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Die Balmer-Serie des Wasserstoffs

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1 Motivation Ziel dieses Demonstrationsversuchs ist die Aufnahme der Balmer-Serie atomaren Wasser-stoffs mit Hilfe einer sog. Balmer-Lampe. Weiter sind durch quantitative Auswertung der Spektren die jeweiligen Wellenlängen zu bestimmen, was die Bestätigung der sog. Balmer-Serienformel erlaubt. Der Studierende soll die Besonderheiten von Emissionsspektren atomarer Systeme anhand des Aufbaus der Elektronenhülle sowie des Bohrschen Atommo-dells begreifen und dieses aus der Sicht der modernen Physik beurteilen.

2 Einleitung Bei der optischen Wahrnehmung unserer Umwelt sind dem Menschen im makroskopischen wie im mikroskopischen Bereich Grenzen gesetzt. Will man Gegenstände, die kleiner als 0,1 mm sind, beobachten, benötigt man ein Lichtmikroskop. Ein Eindringen in die Mikrowelt ist mit Rastertunnelmikroskopen möglich, die die Beobachtung von Atomen auf einer Metall-oberfläche erlauben. Atomare Bausteine, also Elektronen, Protonen oder Neutronen, können jedoch auf keinen Fall direkt aufgelöst werden. Viele Erkenntnisse über Atome und ihre Bestandteile stammen aus Experimenten über das Verhalten von Materie unter bestimmten Versuchsbedingungen. Um die experimentellen Ergebnisse deuten zu können, entwickelt(e) man Vorstellungen vom Aufbau der Atome. Es ist wichtig zu begreifen, dass ein solches Modell kein reales Abbild eines Atoms sein muss, sondern nur das Zustandekommen eines bestimmten Versuchsergebnisses zu erklären hat. Liegen also neue Erkenntnisse vor, die sich mit einem vorhandenen Modell nicht deuten lassen, muss dieses erweitert oder eventuell ein völlig neues Modell entwickelt werden. Auf diese Weise sind im Laufe der Zeit verschiedene Atommodelle entstanden, die teilweise nur noch historische Bedeutung besitzen. Der Begriff „Atom“ leitet sich von dem griechischen Wort „atomos“ für „unteilbar“ ab. Im theoretischen Teil wollen wir alte, überkommene Atommodelle überspringen und gleich mit dem „Kern-Hülle-Modell“ nach Ernest Rutherford (1871-1937) beginnen.

3 Theoretischer Teil

3.1 Kern und Elektronenhülle

3.1.1 Das Kern-Hülle-Modell Der englische Physiker Rutherford bestrahlte eine dünne Goldfolie (etwa 500 nm ≡ 2000 Atomlagen dick) mit α-Strahlen (Helium-Kerne, Masse 4u (siehe Tab. 1), 2 positive Elemen-tarladungen) und fand, dass nahezu alle α-Teilchen ungehindert die Metallfolie durchdringen. Nur ein sehr geringer Anteil wurde deutlich abgelenkt. Rutherford folgerte, dass α-Teilchen abgelenkt werden, wenn sie in die Nähe von positiv geladenen Teilchen gelangen, und schloss daher, dass die gesamte positive Ladung und fast die ganze Masse eines Gold-Atoms in einem winzigen Bereich im Zentrum des Atoms, dem Atomkern, vereinigt sein müssen. Die positive


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Ladung des Atomkerns wird durch die negativ geladenen Elektronen ausgeglichen, die sich in einem kugelförmigen Raum, der Elektronenhülle, die den Kern umgibt, bewegen. 3.1.2 Der Atomkern Der Kern ist im Vergleich zum gesamten Atom sehr klein, sein Durchmesser beträgt etwa ein 1100000 vom Durchmesser des gesamten Atoms. Heutiger Wissensstand ist, dass der Kern eines

Atoms aus positiv geladenen Protonen und ungeladenen Neutronen besteht. Die Kernbaustei-ne Proton und Neutron bezeichnet man als Nukleonen (nucleus, Kern (lat.)) (siehe Bild 1). Die Masse eines Protons und eines Neutrons beträgt jeweils ungefähr 1 u (siehe Tab. 1). u ist die sog. atomare Masseneinheit, die als 1

12 der Masse des Kohlenstoff-Isotops 12C definiert ist:

( ) 271u = 1,6605655 86 10 kg−⋅ .

Atomkerne verschiedener Atomsorten (Elemente) unterscheiden sich in der Protonenzahl, die auch als Ordnungszahl bezeichnet wird. Betrachtet man die Elemente im Periodensystem, so nimmt die Protonenzahl von links nach rechts innerhalb der Perioden jeweils um einen Zähler zu. Der Kern des Wasserstoff-Atoms besteht nur aus einem Proton, der des Heliums aus 2 Protonen und 2 Neutronen. Isotope eines Elementes unterscheiden sich in der Neutronenzahl, was zu unterschiedlicher Nukleonenzahl und Masse des Atomkerns führt. Zur Kennzeichnung eines Atoms und seines Kerns wird die in Bild 1 erläuterte Schreibweise verwendet. Wegen der geringen Masse der Elektronen (siehe Tab. 1) ist die Masse des Atomkerns nahezu identisch mit der Masse des gesamten Atoms. Tabelle 1: Ladung ( ( ) 19e 1,6021892 46 10 C−= ⋅ )

Masse von Elementarteilchen

Elementarteilchen Ladung (e) Masse (u)

Proton 1− 1,007276Neutron 0 1,008665Elektron 1+ 0,0005486 3.1.3 Die Elektronenhülle Im letzten Abschnitt standen der Atomkern und die ihn aufbauenden Komponenten im Vordergrund. Für den Chemiker ist jedoch in erster Linie die Elektronenhülle und ihr Aufbau von Interesse, da ein Zusammenhang besteht zwischen stofflichen Veränderungen bei chemischen Reaktionen und Veränderungen in der Elektronenhülle. Da sich ein Elektron in der Hülle bewegt (das erkannte bereits Rutherford), besitzt es sowohl kinetische als auch potentielle Energie. Je weiter das Elektron im Mittel vom Kern entfernt ist, desto größer ist seine potentielle Energie. Erkenntnisse über den Aufbau der Elektronenhülle gehen auf Atomspektren zurück (siehe Kap. „Balmer-Serie“), deren Besonderheiten uns noch beschäfti-gen werden. Zerlegt man weißes Sonnenlicht durch eine Prisma (ein Körper aus einem lichtbrechenden Stoff, der von zwei ebenen, nicht parallelen Flächen begrenzt wird), so erhält man ein kontinuierliches Spektrum: in einem Spektroskop zeigen sich solche Spektren als Farbbänder,

Bild 1: Kennzeichnung eines Atoms und seines Kerns durch Angabe der Protonen- und Nukleonenzahl


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bei denen die Farben kontinuierlich nacheinander in der Reihenfolge ihrer Wellenlänge λ erscheinen. Neben der Wellenlänge λ , d. h. die Strecke zwischen Wellenberg und dem nächsten Wellenberg, wird eine Welle durch ihre Frequenz ν (Anzahl der Schwingungen pro Sekunde) charakterisiert. Es gilt der folgende Zusammenhang ( 0c ist die Vakuum-lichtgeschwindigkeit):

0cνλ

= . (1)

Kurzwelliges, ultraviolettes Licht ist besonders energiereich, rotes Licht ist energieärmer als blaues Licht. Die auf Max Planck zurückgehende Beziehung zwischen Energie E und Frequenz ν bzw. Wellenlänge λ verdeutlicht das Gesagte:

0cE h hνλ

= ⋅ = ⋅ (2)

346,626176(36) 10 Jsh −= ⋅ ist das Plancksche Wirkungsquantum.

3.2 Wasserstoffspektrum und das Bohrsche Atommodell

3.2.1 Die Balmer-Serie Bereits 1859 zeigten Gustav Kirchhoff und Robert Bunsen mit Hilfe eines Prismen-spektrographen, dass Atome nur Licht einer ganz bestimmten Wellenlänge λ absorbieren oder emittieren können. Diese diskontinuierlichen Absorptions- bzw. Emissionsspektren sind für jedes Atom charakteristisch und eindeutig. Johann Jakob Balmer gelang es 1885 mit Hilfe der Spektroskopie, auf rein empirischem Weg das Emissionsspektrum des H-Atoms durch eine einfache Formel zu beschreiben. Er stellte fest, dass das Spektrum aus einer Serie von Linien besteht, deren Frequenzen n mν → sich wie

folgt quantitativ beschreiben lassen:

H 0 2 2

1 1n m R c

m nν →

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (3)

Für die Balmer-Serie gilt: 2m= und 3,4,5,n= … (Lyman und Paschen bestätigten die obige Formel, indem sie weitere Serien von Linien für 1m= und 3m= fanden, die im UV- (UltraViolett) bzw. im IR- (InfraRot) Bereich liegen). Die Konstante

( ) 7 1H 1,0967758 1 10 mR −= ⋅ ist die sogenannte Rydberg-Konstante.

Kennzeichnend für die Balmer-Serie ist, dass die Frequenzen für 3, 4,5,6n= im sichtbaren Bereich, also zwischen ∼400 nm und ∼800 nm, liegen und damit relativ einfach nachgewiesen werden können. Man bezeichnet diese Wellenlängen mit , ,H H Hα β γ und Hδ . Bild 2 zeigt

das kontinuerliche Spektrum weißen Lichts sowie das Linienspektrum der Balmer-Serie atomaren Wasserstoffs. Zusätzlich sind die Elektronenübergänge der verschiedenen Serien des Wasserstoff angegeben.


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Bild 2: Kontinuierliches Spektrum des weißen Lichts (a)) sowie das Linienspektrum atoma-ren Wasserstoffs (b)) im sichtbaren Bereich. Unten sind die entsprechenden Elektronen-übergänge (Emissionen) im Wasserstoff-Atom gezeigt (c)). 3.2.2 Das Bohrsche Atommodell Nach dem Bohrschen Atommodell, dass Bohr 1913 ausgehend vom Rutherfordschen Kern-Hülle-Modell entwickelte, besteht das Wasserstoffatom aus einem positiv geladenen Proton als Kern, um den sich das negativ geladene Elektron auf einer Keplerbahn bewegt. Nach der klassischen Elektrodynamik müsste ein solches Gebilde jedoch Energie abstrahlen (oszillie-render Hertzscher Dipol), d. h. das Elektron würde ständig Energie verlieren und schließlich in den Kern stürzen. Atome könnten somit überhaupt nicht existieren. Zusätzlich könnte ein derartiges Gebilde gemäß der klassischen Elektrodynamik nur eine monochromatische Frequenz abstrahlen, nie jedoch mehrere unterschiedliche, diskrete Frequenzen.


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Auf der Basis der Experimente, die im letzten Kapitel angesprochen wurden, und den Arbeiten Plancks zur Quantelung der Energie, stellte Bohr folgende Postulate auf, die mit der klassischen Elektrodynamik jedoch unvereinbar sind und die er auch nicht weiter begründete: 1. Für jedes Atom gibt es eine Anzahl stationärer Zustand nE , in denen das Atom nicht

strahlt. 2. Atome können Energie dann aufnehmen (Absorption) oder abgeben (Emission), wenn das

betreffende Atom von einem Zustand in einen anderen übergeht. 3. Ist dieser Übergang mit Absorption oder Emission von Strahlung verbunden, dann gilt für

die Frequenz der betreffenden Strahlung

( )1 mit , 1, 2,3,nm m nE E n mh

ν = − = … , (4)

d. h. das Atom absorbiert oder emittiert bei Übergang vom Energiezustand mE nach nE ein Lichtquant der entsprechenden Energie.

4. Der Bahndrehimpuls der stationären Elektronenbahnen darf nur ganze Vielfache von ( )/ 2h π annehmen (er ist somit gequantelt):

| | mit 1,2,3,2n hp nπ

= = … (5)

Aus den Bohrschen Postulaten lassen sich mit Hilfe der klassischen Mechanik die Resonanz-frequenzen des Wasserstoffatoms berechnen. Das soll im folgenden abgeleitet werden.

Das Elektron der Ladung e befindet sich auf einer Kreisbahn mit Radius r um den Atom-kern. Zentrifugalkraft (sie ist der Zentripedalkraft entgegengesetzt) und Coulombkraft sind im Gleichgewicht:

2 2

2 32 2

0 04 4ee

e em r rr m

ωπ ε π ε ω

= ⇔ = (6)

0ε ist die elektrische Feldkonstante ( ( ) 12 -1 -18,854187818 71 10 As V m−= ⋅ ), em die Elek-

tronenmasse und ω die Winkelgeschwindigkeit. Weiter ergibt sich:

2| |2en hp m r ωπ

= = . (7)

Daraus ergibt sich, dass der Bahnradius des Elektrons nur diskrete Werte annehmen kann. Umformen nach ω und Einsetzen in obige Gleichung liefert:

2

2 02n

e

hr nm eεπ

= . (8)

Die Zahl n heißt Hauptquantenzahl, und es gilt 1n≥ . 1r ,der kleinsten Radius, wird als Bohr-Radius bezeichnet und beträgt 52,92 pm. Die Energie des n -ten Zustands ergibt sich als Summe der potentiellen und kinetischen Energie:

42

2 22 2 2

0 0

14 2 8

en pot kin e n

n

m eeE E E m rr h n

ωπ ε ε

= + =− + = − . (9)


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Die Energie ist somit diskret, d. h. gequantelt, und in diesem Fall allein von der Hauptquan-tenzahl n bestimmt. Für die Frequenz eines abgestrahlten Lichtquants bei Änderung des Energiezustands gilt also:

4

2 3 2 20

1 18

enm

m eh m n

νε

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(10)

Das entspricht der empirischen Formel nach Balmer, der Vorfaktor 4

2 308em e

hε stimmt jedoch nur

ungefähr mit der Rydberg-Konstante HR überein. Exakte Übereinstimmung erhält man erst, wenn die Bewegung von Atomkern und Elektron um den gemeinsamen Schwerpunkt

berücksichtigt wird. Der resultierende Korrekturfaktor 1 e

p

mm

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

( pm ist die Masse des

Protons) ergibt schließlich den richtigen Wert für HR . Nach dem Bohrschen Atommodell entspricht die Balmer-Serie dem Übergang vom dritten, vierten, fünften usw. Energieniveau auf das zweite Energieniveau (siehe Bild 2). Zwar liefert das Bohrsche Atommodell ein Ergebnis, das mit dem Experiment übereinstimmt, jedoch gelang dies nur unter Verletzung elementarer Gesetze der klassischen Physik. Außer-dem funktioniert das Modell nach Bohr nur für das H-Atom, nicht jedoch bei Mehrelektro-nenatomen. Das Modell kann auch nicht erklären, warum Atome überhaupt stabil sind, denn ein sich auf einer Kreisbahn um den Kern bewegendes Elektron stellt eine beschleunigte Ladung dar, die nach den Gesetzen der Elektrodynamik Strahlung abgeben müsste und damit kontinuierlich Energie verlöre. Eine Abschätzung zeigt, dass ein Atom nur etwa 810− Sekunden existieren könnte.

3.3 Der Beginn der Quantenmechanik

Bis etwa 1900 glaubte man, dass die klassische Physik die Natur vollständig und in sich konsistent beschreiben könne. Es wurde zwischen Strahlung und Materie unterschieden. Materie bestand aus genau lokalisierbaren Teilchen, deren Bewegungen durch die Newton-sche Mechanik exakt beschrieben und vorhergesagt werden konnten, während Strahlung durch die elektromagnetische Theorie von Maxwell abgedeckt war, die Erkenntnisse von Coulomb, Ampère, Gauss, Volta und Faraday in sich vereinigte. Mit Hilfe dieser Theorie sagte Maxwell die Existenz elektromagnetischer Wellen voraus, die 1887 durch die Entde-ckung der Radiowellen bestätigt wurde. Strahlung kann nach dem klassischen Bild der Physik nicht lokalisiert werden, sondern besitzt Wellencharakter und wird durch die Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes an jedem Ort des Raumes charakterisiert. Die Wellennatur des Lichts war durch die Fresnelschen Interferenz-experimente und die Young-schen Beugungsversuche bewiesen. Es gab zwar ungeklärte Phänomene (wie z. B. die Schwarzkörperstrahlung), jedoch reichten diese nicht aus, das Formelgebäude der klassischen Physik und den sich daraus ableitbaren Determinismus in Frage zu stellen. Vielmehr meinte man, durch eine Verfeinerung der mathematischen Methoden die bestehenden Probleme lösen zu können.


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Das Zeitalter der Quantenmechanik beginnt im Jahre 1900. Max Planck stellt die fundamental neue Hypothese auf, dass Oszillatoren eines „schwarzen Körpers“ nur diskrete Energieni-veaux annehmen und Licht nur in Energieeinheiten der Größe E hν= emittieren können (Schwarzkörperstrahlung). ν ist die Oszillatorfrequenz, und h stellt das Plancksche Wir-kungsquantum, eine neue Fundamentalkonstante der Physik, dar. Damit war das Frequenz-spektrum der Strahlung heißer Körper durch die Annahme einer sog. Energiequantelung erklärt. Einen weiteren Hinweis auf die Quantisierung der Energie ergab der photoelektrische Effekt, der 1905 von Albert Einstein erklärt wurde. Einstein fand, dass die maximale kinetische Energie eines Elektrons, das durch ein Photon der Energie hν aus einer Metalloberfläche herausgeschlagen wird, durch folgende Beziehung beschrieben wird:

( )max MT hν φ= − . (11)

Die Größe ( )Mφ ist die Austrittsarbeit, die für das entsprechende Metall M charakteristisch ist und durch die Tiefe des Potentialtopfs 0U sowie die Fermi-Energie FE bestimmt ist:

( ) 0 FM U Eφ = − . (12)

Ein direkter Beweis, dass sich ein Lichtquant (Photon) unter Umständen wie ein Teilchen verhält, wurde 1922 experimentell von Compton gefunden. Photonen haben, wie aus der Relativitätstheorie von Einstein abgeleitet werden kann, einen Impuls der Größe hp λ= .

Stößt ein Photon mit einem freien Elektron zusammen, so überträgt es einen Teil seiner Energie und damit seines Impulses auf das Elektron. Die Wellenlänge des Photons nach dem Stoß wird mit λ′ bezeichnet. Mit Hilfe des Energie- und Impulserhaltungssatzes kann dann folgende Gleichung für den Compton-Effekt abgeleitet werden (θ ist der Streuwinkel, um den das Photon aus seiner ursprünglichen Bahn abgelenkt wird):

( )0

1 cose

hm c

λ λ θ′ − = − . (13)

Der Nachweis des Compton-Effekts sowie des photoelektrischen Effekts zeigen, dass Licht aus Photonen besteht, die sich wie Teilchen mit genau definierter (gequantelter) Energie verhalten. Licht, also Strahlung, ist damit auch Materie und besitzt korpuskularen Charakter. Wesentlich für die moderne Physik ist aber die Wellennatur der Materie, die erst im Jahre 1927 experimentell von Davisson und Germer durch Elektronenbeugung an Einkristallen entdeckt wurde. Drei Jahre zuvor hatte de Broglie bereits postuliert, dass jedem bewegten Teilchen mit Impuls p eine Welle zugeordnet werden kann, die die Wellenlänge h

pλ =

besitzt. Doppelspaltexperimente mit Elektronen zeigen das für die damalige (und vielleicht auch für die heutige) Zeit verblüffende Resultat eines klassischen Interferenzmusters mit Minima und Maxima der Elektronenverteilung auf dem Beobachtungsschirm. Die Wellenlän-ge eines Strahls von Elektronen mit dem Impuls p kann damit aus dem Interferenzmuster am Doppelspalt bestimmt werden. Die Entdeckung der Elektronen als Teilchen in Kathodenstrah-len gelang J. J. Thomson bereits 1897. Damit war der Welle-Teilchen-Dualismus der Materie


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formuliert, der schließlich zu den Postulaten der Quantenmechanik und der mathematischen Formulierung der Quantentheorie durch Heisenberg und Schrödinger führte.

Der Welle-Teilchen-Dualismus führt bereits qualitativ zur Heisenbergschen Unschärfe-relation. Man fragt sich, ob der Ort eines Teilchens, das Wellencharakter besitzt, exakt bestimmt werden kann. Ein lokalisiertes Wellenpaket (Einhüllende) kann durch Überlagerung sehr vieler Wellen mit verschiedenen Wellenlängen erhalten werden. Fast überall löschen sich die Wellen durch Interferenz aus, nur in einem bestimmten Bereich, der sich mit der Zeit bewegt erfolgt Verstärkung. Wenn nun jeder Wellenlänge gemäß der de Broglie-Beziehung ein Impuls hp λ= zugeordnet werden kann, bedeutet dies, dass eine Impulsverteilung

vorliegt, die desto breiter ist, je genauer der Ort des Wellenpakets bestimmt werden soll. Allgemein konnte Werner Heisenberg zeigen, dass bestimmte Paare von Observablen (Meßgrößen wie z. B. Ort und Impuls) nicht gleichzeitig exakt bestimmt werden können. Für den Impuls und den Ort eines Teilchens kann die Heisenbergsche Unschärferelation also wie folgt formuliert werden: Es ist unmöglich, den Ort und den Impuls eines Teilchens gleichzeitig exakt zu bestimmen bzw. zu kennen.

Diese Aussage wird durch die Formel

,2 4

: Ortsunschärfe,:Impulsunschärfe;

hx p

xp

π∆ ⋅∆ ≥ =

∆∆

(14)

ausgedrückt. Es ist wichtig zu begreifen, dass die Unschärferelation nicht eine Unzulänglichkeit der Messung oder der Messapparatur widerspiegelt, sondern eine grundlegende Eigenschaft der Materie beschreibt, die aus den Postulaten der Quantenmechanik resultiert. Sie widerspricht dem klassischen Kausalitätsprinzip und bedeutet eine Zäsur im Weltbild der Physik. Wir wollen noch einmal die Unschärferelation aufgreifen und eine Art Gedankenexperiment machen. Für ein ruhendes Teilchen gilt 0p∆ = , d. h. seine Impulsunschärfe ist null. Nun wollen wir mit Hilfe eines Mikroskops den Ort des Teilchens bestimmen, was bestenfalls mit einer Genauigkeit geschehen kann, die von der Größenordnung der Wellenlänge des benutz-ten Lichts ist. Für die Ortsunschärfe gilt also: x λ∆ ≈ . Da aber 0p∆ = ist, wäre das Produkt

x p∆ ⋅∆ gleich Null, und es läge eine Verletzung der Unschärferelation vor! Ist das tatsäch-lich der Fall, oder haben wir einen Fehler gemacht? Zur Ortsbestimmung müssen wir Licht benutzen, und die Quantenmechanik zeigt, dass Licht quantisiert ist und aus Photonen mit dem Impuls hp λ= besteht. Um das Teilchen nachweisen zu können, muss mindestens eines

der Photonen aus dem konvergierenden Lichtstrahl hinter einer Sammellinse an dem Teilchen entweder gestreut oder von ihm absorbiert werden. Der Impulsübertrag an das Teilchen muss


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also mindestens hλ betragen. Das Teilchen hat dann eine Impulsunschärfe hp λ∆ ≥ zu dem

Zeitpunkt, an dem sein Ort mit einer Unschärfe x λ∆ ≈ bestimmt worden ist. Multiplikation der beiden Unschärfen ergibt

.hx p hλλ

∆ ⋅∆ ≥ ⋅ = (15)

Das stimmt mit der obigen Gleichung (bis auf einen Faktor 4) überein. An diesem Beispiel sieht man, dass die Quantenmechanik in sich widerspruchsfrei ist. Wie verträgt sich nun das Bohrsche Atommodell mit der Heisenbergschen Unschärferelation? Wir rekapitulieren und erkennen, dass das Modell nach Bohr präzise, gleichzeitige Aussagen über Bahn bzw. Ort und Impuls (Geschwindigkeit) eines Elektrons erlaubt (mit anderen Worten: die Bewegung des Elektrons ist durch eine klassische Bahnkurve beschrieben) und damit falsch sein muss, da es der Heisenbergschen Unschärferelation widerspricht! Das Dilemma besteht also darin, dass das Bohrsche Atommodell zwar das Wasserstoffspektrum richtig beschreibt, jedoch weder mit der klassischen Elektrodynamik noch der Quantenme-chanik in Einklang zu bringen ist. Wir benötigen also ein widerspruchsfreies Atommodell! Die Tatsache, dass kleinste Teilchen immer auch Welleneigenschaft zeigen, legt die Möglich-keit nahe, ihre Verhalten mit Gleichungen zu beschreiben, die auch zur Darstellung anderer Arten von Wellen verwendet werden. Man geht von einer Wellenfunktion Ψ aus, die von den Raumkoordinaten ( , ,x y z ) und der Zeit t abhängt. Zur Beschreibung stationärer Vorgänge (z. B. Elektronen im ungestörten Atom) braucht die Zeitabhängigkeit von Ψ nicht berücksichtigt zu werden. Bei einer Welle Ψ , die sich mit der Geschwindigkeit v dreidimensional im leeren Raum ausbreitet, lässt sich die Änderung von Ψ als Funktion von , ,x y z und t durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschreiben. Die zeitunab-hängige Amplitude der Welle wird durch die sog. Amplitudenfunktionψ dargestellt:

2 2 2 2

2 2 2 2

4x y z

πψ ψλ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(16)

Diese Gleichung gilt für beliebige dreidimensionale Wellen. Will man nun eine für kleinste Teilchen wie z. B. Elektronen gültige Wellengleichung erhalten, ersetzt man die Wellenlänge λ durch die de Broglie-Beziehung ( )v

hmλ = ⋅ :

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

4 v 0mx y z h

πψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (17)

Die kinetische Energie der Partikel 2v

2m ⋅ ist gleich der Differenz zwischen Gesamtenergie

E und der potentiellen Energie V , so dass man durch Substitution von 2v

2m ⋅ mit E V−

schließlich die von Schrödinger 1926 eingeführte Schrödinger-Gleichung erhält:

( )2 2 2 2

2 2 2 2

8 0m E Vx y z h

πψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (18)


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Die Gleichung beschreibt das Verhalten von Mikropartikeln, insbesondere von Elektronen in Atomen und Molekülen vollständig. Die Schrödinger-Gleichung verbindet die Amplituden-funktion ψ des Elektrons bzw. eines Teilchens mit seiner Energie und den Raumkoordinaten, die zur Beschreibung des Systems notwendig sind. ψ selbst besitzt keine anschauliche Bedeutung und ist nicht beobachtbar (keine Observable). Im Gegensatz dazu bildet der Ausdruck 2| | dx dy dzψ ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, das betreffende Elektron in einem Volumenelement dx dy dz anzutreffen (Bornsche Interpretation der Wellenfunktion ψ ). 2| |ψ gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, d. h. den zeitlichen Durchschnitt der Ladungsverteilung, wie sie aus der Bewegung des Elektrons resultiert. Die Beschreibung des Verhaltens eines Teilchens mittels einer Wellengleichung darf nicht zu der falschen Vorstellung verleiten, das betreffende Teilchen „sei eine Welle“ oder bewege sich wellenförmig; vielmehr eröffnet ψ die Möglichkeit, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens berechnen zu können. Nach der Unschärferelation lassen sich nur Aussagen über den mehr oder weniger „wahrscheinlichen“ Ort eines Teilchens, jedoch nicht über die Art seiner Bewegung machen. Die Schrödinger-Gleichung lässt sich nicht streng deduktiv ableiten, sie ist nicht „begründbar“, sondern eher die Folge der Anwendung der de Broglie-Beziehung auf ein sich bewegendes Teilchen. Die Richtigkeit der Gleichung wird quasi durch die Übereinstimmung theoretischer Ergebnisse mit experimentellen Beobachtungen unter-mauert. Im Prinzip sind unendlich viele Amplitudenfunktionen ψ möglich, die der besagten Schrö-dinger-Gleichung gehorchen. Da wir dem Quadrat von ψ aber eine bestimmte Bedeutung beimessen, sind nur diejenigen ψ -Funktionen physikalisch sinnvoll, die gewisse Be-dingungen erfüllen. So muss ψ eine stetige Funktion sein und überall einen einzigen, endlichen Wert besitzen. Wäre ψ an irgendeinem Punkt „unendlich“, so wäre die Wahr-scheinlichkeit, das Elektron dort anzutreffen, unendlich groß, was der Unschärferelation widerspräche. Rechnungen zeigen, dass die Gesamtenergie E eines gebundenen Elektrons nur ganz bestimmte Werte annehmen kann, welche durch entsprechende ψ -Funktionen (sog. Eigenfunktionen) festgelegt sind. Die Quantelung der Energiezustände, also die Existenz bestimmter, ausgewählter Energiezustände, ergibt sich damit als mathematische Notwendig-keit und muss nicht – wie beim Bohrschen Atommodell - ad hoc eingeführt werden. In gleicher Weise erzwingen Randbedingungen eines schwingenden Systems (z. B. die Länge der Saite) Schwingungen mit ganz bestimmten Freqenzen. Anders ausgedrückt heißt das, dass zur Beschreibung stationärer Teilchen nur stehende Wellen erlaubt sind. Zuletzt bleibt zu erwähnen, dass die konsequente Anwendung der Schrödinger-Gleichung auf das Wasserstoff-Atom zu den gleichen, von der Hauptquantenzahl n abhängigen Energiewer-ten nE führt, wie sie bereits aus der Bohrschen Theorie bekannt sind. Die Schrödinger-Gleichung eröffnet damit den Zugang zu einem widerspruchsfreien Atommodell, das jedoch gegenüber dem Modell nach Bohr nur wenig anschaulich ist.


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4 Experimenteller Teil

4.1 Balmer-Lampe

Die Balmer-Lampe (siehe Bild 3) ist eine wechselstrombetriebene Gasentladungsröhre mit Wasserdampffüllung. Die abgeschmolzene Röhre wird durch einen an hygroskopischer Grundlage gebundenen Wasservorrat mit Wasserdampf versorgt. Die Wassermoleküle werden durch die elektrische Entladung in atomaren Wasserstoff und Hydroxyl-Radikale aufge-spalten. Eine hochtemperaturbeständige Kapillare im Innern der Lampe zwingt die Entladung auf einen engen Raum, so dass dort eine hohe Konzentration an atomarem Wasserstoff entsteht, der für die intensiven Balmer-Spektrallinien verantwortlich ist; störende Banden verursacht durch molekularen Wasserstoff treten nicht auf.

Bild 3: Aufbau der Balmer-Lampe mit Kennzeichnung der Komponenten

Eine oxidierende Substanz, unterstützt von geeigneten Katalysatoren, sorgt dafür, dass während des Betriebs gebildeter Wasserstoff zu Wasser oxidiert wird, so dass im Innern der Röhre ein Wasserkreislauf stattfindet. Während des Kreislaufs kommt es zur Ablagerung rot-brauner Metalloxide, die sich jedoch nicht im kapillaren Teil der Röhre störend bemerkbar macht.


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4.1.1 Sicherheitshinweise zur Balmer-Lampe • Manipulationen an der Balmer-Lampe ohne ausdrückliche Anweisung durch den

Versuchsbetreuer sind verboten! • Ein Anfassen der heißen Balmer-Lampe hat zu unterbleiben! 4.1.2 Inbetriebnahme der Balmer-Lampe und Betriebshinweise • Schalter am Hochspannungs-Netzgerät auf „Ein“ schalten. Die Balmer-Lampe sollte

sofort zünden. • Für ein stabiles Brennen der Balmer-Lampe ist eine bestimmte Betriebstemperatur (ca.

55°C, gemessen am Aluminium-Sockel) erforderlich. Bei zu niedriger Betriebstemperatur können Entladungen außerhalb der Kapillare (siehe Bild 3) auftreten, was zu einem fla-ckernden Betrieb der Lampe führt. Sorgen sie für ein stabiles Brennen (stabile Entla-dungsbedingungen), indem sie die Balmer-Lampe 10-15 Minuten vor dem Experiment einschalten!

• Kommt es infolge hoher Umgebungstemperaturen zu zu hohen Betriebstemperaturen (> 70°C), so kann die Balmer-Lampe (nach längerer Betriebsdauer) unter Umständen erlö-schen. Schalten Sie die Lampe aus und warten Sie bis sie sich abgekühlt hat. Danach soll-te die Balmer-Lampe wieder normal weiterzubetreiben sein.

• Betreiben sie die Balmer-Lampe nur in vertikaler Lage, mit dem Aluminium-Sockel nach unten.

• Beim Betrieb ist gelegentlich im Mittelteil der Kapillare die gelbe Natrium-Linie zu beobachten. Hier empfiehlt es sich, die oberen bzw. unteren Randzonen der Kapillare zu beobachten bzw. für das weitere Experimentieren zu verwenden, wo die störende gelbe Linie nicht in Erscheinung tritt.

4.2 Versuchsaufbau und Durchführung

Bauen Sie die in Bild 4 dargestellte Anordnung zunächst ohne Gitter (dispersives Element) auf. Das Wasserstoffspektrum kann nur in einem abgedunkelten Raum beobachtet werden.

Bild 4: Versuchsaufbau mit Komponenten zur Beobachtung des Wasserstoffspektrums. Bei der Justierung kann die Skalierung auf der optischen Bank zu Hilfe genommen werden.


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Bilden Sie die Balmer-Lampe mit Hilfe der Sammellinse 50mmf = ( f ist die Brennweite) scharf auf die Mitte des zunächst noch geschlossenen Spaltes ab. Öffnen Sie den Spalt und bilden Sie ihn mittels der Sammellinse 100mmf = scharf auf den transparenten Schirm ab. In einem völlig verdunkelten Raum sollte die mattierte Seite des Schirms der Lichtquelle zugewandt sein. Bauen Sie dann das Gitter im Halter in die in Bild 4 dargestellte Anordnung ein. Der Spalt sollte so weit geöffnet werden, dass ein Kompromiss zwischen Helligkeit und Auflösung zustande kommt. Betrachtet man nun die Balmer-Serie auf der der Strahlungsquel-le abgewandten Seite des Schirms, so sollten symmetrisch um das Zentrum (sog. Weißlicht-Position, also das Beugungsmaximum 0. Ordnung) in abnehmendem Abstand zur zentralen Linie rote, türkisfarbene und blaue Hα -, Hβ - und Hγ -Linien zu beobachten sein.

4.3 Auswertung

Bild 5 zeigt, welche geometrischen Größen für die Auswertung wichtig sind. L ist der (senkrechte) Abstand des Rowland-Gitters vom Schirm, x der jeweilige Abstand der Linien der Balmer-Serie zum Zentrum.

Bild 5: Geometrie der Linien der Balmer-Serie auf dem Schirm, die die Bestimmung von φ erlaubt. Das Zentrum stellt das Beugungsmaximum 0. Ordnung dar, während die Hα -, Hβ -

und Hγ -Linien Beugungsmaxima 1. Ordnung sind.

Die Kopie des Rowland-Gitters wirkt wie sehr viele, äquidistante Spalte und bildet ein Beugungsgitter. Zylinderwellen, die aus den einzelnen Spalten hervorquellen, verschmelzen in einigem Abstand zu einer Wellenfront, die in der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung weitergeht (Beugungsmaximum 0. Ordnung). Auch in anderen Richtungen laufen Wellen-fronten, nämlich in solchen Richtungen, aus denen gesehen jeder Spalt um ,2 ,3 ,λ λ λ … weiter entfernt ist als sein Nachbar. Für die Richtungen mφ der Beugungsmaxima

. Ordnungm (siehe Bild 5) gilt:


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sin

: Wellenlänge1: Gitterkonstante mm

600

mmd

d

λφ

λ

=

=

(19)

Bild 5 zeigt, wie der Beugungswinkel φ aus x und L ermittelt werden kann:

tan und damit arctanx xL L

φ φ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (20)

Damit können jetzt die Wellenlängen der Hα -, Hβ - und Hγ -Linien für 1m = wie folgt

berechnet werden:

sin arctan xdL

λ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠. (21)

4.4 Aufgaben

1. Bauen Sie den Versuch „die Balmer-Serie des Wasserstoffs“ auf. 2. Bestimmen Sie die Wellenlängen der Hα -, Hβ - und Hγ -Linien (die violette Hδ -Linie

liegt mit einer Wellenlänge von 410,17 nm zwar innerhalb des sichtbaren Bereichs, kann aber vermutlich nur mit optimalen optischen und spektroskopischen Geräten beobachtet werden).

3. Berechnen Sie die Wellenlängen der Hα -, Hβ - und Hγ -Linien mit Hilfe der Balmer-

Serienformel und vergleichen Sie die theoretisch berechneten Werte mit Ihren experimen-tellen Ergebnissen.

4. Diskutieren Sie das Bohrsche Atommodell aus der Sicht der modernen Physik bzw. der Quantenmechanik. a) Nach dem Bohrschen Atommodell bewegt sich das Elektron der Ladung e auf einer Kreisbahn mit Radius r um den Atomkern, die Bewegung lässt sich also durch eine Bahnkurve beschreiben. Wie verträgt sich diese Aussage mit der Quantenmechanik? b) Die Schrödinger-Gleichung beschreibt das Wasserstoffatom als dreidimensionales Gebilde in Funktion der Ortskoordinaten , ,x y z . Vergleichen Sie mit dem Bohrschen Atommodell.

Die Balmer-Serie des · PDF fileRutherford folgerte, dass α-Teilchen abgelenkt werden,...

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