Regul are Sprachen Der Produktautomat · Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 55, Seite 81...
13
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 51, Seite 77 im Skript) Regul¨ are Sprachen Endliche Automaten Der Produktautomat Definition Es seien M 0 = (Σ, Q 0 ,δ 0 , q 0 0 , F 0 ) und M 00 = (Σ, Q 00 ,δ 00 , q 00 0 , F 00 ) zwei DFAs. Wir definieren den Produktautomaten M = M 0 × M 00 : M = (Σ, Q 0 × Q 00 , δ, (q 0 0 , q 00 0 ), F 0 × F 00 ) mit δ((q, p), a)=(δ 0 (q, a),δ 00 (p, a)).
Transcript of Regul are Sprachen Der Produktautomat · Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 55, Seite 81...
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 51, Seite 77 im Skript)
Regulare Sprachen
Endliche Automaten
Der Produktautomat
Definition
Es seien M ′ = (Σ,Q ′, δ′, q′0,F′) und M ′′ = (Σ,Q ′′, δ′′, q′′0 ,F
′′) zweiDFAs.
Wir definieren den Produktautomaten M = M ′ ×M ′′:
M = (Σ,Q ′ × Q ′′, δ, (q′0, q′′0 ),F ′ × F ′′)
mit δ((q, p), a) = (δ′(q, a), δ′′(p, a)).
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 52, Seite 77 im Skript)
Regulare Sprachen
Endliche Automaten
Theorem
Wenn M ′ und M ′′ DFAs sind und M = M ′ ×M ′′, dannL(M) = L(M ′) ∩ L(M ′′).
Beweis.
δ((q′0, q′′0 ),w) = (δ′(q′0,w), δ′′(q′′0 ,w))
(Induktion uber |w |)und damit
w ∈ L(M)⇔ δ((q′0, q′′0 ),w) ∈ F ′ × F ′′
⇔ (δ′(q′0,w), δ′′(q′′0 ,w)) ∈ F ′ × F ′′
⇔ δ′(q′0,w) ∈ F ′ und δ′′(q′′0 ,w) ∈ F ′′
⇔ w ∈ L(M ′) und w ∈ L(M ′′).
Daher ist L(M) = L(M ′) ∩ L(M ′′).
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 53, Seite 79 im Skript)
Regulare Sprachen
Endliche Automaten
Beispiel
Konstruiere DFA fur Sprache aller w mit:
1 Es kommt 11 nicht als Unterwort in w vor.
A B C
0 0, 1
1
0
1 M1
2 Als Binarzahl ist w durch drei teilbar.
0 1 2
0 1
1
1
0
0M2
Konstruiere M1 ×M2!
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 54, Seite 80 im Skript)
Regulare Sprachen
Endliche Automaten
A B C
0 0, 1
1
0
1 M1
0
1
2
0
1
11
00
M2
A0 B0 C0
A1 B1 C1
A2 B2 C2
0 0
1
11
0 00 0
1
01
11 1
0
1 10
M1 ×M2
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 55, Seite 81 im Skript)
Regulare Sprachen
Endliche Automaten
Einige Vorteile endlicher deterministischer Automaten:
durch Computer schnell simulierbar
wenig Speicher benotigt:Tabelle fur δ (read-only), aktueller Zustand
Eingabe kann vergessen werden, nur von links nach rechtslesen
Sie konnen schon visualisiert werden
Sie konnen automatisch generiert werden (z.B. lex, egrep)
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 56, Seite 82 im Skript)
Regulare Sprachen
Nichtdeterministische endliche Automaten
Nichtdeterministische endliche Automaten (NFAs)
q0 q1 q2
0, 1
1 1M
Dies ist kein DFA!
1 Zwei Transitionen mit 1 aus q0
2 Keine Transition mit 0 aus q1
Welche Sprache soll M erkennen?
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 57, Seite 84 im Skript)
Regulare Sprachen
Nichtdeterministische endliche Automaten
Nichtdeterministische endliche Automaten (NFAs)
Definition
Ein NFA ist ein 5-Tupel M = (Q,Σ, δ, q0,F ) mit
Q Menge der Zustande
Σ Eingabealphabet
δ : Q × Σ→ 2Q Ubergangsfunktion
q0 ∈ Q Startzustand
F ⊆ Q Endzustande
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 58, Seite 85 im Skript)
Regulare Sprachen
Nichtdeterministische endliche Automaten
Definition
Sei M = (Q,Σ, δ, q0,F ) ein NFA.
δ : Q × Σ∗ → 2Q definiert durch
δ(q, ε) = {q}δ(q,wa) = {p | es gibt r ∈ δ(q,w) und p ∈ δ(r , a)}
L(M) := {w ∈ Σ∗ | δ(q0,w) ∩ F 6= ∅}
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 59, Seite 86 im Skript)
Regulare Sprachen
Nichtdeterministische endliche Automaten
Beispiel
q0 q1 q2
0, 1
1 1M
δ(q0, 0) = {q0}δ(q0, 1) = {q0, q1}δ(q0, 010110101101) = {q0, q1}δ(q0, 11111) = {q0, q1, q2}
L(M) = (0 + 1)∗11
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 60, Seite 92 im Skript)
Regulare Sprachen
Die Potenzmengenkonstruktion
Der Potenzautomat
Definition
Sei M ein NFA, M = (Q,Σ, δ, q0,F )
Der zugehorige Potenzautomat M ′ ist so aufgebaut:
M ′ = (2Q ,Σ, δ′, {q0},F ′) mit
δ′ : 2Q × Σ→ 2Q , (S , a) 7→ ⋃q∈S δ(q, a)
F ′ = {S ⊆ Q | S ∩ F 6= ∅}
Der Potenzautomat ist ein DFA!
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 61, Seite 94 im Skript)
Regulare Sprachen
Die Potenzmengenkonstruktion
Beispiel
q0 q1 q2
0, 1
1 1M
Der Potenzautomat hat die Zustande ∅, {q0}, {q1}, {q2},{q0, q1}, {q0, q2}, {q1, q2} und {q0, q1, q2} und sieht so aus:
{q0} {q0, q1} {q0, q1, q2}
0
1
0
1
1
0
M ′
Nichterreichbare Zustande weggelassen!
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 62, Seite 97 im Skript)
Regulare Sprachen
Die Potenzmengenkonstruktion
Theorem
Zu jedem NFA M gibt es einen DFA M ′ mit L(M) = L(M ′)
Beweis.
L(M) = L(M ′) fur den Potenzautomaten M ′:
M = (Q,Σ, δ, q0,F )
M ′ = (2Q ,Σ, δ′, {q0},F ′) mit
δ′ : 2Q × Σ→ 2Q , (S , a) 7→ ⋃q∈S δ(q, a)
F ′ = {S ⊆ Q | S ∩ F 6= ∅}
Induktion uber |w |: δ′({q0},w) = δ(q0,w)
Daher:
δ′({q0},w) ∈ F ′ ⇐⇒ δ(q0,w) ∩ F 6= ∅
Formale Systeme, Automaten, Prozesse (Folie 63, Seite 98 im Skript)
Regulare Sprachen
Die Potenzmengenkonstruktion
Vergleich: DFA und NFA
Vorteile eines DFA:
Effizient simulierbar
Vorteile eines NFA:
Oft kleiner als DFA
Einfacher zu entwerfen
Halbwegs effizient simulierbar
