Arcs sortants et entrantsstehlikm/... · 2020. 11. 21. · Arcs sortants et entrants Déﬁnition...

Arcs sortants et entrants

DéfinitionSoient G = (V,E) un graphe orientéet U ⊆ V . Alors, on note ∂+(U)l’ensemble des arcs dont le débutest dans U . De même, on note∂−(U) l’ensemble des arcs dont lafin est dans U .

U

δ+(U)

δ−(U)

1

Degré sortant et degré entrant

Définition

• le degré entrant d−(v), est le nombred’arcs dont la fin est v.

• le degré sortant d+(v), est le nombred’arcs dont le début est v.

• On a d−(v) = |∂−({v})| etd+(v) = |∂+({v})|.• v est une source si d−(v) = 0.• v est un puits si d+(v) = 0.

v

d+(v) = 1

d−(v) = 2

2

Flot max et coupe min

• Deux problèmes classiques de l’optimisation combinatoire.• Exemple de la dualité mathématique.

Quelques applications

• Fouille de données.• Sélection de projets.• Ordonnancement (par exemple compagnies aériennes).• Segmentation de l’image.• Connectivité et fiabilité des réseaux.• Calcul distribuée. . .

3

Réseaux

DéfinitionUn réseau est un graphe orientéG = (V,E) avec :

• deux sommets spéciaux :• la source s tel que d−(s) = 0• le puits t tel que d+(s) = 0

• une fonction de capacitéc : E → R+.

s t

2

2

8

3

2

3

4

1

2

5

2 7

4

2

3

A

4

Coupes

DéfinitionUne s− t coupe est une partition(A,B) de V telle que s ∈ A et t ∈ B

DéfinitionLa capacité d’une coupe (A,B) estcap(A,B) =

∑e∈δ+(A) c(e).

s t

2

2

8

3

2

3

4

1

2

5

2 7

4

2

3

A

cap(A,B) = 2 + 4 + 1 + 2 + 5 = 14

5

Le problème de la coupe minimum

ProblèmeTrouver une s− t coupe de capacitéminimum.

s t

2

2

8

3

2

3

4

1

2

5

2 7

4

2

3

A

cap(A,B) = 2 + 2 + 2 + 3 = 9

6

Flots

DéfinitionUn s− t flot est une fonctionf : E → R+ qui vérifie

• Pour tout e ∈ E, 0 ≤ f(e) ≤ c(e)(contrainte de capacité)

• Pour tout v ∈ V − {s, t},∑e∈δ−(v) f(e) =

∑e∈δ+(v) f(e)

(conservation de flot).

DéfinitionLa valeur d’un flot f estval(f) =

∑e∈δ+(s) f(e).

s t

2/2

1/2

3/8

0/3

2/2

0/3

0/4

1/1

0/2

3/5

0/2 2/7

0/4

1/2

3/3

val(f) = 2 + 1 + 3 = 6

7

Le problème du flot maximum

ProblèmeTrouver un s− t flot de valeurmaximum.

s t

2/2

2/2

5/8

0/3

2/2

0/3

2/4

0/1

2/2

3/5

0/2 4/7

0/4

2/2

3/3

val(f) = 2 + 2 + 5 = 9

8

Un peu d’histoire : le réseau ferroviaire soviétique

2

Soviet Rail Network, 1955

Reference: On the history of the transportation and maximum flow problems.Alexander Schrijver in Math Programming, 91: 3, 2002.

9

Flots et coupes

LemmeSoit f un flot et (A,B) une s− tcoupe. Alors, le flot qui traverse lacoupe est égal au flot qui sort de s.∑e∈δ+(A)

f(e)−∑

e∈δ−(A)

f(e) = val(f).

s t

2/2

2/2

5/8

0/3

2/2

0/3

2/4

0/1

2/2

3/5

0/2 4/7

0/4

2/2

3/3

A

val(f) = 2 + 2 + 5

= 5 + 2− 2 + 4

10

Flots et coupes

Démonstration

val(f) =∑

e∈δ+(s)

f(e)

=∑

e∈δ+(s)

f(e)−∑

e∈δ−(s)

f(e)

=∑v∈A

∑e∈δ+(v)

f(e)−∑

e∈δ−(v)

f(e)

=

∑e∈δ+(A)

f(e)−∑

e∈δ−(A)

f(e).

11

Dualité faible

LemmeSoit f un flot et (A,B) une s− t coupe quelconques. Alors, la valeur de fest inférieure ou égale à la capacité de la coupe.

Démonstration

val(f) =∑

e∈δ+(A)

f(e)−∑

e∈δ−(A)

f(e)

≤∑

e∈δ+(A)

f(e)

≤∑

e∈δ+(A)

c(e)

= cap(A,B).

12

Certificat d’optimalité

CorollaireSoit f un flot et (A,B) une coupe. Si val(f) = cap(A,B), alors f est un flotmax et (A,B) est une coupe min.

s t

2/2

2/2

5/8

0/3

2/2

0/3

2/4

0/1

2/2

3/5

0/2 4/7

0/4

2/2

3/3

A G

val(f) = 9

cap(A,B) = 9

13

Vers un algorithme de flot max

Un algorithme glouton

• Commencer par le flot nul, càd, f(e) = 0pour chaque arc e ∈ E.• Trouver un s− t chemin P où tout arc

vérifie f(e) < c(e).

• Augmenter le flot le long le chemin P .• Répéter jusqu’à devenir coincé.

s t

0/6

0/3

0/9

0/3

0/6

val(f) = 6

14

Vers un algorithme de flot max

Un algorithme glouton

• Commencer par le flot nul, càd, f(e) = 0pour chaque arc e ∈ E.• Trouver un s− t chemin P où tout arc

vérifie f(e) < c(e).

• Augmenter le flot le long le chemin P .• Répéter jusqu’à devenir coincé.

s t

6/6

0/3

6/9

0/3

6/6

val(f) = 6

14

Le graphe résiduel

Arc originel :

• e = (u, v) ∈ E.• Flot f(e), capacité c(e).

Arc résiduel :

• “annuler” le flot envoyé.• e = (u, v) et eR = (v, u).• Capacité résiduelle :

cf (e) =

c(e)− f(e) si e ∈ Ef(e) si eR ∈ E.

4/6

arc de G

2

4

arcs de Gf

15

Le graphe résiduel

Graphe résiduel :

• Arcs résiduels avec capacité résiduellepositive.

• Ef = {e | f(e) < c(e)} ∪ {eR | f(e) > 0}.Chemin augmentant :

• Un chemin augmentant est un s–tchemin simple dans le graphe résiduelGf .

• La capacité cap(Gf , P ) d’un cheminaugmentant P est le minimum descapacités résiduelles parmi tous les arcsde P .

s t

6/6

0/3

6/9

0/3

6/6

s t

6

3

3 6

3

6

16

Propriété clé

• Soit f un flot et P un cheminaugmentant dans Gf .

• En envoyant un flot de valeur cap(Gf , P )on obtient un nouveau flot f ′ de valeurval(f ′) = val(f) + cap(Gf , P ).

Augment(f,c,P):

ε← min{cf (e) : e ∈ E(P )}for e ∈ E(P ):

if e ∈ E:f(e)← f(e) + ε

else:

f(eR)← f(e)− εreturn f

s t

6/6

0/3

6/9

0/3

6/6

G

s t

6

3

3 6

3

6

Gf17

Propriété clé

• Soit f un flot et P un cheminaugmentant dans Gf .

• En envoyant un flot de valeur cap(Gf , P )on obtient un nouveau flot f ′ de valeurval(f ′) = val(f) + cap(Gf , P ).

Augment(f,c,P):

ε← min{cf (e) : e ∈ E(P )}for e ∈ E(P ):

if e ∈ E:f(e)← f(e) + ε

else:

f(eR)← f(e)− εreturn f

s t

6/6

3/3

3/9

3/3

6/6

G

s t

6

3

6 3

3

6

Gf17

Algorithme de Ford–Fulkerson

Ford-Fulkerson(G, s, t, c):

for e ∈ E(G):f ← 0

Gf ← graphe residuelwhile ∃ chemin augmentant P:

f ← Augment(f, c, P )mettre a jour Gf

return f

s t

6/6

0/3

6/9

0/3

6/6

G

s t

6

3

3 6

3

6

Gf18

Algorithme de Ford–Fulkerson

Ford-Fulkerson(G, s, t, c):

for e ∈ E(G):f ← 0

Gf ← graphe residuelwhile ∃ chemin augmentant P:

f ← Augment(f, c, P )mettre a jour Gf

return f

s t

6/6

3/3

3/9

3/3

6/6

G

s t

6

3

6 3

3

6

Gf18

Le théorème flot-max/coupe-min

Théorème des chemins augmentantsUn flot f est maximum ssi il n’y a pas de chemin augmentant.

Théorème (Elias–Feinstein–Shannon 1956 ; Ford–Fulkerson 1956)La valeur maximum d’un flot est égale à la capacité minimum d’unecoupe.

On va prouver les deux théorèmes en même temps en démontrant que lesénoncés suivants sont équivalents :

(1) Il existe une coupe (A,B) telle que val(f) = cap(A,B).

(2) Le flot f est maximum.

(3) Il n’existe pas de chemin augmentant par rapport à f .

19

Démonstration du théorème flot-max/coupe-min (1/2)

(1) ⇒ (2) Corollaire à la dualité faible.

(2) ⇒ (3) Soit f un flot. S’il existe un chemin augmentant P , on peutaugmenter f en envoyant un flot le long P .

(3) ⇒ (1)

• Soit f un flot sans chemin augmentant.• Soit A un ensemble de sommets atteignables depuis s dans le graphe

résiduel.

• Par la définition de A, s ∈ A.• Par la définition de f , t /∈ A.

20

Démonstration du théorème flot-max/coupe-min (2/2)

val(f) =∑

e∈δ+(A)

f(e)−∑

e∈δ−(A)

f(e)

=∑

e∈δ+(A)

c(e)

= cap(A,B)

s t

2/2

2/2

5/8

0/3

2/2

0/3

2/4

0/1

2/2

3/5

0/2 4/7

0/4

2/2

3/3

A G

s t

2

2

35

3

2

3

22

1

2

23

2 34

4

2

3

A Gf

21

Comment trouver une coupe minimum?

• Il suffit de prendre A comme l’ensemble des sommets atteignables àpartir de s dans le graphe résiduel Gf .

• C’est-à-dire, v ∈ A ssi il existe un chemin orienté dans Gf avec sommetde départ s et sommet d’arrivée v.

• Si vous trouvez que t ∈ A, alors il existe un chemin augmentant et fn’est pas maximum — dans ce cas, il faut encore faire tournerFord–Fulkerson !

22

Exemple de l’utilisation de l’algorithme de Ford–Fulkerson

s t

0/2

0/2

0/8

0/3

0/2

0/3

0/4

0/1

0/2

0/5

0/2 0/7

0/4

0/2

0/3

val(f) = 0

G

s t

2

2

8

3

2

3

4

1

2

5

2 7

4

2

3

Gf

23


s t

0/2

0/2

0/8

0/3

0/2

0/3

0/4

0/1

0/2

0/5

0/2 0/7

0/4

0/2

0/3

val(f) = 0

G

s t

2

2

8

3

2

3

4

1

2

5

2 7

4

2

3

2

2

7

Gf

chemin augmentant decapacité résiduelle 2

23


s t

2/2

0/2

0/8

0/3

2/2

0/3

0/4

0/1

0/2

0/5

0/2 2/7

0/4

0/2

0/3

val(f) = 2

G

s t

2

2

8

3

2

3

4

1

2

5

2 7

4

2

3

Gf

23


s t

2/2

0/2

0/8

0/3

2/2

0/3

0/4

0/1

0/2

0/5

0/2 2/7

0/4

0/2

0/3

val(f) = 2

G

s t

2

2

8

3

2

3

4

1

2

5

2 52

4

2

3

Gf

23


s t

2/2

0/2

0/8

0/3

2/2

0/3

0/4

0/1

0/2

0/5

0/2 2/7

0/4

0/2

0/3

val(f) = 2

G

s t

2

2

8

3

2

3

4

1

2

5

2 52

4

2

38

5

3

Gf


23


s t

2/2

0/2

3/8

0/3

2/2

0/3

0/4

0/1

0/2

3/5

0/2 2/7

0/4

0/2

3/3

val(f) = 5

G

s t

2

2

8

3

2

3

4

1

2

5

2 52

4

2

3

Gf

23


s t

2/2

0/2

3/8

0/3

2/2

0/3

0/4

0/1

0/2

3/5

0/2 2/7

0/4

0/2

3/3

val(f) = 5

G

s t

2

2

3

2

3

4

1

2

2 52

4

2

35

23

3

Gf

23


s t

2/2

0/2

3/8

0/3

2/2

0/3

0/4

0/1

0/2

3/5

0/2 2/7

0/4

0/2

3/3

val(f) = 5

G

s t

2

2

3

2

3

4

1

2

2 52

4

2

35

23

3

2 1 2

Gf


23


s t

2/2

1/2

3/8

0/3

2/2

0/3

0/4

1/1

0/2

3/5

0/2 2/7

0/4

1/2

3/3

val(f) = 6

G

s t

2

2

3

2

3

4

1

2

2 52

4

2

35

23

3

Gf

23


s t

2/2

1/2

3/8

0/3

2/2

0/3

0/4

1/1

0/2

3/5

0/2 2/7

0/4

1/2

3/3

val(f) = 6

G

s t

2 3

2

3

4

2

2 52

435

23

3

11 1 1

1

Gf

23


s t

2/2

1/2

3/8

0/3

2/2

0/3

0/4

1/1

0/2

3/5

0/2 2/7

0/4

1/2

3/3

val(f) = 6

G

s t

2 3

2

3

4

2

2 52

435

23

3

11 1 1

11

4 5

Gf


23


s t

2/2

2/2

3/8

0/3

2/2

0/3

1/4

1/1

0/2

3/5

0/2 3/7

0/4

1/2

3/3

val(f) = 7

G

s t

2 3

2

3

4

2

2 52

435

23

3

11 1 1

1

Gf

23


s t

2/2

2/2

3/8

0/3

2/2

0/3

1/4

1/1

0/2

3/5

0/2 3/7

0/4

1/2

3/3

val(f) = 7

G

s t

2 3

2

3 2

2

435

23

3

1 112

31

43

Gf

23


s t

2/2

2/2

3/8

0/3

2/2

0/3

1/4

1/1

0/2

3/5

0/2 3/7

0/4

1/2

3/3

val(f) = 7

G

s t

2 3

2

3 2

2

435

23

3

1 112

31

43

3 2

1

Gf


23


s t

2/2

2/2

4/8

0/3

2/2

0/3

1/4

1/1

1/2

3/5

0/2 3/7

0/4

2/2

3/3

val(f) = 8

G

s t

2 3

2

3 2

2

435

23

3

1 112

31

43

Gf

23


s t

2/2

2/2

4/8

0/3

2/2

0/3

1/4

1/1

1/2

3/5

0/2 3/7

0/4

2/2

3/3

val(f) = 8

G

s t

2 3

2

3

2

4

23

3

12

31

43

44

11

2

Gf

23


s t

2/2

2/2

4/8

0/3

2/2

0/3

1/4

1/1

1/2

3/5

0/2 3/7

0/4

2/2

3/3

val(f) = 8

G

s t

2 3

2

3

2

4

23

3

12

31

43

44

11

2

4 1

1

3 4

Gf


23


s t

2/2

2/2

5/8

0/3

2/2

0/3

2/4

0/1

2/2

3/5

0/2 4/7

0/4

2/2

3/3

val(f) = 9

G

s t

2 3

2

3

2

4

23

3

12

31

43

44

11

2

Gf

23


s t

2/2

2/2

5/8

0/3

2/2

0/3

2/4

0/1

2/2

3/5

0/2 4/7

0/4

2/2

3/3

val(f) = 9

G

s t

2 3

2

3

2

4

23

3

2 2

35 2

1

22

34

Gf

23


s t

2/2

2/2

5/8

0/3

2/2

0/3

2/4

0/1

2/2

3/5

0/2 4/7

0/4

2/2

3/3

val(f) = 9 = cap(A,B)

A G

s t

2 3

2

3

2

4

23

3

2 2

35 2

1

22

34

GfA

23

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