Capítulo 16

Electricidad

1

Carga eléctrica. Ley de Coulomb

La carga se mide enculombios(C). La del electrón valee = 1.6021 ·10−19 C.

La fuerza eléctrica que una partícula con cargaQ ejerce sobre otracon cargaQ′ es:

F =1

4πε0

QQ′

r2 r

r es la distancia entre las cargas yr el vector unitario que va de lapartícula que ejerce la fuerza a la que la sufre.

1/(4πε0) es una constante universal igual a9 · 109 N·m2/C2.

Si existen más de dos partículas, la fuerza eléctrica que experimenta unaes la suma (vectorial) de las fuerzas debidas a cada una de las otras.

Campo eléctrico

El campo eléctrico en un punto es la fuerza por unidad de carga queexperimenta una partícula en dicho punto.

E =F

Q

El campo eléctrico es un vector y se mide en N/C.

El campo eléctrico producido por una partícula, de cargaQ′ vale:

E =1

4πε0

Q′

r2 r

r es el vector unitario que va desde la carga hasta el punto en donde secalcula, yr la distancia entre los dos puntos anteriores.

Ley de Gauss. Plano cargado

El flujo del campo eléctricoφE es la integral de superficie

φE =∫ ∫E · dS

La ley de Gauss nos dice queφE a través de una superficie cerrada es:

φE =Qint

ε0

en dondeQint es la carga total incluida en el interior.

El campo de un plano con una densidad de cargaρs es

E =ρs

2ε0

Si ρs es positiva, el campo está dirigido hacia afuera, y viceversa.

Potencial eléctrico. Energía

La diferencia de potencial eléctricoV (r) entre dos puntos, o voltaje, esigual a la integral de línea del campo eléctrico entre dichos puntos:

∫ BAE dr = V (rA)− V (rB)

El potencial eléctrico se mide envoltios, V=J/C.

La energía potencial eléctrica de una cargaQ en un punto es el po-tencial eléctrico en dicho punto por el valor de la carga:

Ep = QV

Potenciales

El potencial eléctrico producido por una cargaQ′ viene dado por:

V (r) =1

4πε0

Q′

r

r es la distancia de la carga que produce el potencial al punto en dondese mide.

El potencial debido a un plano cargado es:

V (x) = − ρs

2ε0|x|

siendo|x| la distancia del punto considerado al plano.

Doble capa eléctrica

El campo en el interior de una doble capa eléctrica es:

Ecentro =ρs

ε0

En las dos regiones de los lados el campo eléctrico es nulo.

Suponemos que el plano con carga negativa es el de la izquierda y estáenx = 0. TomandoV = 0 parax < 0. Entre las capas tenemos:

V (x) =ρs

ε0x

y parax > d, V = ρsd/ε0.

En un dieléctrico, el campo totalEt reduce el que habría sin dieléctricoEa:

Et =Ea

κ

κ es la constante dieléctrica, es adimensional y en una membrana valeaproximadamente 7.

La diferencia de potencial entre las dos capas con un dieléctrico vale:

V+ − V− =ρs

ε0κd

La energía necesaria para pasar una carga a través de una doble capa es:

E = Q∆V =Qρsd

ε0κ

Capacidad

Un condensadores un par de conductores situados uno cerca del otro.La capacidad se define como la carga acumulada en cada uno de losconductores dividida por la diferencia de potencial:

C =Q

∆V

La unidad de capacidad es elfaradio, F = C/V.

La capacidad por unidad de área de una doble capa eléctrica es:

ca =C

S=ε0κ

d

Corriente eléctrica

La intensidad de corriente a través de una sección se define como la cargatotal que la atraviesa por unidad de tiempo:

I =Q

t

La unidad de intensidad es elamperio, A = C/s.

El valor instantáneo de la intensiad de corriente viene dado por:

I =dQ

dt

La densidad de corrientej es la corriente por unidad de área:

j =I

S=Q

St

Ley de Ohm. Resistencia eléctrica

La ley de Ohm nos dice:

I =V

RLa constanteR se denominaresistencia eléctrica, y viene dada por:

R = ρl

S

siendoρ una constante llamada resistividad, característica del material.La conductividad es la inversa de la resistividad,σ = 1

ρ.

La resistencia se mide enohmios, Ω =V/A, y la resistividad enΩ m.

las resistencias en serie se suman, mientras que en paralelo se suman susinversas.

Ley de Joule

Al atravesar una corriente eléctrica un conductor se genera una ciertacantidad de calor. La potencia disipada viene dada por la ley de Joule:

P = V I

Teniendo en cuenta la ley de Ohm, podemos reescribir la de Joule como:

P = RI2 =V 2

R

Problema 16.1

Determina la fuerza eléctrica y la energía potencial eléctri-ca entre dos cargas de 0.01 C separadas una distancia de0.1 m.

Problema 16.2

Tenemos cuatro cargas iguales de 10−4 C colacadas en losvértices de un cuadrado de lado 1 cm. Calcula:(a) la fuerza que una de ellas experimenta debido a las

otras tres,(b) el campo eléctrico en el centro del cuadrado,(c) el campo eléctrico en el centro de un lado,(d) el potencial eléctrico en el centro del cuadrado,(e) la energía potencial eléctrica de una carga.

Problema 16.3

Una molécula está formada por dos iones con cargasopuestas de módulo e, separados una distancia de 4 Å.Determina:(a) la fuerza eléctrica que experimentan ambos iones,(b) el campo eléctrico en el punto medio,(c) el potencial eléctrico en el punto medio,(d) la energía potencial eléctrica de una carga.

Problema 16.4

Tenemos una carga de 2 C en el origen y otra de −3 Cen el punto 3ı m. ¿En qué puntos del eje X se anula elpotencial? ¿Y el campo eléctrico?

Problema 16.5

Dos partículas de 0.2 kg cada una cuelgan de sendos hilosde 1 m de longitud sujetos de un mismo punto. Ambaspartículas poseen la misma carga y sus hilos forman unángulo de 30 con la vertical. ¿Qué carga poseen?

Problema 16.6

Una molécula está formada por tres iones. Uno central concarga −2e situado en el origen, y dos con cargas iguales ae situados en 4ı Å y en 4 Å. Determina:(a) la fuerza que sufre el ion central,(b) el campo eléctrico en el punto 4ı+ 4 Å,(c) el potencial eléctrico en el punto anterior,(d) la energía potencial eléctrica de cada uno de los io-

nes,(e) la energía necesaria para llevar una carga de −3e

desde el punto 4ı+ 4 Å hasta el infinito.

Problema 16.7

Calcula la energía de un átomo clásico de hidrógeno, su-poniendo que la masa del núcleo es mucho mayor que ladel electrón, que vale 9.1 · 10−31 kg, y que éste gira alre-dedor de aquél en una órbita circular de 0.53 Å de radio.Desprecia la fuerza gravitatoria frente a la eléctrica.

Problema 16.8

Demuestra mediante la ley de Gauss que el campo eléc-trico en el exterior de una esfera conductora cargada esel mismo que habría si toda la carga estuviera situada enel centro. Demuestra que en el interior el campo es nu-lo. Calcula el potencial debido a una esfera conductoracargada.

Problema 16.9

Un plano está uniformemente cargado con una densidadsuperficial de carga de−2·10−6 C/m2. ¿Cuál es el valor delcampo eléctrico por él producido? Determina la diferenciade potencial entre un punto a 1 m del plano y otro a 2 mdel plano, situados en partes opuestas.

Problema 16.10

El módulo de la densidad de carga superficial de cada unode los planos de una doble capa eléctrica es de 4 · 10−5

C/m2 y la separación entre los planos es de 5 cm. Deter-mina:(a) el campo eléctrico entre los planos,(b) la diferencia de potencial entre ambos,(c) la energía que cuesta mover una carga de 10−4 C a

través de la doble capa,(d) la capacidad por unidad de área.

Problema 16.11

El campo eléctrico en el interior de una doble capa eléctri-ca es de 800 V/m. La distancia entre las placas es de 0.2m. Calcula:(a) la densidad superficial de carga,(b) la diferencia de potencial entre las planos,(c) la fuerza y la aceleración que sufriría una partícula

de 0.01 kg y 10−4 C situada en su interior,(d) la velocidad con la que llegaría a la placa negativa

la partícula anterior si inicialmente se encuentra enreposo a igual distancia de las dos placas,

(e) la energía con la que llegaría, en el caso anterior.

Problema 16.12

Una membrana celular de 8 nm de espesor posee unaconstante dieléctrica de 7. La densidad superficial acu-mulada en cada una de las superficies es de 6 · 10−4 C/m2,en valor absoluto, y la capa negativa es la interna. Calcu-la:(a) el campo eléctrico en el interior de la membrana,(b) la diferencia de potencial entre el interior y el exterior

de la célula,(c) la energía que se necesita para sacar un ion Cl− de

la célula,(d) el potencial, respecto del que existe en el interior de

la célula, de un punto en el interior de la membrana a2 nm de su superficie interna,

(e) la capacidad por unidad de área de la membrana.

Problema 16.13

Encuentra el campo eléctrico producido por una superfi-cie cilíndrica de longitud infinita y radio R uniformementecargada, con una densidad superficial de carga ρs.

Problema 16.14

Extiende el resultado del ejercicio anterior a dos superfi-cies cilíndricas de radios R1 y R2, que comparten el mismoeje, y con densidades superficiales de carga ρs1 y ρs2, talesque el conjunto de las dos superficies es neutro. Obtén ladiferencia de potencial entre las dos superficies.

Problema 16.15

Tenemos una estufa de 1 kW conectada a la red de 220 V,que supondremos que es de corriente continua. Determi-na:(a) la resistencia de la estufa,(b) la intensidad eléctrica que la recorre,(c) el campo eléctrico en su interior si el filamento de-

senrollado mide 2 m.

Problema 16.16

Un conducto cilíndrico de 0.3 mm de radio y 12 cm delongitud está lleno de una disolución biológica con una re-sistividad de 0.18 Ω m. Le aplicamos una diferencia depotencial de 10 V entre sus extremos. Calcula:(a) la resistencia eléctrica del cilindro,(b) el campo eléctrico en el interior de la disolución,(c) la conductividad de la disolución,(d) la corriente que circula,(e) la potencia calorífica que se disipa.

Problema 16.17

Dos resistencias eléctricas iguales están conectadas enparalelo. El conjunto se alimenta con una diferencia depotencial de 100 V y entonces circula una corriente totalde 10 A. ¿Cuál es el valor de cada una de las resistencias?¿Qué intensidad atravesaría el circuito si las resistenciasse conectaran en serie, en vez de en paralelo?

16.1 Determina la fuerza eléctrica y la energía potencial eléctrica entre doscargas de 0.01 C separadas una distancia de 0.1 m.

El módulo de la fuerza eléctrica que experimenta cada carga es:

F =1

4πε0

QQ′

r2 = 9 · 109 0.012

0.12 = 9 · 107 N.

La fuerza va dirigida a lo largo de la línea que une las cargas y es repul-siva. La energía potencial eléctrica es:

Ep =1

4πε0

QQ′

r= 9 · 109 0.012

0.1= 9 · 106 J.

16.2 Tenemos cuatro cargas iguales de 10−4 C colacadas en los vértices de uncuadrado de lado 1 cm. Calcula:

(a) la fuerza que una de ellas experimenta debido a las otras tres,

(b) el campo eléctrico en el centro del cuadrado,

(c) el campo eléctrico en el centro de un lado,

(d) el potencial eléctrico en el centro del cuadrado,

(e) la energía potencial eléctrica de una carga.

(a) La fuerza total que experimenta la car-ga en el origen es:

F = F 1 + F 2 + F 3

= − 1

4πε0

Q2

a2 ı−1

4πε0

Q2

a2

− 1

4πε0

Q2

2a2

(ı√2

+√2

)

= −9 · 109 10−8

10−4

(ı+

ı√2

+ +√2

)

= −1.22 · 106(ı+ ) N.

(b) Por simetría, deducimos que el campo eléctrico en el centro es nulo.

(c) El campo eléctrico enA vale:

E = E1 +E2 = −21

4πε0

Q

a2 + (a2/4)

a√a2 + (a2/4)

= −18 · 109 10−4

10−4(1 + (1/4))

√√√√4

5 = −1.29 · 1010 N/C.

(d) La energía potencial eléctrica de una carga es:

Ep = E1 + E2 + E3 =1

4πε0

Q2

a+Q2

a+

Q2√

2a

= 9 · 109 10−8

10−2

(2 +

1√2

)= 2.44 · 104 J.

16.3 Una molécula está formada por dos iones con cargas opuestas de móduloe, separados una distancia de 4 Å. Determina:

(a) la fuerza eléctrica que experimentan ambos iones,

(b) el campo eléctrico en el punto medio,

(c) el potencial eléctrico en el punto medio,

(d) la energía potencial eléctrica de una carga.

(a) El módulo de la fuerza eléctrica que experimenta cada ión es:

F =1

4πε0

QQ′

r2 = 9 · 109 1.62 10−38

42 10−20 = 1.44 · 10−9 N.

La fuerza va dirigida a lo largo de la línea que une los iones y esatractiva.

(b) El módulo del campo eléctrico en el centro vale:

E = 21

4πε0

Q

r2 = 2 · 9 · 109 1.6 10−19

22 10−20 = 7.2 · 1010 N/C.

(c) El potencial en el punto medio es cero por simetría.

(d) La energía potencial eléctrica de cada uno de los iones es:

Ep =1

4πε0

QQ′

r= −9 · 109 1.62 10−38

4 · 10−10 = −5.76 · 10−19 J.

16.4 Tenemos una carga de 2 C en el origen y otra de −3 C en el punto 3ı m.¿En qué puntos del eje X se anula el potencial? ¿Y el campo eléctrico?

El potencial se puede anular en la zona entre las dos cargas y paraxnegativos. Entre las dos cargas tenemos:

V =1

4πε0

Q

x+

1

4πε0

Q′

3− x=

1

4πε0

(2

x− 3

3− x

).

Esta expresión vale cero cuando se verifica:

2(3− x)− 3x = 0 =⇒ x =6

5= 1.2m.

Parax negativos:

V =1

4πε0

Q

|x|+

1

4πε0

Q′

3 + |x|=

1

4πε0

6 + 2|x| − 3|x||x|(3 + |x|)

,

y de aquí deducimos:

|x| = 6 m =⇒ x = −6 m.

El campo sólo se hace cero para valores negativos dex:

E =1

4πε0

Q

x2 (−ı) +1

4πε0

|Q′|(3 + |x|)2 ı = 0

lo que implica:

2(3− x)2 − 3x2 = −x2 − 12x+ 18 = 0.

La solución negativa de esta ecuación es:

x = −6−√

36 + 18 = −13.3 m.

16.5 Dos partículas de 0.2 kg cada una cuelgan de sendos hilos de 1 m delongitud sujetos de un mismo punto. Ambas partículas poseen la misma cargay sus hilos forman un ángulo de 30 con la vertical. ¿Qué carga poseen?

La relación entre la fuerza eléctrica y la gravitatoria que experimenta unapartícula ha de ser:

tan 30 =Fe

Fg=

1

4πε0

Q2

r2

1

mg,

en donde la distancia entre partículas viene dada porr = 2l sen 30 = l.De la anterior ecuación despejamos el valor de la carga:

Q =√

tan 30mg 4πε0 l2 =

√√√√ 0.2 · 9.8√3 9 · 109

= 1.12 · 10−5 C.

16.6 Una molécula está formada por tres iones. Uno central con carga −2esituado en el origen, y dos con cargas iguales a e situados en 4ı Å y en 4 Å.Determina:

(a) la fuerza que sufre el ion central,

(b) el campo eléctrico en el punto 4ı+ 4 Å,

(c) el potencial eléctrico en el punto anterior,

(d) la energía potencial eléctrica de cada uno de los iones,

(e) la energía necesaria para llevar una carga de −3e desde el punto 4ı + 4Å hasta el infinito.

(a) La fuerza sobre el ion central es:

F =1

4πε0

|Q||Q′|a2 ı+

1

4πε0

|Q||Q′|a2

= 9 · 109 2 · 1.62 10−38

42 10−20 (ı+ ) = 2.88 · 10−9(ı+ ) N.

(b) El campo eléctrico en el punto4ı+ 4 Å vale:

E =1

4πε0

e

a2 (ı+ )− 1

4πε0

2e

2a2

(ı√2

+√2

)

= 9 · 109 1.6 · 10−19

42 10−20

(1− 1√

2

)(ı+ )

= 2.64 · 109(ı+ ) N/C.

(c) El potencial en dicho punto vale:

V =1

4πε0

2e

a− 1

4πε0

2e√2a

= 9 · 109 2 · 1.6 · 10−19

4 · 10−10

(1− 1√

2

)= 2.1 V.

(d) La energía potencial eléctrica del ion central es:

Ep =1

4πε0

−4e2

a= −9 · 109 4 · 1.62 10−38

4 · 10−10 = −2.3 · 10−18 J.

La de cada uno de los otros iones vale:

Ep =1

4πε0

−2e2

a+

1

4πε0

e2√

2a

= −9 · 109 1.62 10−38

4 · 10−10

(1− 1√

2

)= −7.45 · 10−19 J.

(e) La energía para llevar una carga de−3e desde el punto mencionadohasta el infinito es igual a:

Ep = Q(V∞ − V ) = −3e(0− 2.1)

= 6.3 · 1.6 · 10−19 = 1.01 · 10−18 J.

16.7 Calcula la energía de un átomo clásico de hidrógeno, suponiendo que lamasa del núcleo es mucho mayor que la del electrón, que vale 9.1 · 10−31 kg,y que éste gira alrededor de aquél en una órbita circular de 0.53 Å de radio.Desprecia la fuerza gravitatoria frente a la eléctrica.

La energía eléctrica de un átomo es:

Ep =1

4πε0

−e2

r= −9 · 109 1.62 10−38

0.53 · 10−10 = −4.35 · 10−18 J.

Para obtener la energía cinética imponemos que la fuerza sea igual a lamasa por la aceleración (centrípeta):

|F | = 1

4πε0

e2

r2 = mv2

r=⇒ Ec = 1

2 mv2 = 1

2 |Ep|.

La energía total es por tanto:

Et = Ec + Ep = 12 Ep = −2.17 · 10−18 J.

16.8 Demuestra mediante la ley de Gauss que el campo eléctrico en el exteriorde una esfera conductora cargada es el mismo que habría si toda la cargaestuviera situada en el centro. Demuestra que en el interior el campo es nulo.Calcula el potencial debido a una esfera conductora cargada.

Por simetría, el campo será radial (respecto del centro de la esfera) y sumódulo sólo dependerá de la distancia al centro. Apliquemos la ley deGauss a una superficie esférica concéntrica con la esfera y de mayor radioque ésta:

φE =∫E · dS = 4πr2E =

QT

ε0=⇒ E =

1

4πε0

QT

r2 .

Como se ve, el campo es el mismo que produciría toda la carga si estu-viera concentrada en el centro.

El campo ha de ser nulo en el interior, pues de lo contrario la carga noestaría en equilibrio ya que se trata de un conductor. Toda la carga sereparte por la superficie.

El potencial en el exterior es el mismo que el de una carga:

Vext =1

4πε0

QT

r.

En el interior el potencial es constante, ya que el campo es nulo, y suvalor es igual al de la superficie:

Vint =1

4πε0

QT

R,

en dondeR es el radio de la esfera.

16.9 Un plano está uniformemente cargado con una densidad superficial decarga de −2 ·10−6 C/m2. ¿Cuál es el valor del campo eléctrico por él producido?Determina la diferencia de potencial entre un punto a 1 m del plano y otro a 2m del plano, situados en partes opuestas.

El módulo del campo eléctrico vale:

E =|ρs|2ε0

= 2π 9 · 109 2 · 10−6 = 1.13 · 105 N/C.

El campo señala hacia el plano. La diferencia de potencial que nos pidenes:

∆V = V2 − V1 = − ρs

2ε0(|x2| − |x1|)

= 1.13 · 105 (2− 1) = 1.13 · 105 V.

16.10 El módulo de la densidad de carga superficial de cada uno de los planosde una doble capa eléctrica es de 4 · 10−5 C/m2 y la separación entre los planoses de 5 cm. Determina:

(a) el campo eléctrico entre los planos,

(b) la diferencia de potencial entre ambos,

(c) la energía que cuesta mover una carga de 10−4 C a través de la doblecapa,

(d) la capacidad por unidad de área.

(a) El campo eléctrico entre los planos va del positivo al negativo y sumódulo vale:

E =|ρs|ε0

= 4π 9 · 109 4 · 10−5 = 4.52 · 106 N/C.

(b) La diferencia de potencial entre los planos es el producto del campopor la separación entre ellos:

∆V = E∆L = 4.52 · 106 0.05 = 2.26 · 105 V.

(c) La energía que cuesta mover la carga mencionada es igual a:

∆E = Q∆V = 10−4 2.26 · 105 = 22.6 J.

(d) La capacidad de la doble capa es:

C =Q

V=

ρsS

(ρs/ε0)∆L.

Entonces la capacidad por unidad de área de la doble capa es iguala:

C

S=

ε0∆L

=1

4π 9 · 109 0.05= 1.77 · 10−10 F/m2.

16.11 El campo eléctrico en el interior de una doble capa eléctrica es de 800V/m. La distancia entre las placas es de 0.2 m. Calcula:

(a) la densidad superficial de carga,

(b) la diferencia de potencial entre las planos,

(c) la fuerza y la aceleración que sufriría una partícula de 0.01 kg y 10−4 Csituada en su interior,

(d) la velocidad con la que llegaría a la placa negativa la partícula anterior siinicialmente se encuentra en reposo a igual distancia de las dos placas,

(e) la energía con la que llegaría, en el caso anterior.

(a) La densidad superficial de carga es igual a:

ρs = Eε0 = 8001

4π 9 · 109 = 7.07 · 10−9 C/m2.

(b) La diferencia de potencial entre los planos es el producto del campopor la separación entre ellos:

∆V = E∆L = 800 · 0.2 = 160 V.

(c) La partícula sufriría una fuerza dada por:

F = QE = 10−4 800 = 0.08 N,

y experimentaría una aceleración igual a:

a =F

m=

0.08

0.01= 8 m/s2.

(d) y (e) Es más fácil calcular primero el último apartado. La energíaque gana la partícula es igual a:

∆E = Q∆V = 10−4 800 · 0.1 = 0.008 J.

Esta energía se invierte en cinética, por lo que la velocidad con laque la partícula llega a la placa es:

v =

√√√√2∆E

m=

√√√√2 · 0.008

0.01= 1.26 m/s.

16.12 Una membrana celular de 8 nm de espesor posee una constante dieléc-trica de 7. La densidad superficial acumulada en cada una de las superficies esde 6·10−4 C/m2, en valor absoluto, y la capa negativa es la interna. Calcula:

(a) el campo eléctrico en el interior de la membrana,

(b) la diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la célula,

(c) la energía que se necesita para sacar un ion Cl− de la célula,

(d) el potencial, respecto del que existe en el interior de la célula, de un puntoen el interior de la membrana a 2 nm de su superficie interna,

(e) la capacidad por unidad de área de la membrana.

(a) El campo eléctrico en el interior de la membrana vale:

E =ρs

κε0=

6 · 10−4

74π 9 · 109 = 9.69 · 106 N/C.

(b) La diferencia de potencial es, en este caso, el campo por la anchurade la membrana:

∆V = E∆L = 9.69 · 106 8 · 10−9 = 7.75 · 10−2 V.

El potencial es menor en el interior que en el exterior.

(c) La energía necesaria para sacar un ion cloro es:

∆E = Q∆V = −1.6 · 10−19 7.75 · 10−2 = −1.24 · 10−20 J.

(d) El potencial del punto mencionado será:

V = Ex = 9.69 · 106 2 · 10−9 = 1.94 · 10−2 V.

(e) La capacidad de la membrana vale:

C =Q

V=

ρsS

(ρs/κε0)∆L.

Entonces la capacidad por unidad de área de la membrana es iguala:

C

S=κε0∆L

=7

4π 9 · 109 8 · 10−9 = 7.74 · 10−3 F/m2.

16.13 Encuentra el campo eléctrico producido por una superficie cilíndrica delongitud infinita y radio R uniformemente cargada, con una densidad superficialde carga ρs.

Por simetría, el campo eléctrico será perpendicular al eje del cilindro y sumódulo sólo dependerá de la distancia al eje. Aplicamos la ley de Gaussa la superficie cilíndrica de la figura. Sólo el área lateral contribuye alflujo deE:

φE = L 2πr E =qT

ε0=L 2πRρS

ε0=⇒ E =

RρS

rε0.

16.14 Extiende el resultado del ejercicio anterior a dos superficies cilíndricasde radios R1 y R2, que comparten el mismo eje, y con densidades superficialesde carga ρs1 y ρs2, tales que el conjunto de las dos superficies es neutro. Obténla diferencia de potencial entre las dos superficies.

El campo fuera del cilindro externo y dentro del interno es nulo. Entrelos dos cilindros el campo es igual al producido por el cilindro interno(ver el problema anterior):

E =R1ρS1

rε0.

La diferencia de potencial entre las dos superficies es la integral del cam-po:

V1 − V2 =∫ R2

R1

R1ρS1

rε0dr =

R1ρS1

ε0lnR2

R1.

16.15 Tenemos una estufa de 1 kW conectada a la red de 220 V, que supon-dremos que es de corriente continua. Determina:

(a) la resistencia de la estufa,

(b) la intensidad eléctrica que la recorre,

(c) el campo eléctrico en su interior si el filamento desenrollado mide 2 m.

(a) La resistencia de la estufa viene dada por:

P = V I =V 2

R=⇒ R =

V 2

P=

2202

1000= 48.4 Ω.

(b) La intensidad eléctrica que atraviesa la resistencia es:

I =V

R=

220

48.4= 4.55 A.

(c) El campo eléctrico será la diferencia de potencial dividida por lalongitud:

E =V

l=

220

2= 110 N/C.

16.16 Un conducto cilíndrico de 0.3 mm de radio y 12 cm de longitud está llenode una disolución biológica con una resistividad de 0.18 Ω m. Le aplicamos unadiferencia de potencial de 10 V entre sus extremos. Calcula:

(a) la resistencia eléctrica del cilindro,

(b) el campo eléctrico en el interior de la disolución,

(c) la conductividad de la disolución,

(d) la corriente que circula,

(e) la potencia calorífica que se disipa.

(a) La resistencia eléctrica viene dada por:

R = ρl

S= 0.18

0.12

π 32 10−8 = 7.64 · 104 Ω.

(b) El campo eléctrico aplicado será:

E =V

l=

10

0.12= 83.3 N/C.

(c) La conductividad es la inversa de la resistividad:

σ =1

ρ=

1

1.18= 5.56 1/(Ωm).

(d) La intensidad de la corriente es:

I =V

R=

10

7.64 · 104 = 1.31 · 10−4 A.

(e) La potencia que se disipa vale:

P = V I = 10 · 1.31 · 10−4 = 1.31 · 10−3 W.

16.17 Dos resistencias eléctricas iguales están conectadas en paralelo. El con-junto se alimenta con una diferencia de potencial de 100 V y entonces circulauna corriente total de 10 A. ¿Cuál es el valor de cada una de las resistencias?¿Qué intensidad atravesaría el circuito si las resistencias se conectaran en se-rie, en vez de en paralelo?

Cuando la dos resistencias están en paralelo la resistencia total viene dadapor:

1

RT=

1

R+

1

R=

2

R=⇒ RT =

R

2.

Sabemos que:

RT =V

I=

100

10= 10 =

R

2=⇒ R = 20 Ω.

Si conectamos las resistencias en serie, entonces tenemos:

RT = R +R = 2R =⇒ I =V

RT=

100

40= 2.5 A.