www.VNMATH.com

Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá

Së gi¸o dôc vμ ®μo t¹o Kú thi tuyÓn sinh vμo líp 10 THPT chuyªn Lam S¬n

Thanh Hãa N¨m häc 2011 - 2012

M«n : To¸n (dïng chung cho tÊt c¶ thÝ sinh) Thêi gian lμm bμi 120 phót kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò

Ngμy thi: 18 th¸ng 6 n¨m 2011

C©u1 (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc A3

32

1

23

32

1115

x

x

x

x

xx

x

1.Rót gän biÓu thøc A (víi x 0 ,x 1 )

2. Chøng minh r»ng A3

2

C©u 2(2 ®iÓm)

Cho parabol (P): 2

2

1xy vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2 (víi m lμ tham sè)

1. T×m m ®Ó (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4 2. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt

C©u 3 : (2 ®iÓm)

1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :

1925

1232

yx

yx

2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 269

32

x

xx

C©u 4: (3 ®iÓm) Gäi C lμ mét ®iÓm n»m trªn ®o¹n th¼ng AB ( BCAC , ). Trªn nöa mÆt

ph¼ng cã bê lμ ®−êng th¼ng AB, kÎ tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi AB. Trªn tia Ax lÊy ®iÓm I (I A). §−êng th¼ng vu«ng gãc víi CI t¹i C c¾t tia By t¹i K ; ®−êng trßn ®−êng kÝnh IC c¾t IK t¹i P. 1.Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp ®−îc trong ®−êng trßn. X¸c ®Þnh t©m cña ®−êng trßn ®ã. b)Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng. 2. Cho A, I, B cè ®Þnh. T×m vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn ®o¹n th¼ng AB sao cho tø gi¸c ABKI cã diÖn tÝch lín nhÊt. C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c lμ ba sè thùc d−¬ng tháa m·n a+b+c = 2. TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt

cña biÓu thøc: P=bca

ca

abc

bc

cab

ab

222

------------HÕt------------- (c¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm)

Hä vμ tªn thÝ sinh……………………..Sè b¸o danh…………………………

Ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 1: ……………..ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 2……………

§Ò CHÝNH THøC

www.VNMATH.com

Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá

§¸p ¸n

C©u1 : Rút gọn biÓu thøc A3

32

1

23

32

1115

x

x

x

x

xx

x

A= 3

32

1

23

)3)(1(

1115

x

x

x

x

xx

x =

)3)(1(

)1)(32()3)(23(1115

xx

xxxxx

A=)3)(1(

332262931115

xx

xxxxxxx=

)3)(1(

527

xx

xx=

)3)(1(

)52)(1(

xx

xx

A=)3(

)52(

x

x

2- với A3

2 ta có )3(

)52(

x

x

3

2 nên

3

2 - )3(

)52(

x

x 0

)3.(3

)52.(3)3(2

x

xx 0

)3.(3

15662

x

xx 0

)3.(3

17

x

x 0 là đúng vì x 0 nên 17 x 0 và 3.( x +3) > 0

vậy A3

2 được chứng minh

C©u 5-a)V× a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b)

vì a ; b ; c > 0 nên 01

ca

và 01

cb

áp dụng cosi ta có

ca

1

cb 1

2.))((

1

cbca dấu (=) khi

ca

1

cb 1 a + c = b + c a = b

hay )11

(2

1

))((

1

bcacbcac

bc

ab

ac

ab

bcac

ab

abc

ab

2

1

)(2 (1)

Chøng minh t−¬ng tù ;

ca

bc

ba

cb

abc

bc

2

1

2 (2) dấu = khi b = c

ab

ca

bc

ca

cab

ac

2

1

2 (3) dấu = khi a = c

cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có

: P=bca

ca

abc

bc

cab

ab

222

2

1 (

bc

ab

ac

ab

+

ac

cb

ab

cb

+

bc

ac

ab

ac

)

P 2

1

ba

ac

ba

cb

bc

ac

cb

ab

ac

cb

ac

ab()()( =

2

1

ba

abc

cb

cba

ac

bca ).().().(

P=bca

ca

abc

bc

cab

ab

222

12.

2

1

2

1 cba

min P = 1 khi a = b = c =3

2

C©u 2:Cho parabol (P): 2

2

1xy vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2 (víi m lμ tham sè)

www.VNMATH.com

Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá

y

P

A B

x

K

C

I

O

O'

3. T×m m ®Ó (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4 4. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt

Giải :

a) toạ độ giao điểm của parabol (P): 2

2

1xy vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2

là nghiệm của hệ

2.2

1 2

mxmy

xy phương trình hoành độ giao điểm là :

2.2

1 2 mxmx vi (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4 thay vào ta có :

8 = 4m - m +2 3m = 6 m = 2 vậy thì (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4

b) để (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt khi và chỉ khi hệ

2.2

1 2

mxmy

xy

hay 2.2

1 2 mxmx x2 -2mx +2m - 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 0

mà = 4m2 -4(2m - 4 ) = 4m2 -8m + 16 = (2m)2 – 2.2m.2+ 4+12 = ( 2m – 2)2 + 12 > 0 với mọi giá trị của m .Vậy víi mäi gi¸ trÞ cña m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt

C©u 3 : 1- Giải hệ phương trình :

1925

1232

yx

yx

Đặt a = y

1 và b = x

1 ta có hệ

1925

1232

ab

ab

57615

2464

ab

ab

3311

1232

b

ab

3

1232

b

ab

3

2

b

a

y

1 =2 y =2

1

và x

1 = 3 x =3

1 vậy nghiệm của hệ

2

13

1

y

x

2-Gi¶i ph−¬ng tr×nh 269

32

x

xx điều kiện x >3 hoặc x <-3

ta thấy x = 0 không phải là nghiệm ư

nên xx

26

9

31

2

1

26

9

32

xx

121272

9

322

xxx

C©u 4: 1.Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp ®−îc trong ®−êng trßn. X¸c ®Þnh t©m cña ®−êng trßn ®ã.

Xét đường tròn tâm O đường kính IC ta có P(O) Nên CPI ˆ = 900 do đó CPK ˆ = 900 ( kề bù với

CPK ˆ = 900 ) theo bài ra ta có By AB mà K By ; C AB

CBK ˆ = 900 CPK ˆ + CBK ˆ = 1800 mà CBK ˆ và CPK ˆ

www.VNMATH.com

Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá

là hai góc đối của tứ giác CPKB vậy CPKB néi tiÕp ®−îc trong ®−êng trßn mà CBK ˆ = 900 nên KC là đường kính b)Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng.

Xét ( O ; 2

IC ) ta có PICCAP ˆˆ ( nội tếp cùng chắn cung PC ) (1)

Xét ( O’ ; 2

KC ) ta có CBPCKP ˆˆ ( nội tếp cùng chắn cung PC ) (2)

Theo bài ra thì IC KC tại C nên KCI ˆ = 1V nên IKCPIC ˆˆ = 1V (3) thay (1) ; (2) vào (3) ta có CAP ˆ + CBP ˆ = 1V vậy Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng.tại P 2-Cho A, I, B cè ®Þnh. T×m vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn ®o¹n th¼ng AB sao cho tø gi¸c ABKI cã

diÖn tÝch lín nhÊt . Ta có tứ giác ABKI có AI//BK ( cùng AB) và B̂ = 1V nên ABKI

là hình thang vuông nhận AI và BK là hai đáy và AB là đường cao

SABKI = 2

1 (AI+ BK) . AB mà A ; B ; I cố đinh nên AI ; AB không đổi nên để SABKI đạt

Max khi BK đạt Max BK =AI lúc bấy giờ (O) và (O’) bằng nhau nên CI = CK CIK cân CP và đường cao nên PI = PK mà PC // BK ( cùng vuông góc AB) nên PC là đường trung bình của hình thang ABKI

nên C là trung điểm của AB