CUESTIONES

Ejercicio 1 Explica por que el coste de invertir una matriz utilizando el algoritmo LU es de ordencubico.

Ejercicio 2 Explica por que si λ1 ě λ2 ě . . . ě λn son los valores propios de la matrix A˚A, conA P Cmˆn y m ě n, entonces los valores singulares de A son

?λ1 ě

?λ2 ě . . . ě

?λn.

Ejercicio 3 Explica por que la norma espectral de una matriz es su mayor valor singular.

Ejercicio 4 Explica por que el inverso del numero de condicion de una matriz invertible A P Fnˆn,respecto a la norma espectral, nos da una medida de la distancia relativa de dicha matriz al conjun-to de las matrices singulares. ¿Puede haber matrices con determinante 1 y cuya distancia relativaal conjunto de matrices sea, digamos, 10´10? ¿Y al reves: matrices cuya distancia relativa al con-junto de matrices singulares sea maxima y su determinante sea 10´10? Explıcalo y da ejemplos ocontraejemplos.

Ejercicio 5 Explica por que las proyecciones ortogonales n ˆ n de rango r tienen la forma QQ˚

siendo Q P Fnˆr una matriz cuyas columnas son ortonormales ¿A que distancia, medida en la normaespectral, esta la matriz In del conjunto de las proyecciones ortogonales n ˆ n de rango r? ¿Puedehaber alguna otra matriz nˆ n de rango r a una distancia menor de In?

Ejercicio 6 Explica por que el algoritmo de reflexiones de Householder no es estable hacia atraspara el problema de calcular matrices Q (unitaria) y R (triangular superior) tales que A “ QR paracada matriz dada A P Cmˆn. ¿En que sentido se dice, entonces, que dicho algoritmo es estable haciaatras para el calculo de la factorizacion QR de las matrices A P Cmˆn?

Ejercicio 7 Sea A P Cnˆn una matriz diagonalizable. Una condicion suficiente para que el metodode las potencias converja con casi cualquier vector inicial es que A tenga un valor propio dominanteen modulo. Si esta condicion no se cumple y |λ1| “ |λ2| ą |λ3| ě ¨ ¨ ¨ ě |λn|, es muy diferente queλ1 “ λ2 o que λ1 ‰ λ2. En el primer caso, el metodo de las potencias todavıa converge (con casicualquier vector inicial) y en el segundo no. Explica por que.

Ejercicio 8 Explica por que la implementacion de una iteracion del algoritmo QR para el calculode los valores propios de una matriz dada A P Fnˆn con desplazamiento explıcito σ “ Apn, nqequivale a una iteracion del algoritmo de Rayleigh (por filas) con vector inicial x0 “ en y residuor “ Apn, 1 : n´ 1q.

PROBLEMAS

Problema 1 .- (a) Demuestra la formula de Sherman-Morrison: Si A P Rnˆn es invertible y u, v PRnˆ1 entonces pA` uvT q es invertible si y solo si 1` vTA´1u ‰ 0 y en tal caso:

pA` uvT q´1“ A´1

´ pA´1uvTA´1q{p1` vTA´1uq.

1

(b) Supongamos que A P Rnˆn es una matriz triangular superior e invertible y que usamos elalgoritmo de sustitucion hacia atras para resolver el sistema Ax “ b con cualquier vectorb P Rnˆ1. Sean u, v P Rnˆ1 vectores cualesquiera. Muestra como conseguir un algoritmo pararesolver los sistemas de la forma By “ c con B “ A ` uvT con un coste maximo de 2n2 ` 6nflops.

Problema 2 Sea A “ Diagpa1, . . . , anq una matriz compleja diagonal. Demuestra que para cualquiernorma de matriz inducida por una norma de vector `p se tiene que

}A} “ max1ďiďn

|ai|

Problema 3 .- Supongamos que ‖ ¨ ‖ es una norma en Fn (F “ R o C). Se define la norma dual de‖ ¨ ‖ como ‖ x ‖1“ sup‖y‖“1 |y

˚x|.

(a) ¿Cual es la norma dual de la norma euclıdea? ¿Y de la norma `8?

(b) Prueba que si x, y P Fn entonces }xy˚}2 “ }xy˚}F “ }x}2}y}2

(c) Sean x, y P Fn vectores dados tales que }x}2 “ }y}2 “ 1. Prueba que existe una matriz B derango 1 que cumple Bx “ y y }B}2 “ 1, siendo }B}2 la norma espectral de B.

Problema 4 Sea A P Fnˆn (F cualquier cuerpo) y σ1 ě σ2 ě ¨ ¨ ¨ ě σn sus valores singulares. Sedefine el radio espectral de A como

ρpAq “ maxt|λ| : λ es un valor propio de Au

1. Demuestra que para cualquier norma de matriz } ¨ }, ρpAq ď }A} y que σ1 ě ρpAq.

2. Supongamos que A “ xy˚ para algunos vectores x, y P Cnˆ1. Calcula ρpAq y σ1. (Para calcularρpAq halla todos los valores propios de A usando la definicion: Av “ λv ) ¿A que famosapropiedad equivale la desigualdad σ1 ě ρpAq en este caso?.

Problema 5 .- Sea A P Fmˆn. Demuestra que σ1 ě σ2 ě ¨ ¨ ¨ ě σp (p “ mıntm,nu) son los valoressingulares de A si y solo si los valores propios de la matriz

„

0 AA˚ 0

son σ1 ě ¨ ¨ ¨ ě σp ě 0 “ ¨ ¨ ¨ “ 0 ě ´σp ě ¨ ¨ ¨ ě ´σ1

( m+n-2p veces )

.

Problema 6 .- Demuestra que si A P Fmˆn (F “ R o C) entonces A: es la mejor aproximacion a lainversa de A en el sentido de los mınimos cuadrados. Es decir,

mınXPFnˆm

‖ Im ´ AX ‖F“‖ Im ´ AA: ‖F

Problema 7 .- Demuestra las siguientes propiedades de la inversa Moore-Penrose de una matrizarbitraria A P Cmˆn: A:AA: “ A: y AA: “ pAA:q˚.

2

Problema 8 Supongamos que A es una matriz invertible 202 ˆ 202 y que }A}2 “ 100 y }A}F “101. Obten la mayor cota inferior posible del numero de condicion de A en la norma espectral.Formalmente, se trata de calcular:

ınftκ2pAq P R : A P Gl202pFq, }A}2 “ 100 y }A}F “ 101u

Problema 9 .- Sea A P Fmˆn con m ą n y sea y P Fm (F “ R o C). Definamos B ““

A y‰

P

Fmˆpn`1q. Demuestra que σ1pBq ě σ1pAq y σn`1pBq ď σnpAq .¿Que implicacion tiene este resultadosobre los numeros de condicion de A y B respecto de la norma espectral?.

Problema 10 .- En este problema la norma de vector que aparece puede ser cualquiera y la dematriz, la inducida. Dado el sistema Ax “ b, A P Fnˆn invertible y b P Fnˆ1 (F “ R o C) consideremosel sistema perturbado pA` δAqpx` δxq “ b y supongamos que }A´1}}δA} ă 1.

(a) Demuestra que si A es no singular entonces A` δA es no singular.

(b) Prueba que}δx}

}x}ď

}A´1 ¨ pδAq}

1´ }A´1 ¨ pδAq}.

(c) Usa el numero de condicion de A, κpAq, para probar:}δx}

}x}ď

κpAq}δA}

}A}

1´ κpAq}δA}

}A}

.

(d) Deduce de (c) que el numero de condicion del problema de calcular la solucion del sistemaAx “ b respecto de A (para b fijo) es menor o igual que κpAq.

Problema 11 Calcula el numero de condicion respecto a la norma infinito del siguiente problemaen funcion del dato d: calcular x, y tal que

"

x` dy “ 1dx` y “ 0

Problema 12 Suponiendo que x, y son numeros del sistema en punto flotante F ¿Como se puedenescribir las siguientes expresiones de forma equivalente para evitar cancelacion catastrofica?

1.?x` 1´ 1, x « 0.

2. senpxq ´ senpyq, x « y.

3. p1´ cospxqq{ senpxq, x « 0.

Problema 13 Da una respuesta razonada a la siguiente cuestion suponiendo que x, y son numerosdel sistema en punto flotante F: Si x « y y se quiere calcular x2 ´ y2 ¿como es mas preciso hacerlo:como x2 ´ y2 ( es decir, calculando los cuadrados de x y de y y restando los resultados) o comopx ´ yqpx ` yq? (Observa que este calculo aparece siempre que se hace el cuadrado de un numerocomplejo). La explicacion debe incluir una estimacion del error relativo del resultado para cadauna de las dos formas de operar.

3

Problema 14 Cada uno de los siguientes problemas describe un algoritmo implementado en unordenador que cumple los axiomas de la aritmetica en coma flotante. Determina, para cada uno deellos, si es estable hacia atras, estable pero no estable hacia atras o inestable:

1. Dato: x P R. Resultado: x2 calculado como xb x.

2. Dato: x P Rzt0u. Resultado: 1 calculado como xc x.

Problema 15 .- Demuestra que P P Fnˆn es una proyeccion si y solo si es diagonalizable y susvalores propios son 0 o 1. Concluye de aquı que rangP “ trP .

Problema 16 .- Sean F P Cnˆn una reflexion de Householder. ¿Cuales son los valores propios, eldeterminante y los valores singulares de F? Para los valores propios, ademas de una prueba algebraica,da una interpretacion geometrica del resultado.

Problema 17 .- El siguiente algoritmo es un intento de calcular la factorizacion QR de una matrizA P Rmˆn usando rotaciones de Givens:

for j= 1:n

for i=j+1:m

G=givrot(A(i-1,j),A(i,j))

A(i-1:i,j:m)=G A(i-1:i,j:m)

end

end

donde givrot(a,b) usa Op1q operaciones para calcular la matriz ortogonal G “

„

cos θ sen θ´ sen θ cos θ

tal

que

G

„

ab

“

„?a2 ` b2

0

(a) Hay un error en el algoritmo. Explica cual es el error y como corregirlo.

(b) Calcula el numero de operaciones (solo el termino principal) del algoritmo (original o corregido,da igual).

Problema 18 .- Sea A P Rnˆn de rango 1. Demuestra que hay una matriz de Householder H P Rnˆn

tal que HA “ R es una matriz triangular superior. Como consecuencia da un algoritmo de costeOpn2q para calcular la factorizacion QR de las matrices de rango 1.

Problema 19 Sea H P Fnˆn una matriz en forma Hessenberg superior. Da un algoritmo de costeOpn2q, a lo mas, para calcular la factorizacion QR de H.

Problema 20 .- (a) Prueba que si A P Fmˆn (F “ R o C) y rangA “ n ď m entonces la proyeccionortogonal sobre ImA es ApA˚Aq´1A˚. Prueba, ademas, que A: es la inversa Moore-Penrose de A siy solo si A: “ pA˚Aq´1A˚ y, en consecuencia, tambien AA: es la proyeccion ortogonal sobre ImA.

(b) Deduce de (a) y de la teorıa sobre la solucion del problema de mınimos cuadrados que para lamatriz A dada, la solucion del problema de mınimos cuadrados mınxPFn }Ax´ b}2 es x0 “ A:b.

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Problema 21 .- Consideremos el problema de mınimos cuadrados mınxPFn

}Ax ´ b}2 con A P Fmˆn y

rangA “ n ď m. Sea“

A b‰

“ QR la factorizacion QR obtenida mediante el algoritmo modificadode Gram-Schmidt. Sea S “ Rp1 : n, 1 : nq y c “ Rp1 : n, n ` 1q. Demuestra que la solucion delproblema de mınimos cuadrados es x0 “ S´1c. Explica por que esta forma de calcular la soluciondel problema de mınimos cuadrados es potencialmente mas precisa que hacerlo usando el algoritmomodificado de Gram-Schmidt “vıa factorizacion QR”.

Problema 22 .- Consideremos el problema de mınimos cuadrados mınxPFn

}Ax´ b}2 y supongamos que

A P Fmˆn es fija y de rango completo n. Para cada b P Fmˆ1, la solucion del problema es unica.

Demuestra que el numero de condicion de x respecto de b, en la norma eucıdea, esκ2pAq

η cos θsiendo

cos θ “}Ax}2}b}2

y η “}A}2 }x}2}Ax}2

.

Problema 23 Consideremos el problema de mınimos cuadrados mınxPFn

}Ax´ b}2 con m “ n “ rangA

y supongamos que b P Fmˆ1 es fijo. Explica por que el numero de condicion de y respecto de A escero.

Problema 24 .- Sea A P Cnˆn, λ1, . . . , λk valores propios de A y, para i “ 1, . . . , k, sea vi unvector propio asociado al valor propio λi. Supongamos que v1,. . . , vk son linealmente independientes.Prueba que hay una base ortonormal, tq1, . . . , qku de ă v1, . . . , vk ą tal que si Q “

“

q1 q2 ¨ ¨ ¨ qk‰

entonces B “ Q˚AQ es triangular superior con λ1, . . . , λk en la diagonal principal.

Problema 25 .- Sea A P Cnˆn, x P Cn un vector unitario, µ P C y r “ Ax ´ µx. Demuestra queexiste una matriz E P Cnˆn de rango 1 y ‖ E ‖F“ }r}2 tal que A ` E tiene µ como valor propio yx como vector propio asociado. ¿Por que se usa la condicion }r} ď ε ¨ }A}F o iterąitermax comocriterio para terminar el algoritmo del metodo de las potencias?

Problema 26 .- Sea A “ raijs P C nˆn con λ1, . . . , λn como valores propios y s1 ě . . . ě sn comovalores singulares.

(a) Demuestra que A es normal si y solo si }A}2F “nř

i“1

| λi |2.

(b) Demuestra, como consecuencia de (a), que A es normal si y solo si si “ |λi| para i “ 1, . . . , n.

Problema 27 .- Para este problema ΛpAq es la secuencia de valores propios incluyendo, si los hay,valores propios repetidos. Demuestra que

ınfX no singular

‖ X´1AX ‖2F“

ÿ

λPΛpAq

|λ|2

y que este ınfimo se alcanza para alguna X si y solo si A es diagonalizable.

Problema 28 .- Supongamos que H P Fnˆn es una matriz Hessenberg superior con detH ‰ 0.Demuestra que las matrices tHkuk“0,1,... (H0 “ H) que se obtienen al aplicar el algoritmo QR sindesplazamiento a H son todas Hessenberg superior.

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