Complemento Tema 2

TEORÍA DE LA DECISIÓN TEORÍA DE LA DECISIÓN

Criterio de BayesCriterio de BayesConsideremos el problema de decisión

dado en la siguiente tabla de ganancias:

ACCIONESACCIONES

EVENTOSEVENTOS a1a1 aa22

θθ11 00 -4-4

θθ22 44 4000040000

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

Aunque a1 es la acción maximín, la acción a2 representaría una mejor elección si el evento θ2 tiene una buena posibilidad de ocurrir.

Como se observa, se tiene una deficiencia del criterio maximín como la de ser un criterio de decisión muy conservador.

En general las acciones que se adoptan utilizando el principio maximín o minimax, suponen que la naturaleza es un oponente consciente, quien desea infringir al decisor tanto “daño” como le sea posible.

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En algunas situaciones el decisor tendrá cierta información sobre los eventos que pueden ocurrir. Evidentemente el decisor debe tener en cuenta esta información que por lo general se puede resumir en una distribución de probabilidad, llamada “distribución a priori”. A menudo este tipo de distribuciones son subjetivas, en el sentido de que pueden depender de la experiencia o intuición de una persona

La incertidumbre de un evento será medida de acuerdo a su probabilidad de ocurrencia.


Es importante reconocer que dos personas diferentes en la misma situación pueden asignar dos probabilidades distintas al mismo evento◦ Una asignación de probabilidad refleja tu

experiencia pesonal respecto a la ocurrencia de un evento, es decir, la incertidumbre medida es TU incertidumbre

◦ Personas distintas pueden tener diferente conocimiento acerca del evento en cuestión

◦ Incluso personas con los mismos conocimientos pueden diferir en la opinión de la probabilidad de ocurrencia de un evento. Usualmente las probabilidades de este tipo se denominan probabilidades subjetivas

◦ La obtención de probabilidades subjetivas es un punto clave en análisis de decisiones y predicciones.


El criterio de Bayes es un procedimiento que utiliza la distribución a priori con el fin de ayudar en la selección de una acción. Para cada acción evaluamos el pago esperado con respecto a esta distribución, este pago será representado por:

l(aj)=Eθ[l(aj, θ)], j=1,…,nESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. 6

El criterio de Bayes, indica al decisor que seleccione aquella acción, llamémosla ak, que de lugar al pago esperado óptimo. Este pago, notado por l*(ak), viene dado entonces por

l*(ak)=Optimo{l(aj)=}

1≤j≤nLa decisión más conveniente no

necesariamente es única.


EjemploEjemploUna empresa está considerando la

contratación de tres personas. El campo principal de cada uno de los probables empleados y sus salarios anuales son:

PersonaPersona EspecialidadEspecialidad SalarioSalario

11 PublicidadPublicidad 1212

22 VentasVentas 1515

33 VentasVentas 1818

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El beneficio anual bruto (ingreso menos todos los costos excepto sueldos), que aportaría cada uno de ellos a la empresa, depende del estado de la economía y es el que aparece en la siguiente tabla

Estado de Estado de EconomíaEconomía

Persona 1Persona 1 Persona 2Persona 2 Persona 3Persona 3

BuenoBueno 1818 1818 3232

RegularRegular 1212 1616 2424

PobrePobre 1010 1212 1616

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La especialidad de la persona 1 se complementa con la especialidad de las personas 2 y 3, razón por la cual, cuando aquella es contratada con una de éstas, el beneficio anual bruto que aportaría cada una de ellas sería del 120 % del dado anteriormente.

Por otra parte, como las personas 2 y 3 se desempeñan en el mismo campo, si son contratadas el beneficio bruto para cada una sería sólo del 70% del señalado anteriormente. De acuerdo con la información que tien a su disposición la empresa se conoce que en un año cualquiera, el estado de la economía es bueno, regular y pobre, con probabilidades 0.6, 0.3 y 0.1 respectivamente.

Determine las posibles acciones que podría adoptar la empresa.


Tabla de los beneficios netos para Tabla de los beneficios netos para la empresala empresa

Personas contratadasPersonas contratadas

Est. Est. EconomíaEconomía

ProbProb aa00 aa11 aa22 aa33 aa1212 aa1313 aa2323 aa123123

BuenoBueno 0.60.6 00 66 33 1414 16.216.2 30,030,0 2.02.0 18.618.6

RegularRegular 0.30.3 00 00 11 66 6.66.6 13.213.2 -5.0-5.0 33

PobrePobre 0.10.1 00 -2-2 -3-3 -2-2 -0.6-0.6 1.21.2 -13.4-13.4 -9.48-9.48

Beneficio Beneficio esperadoesperado

00 3.43.4 1.81.8 10.010.0 11.6411.64 21.8421.84 -1.64-1.64 11.1111.11

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Criterio de máxima Criterio de máxima verosimilitudverosimilitudEn este modelo, el interés se centra

en el evento que tiene la mayor probabilidad, con la exclusión de los otros eventos. De esta manera, de las entradas que corresponden al evento con esta probabilidad, se escoge la acción más conveniente, obteniéndose así la acción de máxima verosimilitud. Formalmente, si θr (1≤r≤m) es el evento más probable, se debe escoger la acción ak para la cual


l(ak ,θr)=Optimo{l(aj ,θr)}

1≤j≤n


EjemploEjemploUna compañía tiene una máquina que

llena frascos con aceite. En un trabajo de producción, sea θ la proporción de frascos que la máquina llena mal. Un trabajo de producción consiste en envasar 5000 frascos y el costo de llenar mal un frasco es 4. La compañía tiene la opción de contratar un experto que ajuste la máquina, a un costo de 300 más dos por cada frasco mal envasado. De experiencias anteriores la compañía ha encontrado que el valor de ,θ es 0.01, 0.03, 0.05 o 0.07 con probabilidades 0.1, 0.2, 0.4 y 0.3 respectivamente.


Las acciones que podría adoptar la compañía son:

a1:contratar un experto para ajustar la máquina.

a2: no contratar experto alguno.Determine la función de pagos.


Tabla de costosTabla de costosAccionesAcciones

Proporción Proporción θθ

ProbabilidaProbabilidadesdes

aa11 aa22

0.010.01 0.10.1 400400 200200

0.030.03 0.20.2 600600 600600

0.050.05 0.40.4 800800 10001000

0.070.07 0.30.3 10001000 14001400

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ConclusiónConclusiónEs más probable que la máquina

envase mal el 5% de los frascos, vemos que, la acción de máxima verosimilitud para la compañía es a1. El costo más probable es 800

Si se compara este resultado con el criterio de bayes, ¿cuál sería la acción a tomar?

Compare ahora con el criterio minimax


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