Note de curs (in format PDF): tgrosan ...math.ubbcluj.ro/~tgrosan/MecanicaCurs10.pdf · si planeta...

Forte centrale - continuare

Note de curs (in format PDF):www.math.ubbcluj.ro/~tgrosan/Infostud.htm/Mecanica.htm

Reamintim:

Numim forta centrala o forta F a carei directie trece in orice moment printr-un punct fix O, numit centrul fortei.

Daca F.r < 0 atunci F se numeste atractiva

Daca F.r > 0 atunci F se numeste repulsivay

x

M0

M

er

eθ

F

v

O

rr0θ

v0α

Curs 10. Forte centrale. Continuare

1

http://www.math.ubbcluj.ro/~tgrosan/Infostud.htm/Mecanica.htm


Problema miscarii sub actiunea unei forte centrale se poate reduce la ecuatia lui Binet:

),,(112

2

2

2

trFrrd

dr

mc θθ

±=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− (1)

semn „+“ pentru forta repulsivasemn „–“ pentru forta atractiva

cu conditiile initiale:

αθ

θθθθ

ctgrrd

drr tt

0)(00)(

0

11;11

00

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

==

==

(2)

unde c este constanta ariilor:

αθ sin0002

0 vrrc == & (3)

Curs 10. Forte centrale. Ecuatia lui Binet

2


Daca forta F depinde doar de raza vectoare r (F = F(r)) atunci ca o alternativa la ecuatia lui Binet se poate aplica teorema energiei:

LdT δ=unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

2mvddT

Utilizand teorema energiei se obtine:

∫=−⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ r

rdrrFmvmvdrFmvd

0

)(222

20

22

FdrrdrFrdr

rFrd

rrFrdFL =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅=⋅=⋅=

2

2rrrrr

rrδ

Deci

Curs 10. Forte centrale. Cazul F = F(r)

3

hdrrFm

v += ∫ )(22 (4)constanta energiei


Tinem cont ca:

Curs 10. Forte centrale. Cazul F = F(r)

4

unde h se determina din conditiile initiale:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+=

2

222

2

2222

111rrd

dcv

rc

rddcr

rrv

θ

θ

θ

θ

&

&

&&

hdrrFmrrd

dc +=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫ )(211

2

22

θ

hdrrFm

v += ∫ )(220

Deci:(5)

Legea atractiei universale

Plecand de la observatiile astronomice ale lui Tycho Brahe, Kepler (1596, 1609, 1619) a formulat urmatoarele legi care descriu miscarea oricarei planete in jurul Soarelui:

1. Orice planeta se misca in jurul Soarelui pe o elipsa avand Soarele in focar2. Planetele descriu arii egale in intervale de timp egale ( se respecta legea ariilor)3. Raportul dintre cubul semiaxei mari si patratul perioadei de miscare pe orbita

descrisa de o planeta este constant si acelas pentru toate planetele din Sistemul Solar. constant23 =Ta

Johannes_Kepler(1571 - 1630)Tycho_Brahe

(1546 - 1601)

Curs 10. Legea atractiei universale

5

http://en.wikipedia.org/wiki/Tycho_Brahe

http://ro.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler



6


Fie P(m) o planeta aflata in miscare in jurul Soarelui, S(M). Planeta si Soarele sunt considerate puncte materiale. Conform primei legi ale lui Kepler consideram ca miscarea lui P(m) are loc pe o elipsa din planul xOy avand semiaxa mare a si semiaxa mica b

x

y

S(c1,0)

P(m)

Af

F

a Or

b

θ

Ph

Ecuatia traiectoriei des-crisa de P(m) in coordonate polare este:

θcos1 epr

+=

(6)

11 <=ace a

bp2

=

(parametrul elipsei)(excentricitatea elipsei)


7


Din a doua lege a lui Kepler avem:

cr =θ&2 (7)

unde c este constanta ariilor. Deoarece raza vectoare a lui P(m) parcurge arii egale in intervale de timp egale deducem ca viteza sa in punctul cel mai apropiat de S, Ph, numit periheliu trebuie sa fie mai mare decat in punctul cel mai indepartat de S, Af, numit afeliu.

Din (6) avem:

ppe

rdd θθθ

cossin1'

2

2 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

pe

rθcos11 +

= deci (8a,b)


8


Admitem ca forta F pe care o exercita Soarele S asupra planetei P depinde explicit doar de r. Folosind teorema momentului cinetic

( )FMdtKd

oo

rrr

=

aratam ca F este o forta centrala:

( ) 0

0

2

)7(

=×⇔×=⇔

=

FrFrkrdtd rrrr

43421

r&θ( ) Frkr

dtd rrr

& ×=θ2

Asadar F trece tot timpul prin punctul S, deci este o forta centrala.


9


Deoarece forta F este o forta centrala putem aplica ecuatia lui Binet:

)(112

2

2

2

rFrrd

dr

mc=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

θ(9)

Folosind (8b) in (9) avem:

)(1cos2

2

rFrp

er

mc=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−

θ (10)

Utilizand (8a) in (10) obtinem:

2

2 1)(rp

mcrF −= (11)


10


Conform legii a treia a lui Kepler

(12)ℜ∈==⇒= µπnotatie

2

3

2

3

constant4constantTa

Ta

Tinand cont ca T este perioada de rotatie a planetei in jurul Soarelui, integrand (7) avem:

ba2)( 0

0

ba2elipseiaria2

2

0

2 πθθπ

π=⇒=⇒ ∫∫

+

=×=

cTcdtdrTt

t43421cr =θ&2

Obtinem:

Tbac π2

= (13)


11


Din (11) si (13) avem:

22

222 14)(rT

bapmrF π

−= (14)

Tinand cont de (12) ecuatia (14) devine:

(15)22

2

2

32

2

)12(

14)(rm

rapb

TamrF

abp

µπ

µ

−=−==

=321

Ecuatia (15) reprezinta marimea algebrica a fortei exercitata de soarele S asupra planetei P. Conform principiului actiunii si reactiunii deducem ca si planeta P atrage soarele S cu o forta FP egala in marime, insa de sens contrar:


12


2rMF P

Pµ

= (16)

In relatiile de mai sus sunt prezene marimile:M = masa Soareluim = masa planeteiµP= coeficient specific centrului atractiv al planeteiµ = coeficient specific centrului atractiv al Soarelui (e acelasi pentru toate

planetele ce orbiteaza in jurul Soarelui)Asadar:

⇔=⇔=⇔= MmrM

rmFF P

PP µµµµ

22


13

e acelasi pentru toate planetele

constant===⇔ fmM notatie

Pµµ


Constanta f se numeste constanta atractiei.

mMf Pµµ

== (17)

Inlocuind (17) in (15) obtinem legea atractiei:

rr

rMmfF

rr2−=2r

MmfF −= (18)sau vectorial

Legea atractiei: Forta de atractie exercitata de Soare in miscarea unei planete in jurul acestuia este direct proportionala cu masa planetei si masa Soarelui si invers proportionala cu patratul distantei dintre Soare si planeta


14


S-a dovedit ca aceasta lege este valabila nu numai pentru Sistemul Solar ci pentru toate corpurile din Univers. De aceea lege se numeste legea atractiei universale.

Forta F de tipul (15) se numeste forta newtoniana.

Isaac Newton(1642-1727 )


15

http://ro.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

Problema lui Newton

Este problema inversa a legii atractiei universale.

Problema lui Newton: Determinarea miscarii unui punct material P(m) sub actiunea unei forte centrale de tip newtonian

2)(rmrF µ

−= (19)

unde µ > 0 este o constanta iar r este distanta de la P la centrul atractiv S.Conform ipotezei forta F este o forta centrala, deci miscarea punctului P(m) este plana si respecta legea ariilor:

cr =θ&2 (20)

Obs.: Aceasta problema intervine in studiul corpurilor ceresti (problema celor doua corpuri), in miscareaelectronului in jurul nucleului atomic, etc.

Vom folosi ecuatia lui Binet pentru a deduce miscarea punctului P in jurul centrului atractiv S.

Curs 10. Problema lui Newton 16

Problema lui Newton

y

S

P(m)

Af

Fv0

r0r

α

θ P0

x

Din ecuatia lui Binet avem:

2)19(2

2

2

2 11rmF

rrdd

rcm

//−==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

//−

µθ


Problema lui Newton

Obtinem:

22

2 11crrd

d µθ

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(21)

Ecuatia (21) este o ecuatie diferentiala de ordinul 2, liniara si neomogena. Solutia generala a ecuatiei (21) este:

ℜ∈+−= 11211 ,,)cos(1 θµθθ Cc

Cr

(22)

unde constantele de integrare C1 si θ1se determina din conditiile initiale:

αθ

θθθ

ctgrrd

drrt 0)(

000

11;)(0

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

==

(23)


Problema lui Newton

Notand in (22) pe:

peC

notatie=1

µµ 2

2

1 cppc notatie

=⇔= (24)si

obtinem:

pe

ppe

cC

r)cos(11)cos()cos(1 1

1211θθθθµθθ −+

=+−=+−=

sau

)cos(1 1θθ −+=

epr (25)

Ecuatia (25) reprezinta ecuatia unei conice care are focarul in S, iar axa focala face unghiul θ1 cu axa polara. Parametrul p este parametrul conicei, iar e este excentricitatea conicei.


Problema lui Newton

Din relatiile (25) si conditiile initiale (23) obtinem:

)25(0)(

0

00

11)(

0

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

==

αθ

θ

θθ

ctgrrd

drr

t

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−=−

⇔

=

αθθθθθ

θθ

θθ

ctgrp

ep

edd

rpe

010

1

010

1)sin()cos(1

1)cos(

0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−=−⇔

αθθ

θθ

ctgrpe

rpe

010

010

)sin(

1)cos((26a,b)


Problema lui Newton

Ridicam la patrat relatiile (26a) si (26b) si le adunam:

12sin

1210

220

22

20

2

02

0

22 +−=+−+=

rp

rpctg

rp

rp

rpe

αα

Deci

Revenind la expresia fortei aratam ca F este conservativa,

adica exista potentialul V=V(r) astfel incat: .Obtinem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 2

sin11 2

00

2

αrp

rpe

2)(rmrF µ

−=

drdVrF −=)(

rmV µ

−=

(27)

(28)


Problema lui Newton

Exprimam lucrul mecanic elementar:

dVdrdrdVdrrFrdFL −=−==⋅= )(rr

δ

Din teorema energiei cinetice avem:

Iar prin integrare obtinem integrala prima a energiei

0)( =+⇒−== VTddVLdT δ

(29)0,',' tthhVT ≥∀ℜ∈=+

Avem:hmh

rmvm

rmmv

notatie/==/−/=− '

21

21

0

20

2 µµ

hr

v =−0

202

1 µ(30)


Problema lui Newton

In (27) avem:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

=

=

0

200

0

2

200

0

2

20

220

20

0

2

20

2

0

2

sin

,2

00

2

221

212sin

1sin1

2sin

112sin

11

00

2

rvr

rc

vrr

cr

vrr

c

rc

rc

rp

rpe

vrc

cp

µµµ

µµαµα

µ

αµµαα

µ


Problema lui Newton

Tinand cont de (30) avem

hcr

vrr

ceh

rv 2

2

20

200

0

22 21

221

0

20 µ

µµµ µ

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

=−

(31)

Daca• e < 1 (h < 0) atunci conica este o elipsa• e > 1 (h > 0) atunci conica este o hiperbola• e = 1 (h = 0) atunci conica este o parabola

Prin urmare, daca h < 0, conica este o elipsa si am justificat astfel prima lege a lui KeplerCea de-a doua lege a lui Kepler rezulta din proprietatile fortei centrale si anume legea ariilor

Ramane sa obtinem legea a treia a lui Kepler.


Problema lui Newton

Consideram ca miscarea lui P se face pe o elipsa:

axa polara

y

S

P

P2

F

aO

rb θ1

P1

x

axa focarelorv

P0

v0

θ α

Aratam ca: constant23 =Ta

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

+−+

=+=)cos(1)cos(12

1)(21

111121 θπθθθ e

pe

pSPSPaAvem:


Problema lui Newton

Obtinem asadar:


Dar

Tinand cont de relatia (13) avem:

2

2

2

22

2

22 1

ab

aba

aOSe −=

−==

21 epa−

=

2)32(

2222

11)1(

epeabeab−

=−=⇒−=

(32)

(33)

cbaT π2

=(34)

Problema lui Newton

Utilizand (32) si (34) si (33) calculam raportul

Asadar am obtinut ceea ce reprezinta legea a treia a lui Kepler

Obs.: Am aratat ca miscarea unui punct material P sub actiunea unei forte centrale de tip Newtonian respecta legile lui Kepler.

constant44

)1(4)1(4

)1(444

22

)32(2222

2

222

2

)33(22

2

222

23

2

3

2

===

=−

=−

=

=−

===

=

πµ

πµ

πµ

π

πππ

µ

pp

eap

eac

eaac

bac

baca

Ta

cp

(35)

constant23 =Ta


Note de curs (in format PDF): tgrosan ...math.ubbcluj.ro/~tgrosan/MecanicaCurs10.pdf · si planeta...

Documents

Transcript of Note de curs (in format PDF): tgrosan ...math.ubbcluj.ro/~tgrosan/MecanicaCurs10.pdf · si planeta...