Complemento

Serie e trasformate di Fourier

2

DefinizioneSia f(x) una funzione definita nell’intervallo –π<x< π. Diremo che f(x) può essere sviluppata in serie di

Fourier se:

1

0 )sin()cos(2

1)(

nnn nxbnxaaxf

Integrando ambo i membri tra – π e π e tenendo conto delle simmetrie di sin(x) e cos(x), otteniamo un’espressione per a0

dxxfa )(

10

I termini an e bn si ottengono moltiplicando rispettivamente per cos(mx) e sin(mx) ed integrando. Si ottiene:

dxmxxfbdxmxxfa nn )sin()(

1)cos()(

1

converge.

3

Funzioni definite in un intervallo arbitrario

Se f(x) è definita nell’intervallo c-d<x<c+d:

4

Serie seno e serie coseno

• Se la funzione f(x) è pari, cioè se f(x)=f(-x), allora esiste solo la somma contenente I termini cos(nx)

• Parimenti, se è dispari: f(x)=-f(-x), sopravvivono solo I termini contenenti sin(nx)

5

Rappresentazione con gli esponenziali complessi

Utilizzando le espressioni di sin(nx) e cos(nx) in funzione di eix ed e-ix si ha:

6

Esempio: la funzione gradino

È dispari, quindi sopravvive solo la serie di sin(nx)

Sommando i primi tre termini si ottiene il seguente grafico

Consideriamo la funzione onda quadra:

7

Proprietà dei coefficienti di Fourier

• Enunciamo senza dimostrazione una proprietà notevole dei coefficienti di Fourier:– Se f(x) è discontinua, i coefficienti di Fourier

saranno O(1/n), se sono continue le derivate f’(x), f”(x), …,f(k-2)(x), i coefficienti saranno di ordine O(1/nk)

8

Condizioni per la convergenza• La funzione x(t) deve essere assolutamente integrabile

su un periodo:

T dttxT

)(1

Questo garantisce che tutti i coefficienti siano finiti, infatti:

00

0 |)(|1

|)(|1

||00TT

tikk dttx

Tdtetx

Ta

Che, se è vera la prima condizione, implica: |ak|<∞

Esempio di funzione che non rispetta la prima condizione:

x(t)=1/t; 0<t≤1• La funzione x(t) deve essere avere un numero finito di massimi

e minimi in un periodo.• x(t) deve avere un numero finito di discontinuità in ogni

intervallo finito e ciascuna di queste deve essere finita.

9

Trasformata di Fourier

Si è visto che la f(x) può essere rappresentata in termini di esponenziali complesse:

Nel limite per L→∞

La funzione è la trasformata di Fourier di f(x)

10

Esempi di trasformata di Fourier

iae

iadteeX

tuetx

tiatiat

at

11

)(

)()(

0

)(

0

Essendo u(t) il gradino unitario

11

Esempi di trasformata di Fourier

0

1)()(

)()(

dtetX

ttxti

1

1

||,0

||,1)(

Tt

Tttx

)sin(2

1

)(

111

1

1

Tee

i

dteX

TiTi

T

T

ti

La δ ha uguali contributi a tutte le frequenze

12

Proprietà delle trasformate di Fourier

• Relazione di chiusura: analogamente a quanto accade in algebra per due vettori ortonormali, per cui:

i j

ji

jivv

Esiste una relazione analoga per le trasformate di Fourier:

Dove si è introdotta la funzione delta di Dirac

x

xx

0)(

13

Proprietà delle trasformate

• Proprietà di shifting:

• Proprietà di scaling:

• Differenziazione ed integrazione:

)()}({ 00 XettxF ti

a

Xa

atxF

||

1)}({

)()0()(1

)(

)()(

XXi

dxF

Xidt

tdxF

t

14

Proprietà delle trasformate 2

• Relazione di Parseval:

dXdttx 22 |)(|2

1|)(|

dXXddtetxX

dtdeXtx

dttxtxdttx

ti

ti

)()(2

1)()(

2

1

)(2

1)(

)()(|)(|

**

*

*2

15

Spettro di una funzione

• Si chiama spettro di una funzione, l’andamento delle ampiezze dei coefficienti di Fourier in funzione della frequenza, o, nel continuo, l’andamento della trasformata di Fourier o, più spesso, della PSD (vedi sotto).

• Si chiama densità di potenza spettrale (power spectral density - PSD) l’integrale:

)()()(2

1)( *

2

FFdtetfI ti

16

Spettro di una sequenza di impulsi

k

kTttx )()(

Sia il segnale x(t) la sovrapposizione di impulsi ad intervalli T.

I coefficienti di Fourier di x(t) saranno:

k

T

T

tikk

T

k

TX

Tdtet

Ta

22)(

1)(

1 2/

2/

0

17

Convluzione

• Si definisce prodotto di convoluzione (folding) di due funzioni x(t) e h(t) l’integrale:

)()()(

)()()()(

)()()(

)()()(

)(

XHY

dexHddtethx

dtedthxY

dthxty

i

eH

ti

ti

i

h(t) è la risposta all’impulso di un sistema

H(ω) è la risposta in frequenza

Shifting

18

Modulazione• La proprietà di convoluzione stabilisce che la convoluzione nel

tempo corrisponde alla moltiplicazione nella frequenza. • Per dualità la trasformata del prodotto di due funzioni x(t) e y(t):

)(*)(2

1)()}({

)()()(

YXRtrF

tytxtr

Dunque la moltiplicazione dei due segnali può essere pensata come la modulazione in ampiezza di un segnale con l’altro:

Esempio: sia s(t) un segnale con spettro S(ω), e sia p(t)=cos(ω0t)

P(ω)=πδ(ω - ω0)+ πδ(ω + ω0)

Se r(t)=s(t)p(t), allora

)()(2

1)(*)(

2

1)( 00

SSPSR

19

Campionamento• Campionare un segnale ad

intervalli regolari equivale a moltiplicare il segnale s(t) con un treno di impulsi equispaziati

k

k

k

k

T

kS

T

T

kS

T

PSR

kTttstr

kTttp

21

2*)(

1

)(*)(2

1)(

)()()(

)()(