Girardot, Colombia, 2009Segundo Da7 de octubre

Problema 4Sean m una recta en el plano y M un punto que no pertenece a m. Encontrar el lugargeometrico de los focos de las parabolas con vertice M que sean tangentes a m.

Problema 5Sea f : R R, tal que:

i) Para todo a R y todo > 0, existe > 0 tal que |x a| < f(x) < f(a) + .

ii) Para todo b R y todo > 0, existen x, y R, con b < x < b < y < b+ , tal que|f(x) f(b)| < y |f(y) f(b)| < .

Demostrar que si f(a) < d < f(b), entonces existe c con a < c < b o b < c < a tal quef(c) = d.

Problema 6Sea una raz n-esima de la unidad. Supongamos que z = p() es un numero real para algunpolinomio p (no constante) con coeficientes enteros. Demostrar que existe un polinomio qcon coeficientes enteros tal que z = q(2 cos 2pi/n).

Duracion: 412 horasCada problema recibe un maximo de 10 puntos