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CONVERSION DE PUISSANCE

L’objet de ce problème consiste à étudier la production d’énergie

électrique à partir d’une éolienne. Le dispositif porte alors le nom

d’« aérogénérateur » et est constitué de plusieurs sous-ensembles qui vont

être étudiés successivement.

La photographie ci-contre représente deux mats éoliens servant de

support aux aérogénérateurs : ils sont de hauteur 30 mètres, les pales étant

de longueur 14 mètres. La puissance nominale de chaque aérogénérateur est

Pn = 300 kW.

Les pales entraînent une génératrice électrique qui doit fournir une

énergie électrique « utile ». Les aérogénérateurs sont souvent reliés au réseau

électrique de distribution ce qui nécessite une énergie sous forme alternative,

de fréquence 50 Hz et de valeur efficace de tension stable et égale à

Vn = 400 Volts.

PARTIE I

GENERATRICE SYNCHRONE

La génératrice utilisée est une machine à courant alternatif de type synchrone, à excitationindépendante. Le principe simplifié d’une telle machine, tel qu’il sera utilisé dans la suite est le sui-vant : « l’induit » de la machine, bornes M+ et M– du schéma de la figure 1, fournit une tensionsinusoïdale notée vM(t), au moyen d’un schéma électrique équivalent fourni par la figure 2 ci-dessous :

Sur ce schéma, eM(t) désigne la force électromotrice (ou f.e.m.) et iM(t) représente le courantdélivré par la machine (convention générateur). Le courant, la f.e.m. et la tension sont tous supposéssinusoïdaux, de même pulsation ωM. On peut alors noter :

( ) ( )2 sinM M Me t E t= ω + α ; ( ) ( )2 sinM M Mv t V t= ω ; ( ) ( )2 sinM M Mi t I t= ω − ϕ

EM, VM et IM représentent respectivement la valeur efficace de eM(t), vM(t) et iM(t). L’angle αest le déphasage « avance » de la f.e.m. par rapport à la tension ; l’angle ϕ est le déphasage« retard » du courant par rapport à la tension.

La vitesse de rotation de la machine synchrone sera notée ω et son courant d’excitation seranoté IE : il s’agit d’un courant continu qui doit circuler entre les bornes E+ et E– du schéma de lafigure 1. Compte tenu de ces notations, les propriétés de la machine permettent d’écrire les relationssuivantes : EM = k ωM IE .

k est une constante « de construction », L représente une inductance équivalente. Leurs va-leurs numériques sont les suivantes : k = 0,11 V⋅s⋅A–1 ; L = 3 mH.

I-1) Rappeler le principe de fonctionnement d’une génératrice synchrone en soulignant lescaractéristiques principales

E+

E–

M+

M–

vM(t)

figure 1ω

M–

vM(t)

M+iM(t)

figure 2

L

eM(t)~

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I-2) L’aérogénérateur tourne à vitesse constante et la machine synchrone tourne également àla vitesse constante ωΜ. Le courant d’excitation de la machine est également maintenu constant.

Les valeurs numériques sont les suivantes : ωM = 314 rd⋅s–1 et IE = 25 A.

Dans ces conditions, la valeur efficace de la f.e.m. ainsi que la pulsation sont constantes.

a) Justifier l’expression de EM et calculer les valeurs numériques de EM et de la fré-quence fM de toutes les grandeurs sinusoïdales. Quelle est, en tr⋅mn–1, la vitesse de rotation de lamachine notée N0 ? Quelle est l’interprétation de α ?

b) La machine délivre un courant de valeur efficace IM1 = 300 A, en phase avec latension (récepteur résistif). Tracer l’allure du diagramme de Fresnel représentant les amplitudescomplexes EM, VM et IM en faisant apparaître, si besoin est, les angles orientés α et ϕ.

c) Calculer numériquement la valeur efficace de la tension VM1 aux bornes de la ma-chine.

I-3) En réalité, le récepteur n’est pas purement résistif et possède une impédance ZC.

a) Tracer l’allure du diagramme de Fresnel représentant les amplitudes complexesEM, VM et IM pour un angle ϕ négatif quelconque, en faisant apparaître, si besoin est, les anglesorientés α et ϕ.

b) Établir la relation donnant EMsin(α) en fonction de IM, ϕ et |Z| où Z estl’impédance de la bobine L. Cette relation dépend-elle du signe de ϕ.

c) Donner l’expression de la puissance moyenne reçue par la charge, notée P, enfonction de EM, VM, |Z| et de l’angle α. Quel est le domaine de définition de α ?

d) Pour une valeur de tension VM fixée, quelle valeur α0 de l’angle α permetd’obtenir une puissance maximale si la vitesse reste constante et l’excitation également ?

e) Pour cette valeur de tension et pour cet angle α0, quelle est alors la nature du ré-cepteur ?

PARTIE II

REDRESSEMENT

Afin d’éliminer les problèmes liés à la variation de vitesse de rotation de l’éolienne néces-saire pour assurer le maximum de puissance qui dépend de la vitesse du vent, on doit utiliser unétage de conversion électronique avant de délivrer la puissance au réseau. Le dispositif est alorscelui représenté sur la figure 3 où deux convertisseurs, appelés Redresseur et Onduleur, sont dispo-sés en cascade entre la machine et le récepteur.

On notera la présence de l’inductance LC et du condensateur CC.

Dans toute cette partie 2 , on considère que la ten-

sion vC aux bornes du condensateur reste constante, égale

à VC.

On néglige l’influence de L et l’on peut donc considé-rer que la tension alimentant le redresseur est égale à :

( ) ( ) ( )2 sinM M M Mv t e t E t= = ω avec EM = 400 V et

ωM = 314 rd⋅s–1. Le redresseur est un pont double à diodescomme représenté sur la figure 4 ci-contre, les diodes étantconsidérées comme parfaites. On considère que ce montage

D1 D2

D’2D’1

uC

iL

iM

vM

figure 4

M+

M–

vM(t)

figure 3ω

uC vC

LC

CC

iL

~~=

=

REDRESSEUR ONDULEUR

SE

CT

EU

RvL

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redresseur fonctionne en conduction continue et que, par conséquent, le courant iL(t) qu’il délivre nes’annule jamais lorsque le montage fonctionne en régime établi, seul régime étudié ici.

Compte tenu des notations, on aura donc : iL(t) > 0.

II-1) Calcul de la tension VC.

a) À partir du tracé de la tension eM(t), justifier et tracer l’allure de la tension uC(t) ensortie du redresseur.

b) Déterminer, en fonction de EM, l’expression littérale donnant la valeur moyenneUC0 de cette tension uC(t).

c) En déduire l’expression de la tension VC aux bornes du condensateur. Calculernumériquement VC.

II-2) On souhaite déterminer la valeur minimale à donner à l’inductance LC. Pour cela, onutilise la décomposition en série de Fourier de la tension uC(t). Comme la fonction uC(t) est paire,

l’amplitude de son fondamental est donné par la relation ( ) ( )1 C0

22 cos

CT

C C

C

U u t t dtT

= ω∫ .

a) Déterminer la valeur efficace de son terme fondamental, noté UC1, en fonction deEM.

Rappel : ( ) ( ) ( ) ( )1

sin sin sin sin2

a b a b a b= + + − .

b) Déterminer la valeur efficace VL1 du terme fondamental de la tension vL(t) enfonction de EM.

c) En déduire l’expression de la valeur efficace du terme fondamental du courantiL(t), terme noté IL1, en fonction de EM, ωM et LC.

d) Quelle est la valeur minimale à donner à l’inductance LC pour que l’amplitude dufondamental du courant iL(t) reste inférieure à 5 A ? Calculer numériquement cette valeur.

II-3) Le dispositif délivre une puissance moyenne P = 300 kW.

a) Déterminer la valeur moyenne IL0 du courant iL(t). Calculer numériquement IL0.

b) Que peut-on conclure sur l’allure du courant iL(t) si la contrainte de la question II-2-d est vérifiée ?

II-4) Quels sont les effets d’un ralentissement de l’aérogénérateur ?

PARTIE III

ASSERVISSEMENT DU COURANT D’EXCITATION

Dans le dispositif étudié précédemment, une variation de vitesse peut s’avérer préjudiciableau bon fonctionnement de la conversion d’énergie. Afin de la compenser, on réalise un asservisse-ment en pilotant le courant d’excitation iE de la machine. En effet, on peut considérer que la tensionvC obtenue (cf. figure 3) est proportionnelle à ce courant et l’on notera donc : vC = kCiE. Une aug-mentation du courant iE permet donc d’augmenter cette tension. La valeur numérique du coefficientde proportionnalité est : kC = 4 Ω.

Le bobinage d’excitation de la machine (bornes E+ et E–de la figure 1) peut aisément être modélisé par un dipôle résistif etinductif, de résistance RE et d’inductance LE comme indiqué sur lafigure 5 ci-contre.

Sur cette même figure 5 est également dessiné le dispositifde commande du courant réalisé au moyen d’un simple hacheursérie, lui-même alimenté par une source de tension V0 constante.

L’interrupteur noté T est parfait et se comporte de la façon suivante : lorsque sa commandeuT est positive, il est fermé (équivalent à un court-circuit) et lorsque sa commande uT est négative, ilest ouvert (équivalent à une impédance infinie). La diode D est parfaite (aucune perte, commuta-

V0

figure 5

uS

LE iE

RE

T

uT(t)

D

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tions instantanées). On rappelle que le rapport cyclique d’un hacheur série correspond à la fractionde période pendant laquelle l’interrupteur T est « fermé ».

III-1) Le signal de commande uT est obtenu par comparaison d’unetension uH(t), supposée variant « lentement » au cours du temps, avec unefonction périodique f(t) de forme triangulaire, d’amplitude uH0 = 10 V (onnotera TH la période de f(t)). La figure 6 ci-contre présente le montageutilisant un A.L.I. parfait, alimenté par des sources de tensions symétri-ques + VDD et –VDD (avec VDD > uH0) non représentées. Sur le documentréponse ci-dessous, à rendre avec la copie, tracer l’allure des tensions uT(t)et uS(t).

III-2) Le rapport cyclique est maintenu constant, égal à β0, pendant plusieurs périodes suc-cessives de f(t), ce qui correspond donc à une tension uH constante. On s’intéresse alors à un régimeétabli périodique de toutes les grandeurs électriques étudiées sur ce hacheur. En particulier, le cou-rant iE(t) est périodique.

a) Déterminer l’expression de la valeur moyenne US0 de la tension uS en fonction deβ0 et de V0.

b) Déterminer la valeur moyenne du courant iE(t) notée IE0, en fonction de β0, V0 etRE.

III-3-a) En prenant comme origine des temps un instant de fermeture de l’interrupteur T,déterminer le courant iE(t) en utilisant V0, les paramètres RE et LE et les valeurs maximale (resp mi-nimale) notées IMAX et IMIN du courant iE(t). Ces deux valeurs sont supposées strictement positives.

On notera EE

E

L

Rτ = .

b) On suppose dans la suite que la période TH est très faible devant τE. Déterminerl’expression très simple donnant IMIN en fonction de β0, V0 et RE.

c) Déterminer l’expression donnant IMAX en fonction de IMIN, TH, β0 et τE.

III-4) On souhaite déterminer la valeur limite de la fréquence de commutation fH.

a) En utilisant les expressions simplifiées obtenues aux questions précédentes, dé-terminer l’expression de l’ondulation du courant iE notée ∆iE en fonction uniquement de β0, V0, LE

et TH.

b) Quelle valeur de rapport cyclique β0 rend cette ondulation maximale ?

c) Déterminer, en fonction de LE, l’expression de la période de découpage maximaledu hacheur, notée THMAX, assurant une ondulation ∆IE < 1 A, quel que soit le rapport cyclique. Cal-culer alors la fréquence minimale fMIN de fonctionnement de ce hacheur pour les valeurs numéri-ques suivantes : LE = 50 mH et V0 = 400 V.

+

–

uH(t)

f(t)uT(t)

figure 6

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Document réponse

Nom et prénom : ...................................................................................

O

O

O

t

t

t

TH 2TH 3TH 4TH

f(t) uH(t) uH0

uT(t)

uS(t)