CAPITOLUL 5. PROCESE ALEATOARECapitolul 5 – Procese aleatoare 135 CAPITOLUL 5. PROCESE ALEATOARE...

Capitolul 5 – Procese aleatoare 135

CAPITOLUL 5. PROCESE ALEATOARE

5.1. Verificaţi că pentru o variabilă aleatoare gaussiană2

2( )

21( )2

xx mx xw e σ

σ π− −

= (5.1)

valoarea medie şi dispersia sunt date de xm şi σ.

Rezolvare:

2

2( )

21( )2

xx m

xE x xw x dx x dxe σσ π

∞ ∞− −

−∞ −∞

= =∫ ∫ (5.2)

Se ştie că:

( ) 1xw x dx∞

−∞

=∫ (5.3)

deci:( )2

2exp 22

xx mdx σ π

σ

∞

−∞

−− =

∫ (5.4)

Derivând relaţia anterioară în raport cu parametrul xm obţinem:

( )2

2 2exp 02

xx x mx m dxσ σ

∞

−∞

−−− =

∫ (5.5)

( ) ( )2 2

2 2exp exp 22 2

x xx x

x m x mx dx m dx m σ π

σ σ

∞ ∞

−∞ −∞

− −− = − =

∫ ∫ (5.6)

Rezultă: xE x m= . (5.7)

Dispersia este dată de:

136 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

( ) ( )222

2

1( ) exp22

xx x

x mE x m x m dx

σσ π

∞

−∞

−− = − −

∫ (5.8)

Integrala se rezolvă prin părţi notând xu x m= − .

5.2. Fie ( )x n un proces aleator de tip zgomot alb, cu medie nulă şi varianţaegală cu unitatea şi

y( ) = ( ), 0 N 1n x n n≤ ≤ −y( ) = y( + N)n n , în rest. (5.9)

a) Determinaţi funcţia de autocorelaţie ( )yyr m .

b) Determinaţi 2 ( )E z n , dacăz( ) = y( ) * h( )n n n (5.10)

undeπ1, | |

( ) = N0, în rest

j ωH e ω

≤

(5.11)

Rezolvare:

a)

( ) ( ) ( ) ( )yyk

r m E y n y n m m kNδ∞

=−∞

= + = −∑ (5.12)

b) Avem:1( ) sinc nh nN N

π =

(5.13)

Rezultă: 2 *( ) ( ) ( ) ( ) ( )zz yyr n E z n r n h n h n= = ∗ ∗ − (5.14)

2 22

1 1( ) xE z n NN N

σ= = (5.15)

5.3. Fie ( )ax t un proces staţionar de medie nulă cu densitatea spectrală deputere

01, | | Ω( ) =0, în restxx

ΩP j

≤Ω

(5.16)


Eşantionăm cu perioada T şi obţinem secvenţa ( ) ( )ax n x nT= .Determinaţi T astfel încât ( )x n să fie un zgomot alb, având

2( ) ( ) ( ) ( )xx xr n E x n m x m nσ δ= + = (5.17)

Rezolvare:

Densitatea spectrală de putere ( )jxxP e ω a semnalului eşantionat este:

( ) 01 ,

0, în rest

jxx

TP Te ω ω ≤ Ω

=

(5.18)

Funcţia de autocorelaţie este:( )0sin1( ) ( )

2j jn

xx xx

nTr n P e e d

nT

πω ω

π

ωπ π−

Ω= =∫ (5.19)

Trebuie ca ( ) 0xxr n = pentru orice n nenul. Rezultă ( )0/T k π= Ω .

5.4. Dacă ω este o valoare aleatoare cu densitatea de probabilitate ( )wω ω şi ϕo variabilă aleatoare uniform distribuită în intervalul ( , )π π− , iar ω şi ϕ suntindependente statistic, să se arate căa) Procesul

( ) cos( )x n A nω ϕ= + (5.20)este staţionar cu media nulă şi

2

( ) E cos( )2xxAr n nω= (5.21)

b) Procesul( )( ) j nx n Ae ω ϕ+= (5.22)

este staţionar cu media nulă. Determinaţi funcţia de autocorelaţie.

Rezolvare:

a),Ecos( + φ) = cos( + φ) ( , )nω nω w d dω ϕ ω ϕ ϕ ω∫∫ (5.23)

Din independenţa lui ω cu φ avem:


, ( , ) ( ) ( )w w wω ϕ ω ϕω ϕ ω ϕ= (5.24)Rezultă

cos( ) cos cos sin sinE n E n E E n Eω ϕ ω ϕ ω ϕ+ = − (5.25)dar E ( ) 0x n = pentru că:

1cos cos 02

E dπ

π

ϕ ϕ ϕπ −

= =∫ (5.26)

1sin sin 02

E dπ

π

ϕ ϕ ϕπ −

= =∫ (5.27)

Autocorelaţia: ( ) cos( ) cos[( ) ]xxr k E A n A n kω ϕ ω ϕ= + + + =

2

cos(2 2 ) cos( )2A E n k kω ω ϕ ω= + + + (5.28)

Procedând la fel ca mai înainte obţinem: cos(2 2 ) 0E n kω ω ϕ+ + = (5.29)

Atunci putem conclude că:

2

( ) cos( )2xxAr k E kω= (5.30)

b) Se demonstrează că are medie nulă şi autocorelaţia: * 2( ) ( + k) ( ) = j n

xxr k E x n x n A E e ω= (5.31)

5.5. Fie sistemul discret în timp, dat de( ) ( ) ( 1)y n x n x n= − − (5.32)

a) Să se calculeze funcţia de autocorelaţie a lui ( )y n în funcţie de funcţia deautocorelaţie a lui ( )x n .b) Determinaţi densitatea spectrală de putere a ieşirii dacă ( )x n este un

zgomot alb cu 0( )2xx

NP z = .

Rezolvare:

a) * * *( ) ( ) ( ) [ ( ) ( 1)][ ( ) ( 1)]yyr k E y n k y n E x n k x n k x n x n= + = + − + − − − (5.33)

Rezultă:


( ) 2 ( ) ( 1) ( 1)yy xx xx xxr k r k r k r k= − − − + (5.34)b) Se observă că indiferent de media semnalului de la intrare avem:

( ) 2 ( ) ( 1) ( 1)yy xx xx xxc k c k c k c k= − − − + (5.35)Rezultă:

00( ) (2 ) (1 cos )

2j j j

yyNP e e e Nω ω ω ω−= − − = − (5.36)

5.6. Calculaţi funcţia de autocorelaţie şi puterea medie pentru un procesaleator având media nulă şi densitatea spectrală de putere:

a) 1

1.5( )2.5xxP z

z z−=+ +

b) 2

40( )99 202 99xx

zP zz z

=− + −

c) 10( )5 4cos2

jxxP e ω

ω=

+

d) 1.2cos 2( )1.2cos 1.36

jxxP e ω ω

ω−

=−

Rezolvare:

Se aduc expresiile la forma:

1 1 1

1 1( )1 1xxP z

az a z− − −= −− −

(5.37)

Rezultă: 1 | |( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)n n n

xx xx xxr n c n P z a u n a u n a− −= = = + − − =Z (5.38)Puterea medie este:

(0)xxP r a= = (5.39)

5.7. Un sistem liniar, cauzal, invariant în timp, este descris prin( ) 0.6 ( 1) ( ) 1.25 ( 1)y n y n x n x n− − = + − (5.40)

La intrarea sistemului se aplică1( )

1.64 1.6cosj

xxP e ω

ω=

+(5.41)

Calculaţi densitatea spectrală de putere a ieşirii.


Rezolvare:

Funcţia de transfer a sistemului este:1

1

1 1.25( )1 0.6

zH zz

−

−

+=

+(5.42)

1 1.25( )1 0.6

jj

j

eH ee

ωω

ω

−

−

+=

+(5.43)

Densitatea spectrală de putere la ieşirea sistemului este:2

2

2.56 3.125cos( ) ( ) ( )2.23 0.2cos 1.92cos

j j jyy xxP e P e H eω ω ω ω

ω ω+

= =+ −

(5.44)

5.8. Un proces aleator staţionar discret se caracterizează prin | |( ) 0, ( ) , 0 1k

xxE x n r k α α= = < < (5.45)Evaluaţi şi reprezentaţi, ca funcţie de α , densitatea spectrală de putere.

Rezolvare:

1

| | 1

0

1

1 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

k k k kxx xx

k k k

k k

k k

P z Z r k z z z

z z

α α α

α α

∞ − ∞− − −

=−∞ =−∞ =

∞ ∞−

= =

= = = + =

= +

∑ ∑ ∑

∑ ∑(5.46)

Prima din cele doua progresii geometrice este convergentă dacă:1| | 1 | |z zαα

< ⇒ < (5.47)

iar a doua, dacă1| | 1 | |z zα α− < ⇒ > (5.48)

Rezultă că în domeniul comun de convergenţă,1| |zαα

< < (5.49)

nevid dacă 0 1α< < ,2

1 1

1 1 1( )1 1 (1 )(1 )xxP z z

z z z zαα

α α α α= −

−= + =

− − − −(5.50)

Deoarece domeniul de convergenţă include cercul | | 1z = , are sens2 2

2

1 1( )(1 )(1 ) 1 2 cos

jxx j jP e

e eω

ω ω

α αα α α α ω−

− −= =

− − + −(5.51)


În figura 5.1 este reprezentată funcţia de autocorelaţie pentru 0.5α = (cu linieplină) şi 0.9α = (cu linie punctată). În figura 5.2, sunt reprezentate densităţilespectrale de putere în cele două cazuri.

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 5.1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Figura 5.2


5.9. Un proces aleator având| |( ) 0.5 k

xxr k = (5.52)este aplicat unui sistem cu

( ) ( ) ( 1)h n n nδ δ= + − (5.53)a) Calculaţi densitatea spectrală de putere a intrării.b) Calculaţi densitatea spectrală de putere a ieşirii.c) Calculaţi funcţia de autocorelaţie şi puterea medie a ieşirii.

Rezolvare:

a) Din problema precedentă2

1

1 0.5( )(1 0.5 )(1 0.5 )xxP z

z z−−

=− −

(5.54)

b)1 1

1

0.75( ) ( ) ( ) ( ) (1 )(1 )(1 0.5 )(1 0.5 )yy xxP z P z H z H z z z

z z− −

−= = + +− −

(5.55)

0.75( ) (2 2cos )1.25 cos

jyyP e ω ω

ω= +

−(5.56)

5.10. Un proces aleator discret în timp este generat prin

1

( ) = ( ) + ( )M

kk

x n a x n k v n=

−∑ (5.57)

unde ( )v n este un zgomot alb, cu valoare medie nulă şi varianţa 2vσ . Se cere

densitatea spectrală de putere a lui ( )x n .

Rezolvare:

Aplicăm transformata Z:

1( ) 1 ( )

Mk

kk

X z a z V z−

=

− =

∑ (5.58)

Procesul ( )x n este generat prin trecerea zgomotului ( )v n printr-un sistem cufuncţia de transfer echivalentă:


1

( ) 1( )( ) 1

Mk

kk

X zH zV z a z−

=

= =−∑

(5.59)

Densitatea spectrală de putere a ieşirii este:2

1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )1 1

vxx vv M M

k kk k

k k

P z P z H z H za z a z

σ−

−

= =

= = − −

∑ ∑

(5.60)

5.11. Un zgomot discret alb, gaussian, cu valoarea medie nulă şi varianţa 2vσ

este aplicat unui filtru trece-jos ideal, cu lărgimea de bandă t sF Fα= , unde sFeste frecvenţa de eşantionare, iar 0 0.5α< < . Se cer:- calculaţi şi reprezentaţi funcţia de autocorelaţie a semnalului de la ieşire.Discuţie în funcţie de α;- verificaţi că dacă 1/(2 )α este întreg, atunci eşantioanele semnalului de laieşire luate la intervale de forma

12

k = m , mα

∈Z (5.61)

sunt independente. Calculaţi puterea zgomotului după filtrare.

Rezolvare:

Densitatea spectrală de putere la ieşirea filtrului este:2 2( ) | ( ) |j j

xx vP e H eω ωσ= (5.62)unde

1, | | 2( )

0, în restjH e ω ω πα<

=

(5.63)

Funcţia de autocorelaţie la ieşire este:

( )22

2

2

1( ) ( ) 2 sinc 22 2

j jk jkvxx xx vr k P e e d e d k

π παω ω ω

π πα

σω ω ασ παπ π− −

= = =∫ ∫ (5.64)

Grafic, pentru 0.1α = şi 0.25α = :


-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Pentru

12

k = m , mα

∈Z , (5.65)

funcţia de autocorelaţie devine:

( )2 1, 02 sinc

0, în rest2xx v

mmr mασ πα

= = =

(5.66)

5.12. Un filtru numeric RII are funcţia de transfer de forma

1

( )( ) ,( )

NpM

pN p

DB zH z N MA z z z=

= = ≥−∑ (5.67)

La intrarea sa se aplică zgomot alb, cu varianţa 2vσ . Calculaţi puterea

zgomotului la ieşire.

Rezolvare:

Puterea zgomotului la ieşire este:


2 22 1 1

1 1( ) ( )

2 2 1

N Np pv v

op pp pC C

D DH z H z z dz dz

j j z z z zσ σσπ π

− −

= =

= =− −∑ ∑∫ ∫ (5.68)

Considerăm că filtrul este stabil deci polii pz sunt în interiorul cercului derază unitate.

2 2

1 1 1Rez

1p

N N Nk k

o v z zp k kk k

D Dz z z z

σ σ== = =

= − −

∑ ∑ ∑ (5.69)

1 1 1 1

1

Rez ( )1 1

1

pp

N N N Nk k k k

pz z k k k kk k k k z z

Nk

pk k p

D D D Dz zz z z z z z z z

DDz z

== = = = =

=

= − = − − − −

=−

∑ ∑ ∑ ∑

∑(5.70)

5.13. Un zgomot alb, discret, cu valoare medie nulă, şi varianţa 2vσ este

aplicat unui filtru RFI având 00( )jH e H= şi:1

0

( )N

kk

k

H z a z−

−

=

=∑ (5.71)

Evaluaţi puterea zgomotului la ieşirea filtrului. Determinaţi coeficienţii ka aifiltrului, astfel încât puterea zgomotului la ieşirea filtrului să fie minimă.

Rezolvare:

Densitatea spectrală de putere la ieşirea filtrului este:2 2( ) | ( ) |j j

xx vP e H eω ωσ= (5.72)Funcţia de autocorelaţie la ieşire este:

22 1 ( ) | ( ) |

2 2j jv

x xxP e d H e dπ π

ω ω

π π

σσ ω ωπ π− −

= =∫ ∫ (5.73)

sau aplicând teorema lui Parceval:1

2 2 2 2 2

0

| ( ) |N

x v v kn k

h n aσ σ σ∞ −

=−∞ =

= =∑ ∑ (5.74)

Condiţia din enunţ impune ca:

( )1

00

0

Nj

kk

H H e a−

=

= =∑ (5.75)

Cu această condiţie, 2xσ este minim când 0

kHaN

= pentru 0, ,k N= … .


5.14. Fie schema din figură

1z− FTJ

1−

( )x n ( )y n

( )w n

( )u n ( )v n ( )z n

în care ( )x n este semnalul util, având o densitate spectrală de putereconstantă în banda [ , ]M MF F− , iar ( )w n este un zgomot alb, cu varianţa 2

wσ ,necorelat cu semnalul. Frecvenţa de eşantionare este sF , iar FTJ este un filtrutrece jos ideal cu frecvenţa de tăiere t MF F= . Evaluaţi raportulsemnal/zgomot, la ieşire şi comparaţi-l cu 2 2/x wσ σ . Se dau: 20MF kHz= ,

320sF kHz= .

Rezolvare:

Avem următoarele relaţii:

[ ]1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Z z V z W zV z z U z V zU z X z Z z

−

= +

= +

= −

(5.76)

Din care eliminând pe ( )U z şi pe ( )V z rezultă:1 1( ) ( ) ( )(1 )Z z X z z W z z− −= + − (5.77)

Notăm:1

( ) 0

( )( )( )x

W z

Z zH z zX z

−

=

= = (5.78)

1

( ) 0

( )( ) 1( )w

x z

Z zH z zW z

−

=

= = − (5.79)

Se observă că spectrul semnalului de intrare nu se modifică (semnalulsuferind numai o întârziere). De aceea puterea semnalului la ieşire rămâneaceeaşi şi după trecerea prin filtru.


2( ) 1 2 sin2

jj jwH e e e j

ωω ω ω−− = − =

(5.80)

Puterea zgomotului la ieşirea filtrului va fi:2 2

2 2 24| ( ) | sinM M

M M

F Fwi wi

wos s sF F

fH f df dfF F Fσ σσ π

− −

= =

∫ ∫ (5.81)

În cazul numeric dat:1 1

16M

s

FF

= (5.82)

se poate aproxima:2

2sins s

f fF F

π π

(5.83)

Şi rezultă:22

2 2 23

Mwo w

s

FF

πσ σ

(5.84)

Raportul semnal zgomot la ieşire:32 2 2

2 2dB

2 2

2 2

210lg 10lg 10 lg lg3

10lg 10(0.517 2.709) 10lg 21.92dB

xo x M

wo w s

xo xo

wo wo

S FZg F

σ σ πσ σ

σ σσ σ

= = − + =

= − − = +

(5.85)

5.15. Determinaţi funcţia de transfer şi funcţia de pondere a unui filtru, ştiindca dacă la intrarea sa se aplică zgomot alb cu varianţa 1, densitatea spectralăde putere a zgomotului la ieşire este:

1.25 cos2( )1.04 0.4cos

jxxP e ω ω

ω+

=+

(5.86)

Rezolvare:

Se mai poate scrie2 21.25 0.5 0.5( )

1.04 0.2 0.2

j jj

xx j j

e eP ee e

ω ωω

ω ω

−

−

+ +=

+ +(5.87)


2 2 2 4 2

1 1 2

2 21

1

1.25 0.5( ) 0.5 ( 2.5 1)( )1.04 0.2( ) 0.2 ( 5.2 1)

( 0.5)( 0.5) ( ) ( )( 0.2)( 0.2)

xxz z z z zP zz z z z z

z z H z H zz z

− −

− −

−−

−

+ + + += = =

+ + + +

+ += =

+ +

(5.88)

unde2 2

1

0.5 1 0.5( )0.2 1 0.2

z zH z zz z

−

−

+ += =

+ +(5.89)

Deoarece acest filtru nu este cauzal, având în vedere că o înmulţire cu nz afuncţiei de transfer nu modifică ( )xxP z , vom alege

2 2

1 2

1 0.5 0.5( )1 0.2 0.2

z zH zz z z

−

−

+ += =

+ +(5.90)

211 0.5( )

2 ( 0.2)nzh n z dz

j z zπ−

Γ

+=

+∫ (5.91)

Pentru 2n > , integrandul are un singur pol, 0.2z = − şi2( ) 0.54( 0.2) 2nh n n−= − > (5.92)

Pentru 1n = , apare în plus un pol simplu în origine, 2 2

0 0.2

0.5 0.5 0.5 0.54(1) Re Re 0.2( 0.2) ( 0.2) 0.2 0.2z z

z zh z zz z z z= =−

+ += + = − = − + +

(5.93)

Pentru 2n = , apare un pol dublu în origine:2 2

2 20 0.2

0.5 0.5 0.54 0.5(2) Re Re 1( 0.2) ( 0.2) 0.04 0.04z z

z zh z zz z z z= =−

+ += + = − + = + +

(5.94)

5.16. Fie o variabilă aleatoare gaussiană, caracterizată prin:2

20

( )-2σx 2

0

1( ) = ef2πσ

x-mx;m (5.95)

Determinaţi în cazul estimării valorii medii:a) Estimatorul de plauzibilitate maximă.b) Media estimatorului.c) Varianţa estimatorului.

Rezolvare:

Să presupunem cunoscut setul de observaţii independente x=[x0, x1,...,xN-1]T.Densitatea de probabilitate de ordinul N este deci


2i

20

N ( - )-2σ2

i=0 0

1( ) = ef2πσ

mxx x;m ∏ (5.96)

2N-1i2

0 20i=0

N ( - )xL( ) = _ ln(2π ) -σ 22 σmm ∑ (5.97)

N-1i

20i=0

L( ) -x=σ

m mm

∂∂ ∑ (5.98)

a) Egalând cu 0 această cantitate se obţine estimatorul de plauzibilitatemaximă:

N-1

ii=0

1m =N x∑ (5.99)

b) Evident, estimatorul este nedeplasat, căci:

N

ii=1

1ˆE m = E N

mx =∑ (5.100)

c) Varianţa estimatorului esteN-1 2

02i 02 2

i=0

1 1 σˆVar m = Var = N =σ NN Nx∑ (5.101)

In fine,N-12

22 20 0i=0

L( ) N1I( ) = _E = =σ σ

mmm

∂ ∂

∑ (5.102)

deci-1ˆVar = ( )Im m (5.103)

aşa încât estimatorul este şi de varianţă minimă. Lucrul acesta era de aşteptatavând în vedere că

2N-1 0

i=0

σ1 L( )m( ) - = -NN

=imx m mx m

∂∂∑ (5.104)

5.17. Fie o variabilă aleatoare gaussiană, caracterizată prin:2

20

( )-2σ

20

1( ) = ef2πσ

x-mx x;m (5.105)

Determinaţi în cazul estimării dispersiei:a) Estimatorul varianţei.b) Valoarea medie a estimatorului

Rezolvare:


a) Pentru acelaşi caz al variabilei gaussiene,2N-1

42i=0

L( ) N 1 ( - m)= - +( ) 2

20 i

200 0

σ xσσ σ

∂∂ ∑ (5.106)

Egalând cu zero se obţine estimatorul varianţei:N-1

220

i=0

1= ( - m)σ N ix∑ (5.107)

Dacă m nu este cunoscut, se va utiliza pentru el estimatorul obţinut maiînainte:

N-122

0i=0

1 ˆ= ( - m)σ N ix∑ (5.108)

b) Valoarea medie a estimatorului:N-1

2 20

i=0N-1 N-1 N-1 N-1 N-1

2 2i=0 i=0 j=0 i=0 j=0

1 ˆE = [E + E - 2E ] =ˆ ˆN

1 1 2= E + E - E N N N

2i i

2i i j i j

mx m x

x x x x x

σ ∑

∑ ∑∑ ∑∑(5.109)

Observaţiile fiind presupuse independente:

2

E pentrui = jE =

E E[ = pentrui jm

2i

i ji j

xx x

x x

≠(5.110)

aşa încât2 220 0

N-1 N-1 N-1E = E - =ˆ mN N N2ixσ σ (5.111)

Se constată că estimatorii de plauzibilitate maximă a varianţei sau aidispersiei sunt deplasaţi. Când N →∞ ,

NE =ˆlim

2 20 0σ σ

→∞(5.112)

deci ei sunt asimptotic nedeplasaţi.

5.18. Fie un proces aleator ( )x n de valoare medie nulă, deci:

*( ) ( ) ( ) ( )xx xxr k c k E x n x n k= = + (5.113)Procesul fiind ergodic,

*1( ) lim ( ) ( )2 1

N

xx N n N

r k x n x n kN→∞

=−

= ++ ∑ (5.114)

Găsiţi un estimator utilizând numai setul de observaţii ( )x n , 0, 1n N= −… .


Rezolvare:

Pornind de la:( ) pentru [0, 1]( )0 în restN

x n n Nx n ∈ −

=

(5.115)

definim:*1ˆ ( ) ( ) ( )xx N N

n

r k x n x n kM

∞

=−∞

= +∑ (5.116)

unde M poate fi astfel ales încât să se obţină un estimator nedeplasat. Avândîn vedere suporturile finite,

supp ( ) [0, 1]Nx n N= − şi *supp ( ) [ , 1 ]Nx n k k N k+ = − − − (5.117)rezultă că ( ) 0xxr k = pentru | | 1k N> − .Pentru 0, , 1k N= −… , limitele de însumare vor fi 0 şi 1N k− − , aşa încât îngeneral vom putea scrie:

1*

0

*

1 ( ) ( ) pentru [0, 1]ˆ ( )

ˆ ( ) pentru [ ( 1), 1]

N k

N Nnxx

xx

x n x n k k NMr k

r k k N

− −

=

+ ∈ −=

− ∈ − − −

∑ (5.118)

Valoarea medie a estimatorului este:

1

*

01

0

1Ê ( ) E ( ) ( )

1 ( ) ( ), pentru [0, 1]

N k

xx N Nn

N k

xx xxn

r k x n x n kMN kr k r k k N

M M

− −

=

− −

=

= + =

−= = ∈ −

∑

∑(5.119)

In mod asemănător, pentru ( 1), , 1k N= − − −… se obţine:

Ê ( ) ( )xx xxN kr k r k

M+

= (5.120)

deci în general:

| |Ê ( ) ( )xx xxN kr k r k

M−

= (5.121)

şi rezultă o deplasare a estimatorului:

| |ˆ ˆB ( ) E ( ) ( ) ( )xx xx xx xxN k Mr k r k r k r k

M− −

= − = (5.122)

Pentru a obţine un estimator nedeplasat se poate lua | |M N k= − deci:1

*

0

*

1 ( ) ( ) pentru [0, 1]ˆ ( )

ˆ ( ) pentru [ ( 1), 1]

N k

N Nnxx

xx

x n x n k k NN kr k

r k k N

− −

=

+ ∈ − −=

− ∈ − − −

∑ (5.123)


sau cu o exprimare unitară:1

*

0

1ˆ ( ) ( ) ( ), [ ( 1), 1]| |

N

xx N Nn

r k x n x n k k N NN k

−

=

= + ∈ − − −− ∑ (5.124)

Uneori se preferă să se ia M N= şi rezultă:1

*

0

*

1 ( ) ( ) pentru [0, 1]ˆ ( )

ˆ ( ) pentru [ ( 1), 1]

N k

N Nnxx

xx

x n x n k k NNr k

r k k N

− −

=

+ ∈ −=

− ∈ − − −

∑ (5.125)

Acesta este evident un estimator deplasat, deoarece:

| |ˆE ( ) ( )xx xxN kr k r k

N−

= (5.126)

Totuşi când N →∞ ,

Nˆlim E ( ) ( )xx xxr k r k

→∞= (5.127)

şi deci estimatorul acesta este asimptotic nedeplasat.

Probleme propuse

5.19. Fie x şi y două variabile aleatoare cu dispersiile xσ şi yσ . Se defineştecoeficientul de corelaţie:

xyxy

x y

cρ

σ σ= (5.128)

Demonstraţi că | | 1xyρ ≤ .

5.20. Fie ( )x n un proces staţionar în sens larg. Dacă există 0k astfel încât0( ) (0)x xr k r= , demonstraţi că ( )xr k este periodică cu perioada 0k şi în plus

20( ) ( ) 0E x n x n k− − = (5.129)

Se spune în acest caz că ( )x n este periodic în medie pătratică.

5.21. Fie( ) , | |i ij n j

i i ii

x n Ae A A eω ϕ= =∑ (5.130)


Arătaţi că dacă iA şi iϕ sunt variabile aleatoare independente, iϕ suntuniform distribuite între ( , )π π− şi iA sunt ortogonale atunci ( )x n este unproces staţionar în sens larg.Pornind de la rezultatul de mai sus, arătaţi că

( ) cos( ),x n A n Aω ϕ= + ∈R (5.131)este un proces staţionar, unde A şi ϕ sunt variabile aleatoare independente iarϕ este uniform distribuită între ( , )π π− . Determinaţi funcţia de autocorelaţieşi densitatea spectrală de putere.

5.22. Fie un filtru liniar, invariant în timp cu( ) ( ) 0.5 ( 1) 0.25 ( 2)h n n n nδ δ δ= − − + − (5.132)

Filtrului i se aplică un zgomot alb cu varianţa 20σ . Fie ( )y n ieşirea filtrului.

Se cer:a) ( )xyr k ,b) ( )yyr k ,

c) ( )jyyP e ω .

5.23. Rezolvaţi problema 5.9 pentru( ) ( ) ( 1)h n n nδ δ= − − (5.133)

5.24. Fie sistemul cauzal, liniar, invariant în timp descris de:( ) 0.2 ( 1) ( )y n y n x n− − = (5.134)

Determinaţi funcţia de autocorelaţie şi densitatea spectrală de putere asemnalului la ieşire, dacă la intrare se aplică:a) zgomot alb cu varianţă unitară.b) un proces aleator având | |( ) 2(0.5) k

xxr k =

5.25. Un proces aleator discret în timp este descris prin( ) = ( 1) + ( )x n a x n v n− , | | 1a < (5.135)

unde ( )v n este un zgomot alb, cu valoare medie nulă şi varianţa 2vσ . Calculaţi

funcţia de autocorelaţie ( )xxr k şi funcţia de covarianţă .


5.26. Un proces aleator discret în timp este descris prin2( ) = ( 2) + ( )x n a x n v n− , | | 1a < (5.136)



5.27. Un proces aleator discret în timp este descris prin( ) = 0,7 ( 1) 0,01 ( 2) + ( )x n x n x n v n− − − (5.137)



5.28. Un semnal cu medie zero şi densitatea spectrală de putere ( ) 1jxxS e ω =

este aplicat la intrarea a două sisteme cu funcţiile de transfer:

1 1

1( )1 0.9

H zz−=

−, 2 1

1( )1 0.8

H zz−=

−a) Calculaţi şi reprezentaţi densitatea spectrală de putere a ieşirii.b) Calculaţi şi reprezentaţi funcţia de autocorelaţie a ieşirii.

5.29. Un zgomot alb cu varianţa 2vσ este aplicat unui filtru cu schema din

figură.1z−

0.25

Să se calculeze densitatea spectrală de putere, funcţia de autocorelaţie şiputerea medie pentru semnalul de ieşire.

5.30. Reluaţi problema anterioară pentru sistemele de mai jos.


1z−

0,8 1−

( )x n ( )y n

1z−k−

( )x n

( )y n k

5.31. Un zgomot alb, cu valoarea medie xm şi varianţa 2xσ este aplicat unui

filtru cu schema din figură.

1z−

1z−

0H

2r−

2 cosr θ 1−

( )x n ( )y n

0r >

Se cer densitatea spectrală de putere şi puterea semnalului la ieşire.

5.32. Aplicând un zgomot alb, cu varianţa 2σ unui filtru cu funcţia detransfer ( )H z se obţine la ieşire un semnal cu densitatea spectrală de putere

2

2( )1 2 cos

jxx eP ω σ

α ωα=

+ +(5.138)

Determinaţi ( )H z şi ( )h n .

5.33. Aceleaşi cerinţe ca la problema anterioară pentru:

a) 2 2cos( )1,85 2,16cos 0,4cos2

jxxP e ω ω

ω ω−

=− +

b) 2 2cos2( )1,25 2cos

jxxP e ω ω

ω−

=−


5.34. Aplicând la intrarea unui filtru un zgomot alb cu varianţa 1, densitateaspectrală de putere a zgomotului la ieşire este:

5 4cos2( )10 6cos

jyyP e ω ω

ω+

=+

(5.139)

Calculaţi funcţia de corelaţie între semnalele de la intrare şi ieşire.

5.35. Reluaţi cerinţele din problema anterioară pentru:1,25 2cos2( )1,04 0,4cos

jyyP e ω ω

ω−

=+

(5.140)

5.36. Se doreşte generarea unui proces aleator staţionar ( )x n cu funcţia deautocorelaţie:

*

0( )

( ) 0

k

xxxx

kr k

r k kα ≥

= − <

, | | 1α < , (5.141)

aplicând la intrarea unui filtru liniar zgomot alb cu varianţă unitară. Calculaţifuncţia de transfer a filtrului.

5.37. Reluaţi problema anterioară pentru:2

*

1 (0,5) 1( ) 3

( ) 0

k

xx

xx

kr k

r k k

−− ≥= − <

, (5.142)

dacă puterea medie a procesului ( )x n este 4/3.

5.38. Fie un proces aleator ( )x n cu medie zero şi funcţia de autocorelaţie:| | | 1| | 1|1 1 1( ) 10 3 3

2 2 2

k k k

xxr k− +

= + +

(5.143)

a) Găsiţi funcţia de transfer a filtrului pentru care, aplicând la intrare zgomotalb, la ieşire se obţine un proces aleator cu funcţia de autocorelaţie egală cu

( )xxr k .b) Găsiţi filtrul stabil şi cauzal pentru care, aplicând la intrare ( )x n , la ieşirese obţine zgomot alb de medie nulă şi varianţă unitară.


5.39. Peste un semnal util de JF, asimilabil cu o componentă continuă, sesuprapune zgomot alb. Pentru separarea semnalului se utilizează schema:

( )H z

+−

( )x n ( )y n

unde1

1

1( )1

zH zzρ

−

−

−=

−, 0 1ρ< < (5.144)

Calculaţi ρ astfel încât raportul semnal-zgomot la ieşire să fie cu 26dB maibun ca la intrare.Cum trebuie procedat pentru separarea (eliminarea) zgomotului?

5.40. Un sistem liniar invariant în timp are răspunsul în frecvenţă:5( ) 0.5 3j jH e eω ω−= − (5.145)

Semnalul de la intrare este de tipul zgomot alb cu medie zero şi varianţă2 31xσ = .

a) Determinaţi funcţia de autocorelaţie şi densitatea spectrală de putere aintrării.b) Determinaţi densitatea spectrală de putere, varianţa şi funcţia deautocorelaţie a ieşirii filtrului.

5.41. Un sistem liniar invariant în timp are răspunsul la impuls:( ) ( ) ( 2)h n n nδ δ= − − (5.146)

Semnalul de la intrare are valoarea medie 7xm = şi funcţia de autocovarianţă:( ) 0.5 ( 2) 3 ( ) 0.5 ( 2)xxc l l n nδ δ δ= − + + − − (5.147)

a) Determinaţi densitatea spectrală de putere a semnalului de intrare.b) Determinaţi media şi funcţia de covarianţă a ieşirii.

5.42. Fie ( )x n un proces aleator staţionar în sens larg cu medie 0 şi funcţiade autocorelaţie:

1, 0( ) 0.5, | | 1

0, în restxx

nr n n

== =

(5.148)


( )x n este filtrat pentru a genera ieşirea:2

0

( ) ( )k

y n x n k=

= −∑ (5.149)

a) Determinaţi media secvenţei xm .b) Determinaţi intercorelaţia ( )xyr n între x şi y.c) Determinaţi autocorelaţia ( )yyr n secvenţei ( )y n .

5.43. Fie ( )x n cu funcţia de autocorelaţie:| | 2( ) k

xx xr k ρ σ−= (5.150)şi fie ( )y n ieşirea unui filtru cu funcţia pondere:

( ) ( )nh n a u n−= (5.151)a) Calculaţi ( )yyr k .

b) Calculaţi ( )jxxS e ω şi ( )j

yyS e ω .

5.44. Fie două variabile aleatoare X şi Y, cu mediile Xm şi Ym , varianţele Xσşi Yσ şi funcţia de intercorelaţie XYr . Nu poate fi observat direct decât Y. Sedoreşte un estimat ˆ ( )X g y= de forma X aY b= + , pentru X, unde a şi b suntconstante şi y este valoarea observată pentru variabila aleatoare Y.a) Determinaţi valorile pentru a şi b care minimizează eroarea pătratică medie

2ˆ| |E X Xε = − pentru estimat.b) Care este eroarea pătratică medie a estimatorului?

CAPITOLUL 5. PROCESE ALEATOARECapitolul 5 – Procese aleatoare 135 CAPITOLUL 5. PROCESE ALEATOARE...

Documents

Transcript of CAPITOLUL 5. PROCESE ALEATOARECapitolul 5 – Procese aleatoare 135 CAPITOLUL 5. PROCESE ALEATOARE...