CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETTIA Elipsaoanacon/GE/fisiere/cursuri/... ·...

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI

1. Elipsa

Cadrul de lucru al acestui curs este un plan a�n euclidian orientat E2 =(E,(−→E ,<,>

),Φ).

De�nition 1. Se considera doua puncte distincte F, F ′ ∈ E cu d(F, F ′) = 2c > 0 si un numar real 2a > 2c. Senumeste elipsa locul geometric al punctelor planului E pentru care suma distantelor la punctele �xe F, F ′ esteconstanta si egala cu 2a:

(1.1) E = {P ∈ E | d(P, F ) + d(P, F ′) = 2a}

Punctele F, F ′ se numesc focarele elipsei, dreapta FF ′ axa focala si 2c distanta focala .Pentru a ne convinge ca locul geometric de�nit anterior este o multime nevida, �e O mijlocul segmentului (FF ′),

�e A, A′ ∈ FF ′ astfel incat d(O,A) = d(O,A′) = a si A′ − F ′ −O − F −A. Evident A,A′ ∈ E .Putem sa mai construim usor alte doua puncte ce apartin elipsei: �e {B,B′} intersectia dintre mediatoarea

segmentului (FF ′) si cercul cu centrul in F , de raza a. Evident B,B′ ∈ E .Aceste patru puncte A,A′, B,B′ se numesc varfurile elipsei .

Pentru a construi elipsa putem folosi un elipso-graf. Capetele unui �r inextensibil de lungime2a se �xeaza in cele doua focare. Intindem�rul cu varful unui creion. In miscarea sa,creionul va descrie pe foaie o elipsa. DreaptaFF ′ se numeste axa transversa , iar media-toarea segmentului (FF ′) - axa conjugata .

Ecuatiile elipsei. Pentru a putea determina ecuatiile elipsei vom �xa un reper ortonormat astfel: originea va �

punctul O, mijlocul segmentului (FF ′), i = 1

‖−−→F ′F‖

−−→F ′F si j ⊥ i, ‖ j ‖= 1 astfel incat {i, j} e o baza pozitiva. Notam

cu Ox, Oy axele de coordonate.In raport cu acest reper punctele construite pana acum au coordonatele F (c, 0), F ′(−c, 0), A(a, 0), A′(−a, 0),

B(0, b), B′(0,−b), unde am notat

(1.2) b =√a2 − c2

Numim a semiaxa mare a elipsei si b semiaxa mica .1

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 2

Ecuatia canonica

Fie P (x, y) un punct al elipsei. Atunci√(x− c)2 + y2 +

√(x+ c)2 + y2 = 2a.

Pastram un singur radical in membrul stang al egalitatii, apoi ridicam ambii membri la patrat. Dupa reducereatermenilor asemenea, izolam din nou un radical si obtinem:

(1.3) a√

(x+ c)2 + y2 = cx+ a2.

Ridicam din nou la patrat ambii membri ai egalitatii, reducem termenii asemenea si rezulta:

(a2 − c2)x2 + a2y2 − a2(a2 − c2) = 0.

Inlocuind in aceasta ecuatie a2 − c2 = b2 si impartind ambii membri la a2b2 obtinem ecuatia canonica a elipsei:

(1.4)x2

a2+y2

b2= 1

Reciproc, sa aratam ca orice punct ale carui coordonate veri�ca ecuatia (1.4) apartine elipsei.Fie P0(x0, y0), cu

(1.5)x20a2

+y20b2

= 1.

Notam d(P0, F′) + d(P0, F ) = 2a′. Repetand calculele anterioare, deducem

(1.6)x20

(a′)2 +

y20

(b′)2 = 1,

unde am notat b′ =√

(a′)2 − c2.Scazand relatiile (1.5) si (1.6), combinand convenabil termenii, obtinem x20

(1a2 −

1(a′)2

)+ y20

(1b2 −

1(b′)2

)= 0.

Dar (b′)2 − (a′)2 = b2 − a2, deci (a′)2 − a2 = (b′)2 − b2, de unde rezulta

((a′)

2 − a2)(

x20

(a′)2a2+

y20(b′)2b2

)= 0. Din

(1.5) rezulta ca x0 si y0 nu se anuleaza simultan, deci (a′)2 − a2 = 0 ⇒ a′ = a ⇒ d(P0, F

′) + d(P0, F ) = 2a, deciP0 ∈ E .

Din ecuatia canonica a elipsei rezulta:

• daca Q(x, y) ∈ E ⇒ Q1(−x, y) ∈ E , deci Oy este axa de simetrie pentru elipsa;• daca Q(x, y) ∈ E ⇒ Q2(x,−y) ∈ E , deci Ox este axa de simetrie pentru elipsa;• daca Q(x, y) ∈ E ⇒ Q3(−x,−y) ∈ E , deci O este centru de simetrie pentru elipsa.


De�nim interiorul elipsei

IntE =

{P (x, y) | x

2

a2+y2

b2− 1 < 0

}si exteriorul elipsei

ExtE =

{P (x, y) | x

2

a2+y2

b2− 1 > 0

}.

Ecuatii explicite

Din (1.4) deducem ca y2 = b2(

1− x2

a2

). Observam ca pentru ca un punct P (x, y) sa apartina elipsei de semiaxa

mare a, este necesar ca −a ≤ x ≤ a. In aceste conditii, extragand radicalul in egalitatea de mai sus, obtinem

| y |= b

a

√a2 − x2.

Astfel, pentru y ≥ 0, avem y = ba

√a2 − x2, iar pentru y < 0, avem y = − b

a

√a2 − x2. Am obtinut ecuatii

explicite pentru cele doua arce de elipsa, cel inclus in semiplanul superior si cel inclus in semiplanul inferior.

Ecuatii parametrice

Se poate usor veri�ca ca punctele de coordonate (a cos t , b sin t), cu t ∈ [0, 2π] veri�ca ecuatia canonica a elipsei,deci ecuatiile parametrice ale elipsei sunt {

x = a cos t,

y = b sin t, t ∈ [0, 2π].

Remark. Pentru a intelege semni�catia parametrului t, rezolvati urmatoarea problema ce va ofera si o metoda de

constructie prin puncte a elipsei.Se considera doua cercuri concentrice, de raze b < a, cu centrul O. Fixam un sistem de axe cu originea in O.

Semiaxa (Ox taie cercul de raza a in A. O semidreapta mobila cu originea in O se roteste in jurul lui O. Pozitiaei este data de unghiul t pe care il face cu (Ox. Ea taie cercul de raza b in M si cercul de raza a in N . Paralela laOA prin M si perpendiculara din N pe OA se intersecteaza in P . Veri�cati ca xP = a cos t si yP = a sin t. Deci Papartine elipsei de semiaxe a, b.

Directoarele elipsei

Sa revenim la ecuatia (1.3) pe care o rescriem√(x+ c)2 + y2 =

c

a

∣∣∣∣x+a2

c

∣∣∣∣ , −a ≤ x ≤ a⇔d(P, F ′) = ed(P, δ′),

unde P (x, y) e un punct arbitrar al elipsei, e = ca si δ′ : x = −a

2

c .


Deci orice punct P al elipsei are proprietatea ca raportul dintre distanta de la P la punctul �x F ′ si distanta dela P la dreapta �xa δ′ este constant si egal cu e.

Daca atunci cand am determinat ecuatia canonica a elipsei am � pastrat in membrul stang al egalitatii celalaltradical, am � obtinut

a√

(x− c)2 + y2 =c

a

∣∣∣∣x− a2

c

∣∣∣∣ ,adica d(P, F ) = ed(P, δ), cu δ : x = a2

c . Numim e = ca ∈ (0, 1) excentricitatea elipsei, iar dreptele δ, δ′

directoarele elipsei.

Vom demonstra la �nalul cursului ca si reciproca acestuia rezultat este valabila, pentru e ∈ (0, 1).

Intersectia dintre o dreapta si o elipsa. In continuare vom studia intersectia dintre elipsa (E) x2

a2 + y2

b2 = 1 sidreapta (d) y = mx+ n. Pentru a gasi coordonatele eventualelor puncte comune rezolvam sistemul format din celedoua ecuatii. Eliminand necunoscuta y, obtinem ecuatia

(1.7) (a2m2 + b2)x2 + 2a2mnx+ a2(n2 − b2) = 0.

Fie ∆ = 4a2b2(b2 + a2m2 − n2

)discriminantul ecuatiei de mai sus. Daca ∆ > 0, intersectia dintre dreapta si

elipsa consta in doua puncte distincte P1, P2. Spunem in acest caz ca dreapta este secanta elipsei.Daca ∆ < 0, ecuatia nu are solutii reale, deci dreapta nu intersecteaza elipsa. Spunem in acest caz ca dreapta

este exterioara elipsei.Cazul mai interesant este cand ∆ = 0, deci cand intersectia dintre dreapta si elipsa este un punct dublu {T}. In

acest caz dreapta este tangenta elipsei.

Ecuatia magica a tangentelor de panta data la elipsa

Obtinem ∆ = 0⇔ n2 = a2m2 + b2 ⇒| n |=√a2m2 + b2, deci exista doua tangente la elipsa de panta m:

(d1) y = mx+√a2m2 + b2,(1.8)

(d2) y = mx−√a2m2 + b2.


Tangenta la elipsa intr-un punct al ei

Daca P0(x0, y0) ∈ E , ecuatia tangentei la elipsa in punctul P0 se obtine din ecuatia elipsei prin dedublare:

(1.9) (d0)xx0a2

+yy0b2− 1 = 0.

Pentru a demonstra ca dreapta de ecuatie (1.9) este tangenta elipsei, rezolvam sistemul format din ecuatia elipsei

si cea a dreptei d0 . Folosind faptul cax20

a2 +y20b2 = 1, rezulta ca intersectia dintre dreapta si elipsa este un punct

dublu, si anume P0. Veri�cati!

Tangentele la elipsa ce trec printr-un punct exterior acesteia

Fie acum P (x0, y0) ∈ ExtE si (d) y − y0 = m(x− x0) o dreapta arbitrara prin P0. Impunem ca d sa �e tangenta

elipsei. Deci ∆ = 4a2b2[b2 + a2m2 − (y0 −mx0)

2]

= 0. Aceasta conditie este echivalenta cu

(1.10) m2(a2 − x20) + 2mx0y0 + b2 − y20 = 0.

Deoarece P este exterior elipsei ⇔ x20

a2 +y20b2 − 1 > 0, rezulta ca ecuatia (1.10) are discriminant strict pozitiv,

∆m = 4(a2x20 + b2y20 − a2b2

)> 0, deci are doua solutii reale distincte, m1 si m2.

Rezulta ca exista doua tangente duse din P0 la elipsa, de ecuatii

(1.11) y − y0 −m1(x− x0) = 0, y − y0 −m2(x− x0) = 0.

Ecuatia patratica a tangentelor la elipsa dintr-un punct exterior ei (facultativ)

Inmultind cele doua ecuatii (1.11) si inlocuind din (1.10) m1 +m2 = − 2x0y0a2−x2

0si m1m2 =

b2−y20a2−x2

0, obtinem ecuatia

patratica:

(a2 − x20)(y − y0)2 + 2x0y0(x− x0)(y − y0) + (b2 − y20)(x− x0)2 = 0.


Dreapta contactelor

Fie T1, T2 cele doua puncte in care tangentele duse din P (x0, y0) ∈ ExtE la elipsa o taie pe aceasta. Vomdemonstra ca ecuatia dreptei T1T2 se obtine din ecuatia elipsei prin dedublare in P .

Presupunem ca T1(x1, y1) si T2(x2, y2). Deoarece PT1 si PT2 sunt tangente elipsei, iar T1, T2 ∈ E , rezulta caecuatiile celor doua tangente sunt:

xx1a2

+yy1b2− 1 = 0,

xx2a2

+yy2b2− 1 = 0.

Dar aceste drepte trec prin P , rezulta ca

x0x1a2

+y0y1b2− 1 = 0,

x0x2a2

+y0y2b2− 1 = 0.

Deci dreapta de ecuatie (d0) xx0

a2 + yy0b2 − 1 = 0 trece prin T1, T2.

Dreapta T1T2 se numeste dreapta contactelor celor doua tangente duse la elipsa prin P .

Normala la elipsa intr-un punct al ei

De�nition 2. Fie P0(x0, y0) ∈ E . Normala in P0 la elipsa este perpendiculara in P0 pe tangenta la elipsa in P0.

Din ecuatia (1.9) deducem ca panta tangentei la elipsa in P0 este − b2x0

a2y0, deci panta normalei la elipsa in P0 este

a2y0b2x0

. Astfel, ecuatia normalei in P0 la elipsa este

y − y0 =a2y0b2x0

(x− x0).

Demonstrati proprietatea optica a elipsei. Normala si tangenta la elipsa intr-un punct arbitrar P0 al acesteia

sunt bisectoarea interioara si respectiv bisectoarea exterioara a unghiului F ′P0F .


2. Hiperbola

De�nition 3. Se considera doua puncte distincte F, F ′ ∈ E cu d(F, F ′) = 2c > 0 si un numar real 0 < 2a < 2c.Se numeste hiperbola locul geometric al punctelor planului pentru care diferenta distantelor la punctele �xe F, F ′

este constanta si egala cu 2a:

(2.1) H = {P ∈ E | |d(P, F )− d(P, F ′)| = 2a}

Punctele F, F ′ se numesc focarele hiperbolei, dreapta FF ′ axa focala si 2c distanta focala.Ca si la elipsa, vom determina A, A′ ∈ FF ′ astfel incat d(O,A) = d(O,A′) = a si F ′ −A′ −O−A− F , unde O

este mijlocul segmentului (FF ′). Evident A,A′ ∈ H.Punctele A,A′ se numesc varfurile hiperbolei .

Pentru a construi hiperbola prin puncte, procedam astfel: alegem un punct arbitrar M pe axa focala, diferitde focare, apoi intersectam cercul de centru F si raza AM cu cercul de centru F ′ si raza A′M . Demonstrati capunctele obtinute apartin hiperbolei.

Remark. Daca dorim sa construim mecanic o portiune din hiperbola, procedam astfel. Alegem doua �re inextensibilede lungimi diferite, astfel incat diferenta lungimilor lor sa �e 2a. Fixam cate un capat al �ecarui �r in cate un focar,trecem ambele �re printr-un inel �xat in varful P al unui creion, apoi innodam capetele libere ale �relor. Intindemambele �re, tinand nodul N intr-o mana si creionul cu varful pe foaie in cealalta mana. Portiunile de �re intinseintre nodul N si inelul P vor sta alaturate, iar celelalte portiuni din �re vor merge una de la inel la F , cealalta de lainel la F ′. Miscand creionul, vom trasa o portiune dintr-o ramura a hiperbolei, deoarece diferenta d(P, F ′)−d(P, F )este aceeasi ca diferenta lungimilor �relor intregi (din �ecare s-a scos aceeasi bucata PN). Daca �xam invers incele doua focare extremitatile �relor, obtinem o portiune din cealalta ramura a hiperbolei.

Ecuatiile hiperbolei. Pentru a putea determina ecuatiile hiperbolei vom �xa un reper ortonormat ca si in cazul

elipsei: originea va � O, mijlocul segmentului (FF ′), i = 1

‖−−→F ′F‖

−−→F ′F si j ⊥ i, ‖ j ‖= 1 astfel incat {i, j} e o baza

pozitiva. Notam cu Ox, Oy axele de coordonate.In raport cu acest reper punctele construite pana acum au coordonatele F (c, 0), F ′(−c, 0), A(a, 0), A′(−a, 0).

Ecuatia canonica

Fie P (x, y) un punct al hiperbolei. Atunci√(x− c)2 + y2 −

√(x+ c)2 + y2 = ±2a.

Pastram un singur radical in membrul stang al egalitatii, apoi ridicam ambii membri la patrat. Dupa reducereatermenilor asemenea, izolam din nou un radical si obtinem:

(2.2) ±a√

(x− c)2 + y2 = cx− a2.

Ridicam din nou la patrat ambii membri ai egalitatii, reducem termenii asemenea si rezulta:

(c2 − a2)x2 − a2y2 + a2(a2 − c2) = 0.


Notam

(2.3) b =√c2 − a2

Obtinem ecuatia canonica a hiperbolei:

(2.4)x2

a2− y2

b2= 1

Reciproc, demonstrati ca si in cazul elipsei elipsei ca orice punct ale carui coordonate veri�ca ecuatia (2.4)apartine hiperbolei.

Numarul a se numeste semiaxa mare , iar b semiaxa mica . Observam ca nu avem neaparat a > b, denumireadatorandu-se importantei lui a in de�nirea hiperbolei.

Din ecuatia canonica a hiperbolei rezulta ca Ox si Oy sunt axe de simetrie, iar O este centru de simetrie

pentru hiperbola.De�nim interiorul hiperbolei

IntH =

{P (x, y) | x

2

a2− y2

b2− 1 > 0

}si exteriorul hiperbolei

ExtH =

{P (x, y) | x

2

a2− y2

b2− 1 < 0

}.

Din ecuatia canonica mai observam ca doar axa Ox taie hiperbola, nu si axa Oy. Deci, spre deosebire de elipsa,hiperbola are doar doua varfuri.

Ecuatii explicite

Din (2.4) deducem ca y2 = b2(x2

a2 − 1). Observam ca pentru ca un punct P (x, y) sa apartina hiperbolei de

semiaxa mare a, este necesar ca x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,+∞). In aceste conditii, extragand radicalul in egalitatea demai sus, obtinem

| y |= b

a

√x2 − a2.

Astfel, pentru y ≥ 0, avem y = ba

√x2 − a2, iar pentru y < 0, avem y = − b

a

√x2 − a2.

Folosindu-ne de aceste ecuatii putem reprezenta gra�c hiperbola. Observam ca dreptele

(a1) y =b

ax, (a2) y = − b

ax

sunt asimptote oblice pentru hiperbola.


Ecuatii parametrice

Reamintim de�nitia functiilor trigonometrice cosinus hiperbolic si sinus hiperbolic:

ch : R→ [1,∞), cosh(t) =et + e−t

2,

sh : R→ R, sinh(t) =et − e−t

2.

Deoarece cosh2(t)− sinh2(t) = 1, ∀t ∈ R, rezulta ca putem parametriza ramura x ≤ −a a hiperbolei prin{x = −a cosh(t),

y = b sinh(t), t ∈ R,

iar ramura x ≥ a prin {x = a cosh(t),

y = b sinh(t), t ∈ R.

Remark. Prezentam o alta reprezentare parametrica a hiperbolei, pentru care vom da si o interpretare a parametru-lui.

Se considera doua cercuri concentrice, cu centrul comun O, de raze a < b. Fixam un reper ortonormat cu axele(xOy). O semidreapta cu originea in O se roteste in jurul lui O. Intr-o pozitie intermediara face unghiul τ cu (Oxsi intersecteaza cercul de raza a in P iar cercul de raza b in Q. Tangentele in P , respectiv R la cele doua cercuriintersecteaza (Ox in T , respectiv S. Pe perpendiculara in T pe Ox se ia punctul M astfel incat d(M,T ) = d(Q,R).

Demonstrati ca

xM = d(O, T ) = a sec τ, yM = d(M,T ) = d(Q,R) = b tan τ,

τ ∈ [0, 2π]\{π2,

3π

2}.

Veri�cati ca xM si yM de mai sus veri�ca ecuatia canonica a hiperbolei. Deci M (a sec τ, b tan τ) ∈ H. Amobtinut astfel si o metoda de constructie a hiperbolei prin puncte.

Pentru a obtine parametrizarea precedenta, facem schimbarea de parametru t = ln tan(π4 −τ2 ).

Directoarele hiperbolei

Rescriem ecuatia (2.2) astfel:√(x− c)2 + y2 =

c

a

∣∣∣∣x− a2

c

∣∣∣∣ , x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)⇔

d(P, F ) = ed(P, δ),

unde P (x, y) e un punct arbitrar al hiperbolei, e = ca si δ : x = a2

c .Deci orice punct P al hiperbolei are proprietatea ca raportul dintre distanta de la P la punctul �x F si distanta

de la P la dreapta �xa δ este constant si egal cu e.

Analog se poate obtine ca d(P, F ′) = ed(P, δ′), cu δ′ : x = −a2

c . Numim e = ca ∈ (1,∞) excentricitatea hiper-

bolei, iar dreptele δ, δ′ directoarele hiperbolei.


Hiperbola conjugata unei hiperbole date. Fie hiperbola (H) x2

a2 −y2

b2 = 1. Atunci hiperbola (H′) y2

b2 −x2

a2 = 1se numeste hiperbola conjugata lui H. Observam ca axa transversa a lui H′ este Oy. Dorim sa reprezentam gra�cpe H′. Fie Sd simetria ortogonala fata de prima bisectoare d : y = x. Ea are ecuatiile x′ = y, y′ = x. Atunci Sd(H′)este o hiperbola de ecuatii x

2

b2 −y2

a2 = 1. Aceasta are focarele de coordonate (c, 0), (−c, 0), unde c2 = a2 +b2. Atuncihiperbola H′ are focarele F (0, c), F ′(0,−c). Varfurile lui H′ sunt B(0, b), B′(0,−b). Analog ecuatiile asimptotelorlui Sd(H′) sunt y = ±abx, deci ecuatiile asimptotelor lui H′ sunt x = ±ab y ⇔ y = ± b

ax. Deci H si H′ au aceleasi

asimptote. Rationand analog determinam directoarele hiperbolei conjugate: y = ± b2

c si excentricitatea ei e′ = cb .

Intersectia dintre o dreapta si o hiperbola. In continuare vom studia intersectia dintre hiperbola

(H) x2

a2 −y2

b2 = 1 si dreapta (d) y = mx + n. Pentru a gasi coordonatele eventualelor puncte comune rezolvamsistemul format din cele doua ecuatii. Eliminand necunoscuta y, obtinem ecuatia

(2.5) (b2 − a2m2)x2 − 2a2mnx− a2(n2 + b2) = 0.

Presupunem ca m 6= ± ba . In acest caz ecuatia de mai sus este o ecuatie de gradul II in x.

Fie ∆ discriminantul acesteia. Pozitia dreptei d fata de hiperbola e data de semnul lui ∆.Daca ∆ < 0 atunci d nu intersecteaza hiperbola si numim dreapta d exterioara hiperbolei. Daca ∆ > 0,

atunci intersectia dintre d si H este formata din doua puncte distincte si d este secanta hiperbolei.Mai interesant este cazul ∆ = 0 cand intersectia dintre dreapta si hiperbola este un punct dublu {T}. In acest

caz dreapta este tangenta hiperbolei.

Ecuatia magica a tangentelor de panta data la hiperbola

Obtinem ∆ = 0 ⇔ n2 = a2m2 − b2. Observam deci ca nu pentru orice panta m, dreapta d poate � tangentahiperbolei. O conditie necesara pentru ca d : y = mx+ n sa �e tangenta hiperbolei este m ∈ (−∞,− b

a ) ∪ ( ba ,∞).In acest caz exista doua tangente la hiperbola de panta m:

(d1) y = mx+√a2m2 − b2,(2.6)

(d2) y = mx−√a2m2 − b2.

Daca m = ± ba si n 6= 0, ecuatia (2.5) este o ecuatie de grad I in x. Rezulta ca dreapta d taie hiperbola intr-un

singur punct (determinati coordonatele acestuia!). Observam ca d este paralela cu una din asimptotele hiperbolei.Spunem ca dreapta d este secanta, de directie asimptotica.

Daca m = ± ba si n = 0 dreapta d nu intersecteaza hiperbola si regasim asimptotele hiperbolei.


In concluzie, data o hiperbola si o dreapta, dreapta poate � exterioara hiperbolei, secanta, tangenta, secanta dedirectie asimptotica sau asimptota.

Tangenta la hiperbola intr-un punct al ei

Daca P0(x0, y0) ∈ H, ecuatia tangentei la hiperbola in punctul P0 se obtine din ecuatia acesteia prin dedublare:

(2.7) (d0)xx0a2− yy0

b2− 1 = 0.

Ca si la elipsa, putem determina tangentele duse dintr-un punct exterior la hiperbola si sa scriem ecuatia patrat-ica a acestora. Studiati singuri aceste probleme.

De�nition 4. Fie P0(x0, y0) ∈ H. Normala in P0 la hiperbola este perpendiculara in P0 pe tangenta la hiperbolain P0.

Din ecuatia (2.7) deducem ca panta tangentei la hiperbola in P0 este b2x0

a2y0, deci panta normalei la hiperbola in

P0 este −a2y0b2x0

. Astfel, ecuatia normalei in P0 la hiperbola este

y − y0 = −a2y0b2x0

(x− x0).

Demonstrati proprietatea optica a hiperbolei. Tangenta si normala la hiperbola intr-un punct arbitrar P0 al

acesteia sunt bisectoarea interioara si respectiv bisectoarea exterioara a unghiului F ′P0F .

3. Parabola

De�nition 5. In planul E se considera o dreapta δ si un punct F /∈ δ. Parabola este locul geometric al punctelordin planul E situate la egala distanta de punctul F si de dreapta δ:

P = {P ∈ E | d(P, F ) = d(P, δ)} .

Punctul F se numeste focarul parabolei si dreapta δ directoarea parabolei. Spunem ca parabola areexcentricitatea e = 1.

Fie l perpendiculara din F pe δ si E piciorul acesteia. Notam cu O mijlocul segmentului (FE). Evident O esteun punct al parabolei, numit varful parabolei.

Fie p = d(F, δ). Numim p parametrul parabolei .

Remark. Descriem in continuare o metoda de constructie mecanica a parabolei.Se ia un echer ABC cu unghiul drept in A si se aseaza cu cateta (AB) pe dreapta δ. Un �r inextensibil de

lungime d(A,C) este prins cu un capat de echer in C si cu celalalt in focarul F . Cu varful P al unui creion intindem�rul astfel incat sa ia forma unui unghi cu o latura pe AC. Cand echerul aluneca de-a lungul dreptei δ, P va descrieparabola cu focarul F si directoarea δ.


Ecuatiile parabolei. Pentru a obtine ecuatia canonica a parabolei consideram reperul cu originea in O, semiaxapozitiva (Ox = (OF si Oy ⊥ Ox si orientata astfel incat sa obtinem un reper pozitiv. In raport cu acest reperfocarul are coordonatele F (p2 , 0) si directoarea are ecuatia δ : x = −p2 .

Punctul P (x, y) apartine parabolei daca si numai daca√

(x− p2 )2 + y2 =

∣∣x+ p2

∣∣. Ridicand aceasta ecuatie lapatrat obtinem

(3.1) y2 − 2px = 0.

Reciproc, �e P0(x0, y0) un punct ce veri�ca y20 − 2px0 = 0. Fie punctul F (p2 , 0) si dreapta δ : x = −p2 . Calculam

d(P0, F ) =√

(x0 − p2 )2 + y20 . Inlocuim y20 = 2px0 si obtinem d(P0, F ) =

√x20 + px0 + p2

4 =∣∣x0 + p

2

∣∣ = d(P0, δ).

Rezulta ca P0 apartine parabolei de focar F si directoarea δ.

Ecuatiile explicite si parametrice

Pentru a reprezenta gra�c parabola determinam ecuatiile ei explicite. In primul rand, pentru ca P (x, y) saapartina parabolei este necesar ca x ≥ 0. In acest caz | y |=

√2px.

Observam din (3.1) ca Ox este axa de simetrie pentru parabola iar Oy este tangenta la parabola in varfulei.O parametrizare simpla pentru parabola se obtine astfel:{

x = t2

2p ,

y = t, t ∈ R.


Intersectia dintre o dreapta si parabola. Punctele de intersectie dintre parabola de ecuatie y2 − 2px = 0 sidreapta (d) y = mx+ n au abscisele solutii ale ecuatiei

m2x2 + 2(mn− p)x+ n2 = 0.

In functie de semnul discriminantului ∆ = p2 − 2pmn obtinem ca dreapta d este exterioara, tangenta sau secantaparabolei.

Mai exact, pentru m 6= 0 avem ∆ = 0⇔ n = p2m .

Deci, dat m nenul, exista o singura tangenta la parabola, de panta m, si aceasta are ecuatia

(3.2) y = mx+p

2m.

Tangenta in P0(x0, y0) ∈ P la parabola se obtine prin dedublare in P0 din ecuatia parabolei

yy0 − p(x+ x0) = 0,

deci normala in P0 la parabola are ecuatia

y − y0 = −y0p

(x− x0).

Demonstrati proprietatea optica a parabolei. Tangenta si normala la parabola intr-un punct arbitrar P0 al ei

sunt bisectoarea interioara si respectiv exterioara a unghiului FP0G, unde G e piciorul perpendicularei din P0 pedirectoare.

De�nitia comuna a elipsei, hiperbolei si parabolei.

Theorem 6. Fie o dreapta δ, un punct F exterior acesteia si un numar strict pozitiv e. Demonstrati ca locul

geometric al punctelor P din plan cu proprietatea ca d(P,F )d(P,δ) = e este:

(a) o hiperbola, daca e > 1;(b) o elipsa, daca e < 1;(c) o parabola, daca e = 1.

Proof. Consideram reperul cu axa absciselor perpendiculara din F pe δ, originea un punct deocamdata ne�xat peaceasta perpendiculara, si Oy ⊥ Ox. Presupunem ca in raport cu acest reper F (c, 0) si δ : x = d. Atunci P este unpunct al locului geometric daca si numai daca√

(x− c)2 + y2 = e | x− d | .

Ridicand aceasta relatie la patrat rezulta

(3.3) (1− e2)x2 + y2 + 2(de2 − c)x+ c2 − d2e2 = 0.

Daca e 6= 1 alegem O astfel incat de2 − c = 0, deci c2 − d2e2 = e2d2(e2 − 1) si ecuatia (3.3) devine

x2

d2e2+

y2

d2e2(1− e2)= 1.

Daca e ∈ (0, 1) rezulta ca P apartine unei elipse, iar daca e > 1 rezulta ca P apartine unei hiperbole. Observam ca

a = e | d |= |c|e .

�

Daca e = 1, ecuatia (3.3) devine

y2 + 2x(d− c) + c2 − d2 = 0.

Alegem O astfel incat d = −c, deci ecuatia devine y2 − 2px, cu p = 2c. In cazul acesta P apartine unei parabole.Reciproc, am demonstrat deja ca daca P apartine unei elipse, unei hiperbole ori unei parabole, el are proprietatea

d(P,F )d(P,δ) = e, cu e = c

a in primele doua cazuri si e = 1 pentru parabola.


4. Exemple

(1) Determinati focarele, varfurile, asimptotele (daca exista) si directoarele urmatoarele conice. Apoi reprezentatigra�c conicele.

a) x2

16 + y2

4 − 1 = 0; b) x2

9 + y2

25 − 1 = 0; c) x2

5 −y2

4 − 1 = 0; d) y2

9 −x2

7 − 1 = 0; e) y2 = 4x; f) y2 = −6x;

g) x2 = 4y; h) x2 = −16y.

Rezolvare:a) Este vorba despre o elipsa cu axa focala Ox. Din ecuatia canonica deducem a = 4, b = 2, c =

√a2 − b2 = 2

√3.

Deci F (2√

3, 0), F ′(−2√

3, 0) sunt focarele elipsei, iar A(4, 0), A′(−4, 0), B(0,√

2), B′(0,−√

2) cele patru varfuri.

Directoarele elipsei sunt perpendiculare pe Ox si au ecuatiile x = 8√3

3 , respectiv x = − 8√3

3 . Excentricitate elipsei

este e =√32 .

b) Data elipsa de ecuatie canonica (E) x2

9 + y2

25 − 1 = 0, observam ca numitorul coe�cientului lui x2 este mai mic

decat cel al coe�cientului lui y2, a = 3 < b = 5. Pentru a reprezenta gra�c E putem sa consideram simetrica ei E ′

fata de prima bisectoare. Ecuatiile simetriei ortogonale fata de prima bisectoare sunt

{x′ = y,

y′ = x,si aceasta este o

izometrie, deci E ′ este tot o elipsa (congruenta cu cea initiala): (E ′) x2

25 + y2

9 − 1 = 0⇔ x2

b2 + y2

a2 = 1. Determinandelementele acestei elipse, obtinem elementele corespunzatoare elipsei initiale, obtinuta din E ′ tot prin simetria ortog-onala fata de prima bisectoare. Acum c2 = b2− a2, deci c = 4. Focarele lui E sunt pe Oy si au coordonatele F (0, 4)si F ′(0,−4), varfurile de pe axa focala sunt A(0, 5), A′(0,−5), iar celelalte doua varfuri sunt B(3, 0), B′(−3, 0).

Excentricitatea este e = cb = 4

5 , iar directoarele au ecuatiile: y = ± b2

c ⇔ y = ± 254 .

c) Conica este o hiperbola cu axa focala Ox. Avem a =√

5, b = 2, deci c =√a2 + b2 = 3. Rezulta ca focarele sunt

F (3, 0), F ′(−3, 0), iar varfurile A(√

5, 0), A′(−√

5, 0). Asimptotele au ecuatiile y = ± 2√5

5 x, directoarele: x = ± 53 si

excentricitatea e = 3√5

5 > 1.

d) Conica este o hiperbola cu axa focala Oy, de ecuatie canonica y2

b2 −x2

a2 = 1. Deci b = 3, a =√

7, c = 4. Rezulta

F (0, 4), F ′(0,−4), varfurile B(0, 3), B′(0,−3), asimptotele: y = ± 3√7x si directoarele y = ± 9

4 .

Urmatoarele conice sunt toate parabole. Primele doua au ca axa de simetrie pe Ox, urmatoarele doua pe Oy.

e) Parametrul parabolei este p = 2, deci focarul este F (1, 0) si directoarea are ecuatia: x = −1. Parabola estesituata in semiplanul x ≥ 0.f) Ecuatia canonica este de tipul y2 = −2px, deci parabola este situata in semiplanul x ≤ 0 si p = 3. AvemF (−p2 , 0) = F (− 3

2 , 0) si directoarea x = 32 .

g) Ecuatia canonica este de tipul x2 = 2py si parabola este situata in semiplanul y ≥ 0. Avem F (0, p2 ) = F (0, 1), δ :y = −1.h) Ecuatia canonica este x2 = −2py, parabola �ind situata in semiplanul y ≤ 0. F (0,−p2 ) = F (0,−4) si δ : y = 4.

(2) Fie hiperbola (H) x2 − 2y2 − 2 = 0.

a) Determinati coordonatele focarelor, a varfurilor, ecuatiile asimptotelor si directoarelor si reprezentati gra�cconica.

b) Scrieti ecuatiile tangentei si normalei la hiperbola in M(2, 1).c) Determinati ecuatiile tangentelor la hiperbola paralele cu dreapta y = 3x− 3.d) Scrieti ecuatiile tangentelor la hiperbola duse din punctul N(0, 1).

Rezolvare:a) Din ecuatia canonica a hiperbolei (H) x2

2 −y2

1 = 1 observam ca axa focala este Ox. Deoarece a =√

2, b = 1

rezulta c =√a2 + b2 =

√3.

Deci focarele sunt F (√

3, 0), F ′(−√

3, 0), varfurile A(√

2, 0), A′(−√

2, 0). Ecuatiile asimptotelor sunt

(a1,2) y = ±√

2

2x,


ecuatiile directoarelor

(δ1,2) x = ±2√

3

3

iar excentricitatea hiperbolei este e =√62 > 1.

b) Veri�cam ca M ∈ H, deci ecuatia tangentei in M la hiperbola se obtine prin dedublare in M :

(d) 2x− 2y − 2 = 0⇔ x− y − 1 = 0.

Observam ca panta tangentei d este m = 1, deci panta normalei d′ in M la H este m′ = −1. Deducem de aiciecuatia normalei

(d′) y − 1 = − (x− 2)⇔ x+ y − 3 = 0.

c) Ni se cer ecuatiile tangentelor la H de panta m = 3. In primul rand veri�cam | m |> ba . Inlocuim m = 3 in

ecuatiile (2.6) si obtinem ecuatiile celor doua tangente:

y = 3x+√

17, y = 3x−√

17.

Determinati punctele in care cele doua tangente taie hiperbola si observati ca ele sunt simetrice fara de O.

d) Metoda I: Veri�cam ca N ∈ ExtH.Fie δ o dreapta oarecare ce trece prin N(0, 1). Deci ea are ecuatia (δ) y − 1 = m(x − 0) ⇔ y = mx + 1.

Determinam parametrul real m din conditia ca δ sa taie hiperbola intr-un punct dublu.{y = mx+ 1

x2 − 2y2 − 2 = 0⇔

{y = mx+ 1

(1− 2m2)x2 − 4mx− 4 = 0

Impunem conditia ca discriminantul ecuatiei de gradul doi in x sa �e nul: −4m2 + 4 = 0⇒ m1,2 = ±1.Astfel cele doua tangente au ecuatiile

(δ1) y = x+ 1, (δ2) y = −x+ 1.

Metoda II:Folosim ecuatia magica a tangentelor la hiperbola de panta data.Daca δ este una din tangentele cautate, rezulta ca ecuatia ei are una din formele (2.6). Deci

(δ) y = m1x+√

2m21 − 1 sau (δ) y = m2x−

√2m2

2 − 1.

Punem conditia ca N sa apartina lui δ. De aici rezulta 1 = ±√

2m2 − 1 ⇒ m = ±1. Inlocuind in ecuatiile de maisus obtinem ecuatiile a patru drepte:

y = x± 1, y = −x± 1.

Veri�cam care dintre acestea trec prin N si obtinem acelasi rezultat ca la prima metoda.

Metoda III: Fie T1, T2 punctele de contact dintre hiperbola si cele doua tangente la H duse din N . Stimatunci ca ecuatia dreptei T1T2 se obtine prin dedublare din ecuatia hiperbolei in N , deci (T1T2) : y + 1 = 0.Determinam coordonatele punctelor T1, T2 rezolvand sistemul format din ecuatia dreptei T1T2 si ecuatia hiperboleisi obtinem T1(2,−1), T2(−2,−1). Cele doua tangente cerute sunt dreptele NT1 si NT2, deci putem scrie ecuatiilelor cunoscand doua puncte pentru �ecare dintre ele.

(3) Se da parabola (P) y2 − 8x = 0.a) Determinati coordonatele focarului si ecuatia directoarei.b) Scrieti ecuatia tangentei la parabola paralela cu dreapta y − 2x = 0.c) Determinati ecuatiile tangentelor la parabola duse din P (−1, 1).

Solutie:a) Parametrul parabolei este p = 4, deci F (2, 0) si directoarea (δ) x = −2.b) Folosind ecuatia (3.2) cu m = 2 obtinem y = 2x+ 1.c) Prezentam doar o metoda de rezolvare.


Tangenta de panta m la parabola are ecuatia y = mx + p2m . Aceasta trece prin P (−1, 1) daca si numai daca

m2 +m− 2 = 0⇒ m = −2 sau m = 1. Cele doua tangente cautate sunt y = −2x− 1 si y = x+ 2.

(4) Fie elipsa (E) x2

4 + y2

9 − 1 = 0. Determinati ecuatiile tangentelor la elipsa paralele cu dreapta y = x+ 1.Rezolvare:

Observam ca a = 2 si b = 3, m = 1, deci ecuatiile tangentelor de panta data m sunt

(d1) y = mx+√a2m2 + b2, (d2) y = mx−

√a2m2 + b2.

Obtinem deci(d1) y = x+

√13, (d2) y = x−

√13.

References

[1] A. Myller, Geometrie analitica, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1972;[2] E. Murgulescu, N. Donciu, Culegere de probleme de Geometrie Analitica si Diferentiala I, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti,

1971.

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETTIA Elipsaoanacon/GE/fisiere/cursuri/... ·...

Documents

Transcript of CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETTIA Elipsaoanacon/GE/fisiere/cursuri/... ·...