CONGRUENTA TRIUNGHIURILOR

Proiect Didactica specialitatii An universitar: 2011-2012 Realizat de: Constantin Anca Ruxandra(25%) Cornaci Diana-Ramona(25%) Podasca Mariana(25%) Stefan Robert(25%)1

CONGRUENTA TRIUNGHIURILOR

atunci (

Daca A, B si C sunt trei puncte necoliniare, distincte doua cate doua, ) [AB] [AC] [BC] se numeste triunghi si se noteaza cu ABC .

Congruenta triunghiurilor DEFINITIE Faptul ca ABC este congruent cu MNP, notat ABC MNP, inseamna sase congruente (sau egalitatile corespunzatoare lor): [AB] [AC] [BC] BAC ABC ACB [MN] [MP] [NP] NMP MNP MPN sau sau sau sau sau sau AB AC BC MN MP NP m( NMP) m( MNP) m( MPN)

m( BAC) m( ABC) m( ACB)

DEFINITIE Numim elemente omoloage 2 laturi care se opun la unghiuri congruente sau 2 unghiuri care se opun la laturi congruente. Atentie la ordinea in care scriem literele conform elementelor omoloage, ABC MNP si nu altfel!

2

In termeni mai putin rigurosi, doua figuri sunt congruente daca au aceeasi forma si marime, dar pozitii diferite, adica una fata de cealalta este rotita si/sau translatata. Expunem, in cele ce urmeaza, congruenta a doua triunghiuri. Se observa, din figurile urmatoare, cum cele doua triunghiuri au aceeasi forma si marime si, chiar daca la prima vedere ele nu par a fi congruente, printr-o rotire a celui de-al doilea triunghi, ele se pot suprapune, de unde deducem congruenta celor doua figuri geometrice.

figura 1

figura 2

figura 3

3

figura 4

CAZURILE DE CONGRUENTA A TRIUNGHIURILOR

Cazul 1. (L.U.L.) Doua triunghiuri sunt congruente daca au doua laturi si unghiurile dintre ele respectiv congruente.

Lucrare practica : Sa se construiasca pe o bucata de carton un triunghi cunoscand lungimile a doua laturi de 7 cm si 9 cm si unghiul determinat de cele doua laturi de 35o, apoi sa se decupeze triunghiul cu ajutorul unei foarfece. Se repeta lucrarea pe alta bucata de carton. Se obtin doua triunghiuri si se verifica prin suprapunere ca ele sunt congruente. Ex: Fie ABC si MNP astfel incat, [AB] [MN], [BC] [NP] si ABC MNP. Rezulta, conform cazului L.U.L., ca ABC MNP, deci [AC] [MP], BAC NMP si ACB MPN.

Cazul 2. (U.L.U.) Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate o latura si unghiurile alaturate ei respectiv congruente.4

Lucrare practica: Sa se construiasca pe o bucata de carton un triunghi cunoscand lungimea unei laturi de 8 cm si unghiurile alaturate de 45o si 60o. Cu ajutorul unei foarfece se decupeaza triunghiul astfel construit si se verifica prin suprapunere ca sunt congruente. Ex: Fie ABC si MNP astfel incat, [AB] [MN], BAC NMP si ABC MNP. Rezulta, conform cazului U.L.U. , ca ABC MNP, deci [AC] [MP], [BC] [NP] si ACB MPN.

Cazul 3. (L.L.L.) Doua triunghiuri sunt congruente daca au laturile respectiv congruente.

Lucrare practica: Sa se construiasca pe o bucata de carton un triunghi cunoscand lungimile laturilor acestuia de 8 cm, 9 cm si 11 cm. Cu ajutorul unui foarfece se decupeaza triunghiul astfel construit si apoi se repeat lucrarea pe o alta bucata de carton. Se obtin doua triunghiuri si se verifica prin suprapunere ca sunt congruente. Ex: Fie ABC si MNP astfel incat, [AB] [MN], [BC] [NP] si [AC] [MP]. Rezulta, conform cazului L.L.L., ca ABC MNP, deci ABC MNP, BAC NMP si ACB MPN.

5

METODA TRIUNGHIURILOR CONGRUENTE: Pentru a dovedi ca doua segmente (sau doua unghiuri) sunt congruente, cautam sa incadram segmentele (sau unghiurile) respective in doua triunghiuri, a caror congruenta o putem demonstra, astfel incat segmentele (unghiurile) de care ne ocupam sa fie elemente omoloage (laturile congruente se opun la unghiuri congruente, iar unghiurile congruente se opun la laturi congruente).

PROBLEME REZOLVATE: 1. In paralelogramul ABCD se ia pe diagonala AC punctele E si F astfel incat AE=EF=FC. Sa se arate ca patrulaterul BEDF este paralelogram si ca =3 . Rezolvare:

Observam ca triunghiurile ABE si CDF sunt congruente conform cazului L.U.L. (AB=CD, BAE DCF si AE=FC). Din aceasta congruenta rezulta ca BE si DF sunt paralele si congruente, deci BEDF este un paralelogram. In plus, =6 =3 .

6

2. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de capetele segmentului. Ipoteza: PM AB, si M=mijlocul lui [AB] [PB]

Concluzia: [PA]

Demonstratie: Folosim metoda triunghiurilor congruente Observam ca [MA] [MB], [PM] [PM] si m( PMA)=m( PMB)=900. Deci, conform cazului L.U.L., PMA PMB, rezulta ca *PA+ [PB].

3. Intr-un triunghi isoscel unghiurile de la baza sunt congruente. Rezolvare: Daca [AB] [AC] atunci ABC AC=AB, BAC CAB). Rezulta ca ABC ACB conform cazului L.U.L. (AB=AC, ACB.

Consecinta: Intr-un triunghi isoscel unghiurile de la baza sunt ascutite. Rezulta din faptul ca suma unghiurilor in triunghi este 1800.

4. Intr-un triunghi isoscel mediana bazei este si inaltime si bisectoare si mediatoare. Rezolvare: Daca AB AC, MB MC, AM=latura comuna, rezulta conform cazului L.L.L. ca AMB AMC, deci AMB AMC, dar AMB + AMC = 1800, deci AMB = AMC=900.

5. O dreapta care trece prin mijlocul unui segment este egal departata de capetele segmentului. Ipoteza: M=mijlocul lui [AB], AE EF, BF7

EF.

Concluzie: [AE]

[BF].

Demonstratie: EAM FBM conform cazului L.U.U., pentru ca: [AM] [MB] (din ipoteza: M=mijlocul lui [AB]), AME BMF (unghiuri opuse la varf), AEM BFM (din ipoteza: 0 unghiuri de 90 ), deci [AE] [BF].

6. Orice mediana a unui triunghi este egal departata de varfurile triunghiului care nu-i apartin. Ipoteza: M=mijlocul lui [AB], AE Concluzie: [AE] [BF]. CM, BF CM.

Demonstratie: EAM FBM conform cazului L.U.U., pentru ca [AM] [MB] (din ipoteza: M=mijlocul lui [AB]), AME BMF (unghiuri opuse la varf), AEM BFM (din ipoteza: unghiuri de 900), deci [AE]

[BF].

7. Orice punct de pe bisectoarea unui triunghi este egal departat de laturile triunghiului. Ipoteza: CM=bisectoarea ACB, ME CB. Concluzie: [ME] [MF]. CA, MF

Demonstratie: EMC FMC conform cazului L.U.U., pentru ca MCE , MC=latura comuna, CEM CFM, deci [ME] [MF].

8

8. Triunghiurile ABC si AMN sunt isoscele (AB=AC)(AM=AN), M,N BC. Demonstrati ca BM si CN sunt congruente. Rezolvare: ABM ACN conform cazului L.U.U., pentru ca AM=AN si MBA NCA (ip: isoscel), AMN ANM (ip: isoscel) si AMN + AMB ANM + ANC = 1800, deci AMB ANC. Rezulta BM=CN.

9. Triunghiurile ABC si AMN sunt isoscele (AB=AC)(AM=AN), [BM si [CN sunt bisectoarele B si C. Demonstrati ca BM si CN sunt congruente. Rezolvare: Presupunem ca BM CN, deci exista P *BM astfel incat BP=CN. Rezulta ABP ACN conform cazului L.L.L., pentru ca AM=AN si BA=CA (ip: isoscel). Deci AP=AN, rezulta AMP=isoscel, dar AMB > 900, deci si ANP > 900, deci in AMP suma unghiurilor este >1800 ceea ce este fals. Rezulta BM=CN.

10. Triunghiurile ABC si AMN sunt isoscele (AB=AC)(AM=AN), [BP si [CP sunt bisectoarele B si C exterioare. Demonstrati ca BE si CF sunt congruente, unde E BP AM iar F CP AN si [BF] [CE].

Demonstratie: ABE ACF conform cazului L.U.U., pentru ca AB=AC si BAE CAF. Dar unghiul exterior B unghiul exterior C (sunt suplementele unghiurilor B si C care sunt congruente), deci si9

jumatatile lor sunt congruente, rezulta ABE ACF, rezulta BE=CF si AE=AF. Deci BCF CBE (conform cazului L.U.L.) si rezulta BF=CE.

PROBLEME PROPUSE: 1. Elementele congruente sunt marcate, se cere sa spuneti cazul de congruenta si sa scrieti corect congruenta triunghiurilor.

2. Stim ca ARB MGF. Scrieti toate congruentele de unghiuri si laturi care rezulta, desenati si marcati elementele congruente.

3. Congruenta ABC ABC este adevarata pentru orice triunghi, dar congruenta ABC ACB este adevarata in orice triunghi?10

4. Pe figura alaturata stim ca QK=KL, KA=KV. Cele doua triunghiuri sunt congruente? Justificati.

5. Daca sunt adevarate simultan congruentele ABC atunci ce fel de triunghi este ABC?

ACB si CAB

CBA,

6. De ce sunt congruente triunghiurile din figura alaturata?

In exercitiile 7-17, stabiliti, pentru fiecare exercitiu in parte, daca perechile de triunghiuri sunt congruente, indicand cazul de congruenta si care sunt elementele respectiv congruente (congruenta elementelor omoloage). 7. In triunghiul ABC, AB=6cm, BC=8cm si m( B)=400, iar in triunghiul MNP, MN=0,8dm; MP=60mm si m( M)= 600.

8. In triunghiul A1B1C1, A1B1=5cm, m( B1)=240 si m( C1)=560, iar in triunghiul M1N1P1, N1P1=0,05m, m( N1)= 480; m( P1)=1000.

9. In triunghiul A2B2C2, A2B2=13,4cm; B2C2=8,2cm si C2 A2=7,5cm, iar in triunghiul M2N2P2, M2N2=0,12dm; M2P2=1,34dm; P2N2=75mm. 10. In triunghiul A3B3C3, A3B3=7cm, m( B3)=340 si m( C3)=680, iar in triunghiul M3N3P3, M3N3=7cm, m( M3)=780 si m( N3)=340. 11. In triunghiul ABC, AB + AC=32cm, perimetrul triunghiului ABC=40cm si m( B)=m( C), iar in triunghiul MNP, MN=MP=16cm si NP=8cm. 12. In triunghiul A4B4C4, A4B4=10cm si m( B4)=m( A4)=250, iar in triunghiul M4N4P4, M4N4=M4P4=100mm si m( M4)=1300.11

13. In triunghiul A5B5C5, B5C5=12cm, C5A5 A5B5 si m( B5)=560, iar in triunghiul M5N5P5, m( M5)=900, N5P5=1,2dm si m( P5)=340. 14. In triunghiul A6B6C6, A6B6=9cm, A6C6=3cm si m( A6)= M6N6P6, N6P6=90mm, M6N6= N6P6 si M6N6 N6P6. 1800, iar in triunghiul

15. In triunghiul OST, m( O)=900, OT=8cm si m( S)=300, iar in triunghiul DEF, EF DE, DF=16cm si m( D)=600. 16. In triunghiul ABC, AB=3cm, BC=4cm si , m( B)=900, iar in triunghiul MNP, m( N) + m( P)=900; MN+MP=7cm si MP=3cm. 17. In triunghiul UVT, m( U) + m( T)=900, perimetrul triunghiului UVT=12cm, UT=5cm si VT-UV=1cm, iar in triunghiul KLM, m( L)=900, KM=5cm, KL=3cm.

18. Se considera un triunghi dreptunghic ABC cu m( A)=90o, AC=4cm si AB=3cm si punctele M CA, N AB, astfel incat A (CM), B (AN), AM 3cm si BN=1cm. Demonstrati ca : *BC+*MN+, m( MNA) m( BCA) si m( AMN) m( ABC). 19. Fie triunghiul dreptunghic ABC cu m( A)= 90o, AC=4cm si AB=30mm. Consideram punctele M (CA) (A este intre C si M) si N (AB) (B este intre A si N) astfel incat AM=3cm si BN=0,1dm. Demonstrati ca: *BC+*MN+, m( MNA)m( ACB) si m( AMN)m( ABC). 20. Triunghiul ABC este isoscel (AB=AC) si stim ca m( A)=200, iar EB, FC si EF sunt bisectoarele unghiurilor exterioare ale triunghiului ABC care formeaza EFG. Ce fel de triunghi este EFG? Demonstrati ca A, mijlocul lui [BC] si G sunt coliniare. 21. Triunghiul ABC este isoscel (AB=AC) si stim ca m( A)=200, iar EC si FB fac unghiuri de 200 cu AC, respectiv AB. Demonstrati ca distantele de la A la EC si FB sunt egale.

12

22. Triunghiul ABC are m( A)=900, AB=8cm si AC=10cm. Pe semidreapta opusa lui [AC se ia punctul D astfel incat AD=8cm, iar pe [AB se ia punctul E astfel incat BE=2cm si B este intre A si E. Aratati ca [DE] [BC].

13