Intervalo de on�ança e

teste de hipóteses

Cristiano de Carvalho Santos

professor.pa otes.estatisti os�gmail. om

Grupo Google: Pa otesEstatisti os2016

Departamento de Estatísti a,

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Intervalo de on�ança para µ quando σ2

é

onhe ido

Suposições:

◮Variân ia popula ional σ2

onhe ida;

◮Os dados tem distribuição Normal ou a amostra é grande.

O intervalo de γ100% de on�ança é dado por

IC (µ, γ) =

[

x̄ − zγ/2σ√n, x̄ + zγ/2

σ√n

]

,

onde zγ/2 é o valor da distribuição N(0, 1) tal queP(0 < Z < zγ/2) =

γ2

ou, equivalentemente, P(Z < zγ/2) =1+γ2

.

Exemplo

Sabe-se que o onsumo mensal per apita de um determinado

produto tem distribuição normal om desvio padrão de 2kg. Foi

realizada uma pesquisa de mer ado om 25 indivíduos dados a

seguir:

9.8 8.5 7.0 10.4 8.9 7.9 5.9 7.7 8.8 7.7 7.9 5.1

9.9 7.6 8.4 3.7 6.8 7.5 8.5 5.1 7.6 5.0 6.1 6.1 10.2

Deseja-se obter um intervalo de 95% de on�ança para o onsumo

médio mensal per apita.

Como fazer no R?

◮Fazendo as ontas passo a passo, utilizando o R omo uma

al uladora;

◮Construir uma função;

◮Usar a função �z.test� do pa ote �Tea hingDemos��.

Resolução no S ript!

Teste para média popula ional µ (σ2

onhe ido)

Suposições: Distribuição normal é adequada para os dados, ou a

amostra é grande o su� iente, e a variân ia popula ional σ2

é

onhe ida.

A estatísti a de teste é

Z =X̄ − µ

0

σ/√n

Assumindo H0

verdadeira, a estatísti a de teste tem distribuição

N(0, 1), pois X̄ ∼ N(µ0

, σ2/n).

Exemplo

Sabe-se que o onsumo mensal per apita de um determinado

produto tem distribuição normal om desvio padrão de 2kg. A

diretoria de uma �rma que fabri a esse produto resolveu que

retiraria o produto da linha de produção se a média de onsumo

per apita fosse menor que 8kg. Caso ontrário, ontinuaria a

fabri á-lo. Foi realizada uma pesquisa de mer ado om 25

indivíduos dados a seguir:

9.8 8.5 7.0 10.4 8.9 7.9 5.9 7.7 8.8 7.7 7.9 5.1

9.9 7.6 8.4 3.7 6.8 7.5 8.5 5.1 7.6 5.0 6.1 6.1 10.2

Qual a de isão da �rma a 5% de signi� ân ia?

Resolução no S ript!

Intervalo de on�ança para µ quando σ2

é

des onhe ido

Neste aso, usamos o desvio padrão amostral e o intervalo de

γ100% de on�ança é dado por

IC (µ, γ) =

[

x̄ − tγ/2s√n, x̄ + tγ/2

s√n

]

,

onde t γ

2

é o valor en ontrado na tabela da distribuição t-Student

om n − 1 graus de liberdade tal que P(0 < T < tγ/2) =γ2

ou

P(T > tγ/2) =1−γ2

.

Exemplo:

O tempo de reação de um novo medi amento pode ser onsiderado

omo tendo distribuição Normal e deseja-se fazer inferên ia sobre a

média que é des onhe ida obtendo um intervalo de on�ança.

Vinte pa ientes foram sorteados e tiveram seu tempo de reação

anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos):

2.9 3.4 3.5 4.1 4.6 4.7 4.5 3.8 5.3 4.9

4.8 5.7 5.8 5.0 3.4 5.9 6.3 4.6 5.5 6.2

Como fazer no R?

◮Fazendo as ontas passo a passo, utilizando o R omo uma

al uladora;

◮Construir uma função;

◮Usar a função �t.test�.

Resolução no S ript!

Teste para média popula ional ν (σ2

des onhe ida)

Suposições: Os dados são normalmente distribuídos (ou a amostra

é grande), mas não onhe emos a variân ia popula ional σ2

.

A estatísti a de teste é

T =X̄ − µ

0

s/√n.

Assumindo H0

verdadeira, a estatísti a de teste tem distribuição

t-Student om n − 1 graus de liberdade.

Exemplo:

O site mer ado imobiliário a�rma que o preço médio de

apartamentos no Barreiro é de 195 mil reais. O PROCON de Belo

Horizonte diz que os preços dos imóveis naquela região tem preços

maiores do que 195 mil reais. Para he ar esta informação o

pro on olheu uma amostra dos preços de vendas de 20 imoveis

vendidas no Barreiro:

198; 185; 205,2; 225,3; 206,7; 201,85; 200; 189; 192,1; 200,4

302; 195; 215,4; 235,3; 216,3; 191,85; 174,6; 199; 195,4; 202,9

Teste a a�rmação do PROCON usando 10% de signi� ân ia.

Resolução no S ript!

Intervalo de on�ança para a proporção

popula ional p

Suposição ne essária: A amostra é �su� ientemente� grande

para usar o TCL.

A partir do TCL, obtemos que para amostras grandes

p̂ ∼ N(

p, p(1−p)n

)

, e disso segue que o IC é

IC (p, γ) =

[

p̂ − zγ/2

√

p(1− p)

n, p̂ + zγ/2

√

p(1− p)

n

]

,

onde zγ/2 é o valor da distribuição N(0, 1) tal queP(Z < zγ/2) =

1+γ2

Problema: Não onhe emos

p(1−p)n

.

Abordagem Otimista

E = zγ/2

√

p̂(1− p̂)

n

Abordagem Conservativa

(Assume maior variân ia possível - p̂ = 0, 5)

E = zγ/2

√

1

4n

Exemplo: Numa pesquisa om 50 eleitores, o andidato José João

obteve 0,34 da preferên ia dos eleitores. Construa, para a

on�ança 94%, os intervalos otimista e onservador de on�ança

para a proporção de votos a serem re ebidos pelo andidato

men ionado, supondo que a eleição fosse nesse momento.

Teste para um proporção popula ional

A estatísti a de teste é

Z =p̂ − p

0

√

p0

(1−p0

)n

,

em que p0

é o valor que está sendo testado e p̂ é a proporção

amostral.

Intervalo de on�ança para σ2

Suposições ne essárias:

◮Amostra é uma amostra aleatória simples;

◮população deve ser normalmente distribuída (mesmo que a

amostra seja grande).

O intervalo de γ de on�ança para σ2

é obtido por

IC (σ2, γ) =

[

(n − 1)s2

χ2

D

;(n − 1)s2

χ2

E

]

,

em que obtemos χ2

E e χ2

D na tabela Qui-Quadrado de tal forma que

P(χ2 < χ2

E ) =1− γ

2

e P(χ2 > χ2

D) =1− γ

2

.

Teste de hipóteses para σ2

Neste aso a estatísti a de teste possui distribuição Qui-quadrado e

é dada por

χ2 =(n − 1)s2

σ2

.

Exemplo no S ript!

Testes Qui-quadrado

◮Independên ia: O objetivo é testar a independên ia de duas

variáveis qualitativas (ou ategóri as) apresentadas em uma

tabela de ontingên ia de k linhas e m olunas;

◮Homogeneidade: O objetivo do teste é veri� ar se as

diferentes populações apresentam as mesmas proporções para

ada uma das ategorias A1

... Ac ;

◮Aderên ia: Testar se os dados amostrais aderem ao um

modelo probabilísti o (distribuição) ou não.

Estatísti a de Teste:

χ2

obs =k

∑

i=1

m∑

j=1

(Oij − Eij)2

Eij

ou

χ2

obs =n

∑

i=1

(Oi − Ei)2

Ei

.

◮Função: hisq.test

Testes de Aderên ia ou Normalidade

◮QQ-plot;

◮Teste Qui-quadrado;

◮Shapiro-Wilk;

◮Kolmogorov-Smirnov;

◮Anderson-Darling.

Testes para duas populações

◮Teste para variân ias: var.test;

◮Teste para médias: t.test;

◮Teste para proporções: prop.test.

Lista de Exer í ios 6

◮Forma de entrega: Mandar por email um arquivo �.txt� ou �.R�

om os omandos utilizados na resolução da lista de exer í ios.

◮Salvar arquivo om nome Lista6-nomes dos

autores-in ompleta ou Lista6-nomes dos autores-�nal.

Exer í ios:

1. En ontre intervalos de on�ança de 95% para a média de uma

distribuição Normal om variân ia 1 dada a amostra abaixo.

9.5 10.8 9.3 10.7 10.9 10.5 10.7 9.0 11.0 8.4

10.9 9.8 11.4 10.6 9.2 9.7 8.3 10.8 9.8 9.0

2. Refaça o exer í io anterior assumindo que a variân ia

popula ional é des onhe ida. Também teste a hipótese de que

a média popula ional é igual 9.5 om 10% de signi� ân ia.

3. Pretende-se estimar a proporção p de ura, através de uso de

um erto medi amento em doentes ontaminados om

er ária, que é uma das formas do verme da esquistosomose.

Um experimento onsistiu em apli ar o medi amento em 200

pa ientes, es olhidos ao a aso, e observar que 160 deles foram

urados. Montar o intervalo de on�ança para a proporção de

urados. Note que há duas expressões possíveis para este IC: o

�otimista� e o � onservativo�. En ontre ambos intervalos.

4. Queremos veri� ar se duas máquinas produzem peças om a

mesma homogeneidade quanto a resistên ia à tensão. Para

isso, sorteamos dias amostras de 6 peças de ada maquina , e

obtivemos as seguintes resistên ias:

Máquina A 145 127 136 142 141 137

Máquina B 143 128 132 138 142 132

Obtenha intervalos de on�ança para a razão das variân ias e

para a diferença das médias dos dois grupos.

5. Suponha que foram ouvidos 20 eleitores, dos quais 16

responderam favoráveis ao projeto. Teste a hipótese

alternativa de que p > 0, 70 usando as funções prop.test ( om

e sem orreção de ontinuidade) e binom.test. Compare os

resultados obtidos om o teste aproximado (prop.test) om e

sem orreção de ontinuidade om o resultado do teste exato

(binom.test).

6. Faça o exer í io 4 da página 107 do relatório té ni o

�BIOESTATÍSTICA BÁSICA USANDO O AMBIENTE

COMPUTACIONAL R� disponível no site do departamento de

estatísti a da UFMG.

7. Faça os exer í ios 1 e 2 da página 141 do relatório té ni o

�BIOESTATÍSTICA BÁSICA USANDO O AMBIENTE

COMPUTACIONAL R�.

8. Faça os exer í ios 1 e 2 das páginas 154 e 155 do relatório

té ni o �BIOESTATÍSTICA BÁSICA USANDO O AMBIENTE

COMPUTACIONAL R�.