UNIVERSITE DE LILLE 1 - SCIENCES ET TECHNOLOGIESLicence 3 Mécanique - Parcours GMMécanique des fluides appliquée - travaux dirigés

Corrigé du TD n̊ 3 : Couche limite

Exercice 1 : Traînée d’une plaque plane

Q1) Pour la plaque entière le nombre de Reynolds est

RL =V L

ν=

6 · 3010−6

= 1, 8 · 108.

Le coefficient de frottement (couche limite turbulente avec RL > 107) moyen est

Cx = 0, 455(log10RL)−2,58 =

0, 455

(log10RL)2,58=

0, 455

231, 8= 1, 965 · 10−3.

Aire d’une face de la plaque : S = 3 · 30 = 90 m2.

Force s’exerçant sur une face :

F = CxρSV 2

2= 1965 · 10−3 · 90 · 1000 · 36

2= 3180 N.

Q2) Si le nombre critique de transition correspond à R = 5 · 105, la position de la ligne de transition estsituée à la distance x du bord d’attaque telle que :

Rx =V x

ν= 5 · 105,

et donc elle est

x =Rx ν

V=

5 · 105

6 · 106= 0, 083 m� 3 m.

On pourra négliger en première approximation l’influence particulière du frottement dans la couche limitelaminaire de sorte que si on calcule le coefficient Cx pour les 3 premiers mètres de plaque on a :

RL′ =V L′

ν=

6 · 310−6

= 1, 8 · 107.

Cx = 0, 455(log10RL′)−2,58 =0, 455

166= 2, 74 · 10−3.

Force de frottement sur S′ = 9 m2 :

F = CxS′ ρV

2

2= 2, 74 · 10−3 · 9 · 1000 · 36

2= 2, 74 · 16, 2 = 444 N.

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Exercice 2 : Remorquage d’une conduite immergée

On peut considérer cette tuyauterie comme une plaque le long de laquelle se développe une couche limite ;c’est en effet à cette couche limite qu’est dû l’essentiel de la force de remorquage.Le coefficient de frottement moyen correspondant à la formation de cette couche limite peut être fourni,lorsque le nombre de Reynolds relatif à la longueur de la plaque est supérieur à 107, par l’expression

Cx = 0, 455(log10RL)−2,58

et l’effort de traînée est F = CxSρV 2

2où S est la surface frottante.

Q1) Si la tuyauterie est d’un seul tenant, le nombre de Reynolds a pour valeur :

R1 =V L1

ν=

2 · 31, 2

109 = 5 · 109,

d’où, vu que R1 > 107,Cx1 = 0, 455(log10R1)

−2,58 = 1, 28 · 10−3

et,

F1 = Cx1SρV 2

2= 5, 4 kN

en utilisant la valeur de la surface frottante S = πdL = π·0, 22·3·103 ' 2073m2. La puissance correspondantesera

W1 = F1V = 5400 · 2 = 10, 8 kW.

Q2) Si la couche limite est détruite tous les 75 m, une nouvelle couche se développera sur chaque tronçon etle coefficient de frottement moyen s’en trouvera augmenté.La nouvelle valeur du nombre de Reynolds est pour chaque tronçon (avec L2 = 75 m) :

R2 =V L2

ν= 1, 25 · 108

ce qui justifie (R2 > 107) l’application de la même formule pour le calcul de Cx. On trouve :

Cx2 = 2, 08 · 10−3

d’où, pour l’ensemble de la conduite :F2 = nf2 = 8, 8 kN.

Dans l’expression précédente n = 40 est le nombre de tronçons et

f2 = Cx2S2ρV 2

2= 2, 08 · 10−3 · 52 · 1025 · 4

2' 213, 2 N

est la force de frottement sur chaque tronçon, avec S2 = πdL2 ' 52 m2.Dans ce cas la puissance totale nécessaire est :

W2 = F2V = 17, 6 kW

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