Equilibrio 2 D

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Page 1: Equilibrio 2 D

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN

Recinto UNI Norte - Sede Regional Estelí

Ing. Sergio Navarro Hudiel

Agosto 2009

Page 2: Equilibrio 2 D

CONDICIONES DE EQUILIBRIO BASADO EN LA PRIMERA LEY

DE NEWTON

“Un cuerpo se encuentra en equilibrio

traslacional si y solo si la suma vectorial de

las fuerzas que actúan sobre el es igual a

cero”.

“Todos los cuerpos tienden a permanecer en el estado

de movimiento que tienen a menos que una causa

externa (fuerza) altere dicha condición”

ΣFx= 0 y ΣFy= 0

Page 3: Equilibrio 2 D

Cuando dos o más fuerzas actúan sobre una partícula en tres

dimensiones, las componentes rectangulares de su resultante R

se obtienen al sumar las componentes correspondientes de las

fuerzas dadas.

La partícula está en equilibrio cuando la resultante de todas

las fuerzas que actúan sobre ella es cero.

Rx = Fx

Ry = Fy

Rz = Fz

Page 4: Equilibrio 2 D

Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0

En dos dimensiones, sólo se necesitan dos de estas ecuaciones:

Para resolver un problema que comprende una partícula en

equilibrio, dibuje un diagrama de cuerpo libre en el que se

muestren todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Las

condiciones que se deben satisfacer para que la partícula esté

en equilibrio son:

Fx = 0 Fy = 0

Page 5: Equilibrio 2 D

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

a) Hacer un dibujo que represente claramente elproblema que se desea resolver

b) Construye un diagrama de cuerpo libresustituyendo por medio de fuerzas todo aquelefecto que recibe el cuerpo, provocado por sucontacto con otros cuerpos o por la fuerzagravitacional y que originan que se encuentren enequilibrio. Indique la magnitud, dirección ysentido de las fuerzas conocidas. Use símbolospara señalar las cantidades que se desconocen.

Page 6: Equilibrio 2 D

c) Haga un sistema de referencia utilizando ejes

rectangulares y coloque al cuerpo en equilibrio

en el origen del sistema de coordenadas.

d) Aplique las ecuaciones de equilibrio que

necesite para encontrar las respuestas a las

incógnitas buscadas.

Page 7: Equilibrio 2 D

En estos problemas, se hace uso de igual forma de lasfunciones trigonométricas.

Mediante una serie de despejes y sustitución devalores en las ecuaciones que se obtengan, se hallanlos valores de las fuerzas o vectores. Los signos de lasX y las Y en los cuadrantes, de igual forma se debende tener en cuenta, para obtener los resultadoscorrectos.

Page 8: Equilibrio 2 D

Problema

A

9 ft

5 ft

8.5 ft

12 ft 7.5 ft

B

C

396 lb

Dos cables están atados entre sí en C y cargados como se

muestra. Determine la tensión

a) en el cable AC, b) en el cable BC.

Page 9: Equilibrio 2 D

A

9 ft

5 ft

8.5 ft

12 ft 7.5 ft

B

C

396 lb

1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la partícula. En este

diagrama se muestra la partícula y todas las fuerzas que

actúan sobre ella.

2. Iguale a cero la resultante, o suma, de las fuerzas ejercidas

sobre la partícula. Obtendrá una ecuación vectorial que consta

de términos con los vectores unitarios i, j y k. Hay tres ecua-

ciones escalares, que pueden resolverse para las incógnitas.

Page 10: Equilibrio 2 D

x

y

TAC

TBC

4

7.512

3.5

396 lb

DCL

TBC = 0Fx = 0 :12

12.5TAC

7.58.5

+

TBC = 1.088 TAC

Fy = 0 : TAC

48.5

+3.5

12.5TBC 396 lb = 0

Dibuje un diagrama de cuerpo

libre de la partícula.

Iguale a cero la resultante, o

suma, de las fuerzas ejercidas

sobre la partícula.

Page 11: Equilibrio 2 D

x

y

TAC

TBC

4

7.512

3.5

396 lb

a) Sustituya TBC por su expresión:

TAC

48.5

+3.5

12.5(1.088 TAC )

_ 396 lb = 0

(0.280 + 0.512) TAC_ 396 lb = 0

b) TBC = 1.088 (500 lb)

TAC = 500 lb

TBC = 544 lb

Page 12: Equilibrio 2 D

El motor está suspendido por un sistema de cables. La masa

del motor es de 200 kg. ¿Qué valores tienen las tensiones en

los cables AB y AC?

Page 13: Equilibrio 2 D
Page 14: Equilibrio 2 D

Una pelota de 100 N suspendida de un cordel es

tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenida

de tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30°

con la pared vertical. Encuéntrese las tensiones en

los cordeles A y B de acuerdo a la siguiente figura.

Page 15: Equilibrio 2 D

Resolviendo:

F θ comp. X comp. Y

A 60 - A cos 60 A sen 60

B 0 B 0

W 0 0 -100 N

ΣFx =- A cos60 + B = 0

ΣFy = A sen 60 -100 N = 0

Pasando - A cos60 del otro lado de la igualdad con diferente signo:

ΣFx = B = A cos60 ΣFx = B = A (0.5).Como desconocemos A y B, esta última expresión

queda como la ecuación 1.

Page 16: Equilibrio 2 D

Pasamos del otro lado de la igualdad el peso de 100 N, con diferente signo:

ΣFy = A sen 60 = 100 N. ΣFy = A (0.8660) = 100 N.

De esta última expresión podemos despejar A, pasando el valor de 0.8660, dividiendo al peso de 100 N:

A = 100 N = 115.47 Newton.0.8660

Ahora regresamos a la ecuación 1: B = A (0.5).

Y sustituimos el valor de A para hallar B tenemos:

B = 115.47 N x 0.5 = 57.73 Newton.

Entonces los valores serán:A = 115.47 Newton. Y B = 57.73 Newton.

Page 17: Equilibrio 2 D

Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas FA y FB sobre el

gancho. La magnitud de FA es de 100 lb, la tensión en el cable B se

ha ajustado para que la fuerza FA + FB sea perpendicular a la pared a

la que está unido el gancho.

¿Cuál es la magnitud de FB?

¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables

sobre el gancho?

FA + FB = R

Rx = FAx + FBx

Ry = FAy + FBy

Page 18: Equilibrio 2 D

Como la fuerza resultante debe ser perpendicular a la pared, entonces

debe asumirse que Ry = 0

FAx = 100 lb * Cos50°

FAx = 64,278 lb

FAy = 100 lb * Sen50°

FAy = 76,604 lb

Ry = 0

Ry = FAy + FBy

76,604 lb + FB * Sen70° = 0

FB = 81,52 lb

FBx = 81,52 lb * Cos70°

FBx = 27,881 lb

Por lo tanto:

R = Rx

R = FAx + FBx

R = 64,278 lb + 27,881 lb

R = 92,159 lb

Page 19: Equilibrio 2 D

Dos cuerdas T1 y T2, sostienen un objeto cuyo peso

es de 500 N, como se ve en la figura siguiente,

elaborar el diagrama de cuerpo libre y hallar las

tensiones de las cuerdasT1 yT2.

Page 20: Equilibrio 2 D

Cuadro de fuerzas F θ Comp. X Comp. Y

T1 40 T1 cos 40 T1 sen 40

T2 0 -T2 0

W 0 -500 N

ΣFx =T1 cos 40 -T2 =0 ΣFy= T1 sen 40 -500 N = 0.

Pasamos T2 del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFx = T1 cos40 = T2. ΣFx = T1 (0.7660) = T2. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión queda provisionalmente como la ecuación 1. De la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad, con signo positivo: ΣFy= T1 sen 40 = 500 N. Ahora sacamos el seno de 40 : ΣFy= T1 (0.6427) = 500 N. Despejando el valor de T1, tenemos: T1 = 500 N = 778 N

0.6427

Ahora regresamos a la ecuación a la ecuación 1, T1 (0.7660) = T2.

y sustituimos el valor de T1, para hallar T2, tenemos:

T2 = 778 N x 0.7660 = 596 N

Las tensiones son entonces: T1 = 778 NY T2 = 596 N

Page 21: Equilibrio 2 D

Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está suspendido de una

armadura como se ve en la figura. Determinar el valor de la

tensión de la cuerda y el empuje de la barra.

Page 22: Equilibrio 2 D

F θ comp. X comp. Y

T 35 -T cos 35 T sen 35

E 0 E 0

W 0 0 -500 N

ΣFx = -T cos 35 + E = 0

ΣFy =T sen 35 - 500 N = 0

De la ΣFx, pasamos -T cos 35 , del otro lado de la igualdad con signo positivo:

ΣFx = E = T cos 35 .

Ahora sacamos el coseno de 35 . E = T (0.8191). Como desconocemos E y T, esta última expresión queda provisionalmente como la ecuación 1.

Ahora de la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo:

Page 23: Equilibrio 2 D

ΣFy = T sen 35 = 500 N. Ahora sacamos el seno de 35 .

T (0.5735) = 500 N. Despejando T, tenemos: T = 500 N = 871. 68 Newton

0.5735

Ahora regresamos a la ecuación 1 para hallar el valor del Empuje E, y sustituyendo el valor de T, tenemos:

E = 871.68 N x 0.8191 = 714.08 Newton .Entonces los resultados son:

T = 871. 68 Newtons. Y E = 714.08 Newtons.

Page 24: Equilibrio 2 D

Como el cuerpo está en equilibrio:

ΣFx = 0 = E + (-Tx)

ΣFy = 0 = Ty + (-P)

Sustitución

ΣFx = E –T cos 35°= 0

E = T cos 35°.

ΣFy = T sen 35°- P = 0

T sen 35° = P

T = P___ = 500 N = 871.68 N

sen 35° 0.5736

Sustituyendo el valor de la tensión para encontrar el del empuje tenemos:

E = T cos 35° = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N.

Page 25: Equilibrio 2 D

Encontrar las tensiones de las cuerdas T1 y T2 de la figura

siguiente que soportan un peso de 300 N.

Page 26: Equilibrio 2 D

F θ comp. X comp. Y

T1 56 T1cos 56 T1 sen56

T2 34 -T2 cos 34 T2 sen34

W 0 0 -300 N

ΣFx = T1cos 56 -T2 cos 34 = 0.

ΣFy =T1sen 56 + T2 sen 34 -300 N = 0.

De la ΣFx, pasamos T2 cos 34 , del otro lado de la igualdad con signo positivo:

ΣFx = T1cos 56 = T2 cos 34 . Ahora sacamos los cosenos de los ángulos:

ΣFx = T1 x 0.5591 = T2 x 0.8290. Ahora despejamos T1, para expresarlo en relación a T2 en una sola cantidad:

T1 = 0.8290T2

0.5591

Page 27: Equilibrio 2 D

T1 = 1.4827 T2.

Ecuación 1. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión queda provisionalmente como la ecuación 1.

Seguimos con la sumatoria de fuerzas Y. Primero pasamos el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFy =T1 sen 56 + T2 sen 34 = 300 N.

Ahora sacamos los senos de los ángulos: ΣFy = T1 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N.

Ahora, sustituimos el valor de T1, obtenida en la ecuación 1:

ΣFy = 1.4827 T2 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N.

Se realizan las multiplicaciones:ΣFy = T2 (1.2291) + T2 (0.5591) = 300 N.

Page 28: Equilibrio 2 D

Dado que las dos cantidades tienen como factor común a T2, entonces se pueden sumar:ΣFy = T2 (1.7882) = 300 N. Ahora despejamos a T2: T2 = 300 N = 167.76 newtons.

1.7882Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el valor de T1: T1 = 1.4827 x 167.76 N = 248.73 newtons.Entonces los valores de T1 = 167.76 N y T2 = 248.73 N.

Page 29: Equilibrio 2 D

Un tanque de acero debe colocarse en la fosa mostrada

en la figura de abajo. Sabiendo que α = 20 ,

determínese la magnitud de la fuerza P requerida si la

resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe de

ser vertical.

Page 30: Equilibrio 2 D

Diagrama de cuerpo libre.

X

Y

α= 20°

P = ?

425 lb

30°

R

Page 31: Equilibrio 2 D

F θ comp X comp. Y

P 20 P cos 20 P sen 20

425 lb 30 - 425 cos 30 425 sen 30

ΣFx = P cos 20 - 425 cos 30 = 0.

ΣFy = P sen 20 + 425 sen 30 = 0.

ΣFx = P cos 20 = 425 cos 30 .

ΣFx = P (0.9396) = 425 (0.8660).

ΣFx = P (0.9396) = 368 lb.

Despejando P tenemos: P = 368 lb = 391.7 lb.

0.9396

Page 32: Equilibrio 2 D

Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se

muestra en la figura. Determínese la tensión en el cable

AC.

Page 33: Equilibrio 2 D

F θ comp. X comp. Y

TAC 50 TAC cos 50 TAC sen 50

TBC 30° -TBC cos 30 TBC sen 30

W 0 0 - 500 N

ΣFx = TAC cos 50 -TBC cos 30 = 0.

ΣFx = TAC cos 50 = TBC cos 30 .

ΣFx = TAC (0.6427) = TBC (0.8660).

Despejando TAC tenemos:

TAC = TBC 0.8660. = TAC = TBC 1.3474 ec. 1.

0.6427

Page 34: Equilibrio 2 D

ΣFy = TAC sen 50 + TBC sen 30 - 500 N = 0.

Pasando el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo:

ΣFy = TAC sen 50 + TBC sen 30 = 500 N.

Sacando los senos de los ángulos:

ΣFy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N

Sustituyendo el valor de TAC de la ecuación 1, tenemos:

ΣFy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N

ΣFy = TBC (1.3474) (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N.

Page 35: Equilibrio 2 D

Efectuando la multiplicación:

ΣFy = TBC (1.0321) + TBC (0.5) = 500 N.

Como TBC es un factor común a ambas cantidades, estas se pueden sumar:

ΣFy = TBC ( 1.5321) = 500 N.

Despejando el valor de TBC tenemos:

TBC = 500 N = 326.34 Newtons.1.5321

Para encontrar el valor de TAC regresamos a la cuación 1:

TAC = TBC 1.3474

TAC = 326.34 N x 1.3474 = 439.7 Newtons

Page 36: Equilibrio 2 D

T1 T2

P

Se desea colgar del techo un cuerpo de 2

kg de masa mediante dos cuerdas igual

de largas y que forman entre sí un ángulo

de 60 º. Calcula la tensión que soporta

cada cuerda.

Si el cuerpo está en equilibrio:

F = T1 + T2 + P = 0

Descomponiendo en componentes cartesianas:

P = – m ·g · j (Va hacia abajo)

T1 = T1x · i +T1y · j

T2 = T2x · i +T2y · j

Si F = 0 Fx = 0 ; Fy = 0P

T1x T2x

T1y T2y

60º60º

Page 37: Equilibrio 2 D

T1 T2

P

Las componentes cartesianas se obtienen a partir de T y del ángulo :

T1x = T1 · cos 120º = –T1/2

–T1y = T1 · sen 120º = 3/2 T1

T2x = T2 · cos 60º = T2/2

–T2y = T2 · sen 60º = 3/2 T2

Fx = T1x + T2x = –T1/2 + T2/2 = 0 T1 = T2

–Fy = T1y + T2y + P = 3 T1 – 19,6 N = 0

T 1 = T 2 = 11,3 N

P

T1x T2x

T1y T2y

60º60º

Page 38: Equilibrio 2 D

Los cables AB y AC ayudan a soportar el techo en voladizo. Las

magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son |FAB| = 100

kN y |FAC| = 60 kN. Determine la magnitud de la fuerza resultante.

R = Rx + Ry

Rx = FABx + FAC

Ry = FABy

FABx = 100lb * Cos30° FABy = 100lb * Sen30°

FABx = 86,602 lb FABy = 50 lb

Rx = 86,602 lb + 60lb Ry = 50 lb

Rx = 146, 602 lb

R2 = Rx2 + Ry2

R2 = (146, 602 lb)2 + (50lb)2

R = 154,893 lb

Page 39: Equilibrio 2 D