Copia de Triggeotodox

Medidas Angulares

Suponemos conocidas las medidas de los angulos y su relacion con los arcos queprovienen de la geometra elemental.

La medida de un angulo AOB, (g 1) es, la cantidad de rotacion que efectuael lado OA, al girar en torno a O, hasta coincidir con el otro lado OB del angulo. Estamedida sera un numero positivo si la rotacion se efectua en el sentido contrario de lospunteros de un reloj y negativa en el caso contrario.

Figura 1

En este curso consideraremos dos sistemas de medidas angulares.

Sistema Sexagesimal

La unidad de medida es el grado, se denota por 1o y se dene por la parte que resultade dividir una circunferencia completa en 360 partes iguales, es decir

1 =1 circunferencia

360

analogamente, un minuto que se denota por 1, se dene por:

1 =1

60

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y un segundo, 1, se dene por

1 =1

60

Notemos que de estas tres relaciones, se obtiene que: 1 = 60, 1 = 60 y 1 = 3600

tambien que 1 angulo recto = 90

Sistema Radianico

La unidad de medida es el radian, se denota por 1 rad. y se dene por aquel angulo quesubtiende, en cualquier circunferencia, un arco de longitud igual a su radio, es decir

1 rad =AB

r AB = r

Figura 2

Notemos que esta forma de medir angulos mediante una razon de longitudes (longituddel arco dividido por longitud del radio) nos proporciona, para la medida de un angulo,un numero abstracto y no un numero concreto en el sentido fsico. Por eso se dice quela medida de angulos en radianes es matematica: es la razon de magnitudes de la mismadimension fsica.

De estas notas, podemos establecer las equivalencias:

360 = 2 rad180 = rad

90 =

2rad.

1 rad =

(180

)= 57 17 44, 8

Formula que relaciona ambos sistemas de medida

180=

rad

Nota: Es conveniente notar que hoy en da las calculadoras tienen la conversion au-tomatica de angulos dados en un sistema a angulos en el otro sistema.

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Razones Trigonometricas en elTriangulo Rectangulo

En este captulo el angulo que aparezca debe satisfacer:

0 < < 90 o 0 < 0, : 0 < < 2

2. Como la hipotenusa es siempre mayor que cada uno de sus catetos, resulta

0 < sen < 1

0 < cos < 1

sec > 1 y cosec > 1

3. Sabemos que el complemento de un angulo es aquel angulo que completa a 90 o a/2 as el complemento de es

(2 )

4. Se acostumbra a decir que la funcion coseno es la cofuncion del seno y viceversa,quela funcion cotangente es la cofuncion de la tangente y viceversa y que la cosecante esla cofuncion de la secante y viceversa. La relacion entre una funcion y su cofuncionesta dada por:

funcion () = cofuncion(2

)De la siguiente gura (Figura 6) se tiene

Figura 6

sen = cos(2

)cos = sen

(2

)tg = cotg

(2

)cotg = tg

(2

)sec = cosec

(2

)cosec = sec

(2

)

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Razones de angulos especiales

Vamos a llamar angulos especiales a 30,45 y 60.

Para ver las razones trigonometricas de 30 y 60 tomemos un triangulo equilatero delado (l = 2)

Figura 6

sen 30 =1

2= cos 60 cos 30 =

3

2= sen 60

tg 30 =13

= cotg 60 cotg 30 =3 = tg 60

sec 30 =23

= cosec 60 cosec 30 =2

1= sec 60

Para 45, considere el triangulo notable:

Figura 6

sen 45 =12

= cos 45

tg 45 = 1 = cotg 45

sec 45 =2 = cosec 45

Casos lmitesLlamamos casos lmites a los angulos: 0 y 90

Figura 7

Con la Figura 7 y recordando las deniciones de las razonestrigonometricas, en forma intuitiva, podemos asumir que para

sen =PQ

OQ; para tan pequeno como se quiera OQ = 0PQ

se achica tanto como se quiera, es decir sen 0 = 0. Con elmismo razonamiento obtenemos cos 0 = 1, tg 0 = 0 ysec 0 = 1.

Notemos que para el caso de la tangente tg =PQ

OPy aproximandose a 90 tanto co-

mo se quiera PQ, crece indenidamente mientras que OP se mantiene constante, es poresto que se acostumbra a expresar que: tg 90 = + o bien que tg 90 no esta denida.Aceptemos ahora sin previa denicion rigurosa + simplemente como un smbolo, esdecir una abreviatura de lenguaje.

Sin mas, aceptemos las siguientes deniciones

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sen 90 = sen

2= 1 sec 90 = sec

2= +

cos 90 = cos

2= 0 cotg 90 = cotg

2= 0

tg 90 = tg

2= + cosec 90 = cosec

2= 1

2.5. Identidades fundamentales

Recordemos que una identidad matematica es una igualdad que siempre es valida, paratodos los valores que puedan tomar las variablesinvolucradas.

Ejemplo.x2 y2 = (x + y)(x y); x, y R

Teorema 1. : 0 < < 90, se verican:

sen2 + cos2 = 1 (1) 1 + tg2 = sec2 (2)

1 + cotg2 = cosec2 (3) sen cosec = 1 (4)

cos sec = 1 (5) tg cotg = 1 (6)

tg =sen

cos (7) cotg =

cos

sen(8)

Nota:

sen2 = (sen)2, sen2 = sen2 = sen (2)cos2 = (cos )2 etc.

Demostracion.

Dado el angulo , en el triangulo rectangulo de la Figura 8.

Figura 8

Del teorema de Pitagoras se tiene que

a2 + b2 = c2 como c > 0(ac

)2+

(b

c

)2= 1

(sen )2 + (cos )2 = 1 lo que es igual a

sen2 + cos2 = 1

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Analogamente ud. puede demostrar: (2) y (3).

Para (4)

sen =a

c=

1ca

peroc

a= cosec

as sen =1

cosec sen cosec = 1.

Analogamente ud. puede demostrar: (5) y (6).

Finalmente para (7)

tg =a

b=

acbc

; c > 0

tg =sen

cos

Analogamente ud. puede demostrar (8).

2.6. Expresion de cada razon en terminos de las demas

Las 8 relaciones (formulas) fundamentales no son independientes, es decir, hay algunasque pueden deducirse de las demas.

Por ejemplo: cotg =1

tg =

1sencos

=cos

sen.

Vamos a dar un metodo geometrico para establecer cada una de las razones trigonometri-cas en terminos de las demas.

El metodo consiste en tomar como unidad el lado del triangulo rectangulo que aparececomo denominador en la razon en terminos de la cual se quiere expresar una razon deter-minada. Por ejemplo:

Formulas en termino de la razon sen =sen

1. Sea el triangulo con hipotenusa = 1, as:

cos =1 sen2 tg = sen

1 sen2

cotg =

1 sen2 sen

sec =1

1 sen2 cosec =

1

sen

El resto de las formulas, quedan de tarea para ud.www.Matematica1.com

2.7. Ejercicios resueltos

1. Si 3 tg = sec con 0 < 2. Hallar los valores de: cotg , cos , cotg(

2 ) y

el valor de la expresion (tg + sec )2 2

Solucion.

[0, 2], 3tg = sec 3 sen

cos =

1

cos sen = 1

3. Note que cos = 0 si

sen =1

3

De la gura:

cotg =8, cos =

8

3

cotg(2

)= tg =

18

(tg + sec )2 2 =(

18+

38

)2 2 =

(48

)2 2 = 0

2. Si p cos = q sen, p q > 0, 0 < < 90, calcule el valor de: p2sen2 q2 cos2

Solucion.

p cos = q sen sencos

=p

qpues p y q son positivos y 0 < < 90, luego de

aqu que tg =p

q,

sen =p

p2 + q2, cos =

qp2 + q2

,entonces

p2sen2 q2cos2 = p2 p2

p2 + q2 q2 q

2

p2 + q2

=p4 q4p2 + q2

=(p2 q2)(p2 + q2)

p2 + q2= p2 q2

3. En un triangulo ABC, si la hipotenusa mide BC = 140m y = 70. Se prolongaBC hasta D y el angulo ADB = 10. Encuentre CD y la perpendicular desde A allado BC.

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Se pide EA y CD

De la gura se tiene

BA = 140 cos 70 = 47,88m

BE = BA cos 70 BE = 47,88 cos 70 = 16,38mEC = 140 16,38 = 123,62mEA = BA sen 70 = 47,88 sen 70 = 44,99m.

por otra parte tg 10 =EA

EC + CD

CD =EA

tg 10 EC CD = 44,99

tg 10 123,62

CD = 131,53m.

4. Desde la cuspide de un faro, de 90m de altura, se observan dos botes situados aloeste del faro segun angulos de depresion de 60 y 45. Calcular la distancia quesepara a los botes.

Solucion.

Sean A y B las posiciones de los botes, queremos determinar x.

tg 60 =90

y y = 90

tg 60

tg 45 =90

x + y x + y = 90

x = 90 90tg 60

= 90(1 cotg 60) = 38,03m

5. Dos poleas estan separadas a una distancia l, desde sus ejes. Cual es la longitud deuna correa inextensible teorica que debe transmitir el movimiento de una a la otra

en el mismo sentido, si los radios de las poleas son1

10l y

3

5l?

Solucion.

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sen =(35 1

10) l

l=

1

2 =

6 =

3

!

!

La longitud L de la correa esta dada por

L = AA + BB + AB + BA

Por simetra, AA = BB = l cos

6=

3

2l

BA = 2 1

10l = 2

3 110

l =

15

AB = 23

5l BA = 2 3

5l 2

3 35l =

4

5 l

luegoL = 2 3

2l +

15l +

4

5 l = (

3 +

13

15) l

6. Si a cos2 + b sen2 = c demostrar que

tg2 =c ab c

Demostracion.

Como sen2 + cos2 = 1

a cos2 + b sen2 = c(sen2 + cos2)

(b c)sen2 = (c a) cos2 sen2

cos2 =

c ab c

tg2 =c ab c

7. El seno de un angulo es a su tangente como 3 : 5. Hallar el seno y la cotangente delangulo

Solucion.

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Sea el angulo en cuestion, assen

tg =

3

5 cos = 3

5

sen =4

5

cotg =3

4

8. Un hombre esta de pie en un punto A de la ribera de un ro de orillas paralelasy observa que la recta que une A con un punto B de la ribera opuesta forma unangulo de 30 con la orilla en la que el se encuentra.El hombre camina por la orillahacia un punto D, que se encuentra al frente de B. Cuando ha caminado 200m elangulo que vio anteriormente ha aumentado a 60. Determine el ancho del ro.

Solucion.

Sean AC = 200m, CD = y, BD = x

tg 60 =x

y y = x

tg 60

tg 30 =x

200 + y y = x

tg 30 200

De estas dos ecuaciones se obtiene quex

tg 60=

x

tg 30 200

x = 1003m.

Calcule ud. el nuevo ancho si el angulo aumenta hasta 120

Resp: x = 86,6m

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9. La elevacion de un faro desde un lugar A al sur de el es 45 y desde un lugar B aloeste de A es de 30. Si AB = 50m. Hallar la altura de dicho faro.

Solucion.

tg 45 =h

y y = h

tg 30 =h

x x =

3h pero como 502 + y2 = x2

502 + h2 = 3h2 h = 502

de dondeh = 35,35m

10. Demostrar las siguientes identidades

a)cosec

1 + cosec 1

sen 1 = 2sec2

b)tg cotg 1 2 cos2 = tg + cotg

c)sen

1 + cos + cotg = cosec

d)sec + 1

sec 1 sec 1sec + 1

4cotg2 = 41 + sec

e)1 + tg2

1 + cotg2 =

(1 tg

1 cotg )2

f )1 sen cos

cos (sec cosec ) sen2 cos2 sen3 + cos3

= sen

g) 2sec2 sec4 2cosec2 + cosec4 = cotg4 tg4

h)1

1 + sen2 +

1

1 + cosec2 = cosec4 cotg2 (2 + cotg2 )

i)sen6 cos6 sen2 cos2 + sen

2 cos2 = 1

j )tg3

1 + tg2 +

cotg3

1 + cotg2 = sec cosec 2sen cos

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Nota: Es recomendable transformar uno de los miembros de la tesis hasta llegaral otro miembro, o bien ambos, hasta llegar a una misma expresion. No esrecomendable pasar expresiones de un miembro a otro pues es posible cometererror, cuando las implicaciones son de un solo sentido y no de equivalencia. Encaso que ud. este seguro, puede proceder como estime conveniente.

Demostraciones

a)

cosec

1 + cosec 1

sen 1 =1

sen x

1 + 1sen x

1sen 1

=1

sen xsenx+1sen x

1sen 1

=1

sen + 1 1

sen 1=

sen 1 (sen + 1)sen2 1

=2

(1 sen2 )=

2

cos2

= 2 sec2

b)

tg cotg 1 2cos2 =

sencos

cossen

sen2 cos2

=sen2cos2cos sen

sen2 cos2 =

1

cos sen

=sen2 + cos2

cos sen=

sen2

cos sen +cos2

cos sen=

sen

cos +

cos

sen

= tg + cotg

c)

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sen

1 + cos + cotg =

sen

1 + cos +

cos

sen

=sen2 + cos + cos2

(1 + cos )sen

=1 + cos

(1 + cos )sen

=1

sen

= cosec

d)

sec + 1

sec 1 sec 1sec + 1

4cotg2 = (sec + 1)2 (sec 1)2

(sec 1)(sec + 1) 4cotg2

= sec2 +2sec +1sec2+2sec 1

sec2 1 4cotg2

=4sec

sec2 1 4

tg2

=4sec 4sec2 1

=4(sec 1)

(sec 1)(sec + 1)=

4

sec + 1

e) (1 tg

1 cotg )2

=1 2tg + tg2

1 2cotg + cotg2

=sec2 2tg

cosec2 2cotg

=

1

cos2 2sen

cos 1

sen2 2cos

sen

=

(1 2 sen cos)cos2

(1 2cos sen)sen2

=

1

cos2 1

sen2

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=sec2

cosec2

=1 + tg2

1 + cotg2

f )

1 sen cos cos (sec cosec )

sen2 cos2 sen3 + cos3

=

(1 sen cos)(sen cos)(sen + cos )cos

(1

cos 1

sen

) (sen + cos )(sen2 sen cos + cos2 ) =(1 sen cos )(sen cos )

(sencos )sen

(1 sen cos ) = sen.

g)

2 sec2 sec4 2 cosec2 + cosec4 =sec2(2 sec2 ) cosec2(2 cosec2 ) =sec2 (1 tg2) cosec2(1 cotg2 ) =(1 + tg2 )(1 tg2 ) (1 cotg2 )(1 cotg2 ) =1 tg4 (1 cotg4 ) =cotg4 tg4

h)

1

1 + sen2 +

1

1 + cosec2 =

1

1 + sen2 +

sen2

1 + sen2 = 1

por otra parte:

cosec4 cotg2 (2 + cotg2 ) = cosec4 cotg2 (1 + cosec2 )

= cosec4 (cosec2 1)(cosec2 + 1)

= cosec4 cosec4 + 1 = 1

i)

sen6 cos6 sen2 cos2 + sen

2 cos2 =

=(sen2 cos2 )(sen4 + sen2 cos2 + cos4 )

sen2 cos2 + sen2 cos2

= (sen2 + cos2 )2 sen2 cos2 + sen2 cos2 = 1

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j )

tg3

1 + tg2 +

cotg3

1 + cotg2 =

tg3

sec2 +

cotg3

cosec2

=sen3

cos3 cos2 + cos

3

sen3 sen2

=sen3

cos +

cos3

sen

=sen4 + cos4

sen cos

=(sen2 + cos2 )2 2sen2 cos2

sen cos

=1

sen cos 2sen cos

= cosec sec 2sen cos

11. Si 2 (cotg2 cotg2 ) = cotg2 cosec2 demuestre que sen2 = cos2 + sen2

Demostracion.

2

(cos2

sen2 cos

2

sen2

)=

cos2

sen2 1sen2

2 cos2 sen2 2 cos2 sen2 = cos2

2 cos2 (1 cos2 ) 2cos2 sen2 = cos2

2 cos2 cos2 cos2 2cos2 sen2 = cos2

2(1 sen2 ) 2cos2 (cos2 + sen2 ) = 1 sen2

2 2sen2 cos2 = 1 sen2

1 2cos2 = sen2

sen2 cos2 = sen2 sen2 = cos2 + sen2

12. Si cotg =1 a cos a sen

y cotg =1 b cos b sen

demuestre que a sen = b sen

Demostracion.

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cotg =1

a sen cotg

cotg =1

b sen cotg

De aqu cotg + cotg =1

a sen =

1

b sende donde: b sen = a sen

13. Demuestre que A es independiente de , es decir es una constante

A =sec4 + 2tg4 2tg2 1

5 tg4

Demostracion.

A =2tg4 + sec4 2(sec2 1) 1

5 tg4

A =2tg4 + sec4 2sec2 + 1

5tg4 =

2tg4 + (sec2 1)25tg4

A =2tg4 + tg4

5tg4 =

3tg4

5tg4 =

3

5

14. Elimnese entre las ecuaciones

cos2 sen2 = a

cos + sen = b

Solucion.

(cos + sen )(cos sen ) = a

de aqu cos sen = ab

(1)

y como: cos + sen = b (2)

elevando al cuadrado (1) y (2) y luego sumando miembro a miembro se obtiene:

2(cos2 + sen2 ) =a2

b2+ b2

2 = a2

b2+ b2 2b2 = a2 + b4

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15. Resolver las siguientes ecuaciones considerando 0 x 2

a) tgx cotgx = cosecxb) sen4x + cos4x =

1

2

c) (1 + cotgx)(senx cosx)2 = 1 cotgxd) 2 cos3x + sen2x 1 = 0

Solucion.

Note que solo consideraremos: 0 x 2

a)

senx

cosx cosx

senx=

1

senx; x = 0 x =

2

sen2x cos2x = cosx

2cos2x + cosx 1 = 0, ecuacion de 2o grado para cosx

as cosx =11 + 8

4

121

cosx = 1 es imposible pues 0 x 2

cosx =1

2 x =

3.

b)

sen4x + cos4x =1

2

(sen2x + cos2x)2 2sen2x cos2x = 12

2sen2x cos2x =1

2

sen2x(1 sen2x) = 14

4sen4x 4sen2x + 1 = 0(2sen2x 1)2 = 0 sen2x = 1

2 senx = 1

2

solo se considera sen x =12

pues: 0 x 2

as x =

4

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c) (1 + cotgx)(sen2x 2 senx cosx + cos2x) = 1 cotgx

(1 + cotgx)(1 2senx cosx) = 1 cotgx

1 2senx cosx + cotgx 2cos2x = 1 cotgxcosx(senx + 1senx

cosx) = 0

cosx = 0 o sen2x + 1 senx cosx = 0 x = 2

o cosx(cosx senx) = 0

cosx senx = 0 senx = cosx

tgx = 1 x = 4

d) 2cos3x + sen2x 1 = 0

2cos3x (1 sen2x) = 0

2 cos3x cos2x = 0 cos2x(2 cosx 1) = 0

cos2x = 0 o 2cosx 1 = 0

cosx = 0 o cosx =1

2

x =

2x =

3

16. Demostrartgx + secx 1tgx secx + 1 =

sen + 1

cosxy use esta identidad para resolver la ecuacion

tgx + secx 1 = 1(senx 1 + cosx)

Demostracion.

tgx + secx 1tgx secx + 1 =

senx cosx + 1senx + cosx 1 =

senx + 1

cosx

(1 cosx1+senx

)

(1 + senx1cosx

)

pero:

1 cosx1 + senx

= 1 cos2x

(1 + senx)cosx= 1 1 senx

cosx

= 1 +senx 1

cosx

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Solucion de la ecuacion

2(senx 1 + cosx)tgx secx + 1 =

senx + 1

cosx

2(senx 1 + cosx) cosxsenx 1 + cosx =

senx + 1

cosx

2 cos2x = senx + 1

(1 + senx)(2(1 senx) 1) = 0

(1 + senx)(1 2senx) = 0 1 + senx = 0

1 2senx = 0

senx = 1 no da solucion pues 0 x 2

senx =1

2 x =

6

17. Resolver, considerando x un angulo agudo

i)2 tg2x

tg2x + 1 4

3

secx= 2(1

3)

ii) cotgx3cotgx + 1 = 3

Solucion.

i)

2tg2x

sec2x 4

3

secx2(1

3)

2sen2x (43)cosx 2(13) = 0

2cos2x + (43)cosx 23 = 0

de donde resolviendo esta ecuacion de 2o grado para cosx, resulten: cosx =

3

2en cuyo caso x = 30 y cosx = 2 que no da solucion pues 0 < cosx < 1 parax agudo.

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ii)

cotgx3 tgx + 1 = 3

cotgx3 1cotgx

+ 1 =3

cotg2x + (13)cotgx3 = 0de donde resultan: cotgx = 1 que no da solucion para x un angulo agudo ycotgx =

3 x = 30.

2.8. Ejercicios propuestos

1. Si 2cos = cotg , 0 < < 90. Hallar los valores de: tg , cos , sec(2

)y

como tambien calcule la expresion

(sen + cos )2 (1 + cos )

Respuesta.13,

32, 2, 30 la expresion es igual a 0.

(Ver ejercicio resuelto 1)

2. Si 3tg = sec + 1, 0 < 2, calcule el valor de tg .

Respuesta.34(Eleve al cuadrado y proceda con cuidado)

3. Muestre como se resuelve un triangulo rectangulo del cual se dan un angulo agudoy su lado opuesto.

4. Usando la gura

calcular cos15

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Respuesta.

0,966 (Ver ejercicio resuelto 3)

5. Dos observadores A y B miden angulos de elevacion de un avion que los sobrevuelaa una altura constante. En cierto instante los angulos medidos paro A y B son = 60 y = 40, respectivamente. Diez segundos mas tarde, A mide un angulode elevacion = 110. La separacion entre A y B es de 1Km. A que altura vuelael avion? Cual es su velocidad?

"

Respuesta.

1,62759Km; 153,20m/seg.

6. Determine el largo mnimo que debe tener una correa para unir dos poleas de radiosR y r, separadas entre si una distancia d. (r < R)

Respuesta.

l = 2R( ) + 2d2 (R r)2 + 2rdonde cos = Rr

d

Cual debe ser el largo si la correa se cruza entre las poleas?

(Ver ejercicio resuelto 5)

7. El angulo de elevacion de lo alto de una torre es de 57,5 y el asta de bandera de7m de altura en la punta de la torre, subtiende un angulo de 230 a la vista delobservador. Hallar la altura de la torre.

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67, 67m

8. El seno de un angulo es a su coseno como 8 : 15. Hallar el seno y el coseno de dichoangulo.

Respuesta.817

y 1517

(ver ejercicio resuelto 7)

9. Para determinar el ancho AB de un ro de orillas paralelas, un observador se ubicaen C sobre la recta AB prolongada mas alla de B y luego camina 100m perpendic-ularmente a dicha recta, as halla que AB y BC subtienden a su vista angulos de15 y 30. Encontrar el ancho del ro.

Respuesta.

42,26m (ver ejercicio resuelto 8)

10. La elevacion de una torre de altura h, desde un punto A al sur de ella es de 60 ydesde un punto B al oeste de ella es de 30. Si AB = 100m encuentre la altura dela torre.

Respuesta.

h = 54,7m (ver ejercicio resuelto 9)

11. Una torre de altura h, esta en el borde de un acantilado. Desde un punto del planohorizontal que pasa por la base del acantilado, las elevaciones angulares de las partessuperior e inferior de la torre son y respectivamente. Demuestre que la alturadel acantilado es

h tg

tg tg 12. Un asta de bandera de bm. de altura colocada en la punta de una torre de l m. de

altura, subtiende el mismo angulo desde dos puntos separados am. y que estan enuna recta horizontal que pasa por la base de la torre. Si es el angulo que subtiendeel trazo a desde la punta del asta. Probar que

b = a sen cosec

2l = a cosec (cos sen )www.Matematica1.com


a) (tg sen)2 + (1 cos )2 = (sec 1)2b) sen4 (3 2sen2 ) + cos4 (3 2cos2 ) = 1c)

tg

(1 + tg2 )2+

cotg

(1 + cotg2 )2= sen cos

d) cosec6 cotg6 = 1 + 3cosec2 cotg2 e)

sen

1 + cos + cosec + cotg = 2 cosec

f ) (tg + cotg )2 + (tg cotg )2 = 2(sen4 + cos4 )

sen2 cos2

g)sen cos

sen+

cotg2

cosec + 1 tg

sec + 1= 0

h)1 sen 1 + sec

1 + sen 1 sec = 2cotg (cos + cosec )

i)1

tg +

tg

sec + 1= cosec

j ) cos (tg + 2)(2 tg + 1) = 2 sec + 5 sen

14. Si tg(n) = n tg , n N demostrar que

sen2(n)

sen2 =

n2

1 + (n2 1)sen2 15. Elimnese entre las ecuaciones

x sen y cos =x2 + y2cos2

a2+

sen2

b2=

1

x2 + y2

Respuesta.x2

b2+ y

2

a2= 1

16. Demostrar

i) sec2 cosec2 + tg2 cotg2 sec2 cotg2 tg2 cosec2 = 1ii) sec2 tg2 tg2 sec2 = sec2 sec2

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i)senx + cosx = m

sen3x + cos3x = nii)

4mtg = 1 + sen

4n tg = 1 sen

Respuesta.

i) m3 = 3m 2n ii) (m2 n2)2 = mn

18. Resolver las siguientes ecuaciones, considerando 0 x 2

i) tgx + cotgx = 2 secx

ii) sen3x = senx + cos3x

iii) (1 tgx)(senx + cosx)2 = 1 + tgxiv) 2sec3x + tg2x = 2

Respuesta.

i) 6

ii) 2

iii) 0 iv) 0

(Ver ejercicios resueltos 18)

19. Si cotg + cosec = 2, demuestre que cos =3

5si 0 < 0 y tg

2< 0, como:

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sen2=

1cos2

=

1 24

23

2= 1

5

2

tg2=

1cos1+cos

= 17, luego

A =2 1

5

2+(1

7

)= 1

5 1

7= 75

35= 2

35

3. Demostrar que

cos(420 + ) + cos(60 ) = sen(90 )

Demostracion.

cos(420 + ) + cos(60 ) = cos(360 + (60 + )) + cos(60 )

= cos(60 + ) + cos(60 ) aplicando formula 3.15 - 24

= 2 cos60 cos = 2 12cos = sen(90 )

4. Determine los valores de

i) sen(270 + 2) si sen = 0,6

ii) tg si cos =

32

Solucion.

i) Si sen = 0,6 = 35= I o II cuadrantes en ambos casos

2 I cuadrante

por tanto cos2> 0, luego

sen(270 +

2

)= cos

2(por 3.9 caso 7)

=

1+cos 2

=

1+ 45

2= 3

10

ii) Si cos =

32

= I o III cuadrantes, por tanto tg < o tg > 0,as tg = 1

3

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5. Desde un punto A de un plano a nivel, el angulo de elevacion de una cometa es y su direccion, sur; y desde un lugar, B, que esta c m. al sur de A sobre elplano, la cometa se ve hacia el norte con un angulo de elevacion . Demuestre quela distancia de la cometa a A y su altura sobre el plano son:

c sen

sen( + )y

c sen sen

sen( + )

respectivamente.

Solucion.

x = h cotg y = h cotg

}=

x + y = h(cotg + cotg )

c = h(

cos sen

+ cos sen

)

h = c sen sensen(+)

por otra parte sen = hd

d = hsen

= c sen sen(+)

6. Si cotg =43

3y cotg =

4 +3

3, demuestre que

i) cosec2 + cosec2 =44

3ii) 3 cotg( ) = 8

Solucion.

i) Note que

cotg = 43 1

cotg = 43+ 1

de aqu

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cotg + cotg = 83

cotg cotg = 2}

= 2(cotg2 + cotg2) = 4 + 643

cosec2 1 + cosec2 1 = 2 + 323

cosec2 + cosec2 = 443

ii) 3 cotg( ) = 3 cotg cotg +1cotg cotg = 3

163

2= 8


a) sen(75 ) cosec75 cos(75 )sec75 = 4 sen

b)sen(45 ) sen(45 + )cos(60 + ) + cos(60 ) + sec45

tg = 0

c) 2 + tg2(4

+ )+ tg2

( 3

4

)=

4

1 sen 2d) tg2

(4

+

2

) tg2

(4

2

)= 4 tg sec

e)sen3 + sen

1 + 2 cos + cos2 = 2 cotg (1 cos )

f ) cotg

2cotg 3

2

(tg 3

2 3tg

2

)=

4 tg

sec + 2

g) sen80 sen40 sen20 =

3

8h) tg15 + tg45 + tg75 = 5

i) tg20 + tg40 +3 tg20 tg40 = tg20 tg40 tg80 =

3

j )sen 6

sen 2 cos 6

cos 2= 2

Solucion.

a)

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sen(75 )cosec75 cos(75 )sec75 =

{sen 75 cos cos 75 sen} cosec75

[cos 75 cos + sen 75 sen]sec75

= cos cos 75sen 75 sen cos sen 75

cos 75 sen

= sen(

cos275+sen275sen 75 cos 75

)= sen 2

2 sen75 cos 75 = 2 sensen 150 = 4 sen

b)sen(45)sen(45+)cos(60+)+cos(60) + sec45

tg =

aplicando las formulas de prostaferesis, se tiene:

2 cos45 sen()2 cos 60 cos

+2 tg = 0

c)

2 + tg2(4+ )

)+ tg2

( 3

4

)= 2 +

(tg

4+tg

1tg 4tg

)2+(

tgtg 34

1+tg tg 34

)2= 2 + 2

(1+tg 1tg

)2= 2 + 2(1+2tg +tg

2)12tg +tg2

= 24tg +2tg2 +2+4 tg +2tg2

sec22tg

= 4 sec2

sec22 tg =4

12tg cos2 =4

1sen 2

d)

tg2(4+

2

) tg2 (4

2

)=

sen2(4 +2 ) cos2(42 )sen2(42 )cos2(4 +2 )

cos2(4 +2 ) cos2(

4

2 )

aplicando las formulas: 3.15 18 y 20 se tiene

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=[ 12(sen

2+sen)]

2[ 12(sen2 +sen())]2

[ 12(cos2+cos )]

2

= 1+2sen+sen2 1+2sensen2 cos2

= 4sencos

1cos

= 4 tg sec

e)sen 3 +sen

1+2 cos +cos 2 = 2 sen2 cos

1+2cos +cos2sen2

= 2 sen 2 cos 2cos (1+cos )

= 2 sen cos 1+cos

= 2sen cos (1cos )sen2

= 2cotg (1 cos )f )

cotg 2cotg 3

2

(tg 3

2 3 tg

2

)= cotg

2 3 cotg 3

2

=sen 3

2 cos

23 cos 3

2 sen

2

sen 2

sen 32

=12[sen 2+sen]3 1

2[sen 2sen]

12[cos 2cos ]

= 4 sen2 sen 21+cos 2cos2 =

4sencos

(1cos )(12 cos +sec )

= 4 tg (1cos )(1cos )(2+sec ) = 4

tg sec +2

g)

sen 80 sen 40 sen 20 = 12[cos 120 cos 40]sen20

= 12

[12 cos 40] sen20 = 1

4sen 20 + 1

2cos40 sen20

= 14sen 20 + 1

2 1

2[sen 60 sen20] =

3

8

h)

tg 15 + tg 45 + tg 75 = tg15 + tg 75 + 1

= sen15 cos 75+sen 75 cos 15

cos 15 cos 75 + 1 =sen(75+15)

12[cos 90+cos 60] + 1

= 2(0+ 1

2)+ 1 = 5

i)

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tg 20 + tg 40 +3tg 20 tg 40

= sen 20 cos 40+sen 40 cos 20

cos 20 cos40 +3 sen 20

sen 40cos20 cos 40

= sen 60+

3 sen 20 sen 40

12[cos 60+cos 20] =

3 [1(cos 60

cos 20)]cos 60+cos 20

=3, por otra parte.

tg 20 tg 40 tg80 = sen 20 sen 40 sen 80

cos 20 cos 40 cos 80

= 1

2(cos 60cos(20)) sen 80

12(cos 60+cos(20)) cos80 =

12sen 80+sen 80 cos 20

12cos80+cos 80 cos 20

= 1

2sen 80+ 1

2(sen 100+sen 60)

12cos 80+ 1

2(cos 100+cos 60)

pero sen 80 = sen(180 80) = sen 100cos 80 = cos(180 80) = cos 100, por tanto

=

3212

=3.

j )sen 6sen 2

cos 6cos 2

= sen 6 cos 2sen 2 cos 6sen 2 cos 2

= sen(62)12sen 4

= 2.

8. En la cuspide de un edicio se encuentra una antena de l m. si desde un pun-to A situado en un plano horizontal, el angulo de elevacion del edicio es yla antena subtiende un angulo desde el mismo punto. Demuestre que la alturadel edicio es l sen cosec cos( + ) y que la distancia desde A a la base esl cos cosec cos( + )

Solucion.

tg = hx

tg( + ) = l+hx

}de aqu se obtiene

h = l tg tg(+)tg

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h = l sencos[ sen(+)cos(+) sen cos ]

= l sen cos(+)sen(+) cos cos(+)sen

h = l sen cos(+)sen(+) = l sen cosec cos( + )

as tambien x = h cotg = x = l cos cosec cos( + )

9. Si tg = tg 2, demuestre que tg( ) + tg = 0

Demostracion.

tg( ) = tg tg 1tg tg =

tg tg 21tg tg 2

= tg tg3

1+tg2 = tg = tg( ) + tg = 0

10. Demostrar que

cotg 8 cotg 8 = tg + 2tg 2 + 4tg 4

Demostracion.

Previamente note que, como cotg 2 = cotg21

2 cotg = 1

2cotg 1

2tg y de aqu: tg =

cotg 2 cotg 2, entonces

tg + 2 tg 2 + 4 tg 4 = cotg 2cotg 2 + 2(cotg 2 2cotg 4)+

+4(cotg 4 2 cotg 8) = cotg 8 cotg 8.

11. Demuestre que si sen =

7

4, entonces el valor de 32 cos

2cos

5

2 es 7 o bien 11.

Demostracion.

Si sen =

74

entonces I o bien II cuadrantes, por tanto si I =cos = 3

4y como 32cos

2cos5

2 = 32 1

2[cos 3 + cos ]

= 16[4 cos3 3 cos + 2 cos2 1] = 16 ( 716

)= 7

si II = cos = 34= 32cos

2cos5

2 = 11

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12. Si 3 sen( + ) + cos( ) = 0, demuestrese que

2 cotg(4

)= tg

(4

)Demostracion.

Como de la hipotesis, se puede expresar 2(sen(+ ) + cos( )) = cos( )sen( + ) y aplicando las formulas de prostaferesis, se obtiene:

4sen(4+

)cos

(4+

)= 2 cos

(4+

)sen

(4 )

2sen(4 +)cos(4 +)

=sen(4)cos(4)

; cos(

4+

)= cos

(4 )

2 tg(4+

)= tg

(4 ) pero cotg (

2 (

4+

))= tg

(4+

)as 2 cotg

(4 ) = tg (

4 )

13. Si 2 cosu

2= sen v demuestre que

cotgu + v

4cotg

u v4

= cotg2( v

4

)

Demostracion.

cotg u+v4

cotg uv4

=cosu+v

4cosuv

4

senu+v4

senuv4

=12

[cosu

2+ cosv

2

]1

2

[cosu

2 cosv

2

]=

cosv2+ cosu

2

cosv2 cosu

2

pero 2 cosu

2= senv

2cos u2= 2 senv

2cosv

2, por tanto

=cosv

2

(1 + senv

2

)cosv

2

(1 senv

2

) = 1 + cos (2 v2)1 cos (

2 v

2

)= cotg2

(v4

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14. Demuestre que eliminando entre las ecuaciones

x = 2 sen + 2sen 3

y = 4 cos3 + 2 cos 3

se obtiene: A3/2 = 72(A + 2y), A = 9x2 + 4y2

Demostracion.

y = cos 3 + 3 cos + 2 cos 3

y = 3 cos + 3 cos 3x2= sen + sen 3 x

2= 2 sen 2 cos

y3= cos + cos 3 y

3= 2 cos 2 cos

tg 2 = 3x2y

A = 9x2 + 4y2

x4 cos

= sen 2y

6 cos = cos 2

}= x2

16 cos2+ y

2

36 cos2= 1

9x2 + 4y2 = 144 cos2

pero cos2 = 12+ y

A= 9x2 + 4y2 = 72 + 144y

9x2+4y2

de aqu: A3/2 = 72(A + 2y); con A = 9x2 + 4y2.

15. Resolver, considerando 0 x 2, las siguientes ecuaciones:

a) cos x sen 2x = cos 3x sen 4xb) 2 sen 4x sen x =

13sen3x 2 cos25x

2+ 1

c) cosec x + cosec 5x = 0

d) tg x + tg(4 x

)+ tg

(3

4+ x

)= 3

e) cos2 2x + 3 sen 2x 3 = 0

f )cos

(4 x) cos (

4+ x

)sen

(23

+ x) sen (2

3 x) +2 cos

(3

2+ x

)= 0

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g) cos(2x +

4

)= cos

(6x

4

)h) sen

(2x +

3

)cos

(6 x

)= cos

(2x +

3

)sen

(6 x

)Solucion.

a)

sen4x sen 2x = cos 3x cos x

2 cos 3x sen x = 2 sen 2x sen x

senx(cos 3x + sen 2x) = 0 de aqu

sen x = 0 o cos 3x + sen 2x = 0

x = 0, x = o x = 2

cos 3x + sen 2x = 0 4 cos3x 3 cosx + 2senx cosx = 0

cos x(4 cos2x 3 + 2 sen x) = 0

cos x = 0 x = 2, x = 3

2o bien

4 sen2x 2 sen x 1 = 0 sen x = 1

54

sen x = 1+

54

= x = 54, x = 126

sen x = 1

54

= x = 198, x = 342

Vamos a justicar, los resultados anteriores. Previo calcularemos sen18, sea = 18

5 = 90 3 = 90 2 cos 3 = sen 2

4 cos3 3 cos = 2 sen cos , dividiendo por cos = 04sen2 + 2 sen 1 = 0 = sen = 1

5

4, de aqu

sen 18 = 1+

54

, ahora

sen 54 = cos 36 = 1 2 sen2 18; cos 2 = 1 2sen2

sen 54 = 1 2(1+5

4

)2= 1+

5

4

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b)

2 sen 4x sen x = 13sen 3x 2 cos2 5x

2+ 1

2 12[cos 5x cos 3x] = 1

3sen 3x cos 2 (5x

2

)cos 5x + cos 3x = 1

3sen3x cos 5x = tg 3x = 3

x = 9, x = 4

9, x = 7

9, x = 10

9, x = 13

9

y x = 169

c)

cosec x + cosec 5x = 0 sen 5x + sen x = 0

2 sen 3x cos 2x = 0 sen 3x = 0 o cos 2x = 0

sen 3x = 0 x = 3; x = 2

3, x = 4

3, x = 5

3

note que x = 0, y 2 no son soluciones de la ecuacion dada.

cos 2x = 0 x = 4, x = 3

4, x = 5

4, x = 7

4

d)

tg x + tg(4 x)+ tg (3

4+ x

)= 3

tg x + 1tg x1+tg x

+ 1+tg x1+tg x

= 3

tg x + tg2x + 1 tg x 1 + tg x = 3 + 3 tgx

tg2x 2 tgx 3 = 0 = tg x = 3 o tg x = 1

note que tg x = 1 no es solucion de la ecuacion,en tanto que: tg x = 3 x 1.249, x 4.39 (radianes).

e)

cos2 2x + 3 sen 2x 3 = 0

1 sen2 2x + 3 sen 2x 3 = 0 sen22x 3 sen 2x + 2 = 0

sen 2x = 2 que no da solucion o bien

sen 2x = 1 = x = 4o x = 5

4

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f )

cos(4 x) cos (

4+ x

)sen

(23

+ x) sen (2

3 x) +2 cos

(3

2+ x

)= 0

2 sen4

sen(x)2 cos 2

3senx

+2 senx = 0 2 +2 senx = 0

sen x = 1 x = 2

g)

cos(2x +

4

)= cos

(6x

4

) cos (2x + 4

) cos (6x 4

)= 0

2 sen 4x sen (4 2x) = 0

sen 4x = 0 = x = 0, x = 4, x =

2, x = 3

4, x = ,

x = 54, x = 3

2, x = 7

4y x = 2

o sen(4 2x) = 0 = x =

8, x = 5

8, x = 9

8y x = 13

8

h)

sen(2x +

3

)cos

(6 x) = cos (2x +

3

)sen

(6 x)

tg(2x +

3

)= tg

(6 x) = 3x = k

6, k Z

de aqu : x = 18, x = 5

18, x = 11

18, x = 17

18, x = 23

18

x = 2918, x = 35

18

otra forma de resolver la ecuacion es

sen(2x +

3

)cos

(6 x) cos (2x +

3

)sen

(6 x) = 0

sen (2x + 3 (

6 x)) = 0 sen (3x +

6

)= 0

relacion que entrega las mismas soluciones.

16. Si + + = , demuestre:

a) cos2 + cos2 + cos2 + 2 cos cos cos = 1

b) cos + cos cos + 1 = 4 cos2

cos

2sen

2c) sen 2 + sen 2 + sen 2 = 4 sen sen sen

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d)cos2 + cos( + ) cos( )sen2 + sen( + ) sen( ) = cotg cotg

e) cos

2 cos

2+ cos

2= 4 cos

+

4cos

4

cos +

4

f )sen + sen + cos + 1

sen sen cos + 1 = cotg(

4

2

)cotg

2

Demostracion.

a)

+ = cos( + ) = cos

cos cos sen sen = cos

cos cos + cos = sen sen

cos2 cos2 + 2 cos cos cos + cos2 = sen2 sen2

cos2 cos2 + 2 cos cos cos + cos2 = (1 cos2)(1 cos2)

cos2 + cos2 + cos2 + 2 cos cos cos = 1

b)

cos + cos + 1 cos = 2 cos+2

cos2

+ 2 sen2 2

pero cos+2

= cos(2

2

)= sen

2, as

2 sen2

(cos

2+ sen

2

)= 2 sen

2

(cos

2+ cos+

2

)= 2 sen

22cos

2cos

2= 4 cos

2cos

2sen

2

c)

sen 2 + sen 2 + sen 2 = 2 sen( + ) cos( ) + 2 sen cos

pero : sen( + ) = sen( ) = sen y cos( + ) = cos( ) = cos , as

= 2 sen (cos( ) cos( + ))

2 sen (2 sen sen()) = 4 sen sen sen www.Matematica1.com

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d)cos2+cos(+) cos()sen2+sen(+) sen() =

cos2+cos() cos()sen2+sen() sen()

= cos (cos cos())sen (sen +sen()) pero

cos = cos( + )sen = sen( + )

cos (cos(+)+cos())sen (sen(+)+sen()) = cotg 2 cos cos 2 sen cos

= cotg cotg

e)

4 cos(+

4

)cos

(

4

)cos

(+4

)=

= 4 12

[cos

(2

4

)+ cos

(+

4

)]cos

(4

)= 2 sen

4cos

(+4

)+ 2 cos +

4cos

(+4

)= sen

(4+ +

4

4

)+ sen

(4

4

4

4

)+cos

(4+ ++

4

)+ cos

(+

4

4

4

)= sen

(4+

4

4

)+ sen

(4

4

4

)+cos

(4+

4

)+ cos

(4

4

4

)= sen

(2

2

)+ sen

( (2

4

))+ cos

(2

)= cos

2 cos

2+ cos

2

f )

sen+sen +1+cos sensen +1cos =

2 sen+2

cos2

+2 cos2 2

2 cos+2

sen2

+2 sen2 2

=cos

2 (cos2

+cos 2 )

sen 2 (sen

2

+sen 2 )

= cotg 2

cos2

+sen+2

sen2

+cos+2

= cotg 2

cos2

+cos(2+2 )sen

2+sen(2+2 )

= cotg 2

2 cos(42 ) cos(42 )2sen(42 ) cos(42 )

= cotg 2cotg

(4

2

)17. Si + + = demuestre que

sen

cos cos +

sen

cos cos +

sen

cos cos = 2tg tg tg

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Demostracion.

sencos cos

+ sen cos cos

+ sen cos cos

= sen cos+sen cos +sen cos cos cos cos

=12(sen 2 + sen 2 + sen 2

cos cos cos )pero por ejercicio (3.15 - 16 c)

=12 4 sen sen sen cos cos cos

= 2 tg tg tg .

18. Si2

tg + cotg = cos 2 demostrar que un valor de o de + es

4.

Demostracion.

2sencos

+ cos sen

= cos 2

= 2 sen cos = cos 2 sen 2 cos 2 = 0

sen 2 sen (2 2 ) = 0

2 cos(4+ ) sen ( +

4

)= 0

cos(4+ ) = 0 =

4+ =

2= =

4

o sen( +

4

)= 0 = +

4= 0 = + =

4

19. Si tg( + ) = 2 tg( ) demuestre que

3 sen 2 = sen 2

Demostracion.

sen(+)cos(+)

= 2 sen()cos()

sen( + ) cos( ) = 2 sen( ) cos( + )

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12[sen 2 + sen 2] = sen 2 + sen(2)

sen 2 + sen 2 = 2 sen 2 2 sen 2

3sen 2 = sen 2.

20. Si cos =cos cos 1 cos cos demuestre que un valor de tg

2es tg

2cotg

2; y

dados

Demostracion.

Notese que

1cos 1+cos

= 1cos cos cos +cos 1cos cos +cos cos

1cos 1+cos

= (1cos )(1+cos )(1+cos )(1cos )

como tg2 2= 1cos

1+cos = tg2

2= tg2

2 cotg2

2de aqu se deduce lo pedido.

21. Si + = demuestre que

cos2 + cos2 = 2 (1 sen sen )

Demostracion.

+ = = cos = cos

cos + cos = 0 cos2 + cos2 = 2 cos cos

cos2 + cos2 = 2 12[cos( + ) + cos( )] pero + =

cos2 + cos2 = (1 + cos cos + sen sen )

cos2 + cos2 + cos cos = 1 sen sen pero cos cos = 1

2(cos2 + cos2), luego

cos2 + cos2 12(cos2 + cos2) = 1 sen sen

de aqu cos2 + cos2 = 2(1 sen sen ).www.Matematica1.com

22. Elimine entre las ecuaciones

a sec x tg = y

b sec + y tg = x

Solucion.

Resolviendo el sistema para sec y tg , se obtienen:

sec = x2+y2

ay+bxsi tg = axby

ay+bx

sec2 tg2 = 1 = (x2+y2)2(ay+bx)2

(axby)2(ay+bx)2

(ay + bx)2 + (ax by)2 = (x2 + y2)2 a2 + b2 = x2 + y2

23. Demostrar

1

cotg + cotg3 +

1

tg + tg3= sec cosec sen 2

Demostracion.

1cotg +cotg3

+ 1tg +tg3

= tg3

sec2+ cotg

3cosec2

= sen4+cos4

sen cos = (sen

2+cos2)22 sen2 cos2 sen cos

= 1sen cos

2 sen cos = sec cosec sen 2

24. Si + + = y cos (sen + sen ) = sen demuestre que

tg2

2= tg

2tg

2, , , =

Demostracion.

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cos (sen + sen ) = sen

cos 2sen+2

cos2

= sen; 2=

2 (+

2

)cos 2cos

2cos

2= 2 sen

2cos

2

cos [cos

2cos

2+ sen

2sen

2

]= sen

(2 (+

2

))= cos+

2

cos [cos

2cos

2+ sen

2sen

2

]= cos

2cos

2 sen

2sen

2

de aqu (1 cos ) (cos2cos

2

)= (1 + cos )

(sen

2sen

2

)=

1cos 1+cos

=sen

2

cos2

sen 2

cos 2

= tg2 2= tg

2tg

2

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3.16. Ejercicios Propuestos

1. Reducir las siguientes expresiones en terminos del angulo .

sen2(2

+ ); tg

( sen

(3

2

)), cosec

( 3

2

)

cos

(5

4(

4

)); cosec(1200 + )

Respuesta.

cos2; tg(cos ); sec ; cos 2sen+

3 cos

2. Demuestre que

1) tg(180 + ) cotg() cotg(270 ) = cotg

ii)cos(90 ) tg(180 + ) cos(720 )cotg(270 ) sen(180 + ) tg(90 + ) = sen

3. Si 630 < < 720, y tg = 724

calcular

i) sen + cos ii) cotg 2

Respuesta.1725; 527

336

4. Si =16

3. Hallar el valor de

A = 4 sen2

2 2 tg2 + sec2 3 3 cotg2

2

Respuesta.

-3

5. Si sen = 13

encuentre el valor de tg

Respuesta.

18

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6. Si + =5

4, demuestre que

2

(1 + tg )(1 + tg )= 1


a)

2 +

2 +

2 + 2 cos 8 = 2 cos

b) tg(15 ) cotg 15 + cotg(75 + ) tg75 = 2 tg75 cotg( + 75)c)

cosec(45 ) + cosec(45 + )sec(30 + ) sec(30 ) =

12(sec 2 + 2) cotg

d) 3 + cotg2(3

)+ 2 cotg2

(2

3+

)= 12

(cosec

3 cotg 1

)2e)

cos 3 cos 2 sen + sen 2

= 2 cotg (cos 1)

f ) 3tg

2 tg3

2=

4 sen

1 2 cotg2 (1 + cos )g) 2 sen 70 8 cos 10 cos 50 cos 80 = 1h) cos 10 3 cos 20 + cos 50 = 0i)

cos 3

sen+

sen 3

cos = 2 cotg 2

j )cos 3 sen 3cos + sen

= 1 2 sen2

Nota: Para demostrar todas estas identidades, ver en forma casi homologa las iden-tidades resueltas de (3.15 - 7).

8. Una torre BC de 80m. se encuentra sobre una cima AB de 20m. en la punta dela torre hay una antena CD de 25m., si desde un punto E situado en un planohorizontal la antena y la altura AB subtienden el mismo angulo. Calcule la distanciaEB desde E a la base de la torre.

(Note que A,B,C y D estan sobre la misma vertical, los puntos E y A en el mismoplano).

Respuesta.

224,5m.

9. Si cos 2 + cos 2 sen2 = 0 demuestre que

tg( + ) tg( ) = 4 tg sec 2.www.Matematica1.com

10. Si 3 tg = tg( + ) demuestre que

sen(2 + ) = 2 sen

11. Si cos =3

5y sen =

1

2, primer cuadrante. Calcule los posibles valores de A

A = sen( 2) + sen( + 2)

Respuesta.

A = 0,8

12. Si sen = cos cos demuestre que

tg( + ) tg = sec 1 sen

13. Si cos( + ) + cos( ) = 2 cos demuestre que

cotg2

2= cotg

+

2cotg

2

14. Elimine entre las ecuaciones

x + y = 3 cos 3

x y = 4 sen 2; x e y > 0

Respuesta.x +

y = 2


x sen y cos = c

cos2

a2+

sen2

b2=

1

c2; c =

x2 + y2

Respuesta.

a2x2 + b2y2 = a2b2

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16. Si cos =a

b + c, cos =

b

a + cy cos =

c

a + bdemuestre que

tg2

2+ tg2

2+ tg2

2= 1

17. Resolver, considerando 0 x 2, las siguientes ecuaciones

a) 2 sen x + sen 2x = sen 3x

b) sen 4x cosx =1

4+ sen

5x

2cos

5x

2c) sec x + sec 3x = 0

d) tg x + tg(4 x

)+ tg

(3

4+ x

)= 1

e) sec3x2tg2x = 2

f )sen

(x

3

)+ sen

(x +

3

)cos

(x +

6

) cos (x 6

) tg (x 4

)+ tg x = 0

g) sen(2x +

4

)= cos

(4x

4

)h) tg( cotg x) = 0

Nota: Ver ejercicios resueltos (3.15 - 15) homologamente.

Respuesta.

a) 0, 180, 360, 13038 47.75 y 22921 13.25

b) 18, 5

18, 13

18, 17

18, 25

18, 29

18

c) 4, 3

4, 5

4, 7

4

d) 4y 5

4

e) 4y 7

4

f ) 4y 5

4

g) 0, , 2; 12, 13

12

h) 4, 3

4, 5

4, 7

4

18. Si 2 sen( ) = sec(+ ) y sen(+ 2) = 1 + cos2

+ sen 2 demuestre que un

valor de ( + 4) es

3

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19. Si + + = demuestre que

cos

sen sen +

cos

sen sen +

cos

sen sen = 2

(Ver ejercicio resuelto (3.15 - 17))

20. Si + + = demuestre que

a) cos + cos sen = 4 sen2

sen

(

4

2

)sen

(4

2

)b) tg tg + tg tg + tg tg = 1

c) (cotg + cotg )(cotg + cotg )(cotg + cotg ) = cosec cosec cosec

21. Demostrar que

3(sen 2+ cos 2)+ 3(cos 4 sen 4)+ (sen 8+ cos 8)+ (cos 10 sen 10) =8 cos33(sen + cos )

22. Demostrar que

a) sen54 = sen 162 + sen30

b) sen sen 2 + sen 3 = 4 sen2

cos cos3

2

23. Demostrar que

(cotg cotg 2)(sen + sen 3) = 2cos 24. Elimine entre las ecuaciones

cos sen = x

cos 3 + sen 3 = y

y demuestrese que x + 2y3 = 3y

25. Demostrar que

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a) cos +cos +cos +cos(++) = 4 cos +

2cos

+

2cos

+

2y de aqui,

si ++ = , compruebese que cos +cos +cos = 4 sen

2sen

2sen

2+1

b) Si + + =

2demuestre que

cos 2 + cos 2 sen 2cos 2 cos 2 + sen 2 = tg

(4

)tg

c) Si + + = 0, demuestre que

sen2 + sen2 sen2 = 2 sen sen cos

26. Demostrar que

a) 4 cos 8 0 +3 cotg80 = 1

b) cotg 40 + cotg 20 =3(cotg 40 cotg 20 1)

27. Demostrar que

a) 4 sen 5 cos 3 cos 2 = sen 4 + sen 6 + sen 10

b) cos2( ) cos(2 )cos = sen2c) tg( ) + tg( ) + tg( ) = tg( ) tg( tg( )

(aplique: tg(u + v) en forma acertada).

28. Si y son dos angulos agudos y

3sen2 + 2sen2 = 1

3sen 2 2sen 2 = 0entonces + 2 = 90

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Captulo 4

Las Funciones TrigonometricasInversas

4.1. Relaciones y sus inversas

Recordemos que una relacion es un subconjunto de un producto cartesiano,es decir R A B o bien R : A B, en tanto que su relacion inversaR1 : B A, o bien

R1 = {(y, x) / (x, y) R}El graco de R esta dado por el conjunto de puntos

{(x, y) / x DomR; (x, y) R}y el de su relacion inversa

{(y, x) / y DomR1; (x, y) R}note que DomR = RecR1 DomR1 = RecR ver graco

78

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Conservando la variable x, siempre para el dominio y la variable y para elrecorrido, tenemos

R1 = {(x, y) / x DomR1; (y, x) R}as DomR1 eje X RecR1 eje Y , por tanto gracamente

Del graco se obtiene:

DomR = RecR1 = [a, b]; a, b R

RecR = DomR1 = [c, d], c, d RPor tanto los gracos de R y R1 son simetricos uno de otro con respectoa la recta bisectriz del 1er. cuadrante.

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4.2. Graco de la Relacion inversa del seno

En base a lo anterior podemos trazar la graca de la relacion inversa dey = sen x (haciendo la simetra con respecto a la recta y = x, del gracodel seno)

De inmediato del graco conrmamos que se trata de una relacion inversay no de una funcion, pues x DomR1 existen varios y con y R.

Notacion

A la relacion inversa del seno se acostumbra en denotar por: y = Sen1x obien y = Arcsen x para ambos casos se tiene que x = sen y

Como 1 sen y 1, y R = DomR1 = [1, 1] y por tantoRecR1 = R.

Pero nuestro n es hablar de la funcion inversa del seno por tanto re-stringiendo el recorrido de la relacion inversa del seno (o bien el dominio dela funcion seno ), podemos obtener funcionesinversas del seno segun estosintervalos (o ramas) restringidas.

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4.3. Deniciones de las funciones trigonometri-

cas inversas y sus gracos

Funcion inversa del seno

Se dene la funcion inversa del seno en cualquier intervalo restringido, por:

f : [1, 1] [(2k 1)

2, (2k + 1)

2

], k Z, tal que

y = f(x) = sen1x = arcsen x x = sen y.Si k = 0, f : [1, 1]

[

2,

2

]; se acostumbra a llamar intervalo prin-

cipal y se denotara por:

y = Sen1x = Arcsen x

Note que Domf = [1, 1] y Rec f =[

2,

2

]Si k = 0, se acostumbra a llamar, inversa del seno en un intervalo secun-dario, que se denotara por y = arcsen x = sen1x.

Daremos a continuacion algunas inversas del seno en un intervalo secundario

k = 1, f : [1, 1] [

2,3

2

], f(x) = sen1x

k = 2, f : [1, 1] [3

2,5

2

], f(x) = sen1x

etc...

Observacion

Una vez mas notemos que el dominio de cualquier funcion inversa del senoes: [1, 1] lo que cambia es su recorrido

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funcion inversa del seno funcion inversa del senoen su intervalo principal en uno de sus intervalos secundarios

Funcion inversa del coseno

Supongase que hicimos las mismas consideraciones que para la inversa delseno, es decir el graco de su relacion inversa y las rectricciones convenientesy necesarias.

Asi, denimos la funcion inversa del coseno en cualquier intervalo, por:

f : [1, 1] [k, (k + 1)], k Z, tal que

y = f(x) = cos1x = arccosx x = cos ySi k = 0, f : [1, 1] [0, ], se llama inversa del coseno en su intervaloprincipal y se denotara por:

y = Cos1x = Arccosx

Notemos que Domf = [1, 1] y Rec f = [0, ] k Z, k = 0, se acos-tumbra a llamar, inversa de coseno en un intervalo secundario, que sedenotara por y = arccosx = cos1x

Tambien igual que para la inversa del seno e dominio para cualquier funcioninversa del coseno es [1, 1] y su recorrido es el que vara.

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funcion inversa del coseno funcion inversa del cosenoen su intervalo principal (k = 0) en uno de sus intervalos secundarios

(k = 2)Funcion inversa de la tangente

Se dene la funcion inversa de la tangente en cualquier intervalo resringidopor:

f : R ((2k 1)

2, (2k + 1)

2

), k Z tal que

y = f(x) = tg1x = arctg x x = tg ySi k = 0, f : R

(

2,

2

)tal que y = Tg1x = Arctgx se llama inversa

de la tangente en su intervalo principal, notese que Domf = R y su

Rec f =(

2,

2

)k Z con k = 0, se tiene la que se acostumbra a llamar inversa de latangente en uno de sus intervalos secundarios, que se denotara por:

y = arctg x = tg1x

Tal como para el caso de las anteriores inversas del seno y coseno, notemosque el dominio de cualquier inversa de la tangente es R y que su recorridoes el que va cambiando.

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funcion inversa de la tangente en su intervalo principal

Funciones inversas de: la cosecante, secante y cotangente

Se procede en forma similar, que para el caso de las anteriores, las quedejaremos para ud. y su estudio personal, en todo caso las encontrara enlos libros de su bibliografa.Observaciones

1. La armacion por ejemplo:

arctgx + arctgx = 2 arctgx

es falsa, pues para x =3 si se toman los valores de arctg

3 en forma

arbitraria

arctg3 + arctg

3 =

3+

4

3=

5

3

de donde resultara

5

3= 2 arctg

3

arctg3 = 56 tg5

6=3 lo que es falso

Esto nos hace pensar que debemos tener cuidado cuando trabajemoscon las relaciones inversas.

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Cuales son los cuidados?, en este caso basta restringir el recorrido y

considerar(

2,

2

)el de la rama principal de la funcion inversa de

la tangente, as pues entonces es verdadero que

Arctg3 + Arctg

3 = 2Arctg

3

3+

3= 2

3

ya que: Arctg3 =

3es un valor unico, por se Arctgx una funcion

bien denida. Naturalmente tambien es verdadera la proposicion si setrata de la misma rama secundaria.

2. Notemos que las funciones: Arcsenx, Arctgx y Arccosecx son im-pares, es decir

Arcsen(x) = ArcsenxArccosec(1) = ArccosecxArctg(x) = Arctgx

3. Notemos que para el caso del intervalo principal para la funcionArccosecx, se tiene

f : (,1] [1,+) [2, 0) (0,

2]

y que

cosec =1

sen= a, |a| 1

sen =1

a; a = 0

de donde Arccosec = Arcsen1

a= sen1

1

arazon por la cual Arccosecx

o cosec1x no se encuentra en las calculadoras.

Analogamente para el caso del Arcsec x

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f : (,1] [1,+) [0, 2) (

2, ]

Arcsec x = Arccos1

a= cos1

1

a, |a| 1

Tambien para el Arccotgx, observese que:

f : R (0, )

Arccotga = Arctg1

a, a > 0

Arccotga = + Arctg1

a, a < 0

Arccotg0 =

2

4.4. Resolucion de ecuaciones trigonometri-

cas

1.Ecuacion de la forma

senx = a, |a| 1

De la gura, notamos que los valores posibles dex, son innitos todos los cuales se pueden representarpor la formula

x = k + (1)kArcsen a, k Zesta formula se llama solucion general de la ecuacion

senx = a.

Note que senx = a x = Arcsena tambiennotese que si |a| > 1 no existe solucion posible.

Ejemplo.

Resolver sen 2x = 12

de donde la solucion gener-

al es 2x = k + (1)k Arcsen(1

2

)

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2x = k + (1)k(

6

), Arcsen

(1

2

)= Arcsen1

2=

6

x = k2 (1)k

12, k Z

2. Ecuacion de la forma

cos x = b, |b| 1Tal como para el seno, se puede fundamentar con un graco adecuado

(hagalo ud).

La solucion general de esta ecuacion esta dada por:

x = 2k Arccos b, k Z

Ejemplo.

Resolver: cos(x + ) =1

3

la solucion general de esta ecuacion es

x + = 2 k Arccos(1

3

), k Z

Arccos1

3 1.23095, de donde

x (2k 1) 1,23095 (rad), k Z3. Ecuacion de la forma

tg x = c, c Rcon la misma explicacion que para las ecuaciones anteriores, la solucion

general de esta ecuacion esta dada por

x = k +Arctg c, k Z

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Ejemplo.

Resolver tg( tg x) = 1

Solucion.

La solucion general de inmediato es

tg x = k + Arctg1, k Z

tg x = k + 4 tg x = k + 1

4

de donde x = p + Arctg(k + 1

4

); k, p Z

Nota La obtencion de Arcsen a, Arccos b y Arctg c generalmente seefectua con una calculadora ya sea en grados sexagesimales o bien en radi-anes.

4.5. Ecuaciones con funciones trigonometri-

cas inversas

Como su nombre lo indica, estas ecuaciones contienen funciones trigonometri-cas inversas, hay que prevenir que al tomar funciones de ambos miembrosde este tipo de ecuaciones, en general se aumenta el numero de solucionespor lo que se debe vericar en las ecuaciones primitivas de dichas soluciones.Tambien hay que agregar que estas ecuaciones en general no tienen formulasde solucion general como las del anterior parrafo.

En resumen, en ejercicios con inversas, hay que preocuparse mas que deldominio, del recorrido.

Ejemplo.

1. Resolver Arccos x + Arcsen x = 0

Solucion.

Arccos x = Arcsen x

Arccos x = Arcsen(x)

sean Arccos x = cos = x

y Arcsen (x) = sen = x

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como: = cos = cos

cos =

1 sen2 x = 1 x2

x2 = 12= x = 1

2pero notemos

que ambos valores no satisfacen la ecuacion por tanto ella carece desolucion.

Observe que Arccos x = Arcsen x y gracamente estas curvas Arccos xy Arcsen x no tienen interseccion; como era de esperar. (ver gura)

2. Arctg x + Arctg(2 x) + Arctg(3 2x) = 34

Solucion.

Sean

Arctg x = tg = x

Arctg(2 x) = tg = 2 x

Arctg(3 2x) = tg = 3 2x

luego como: + + = 34 + = 3

4

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tg( + ) = tg (34 ) tg + tg

1 tg tg =tg 3

4 tg

1 + tg 34

tg

x + (2 x)1 x(2 x) =

1 (3 2x)1 (3 2x) 2x

3 8x2 + 6x = 0

2x(x 1)(x 3) = 0 x1 = 0 o x2 = 1 o x3 = 3es facil vericar que x1 = 0 y x2 = 1 son soluciones de la ecuacion encuanto x3 = 3 no lo es pues

Arctg 3 + Arctg(1) + Arctg(3) = Arctg 1 = 4

= 3

4


1. Determine el dominio de y = Arcsen(2x 1) y resuelva la ecuaciony =

6como tambien arcsen(2x 1) = 7

6

Solucion.

Domf = 1 2x 1 1 0 x 1

y = 6= Arcsen(2x 1) =

6

2x 1 = sen 6 2x 1 = 1

2 x = 3

4

Notemos que el dominio de arcsen(2x 1) tambien es [0, 1], esta-mos en una rama secundaria pues se pide resolver arcsen(2x 1) =76, Rec f =

[2, 3

2

]asi 2x1 = sen7

6= 1

2= 2x = 1

2= x = 1

4

ver gura

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2. Demostrar que

a) 2Arctg1

4= Arctg

8

15b) Arccotg 7 + Arccotg 8 + Arccotg 18 = Arccotg 3

Demostracion.

a) Sea Arctg1

4= tg = 1

4por otra parte tg 2 =

2 tg

1 tg2de aqu

tg 2 =2 1

4

1 116

=8

15 2 = Arctg 8

15

pero = Arctg 14= 2Arctg 1

4= Arctg 8

15

b) Arccotg 7 + Arccotg 8 +Arccotg 18 = Arccotg 3Sean

Arccotg 7 = cotg = 7Arccotg 8 = cotg = 8 , as

cotg( + ) = cotg cotg 1cotg +cotg

= 7818+7

= 113

= + = Arccotg 113, luego por demostrar que

Arccotg 113

+ Arccotg 18 = Arccotg 3, analogamente sean

Arccotg 113

= cotg = 113

Arccotg 18 = cotg = 18, as

cotg( + ) =113181

113

+18= 3 + = Arccotg 3

luego Arccotg 7 + Arccotg 8 + Arccotg 18 = Arccotg 3

3. Resolver, las siguientes ecuaciones indicando su solucion general:

a) cos x sen 2x = cos 3x sen 4x

b) tg x + tg(4 x

)+ tg

(3

4+ x

)= 3

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c) cos(2x +

4

)= cos

(6x

4

)d) sen x cos x + sen 3x = 0

e) cos x(sen x) = cos(cos x)

f ) sen 3x = 8 sen3x

g) tg x + tg 3x = tg 4x

Solucion.

a)

sen 4x sen 2x = cos 3x cos x

2 cos3x sen x = 2 sen2x sen x= sen (cos 3x+ sen 2x) = 0 sen x = 0 x = k, k Z

o bien cos 3x + sen 2x = 0 cos x(4 cos2x 3 + 2 senx) = 0

cos x = 0 x = 2k 2, k Z, o bien

4 cos2x 3 + 2 senx = 0 4 sen2x 2 senx 1 = 0

sen x = 1+

54

x = k + (1)k Arcsen1+

54

, k Z

x = k + (1)k 310

, k Zb)

tg x + tg(

4 x)+ tg (3

4+ x

)= 3

tg x + 1tg x1+tg x

+ 1tg x1+tg x

= 3 tg2x 2tg x 3 = 0

de aqu tg x = 3 o tg x = 1 (no da solucion)

x = k + Arctg3, k Z x = k + 1.2490458, k Z

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c)

cos(2x +

4

) cos (6x 4

)= 0 sen 4x sen (2x

4

)= 0

de aqu;

sen 4x = 0 4x = k x = k 4, k Z

sen(2x

4

)= 0 2x

4= k x = k

2+

8, k Z

d)

sen x cos x + sen 3x = 0

sen x + sen 3x cos x = 0 2 sen 2x cos x cos x = 0

cos x(2 sen2x 1) = 0 cos x = 0 o sen 2x = 12

cos x = 0 x = 2k 2, k Z

sen 2x = 12 2x = k + (1)k Arcsen1

2= k +(1)k

6, k Z

x = k 2+ (1)k

12, k Z

e)

cos(sen x) = cos(cos x)

cos(sen x) cos(cos x) = 0

2 sen[12(sen x + cos x)

]sen

[12(sen x cos x)] = 0

De aqu: sen12(sen x + cos x) = 0 o sen1

2(sen x cos x) = 0

12(sen x + cos x) = k1, k1 Z12cos x + 1

2sen x = 2k1

2 cos (x

4

)= 2k1

2

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x 4= 2k2 Arccos

(2k1

2

), k1, k2 Z,

ecuacion que solo se sostiene para k1 = 0 y Arccos0 =2

luego x = 2k2 +4

2, k2 Z, analogamente de

sen12(sen x cos x) = 0 sen (x

4

)= 2k3

2, k3 Z

x 4= k4 + (1)k4Arcsen

(2k2

2

), solo para k3 = 0

y en este caso x = k4 +4, k4 Z

f )

sen 3x = 8 sen3x

3 senx 4 sen3x = 8 sen3x 3 senx(1 4 sen2x) = 0

sen x = 0 o bien 1 4 sen2x = 0 de donde

x = k, k Z o bien x = k + (1)k (6

), k Z

g)

tg x + tg 3x = tg 4x

como: tg x + tg 3x = tg 4x(1 tg x tg 3x) resultatg x tg 3x tg 4x = 0, de donde

tg x = 0 o tg 3x = 0 o tg 4x = 0

de aqu: x = k o x = k 3o x = k

4, k Z

4. Resolver

sen(2Arcos(cotg(2Arctg x))) = 0

Solucion.

De inmediato 2Arccos(cotg(2Arctgx)) = k, k Z

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cotg(2Arctg x) = cos(

k2

), k Z

pero cos(k

2

)= 0 si k es impar

y cos(k

2

)= 1 si k es impar, por tanto

si k es impar, k Z = cotg(2Arctg x) = 0

2Arctg x = p + 2 x = tg (p

2+

4

), p Z

Si k es par, k Z = cotg(2Arctg x) = 1

2Arctg x = p 4 x = tg (p

2

8

), p Z

5. Demostrar

a) Arctg x + Arctg1

x=

2si x > 0

b) Arctg x + Arctg1

x=

2si x < 0

c) Arctg x + Arccotg x =

2, x R

Demostracion.

a) Sea x > 0 = 0 < Arctg x < 2

2< Arctg x < 0 de

donde 0 < 2Arctg x <

2,

como tg(Arctg x) = x 1x= 1

tg(Arctg x)= cotg(Arctg x)

1x= tg

(2Arctg x) Arctg 1

x=

2 Arctg x

b) Si x < 0 = 2

< Arctg x < 0 2

< 2 Arctg x 0 Arccotg x = Arctg 1x

por (a) se tiene lo pedido

si x < 0 Arccotg x = + Arctg 1aluego por (b)

Arctg x + Arccotg x = 2 Arctg x + Arccotg x =

2

si x = 0 la igualdad es trivial.

6. Resolver

Arccotgx2 12x

+ Arctg2x

x2 1 =2

3

Solucion.

aplicando el ejercicio anterior parte c), se tiene:

Arccotg x212x

= Arctg 2xx21 si

x212x

> 0 1 < x < 0 x > 1

en cuyo caso 2Arctg 2xx21 =

23 Arctg 2x

x21 =3

2xx21 =

3 3x2 2x3 = 0 = x = 3 o x = 1

3

ambas soluciones sirven pues: 1 < 13< 0 y

3 > 1

ahora Arccotg x212x

= + Arctg 2xx21 si

x212x

< 0 x < 1 0 < x < 1

si: + Arctg 2xx21 + Arctg

2xx21 =

23 Arctg 2x

x21 = 6 de donde

x2 + 23x 1 = 0 = x = 23 o x = (2 +3), tambien ambos

son soluciones pues: 0 < 23 < 1 y (2 +3) < 1

7. Demostrar Arctg a + Arctg b = Arctga + b

1 ab si ab < 1

Demostracion.

Primero notemos que

tg(Arctg a + Arctg b) = tg(Arctg a)+tg(Arctg b)1tg(Arctg a)tg(Arctg b)

Arctg a + Arctg b = Arctg a+b1ab relacion

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que solo es valida si y solo si: 2

< Arctg a + Arctg b < 2que es lo

que haremos ver bajo la hipotesis dada que ab < 1

Caso 1 Supongamos a 0 b 0 =

0 Arctg a < 2

2< Arctg b 0 =

2< Arctg a + Arctg b 0 b > 0 como ab < 1 a < 1b Arctg a 0)

En todo triangulo se tiene que:

+ + = 180 (1)

122

y que: a+ b > c, b+ c > a, c+ a > b tambien que a angulo mayor se oponelado mayor y a angulo menor se opone el lado menor. (a < b < ), y se llaman angulos interiores del triangulo.

De la relacion (1), recordamos que se deduce que un triangulo es posibleque tenga sus tres angulos agudos ( acutangulo), dos agudos y uno recto(rectangulo) y un angulo obtuso y dos agudos (obtusangulo).

Tambien de (1) se deduce que

0 < < , 0 < < , 0 < <

y por tanto: sen > 0, sen > 0 y sen > 0

angulos exteriores

Dado el triangulo de la gura

, y se llaman angulos exteriores y es facil notar que

+ = , + = y + =

= + , = + y = +

y + + = 360

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5.2. Teorema del seno

a

sen=

b

sen =

c

sen

Demostracion.

Sea el ABC un triangulo acutangulo como se muestra en la gura

Sea hC la altura trazada desde el vertice C, as

sen =hCb

sen =hCa

=a

sen=

b

sen (1)

analogamente para la altura hB, se obtiene:

sen =hBc

sen =hBa

=a

sen=

c

sen (2)

por tanto de (1) y (2) se tiene:a

sen=

b

sen =

c

sen

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En caso que el ABC sea obtusangulo,

sen =a

sen=

hBc

sen( ) = hBa

como sen( ) = sen asen = csen analogamente si se toma la altura hC , asi

a

sen=

b

sen =

c

sen

probaremos ahora que esta igualdad es igual a 2 veces el radio de la circun-ferencia circunscrita al , asi

En rectangulo BDC, sen = a2R

= asen

= 2R siendo R el radio de

la circunferencia circunscrita al , analogamente si el es obtusangulo.

Por ultimo notemos que si el es rectangulo en C = 90 = sen =a

c sen = b

cque son las razones trigonometricas denidas para el caso

de un rectangulo.

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En resumen

a

sen=

b

sen =

c

sen = 2R

es el teorema del seno.

5.3. Teorema de las proyecciones

a = b cos + c cos

b = c cos + a cos

c = a cos + b cos

Demostracion.

Sea el triangulo acutangulo de la gura

cos =p

b

cos =q

a

c = p + q = b cos + a cos , analogamente para a y b.

Si el es obtusangulo, se tiene

De la gura

AC = AD DC

b = c cos a cos ( )

b = c cos + a cos

analogamente para a y c.

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5.4. Teorema del coseno

a2 = b2 + c2 2 bc cos

b2 = a2 + c2 2 ac cos

c2 = a2 + b2 2 ab cos

Demostracion.

Sea el triangulo acutangulo ABC, de la gura

a2 = BD2 + DC2

a2 = (c b cos )2 + b2sen2

a2 = c2 2 bc cos + b2cos2 + b2sen2

a2 = b2 + c2 2 bc cos analogamente para b2 y c2. Ahora ud. puede demostrarlo para el caso de untriangulo obtusangulo.

5.5. Equivalencia

Los sistemas:

+ + = el teorema del seno (1)

Teorema de las proyecciones (2)

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Teorema del coseno (3)

se dicen equivalentes, es decir cada uno de los tres es un sistema fundamen-tal, es decir de (1) se deduce (2) de (2) se deduce (3) y por tanto de (3) sededuce (1) ud. a modo de ejercicio verique estas implicaciones.

5.6. Formulas de Briggs

sen

2=

(s b)(s c)

bcsen

2=

(s a)(s c)

acsen

2=

(s a)(s b)

ab

cos

2=

s(s a)

bccos

2=

s(s b)

accos

2=

s(s c)

ab

donde s =1

2(a + b + c)

Demostracion.

0 < < 0 < 2<

2=

sen2=

1cos 2

cos2=

1+cos 2

pero el teorema del coseno cos = b2+c2a2

2bcy como s = 1

2(a+b+c), resultan

sen

2=

(s b)(s c)

bcy cos

2=

s(s a)

bc

analogamente para los otros casos, note tambien que:

tg

2=

(s b)(s c)

s(s a) etc...

es facil vericar que s a, s b y s c son siempre positivos.

De las anteriores formulas, es facil obtener

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sen =2

bc

s(s a)(s b)(s c), etc...

5.7. Formulas de las tangentes

a + b

a b =tg+

2

tg2

;b + c

b c =tg +

2

tg 2

;c + a

c a =tg +

2

tg 2

Demostracion.

Del teorema del senoa

b=

sen

sen

= a + ba b =

sen + sen

sen sen =2sen+

2cos

2

2cos+2

sen2

=tg+

2

tg2

5.8. Area de un triangulo

De la geometra elemental recordemos

A =1

2a hA =

1

2b hB =

1

2hC

a) Dos lados y angulo comprendido,

A =1

2ab sen =

1

2bc sen =

1

2ca sen

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A = 12ahA, pero sen =

hAb

= hA = b sen =

A = 12ab sen

A = 12c hC , de la g (2) sen( ) = hCb = hC = b sen

= A = 12cb sen.

b) Tres lados (Formula de Heron)

A =

s(s a)(s b)(s c), s = 12(a + b + c)

Demostracion.

De Briggs y como

sen = 2 sen2cos

2=

sen = 2

(s b)(s c)

bc

s(s a)

bc=

2

bc

s(s a)(s b)(s c)

y como A =1

2bc sen =

s(s a)(s b)(s c)

c) Un lado y dos angulos

A =1

2b2

sen sen

sen( + )

Demostracion.

Del Teorema del seno c = b sen sen

= b sen sen(+)

y como A = 12bc sen =

12b2 sen sen

sen(+)

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d) Otras formulas

Del Teorema del senob = 2Rsen

c = 2Rseny como

A =1

2bc sen =

1

24R2 sen sen sen =

A = 2R2 sen sen sen , donde R es el radio de la circunferencia

circunscrita al triangulo, de aqu como sen =a

2R, sen =

b

2Ry

sen =c

2Rentonces A =

abc

4R

5.9. Resolucion de triangulos

Triangulos rectangulos

Dado el triangulo rectangulo, de la gura = 90 se conoce

Caso I Dados dos catetos, hallar la hipotenusa y los dos angulosagudos

De tg =a

bse obtiene

=

2

c = a sen o bien c =a2 + b2

Caso II Dados la hipotenusa y un cateto, hallar el otro cateto ylos angulos agudos

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Dados c y a

b =c2 a2

sen =a

cy =

2

Caso III Dados un cateto y un angulo agudo, hallar la hipotenusa,el otro cateto y el otro angulo

Dados a y

=

2

b = a cotg c = a cosec Triangulos cualesquiera.

Caso I Dados los tres lados.

Por medio del teorema del coseno, se hallan y es decir cos =b2 + c2 a2

2bcy cos =

a2 + c2 b22ac

de aqu = 180 .

Notese que para que exista el debe cumplirse

a + b > c; b + c > a; c + a > b

Caso II Dados dos lados y el angulo comprendido

Sean dados: a, b y

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c se determina mediante: c =

a2 + b2 2ab cos y cos = a2 + c2 b2

2ac=

= 180 ( + )

Tambien se puede resolver mediante:

+ conocido, supongamos a > b, por medio de: tg

(

2

)=

a ba + b

cotg

2

se calcula por tanto se conocen y ; para c, mediante: c = asen sen

Caso III Dados dos angulos y un lado

Dados: a, y , + < 180

= 180 ( + ), c = asen se,

b = sen sen

Caso IV Dados dos lados y angulo opuesto a uno de ellos

Dados: a, b y , se determina mediante

sen =b

asen

1. Si a < b sen = bsena

> 1 = sen > 1, lo que no es posible, eneste caso no hay solucion ver g. 1

Fig. 1

No es posible construirun triangulo con a < b sen

2. Si a = b sen = bsena

= 1 = sen = 1 = = 90

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en este caso el triangulo es rectangulo y hay una solucion, ver g. 2

g 2 g 3

3. Si a > b sen = sen < 1, hay dos valores para , uno que es unangulo agudo y el otro obtuso estos angulos son suplementarios.

a) Si a < b = < , entonces no puede ser obtuso por tanto puede ser agudo o bien obtuso (dos soluciones). En este caso seconoce como el caso ambiguo, ver g. 3 (triangulos ABC o ABC

b) Si a = b = = , no puede se obtuso luego hay una soluciony triangulo es isosceles, ver g. 4

Si a > b = > , no puede ser obtuso, luego tambien hayuna sola solucion, ver g. 5

g 4 g 5

Note que si a > b la solucion para > 90 es imposible, por nocumplir con los datos dados.

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1. Demuestre que todo triangulo se verican:

a) c(a cos b cos ) = a2 b2b) b(cotg + cotg ) = c cosec

c)cos + cos

2 sen2 2

=b + c

a

d)sen( )sen( ) =

a

b

(c2 a2)(c2 b2)

e) b sen2

2+ c sen2

2=

1

2(b + c a)

f ) a cos + c cos = b cos( )g)

c + a

c a tg

2= tg

1

2(2 + )

h) tg cotg =a2 b2 + c2c2 + b2 a2

i)(cos + cos )(2cos + 1)

1 + cos 2cos2 =a + b

c

j ) b2(cos + cos cos ) = ac sen2

Demostracion.

a)

c(a cos b cos ) = ac cos ) = ac cos bc cos

= a(a bcos ) b(b a cos )

= a2 ab cos b2 + ab cos = a2 b2

b)

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b(cotg + cotg ) = b cos sen

+ b cos sen

= ca cos sen

+ b cos sen

= csen

a cos sen

+ b cos sen

= csen

cos (

asen

bsen

)= c

sen= c cosec

c)

cos +cos 2 sen2

2=

2 cos+2

cos2

2 sen2 2

=sen

2cos

2

sen2 2

=2 cos

2cos

2

2 sen 2

cos 2

=2 sen+

2cos

2

sen

= sen+sen sen

= sensen

+ sen sen

= a+bc

d)sen()sen() =

sen cossen cos sen cos sen cos

= sensen

( sen sen cos cos )( sen sen cos cos )

= ab

ca

cos cos cbcos cos

= c cos a cos c cos b cos =

ba cos a cos ab cos b cos

=b2a a2+b2c2

2ab

a2b a2+b2c22ab

= ab

(c2a2)(c2b2)

e)

b sen2 2+ c sen2

2= b

(1cos

2

)+ c

(1cos

2

)= 1

2(b + c (b cos + c cos )) = 1

2(b + c a)

f ) Por el teorema de las proyecciones

b cos = c a cos

b cos = a c cos multiplicando miembro a miembro

b2 cos cos = ac (a2 + c2)cos + ac cos2 (1)

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por otra parte del Teorema del seno, se tiene

b sen = a sen b sen = c sen de donde b2sen sen = ac sen2 sumando con (1)

b2(cos cos + sen sen ) = 2ac (a2 + c2)cos

b cos( ) = 1b(2ac (a2 + c2)cos ) (2)

ahora, nuevamente del Teorema de las proyecciones

ac = bc cos + c2 cos

ac = a2cos + ab cos

sumando y ordenando y

2ac (a2 + c2)cos = b(c cos + a cos ) en (2)

b cos( ) = c cos + a cos .g) Por el teorema de las tangentes se tiene

c+aca =

tg +2

tg 2

=tg (22 )tg

2

de aqu

c+aca tg

2=

cotg 2tg

2

tg( 2 )= cotg

(2

2

)= tg

(2 (

2

2

))= tg

(2

2+

2

)pero

2

2=

2+

2

= tg(2+

2+

2

)= tg 1

2(2 + )

h)a2+c2b2b2+c2a2 =

2ac cos 2bc cos

= abcos cos

= sen cos sen cos

= tg cotg

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i)

(cos +cos )(2cos +1)1+cos 2 cos2 =

2 cos+2

cos2

(2cos +1)

(2 cos +1)(1cos )

=2 sen

2cos

2

2 sen2 2

=2 cos

2cos

2

2 sen 2

cos 2

=2 sen+

2cos

2

sen = sen+sen

sen = a+b

c

j )

b2(cos + cos cos ) = b2(cos + 1

2{cos( + ) + cos( )})

= b2(cos + 1

2{cos( ) + cos( )})

= b2

2(cos + cos( ))

= b2

22 cos+

2cos+

2

= b2 cos(2 ) cos (

2 )

= b2 sen sen = bsen bsen

= c sen a sen = ac sen2.

2. Si en un triangulo tg , tg , tg estan en progresion armonica, de-muestrese que a2, b2, c2 estan en progresion aritmetica.

Demostracion.

tg , tg , tg en P.H. 1

tg , 1tg

, 1tg

estan en progresion aritmetica y de aqu

cotg , cotg , cotg en P.A.

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2 cotg = cotg + cotg

2 cos sen

= cos sen +sen cos sen sen

= sen(+)sen sen

2 cos sen

= sen sen sen

2 cos = sen sen

sen sen

pero el Teorema del seno y coseno se tiene:

a2+c2b2ac

= ba b

c b2 a2 = c2 b2

= a2, b2 y c2 estan en progresion aritmetica.

3. En un si = 45, demuestrese que

cotg + cotg + cotg cotg = 1

Demostracion.

cotg + cotg + cotg cotg = sen cos +sen cos sen sen

+ cos cos sen sen

= 1 + sen(+)sen sen

+ cos cos sen sen sen sen

; + =

= 1 + sensen sen

+ cos(+)sen sen

= 1 + sensen sen

+ cossen sen

pero: = 45 y como sen 45 = cos 45, entonces resulta lo pedido.

Una solucion alternativa resulta de: + = 135 y aplicar cotagente.

4. Si en un triangulo se verica

sen( )sen( + )

=c2 b2c2 + b2

demuestre que el triangulo es isosceles o rectangulo.

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Demostracion.

+ = = sen( + ) = sen, assen cos sen cos

sen= c

2b2c2+b2

sen sen

cos sen sen

cos = c2b2c2+b2

ca

(a2+c2b2

2ac

) b

a

(a2+b2c2

2ab

)= c

2b2c2+b2

de aqu se llega a: c2b2a2

= c2b2

c2+b2

Si b = c la relacion se cumple y el es isosceles.

Si b = c = c2 + b2 = a2 y el es rectangulo.

5. En un triangulo si tg

2=

a

b + c, demuestre que el triangulo es rectangu-

lo.

Demostracion.

sen2

cos2

= sensen+sen

sen2

cos2

=2 sen

2cos

2

2sen+2

cos2

pero sen+2

= sen(2

2

)sen

(2

2

)cos

2= cos2

2

cos2cos

2= cos2

2 cos

2= cos

2

de donde 2

= 2 = pero + + =

= = = 2= el es rectangulo.

6. Demuestre que en todo triangulo si

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sen sec( ) = cotg tg( )el triangulo es rectangulo.

Demostracion.

sen cos() =

cos sen

sen()cos()

sen +sen()cos() =

cos sen

=

2 sen+2

cos+2

cos( ) =cos

sen

2 sen(2 ) cos (

2 )

cos( ) =cos

sen

2 sen sen = cos( )2 sen sen = cos cos + sen sen

= cos cos sen sen = 0 cos( + ) = 0

de aqu + = 2= el triangulo es rectangulo.

7. Demostrar que si en un triangulo ABC se cumple que

b3 + c3 a3b + c a = a

2 y sen sen =3

4

entonces el triangulo es equilatero.

Demostracion.

De b3+c3a3b+ca = a

2 b3 + c3 = a2(b + c)

(b + c)(b2 bc + c2) = a2(b + c) pero b + c > 0

b2 + c2 a2 = bc por el Teorema del coseno se tiene

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2 bc cos = bc = cos = 12 =

3

De sen sen = 34 1

2[cos( + ) cos( )] = 3

4

cos( ) cos( ) = 32 cos( ) + cos = 3

2

cos( ) = 1 = 0 = y como + + =

= = = = 3= el triangulo es equilatero.

8. Demuestre que en cualquier triangulo

b2 c2cos + cos

+c2 a2

cos + cos +

a2 b2cos + cos

= 0

Demostracion.

Por el Teorema del senob = k sen c = k sen , k cte.

b2c2cos +cos

= k2(sen2sen2)

cos +cos = k

2(cos2cos2)cos +cos

= k2(cos cos ), analogamentec2a2

cos +cos = k2(cos cos ) y a2b2

cos +cos = k2(cos cos )

luego

b2c2cos +cos

+ c2a2

cos +cos + a

2b2cos +cos

=

k2(cos cos + cos cos + cos cos ) = 0

9. Si los lados de un rectangulo son

cos 2 + cos 2 + 2 cos( + ) y sen 2 + sen 2 + 2sen( + )

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demuestre que la hipotenusa es 4 cos2

2

Demostracion.

cos 2 + cos 2 + 2 cos( + ) =

2 cos( + ) cos( ) + 2 cos( + )

= 2 cos( + )(cos( ) + 1) por otra parte;

sen 2 + sen 2 + 2 sen( + ) =

= 2 sen( + ) cos( ) + 2sen( + )

= 2 sen( + )(cos( ) + 1), ahora por Pitagoras

4(cos( ) + 1)2(cos2( + ) + sen2( + )) = 4(cos( ) + 1)2

la hipotenusa es la raz cuadrada de esta ultima expresion es decir:

2(cos( ) + 1) = 4 cos2 2

10. Demostrar que en todo triangulo se verica

a2sen( )sen

+b2sen( )

sen +

c2sen( sen

= 0

Demostracion.

asen

asen( ) + bsen

bsen( ) + csen

sen( ) =

pero asen

= bsen

= csen

= K, entonces

K[a sen cos a sen cos + b sen cos b sen cos

+c sen cos c sen cos ]

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pero nuevamente por el Teorema del seno la expresion entre parentesisse anula.

11. Demuestre que si en un triangulo se cumple

cos + cos =a + b

2centonces = 60

Demostracion.

cos + cos = a+b2c

2 cos +2

cos2

= sen+sen 2 sen

, pero +2

= 2

2

2 sen2cos

2=

2 sen+2

cos2

2 sen

sen2=

cos 2

2 sen =

cos 2

4 sen 2

cos 2 sen2

2= 1

4

sen2= 1

2=

2= 30 = = 60

12. Si los lados de un triangulo son:2a + 3, a2 + 3a + 3 y a2 + 2a, a > 0demuestre que el angulo mayor es 120

Demostracion.

Notese que a > 0

a2 + a > 0 a2 + 3a + 3 > 2a + 3

a + 3 > 0 a2 + 3a + 3 > a2 + 2ay

por tanto el lado mayor resulta ser a2 + 3a + 3, a > 0 as por elTeorema del coseno se tiene

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cos = (2a+3)2+(a2+2a)2(a2+3a+3)22(2a+3)(a2+2a)

cos = 2a37a26a

2a(2a2+7a+6)= 1

2= = 120

13. Demostrar que todo triangulo se verica

a) c sen2

2+ b sen2

2= s a

b) bc cos2

2+ ac cos2

2+ ab cos2

2= s2

c) a2sen2 + b2 sen2 = 4A

s es el semipermetro del triangulo y A su area.

Solucion.

a)

c sen2 2+ b sen2

2= c 1cos

2+ b 1cos

2

= c2 c

2cos + b

2 b

2cos = c

2+ b

2 1

2(c cos + b cos )

= c2+ b

2 a

2= s a, s = 1

2(a + b + c)

b)

bc cos2 2+ ac cos2

2+ ab cos2

2= bc1+cos

2+ ac1+cos

2+ ab1+cos

2

= 12(bc +

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