Das - autexier/talks/Ringv آ  Heuristik en) V erw endung externer Systeme und

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  • Das Beweisassistenzsystem ΩmegaSerge Autexier122. Juni 2007 1Joint work with the Ωmega GroupAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Zielsetzungen für einBeweisassistenzsystem (BA) ◮ Unterstützung fürMathematiker/Wissens haftler/Software-Entwi kler in derTheoriebildung und insbesondere bei der Beweisführung ◮ Gründe:

    ◮ Veri�zierbare Formalisierungen und Beweise ◮ Mehrwerte dur h mas hinelle Unterstützung:

    ◮ Übernahme von Routineaufgaben bei Beweisen ◮ Organisation/Handhabung von groÿen komplexen Beweisen(z.B. Kepler Vermutung dur h T. Hales) ◮ Semantik-basierte Su he na h math. Konzepten ◮ . . .Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • HerangehensweisenBottom-up Vorgehen: ◮ Logik, Kalkül, und immer neue Komponenten daraufaufbauen ◮ Ho�nung, daÿ man irgendwann ein Gesamtsystem hat,dass Benutzer gerne verwenden wollen ◮ Klassis he herangehensweise ◮ Am Beispiel von ΩmegaTop-down Vorgehen: ◮ Beginn mit System, das ein Benutzer verwendet ◮ Füge Funktionalitäten eines BAs hinzu ◮ Am Beispiel der Integration von Ωmega in denTexteditor TEXma sAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • 1 Bottom-Up Konstruktion eines BALogik & BeweiskalküleBeweiskonstruktionKomponenten des Ωmega Systems Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Formelsyntax undBeweiskonstruktionsvors hirftenFrege, Russell, Hilbert Prädikatenkalkül und Typentheorie alsformale Basis für die Mathematik: + : N × N → N ∀x , y , z : N.(x + (y + z)) = ((x + y) + z)Gentzen Kalkül des Natürli hen S hlieÿens (ND)ND-Regeln (Bsp.) ND-Beweis für (A ∧ B) ⇒ (B ∧ (C ∨ A))A BA ∧ B ∧IA ∧ BA ∧ElA ∧ BB ∧Er

    A⇒ B AB mp [A]1....BA⇒ B ⇒I 1. . . usw. . . .

    [A ∧ B]1B ∧Er [A ∧B]1A ∧ElC ∨ A ∨IrB ∧ (C ∨A) ∧I (A ∧ B) ⇒ (B ∧ (C ∨ A)) ⇒ I 1Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Mas hinennahe KalküleRobinson (1965): Resolutionskalkül Grundlage für Automatisierung ◮ Nur zwei S hlussregeln ◮ Formeln müssen erst in Normalform transformiert werden

    Bild: Jörg SiekmannAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Mas hinennahe KalküleProblemeingabe Beweisausgabe

    Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Faktenebenen Beweise in ΩmegaFakten ◮ Axiome ◮ De�nitionen ◮ Theoreme/Korollare/LemmataFakten als InferenzregelnTransitivität von ⊆:A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C ⇒ A ⊆ B B ⊆ CA ⊆ C Trans. ⊆Anwendung auf TeilformelnAnwendung von Inferenzre-geln auf Teilformeln P ⇒ (A ⊆ B) ⊢ Q ⇒ (A ⊆ C )P ⇒ (A ⊆ B) ⊢ Q ⇒ (P ∧ (B ⊆ C ))Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he ◮ Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) ◮ Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) ◮ Beweisplanung: Domänenspezi�s hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene

    Methode1 Methode2 Methode3

    Beispielbeweismethoden: Diagonalisierungsprinzip,Induktionsbeweis + heuristis he SteuerungAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he ◮ Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) ◮ Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) ◮ Beweisplanung: Domänenspezi�s hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene

    Methode2 Methode3

    Beweisverfeinerung (Expansion) über meherer Ebenen . . .Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he ◮ Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) ◮ Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) ◮ Beweisplanung: Domänenspezi�s hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene

    Methode2 Methode3Abs hliessende Veri�kationauf unterster Ebene mitBasisinferenzregelnAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he ◮ Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) ◮ Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) ◮ Beweisplanung: Domänenspezi�s hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene

    E xp

    an sio

    n

    A b

    st ra

    ct io

    n

    Abstract Proof Plan

    Assertion-level Proof

    Beweis simultan auf vers hiedenenGranularitätsstufenAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Beweiskonstruktion IIInteraktive Beweiskonstruktion ◮ Anwendung einzelner S hritte, Verwendung von automatis henProzeduren und externen Beweissystemen ◮ BeweisskizzenVerwendung von CAS ◮ Bere hnungen werden gebrau ht, aber s hle ht unterstütztdur h Logikkalküle ◮ Verwendung von externen CAS ◮ Problem: BA brau ht Beweis für die Bere hnungAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Komponenten des Ωmega Systems

    Mathematical Services

    d aV in ci

    V 2.

    1

    inst−54

    union−53

    TransitiveRelation

    inst−32

    union−31

    Relation

    union−25

    inst−26

    ReflexiveRelation

    union−55

    inst−56

    union−57

    PreOrder

    union−59

    inst−60

    PartialOrder

    union−82

    inst−83

    union−84

    inst−86

    union−85

    inst−90

    basic−89

    SigOrder

    basic−51

    union−50

    basic−49

    basic−110

    inst−111

    inst−108

    union−107

    BooleanAlgebra

    union−104

    inst−105

    union−106

    inst−130

    union−129

    ExtBooleanAlgebra

    basic−112

    basic−109

    inst−120

    union−119

    inst−121

    inst−116

    union−115

    inst−118

    union−117

    RichBooleanAlgebra

    ExtPartialOrder

    basic−87

    inst−100

    union−99

    inst−101

    inst−96

    union−95

    TotalOrder

    inst−63

    union−62

    union−92

    inst−93

    union−94

    inst−127

    union−126

    ExtTotalOrder

    basic−97

    RichTotalOrder

    union−75

    inst−76

    inst−78

    union−77

    Rat

    basic−21

    inst−20

    union−19

    Int

    basic−16

    inst−15

    union−14

    Nat

    basic−11

    union−67

    inst−68

    inst−66

    union−65

    union−72

    inst−73

    inst−71

    union−70

    inst−124

    union−123

    RichPartialOrder

    union−46

    inst−47

    EquivalenceRelation

    inst−45

    union−44

    PartialEquivalenceRelation

    inst−42

    union−41

    SymmetricRelation

    inst−29

    union−28

    union−34

    inst−35

    SimilarityRelation

    inst−37

    union−36

    inst−40

    union−39

    Development Graph

    Agent−oriented Theorem Proving

    Computation Transformation

    Retrieval Assertion

    Learning

    Developer GUI

    Task Layer

    Constraint Solver

    Mathematical RepositoriesProof

    Verbalization

    LO UI

    OA NT

    S

    MU LT

    I

    LE AR

    NO MA

    TIC

    SA PP

    ER

    MA TH

    SE RV

    CO SIE

    OA NT

    S− R

    MB AS

    E

    PR EX

    MA YA

    Knowledge−based Proof Planning

    CO RE

    PL AT

    O

    ME DIA

    TO R

    Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Graphis he Benutzers hnittstelle

    Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

  • Komponenten des Ωmega Systems

    Mathematical Services

    d aV in ci

    V 2.

    1

    inst−54

    union−53

    TransitiveRelation

    inst−32

    union−31

    Relation

    union−25

    inst−26

    ReflexiveRelation

    union−55

    inst−56

    union−57

    PreOrder

    union−59

    inst−60

    PartialOrder

    union−82

    inst−83

    union−84

    inst−86

    union−85

    inst−90

    basic−89

    SigOrder

    basic−51

    union−50

    basic−49

    basic−110

    inst−111

    inst−108

    union−107

    BooleanAlgebra

    union−104

    inst−105

    union−106

    inst−130

    union−129

    ExtBooleanAlgebra

    basic−112

    basic−109

    inst−120

    union−119

    inst−121

    inst−116

    union−115

    inst−118

    union−117

    RichBooleanAlgebra

    ExtPartialOrder

    basic−87

    inst−100

    union−99

    inst−101

    inst−96

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    TotalOrder

    inst−63

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    union−92

    in