CONICE PE ECUATII GENERALE

OANA CONSTANTINESCU

Clasi�carea conicelor.

(1) Discutati natura urmatoarelor conice in functie de parametrii reali ce apar:(a) x2 + 2axy + y2 − 1 = 0;(b) x2 + ay2 − 2y − 2ax = 0;(c) (1−m)x2 + y2 − 2xy −mx− 1 = 0;(d) x2 + 2mxy + y2 − 2x+ 2y −m = 0;(e) x2 − 2αxy + y2 − 2βx+ 1=0 ;

(2) Sa se determine λ real astfel incat �ecare dintre conicile urmatoare(a) x2 + 2λxy + y2 − 5x− 7y + 6 = 0,(b) x2 + 2xy + y2 + 2λx− 7y + 6 = 0,(c) λx2 + 2xy − 4y2 − 8x+ 14y − 5λ = 0,

sa reprezinte reuniunea a doua drepte. Care sunt ecuatiile lor?

Reprezentari gra�ce. Reprezentati gra�c urmatoarele conice:

Elipse:

(1) 2x2 − 4xy + 3y2 − 5x+ 6 = 0;(2) 2x2 − 6xy + 5y2 − 3x+ y + 1 = 0;(3) 2x2 − 4xy + 5y2 − 6x+ 2y + 1 = 0;(4) 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x− 16y − 16 = 0;(5) 5x2 + 4xy + 8y2 − 32x− 56y + 80 = 0;(6) 3x2 + 2xy + 3y2 + 6x− 2y − 5 = 0;(7) 3x2 + 2xy + 2y2 + 3x− 4y = 0;(8) 3x2 − 2xy + 3y2 + 4x+ 4y − 4 = 0;

Hiperbole:

(1) 6xy + 8y2 − 12x− 26y + 11 = 0;(2) x2 − 3xy + y2 + 1 = 0;(3) 3x2 + 2xy − y2 + 8x+ 10y = 14 = 0;(4) 3x2 + 10xy + 7y2 + 4x+ 2y + 1 = 0;(5) 2x2 − 3xy − x+ 3y + 4 = 0;(6) x2 + 6xy + y2 + 6x+ 2y − 1 = 0;(7) 4x2 + 2xy − y2 + 6x+ 2y + 3 = 0;(8) 2x2 − xy − 3y2 − x− 6y − 15 = 0;

Parabole:

(1) 9x2 − 6xy + y2 + 20x = 0;(2) x2 − 2xy + y2 + x− 2y + 3 = 0;(3) x2 − 2xy + y2 − x+ 5y + 1 = 0;(4) x2 − 2xy + y2 − 6x+ 3y − 2 = 0;(5) x2 + 4xy + 4y2 + x− 2y = 0;(6) 9x2 + 6xy + y2 − 5x− 7y − 4 = 0;(7) 4x2 − 4xy + y2 − 2x− 4y + 10 = 0;(8) x2 − 4xy + 4y2 + x− 4 = 0;

1

CONICE PE ECUATII GENERALE 2

Perechi de drepte:

(1) x2 − 6xy + y2 + 4x+ 4y − 4 = 0;(2) xy − 3x− 2y + 6 = 0;(3) x2 − 4y2 − 2x+ 8y − 3 = 0;(4) 12x2 + 8xy + y2 + 10x− 5y − 50 = 0;(5) x2 + 4xy + 4y2 − x− 2y − 12 = 0;(6) x2 − 4xy + 3y2 + 2x− 2y = 0;(7) x2 − 5xy + 4y2 + x+ 2y − 2 = 0;(8) 4x2 − 5xy + y2 + 2x+ y − 2 = 0.

Centre de simetrie.

(1) Fie fasciculul de conice x2 + λxy + 2y2 − 3x+ λy − 1 = 0, λ ∈ R. A�ati locul geometric al centrelor conicelordin fascicul.

(2) Fie conicele

(C)1 : x2 + 2xy + 6y2 − 8x− 38y + 3 = 0,(C)2 : 3x2 − xy + y2 − 3x− 5y − 2 = 0.

Scrieti ecuatiile fasciculului de conice determinat de cele doua conice. Demonstrati ca toate conicele fascicululuicare au centru de simetrie au acelasi centru. Determinati conica din fascicul care trece prin originea axelor decoordonate.

(3) Fie conicele

(C)1 : 2x2 − 4xy + 5y2 − 6x+ 2y + 1 = 0,(C)2 : x2 + 4xy − 3y − 2 = 0.

A�ati natura acestora cat si centrele lor de simetrie. Determinati locul geometric al centrelor fasciculului deconice determinat de conicele date cat si natura acestui loc.

Determinarea conicelor prin puncte:

(1) Scrieti ecuatia conicei ce trece respectiv prin punctele:(a) A(3, 0), B(4, 1), C(2, 3), D(0, 2), O(0, 0);(b) A(3, 1), B(1, 2), C(−1, 1), D(1, 0), E( 5

2 ,12 );

(c) A(2, 0), B(3, 0), C(0, 1), D(0, 4), E(5, 4);

(2) Determinati ecuatia fasciculului de conice ce trec prin punctele:(a) A(3, 0), B(4, 1), C(2, 3), D(0, 2);(b) A(1, 0), B(3, 0), C(3, 2), D(0, 3);

Probleme de tangenta.

(1) Scrieti ecuatiile tangentelor si normalelor la urmatoarele conice in punctele speci�cate:(a) x2 − 4xy + 9y2 + 2x− 14y = 0, O(0, 0);(b) 2x2 + 4xy − y2 + 4x− 8y − 12 = 0, M(2, 2);(c) x2 − 5xy + 3y2 + 5x+ 3y − 6 = 0, in punctele de intersectie ale conicii cu axele de coordonate;

(2) Determinati parametrul real λ astfel incat dreapta 2x− y+ λ = 0 sa �e tangenta conicei x2 − 4xy+ y2 − 2x+4y − 3 = 0 si sa se a�e punctul de contact.

(3) Determinati a ∈ R astfel incat dreapta ax−5y−4 = 0 sa �e tangenta conicei 3x2−4xy+2y2 +7x−5y−3 = 0.

CONICE PE ECUATII GENERALE 3

(4) Gasiti tangentele la conica 2x2 − 4xy + y2 + 4x− 2y − 7 = 0, paralele cu prima bisectoare.

(5) Scrieti ecuatiile tangentelor la conica x2 − 2xy − 3y2 − 2x− 4y − 2 = 0, paralele cu dreapta 2x− y − 1 = 0.

(6) Gasiti tangentele la conica x2 + 4xy + 3y2 + 4x− 2y − 3 = 0, paralele cu dreapta y − 2x− 1 = 0.

(7) Determinati ecuatiile tangentelor duse din punctul P (2, 1) la conica x2 + xy + 4y2 − 4x− 2y − 11 = 0.

(8) Scrieti ecuatiile tangentelor duse din M(1, 1) la conica x2 − 19xy − 30y2 − 37x+ 27y − 21 = 0.

(9) Determinati locul geometric al punctelor de unde se pot duce tangente perpendiculare la elipsa 2x2+3y2−6 = 0.

Diametri, axe de simetrie, asimptote.

(1) Fie conica x2 − 3xy − 4y2 + 6x− y + 3 = 0.(a) Scrieti ecuatia diametrului care trece prin M(1, 0).(b) Determinati ecuatia diametrului paralel cu dreapta 2x+ 2y + 1 = 0.

(2) Scrieti ecuatia diametrului conicei 5x2 − xy − y2 − 8x+ 5y = 0 paralel cu dreapta 3x− y + 3 = 0.

(3) Fie conica x2 − 4xy + 9y2 − 6x+ 12y = 0. Se cere diametrul perpendicular pe dreapta 2x+ 4y − 3 = 0.

(4) Demonstrati ca dreptele (d1) : 3x − y − 1, (d2) : 2x + y − 4, (d3) : x + 3y − 7 sunt doametri ai coniceix2 − xy + 3y2 − 11y + 3 = 0.

(5) Determinati axele de simetrie ale urmatoarelor:(a) conice cu centru:

(i) 5x2 − 4xy + 3y2 − 2x− 8y = 0;(ii) 3x2 − 4xy − 2x+ 4y − 3 = 0;(iii) 11x2 − 6xy + 3y2 + 72x− 27y = 0;

(b) parabole:(i) x2 − 4xy + 4y2 + 3x− 5y = 0;(ii) 9x2 + 6xy + y2 − 5x− 7y − 4 = 0;(iii) x2 − 4x+ 6y − 3 = 0.

(6) Scrieti ecuatiile asimptotelor urmatoarelor hiperbole:(a) 3xy − 9x− y + 7 = 0;(b) 2x2 + xy − y2 − 5x+ y = 0;(c) x2 − y2 − 6x+ 4y + 2 = 0;(d) x2 − xy − 6y2 − x+ 13y − 10 = 0.

CONICE PE ECUATII GENERALE 4

Probleme suplimentare.

(1) Discutati natura conicei urmatoare in functiei de parametrii reali ce apar: (α − 1)x2 + 2βxy − (α + 1)y2 +2αx+ 2βy − (α+ 1) = 0.

(2) Se considera familia de conice (Γλ) : x2 − λ(1 − λ)xy + λ2y2 − a2λ2y = 0, unde a este o constanta reala,iar λ un parametru real. Sa se a�e locul geometric al centrelor conicelor nevide si sa se faca discutia loculuigeometric in functie de a.

(3) Se da familia de conice:x2 + 4αxy + (1− 3α)y2 + 2βx+ 2γy + δ = 0.

Demonstrati ca directiile axelor de simetrie ale acestora nu depind de parametrii ce intervin.

(4) Fie familia de conice [(x− a)2 + y2 − b2

] (1 + λ2

)− (y − λx) 2 = 0.

Aratati ca acestea sunt parabole ale caror axe de simetrie trec printr-un punct �x.

(5) Demonstrati ca locul geometric al punctelor dintr-un plan euclidian, pentru care raportul distantelor la unpunct dat F si respectiv la o dreapta data (δ) este o constanta nenula e, este o conica. Mai precis:(a) daca F nu apartine dreptei (δ), atunci:

(i) pentru e < 1, conica este o elipsa sau un punct dublu;(ii) pentru e = 1, conica este o parabola;(iii) pentru e > 1, conica este o hiperbola;

(b) daca F ∈ (δ), atunci:(i) pentru e < 1, conica este un punct dublu;(ii) pentru e = 1, conica este o dreapta dubla;(iii) pentru e > 1, conica este o pereche de drepte concurente in F .

(6) Fiind dat un triunghi echilateral de latura 2a, sa se gaseasca locul geometric al punctelor din interiorul tri-unghiului, pentru care distanta la una din laturile triunghiului este media armonica a distantelor la celelaltedoua laturi.

(7) Se considera o elipsa

(E) :

{x = a cos t,y = b sin t.

(a) Demonstrati ca patru puncte ale elipseiMi(ti), i ∈ 1, 4, sunt conciclice daca si numai daca t1+t2+t3+t4 ≡0(mod2π).

(b) Aratati ca normalele la elipsa prin punctele Mi(ti), i ∈ 1, 4, sunt concurente daca si numai daca

θ1θ2 + θ1θ3 + θ2θ3 + θ2θ4 + θ3θ4 = 0 si θ1θ2θ3θ4 = −1,

unde θi = tan ti2 , i ∈ 1, 4 si in acest caz t1 + t2 + t3 + t4 ≡ π(mod2π).

(8) Punctele coliniare M1, M2, M3, M4 formeaza o diviziune armonica (sau perechea (M1, M2) este armonic con-jugata cu perechea (M3, M4)), daca punctele M3 si M4 impart segmentul orientat M1M2 in rapoarte egale in

modul(−−−−→M3M1 = k

−−−−→M3M2,

−−−−→M4M1 = −k

−−−−→M4M2

). Se considera conica (Γ) : f(X) :=t XAX + 2BX + a00 = 0

si punctul M0(X0) din planul conicei. Fie (δ) : X = X0 + tU , t ∈ R, o dreapta care intersecteaza conica inpunctele M1(X1), M2(X2). Demonstrati ca matricea coordonatelor punctului M armonic conjugat cu M0 inraport cu perechea (M1, M2) este solutie a ecuatiei

tX0AX +B(X +X0) + a00 = 0.

Dreapta data de aceasta ecuatie (daca exista) se numeste polara punctuluiM0 in raport cu conica (Γ). Remar-cati ca ecuatia ei se obtine prin dedublare in M0 din ecuatia conicei. Mai mult, demonstrati ca daca din M0

se pot duce doua tangente la conica (Γ), M0T1 si M0T2, T1, T2 ∈ Γ, atunci polara punctului M0 este dreaptaT1T2 ce uneste cele doua puncte de tangenta.