CC/EC/PPGI/UFES Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Coloração.

CC/EC/PPGI/UFESTeoria dos Grafos(INF 5037/INF2781)

Coloração


Número cromático (χ(G))

• Um grafo que requere k cores diferentes para a sua coloração própria e nenhuma a menos possui número cromático χ(G) = k

3-cromático a

b

c

d

e f

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Um exemplo de aplicação

• Problema dos exames: alocação de um grupo de alunos aos exames de recuperação que eles devem prestar em um colégio

» Restrição: Duas disciplinas só podem ter exames realizados simultaneamente se não envolverem alunos em comum

Teoria dos Grafos(INF 5037/INF2781)

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AlunosDisciplinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Mat. x x x x

Port. x x x x

Ingl. x x x x

Geog. x x x x

Hist. x x x x

Física x x x x

Química x x x x

Biologia x x x xTeoria dos Grafos(INF 5037/INF2781)

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M P

I

G

HF

Q

B



São necessários apenas dois horários

para realização dos exames: um para

os exames de Matemática, Geografia,

Biologia e História e outro, para os

exames de Português, Inglês, Física e

Química.


Teorema

Toda árvore com dois ou mais vértices

é 2-cromática


Teorema

Um grafo com pelo menos uma aresta é 2-cromático

sss

não possui ciclos com comprimento ímpar


Teorema

Seja Δ o grau máximo dos

vértices de G. Então

χ(G) 1 + Δ

Exercício!


Partição Cromática

• Um grafo G k-cromático é p-partido sss k p.

• Em um grafo p-partido, vértices de uma mesma partição não são adjacentes.

• Um conjunto de vértices de um grafo é dito independente se não possui vértices adjacentes.


Conjunto Independente de vértices

a

d f

gc

eb

Exemplos:{a, c, d, g}, {e}, {a,d}


Conjunto Independente de vértices maximal

a

d f

gc

eb

Um conjunto independentemaximal é um conjunto independente no qual não se pode adicionar mais nenhum vértice sem destruira propriedade de independência.

Exemplos:{a,c,d,g},{b,f}


• Existem vários conjuntos independentes maximais em um grafo que podem ter diferentes tamanhos.

• Qual é o de maior tamanho?

• (G) = número de independência de G (cardinalidade do conjunto independente de vértices de maior tamanho de G)

Conjunto Independente de vértices maximal


χ(G) X (G)

• Seja G um grafo com n vértices e χ(G) = k

• Número de vértices coloridos com a mesma cor (G)

(G) ≥ n/ χ(G)


Como achar um conjunto independente maximal?

• Comece com um vértice qualquer.

• Selecione os próximos vértices sempre testando se o conjunto ao qual eles estão sendo inseridos continua independente

• Atenção: encontra-se um conjunto maximal e não o maior de todos!


χ(G) X (G)

• Encontrar (G): consiste em encontrar todos os conjuntos independentes maximais e obter o maior;

• Encontrar χ(G): número mínimo de conjuntos independentes maximais cuja união resulta em V


Partição cromática

• Dado um grafo simples e conexo G, os vértices de G são particionados no menor número possível de conjuntos independentes de vértices disjuntos.


Matchings


Exemplo

• Sejam a1, a2, a3 e a4 candidatos a preencher 6 vagas p1, p2, p3, p4, p5 e p6 de uma empresa. A qualificação de cada candidato o possibilita a se candidatar para um certo subconjunto de vagas, conforme a figura a seguir:


Exemplo

a1

a2

a3

a4

p1

p2

p3

p4

p5

p6

É possível empregar

todos os candidatos em

posições nas quais eles

são qualificados?

Qual é o número máximo

de posições que podem

ser preenchidas pelo grupo

de candidatos?Problema de Matching


Matching

• Um matching em um grafo é um subconjunto de arestas não adjacentes. Uma única aresta já é considerada um matching.

• Um matching maximal é um matching no

qual nenhuma aresta a mais pode ser

adicionada sem ferir a propriedade de

matching


Exemplos

d c

ba

d c

ba

d c

ba


Número de matching

• Um grafo pode ter muitos matchings maximais;

• n° de matching: o número de arestas do

maior deles.

• qual é o número de matching do grafo do

slide anterior?


Matching Perfeito

• Um matching perfeito é um matching no qual todo vértice do grafo é um extremo de algum elemento do matching

• Nem todo grafo contém um matching

perfeito:

c

b

d

e

a


Observação

Todo matching perfeito é maximal

mas

nem todo matching maximal é perfeito


Matching completo

• Definição válida para grafos bipartidos

• Em um grafo bipartido com subconjuntos

de vértices V1 e V2, um matching completo

de V1 em V2 é um matching no qual existe

uma aresta incidente a cada aresta de V1.


Observação

um matching completo é o maior matching

maximal mas um matching maximal pode

não ser completo


Exemplo

a1

a2

a3

a4

p1

p2

p3

p4

p5

p6


Condições para existência de um matching completo

• |V1| |V2|;

• todo subconjunto de r vértices em V1 deve

ser adjacente a pelo menos r vértices em

V2, para r = 1, 2, ..., |V1|.


Problema de representantes distintos

Cinco senadores (s1, s2, s3, s4 e s5) são membros de três comitês (c1, c2 e c3)

c1

c2

c3

s1

s2

s3

s4

s5

Um membro diferente

de cada comitê deve

participar de uma

comissão geral. É

possível realizar esse

matching?


Teorema

Em um grafo bipartido, um matching completo de V1 para V2 existe

se

existe um inteiro positivo m tal que

o grau de todo vértice v1 de V1 ≥

m ≥ o grau de todo vértice v2 de V2

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Prova

• Considere um subconjunto de r vértices em V1

• Cada um dos r vértices tem pelo menos m vértices de V2 incidentes

a ele. Assim esses r vértices tem pelo menos m.r arestas incidentes

• Cada uma das m.r arestas é incidente a algum vértices de V2

• Por sup. d(vi) ≤ m, vi de V2

• Então as m.r arestas são incidentes a pelo menos m.r/m = r vértices

• Assim, qualquer subconjunto de r vértices de V1 é adjacente a r ou

mais vértices de V2.

• Logo, G possui um matching completo



Cobertura de vértices

• Um conjunto de vértices K de V é uma

cobertura de G se toda aresta de G possui

pelo menos um extremo em K

• Cobertura mínima: aquela que possui o

menor número possível de vértices


Exemplo


Observações

• Se K é uma cobertura e M um matching de

G então K contém pelo menos um extremo

de cada aresta de M

• Para quaisquer K e M em G tem-se

|M| |K|


Cobertura de arestas

• Em um grafo G, um conjunto g de arestas

cobre G se todo vértice em G é incidente a

pelo menos uma aresta em g. O conjunto g

é chamado cobertura de G.


Observações

• G consiste na sua própria cobertura

• Uma árvore geradora é uma cobertura

• Um ciclo hamiltoniano, se ele existe, é uma

cobertura


Cobertura minimal

• Conjunto de arestas que cobre G de forma

que a retirada de uma única aresta destrói

essa propriedade

d c

ba


Observações

• G possui uma cobertura se não possui vértices isolados

• Uma cobertura de um grafo com n vértices possui pelo

menos n/2 arestas

• Toda aresta pendente de um grafo faz parte de toda

cobertura de G

• Toda cobertura contém uma cobertura minimal

• Nenhuma cobertura minimal contém um ciclo. Assim,

uma cobertura minimal contém no máximo n-1 arestas


Nº de cobertura de G

• Número de arestas da cobertura minimal

de menor tamanho de G


Teorema

Uma cobertura g de um grafo é minimal

se e somente se

g não contém caminhos

de comprimento 3 ou mais

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