Ec maxwell i 14 10_2006
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¿Un pato o un conejo? ¿Un libro abierto hacia adelante o hacia atrás? ¿Un esquimal o un indio? ¿Una o dos caras?
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¿Un pato o un conejo?¿Un libro abierto hacia adelante o hacia atrás?
¿Un esquimal o un indio?¿Una o dos caras?
¿Mujer joven o mujer vieja?¿Calavera o mujer mirándose en el espejo?
¿Ancianos o mejicanos?
Ojo, Luz, Visión y James C. Maxwell
( ) ( )∫∫∫ −−πε
=
espacioeltodo
'
'
'rr
rr
dqrE rr
rr
rr
341
Ley de Coulomb
( )∫∫∫∫∫ =
SVS
dqSd.Drr
Ley de Gauss
( ) ( ) Vdrr
rrJrB
espacioeltodo '
'
∫∫∫−
−×πμ
= 34 rr
rrrrr
Ley de Biot y Savart
( )∫ ∫∫=C CS
Sd.Jld.Hrrrr
Ley de Ampere
∫∫−=S
Sd.Bdt
d.m.e.f
vrLey de Faraday
Leyes de la Electricidad y Magnetismo (~1700 ~1800)
Er
: vector intensidad de campo eléctrico
Dr
: vector desplazamiento eléctrico
Br
: vector inducción magnética
Hr
: vector campo magnético
Jr
cond: vector densidad de corriente de conducción
libreρ : densidad volumétrica de carga libre
condcondId =⋅∫∫ AJ
rr : corriente de conducción
Ley de Gauss M
Ley de Gauss E
Ley de Faraday
Ley de Ampere-Maxwell
0=⋅∇ Brr
0=∫∫ ⋅ ABrr
d
libreρ=⋅∇ Drr
encerradalibreQd =∫∫ ⋅ ADrr
Maxwell, James (1831-1879)Escocia
EEECCCUUUAAACCCIIIOOONNNEEESSS DDDEEE MMMAAAXXXWWWEEELLLLLL (((≅≅≅111888666000)))
∫∫∫ ⋅−=⋅SS
ddtdd ABlE
rrrr
)(C
∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅SS
condS
ddtddd ADAJlH
rrrrrr
)(C
dtdBEr
rr−=×∇
dtd
condDJHr
rrr+=×∇
Ley de Gauss M
Ley de Gauss E
0=⋅∇ Brr
0=∫∫ ⋅ ABrr
d
libreρ=⋅∇ Drr
encerradalibreQd =∫∫ ⋅ ADrr
Gauss, Karl Friedrich (1777-1855)Alemania
Coulomb, Charles (1736-1806)Francia
Ley de Faraday ∫∫∫ ⋅−=⋅SS
ddtdd ABlE
rrrr
)(CdtdBEr
rr−=×∇
Ley de Ampere-Maxwell ∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅
SScond
S
ddtddd ADAJlH
rrrrrr
)(Cdtd
condDJHr
rrr+=×∇
dtd
condDJHr
rrr+=×∇
∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅SS
condS
ddtddd ADAJlH
rrrrrr
)(C
Ley de Ampere- Maxwell
Inconsistencia de la Ley deAmpere en régimen no estacionario. Generalización de Maxwell
Ley de Ampere LibreJHrr
=×∇ 0)( =⋅∇=×∇⋅∇ LibreJHrr
Para corrientes no-estacionarias: Incompatible con conservación de la carga !!!
tLibre
Libre ∂ρ∂
−=⋅∇ Jr
??
Ecuación de continuidad
Libreρ=⋅∇ Dr
( )ttt
Libre
∂∂⋅∇=⋅∇
∂∂
=∂
∂ DDr
rρ
)(0ttt LibreLibre
LibreLibre ∂
∂+⋅∇=
∂∂⋅∇+⋅∇==
∂∂
+⋅∇DJDJJr
rr
rr ρ
entoDesplazamiLibreLibre tJJDJHrr
rrr
+=∂∂
+=×∇
Ampère, André (1775-1836)Francia
Ley de Ampere-Maxwell
Maxwell, James (1831-1879)Escocia
dtdDJHr
rrr+=×∇ ∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅
SScond
S
ddtddd ADAJlH
rrrrrr
)(C
Ejemplo
~R
C En el dieléctrico 0=libreJr
entodesplazamitJDHr
rr
=∂∂
=×∇
Medios lineales, isótropos, homogéneos
En los cables 0≠libreJr
conducciónJHrr
=×∇
HBrr
μ=
∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅∂∂
=⋅μ
=⋅2222 )()(
1
SDesplaz
SSS
ddt
dd AJADlBlHrrr
rrrrr
CC
~
R S1
S2
iConduc
iDesplaz
C
∫∫∫∫ ⋅=⋅μ
=⋅111 )()(
1
Sconducción
SS
ddd AJlBlHrrrrrr
CC
( ) ( )∫∫∫∫∫ ⋅×∇=⋅×∇=⋅21)( SSS
ddd AHAHlHrrrrrr
C
( ) ConduccSS
idd =⋅×∇=⋅ ∫∫∫1)(
AHlHrrrr
C
( ) DesplazSS
idd =⋅×∇=⋅ ∫∫∫2)(
AHlHrrrr
C
La corriente de conducción resulta numéricamenteigual a la de desplazamiento
iconducción= idesplazamiento
S1
S2
iConduc
iDesplaz
C
Oscilación del campo entre placasLa corriente no es debida a cargas
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>πμ
<πμ
=ϕππμ
=ϕ
ϕ
Rrer
i
RreRrirJ
Desplaz
DesplazDesplaz
(
((r
12
22 2B
ϕπμ
= er
iConducción(r 1
2B
•Líneas de B son cerradas•Simetría cilíndrica •Sin efectos de borde
( ) ϕ= erBB (rr
iconduc
E
BB
Ley de Faraday
dtd BEr
rr−=×∇
∫∫∫ ⋅−=⋅SS
ddtdd ABlE
rrrr
)(C
Ley de Faraday y la generalización de Maxwell
Ivr v
r
N
S
Maxwell: la variación del flujo de B en alguna zona (limitada o no limitada) del espacio, produce en todo punto del espacio, exista o no un circuito de prueba, un campo eléctrico inducido por el cambio de flujo de B.
Faraday: Aparece corriente transitoria porque se produce una fuerza electromotriz que es proporcional a la variación de flujo que concatena el circuito de prueba ∫∫−=
φ−=ε
S
m Ad.dt
d rrB
∫∫∫ ⋅−=⋅SS
ddtdd ABlE
rrrr
)(Ct∂∂
−=×∇BEr
rr
( )tBr
ErE
r
0=Br
Para campos vectoriales con divergencia nula ( )
y circuitos que no se deforman en el tiempo vale
0=⋅∇ Br
∇⋅+∂∂
= vtdt
d r
( ) lBABlErrrrrr
ddt
dSSS∫∫∫∫ ⋅×+⋅
∂∂
−=⋅)()(
vCC
1) Si y circuito estacionario( )t,z,y,xBBrr
=
2) Si y circuito se mueve con ( )z,y,xBBrr
= vr∫∫∫∫∫ ⋅∂∂
−=⋅−=⋅SSS
dt
ddtdd ABABlE
rrrrrr
)(C
( ) lBABlErrrrrr
dddtdd
SSS∫∫∫∫ ⋅×=⋅−=⋅
)()(
vCC
Ley de Faraday
Biot, Jean-Baptiste (1774-1862)Francia
Faraday, Michael (1791-1867)Inglaterra
dtd BEr
rr−=×∇ ∫∫∫ ⋅−=⋅
SS
ddtdd ABlE
rrrr
)(C
Savart, Félix (1791-1841)Francia
~R
CEC
L
V(t)
EL(debido a )
BL
Bconductor
Bconductor BC(debido a )
tD∂∂r
tB∂∂r
