende Figure 2 aus ihrer Arbeit wieder. Bei den Mes-sungen innerhalb einzelner Galaxien (Spiralgalaxien, elliptische Galaxien) nimmtdas Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis mit dem Radius zu (Gleichungen 6.8 und 6.13).Derselbe Trend ist auch bei den Galaxiengruppen beobachtbar, deren mittleresM/Letwa zwischen dem fur Spiralgalaxien und dem fur elliptische Galaxien liegt. Aufgroßeren Skalen (reiche Galaxienhaufen, Superhaufen) scheint sich der Trend abzu-flachen und strebt moglicherweise gegen einen Grenzwert, der etwa ΩM ≈ 0.2 . . . 0.3

6.5. BARYONISCHE MATERIE IN GALAXIENHAUFEN 97

entspricht. Bahcall et al. (1995) interpretieren dies dahingehend, daß die dunkle Ma-terie in den dunklen Halos einzelner Galaxien zu finden sei, welche in reichen Haufenvon den einzelnen Galaxien abgelost sein konnte. Das mittlere Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis in Galaxiengruppen und –haufen sollte daher vor allem vom morphologi-schen Mix abhangen, also vom relativen Anteil von Spiral– und elliptischen Galaxienan der Galaxienpopulation.

Die Hauptunsicherheit bei den dynamischen Methoden auf kleinen Skalen ist dieVergleichbarkeit des beobachteten Masse–Leuchtkraft–Verhaltnisses mit dem mitt-leren Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis im Universum. Eine weitere Unsicherheit liegtin der Abhangigkeit von der jeweiligen Masseverteilung. Da aber eine Reihe verschie-dener Objektklassen untersucht wurden und alle konsistente Ergebnisse bezuglichΩM liefern, scheint die globale Untergrenze

ΩM >∼ 0.1 (6.21)

einigermaßen gesichert zu sein. Eine Obergrenze fur ΩM laßt sich aus den dynami-schen Tests in gebundenen Systemen nicht angeben, da sie keine Beitrage von Mate-rie berucksichtigen, die auf den Skalen der reichen Galaxienhaufen und –superhaufengleichmaßig verteilt ist. Hierzu benotigt man dynamische Tests auf großeren Skalen(Abschnitt 7).

6.5 Baryonische Materie in Galaxienhaufen

White et al. (1993) haben die dynamisch bestimmte Masse des Coma–Haufens furden rein baryonischen Anteil (Galaxien, rontgenemittierendes Gas) mit seiner Ge-samtmasse verglichen. Da die Dichte baryonischer Materie im Universum aus derStandardtheorie der Urknallnukleosynthese recht genau festgelegt ist, kann darausunter der Annahme, daß der Massenanteil der baryonischen Materie im Coma–Haufen dem baryonischen Massenanteil im Universum entspricht, der globale Dich-teparameter ΩM abgeschatzt werden.

6.5.1 Urknallnukleosynthese

Ich mochte hier nicht im Detail auf die theoretische Behandlung der Urknallnukleo-synthese eingehen (eine exzellente Darstellung bieten Kolb & Turner 1990, Chap-ter 4), sondern nur kurz die Vorhersagen der Theorie und Beobachtungsergebnisseerwahnen.

Die Bildung der ersten Atomkerne aus Protonen und Neutronen fand ∼ 102 snach dem Urknall statt, dies entspricht einer Rotverschiebung von z ∼ 1011. DieTemperatur im Universum zu dieser Epoche betrug etwa 109 K ≃ 0.1 MeV, diemittlere Teilchenenergie war also vergleichbar mit den typischen Kernbindungsener-gien der leichten Isotope 2D, 3He, 4He und 7Li (Schwerere Kerne konnten wegen desFehlens eines stabilen Kerns der Massenzahl 8 erst im Zentrum der ersten Sternesynthetisiert werden). Die relevanten Kernreaktionsraten sind aus Laborversuchenhinlanglich bekannt, so daß man unter Berucksichtigung der Expansionsgeschwin-digkeit des Universums die relativen Anteile der synthetisierten Kerne vorhersagenkann. Der einzige freie kosmologische Parameter ist dabei das Verhaltnis von Pho-tonen zu Baryonen (im wesentlichen die Entropie): Eine hohere Photonendichte be-hindert aufgrund der Photodissoziation die Synthese der schwach gebundene Kerne2D und 3He und fuhrt zu niedrigeren Haufigkeiten dieser Elemente; das sehr stabile4He wird durch Photodissoziation nicht zerstort, seine Haufigkeit hangt nur von derverfugbaren Zahl von Neutronen ab. Das Verhaltnis der Anzahldichte von Baryonen


0.01 0.1 1 10

1

10

100

1000

Abbildung 6.2: Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis fur gravitativ gebundene Systeme auf ver-schiedenen Skalen (aus Bahcall et al. 1995)


(Nukleonen) zur Photonendichte wird parametrisiert durch

η =nN

nγbzw. η10 =

η

10−10. (6.22)

η hangt direkt mit der Dichte in baryonischer Materie ΩB = 8πGρB/3H20 zusammen:

Die heutige Nukleonendichte laßt sich schreiben als

nN =ρB

mp=

3H20

8πGmpΩB = 11.23 ΩBh

2m−3 , (6.23)

wobei mp die Protonenmasse ist, und die Photonendichte folgt aus der Tatsache,daß die 3 K–Hintergrundstrahlung ein Bose–Gas im thermischen Gleichgewicht mitder Temperatur TCMB = 2.726 K (Mather et al. 1993) ist:

nγ =1

π2

(

kTCMB

hc

)3∞∫

0

x2 dx

ex − 1=

2ζ(3)

π2

(

kTCMB

hc

)3

= 4.10 × 108m−3 , (6.24)

wobei x = hω/kT ist und ζ die Riemannsche ζ–Funktion mit ζ(3) = 1.202. Damitergibt sich

η = 2.74 × 10−8 ΩBh2 . (6.25)

Aus der Theorie ergibt sich damit fur 2D ein Anteil (zahlenmaßig, bezogenauf Wasserstoff 1H) von 10−6 . . . 10−4, ahnlich fur 3He, fur 7Li etwa 10−10 . . . 10−9

und fur 4He ein Massenanteil von Yp ≈ 0.22 . . .0.26. Die theoretischen Anteile inAbhangigkeit von η sind in Abbildung 6.3 aufgetragen. Das typische Tal in der Kur-ve fur die 7Li–Haufigkeit kommt dadurch zustande, daß 7Li durch zwei verschiedeneProzesse synthetisiert werden kann, von denen der eine bei großem η, der anderebei kleinem η eine Rolle spielt.

Die theoretischen Vorhersagen konnen mit den beobachteten Elementhaufig-keiten verglichen werden und damit konnen Einschrankungen fur das Baryonen–Photonen–Verhaltnis und so fur ΩB gewonnen werden. Die prinzipielle Schwierig-keit liegt darin, primordiale Elementhaufigkeiten zu messen, also Kontaminationendurch stellar verarbeitete Materie zu vermeiden.

Die Deuteriumhaufigkeit kann im Sonnensystem beispielsweise in der Jupiterat-mosphare (in Form deuterierter Molekule), in Meteoriten und an der Sonnenober-flache gemessen werden, außerdem aus UV–Absorptionsmessungen im galaktischeninterstellaren Medium sowie in Absorptionslinien in Quasarspektren (z. B. Songailaet al. 1994). Da Deuterium in Sternen nur zerstort werden kann und auch sonstkein astrophysikalischer Prozess bekannt ist, durch den Deuterium in nennenswer-ter Menge produziert werden kann, stellen alle Messungen Untergrenzen fur dieprimordiale, wahrend der Urknallnukleosynthese erzeugte Deuteriumhaufigkeit dar.Es ergibt sich eine konsistente Untergrenze von

(

D

H

)

P

>∼ 1 × 10−5 . (6.26)

Den Modellrechnungen zufolge entspricht dies einer Obergrenze fur η

η <∼ 10 × 10−10 und ΩBh2 <∼ 0.036 . (6.27)

Die prasolare Haufigkeit von Helium–3 kann im Sonnensystem in den altestenMeteoriten (Kohlenstoffchondrite) bestimmt werden. Aus Messungen im Sonnensy-stem folgt ein Wert fur die gemeinsame prasolare Haufigkeit von 2D+3He, da Deute-rium im Sonneninneren zum uberwiegenden Teil in 3He verbrannt wird. Zusammen


Abbildung 6.3: Theoretisch vorhergesagte Elementhaufigkeiten in Abhangigkeit von ηund beobachtete Elementhaufigkeiten


mit Messungen der 3.46 cm–Hyperfeinstrukturlinie von 3He+ in galaktischen HII–Regionen folgt eine Obergrenze

(

D +3 He

H

)

P

<∼ 8 × 10−5 , (6.28)

entsprechendη >∼ 4 × 10−10 bzw. ΩBh

2 >∼ 0.015 . (6.29)

Die Lithium–Haufigkeit in alten metallarmen unentwickelten Sternen des ga-laktischen Halos wurde erstmals von Spite & Spite (1982) gemessen. Aus dieserund weiteren Messungen ergibt sich, daß die Lithiumhaufigkeit bei den massereich-sten Sternen von der Temperatur der Sterne unabhangig ist (Lithium–Plateau).Da diese Sterne nur sehr ineffiziente Oberflachenkonvektion haben, wird allgemeinangenommen, daß der entsprechende Wert fur die Lithium–Haufigkeit gleich demprimordialen Wert sei. Es ergibt sich daraus:

7Li

H= (1.1 ± 0.4) × 10−10 . (6.30)

Unter Berucksichtigung moglicher systematischer Fehler kann man wegen des Talesder vorhergesagten Lithiumhaufigkeit ein Intervall fur η und ΩBh

2 abgrenzen:

1 × 10−10 <∼ η <∼ 7 × 10−10 bzw. 3.6 × 10−3 <∼ ΩBh2 <∼ 0.026 . (6.31)

Die primordiale 4He–Haufigkeit ist wegen der starken Kontamination durch stel-lar produziertes Material nur schwer meßbar; die vorliegenden Ergebnisse sind aberalle mit dem Standardnukleosynthesemodell und den Haufigkeiten der anderen leich-ten Isotope konsistent. Zusammenfassend kann man daher eingrenzen:

4 × 10−10 <∼ η <∼ 7 × 10−10 (6.32)

und0.015 <∼ ΩBh

2 <∼ 0.026 . (6.33)

Olive et al. (1990) finden nach einer Berechnung der vorhergesagten Haufigkeitenmit neuen Kernreaktionsraten und einem neuen Wert fur die Neutronlebensdauerniedrigere Werte fur η:

2.6 × 10−10 <∼ η <∼ 4.3 × 10−10 , (6.34)

entsprechend9.5 × 10−3 <∼ ΩBh

2 <∼ 0.016 . (6.35)

Wenn wir fur den erlaubten Bereich fur die Hubble–Konstante 0.4 <∼ h <∼ 1 an-nehmen, so konnen wir eine sichere Obergrenze fur die Dichte baryonischer Materieim Universum angeben:

ΩB < 0.16 . (6.36)

Die Tatsache, daß dieser Wert kleiner ist als die Werte fur ΩM, die aus dynamischenTests auf großen Skalen bestimmt wurden, deutet darauf hin, daß moglicherweiseein betrachtlicher Anteil der Materie im Kosmos nichtbaryonischer Natur ist.

6.5.2 Vergleich mit den Masseanteilen in Galaxienhaufen

White et al. (1993) tragen Ergebnisse zur Masse der sichtbaren Galaxien, des hei-ßen Gases und der Gesamtmasse des Coma–Haufens zusammen und bestimmenden Anteil der baryonischen Materie an der Gesamtmasse. Sie bestimmen dabeigrundsatzlich die Masse innerhalb des Abell–Radius rA = 1.5 h−1Mpc.


Die optische Masse folgt aus den Galaxienzahlungen unter der Annahme einesmittleren Masse–Leuchtkraft–Verhaltnisses fur elliptische Galaxien:

Mopt = (1.0 ± 0.2) × 1013 h−1M⊙ . (6.37)

Die Masse des heißen Rontgengases folgt aus dem mit ROSAT beobachtetenFlachenhelligkeitsprofil (Briel et al. 1992):

Mgas = (5.45 ± 0.98)× 1013 h−5/2M⊙ . (6.38)

Virialanalysen der Galaxienverteilung und der Gasverteilung im Coma–Haufenliefern fur die Gesamtmasse

Mtot ≃ 6.8 × 1014 h−1M⊙ (6.39)

unter der Annahme, daß die Massenverteilung gleich der Leuchtkraftverteilung ist(mass follows light). Aus Simulationen im Rahmen des CDM–Standardmodells fin-den White et al. (1993) jedoch, daß die Massenverteilung von der Leuchtkraftver-teilung verschieden ist, und

Mtot = 11 × 1014 h−1M⊙ . (6.40)

Das CDM–Standardmodell beschreibt bekanntermaßen die großraumigen Struktu-ren im Universum nur sehr unzureichend; andererseits ist die Annahme gleicherMassen– und Leuchtkraftverteilung derzeit auch noch recht willkurlich. Eine Ent-scheidung zwischen den Ergebnisse ist wahrscheinlich nur mit Hilfe des noch zumessenden Temperaturprofils moglich. Ich werde daher fur die folgende Diskussionden Mittelwert der beiden Werte fur die Gesamtmasse verwenden:

Mtot = 9 × 1014 h−1M⊙ . (6.41)

Unter der Annahme, daß mit der Bestimmung der leuchtenden Masse in Gala-xien und der Masse des heißen Gases alle baryonischen Masseanteile erfaßt werden(tatsachlich ist dies wegen der moglichen dunklen Materie in Galaxienhalos nur eineUntergrenze), so ist das Verhaltnis der baryonischen Masse zur Gesamtmasse

MB

Mtot=Mopt +Mgas

Mtot= 0.01 + 0.06h−3/2 . (6.42)

Nimmt man nun an, daß das Verhaltnis baryonischer Masse zur Gesamtmasse imComa–Haufen das gleiche ist wie im gesamten Universum, so kann man setzen

ΩB

ΩM=

MB

Mtot, (6.43)

so daß gilt

ΩM =ΩB

MB/Mtot. (6.44)

Mit dem Wert ΩB ≈ 0.015 h−2 aus dem Standard–Urknallnukleosynthesemodellerhalt man

ΩM =0.015 h−2

0.01 + 0.06 h−3/2. (6.45)

Mit den erlaubten Bereichen h = 0.4 . . . 1 und 0.01 < ΩBh2 < 0.026 ergibt sich

0.14 < ΩM < 0.66 . (6.46)

Dieses Ergebnis beruht außer auf den Annahmen, die in die Massenbestimmungdes Coma–Haufens eingehen, vor allem auf der Annahme, daß der Anteil baryoni-scher Masse an der Gesamtmasse in diesem Haufen typisch fur das Universum im


Ganzen ist. White et al. (1993) diskutieren verschiedene Mechanismen, die aufgrunddissipativer Prozesse bei der Entstehung der Haufen zu einer Anreicherung baryo-nischer Materie in Galaxienhaufen fuhren konnten (dies wurde zu einer Erhohungvon ΩM fuhren), kommen aber zu dem Ergebnis, daß dies keine große Auswirkunghaben kann. White et al. kommen daher zu dem Ergebnis, daß ΩM < 1 ist.

Kapitel 7

Lokale großraumigeBewegungen

Die Verteilung von Galaxien und Galaxienhaufen ist auf Skalen bis >∼ 300h−1 Mpcnicht homogen, so daß es auf Grund der vorhandenen Dichtefluktuationen zu Bewe-gungsstromen auf diesen Skalen kommt. Das genaue Pekuliargeschwindigkeitsfeldhangt von der Verteilung der Materie im Raum ab, sowie von der Menge der vor-handenen Materie, also von ΩM.

Aus den großen Rotverschiebungssurveys der letzten Jahre hat man inzwischenein gutes Bild der Verteilung von Galaxien und Galaxienhaufen bis zu einer Ent-fernung von bis zu ∼ 300h−1 Mpc gewonnen. Zusatzlich existiert heute eine ausrei-chend große Datenbasis fur Pekuliargeschwindigkeiten von Galaxien bis zu ∼ 100h−1

Mpc, so daß man versuchen kann, die großraumigen Bewegungen im Universum zumodellieren. Da die leuchtende Materie nur einen kleinen Teil der gesamten imUniversum vorhandenen Masse darstellt, liefern diese Modelle die Grundlage furdynamische Methoden, die Materiedichte im Universum, also ΩM, zu bestimmen.

Eine unumgangliche Fehlerquelle ist bei all diesen Methoden die kosmischeStreuung: Die ublichen numerischen Simulationen kosmologischer Szenarien mitvorgegebenen Parametern ΩM und ΩΛ und vorgegebener Art der Dunklen Ma-terie zeigen gemittelt uber Kugeln mit Radius ∼ 60 h−1Mpc eine Streuung in derMateriedichte von ∼ 10 . . . 15% (Hudson et al. 1995). Dies entspricht etwa denSamplevolumina, die in den POTENT–Arbeiten (Abschnitt 7.2) untersucht wer-den. Die Arbeiten zum Dipol der Galaxienverteilung gehen meist tiefer, leiden aberunter anderen Fehlerquellen. Man kann daher aus den großraumigen BewegungenΩM prinzipiell nicht besser als auf ∼ 15% genau bestimmen.

7.1 Lineare Theorie

Zur theoretischen Beschreibung der Materiedichte und des resultierenden Geschwin-digkeitsfeldes betrachtet man die Materie als eine ideale Flussigkeit, im Falle dernichtrelativistischen Komponente druckfrei, im Falle der Vakuumenergiedichte mitdem Druck P = −ρvac. Außerdem wird angenommen, daß die Gravitationskraftdie einzige wirkende Kraft ist. In Eigenkoordinaten (t, r) sind die relevanten hy-drodynamischen Gleichungen fur das Dichtefeld ρ(t,x), das Geschwindigkeitsfeldu(t,x) = r und das Gravitationspotential Φ(t, r) dann die Kontinuitatsgleichung,die Euler–Gleichung und die Poisson–Gleichung.

104

7.1. LINEARE THEORIE 105

Die Kontinuitatsgleichung beschreibt die Massenerhaltung:(

∂ρ

∂t

)

r

+ ∇r · (ρu) = 0 . (7.1)

Die Bewegungsgleichung fur das Materiefeld ist die Euler–Gleichung. Dabei wird derDruckgradiententerm gleich weggelassen, da die nichtrelativistische Materie sowiesodrucklos und der Druck der Vakuumenergie raumlich und zeitlich konstant ist:

(

∂u

∂t

)

r

+ (u · ∇r)u = −∇rΦ . (7.2)

Das Potential ist uber die Poisson–Gleichung wieder durch die Energiedichtevertei-lung bestimmt:

∇2rΦ = 4πG(ρ+ 3P ) . (7.3)

Um die Expansion des Raumes zu berucksichtigen, sollen diese Gleichungenjetzt auf mitbewegte Koordinaten x = r/R(t) transformiert werden. Dabei wirdder lokal gultige lineare Zusammenhang zwischen x und r benutzt, da die spater zubesprechenden Tests sich nur auf Skalen ∼ 100 . . .150h−1 Mpc bewegen, also aufSkalen, die klein sind verglichen mit der Hubble–Lange c/H0 (daher “lokal”).

Das Geschwindigkeitsfeld ist dann

u(t, r) = Rx + v(t,x) , (7.4)

wobei Rx der Hubble–Fluß und v die Pekuliargeschwindigkeit relativ zumHubble–Fluß ist. Fur die Zeitableitung und den Gradienten ergibt sich:

(

∂

∂t

)

r

=

(

∂

∂t

)

x

−H(t) (x · ∇x) (7.5)

∇r =1

R(t)∇x . (7.6)

Aus der Kontinuitatsgleichung wird dann(

∂ρ

∂t

)

r

+ ∇r · (ρu) =

(

∂ρ

∂t

)

x

−H(x · ∇x)ρ+1

R∇x ·

[

ρ(Rx + v)]

=

(

∂ρ

∂t

)

x

+ 3Hρ+1

R∇x · (ρv) = 0 . (7.7)

Ublicherweise betrachtet man statt des Dichtefeldes ρ den Dichtekontrast δ, definiertdurch

δ(t,x) =ρ(t,x) − ρM(t)

ρM(t), (7.8)

wo ρM(t) die zeitabhangige mittlere Dichte ist. Setzt man dies in (7.7) ein undbeachtet, daß wegen ρM ∝ R−3(t) gilt ρM/ρM = −3R/R = −3H , so erhalt man furdie Kontinuitatsgleichung:

(

∂δ

∂t

)

x

+1

R∇x · ((1 + δ)v) = 0 . (7.9)

Die Poisson–Gleichung lautet in mitbewegten Koordinaten:

∇2rΦ =

1

R2∇

2xΦ = 4πGρM(1 + δ) − 8πGρvac (7.10)

oder∇

2xΦ = 4πGρMR

2δ + 4πGρMR2 − 8πGρvacR

2 . (7.11)

106 KAPITEL 7. LOKALE GROSSRAUMIGE BEWEGUNGEN

Durch die Eichtransformation

Φ = φ+2

3πGρMR

2x2 − 4

3πGρvacR

2x2 (7.12)

kann man die ortsunabhangigen Terme in (7.11) beseitigen1 (Peebles 1993) underhalt

∇2xφ = 4πGρMR

2δ . (7.13)

Die linke Seite der Euler–Gleichung (7.2) transformiert sich zu

(

∂u

∂t

)

r

= Rx +

(

∂v

∂t

)

x

−H(x · ∇x)(Rx + v) +1

R

[

(Rx + v) · ∇x

]

(Rx + v)

= Rx +

(

∂v

∂t

)

x

+Hv +1

R(v · ∇x)v . (7.14)

Die rechte Seite der Euler–Gleichung lautet

−∇rΦ = − 1

R∇xφ− 4

3πGρMRx +

8

3πGρvacRx . (7.15)

Mit der zeitlichen Ableitung der Friedmann–Gleichung (2.9)

R

R= −4

3πGρM +

8

3πGρvac (7.16)

erhalt man(

∂v

∂t

)

x

+Hv +1

R(v · ∇x)v = − 1

R∇xφ . (7.17)

Die Kontinuitatsgleichung und die Euler–Gleichung konnen jetzt linearisiert wer-den, d. h. Terme, die wenigstens quadratisch in v und/oder δ sind, werden wegge-lassen. Man erhalt so

(

∂δ

∂t

)

x

+1

R∇x · v = 0 (7.18)

fur die Kontinuitatsgleichung und

(

∂v

∂t

)

x

+Hv +1

R∇xφ = 0 (7.19)

fur die Euler–Gleichung.Durch geeignete Kombination der linearisierten Kontinuitats–, Euler– und Poisson–

Gleichungen kann man eine lineare Differentialgleichung fur δ(t) herleiten:

∂2δ

∂t2+ 2

R

R

∂δ

∂t= 4πGρMδ . (7.20)

Diese ist von zweiter Ordnung in der Zeit, die Fundamentallosungen sind Potenz-funktionen:

δ(t,x) = δ0(x)(Atα +Btβ) . (7.21)

Da in der Differentialgleichung (7.20) die mittlere Dichte im Universum ρM explizitauftritt, wird die Zeitabhangigkeit der Dichtefluktuationen von der mittleren Dichtebestimmt. Aus diesem Grunde sind die dynamischen Tests auch fur eine gleichmaßigverteilte Materiekomponente empfindlich (genauer: fur alle Fourierkomponenten desDichtefeldes, deren Wellenlange großer als die Ausdehnung des beobachteten Volu-mens ist). Es stellt sich heraus, daß ein Exponent in (7.21) stets positiv, der andere

1Beachte, daß r2x2 = ∂i∂i(xjxj) = 2∂ixi = 6 !


stets negativ ist (die Exponenten hangen von den kosmologischen Parametern ab),so daß man sich fur hinreichend große Zeiten auf die wachsende Losung beschrankenkann:

δ(t,x) = A(x)tα , (7.22)

mit α > 0.Aus der Zeitabhangigkeit der Losung fur δ(t,x) definiert man nun den Parameter

f =δ/δ

R/R=δ/δ

H. (7.23)

f hangt allgemein von ΩM, ΩΛ und der Rotverschiebung z ab. Lokal (z = 0) wirddie Abhangigkeit von den kosmologischen Parametern sehr gut beschrieben durch

f ≈ Ω0.6M +

1

70ΩΛ(1 +

1

2ΩM) (7.24)

(Lahav et al. 1991). Der Beitrag von ΩΛ zum Wachstum der Dichtefluktuationenbei z ≈ 0 betragt also nur 1/70 des Beitrages von ΩM. Es ist daher klar, daß manaus der Untersuchung der großraumigen Dynamik des Materiefeldes ΩΛ nicht wirdbestimmen konnen, sondern nur ΩM.

Ersetzt man in der linearisierten Kontinuitatsgleichung (7.18) δ durch f , soerhalt man

∇x · v = −Rδ = −RfHδ . (7.25)

Da die Gleichung nur lokal angewendet werden soll, kann man nun R = R0 setzenund die mitbewegten Koordinaten x wieder durch die physikalischen Koordinatenr = R0x ersetzen und erhalt die grundlegende Gleichung fur den Zusammenhangzwischen dem Materiefeld und dem entsprechenden Geschwindigkeitsfeld:

∇ · v = −fH0δ . (7.26)

Die Geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt r erhalt man durch einfache Inte-gration zu

v(r) =fH0

4π

∫

δ(r′)(r − r′)

|r − r′|3 d3r′ . (7.27)

Dabei erstreckt sich die Integration uber den gesamten Raum, und der Integralkernist die Greensche Funktion fur eine r−2–Kraft. Wegen

∫

r − r′

|r − r′|3 d3r′ = 0 (7.28)

(Setze x = r − r′) kann man schreiben2

∫

δ(r′)(r − r′)

|r − r′|3 d3r′ =

∫

(δ + 1)r − r′

|r − r′|3 d3r′ =

∫

ρ(r′)

ρM

r− r′

|r − r′|3 d3r′ . (7.29)

Nun ist aber die Gravitationsbeschleunigung auf ein Testteilchen bei r

g(r) = G

∫

ρ(r′)r − r′

|r − r′|3 , (7.30)

so daß die Geschwindigkeit v proportional zur Gravitationsbeschleunigung g ist:

v =fH0

4πGρMg ≃ 2

3H0Ω0.4M

g , (7.31)

wobei die Definition von ΩM und f ≃ Ω0.6M verwendet wurde.

2Naturlich hatten wir dieses Ergebnis erhalten, wenn wir nicht den Umweg uber die Einfuhrungdes Dichtekontrastes genommen hatten. Es sollte aber der Zusammenhang zwischen v und denDichtefluktuationen aufgezeigt werden.


7.1.1 Rotverschiebungssurveys und Dichtefeld im Ortsraum

Zur Auswertung der Gleichungen (7.26) oder (7.27) benotigt man das Dichtefeldim Ortsraum, das Geschwindigkeitsfeld und eine Annahme bezuglich der Beziehungzwischen dem Massedichtefeld und dem Galaxien–Anzahldichtefeld. Diese Punktesollen im folgenden diskutiert werden.

Das Galaxiendichtefeld erhalt man aus Rotverschiebungssurveys, in denen manfur jede Galaxie die Koordinaten (z, ϑ, ϕ) bestimmt (Fur einige wenige Anwendun-gen genugt die zweidimensionale Galaxienverteilung am Himmel, siehe Abschnitt7.2). Benotigt wird allerdings nicht das Dichtefeld im Rotverschiebungsraum, son-dern das Feld im Ortsraum (r, ϑ, ϕ). Die Transformation von z auf r wird erschwertdurch die Pekuliargeschwindigkeiten der Galaxien und des Beobachters, die zu Ver-zerrungen des Dichtefeldes im Rotverschiebungsraum gegenuber dem im Ortsraumfuhren (Kaiser 1987).

Der einfachste Effekt kommt durch die Geschwindigkeit des Beobachters zustan-de: Durch diese Bewegung erscheinen Galaxien in Bewegungsrichtung relativ zuihrer kosmologischen Rotverschiebung blauverschoben, solche in entgegengesetzterRichtung rotverschoben. Umgekehrt transformieren sich daher Kugeln im Rotver-schiebungsraum (z. B. das von einem Rotverschiebungssurvey abgedeckte Volumen)auf exzentrische Kugeln im Ortsraum. Da die Pekuliargeschwindigkeit der LokalenGruppe bekannt ist, laßt sich dieser sogenannte “Raketeneffekt” aber leicht korri-gieren.

Schwieriger zu korrigieren sind die Verzerrungen, die durch die Pekuliargeschwin-digkeiten der Galaxien verursacht werden. Hierzu ist ein Modell des Geschwindig-keitsfeldes notig, oder man versucht durch ein Iterationsverfahren aus der Dichtever-teilung im Rotverschiebungsraum mit Hilfe der linearisierten Gravitationsinstabi-litatsgleichungen selbstkonsistent auf das Dichtefeld im Ortsraum zu transformieren.Ein solches Verfahren wird weiter unten vorgestellt.

Qualitativ kann man die Rotverschiebungsverzerrungen wie folgt verstehen: In-nerhalb eines gebundenen Systems, etwa eines Galaxienhaufens, weisen die Galaxieneine ungeordnete Geschwindigkeitsstreuung auf, d. h. die Geschwindigkeit einer Ga-laxie ist nicht mit ihrer Position korreliert. Nimmt man vereinfachend an, daß alleGalaxien eines Haufens in der gleichen Entfernung vom Beobachter stehen, so fuhrtdie Geschwindigkeitsstreuung zu einer Verlangerung der Struktur; Galaxienhaufensind im Rotverschiebungsraum langs der Sehlinie des Beobachters in die Lange ge-zogen (“finger of God”).

Auf großeren Skalen fuhren Bewegungsstrome, die mit der Position im Raum kor-reliert sind, zu einem umgekehrten Verhalten: In der Umgebung einer uberdichtenRegion bewegen sich die Galaxien bevorzugt auf das Zentrum der Region zu (Ein-fallsstrom). Galaxien, die vom Beobachter aus gesehen vor der uberdichten Regionstehen, zeigen daher zur kosmologischen Rotverschiebung eine zusatzliche Rotver-schiebung, Galaxien hinter der Region eine zusatzliche Blauverschiebung. Dies fuhrtdazu, daß uberdichte Regionen im Rotverschiebungsraum in Richtung der Sehlinieabgeplattet erscheinen, unterdichte Regionen dagegen auseinandergezogen.

Die Transformation vom Rotverschiebungsraum in den Ortsraum wird meist miteinem selbstkonsistenten Iterationsverfahren gemacht, welches im Prinzip auf denGleichungen fur die Rotverschiebung

czi = ri + ri · [v(ri) − v(0)] (7.32)

und die Geschwindigkeit der Galaxie i

v(ri) =f(ΩM)

4π

∫

δ(r′)ri − r′

|ri − r′|3 d3r′ (7.33)

beruht (Entfernungen in km s−1 gemessen).


Im ersten Iterationsschritt werden die Pekuliargeschwindigkeiten gleich Null ge-setzt, so daß ri = czi. Damit wird nach der zweiten Gleichung eine erste Naherungfur v(ri) und v(0) berechnet, die wiederum in die erste Gleichung eingesetzt wer-den, um eine neue Naherung fur ri zu bestimmen. Dieser Vorgang wird bis zurKonvergenz fortgesetzt (Yahil et al. 1991). In der Praxis spielt naturlich die Frageder Gewichtung der einzelnen Objekte eine Rolle (siehe dazu die Dipoltests) unddie Frage der Behandlung der dreiwertigen Zonen in Galaxienhaufen (wegen dersystematischen Einfallsgeschwindigkeit haben gewisse Galaxien vor, in und hinterdem Haufen trotz unterschiedlicher Entfernung gleiche Rotverschiebung).

7.1.2 Geschwindigkeitssurveys

Zur Auswertung der Gleichung (7.26) benotigt man neben dem Dichtefeld auchnoch das Geschwindigkeitsfeld im Universum. Abgesehen von den Dipoltests (Ab-schnitt 7.2), die nur die Geschwindigkeit der Lokalen Gruppe benotigen und dieseaus dem Dipol der 3 K–Hintergrundstrahlung bestimmen, benotigen alle Tests dasvolle Geschwindigkeitsfeld.

Um Geschwindigkeiten von Galaxien zu messen, muß man zunachst ihre Entfer-nungen kennen. Bei bekannter Entfernung r kann dann die radiale Komponente derGeschwindigkeit vr einer Galaxie aus ihrer Rotverschiebung z bestimmt werden:

vr = cz −H0r . (7.34)

Zur Entfernungsbestimmung einer großen Zahl von Galaxien stehen derzeit dreiEntfernungsindikatoren zur Verfugung (Dekel 1995):

(i) Tully–Fisher–Relation: Die Tully–Fisher–Methode beruht auf einer empiri-schen Beziehung zwischen der Linienbreite der 21 cm–HI–Linie von Spiralga-laxien und der Leuchtkraft. Wenn σ die der beobachteten Linienbreite ent-sprechende Rotationsgeschwindigkeit bedeutet, dann gilt

L ∝ σβ bzw. M = a− bη , (7.35)

wobei M die absolute Helligkeit der Spiralgalaxie ist, und η = log σ. Die Stei-gung b wird (wellenlangenabhangig) zu b ≃ 3 . . . 4 bestimmt, a wird durch Va-rianzminimierung im Pekuliargeschwindigkeitsfeld bestimmt.Durch Verknupfung der absoluten Tully–Fisher–Helligkeit mit der beobachte-ten scheinbaren Helligkeit kann dann die Entfernung einer Galaxie mit einemrelativen Fehler von ∼ 15% bestimmt werden.

(ii) Dn–σ–Relation (Dressler et al. 1987): Fur elliptische Galaxien besteht eineahnliche Beziehung zwischen dem Durchmesser Dn bei einer vorgegebenenmittleren Flachenhelligkeit innerhalb Dn und der zentralen Geschwindigkeits-dispersion σ:

Dn ∝ σ1.33 . (7.36)

Die Kalibration des Proportionalitatsfaktors erfolgt in Galaxienhaufen. Mitder Dn–σ–Relation konnen Entfernungen elliptischer Galaxien mit einem re-lativen Fehler von 21% bestimmt werden.

(iii) Flachenhelligkeitsfluktuationen: Eine vielversprechende neue Methode benutztFluktuationen in der Flachenhelligkeitsverteilung von Galaxien, die durchSterne am hellen Ende der stellaren Leuchtkraftfunktion verursacht werden.Durch Anpassung der bekannten Leuchtkraftfunktion an die beobachtetenFluktuationen kann die Entfernung einer Galaxie mit einem Fehler von nur8% bestimmt werden! Bisher wurde diese Methode allerdings nur bis zu Ent-fernungen von ∼ 30 h−1Mpc verwendet, so daß sie im zu besprechenden Zu-sammenhang noch nicht interessant ist.


Zufallige Fehler in der Entfernungsbestimmung konnen auf unterschiedliche Wei-se zu systematischen Fehlern im Geschwindigkeitssurvey fuhren, die in diesem Zu-sammenhang allgemein unter der Bezeichnung Malmquist–Bias zusammengefaßtwerden. Sie sollen am Beispiel der Tully–Fisher–Methode hier dargestellt werden(Dekel 1995), bei der die Streuung der absoluten Helligkeit M bei fester “Lini-enbreite” η als Gauß–verteilt mit Standardabweichung σM angenommen wird; dieentsprechenden Entfernungen sind dann log–normalverteilt.

Bei der Kalibration der Tully–Fisher–Relation in Galaxienhaufen kommt es we-gen der unvermeidlichen Flußlimitierung zu einem Malmquist–Bias im engeren Sin-ne: Bei kleinen η (entsprechend schwachen Leuchtkraften) werden systematisch zuhelle Galaxien zur Kalibration herangezogen. Dieser selection oder calibration biaskann bei bekannter Auswahlfunktion korrigiert werden.

Sei nun mit d die mittels der Tully–Fisher–Beziehung abgeleitete Entfernungeiner Galaxie und mit r ihre wahre Entfernung bezeichnet. Die WahrscheinlichkeitP (r|d), daß eine Galaxie die wahre Entfernung r hat, wenn d gemessen wurde, folgtdann einer log–Normalverteilung. Der Erwartungswert E(r|d) hangt dann von derwahren Galaxiendichteverteilung n(r) ab:

E(r|d) =

∫∞

0r3n(r) exp

[

− ln2(r/d)2∆2

]

dr

∫∞

0r2n(r) exp

[

− ln2(r/d)2∆2

]

dr6= d . (7.37)

Dabei ist ∆ = 0.46σM. Dieser Effekt kann wie folgt verstanden werden: Ein Teildes Effektes ist rein geometrischer Natur, wie man sehen kann, wenn man nurden konstanten Anteil n0 der Dichte betrachtet. Es ist dann wegen des großerenVolumens von Kugelschalen bei großeren Entfernungen wahrscheinlicher, daß eineGalaxie mit gemessener Entfernung d von großeren wahren Entfernungen r > ddorthin gestreut wird (einfach weil es mehr Galaxien mit r > d gibt), als daß sievon r < d gestreut wird. Einsetzen der konstanten Dichte n0 in (7.37) ergibt

E(r|d) = de3.5∆2

= 1.08d fur ∆ = 0.15. (7.38)

Wie auf Grund der rein geometrischen Natur dieses homogenen Malmquist–Bias zuerwarten, ist dies leicht zu korrigieren.

Im allgemeinen hangt die Dichte naturlich vom Ort ab, d. h. es liegt der in-homogene Malmquist–Bias vor. Dieser wesentlich schwieriger zu korrigierende Biaskommt durch die Fluktuationen der Dichte n(r) zustande: Es ist wahrscheinlicher,daß eine Galaxie aus einem Gebiet hoherer Anzahldichte in ein Gebiet niedrigererDichte gestreut wird als umgekehrt. Um diesen Effekt zu korrigieren ist eine genaueKenntnis der Galaxiendichteverteilung notig, die man wiederum aus Rotverschie-bungssurveys gewinnen kann (zur Korrektur siehe Abschnitt 7.2).

7.1.3 Der Bias–Parameter

δ steht fur die Dichtefluktuationen im Materiefeld. Beobachtungen auf allen Skalenzeigen jedoch, daß der großte Teil der Materie im Universum dunkel, also nichtsichtbar ist. Es ist daher nicht sicher, daß die Verteilung jenes Teils der Materie, dertatsachlich direkt beobachtbar ist (also die Galaxienverteilung), auch reprasentativist fur die Verteilung der Materie im Ganzen. Man muß folglich eine Annahmemachen uber die Verteilung der Materie in Bezug auf die Verteilung der Galaxien.

Das anfangliche Dichtefeld wird als ein Zufallsfeld beschrieben, wobei fur dieWahrscheinlichkeitsverteilung der Dichte am Ort r meist eine Gauß–Verteilung an-genommen wird (Peebles 1993), also

P (δ) =1√2πσ

e−δ2

2σ2 . (7.39)


Die Punkte in einem Gaußschen Zufallsfeld sind nicht notwendig voneinander un-abhangig, d. h. bedingte Wahrscheinlichkeiten P (δ(r2)|δ(r1)) mussen nicht gleichsein den unbedingten P (δ(r1)). Die Abhangigkeit der Punkte voneinander wirddurch die Zwei–Punkt–Autokorrelationsfunktion ξ(r) beschrieben, die wie folgt de-finiert ist:

ξ(r) := 〈δ(r1)δ(r2)〉 . (7.40)

Dabei ist r = |r1 − r2| und es wird angenommen, daß die Korrelationsfunktion iso-trop und homogen ist, wie man es nach dem Kosmologischen Prinzip im Universumerwartet. Insbesondere erhalt man aus der Korrelationsfunktion die Streuung desZufallsfeldes:

σ = 〈δ21〉 = 〈δ22〉 = ξ(0) . (7.41)

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung fur δ1 := δ(r1) und δ2 := δ(r2) erhaltman durch Ubergang zu den unabhangigen Zufallsvariablen δ± = δ1 ± δ2, deren ge-meinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung sich aus dem Produkt der einzelnen Gauß-Verteilungen ergibt:

F (δ1, δ2) ∝ G(δ+, δ−) ∝ exp

[

−δ21ξ(0) − 2δ1δ2ξ(r) + δ22ξ(0)

2(ξ(0)2 − ξ(r)2)

]

. (7.42)

Damit erhalt man fur die bedingte Wahrscheinlichkeit von δ2, wenn δ1 bekannt ist:

F (δ2|δ1) ∝ exp

[

− ξ(0)

2(ξ(0)2 − ξ(r)2)

(

δ2 − δ1ξ(r)

ξ(0)

)2]

(7.43)

mit dem Erwartungswert

〈δ2〉 = δ1ξ(r)

ξ(0). (7.44)

Das bedeutet, daß bei einer nichtverschwindenden Korrelationsfunktion ξ(r) derErwartungswert der Dichte im Abstand r von einem Punkt r1 mit δ(r1) 6= 0 von 0verschieden ist, d. h. die Dichte in r2 ist von 0 weg “gebiast”.

Falls man nun annimmt, daß Galaxien und Galaxienhaufen nur in Gebietenerhohter Dichte (z. B. δ > 3σ) entstehen, so findet man eine starkere Klumpung inder Galaxienverteilung als in der Materieverteilung, d. h. ξgg(r) > ξ(r), wobei ξggdie Zweipunktkorrelationsfunktion der Galaxienverteilung ist.

Dekel & Rees (1986) geben einen Uberblick uber verschiedene Mechanismen,die zu einer Korrelation im Dichtefeld und zu einer bevorzugten Galaxienbildung inRegionen hoherer Dichte fuhren konnen.

Der genaue Zusammenhang zwischen dem Materiefeld δ und der Galaxienvertei-lung δgal ist nicht bekannt. Man nimmt daher im allgemeinen eine einfache lineareRelation an:

δgal = b δ , (7.45)

wobei b der Bias–Parameter ist. Die lineare Relation bedeutet, daß die Galaxien-verteilung bis auf einen konstanten Faktor der Massenverteilung folgt, d. h. “lighttraces mass”. Damit wird aus Gleichung (7.26):

∇ · v = −fbH0δgal . (7.46)

Die Große des Biasparameters ist nicht mit Sicherheit unabhangig bestimm-bar (durch nichtlineare Effekte im Gravitationsinstabilitatsmodell lassen sich ΩM

und b teilweise trennen: Dekel et al. 1993 finden fur IRAS–Galaxien bI ∼ 1; Ab-schnitt 7.3.1). Fest steht, daß b fur unterschiedliche Objektklassen verschiedeneWerte hat. Peacock & Dodds (1994) untersuchen die Korrelationsfunktionen furIRAS–Galaxien, optisch selektierte Galaxien, Radiogalaxien und Galaxienhaufenund finden

bclu : bRG : bopt : bI = 4.5 : 1.9 : 1.3 : 1 . (7.47)


7.2 Pekuliargeschwindigkeit der Lokalen Gruppe

und CMB–Dipol

Die erste zu besprechende Methode zur Bestimmung von ΩM (uber f = Ω0.6M ) ver-

wendet die Pekuliargeschwindigkeit der Lokalen Gruppe relativ zu dem Bezugs-system, in welchem die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung (im folgendenCMB) isotrop erscheint. Messungen der Temperaturverteilung der CMB uber denganzen Himmel zeigen einen Dipol in dem Sinne, daß die Temperatur der Hin-tergrundstrahlung in Richtung ℓ = 276, b = 30 (in galaktischen Koordinatenum ∆T/T = (1.23 ± 0.01) × 10−3 hoher ist als in der entgegengesetzten Richtung(Kogut et al. 1993). Unter der Annahme, daß dieser Dipol die Pekuliargeschwin-digkeit der Lokalen Gruppe relativ zum CMB–System widerspiegelt, indem durchden Doppler–Effekt (lokal!) Photonen, die aus der Bewegungsrichtung der LokalenGruppe kommen, blauverschoben sind, wahrend die Photonen aus der entgegenge-setzten Richtung rotverschoben sind, erhalt man fur die Geschwindigkeit der LokaleGruppe

vLG = (627 ± 22)km s−1 , ℓ = (276 ± 3) , b = (30 ± 3) . (7.48)

Mit Hilfe von Gleichung (7.30) und (7.31) kann man nun die Geschwindigkeit derLokalen Gruppe auf die gravitative Anziehung der anisotropen Massenverteilung inder Umgebung zuruckfuhren. Die Geschwindigkeit der Lokalen Gruppe ist also

v(0) =fH0

4πbρM

∫

ρ(r)r

|r|3 d3r′ . (7.49)

Da Entfernungen wie H−10 und Dichten wie H−3

0 skalieren und die Geschwindigkeitv(0) von H0 unabhangig ist, hebt sich der explizit geschriebene Faktor H0 gegendie nach Kurzung verbleibende Entfernung weg, so daß das Ergebnis fur f/b nachdieser Methode nicht von H0 abhangt.

Tabelle 7.1 gibt einen Uberblick uber Arbeiten, die ΩM/b5/3 aus dem Dipol

in verschiedenen Galaxien und Haufen–Samples bestimmt haben. Ein Problem beiall diesen Arbeiten ist, daß das jeweils verwendete Sample immer nur einen Teilder gesamten Galaxienverteilung wiedergibt, wobei auf Grund der unterschiedli-chen Auswahlkriterien alle Samples unterschiedliche Clustering–Eigenschaften ha-ben und kein Sample eine wirklich reprasentative Stichprobe aus der Galaxienver-teilung darstellt. Dieser Umstand wird teilweise zu beseitigen versucht, indem furdie unterschiedlichen Samples verschiedene Bias–Parameter eingefuhrt werden. Dadies aber stets unter der Annahme des einfachen linearen Gesetzes (7.45) gemachtwird, ist diese Korrektur vermutlich unvollstandig. Eine Aufgabe fur die Zukunftware es, zu versuchen, die verschiedenen Samples zu homogenisieren und so eineStichprobe zu schaffen, die moglichst reprasentativ fur die lokale Galaxien– undMassenverteilung (unter der light–traces–mass–Annahme) ist.

Im folgenden sollen Arbeiten zu verschiedenen Objektklassen im einzelnen be-sprochen werden.

7.2.1 IRAS–Galaxien

Die IRAS–Galaxienkataloge haben im Gegensatz zu optischen Katalogen den Vor-teil, daß sie mit einem einzigen Instrument erstellt wurden und daher den Him-mel weitgehend homogen abdecken. Interstellare Absorption spielt im Infrarot ei-ne weitaus geringere Rolle als im Optischen, so daß die galaktische Ebene bis zuniedrigeren galaktischen Breiten (>∼ 10) erfaßt werden kann. Eine Storquelle istder galaktische Zirrus, also infrarote Emissionsstrahlung von interstellarem Staub.

7.2. DIPOLBESTIMMUNGEN 113

Referenz Methode Katalog ΩM/b0.6

Infrarot (IRAS–Kataloge)Yahil et al. (1986) Fluß (gebinnt) IRAS PSC 0.85Meiksin & Davis (1986) Anzahl IRAS PSC 0.5Villumsen & Strauss (1987) Fluß IRAS PSC 1.2Rowan–Robinson (1987) Fluß IRAS PSC 0.85Lahav et al. (1988) Fluß (gebinnt) IRAS PSC 0.8Strauss & Davis (1988) N/r2 IRAS (1.9 Jy) 0.7Rowan–Robinson et al. (1991) N/r2 IRAS QDOT 0.71Plionis et al. (1993) N/r2 IRAS QDOT <∼ 0.43

Optisch: GalaxienLahav (1987) Flache (ϑ2) UGC,ESO,MCG 0.3Lahav et al. (1988) Flache (ϑ2) UGC,ESO,MCG 0.15Lynden–Bell et al. (1989) Flache (ϑ2) etc. 0.14 (Mock Sky)

0.3 (Mean Sky)Hudson (1993) Flache (ϑ2) UGC, ESO 0.69

Optisch: GalaxienhaufenPlionis & Valdarnini (1991) N/r2 Abell, ACO 0.0.05 . . .0.08Branchini & Plionis (1995) N/r2 Abell, ACO 0.07

Rontgen–AGNMiyaji & Boldt (1990) Fluß HEAO 0.05 . . .0.22

Tabelle 7.1: Arbeiten zur Bestimmung des Dipols in der Galaxienverteilung und Vergleichmit dem Dipol in der Temperaturverteilung der 3 K–Hintergrundstrahlung

Die Himmelsabdeckung in den verwendeten IRAS–Katalogen betragt typischerweise∼ 75%.

Die ersten Arbeiten zum Dipol in der Verteilung von IRAS–Galaxien berucksich-tigten noch keine Rotverschiebungs– bzw. Entfernungsinformation, sondern nutztendie Tatsache aus, daß die Flußdichte genau wie die Gravitationskraft proportionalzu r−2 abfallt (Lynden–Bell 1991). Es gilt daher:

g ∝∫

ρ(r)r

|r|3 d3r ≈

∫

〈ML〉L(r)

r

|r|3 d3r = 4π〈M

L〉∫

σr d3r = 4π〈ML〉σ . (7.50)

Dabei ist r der Einheitsvektor in Richtung r, 〈M/L〉 das mittlere Masse–Leucht-kraft–Verhaltnis, L(r) die Leuchtkraftdichte am Ort r und σ = L/4πr2 die Fluß-dichte in der Entfernung r. Die verwendeten Samples umfaßten ∼ 7000 . . .8000Galaxien.

Yahil et al. (1986) erhielten auf diese Weise fur den IRAS–Dipol ℓ = 248,

b = 40 und ΩM/b5/3I = 0.81, Villumsen & Strauss (1987) erhielten ℓ = 239,

b = 36 und ΩM/b5/3I = 1.2.

Rowan–Robinson (1987) bestimmte die Richtung des flußgewichteten Dipols inder Verteilung von IRAS–Galaxien mit f60 > 0.6 Jy (ein neues Sample vergleich-bar mit dem von Yahil et al. 1986) zu ℓ = 248 ± 9, b = 40 ± 8 und erhielt

ΩM/b5/3I = 0.85 ± 0.16 (Tatsachlich gibt Rowan–Robinson Werte fur drei verschie-

dene “Masken”, also ausgeschlossene Himmelsregionen, an; die angegebenen Wertesind fur die Maske, die auch von Yahil et al. (1986) verwendet wurde.). Diese Er-gebnisse sind praktisch identisch mit denen, die Lahav et al. (1988) bestimmen

(ℓ = 250, b = 38, ΩM/b5/3I = 0.8 ± 0.1).

Die Streuung des Masse–Leuchtkraft–Verhaltnisses bei IRAS–Galaxien ist sehr


hoch, so daß die Ersetzung durch das mittlere Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis in(7.50) zu großen Fehlern fuhren kann. Eine Gewichtung der einzelnen Galaxien nachihrem individuellen Masse–Leuchtkraft–Verhaltnis erfordert aber die Kenntnis derEntfernung der Galaxien. Meiksin & Davis (1986) geben daher allen Galaxien inihrem Sample gleiches Gewicht, d. h. sie bestimmen den anzahlgewichteten Dipoldurch einfache Vektoraddition der Richtungsvektoren zu den Galaxien:

g ∝∑

i

ri . (7.51)

Meiksin & Davis erhalten ℓ = 239, b = 36 und ΩM/b5/3I ≃ 0.5.

Durch die Rotverschiebungsbestimmung zu Teilsamples von IRAS–Galaxien wur-de es moglich, direkt den Dipol in der raumlichen Verteilung von IRAS–Galaxien zubestimmen. Die Hauptschwierigkeit dabei besteht in der Transformation vom Rot-verschiebungsraum auf den Ortsraum, insbesondere in der Berucksichtigung der Pe-kuliargeschwindigkeiten der Galaxien. Im Idealfall muß daher zunachst ein Modellfur die Bewegungsstrome der Galaxien im Sample erstellt werden.

Der erste Rotverschiebungssurvey, der auf der Basis des IRAS–Punktquellenka-taloges erstellt wurde, ist der 1.9 Jy–Katalog von Strauss & Davis (1988). Sie be-stimmten Rotverschiebungen fur 2176 Galaxien mit 60 µm–Fluß f60 > 1.936 Jy miteiner charakteristischen Tiefe von 60 h−1Mpc. Fur die Richtung des Dipols erhiel-

ten sie ℓ = 255, b = 54. Aus dem Betrag des Dipols erhielten sie ΩM/b5/3I ∼ 0.7.

Obwohl Strauss & Davis eine Konvergenz des Dipols bei ∼ 40 h−1Mpc beobachten,zeigen spatere und tiefere Samples, daß diese Konvergenz nur scheinbar ist.

Rowan–Robinson et al. (1991) untersuchen den Dipol in der Galaxienvertei-lung im QDOT3–Rotverschiebungssurvey nach der Gleichung (7.27). QDOT ist einRotverschiebungssurvey, der auf dem QMW–Galaxienkatalog (ein Teil des IRAS–Punktquellenkataloges) bis 0.59 Jy bei 60 µm basiert, wobei zu einem Sechstel derGalaxien dieses Kataloges4 Rotverschiebungen gemessen wurden. QDOT umfaßt2163 Galaxien mit 2093 gemessenen Rotverschiebungen, die Tiefe des Surveys er-reicht 150 . . .200 h−1Mpc. Dies ist also der erste Rotverschiebungssurvey, der einehinreichende Tiefe erreicht und soll daher etwas ausfuhrlicher besprochen werden.

Gleichung (7.49)wird in diskreter Form verwendet:

v(0) =H0Ω

0.6M

4πbn0

∑

i

1

Φ(ri)

ri

|ri|3. (7.52)

Dabei ist Φ(ri) die Auswahlfunktion des Surveys bei der Entfernung der Galaxie i

Φ(r) =

Lmax∫

Lmin(r)

η(L) dL , (7.53)

wobei Lmin(r) die wegen der Flußlimitierung minimale Leuchtkraft einer Galaxieist, die in der Entfernung r noch gesehen werden kann, und η(L) die Leuchtkraft-funktion. Φ(r) ist also die Anzahldichte aller Galaxien, die in der Entfernung rvom Survey erfaßt werden. Da Galaxien bei großer Entfernung aus einem enge-ren Leuchtkraftintervall stammen (heller sein mussen) und daher weniger Galaxienvom Survey erfaßt werden, werden die Galaxien mit der inversen Auswahlfunktiongewichtet.

3Queen Mary and Westfield College, Durham, Oxford, Toronto4Damit erhalt man ein statistisch vollstandiges Sample, ohne zu jeder Galaxie die Rotverschie-

bung messen zu mussen.


Die beobachtete gewichtete Zahl der Galaxien wird auf die mittlere Dichte

n0 =1

AVmax

∑

i

1

Φ(ri)(7.54)

bezogen, wobei Vmax das gesamte vom Survey erfaßte Volumen ist (bis 150 h−1Mpc)und A der Raumwinkel, der vom Survey am Himmel abgedeckt wurde.

Die vom Survey nicht abgedeckten Gebiete am Himmel (Felder in der galak-tischen Ebene und durch interstellaren Zirrus kontaminierte Felder) werden vonRowan–Robinson et al. mit Poisson–verteilten simulierten Quellen aus der beob-achteten Leuchtkraftfunktion bevolkert (Mean Sky). Zur Fehlerabschatzung werdenzehn derartiger Simulationen durchgefuhrt.

In der Gleichung (7.52) werden die Galaxienentfernungen benotigt. Es ist al-lerdings unmoglich, fur mehr als 2000 Galaxien verlaßliche Entfernungen zu be-stimmen, so daß Rowan–Robinson et al. auf einfache Modelle angewiesen sind. Imersten Modell wird angenommen, daß die Galaxien in Ruhe sind, so daß aus ih-rer Rotverschiebung nach Abzug der Geschwindigkeit v(0) der Lokalen Gruppe dieEntfernung

ri = H−10 |czri − v(0)| (7.55)

bestimmt werden kann (ri ist der Einheitsvektor in Richtung der Galaxie i.). DiesesModell ist prinzipiell unzureichend, da dadurch systematische Effekte unberucksich-tigt bleiben, die durch die Pekuliargeschwindigkeiten der Galaxien entstehen. Beider Dipolbestimmung ist insbesondere ein Effekt zu nennen, auf den Kaiser (1987)hingewiesen hat und der dadurch entsteht, daß die Auswahlfunktion in diesem Mo-dell bei der der Rotverschiebung entsprechenden Entfernung bestimmt wird undnicht bei der wahren Entfernung, wie es eigentlich in einem flußlimitierten Sampleerforderlich ist (Cole et al. 1995). Kaiser gibt eine Gleichung fur diesen Effekt an;er findet, daß der Betrag des dadurch erzeugten Dipols von der gleichen Großen-ordnung wie der wahre Dipol sein kann, daß aber sogar das Vorzeichen des Effektesnur bei detaillierter Kenntnis des Geschwindigkeitsfeldes bestimmt werden kann.

Es ist daher bei der Dipolbestimmung notwendig, ein Modell fur das Geschwin-digkeitsfeld zu konstruieren. Das zweite Modell von Rowan–Robinson et al. gehtdaher davon aus, daß die meisten Galaxien dynamisch einem Galaxienhaufen (mitbekannter Entfernung) zugeordnet werden konnen, in deren Umgebung ein einfa-ches radiales Geschwindigkeitsfeld herrscht. In einem Iterationsverfahren wird diesesFlußmodell mit dem Geschwindigkeitsfeld

v(r) =H0Ω

0.6M

4πn0

∑

i

1

Φ(ri)

ri − r

|ri − r|3 (7.56)

in Einklang gebracht; Ziel des Verfahrens ist es, konsistente Entfernungen der Ga-laxien zu bestimmen (genaueres bei Rowan–Robinson et al. 1991). Die Autorenfinden trotz des potentiellen systematischen Kaiser–Effektes eine gute Ubereinstim-mung der Dipole, die mit den beiden Modellen fur das Pekuliargeschwindigkeitsfeldbestimmt wurden.

Mit diesen Annahmen und Methoden erhalten Rowan–Robinson et al. fur dieRichtung des QDOT–Dipols:

ℓ = 237 ± 24 , b = 43 ± 27 , (7.57)

etwa 33 vom CMB–Dipol (7.48) entfernt. Fur ΩM finden sie

ΩM

b5/3I

= 0.71+0.29−0.18 . (7.58)


Fur bI = 1.23 entsprache dies dem Einstein–de Sitter–Wert ΩM = 1.Plionis et al. (1993) untersuchen den QDOT–Survey aufs Neue und konzentrie-

ren sich insbesondere auf die Frage der Konvergenz des Dipols. Durch Berechnungdes Monopolterms in Abhangigkeit von der Integrationstiefe finden sie, daß dieserbis zu einer Entfernung von 200 h−1Mpc monoton anwachst. Dies ist eine notwendi-ge Bedingung fur eine gute Bestimmung des Dipols, da ein Abflachen des Monopolsdas Erreichen der Vollstandigkeitsgrenze des Surveys anzeigen wurde, allerdings kei-ne hinreichende, da wegen der geringen Zahl erfaßter Galaxien bei großen Entfer-nungen (die Raumdichte der QDOT–Galaxien nimmt zwischen 50 und 100 h−1Mpcum einen Faktor 8 ab) Monopol und Dipol in den außeren Bereichen von wenigenGalaxien mit hohem Gewicht bestimmt werden. Man hat also hier das Problem derStatistik kleiner Zahlen, welches sich bei der Dipolbestimmung durch einen nichtrealen “shot noise”–Dipol bemerkbar macht, der durch die Diskretheit der Datenverursacht wird. Plionis et al. (1993) bestimmen die Große des shot noise–Dipolsbei 150 h−1Mpc zu etwa 20 bis 35% des QDOT–Dipols.

Auch Plionis et al. finden eine Konvergenz des beobachteten QDOT–Dipols bei

∼ 100 h−1Mpc, allerdings erhalten sie einen Wert ΩM/b5/3I = 0.50, also einen etwas

kleineren Wert als Rowan–Robinson et al. (1991). Aus einer Untersuchung der Di-polrichtung in Abhangigkeit von der Integrationstiefe finden sie jedoch, daß diese bis100 h−1Mpc etwa konstant in die Richtung des CMB–Dipols zeigt, zwischen 100 und150 h−1Mpc die Dipolrichtung zufallig schwankt, um dann in einer Schale zwischen150 und 160 h−1Mpc wieder in die CMB–Richtung gezogen zu werden. Dies deutetnach Ansicht von Plionis et al. darauf hin, daß in dieser Entfernung wieder einekoharente Struktur liegt, die einen signifikanten Einfluß auf den Betrag des Dipolshaben sollte. Dies ist in Einklang mit der Bestimmung des Dipols in der Verteilungreicher Galaxienhaufen (Plionis & Valdarnini 1991), wird aber im QDOT–Dipolnicht gesehen. Jedoch konnte durch das schwache Sampling im QDOT–Survey indieser Entfernung dieser Beitrag verwischt sein. Plionis et al. konnen den Beitragaus der Schale bei 150 h−1Mpc nicht genau quantifizieren, folgern jedoch, daß manaus dem QDOT–Survey nur auf eine Obergrenze

ΩM

b5/3<∼ 0.6 (7.59)

schließen kann.

7.2.2 Optisch selektierte Galaxien

Es sind weit mehr optisch selektierte Galaxien bekannt als IR–selektierte. OptischeSamples haben den Vorteil, daß auch elliptische und S0–Galaxien, die in IRAS–Samples unterreprasentiert sind, berucksichtigt werden. Allerdings gibt es keinenoptischen Galaxienkatalog, der den gesamten Himmel homogen abdeckt. Um daherein homogenes Galaxiensample fur den gesamten Himmel zu konstruieren, muß manmehrere Kataloge (wenigstens einen fur den Nord– und einen fur den Sudhimmel)zusammenfugen. Verschiedene Kataloge unterscheiden sich jedoch in den Auswahl-kriterien (Flußbegrenzung, Durchmesserbegrenzung), in den verwendeten Instru-menten und Reduktionsverfahren. Daher muß man auf eine genaue Homogenisie-rung durch Korrekturen bezuglich Fluß– und Durchmesserbegrenzung achten, umunterschiedliche Gewichte fur verschiedene Himmelsregionen zu vermeiden.

Lahav (1987) konstruiert aus den UGC–, ESO– und MCG–Katalogen ein Samplevon 15 000 Galaxien, welches außerhalb der verdeckten Bereiche der galaktischenEbene den Himmel homogen abdeckt. Er gewichtet die Galaxien nach dem Quadratihres Durchmessers bei der 25 mag arcsec−2–Isophote, was unter der Annahmeeiner konstanten zentralen Flachenhelligkeit einer Flußgewichtung aquivalent ist.Der Dipol in der Galaxienverteilung zeigt in die Richtung ℓ = 227 ± 23, b =


42±8, ein Vergleich des Betrages des Dipols mit der Geschwindigkeit der Lokalen

Gruppe ergibt ΩM/b5/3opt ≈ 0.3.

Plionis (1988) untersucht den Dipol in den Shane & Wirtanen Lick–Galaxien-zahlungen, die etwa 810 000 Galaxien umfassen. Die Galaxien werden in Zellen von10× 10 arcmin2 zusammengefaßt. Aus den anzahlgewichteten Zellen wird dann derDipol bestimmt. Plionis’ Arbeit macht die Schwierigkeit deutlich, die durch die un-vollstandige Galaxienerfassung in der galaktischen Ebene verursacht wird: Fur einescharfe Maske, also eine Beschrankung der Galaxienzahlungen auf Regionen mit|b| > 20, erhalt Plionis ℓ = 259, b = 22.5, fur eine Maske, in der die galaktischeAbsorption durch ein cosec b–Gesetz modelliert wird, ℓ = 236.5, b = 10.4. Demge-genuber fand Lahav (1987) in seinem Sample eine erheblich geringere Abhangigkeitdes Dipols von der Behandlung der maskierten Bereiche. Die Zuverlassigkeit derLick–Counts wird von einigen Autoren in Frage gestellt (Plionis (1988) und Refe-

renzen darin), daher bestimmt Plionis keinen Wert fur ΩM/b5/3opt .

Lahav et al. (1988) unterziehen das Sample von Lahav (1987) einer neuerlichenkritischeren Untersuchung und gelangen zu dem Ergebnis ℓ = 261, b = 29 (dies

entspricht einer Abweichung vom CMB–Dipol um nur 13) und ΩM/b5/3opt = 0.15 ±

0.07.

Lynden–Bell et al. (1989) analysieren das UGC/ESO/MCG–Sample auf ein Neu-es. Sie verwenden dabei die Durchmesserfunktion5, um auch den Beitrag kleinerGalaxien berucksichtigen zu konnen. Ihr flachengewichteter Dipol zeigt in die Rich-tung ℓ = 275, b = 26. Durch Vergleich mit einer Rotverschiebungsliste von Huchrafinden sie, daß der optische Flußdipol bei ∼ 35 h−1Mpc konvergiert! Mit einer mitt-

leren Maske finden sie ΩM/b5/3opt = 0.3, mit einer geclonten Maske ΩM/b

5/3opt = 0.14.

Die unterschiedliche Behandlung der verdeckten Himmelsregionen fuhrt hier also zueinem Unterschied vom Faktor 2.

Hudson (1993a, 1993b) bestimmt zunachst fur das UGC/ESO–Sample von Lyn-den–Bell et al. (1989) neue Vollstandigkeitskorrekturen und Durchmesserfunktionund damit den Dipol in der Galaxienverteilung. Hudson gewichtet die Galaxien nachder Leuchtkraft (Quadrat der großen metrischen Halbachse) und der Vollstandigkeitdes Samples und betrachtet sowohl eine mittlere als auch eine geclonte Maske. DieDipolrichtung unterscheidet sich fur die beiden Masken um 12: Fur die mittlereMaske findet er ℓ = 242, b = 49, fur die geclonte Maske ℓ = 231, b = 40.Hudson bestimmt den Fehler, der durch die Diskretheit der Daten entsteht (shotnoise) durch Simulationen, in denen die Galaxien durch einen Poisson–Prozeß aus ei-ner Dichteverteilung entnommen werden, und findet, daß der dreidimensionale shotnoise–Fehler etwa ein Viertel des Betrages des bestimmten Dipolbetrages ausmacht;die Halfte dieses Wertes stammt allerdings von Entfernungen <∼ 1000 km s−1, wodieser Effekt uberschatzt wird. Dennoch stellt shot noise die großte Fehlerquelle inder Dipolanalyse dar.

Unter der Annahme, daß der Dipol im betrachteten Volumen konvergiert, findetHudson

ΩM

b5/3opt

= 0.69+0.33−0.18 . (7.60)

Aus dem Vergleich der z–Komponenten des CMB–Dipols und des Galaxiendipols(dabei spielen die durch die galaktische Ebene maskierten Regionen eine geringereRolle) findet Hudson einen kleineren Wert:

ΩM

b5/3opt

= 0.34 . (7.61)

5analog zur Leuchtkraftfunktion


Da zweifelhaft ist, ob das betrachtete Samplevolumen (bis 80 h−1Mpc) samtli-che Beitrage zur Gravitationsbeschleunigung der Lokalen Gruppe erfaßt, betrachtetHudson den Dipol noch im Rahmen gelaufiger numerischer Modelle zur Strukturbil-dung im Universum. Fur das Standard–CDM–Modell erhalt Hudson fast den glei-chen Wert wie unter der Annahme der Konvergenz. In Modellen mit mehr Power aufgroßeren Skalen enthalt der CMB–Dipol dagegen mehr Beitrage von außerhalb desbetrachteten Volumens, so daß ΩM/b

5/3 in diesem Fall kleiner wird (∼ 0.3 in einemflachen Modell mit kalter dunkler Materie und einer kosmologischen Konstante).

7.2.3 Galaxienhaufen

Plionis & Valdarnini (1991) bestimmen den Dipol in der Verteilung reicher Gala-xienhaufen aus dem Abell–ACO–Katalog. Sie finden eine Konvergenz des Mono-polterms bei 190 h−1Mpc; hier wird das Sample also unvollstandig. Der Dipoltermkonvergiert dagegen schon bei ∼ 150 h−1Mpc, so daß Plionis & Valdarnini mit eini-ger Gewißheit annehmen, daß diese Konvergenz nicht durch die endliche Tiefe desSamples vorgetauscht ist. Fur die Richtung des Dipols erhalten Plionis & Valdarniniℓ = 273.6 und b = 22.7, was einer Abweichung vom CMB–Dipol (7.48) von 7.6entspricht. Sie erhalten damit

0.05 ≤ ΩM

b5/3clu

≤ 0.08 . (7.62)

Die ist erheblich kleiner als der Wert von Rowan–Robinson et al. (1991), wobei manallerdings beachten muß. daß die Bias–Parameter fur Galaxienhaufen und IRAS–Galaxien sich unterscheiden.

7.2.4 Rontgen–AGN

Miyaji & Boldt (1990) bestimmen den Dipol in der Flußverteilung eines Samplesvon 30 Aktiven Galaxienkernen, die im Rontgenbereich vom HEAO I–Satelliten

entdeckt wurden und erhalten ℓ = 313, b = 38 und ΩM/b5/3AGN = 0.05 . . .0.22. Sie

beobachten Konvergenz ihres Dipols bei z ≃ 0.017, entsprechend 51 h−1Mpc.Mit 30 Objekten ist dieses Sample naturlich sehr klein; zudem ist es fraglich, ob

diese recht spezielle Objektklasse ein guter Indikator fur die Massenverteilung ist.Andererseits sprechen die im Rahmen anderer Arbeiten liegende Abweichung vonder Richtung des CMB–Dipols und der Wert fur ΩM/b

5/3 dafur, daß diese Annahmenicht ganz falsch ist. Vor allem wegen der Kleinheit des Samples sollte man diesesErgebnis dennoch eher als eine Abschatzung denn als eine Messung sehen.

7.2.5 Richtung des Dipols

In Abbildung 7.1 sind die Richtungen der Dipole aus den besprochenen Arbeitenin galaktischen Koordinaten aufgetragen. Der große Stern gibt dabei die Richtungdes CMB–Dipols an. Der von Lynden–Bell et al. (1989) bestimmte Dipol trifft dieRichtung des CMB–Dipols am besten, der Dipol in der Galaxienhaufenverteilungvon Plionis & Valdarnini (1991) kommt dem am nachsten. Das Galaxiensamplevon Lynden–Bell et al. (1989) reicht allerdings nur bis <∼ 80 h−1Mpc, die Auto-ren finden eine Konvergenz schon bei ∼ 35 h−1Mpc. Andere Arbeiten, vor allemdie IRAS– und Haufen–Arbeiten zeigen jedoch, daß noch bei >∼ 150 h−1Mpc mitnennenswerten Beitragen zum Dipol zu rechnen ist. Insofen scheint zumindest die

ΩM/b5/3opt–Bestimmung von Lynden–Bell et al. fragwurdig.

Der Dipol in der Verteilung von Galaxienhaufen (Plionis & Valdarnini 1991)reicht sehr tief (bis ∼ 200 h−1Mpc), vernachlassigt aber Beitrage nahe gelegener


l

b

240 260 280 300

1020

3040

50

l

b

240 260 280 300

1020

3040

50

l

b

240 260 280 300

1020

3040

50

l

b

240 260 280 300

1020

3040

50

l

b

240 260 280 300

1020

3040

50

Abbildung 7.1: Richtungen verschiedener Dipole in galaktischen Koordinaten. Der großeStern gibt die Richtung des CMB–Dipols. Dreiecke: Optische Galaxien, Punkte: IRAS–Galaxien, Funfeck: Galaxienhaufen, Neuneck: Rontgen–AGN


Einzelgalaxien, insbesondere wird der Virgo–Haufen hier nicht berucksichtigt (Hud-son 1993b).

Die Dipolbestimmungen aus IRAS–Galaxien scheinen sich um einen Punkt beiℓ ∼ 240, b = 40, zu haufen. Die Abweichung von der Richtung des CMB–Dipolskonnte daher moglicherweise eine systematische, durch die Auswahl der Galaxienbedingte sein. IRAS–Galaxien sind vorwiegend im Feld zu finden und sind in denZentren von Galaxienhaufen unterreprasentiert. Die resultierende Vernachlassigungder Galaxienhaufen in der Dipolbestimmung konnte eine systematische (zufallige)Verschiebung der Dipolrichtung bewirken.

Die Dipolrichtung allein sagt, wie im Falle von Lynden–Bell et al. (1989), nochnichts uber die Gute der Bestimmung von ΩM/b

5/3 aus. Um die Frage nach derKonvergenz des Dipols im betrachteten Volumen zu entscheiden, muß man weiter-gehende Uberlegungen anstellen.

7.2.6 Konvergenz der Dipolmessungen

Peacock (1992) untersucht den statistischen Einfluß der endlichen Sampletiefe aufdie Bestimmung der Pekuliargeschwindigkeit der Lokalen Gruppe uber die Glei-chung (7.27) aus dem Dichtefeld. Ausgangspunkt seiner Uberlegungen ist die Tat-sache, daß die beobachtete Dichteverteilung und damit auch die beobachtete Ge-schwindigkeit der Lokalen Gruppe Realisierungen von Zufallsgroßen sind. Unter derAnnahme, daß δ ein Gaußsches Zufallsfeld (7.39) ist, kann die gemeinsame Wahr-scheinlichkeitsverteilung der aus einem endlichen Rotverschiebungssurvey bestimm-ten Geschwindigkeit v(R) und der wahren Geschwindigkeit v(∞) angegeben undGroßen wie der Geschwindigkeitsbias

F 2(R) =〈v2(R)〉〈v2(∞)〉 (7.63)

und der Korrelationskoeffizient

r(R) =〈v(R) · v(∞)〉

F (R)(7.64)

berechnet werden. Peacock kommt zu dem Ergebnis, daß die endliche Tiefe einesRotverschiebungssurveys zu kleinen Fluktuationen im Winkel θ zwischen v(R) undv(∞) fuhrt (wie es ja auch in den besprochenen Arbeiten zum Dipol der Fall war),dagegen einen viel starkeren Einfluß auf den Betrag der Geschwindigkeit hat unddaher zu großen Fehlern in ΩM fuhrt:

θmed ≃ 44

√

1 − r2

r(7.65)

undδΩM

ΩM=

√1 − r2

0.6. (7.66)

Um einen relativen Fehler von δΩM/ΩM ∼ 0.1 zu erreichen, benotigt man alsoeinen Korrelationskoeffizienten von r ≃ 0.998; dies entspricht einem Median derWinkelabweichung von θmed ∼ 3, erheblich weniger, als alle bisher in Rotverschie-bungssurveys erreichten Werte.

Peacock (1992) wendet diese Uberlegungen auf die Arbeit von Rowan–Robinsonet al. (1991) an und findet ein 95%–Konfidenzintervall von 0.30 < Ω0.6

M /b < 1.41.Da durch Rotverschiebungsverzerrungen, das Powerspektrum im Rotverschiebungs-raum um einen Faktor

1 +2

3

Ω0.6M

b+

1

5

(

Ω0.6M

b

)2

7.3. POTENT 121

verstarkt ist (Kaiser 1987) ist nach Peacock nur eine Aussage uber eine Untergrenzefur ΩM/b

5/3 moglich:

ΩM

b5/3I

> 0.16 (7.67)

bei 95% Konfidenz.

Peacock (1992) macht zusatzlich simulierte Geschwindigkeitsbestimmungen inGaußschen Zufallsfeldern und findet haufig scheinbare Konvergenzen der Geschwin-digkeit, also Plateaus in der Funktion |v(R)|, bevor es zur eigentlichen Konvergenzkommt. Dadurch wird deutlich, daß auch mit der Dipolmethode vor allem wegenstatistischer Unsicherheiten noch keine endgultige ΩM–Bestimmung moglich ist. Ei-nige Aspekte dieser Methode deuten aber zumindest darauf hin, daß diese Tests mitden grundlegenden Annahmen (Pekuliargeschwindigkeiten entstehen durch Gravi-tationsinstabilitat, CMB–Dipol ist Folge der Pekuliargeschwindigkeit der LokalenGruppe) konsistent sind.

7.3 POTENT

Die bisher besprochenen Methoden haben den großen Nachteil, daß die Gute derΩM/b

5/3–Bestimmung von der Tiefe der verwendeten Galaxiensamples abhangt,da diese Methoden auf der nichtlokalen integralen Beziehung (7.27) beruhen. DieFrage, ob ein gegebenes Galaxiensample alle relevanten Quellen der Gravitationsbe-schleunigung erfaßt, kann letztendlich nie mit Sicherheit beantwortet werden, unddie Ersetzung des unendlichen Integrationsvolumens in Gleichung (7.27) durch dasendliche Samplevolumen bleibt stets eine Naherung.

Diese Problematik kann durch Anwendung der differentiellen Beziehung (7.26)umgangen werden:

∇ · v = −H0f(ΩM)

bδgal . (7.68)

Die Bestimmung von ΩM/b5/3 lauft in diesem Fall auf einen lokalen Vergleich

zwischen der Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes und des Dichtefeldes hinaus.Tatsachlich ist die Methode naturlich nur in der Theorie streng lokal. In der Praxismussen zuerst durch Glattung stetige Geschwindigkeits– und Dichtefelder erzeugtwerden: Die Felder am Punkt r sind daher gemittelte Felder uber ein Volumen,dessen Radius der charakteristischen Lange der Glattungsfunktion (beispielsweiseein Gaußfilter) entspricht. Die Integrationsvolumina sind dennoch viel kleiner alsdas Samplevolumen, so daß in dessen Rahmen die Beziehung (7.68) in mehrerenstatistisch unabhangigen Volumina getestet werden kann. Neben der Lokalitat istdies der zweite große Vorteil dieser Methode gegenuber den Dipolbestimmungen,bei denen Geschwindigkeits– und Dichtefeld nur in einem Punkt verglichen werden.Demgegenuber stehen als Nachteile, daß zur Bestimmung des Geschwindigkeitsfel-des Entfernungen bestimmt werden mussen (mit den besprochenen Fehlergrenzenund den daraus resultierenden Auswahleffekten), und daß das Geschwindigkeitsfelddifferenziert werden muß, um mit dem Dichtefeld verglichen zu werden; Differentia-tionen sind numerisch weniger stabil als Integrationen.

Die Methode, durch Anwendung von Gleichung (7.68) ΩM/b5/3 zu bestimmen,

ist unter der Bezeichnung POTENT bekannt. POTENT steht fur Potentialrekon-struktion, wodurch der entscheidende Schritt gemeint ist, der zur Anwendung von(7.68) erforderlich ist: Da Geschwindigkeiten im Falle extragalaktischer Objekteausschließlich uber Rotverschiebungen gemessen werden konnen, sind unmittelbarimmer nur Radialgeschwindigkeiten meßbar. Da Gleichung (7.68) aber die Kennt-nis des vollen dreidimensionalen Geschwindigkeitsfeldes erfordert, muß dieses erst


rekonstruiert werden. Dies wird ermoglicht durch die Annahme, daß das Geschwin-digkeitsfeld ein Potentialfeld ist und daher gilt:

∇ × v = 0 und v = −∇Φv . (7.69)

Diese Annahme ist im Gultigkeitsbereich der linearen Theorie immer erfullt.

Nachdem durch ein geeignetes Glattungsverfahren aus den diskreten Messungenein stetiges Radialgeschwindigkeitsfeld konstruiert wurde, kann durch Integrationdieses Feldes zunachst das Geschwindigkeitspotential rekonstruiert werden:

Φv(r) = −r∫

0

vr dr , (7.70)

wobei der Integrationsweg nicht notwendig radial verlaufen muß, sondern so gewahltwerden kann, daß er nur Regionen durchlauft, die vom Geschwindigkeitssurvey miteiner ausreichenden Zahl von Daten abgedeckt werden. Voids beispielsweise konneneinfach umfahren werden (Simmons et al. 1995). Aus dem Geschwindigkeitspotenti-al kann nun durch Gradientenbildung das dreidimensionale Geschwindigkeitsfeld v

abgeleitet werden. Durch weitere Divergenzbildung und Vergleich mit dem Dichte-feld kann nun ΩM/b

5/3 bestimmt werden (δ–δ–Vergleich). Abbildung 7.2 zeigt eineschematische Darstellung des Verfahrens.

Die POTENT–Rekonstruktion muß mehrere Auswahleffekte berucksichtigen,von denen die durch die zufalligen Fehler bei der Entfernungsbestimmung entste-henden systematischen Fehler schon im Abschnitt 7.1.2 besprochen wurden. Um diezufalligen Fehler ∆ bei der Entfernungsbestimmung zu reduzieren, werden die Gala-xien im Rotverschiebungsraum zu Gruppen zusammengefaßt (Hudson et al. 1995);damit reduziert sich der Fehler der Entfernung einer Gruppe mit N Mitgliedern auf∆/sqrtN . Das Dichtefeld n(r) wird (moglichst abhangig vom Galaxientyp, Hudsonet al. 1995) aus Rotverschiebungssurveys wie dem 1.2 Jy–Survey fur Spiralgalaxienoder den optischen UGC– und ESO–Katalogen fur elliptische Galaxien bestimmtbund damit wird nach Gleichung (7.37) die beobachtete Entfernung d einer Grup-pe durch den Erwartungswert der wahren Entfernung r bei dieser beobachtetenEntfernung ersetzt.

Der großte intrinsische systematische Fehler der POTENT–Prozedur entstehtbeim Glatten der beobachteten Radialgeschwindigkeiten in ein stetiges Radialge-schwindigkeitsfeld (Dekel 1995, Hudson et al. 1995). Zum Glatten wird eine tensori-elle Fensterfunktion verwendet, die berucksichtigt, daß die Richtungen der Radialge-schwindigkeit vr, i einer gemessenen Galaxie und die Richtung der zu bestimmendenRadialgeschwindigkeit vr,c im Zentrum des Glattungsvolumens verschieden sind.Eine innerhalb eines Glattungsvolumens variierende Anzahldichte der beobachteten

Rotverschiebungen fuhrt zu einer starkeren Gewichtung der Geschwindigkeiten ingut gesampleten Bereichen gegenuber denen in schwacher gesampleten Bereichen.Diesen systematischen Effekt bezeichnet man als Auswahlgradienten–Bias (selectiongradient bias). Durch eine Gewichtung mit dem Volumen, welches eine bestimmteGalaxie im Survey einnimmt, (praktisch mit der dritten Potenz der Entfernungder viertnachsten Galaxie) kann dieser Bias vermindert werden. Um schließlichbeim Vergleich des POTENT–Dichtefeldes δP (P, aus dem Geschwindigkeitsfeldabgeleitet) mit dem Galaxiendichtefeld einen Wert fur Ω0.6

M /b zu erhalten, der un-abhangig vom Auswahlgradienten–Bias ist, wird aus dem Galaxienfeld zunachstselbstkonsistent ein Geschwindigkeitsfeld abgeleitet, aus dem dann wieder mittelsPOTENT das Dichtefeld rekonstruiert wird. Das POTENT–verarbeitete Dichte-feld P(δ) enthalt damit die gleichen systematischen Effekte wie das POTENT–Feldselbst (Dekel et al. 1993, Hudson et al. 1995).

7.3. POTENT 123

Gradientenbildung:Dreidimensionales

Geschwindigkeitsfeldv(r)

Integration:Geschwindigkeits-

potentialΦv(r)

Glattung:Stetiges Radial-

geschwindigkeitsfeldvr(r)

diskretes Radial-geschwindigkeitsfeld

Geschwindigkeitssurvey:Galaxien mit

gemessener Entfernungund Rotverschiebung

?

?

?

?

- ∇ · v = −fH0δ

Glattung:stetiges

Anzahldichtefeldδ(r)

selbstkonsistenteEntfernungs-

rekonstruktion

Rotverschiebungssurvey:Galaxien mitgemessenen

Rotverschiebungen

?

?

?

- ΩM/b5/3

Abbildung 7.2: Schematische Darstellung des POTENT–Verfahrens


Der Vergleich des POTENT–Feldes P und des Dichtefeldes P(δ) erfolgt danndurch eine lineare Regression

δP = λδg + c . (7.71)

Dabei ist λ der Schatzparameter fur Ω0.6M /b.

7.3.1 Ergebnisse

Dekel et al. (1993) vergleichen das Geschwindigkeitsfeld aus dem MARK II–Katalogvon Burstein (1990) mit dem Dichtefeld des 1.9 Jy–IRAS–Rotverschiebungssurveys(Strauss et al. 1992).

Dekel at al. (1993) glatten das Radialgeschwindigkeitsfeld mit einem Gaußfiltermit Radius 1200 km s−1, um uber nichtlineare Regionen (Galaxienhaufen) hinweg-zumitteln. Dennoch ist in einigen Bereichen |δ| ∼ 1, so daß zur Dichterekonstruktionstatt der linearen Beziehung (7.26) die quasilineare Zeldovich–Naherung

δP = f(ΩM)

[

det

(

I − 1

f(ΩM)

∂v

∂r

)

− 1

]

(7.72)

verwendet wird. Hierfur muß ein Wert fur ΩM angenommen werden, jedoch wurdedie Naherung (7.72) so gewahlt, daß sie moglichst wenig von ΩM abhangt.

Auch das Galaxienfeld ist nach Glattung mit einem 1200 km s−1–Gaußfilter nochstellenweise nichtlinear, weshalb auch hier eine quasilineare Naherung gemacht wird:

∇ · v =−f(ΩM)δ

1 + 0.18δ. (7.73)

Diese ist konsistent mit der Zeldovich–Naherung. Das Dichtefeld δ wird aus demGalaxienfeld δI abgeleitet nach

δ =δIbI

fur δI > 0 (7.74)

und1 + δI = (1 + δ)bI . (7.75)

Die letzte Maßnahme verhindert, daß δ < −1 wird.Das aus den IRAS–Galaxien abgeleitete Geschwindigkeitsfeld wird nun an den

Positionen der Mark II–Galaxien gelesen und diese Daten werden dann durch diePOTENT–Prozedur geschickt. Aus dem Vergleich dieses Dichtefeldes δP(I) mit demPOTENT–Feld δP folgt: Das beobachtete Pekuliargeschwindigkeitsfeld ist konsi-stent mit einem Dichtefeld, welches mit dem IRAS–Feld uber lineares Biasing inBeziehung steht. Das Ergebnis von Dekel et al. ist dann

ΩM

b5/3I

= 1.51+1.74−0.74 , (7.76)

wobei das 95%–Konfidenzintervall angegeben ist. Das untersuchte Volumen bis zueiner Tiefe von ∼ 57 h−1Mpc enthalt etwa 12 statistisch unabhangige Untervolu-mina.

Auf Grund der verwendeten nichtlinearen Beziehungen konnen Dekel et al. ver-suchen, ΩM und bI getrennt zu bestimmen. Sie erhalten die maximum likelihoodLosung

ΩM = 1.45 , bI = 0.98 (7.77)

undΩM > 0.3 fur bI > 0.5 (95% Signifikanz). (7.78)

7.4. STATISTIK VON ROTVERSCHIEBUNGSSURVEYS 125

Hudson et al. (1995) vergleichen das Geschwindigkeitsfeld des Mark III–Katalo-ges mit dem Dichtefeld optischer Galaxien aus den UGC– und ESO–Katalogen(Hudson 1993a). Der Mark III–Katalog enthalt etwa 3000 Galaxien mit gemessenenGeschwindigkeiten, so daß das Geschwindigkeitsfeld erheblich besser gesamplet istals in dem von Dekel et al. (1993) verwendeten Mark II–Katalog. Das Rotverschie-bungssample enthalt etwa 6750 Galaxien mit gemessener Rotverschiebung.

Durch lineare Regression des POTENT–Feldes auf das POTENT–verarbeiteteoptische Dichtefeld erhalten Hudson et al.

ΩM

b5/3opt

= 0.61 ± 0.18 . (7.79)

Das von Hudson et al. untersuchte Volumen enthalt etwa 22 statistisch unabhangigeUntervolumina.

Setzt man in den Ergebnissen von Dekel et al. (1993) und Hudson et al. (1995)den Dichteparameter ΩM gleich, so erhalt man fur das Verhaltnis der Bias–Parameterfur optisch selektierte und IRAS–Galaxien

bopt

bI= 1.7 . (7.80)

Dies ist großer als das von Peacock & Dodds (1994) angegebene Verhaltnis vonbopt/bI = 1.3, ist aber angesichts der großen Fehlergrenzen vor allem in dem Ergebnisvon Dekel et al. (1993) durchaus noch konsistent.

Nimmt man bI ∼ 1 und bopt ∼ 1.5 an, so deuten beide Arbeiten auf sehr hoheWerte von ΩM zwischen 1 und 1.5 hin. Dies steht im Widerspruch zu den Ergeb-nissen mit anderen dynamischen Methoden. Allerdings sind die Fehlergrenzen derPOTENT–Methode noch sehr hoch, wie insbesondere die 95%–Fehlergrenzen vonDekel et al. (1993) zeigen. Die im Prinzip sehr einfache Methode wird durch zahl-reiche systematische Fehler, die vor allem durch ungenugendes Sampling entstehen,erschwert. Tiefere (um Fehler durch die kosmische Streuung zu verringern) undvollstandigere Samples sind daher notwendig, um die Leistungsfahigkeit dieser Me-thode realistisch einschatzen zu konnen. Derzeit ist der POTENT–δ–δ–Vergleichzwischen dem Mark III–Geschwindigkeitskatalog und dem IRAS 1.2 Jy–Katalog inArbeit.

7.4 Statistik von Rotverschiebungssurveys

Neuere Methoden verwenden die Verzerrungen der Galaxienverteilung im Rotver-schiebungsraum gegenuber der im Ortsraum, um β = Ω0.6

M /b zu bestimmen. Dazumussen zunachst einige Begriffe zur Statistik der Galaxien– und Massenverteilungeingefuhrt werden (Das Standardwerk zu diesem Thema ist Peebles 1980; Kolb &Turner 1990 und Bertschinger 1991 geben gute Einfuhrungen).

Wie erwahnt wird das Dichtefeld δ(r) als ein Zufallsfeld angesehen, in dem dieDichte am Ort r einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt. Die einzelnenPunkte im Raum sind diesbezuglich im allgemeinen Fall aber nicht unabhangig,sondern vielmehr korreliert. Dies wird durch die Zwei–Punkt–Korrelationsfunktion6

quantifiziert:

ξ(r, r′) = 〈δ(r)δ(r′)〉 . (7.81)

In einem diskreten Galaxiensample gibt n0dV dV′(1+ ξ) die Wahrscheinlichkeit an,

gleichzeitig in den Volumina dV und dV ′ Galaxien anzutreffen. Im kosmologischen

6Es gibt selbstverstandlich auch Mehr–Punkt–Korrelationsfunktionen


Dichtefeld ist es angesichts des Kosmologischen Prinzips angebracht, die Korrelati-onsfunktion als nur von der Entfernung zweier Punkte anhangig zu betrachten:

ξ(r, r′) = ξ(r) , (7.82)

wobei r = |r − r′|.Das Dichtefeld wird haufig Fourier–transformiert:

δ(r) =1

(2π)3

∫

d3r δke−ik · r (7.83)

und

δk =

∫

d3k δ(r)eik · r . (7.84)

Wegen des Kosmologischen Prinzips sind die Fourier–Koeffizienten des Dichtefeldesim Ortsraum wiederum nur vom Betrag des Wellenvektors k = |k| abhangig. DasBetragsquadrat der Fourier–Koeffizienten δk ist das Powerspektrum

P (k) = |δk|2 . (7.85)

Das Powerspektrum ist die Fouriertransformierte der Korrelationsfunktion:

P (k) =

∫

ξ(r)eik·r . (7.86)

Ein Gaußsches Zufallsfeld, in dem die Phasen der Fourierkoeffizienten zufallig ver-teilt sind, ist durch seine Streuung σ und sein Powerspektrum eindeutig bestimmt.

Die Isotropie gilt nur im Ortsraum und nur im Bezugssystem der CMB. ImRotverschiebungsraum dagegen kommt es wegen der Pekuliargeschwindigkeiten derGalaxien zu Verzerrungen, also zu Anisotropie im Powerspektrum. Mißt man dasPowerspektrum der Galaxienverteilung in einem Volumen in einer bestimmten Rich-tung, so wird durch die Sehlinie eine Richtung ausgezeichnet: Durch die Pekuliarge-schwindigkeiten der Galaxien werden nur Beitrage zum Dichtefeld mit Wellenvektork parallel zur Sehlinie beeinflußt, nicht aber Beitrage mit k senkrecht zur Sehlinie(Die Effekte wurden qualitativ in Abschnitt 7.1.1 beschrieben). Kaiser (1987) leitetfur das Powerspektrum im Rotverschiebungsraum die folgende Gleichung her:

Pz(k) = Pr(k)(

1 + βµ2)2

, (7.87)

wobei Pr das Powerspektrum im Ortsraum ist und µ der Cosinus des Winkels zwi-schen der Sehlinie und dem Wellenvektor k.

Diese Gleichung wird von Cole et al. (1995) auf die IRAS 1.2 Jy– und QDOT–Surveys angewendet. Sie berucksichtigen dabei auch eine nichtlineare Geschwindig-keitsdispersion auf kleinen Skalen durch einen zusatzlichen Faktor exp(−k2σ2

vµ2)

in Gleichung (7.87). Cole et al. bestimmen das Monopol– und das Quadrupolmo-ment des Powerspektrums in spharischen Gauß–Fenstern mit scharf abgeschnitte-nem Rand mit Durchmessern von 20 bis 140 h−1Mpc und vergleichen dies mit demaus dem Zwei–Parameter–Modell (β und σv) abgeleiteten. Damit erhalten sie ausdem 1.2 Jy–Survey

ΩM

b5/3I

= 0.34+0.16−0.14 (7.88)

und aus dem QDOT–Survey

ΩM

b5/3I

= 0.36+0.42−0.28 . (7.89)

7.5. ZUSAMMENFASSUNG 127

Methode ΩM/b5/3I Survey Referenz

Anisotropie Pz(k, µ) 0.32+0.16−0.14 1.2 Jy Cole et al. (1995)

Anisotropie Pz(k, µ) 0.36+0.42−0.28 QDOT Cole et al. (1995)

Anisotropie ξ(z) 0.54+0.41−0.27 1.9 Jy Hamilton (1993)

Anisotropie ξ(z) 0.26+0.32−0.15 1.2 Jy Fisher et al. (1994a)

ξ(z) vs. w(θ) 1.0 ± 0.32 QDOT Peacock & Dodds (1994)

ξ(z) vs. w(θ) 0.75+0.78−0.54 QDOT Fry & Gaztanaga (1994)

Kugelflachenfunktionen 0.90+0.29−0.25 1.2 Jy Fisher et al. (1994b)

Kugelflachenfunktionen 1.2 ± 0.5 1.2 Jy Heavens & Taylor (1994)

Tabelle 7.2: Arbeiten zur Statistik von Rotverschiebungssurveys, die auf IRAS–Katalogenberuhen (aus Cole et al. 1995).

Die Fehler wurden aus simulierten Katalogen mit den Auswahleigenschaften der re-alen Kataloge ermittelt und sind insbesondere beim QDOT–Survey recht hoch. Coleet al. simulieren gleichzeitig einen Ganzhimmelssurvey, der vollstandig bis BJ < 18ist und finden, daß die Fehler hier erheblich kleiner sind und β bis auf ∼ 10%genau bestimmt werden konnte. Ein solcher Survey, der Sloan Digital Sky Survey,wird in Kurze fertiggestellt werden. Die Simulationen von Cole et al. zeigen auch,daß die hier verwendete Methode weitgehend frei von systematischen Fehlern ist,was ein großer Vorteil etwa gegenuber der POTENT–Methode ist. Ein kleiner sys-tematischer Effekt wird bei den BJ < 18–Simulationen festgestellt; Cole et al.fuhren diese auf noch nicht hinreichend genau berucksichtigte nichtlineare Effekteauf kleinen Skalen zuruck.

In Tabelle 7.2 sind weitere Arbeiten zur Statistik in Rotverschiebungssurveys,die auf IRAS–Katalogen beruhen, aufgefuhrt (aus Cole et al. 1995). Die Arbeitenzur Anisotropie beruhen auf dem gleichen Prinzip wie die beschriebene Arbeit zurAnisotropie des Powerspektrums; auch die Ergebnisse stimmen etwa uberein. Diebeiden folgenden Arbeiten leiten zunachst aus der Winkelkorrelationsfunktion w(θ)(die nur die Verteilung am Himmel berucksichtigt) durch Deprojektion die Orts-raumkorrelationsfunktion her und vergleichen diese dann mit jener im Rotverschie-bungsraum. Die Ergebnisse dieser Arbeiten sind hoher als die aus der Anisotropieder Korrelationsfunktion und weisen eher in die Richtung der Ergebnisse aus denDipolbestimmungen (Abschnitt 7.2).

7.5 Zusammenfassung

Im folgenden sollen die grundlegenden Annahmen der dynamischen Tests mit groß-raumigen Bewegungen zusammengefaßt und diskutiert werden:

• Gravitationsinstabilitat: Alle besprochenen Tests beruhen auf der Annahme,daß die Pekuliargeschwindigkeiten der Galaxien und Galaxienhaufen eine Fol-ge der Strukturbildung durch Gravitationsinstabilitat sind. In diesem Modellhangt das bei gegebener anfanglicher Dichteverteilung resultierende Geschwin-digkeitsfeld nur von der Kosmologie, insbesondere von ΩM ab. Es gibt alter-native Modelle fur die Entstehung des Pekuliargeschwindigkeitsfeldes, etwadurch Explosionen im fruhen Universum (etwa durch die ersten Supernovae)oder infolge Bugwellen kosmischer Strings. Diese Szenarien sind durchweg


komplizierter als das Gravitationsinstabilitatsbild, da sie mehr freie Para-meter enthalten; insbesondere hangt das lokale Geschwindigkeitsfeld in star-kem Maße von lokalen zufalligen Gegebenheiten ab. Die Einfachheit sprichtdemnach fur das Gravitationsinstabilitatsmodell. Die Beobachtungen sind inEinklang mit diesem Modell, wie die gute Ubereinstimmung der POTENT–rekonstruierten Dichtefelder mit den beobachteten Dichtefeldern zeigt. Aller-dings sind diese Ubereinstimmungen kein Test fur das Gravitationsinstabi-litatsmodell an sich; vielmehr werden die beobachteten Strukturen durch alleGeschwindigkeitsfelder erzeugt, die rotationsfrei sind (Dekel 1995).

• Biasing: Die dynamischen Tests bestimmen stets die ParameterkombinationΩM/b

5/3, die auf der Annahme einer linearen Bias–Relation und damit aufder Annahme des “light traces mass” beruhen. Die letztere Annahme wirddurch die gute Ubereinstimmung der Galaxienverteilung mit der POTENT–rekonstruierten Dichteverteilung eindrucksvoll bestatigt; dies deutet daraufhin, daß die sichtbare Materie zumindest reprasentativ fur die auf den un-tersuchten Skalen dynamisch relevante Masse ist. Die lineare Bias–Relationstellt vermutlich eine grobe Vereinfachung der wahren Situation dar, indemsie namlich einen Biasparameter fur alle Skalen annimmt. Daß dies tatsachlichnicht der Fall ist, wird durch die unterschiedlichen Biasparameter in Galaxien–und Haufensamples deutlich und hier auch grob berucksichtigt. Ein genauesModell fur das Bias–Szenario, eine Untersuchung des Einflusses einer allgemei-neren Bias–Relation und eine unabhangige Bestimmung der Biasparameterstehen noch aus. Festzustehen scheinen die relativen Werte der Biasparame-ter fur Galaxienhaufen und optische und IRAS–Galaxien; ebenso scheint derWert fur bI aus der versuchsweisen Trennung von ΩM und b von Dekel et al.(1993) auf 0.5 <∼ bI <∼ 2 eingegrenzt zu sein.

Die dynamischen Tests, insbesondere die auf großen Skalen, geben noch keinekonsistenten Ergebnisse fur den Wert von ΩM/b

5/3. Jedoch liegen alle Ergebnis-se etwa zwischen ΩM ∼ 0.2 bis >∼ 1.5. Die dynamischen Tests untersuchen Skalenbis maximal ∼ 300 h−1Mpc; dies entspricht etwa einem Zehntel der Hubble–Langec/H0 = 3000 h−1Mpc, die ein Maß fur den Radius des beobachtbaren Universumsist. Da die dynamischen Tests nur einen so kleinen Teil des Universums (volu-menmaßig ∼ 10−3) untersuchen, beinhalten die Ergebnisse grundsatzlich einen Feh-ler durch kosmische Streuung. Wenn die numerischen Simulationen zur Strukturbil-dung hier einigermaßen glaubhafte Abschatzungen liefern, dann sollte die kosmischeStreuung auf den untersuchten Skalen allerdings <∼ 15% ausmachen (Hudson et al.1995). Die Einschrankung

0.1 < ΩM < 2 (7.90)

aus den dynamischen Tests scheint daher robust zu sein.Die dynamischen Tests sagen leider nichts uber ΩΛ aus. Um eine meßbare

Abhangigkeit der Funktion f von ΩΛ zu erreichen, mußte man bis z ∼ 2 gehen;statistisch brauchbare Rotverschiebungssurveys bis zu dieser Tiefe durften noch ei-nige Zeit auf sich warten lassen.

Kapitel 8

Zusammenfassung

Ich habe in meiner Arbeit versucht, einen Uberblick zu geben uber die derzeitgelaufigen Methoden zur Bestimmung der kosmologischen Parameter ΩM und ΩΛ.Die Ubersicht ist sicher nicht vollstandig, dennoch denke ich, daß die wichtigstenMethoden und Ergebnisse behandelt wurden. Im folgenden sollen die wichtigstenErgebnisse und Einschrankungen fur sie Parameterebene noch einmal zusammen-gefaßt werden.

Eine sichere Einschrankung der ΩM–ΩΛ–Ebene folgt aus der Beobachtung hoch-rotverschobener Quasare, durch die, in Verbindung mit der Menge direkt sichtbarerMaterie, folgt, daß alle Nichturknallmodelle auszuschließen sind.

Es wurde festgestellt, daß die klassischen Methoden, die geometrische Bezie-hungen im Universum ausnutzen, also der ϑ–z–Test, der m–z–Test und die Gala-xienzahlungstests keine brauchbaren Einschrankungen der ΩM–ΩΛ–Ebene liefern.Die Schwierigkeit bei diesen Tests besteht darin, Standardmaßstabe und Standard-kerzen zu finden, deren relevante intrinsische Eigenschaften

• eine geringe Streuung aufweisen,

• nicht oder hochstens kontrollierbar mit den Auswahlkriterien korreliert sindund

• keine oder hochstens eine korrigierbare, gut verstandene kosmologische Evo-lution aufweisen.

Die derzeit verwendeten Objektklassen verletzen wenigstens eine der genanntenBedingungen. Moglicherweise wird eine Objektklasse, die alle Bedingungen erfullt,jetzt mit den Supernovae vom Typ Ia fur den m–z–Test zuganglich.

Die Gravitationslinsenstatistik ist potentiell in der Lage, Einschrankungen furdie kosmologische Konstante zu liefern, eine Eigenschaft, die diese Methode vor al-len anderen auszeichnet. Obwohl Fukugita & Turner (1991) finden, daß ΩΛ <∼ 0.9(nur flache Modelle untersucht), zeigen Sasaki & Takahara (1993), daß durch dieUnsicherheiten, vor allem in der Korrektur von Auswahleffekten, eine derartige Ein-schrankung noch nicht moglich ist. Eine sichere Einschrankung der Parameterebenefolgt aus der Uberlegung von Gott, Park & Lee (1989), wonach spharische Welt-modelle, in denen der antipodische Punkt bei einer Rotverschiebung z < 3.27 (dieRotverschiebung des hochstrotverschobenen bekannten normal mehrfachgelenstenQuasars) liegt, auszuschließen sind.

Die Bestimmung des Alters von galaktischen Kugelsternhaufen ist eine guteMethode, die Parameterebene einzuschranken. Als Untergrenze fur das Alter desUniversums kann man die Untergrenze fur das Alter der altesten Kugelhaufen ver-wenden:

t0 > 13 Gyr . (8.1)

129

130 KAPITEL 8. ZUSAMMENFASSUNG

ΩΛ

ΩM

b

c de

a

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

12

34

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

12

34

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

12

34

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

12

34

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

12

34

Abbildung 8.1: Einschrankungen der ΩM–ΩΛ–Ebene: a Untergrenze fur ΩM aus dyna-mischen Tests auf kleinen Skalen, b Obergrenze fur ΩM aus dynamischen Tests auf großenSkalen, c Untergrenze fur das Weltalter, d Untergrenze fur die Rotverschiebung des anti-podischen Punktes, e Grenzlinie zu den Bounce–Modelle.

Um die Parameterebene einschranken zu konnen, benotigt man noch eine Unter-grenze fur die Hubble–Konstante; ein vernunftiger Wert scheint

H0 > 40 km s−1 Mpc−1 bzw. H−10 < 25 Gyr (8.2)

zu sein. Damit erhalt mant0H0 > 0.5 . (8.3)

Konnte man das Alter der altesten Kugelsternhaufen und die Hubble–Zeit H−10 auf

jeweils besser als ∼ 1 Gyr genau bestimmen, so konnte man mit einer Abschatzungder Zeitdauer zwischen dem Urknall und der Bildung der ersten Kugelsternhaufenaus Galaxienentstehungsmodellen versuchen, auch eine Obergrenze fur das Alterdes Universums abzuschatzen; der erlaubte Bereich der ΩM–ΩΛ–Ebene wurde sichdann auf einen schmalen Streifen zwischen zwei Linien konstanten Weltalters be-schranken. Von diesem Ziel sind wir derzeit allerdings noch weit entfernt.

Die Altersbestimmungen Weißer Zwerge in der galaktischen Scheibe und derlanglebigsten Elemente sind mit den Altersbestimmungen von Kugelsternhaufenkonsistent, liefern aber nur schwachere Einschrankungen. Altersbestimmungen hoch-rotverschobener Galaxien liefern angesichts der großen Unsicherheiten, vor allem inder Sternentstehungsgeschichte, derzeit noch keine brauchbaren Einschrankungen.

Dynamische Tests auf kleinen Skalen liefern eine robuste Untergrenze fur denDichteparameter:

ΩM > 0.1 . (8.4)

131

Diese Aussage beruht auf den Rotationskurven von Spiralgalaxien (dies sind typi-sche Objekte mit diesbezuglich homogenen Eigenschaften im ganzen naheren Uni-versum) und auf der Geschwindigkeitsdispersion in reichen Galaxienhaufen. Dy-namische Tests auf großeren Skalen (Dipol, POTENT, Anisotropien im Rotver-schiebungsraum) liefern derzeit noch keine einheitlichen Ergebnisse. Die prinzipi-ellen Schwierigkeiten (abgesehen von methodischen Schwierigkeiten) sind die kos-mische Streuung und die Unsicherheit uber das Biasing–Schema, also die Bezie-hung zwischen dem Galaxiendichtefeld und dem Massedichtefeld. Akzeptiert mandie Aussage, daß die kosmische Streuung nach Mittelung uber die betrachteten Ska-len <∼ 15% betragt und daß lineares Biasing mit einem Biasparameter fur IRAS–Galaxien bI ∼ 1 vorliegt, so kann man unter Vorbehalt eine Obergrenze fur ΩM

abschatzen:ΩM <∼ 2 . (8.5)

Die angegebenen Einschrankungen sind in Abbildung 8.1 in die ΩM–ΩΛ–Ebeneeingetragen. Die Kurven a und b geben die Einschrankungen fur ΩM aus den dyna-mischen Tests auf kleinen (sicher) und großen Skalen (unter Vorbehalt) wieder. DieKurve c ist die Einschrankung aus den Alterstests t0H0 > 0.5 und Kurve d ist dieEinschrankung von Gott, Park & Lee (1989), daß zantipod > 3.27. Das “erlaubte”Gebiet in der ΩM–ΩΛ–Ebene wird von diesen vier Kurven eingerahmt. Zusatzlichist die Grenze zu den Nichturknallmodellen als Kurve e eingezeichnet.

Das erlaubte Gebiet ist noch sehr groß; die maximal moglichen Intervalle sind

−5 <∼ ΩΛ <∼ 3 (8.6)

und0.1 <∼ ΩM <∼ 2 . (8.7)

Vor allem die Einschrankung durch das Alter der Kugelsternhaufen ist sehr konser-vativ gewahlt; wie die Abbildungen 5.4 und 5.5 zeigen, kann die Einschrankung annegatives ΩΛ leicht durch eine geringfugige Anhebung der Untergrenze von H0 odert0 auf ΩΛ >∼ −3 . . . − 2 verscharft werden. Fur positives ΩΛ gibt es derzeit keinebessere Obergrenze als die, die aus dem antipodischen Punkt folgt. Auch fur ΩM

kann man kaum bessere Einschrankungen machen als die oben genannten.Der erlaubte Bereich umfaßt alle Typen von Urknallmodellen: flache ebenso wie

spharische und hyperbolische, zeitlich geschlossene ebenso wie zeitlich offene; beiden letzteren sind sogar noch einige Lemaıtre–Modelle mit ihrer charakteristischenquasistationaren Phase erlaubt. Angesichts dieser Vielzahl verschiedener Modellemit sehr unterschiedlichen geometrischen Eigenschaften ist es dringend erforderlich,die kosmologischen Parameter weiter einzuschranken.

Die Frage nach den Werten der kosmologischen Parameter ist noch immer sehroffen, und es bedarf noch großer Anstrengungen, um die Situation zu verbessern.

132 KAPITEL 8. ZUSAMMENFASSUNG

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Danksagung

Zunachst mochte ich Prof. Dr. S. Refsdal dafur danken, daß ich diese Diplomar-beit in seiner Arbeitsgruppe anfertigen konnte und mich ein Jahr lang mit diesemaußerordentlich spannenden und interessanten Thema beschaftigen durfte.

Von großer Hilfe bei der Bearbeitung waren insbesondere Rainer Kayser undPhillip Helbig. Die ubrigen Mitarbeiter in der Arbeitsgruppe (Achim von Linde,Olaf Wucknitz, Derek Homeier, Thomas Liebscher, Ulf Borgeest und die beidenSchramms) und an der Sternwarte (die Fußballer und ganz besonders SternwartVanni) sorgten fur ein angenehmes Arbeitsklima und gute Unterhaltung und trugendamit zum Gelingen meiner Arbeit bei.

Auch außerhalb der Sternwarte wurde gelebt und deshalb Dank an: Frauke undGerrit, Thies und die ehemaligen suburban disco, Jantje, Maren und Gunda, Karen,Patrick fur donnerstags, Holger fur freitags und Peelie fur samstags, Claudia inFreiburg, Manuel in Tokyo und Jonny in Edinburgh fur Korrespondenz und anmeine Eltern und Schwester fur eigentlich alles.

Hiermit erklare ich, daß ich diese Arbeit selbstandig verfaßt und nur die ange-gebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

Hamburg, den 30. Juni 1995

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Die kosmologischen Parameter ΩM und ΩΛ · das Universum wieder kollabieren und in einem Big...

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