Код MCFL расчета нестационарных

многокомпонентных течений

В. Борисов, В. Жуков, М. Краснов, Б. Критский,

Н. Новикова, О. Феодоритова

vic.zhukov@gmail.com

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша

РАН

28-29 ноября 2020, Москва

1

«Отечественные

CFD коды – 2020»

План Код MCFL (Multicomponent Flows)

Принцип расщепления по физическим процессам

Явно-итерационная схема интегрирования по

времени параболических уравнений

Схема интегрирования по времени уравнений

Навье-Стокса / многокомпонентных реагирующих

течений

Численные примеры

Заключение

2

Код MCFL (Multicomponent Flows)= NOISEtte-M

3

MCFL - это исследовательский код, развитие комплекса программ

NOISEtte ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. Код MCFL создается в парадигме

современного программирования в системе совместной разработки

SVN(Subversion) кода NOISEtte, т.е. в системе бесконфликтной

одновременной удаленной работы над единым кодом множества

разработчиков.

Код MCFL наследует основные функциональный возможности

присущие NOISEtte, в том числе параллельную эффективность.

Код MCFL находится в процессе развития, проводятся

верификационные расчеты на модельных задачах.

Команда кода MCFL: Феодоритова О.Б., Новикова Н.Д., М.М.

Краснов, В.Е. Борисов, Б.В. Критский с участием Жукова В.Т.,

Рыкова Ю.Г и коллектива создателей кода NOISEtte.

Расщепление по физическим процессам

Пример. Уравнение конвекции-диффузии

4

c ( ),

( )

:

.

:

t x x х

t h h

t h

t h

u u d u c c x d d x

Аппроксимация по пространству

u C u D u

Алгоритм

гиперболический э

расчета шага t t

u C

параболический эт

тап

uа

u

п D u

Проблема точности: C и D – квадратные

неперестановочные матрицы (если c, d не константы)

5

2

1.

2. , ,

:

( ), . .

 0.5

Dτ

Cτ

Cτ Cτ Dτ

(C+ D)τ

C D τ Cτ Dτ

duC D u, t  t τ

dt

dv v t u t    Dv  v t τ  e v t  

dt

dw w t v t τ   Cw   w t τ  e w t

dt

 u t τ e w t e e t

Точное решение  U t τ e t

Погрешност C D D C

D C C D

ь схемы O т к

δ e e e τ

u

u

Кроме того, есть проблема сохранения стационарного решения.

Для нелинейных задач расщепление может приводить к разным

решениям.

Новые алгоритмические элементы

6

Гиперболический этап – схема Годунова с точным

решением задачи Римана для многокомпонентной

смеси (Ю.Г. Рыков, В.Е. Борисов)

Параболический этап – оригинальная явно-

итерационная схема LINS, основанная на многочленах

Чебышёва. Не использует эмпирические параметры.

Обобщение схемы LI-M. Число итераций:

2 1, 1 ,

- степень многочлена Чебы

4

шева

max max hp p D

p

Схема LI-M для параболических уравнений

7

0

3

0 0

0

in [ ; ]

( ) on Γ

Ω , - внешняя нормаль к Γ

( , , , ) ( , , )

( )

tu L u f G t T

u n u

n

u t x y z u x y z

L u u a u f

Дискретизация по пространству и времени

8

1 3

1

2

~ .

{ , 0 , }, 0 :

{ , 0 },

Пространство , ( ) .

Полудискретная схем

а:

- самосопряж. неотриц.опр. оператор

.

j J

h

j j j

h n

h h

h

h N

t j J t T t t

x n N

uL u

U

L

ft

L

, h h

Схемы интегрирования

9

*

max

1

1

1

1

0 0;

( ) ,

Явная схема:

Неявная схема:

hh h

j j h j j j

j j

h j j

j j

h j j

L L sp L

u u t U t t t

u uL u f

u uL u f

t h hu L u f

Явно-итерационная схема LI-M

на основе многочленов Чебышева

10

max1 1 1 1

1

1

( ) cos  arccos  , 1 1

Нул

2 1cos 1,...,

2

, ( ) , cos 0.5 01

2 1, итер. параметры:

, 14

:

,.

и

h

i

m

m m

p

ax

m

ax

T xМногочлен Чебышева степ

L

ii p

p

a z m m i z p az

p

ени xp p

p

b

x

2 2 1

0

1

1 1

.., ,..., , ,

1= [ ( )] ,

..., ,

1

: = ,

m

q p p

m

j

m

j m h h

m

j

Схема y u

uy u b y L y fb

b a a a a a

y

Операторная запись схемы LI-M

11

1

1

1

1

1 1 ma

2

x

,

( )

( 1

1 /

)

n n n

n n n

h

p h p

m

p p

m

p

p

p

p

h

y S y Q

G

G L

G нормированный многочленЧ

t t t

S I I L

H L H

H T z z

ебышева

ma

Качество схем: спектры операторов

перехода

12

exp

2

-

0; = sp

Явная схема: ( ) 1

1Неявная схема: ( )

1

1 ( )Схема LI-M : ( ) , 1

1

max h

imp

p

LI М p

L

GG

Качество схем: спектры операторов

перехода по сравнению с точным

13

20; h maxLam

exp( )

Красная линия ближе к зеленой!

Математическая модель RANS (в отсутствии горения)

14

,

1

0,

,

,

2 ,

3

+ Модель турбулентности

spN

k k j

t

k

t

ut

uu u p

t

E pu E u q q

t

T u u u q T T

Уравнение состояни

J

я

h

t

t

τ τ

τ τ

τ I

(

, , ,

Ментера,

.

...)

tq q молекулярная и турбулентная компоненты

тензора вязких напряжений и теплового потока соотв

t

τ τ

Хим. состав смеси:

𝑵𝒔𝒑 – количество компонентов в смеси;

𝑵𝒓 – число реакций;

𝒀𝒎 – массовая доля компонента сорта 𝒎: 𝒀𝒎𝑵𝒔𝒑

𝒎=𝟏 = 𝟏.

Парциальная плотность 𝝆𝒎 = 𝝆𝒀𝒎

𝒖 – среднемассовая скорость: 𝝆𝒖 = 𝝆𝒎𝒖𝒎𝑵𝒔𝒎=𝟏

Диффузионный поток:

𝑱 𝒎 = 𝝆𝒎 𝒖𝒎 − 𝒖 ~ 𝝆𝑫𝒎𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒀𝒎 , 𝑱𝒎𝑵𝒔𝒑

𝐦=𝟏 =0.

УРС ∶ 𝒑 = 𝒀𝒎 𝑹 𝑾𝒎 𝑵𝒔𝒑

𝒎=𝟏 𝝆𝑻 , 𝑾𝒎 − молярная масса

15

Многокомпонентные течения реагирующих газов

Уравнения балансов хим. компонентов смеси в

диффузионном приближении

16

1

,

,

:

. .

,

, ,

1, 

     

m m

r

j mm mm m sp

j j j

N

m m m m m

j

m

m

j m

jj

Диффузионный поток и скорость изменения компонентJ

молярна

а m

я масса к

стехиометр коэфф компонента в реакции

u YY YD m N

t x x x

J D Y W

m j

W

s

   

1 1

 ,

, :

   

, ,

tj tjsp sp

j

N N

t tfj bj

t tt t

fjt

b

j tj

j

j

омпонета скорость реакции

степени компонента t

константы скорости реакции

j

Y YQ Y k k

W W

k

s

s

k

Химическая кинетика

17

Скорости изменения молярно-объемных концентраций

- источник в уравнениях диффузии компонентов -

определяются в каждой ячейке сетки из решения

нелинейной жесткой системы обыкновенных

дифференциальных уравнений:

( , )dY

F T Ydt

Здесь функция F зависит от скоростей реакций.

Схема интегрирования LINS для

уравнений Навье-Стокса

18

31 2

1 2 3

2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0,

( , , , , ) , 0.5

( ) ( ) ( ) ( )

, :

( ) 0, , ,

( ) 0, , , , 0

( ) 0,0,0,0,

T

conv

k k k k

conv

k k k k k

T

k k k k

k

FF FU

t x x x

U u u u E E e u

F U F U F U F U

Конвективный вязкий и тепловой потоки

F U u U p p p

F U

F U

1 1 2 2 3 3

T

k k k ku u u q

Схема LINS для уравнений Навье-Стокса

19

1

1 2 3

2

( ) ( ) ( ) 0

:

:

( ) 0

:

( , , , , ) ,

0.5

conv

n n n conv

nconv n

conv

T

dUF U F U F U

dt

Расщепление t t t

Гиперболика схема Годунова

U UF U

Результат

U u u u E

E e u

Параболический этап I, вязкость

20

1

1 2 3

2

1

1 2

1 2

2 3

3

1

:

( , , )

( ) :

( , , , , ) , 0.5

:

( ) 0.

: ( , , ) , 0.5

n n n conv

conv T

T

n co

n

nv

conv

n T

n

U u u u

Расщепление t t t

H u u u

Предиктор неполный LINS

e

Корректор

H HF

Результат H e

Пр

E E u

U

u u u E u

ед

+ =иктор Корректор LINS

Параболический этап II, теплопроводность

21

1

2

2

1 2 3

1

1 2

:

0.5

Предиктор (неполныйLINS):

( , , , , ) , 0.5

Кор

Уравн

рек

ение энерги

тор

и:

:

0

: 0.5

n n n conv

T

n

conv

n

n

n

U

скорос

Расщепление t t t

E e u

u u u E u

E EF

Результат E E u

Пре

ть извест

E

дикт

e

U

а

e

н

+ = LINSор Корректор

Схема расщепления в многокомпонентном

случае

22

+C

C

+C

1

1

2

2 3

1, , , , , , , , 1, ...,

)

:

: (

m sp

h h

h

h

n n

n n

h h

нелинейный конвективный оператор

линейный диффузионный оператор

Явная схема ограничен

U u u u E k Y m N

Разностная схема

U U = D Ut

U

D U н

ие на

е

ша

UD U

г

U =

h

U

Расщепление:

23

1

0n n

n

h

U U+С U

Гиперболический этап – схема

Годунова с точным решением

задачи Римана для

многокомпонентной смеси

(Ю.Г. Рыков, В.Е. Борисов)

Параболический этап:

вязкость, теплопроводность,

диффузия компонентов смеси

1 1n

h

n

nU

D UU

nU результат

предикторных

итераций LINS

1n n

n

h h

nU UC U D U

Сумма этапов:

covh

Примера расчетов. NS-Eqns

Расчет I. Тепловая конвекция:

(Полежаев В.)

24 Динамика плотности (слева) и давления (справа)

Расчет 2. Сверхзвуковое высокотемпературное течение в

канале (Башкин В.А., Егоров И.В.) NS-Eqns

25

Шлирен плотности

Сравнение с явной схемой: вычислительная

эффективность схемы LINS выше и при h 0 ее

преимущество многократно увеличивается

Сверхзвуковое течение в плоском канале переменного

сечения. Установление. Сравнение схем.

26

Неявная

схема

Явная схема

𝒌𝑪𝑭𝑳+𝑫 = 𝟎. 𝟓

LINS,

𝒑 = 𝟒 ÷ 𝟓

𝒌𝑪𝑭𝑳 = 𝟎. 𝟓

Число шагов 136 364 587 356 136 364

𝝉𝒂𝒗𝒆𝒓 1.1 ∙ 10−3 2.6 ∙ 10−4 1.1 ∙ 10−3

Время счета,

сек

6 300 6 695 3 000

Точность, норма невязки

8.5 ∙ 10−6 8.5 ∙ 10−6 2.6 ∙ 10−6

Сетка 16 000, T=150

Акустические волны на диффузионной

границе двух газов

27

0 0 2 21 , 850 , : 550 , 2200p атм T K скорости звука O м с H м с

Скорость и концентрации водорода:

а) левая волна и зона смешения б) правая волна и зона

смешения в) зона смешения

28

а б

В

Профили скорости на разных сетках:

а) во всей области и в зоне интерфейса,

б) в окрестности левой и правой акустических волн

29

a

б

Профили температуры и концентрации

водорода в зоне интерфейса

30

Концентрация

водорода

.

Температура

Заключение

31

Схема LINS расчета многокомпонентных

химически реагирующих сред имеет следующие

особенности :

• конвекция и диссипативные процессы (вязкие,

теплопроводные, диффузионные) реализуются

явными и явно-итерационными алгоритмами

соответственно.

• схема LINS обеспечивает выполнение законов

сохранения, эффективна в параллельной

реализации.

32

1. Жуков В.Т., Феодоритова О.Б., Новикова Н.Д. Об одном подходе к

интегрированию по времени системы уравнений Навье-Стокса. //

ЖВМ и МФ. 2020. Т. 60. №2.

2. В.Т. Жуков, О.Б. Феодоритова, Н.Д. Новикова, А.П. Дубень. Явно-

итерационная схема для интегрирования по времени системы

уравнений Навье-Стокса // Матем. моделирование, 2020, T. 32, № 4, с.

57-74

3. В.Т. Жуков, О.Б. Феодоритова, А.П. Дубень, Н.Д. Новикова. Явное

интегрирование по времени уравнений Навье–Стокса с помощью

метода локальных итераций // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша,

2019, №12, 32 с

4. Жуков В. Т. О явных методах численного интегрирования для

параболических уравнений // Матем. мод. 2010. Т. 22. № 10. С. 127–158

5. MacNamara, Shev & Strang, Gilbert. (2016). Operator Splitting. doi:

10.1007/978-3-319-41589-5_3.

6. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.

СПАСИБО

за внимание

33