CAPITOLUL 1. SEMNALE ŞI SISTEME DISCRETE · Capitolul 1 – Semnale şi sisteme discrete 3 Aşadar...

Capitolul 1 – Semnale şi sisteme discrete 1

CAPITOLUL 1. SEMNALE ŞI SISTEME DISCRETE

1.1. Se consideră schema din figura 1.1, în care

( ) 0sin tx ttωπ

= (1.1)

Figura 1.1

a) Calculaţi şi reprezentaţi |X(ω)|;b) Calculaţi şi reprezentaţi v(t) şi spectrul de amplitudini dacă

( ) ( ) ( )s

not

T sk

p t t t kTδ δ∞

=−∞

= = −∑ (1.2)

şi Ts este pe rând 0 0

2 2,4π πω ω

.

c) În fiecare din cazurile de la b), calculaţi y(t) şi Y(ω), dacă H(ω) este pe

rând: FTJ cu frecvenţa de tăiere la sTπ şi respectiv un filtru având funcţia

pondere ( ) ( ) ( )sh t t t Tσ σ= − − .

Rezolvare

a) Să considerăm impulsul dreptunghiular în domeniul timp

( ) ( )22 2

not

TT Tp t t t tσ σ = − − + = Π

(1.3)

2 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

Transformata sa Fourier este

( ) ( )2

2 2

2

1T

T Tj jj t j t

T

P p t e dt e dt e ej

ω ωω ωωω

∞−− −

−∞ −

= = = − −

∫ ∫ (1.4)

care se mai poate scrie ca

( ) 1 22jsin sinj 2 2

T TP ω ωωω ω = − − =

(1.5)

Pe de altă parte, din teorema dualităţii, transformata Fourier a lui P,privită ca funcţie de timp este

( ){ } ( ) ( )2 2P t p pπ ω π ω= − =F (1.6)unde s-a ţinut cont de paritatea funcţiei p.

Explicitând expresia de mai sus, rezultă că

( )2

2 sin 22 TtT

tπ ω = Π

F (1.7)

sau înlocuind T/2 cu ω0 şi împârţind în ambii membri cu 2π

( )00

1 sin 2tt ωω π ω

π = Π

F (1.8)

Rezultă în final că( ) ( )

0X ωω ω= Π (1.9)

având aspectul din figura 1.2.

Figura 1.2

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s sn n

v t x t t nT x nT t nTδ δ∞ ∞

=−∞ =−∞

= − = −∑ ∑ (1.10)

unde s-a folosit egalitatea binecunoscută din teoria distribuţiilor( ) ( ) ( ) ( )0 0 0x t t t x t t tδ δ− = − (1.11)

Prin urmare

( ) ( ),0 ,

s s

s

x nT t nTv t

t nT =

= ≠

(1.12)

v(t) este semnalul rezultat prin eşantionarea uniformă cu Ts a lui x(t).


Aşadar

( )0sin ,

0 ,

ss

s

s

nT t nTnTv t

t nT

ωπ

== ≠

(1.13)

Pentru a calcula spectrul, facem apel la teorema convoluţiei înfrecvenţă

( ) ( ){ } ( ) ( )12

x t p t X Pω ωπ

= ∗F (1.14)

şi ţinem cont că

( ){ } ( )22

s

s

Ts T

tT ππδ δ ω=F (1.15)

ceea ce conduce la

( ) ( )1 2 2 1 22 n ns s s s

V X n X nT T T Tπ π πω ω δ ω ω

π

∞ ∞

=−∞ =−∞

= ∗ − = −

∑ ∑ (1.16)

Rezultă o concluzie cunoscută din teoria semnalelor: prin eşantionareaunui semnal cu o anumită frecvenţă de eşantionare, spectrul semnalului iniţialse periodicizează cu acea frecvenţă, plus un factor de scalare.

Pe baza observaţiei că spectrul unui semnal eşantionat este periodic cuperioada dată întocmai de frecvenţa de eşantionare, se poate defini un spectrunormat, obţinut pe o perioadă a spectrului eşantionat, rezultând astfeltransformata Fourier în timp discret a unui semnal numeric.

( ) ( );

s s

js s

T T

V e T V Tωπ πω

ω ∈ −

= (1.17)

Spectrul de amplitudini al lui v(t) este reprezentat calitativ în figura 1.3.

Figura 1.3

Considerând valorile date în ipoteză, mai întâi pentru 0

24sT πω

= ,

spectrul este cel din figura 1.4.


Figura 1.4.

Pentru 0

2sT π

ω= , se observă că spectrele imagine (considerate pe o

perioadă) se suprapun pe o jumătate de peroadă, astfel că spectrul rezultat esteconstant în întreaga bandă: ( ) 2,V ω ω= ∀ , deci ( ) ( )2v t tδ= .

c) În primul caz, frecvenţa de tăiere a FTJ-ului este 02tω ω= . Din figura 1.4,se observă că aceasta este echivalentă cu reţinerea primului spectru (dinjurul originii).

Figura 1.5.

Rezultă că ( ) ( )1

s

y t x tT

= şi deci semnalul poate fi refăcut perfect din

eşantioanele sale.În al doilea caz, filtrul se aplică asupra unui spectru constant şi rezultă

( ) ( ) ( ) ( )2y t v t h t h t= ∗ = care diferă în principiu de x(t).Inspectând atent figura 1.5, rezultă o generalizare extrem de importantă

pentru eşantionarea semnalelor. Când 02 2

sTπ ω≥ (condiţia Nyquist), semnalul

iniţial poate fi refăcut (mai puţin o constantă de scalare) din eşantioanele saleprintr-o filtrare trece-jos ideală. Filtrul este cu atât mai pretenţios (bandă detranziţie mai mică) cu cât inegalitatea de mai sus tinde către egalitate.

Dacă 02 2

sTπ ω< , apare fenomenul de aliere spectrală (suprapunerea

spectrelor imagine) şi refacerea semnalului iniţial este imposibilă.


În realitate, nici un semnal nu poate avea o bandă limitată. De aceea, nu

se poate alege 02 2

sTπ ω= . Aici trebuie luată în considerare banda efectivă a

semnalului (în afara căreia, componentele spectrale sunt considerateneglijabile).

Filtrul având funcţia pondere ( ) ( ) ( )sh t t t Tσ σ= − − este în fapt uninterpolator de ordin 0 (Sample & Hold). Se observă că

( ) ( ) ( ) ( )s sn

y t h t x nT t nTδ∞

=−∞

= ∗ −∑ (1.18)

sau

( ) ( ) ( )s sn

y t x nT h t nT∞

=−∞

= −∑ (1.19)

Se justifică astfel şi denumirea tipului de interpolare. Semnalulanalogic se reface prin “menţinerea” eşantionului x(nTs) timp o perioadă deeşantionare, rezultând o aproximare în scară.

Pentru a vizualiza un exemplu, folosim mediul Matlab, pentru un caz

particular ω0=2π[kHz], 0

24sT πω

= . Semnalele x(t), v(t) şi y(t) sunt reprezentate

în figura 1.6.

Figura 1.6.

În frecvenţă, filtrul de interpolare de ordin 0 are funcţia de transfer

( ) 2sinc2

sTjs

sTH T e

ωωω− =

(1.20)


Figura 1.7.

Din figura 1.7, se observă că de această dată semnalul este distorsionat(caracteristica de transfer nu mai este constantă în banda de trecere şispectrele imagine nu sunt rejectate complet).

Similar, aplicarea interpolării Sample & Hold nu are sens pentrusemnalul subeşantionat pentru care odată apărut fenomenul de aliere, nu maieste posibilă refacerea corectă.

1.2. În schema din figura 1.1, considerăm

( ) ( )200 1sinc cosx t t tω ω ω

π= (1.21)

şi ( ) ( )sTp t tδ= (1.22)

unde 1 010ω ω= şi 0

sT πω

= .

a) Să se reprezinte spectrele de amplitudini ale semnalelor x(t), v(t);b) Să se găsească funcţia de transfer a filtrului astfel încât y(t)=x(t).

Rezolvare

a) Procedând similar ca la 1.1a, se poate arăta că

( ) ( )0

200sinc t ω

ω ω ωπ

= Λ

F (1.23)

reprezentată în figura 1.8.

Figura 1.8.


Folosind teorema modulaţiei, avem

( ){ } ( ) ( )1 1 11cos2

b t t B Bω ω ω ω ω= − + + F (1.24)

şi deci

( ) ( ) ( )0 00 0

1 10 102

X ω ωω ω ω ω ω = Λ − + Λ + (1.25)

Spectrul de amplitudini este reprezentat în figura 1.9.

Figura 1.9.

Folosind rezultatele de la problema anterioară, avem că

( ) ( )002

2 nV X nωω ω ω

π

∞

=−∞

= −∑ (1.26)

Prin periodicizarea cu 2ω0 a lui X(ω), rezultă

( ) ( )0

002

4 nV nω

ωω ω ωπ

∞

=−∞

= Λ −∑ (1.27)

Figura 1.10.

Se constată că nu apare alierea deşi nu este îndeplinită condiţia Nyquist(frecvenţa maximă din spectru este 11ω0, iar pulsaţia de eşantionare este 2ω0).

b) Refacerea semnalului se poate face în mod evident dacă filtrul dereconstituire este un FTB ideal cu banda [ ]0 09 ;11ω ω .


1.3. Calculaţi TFTD ale următoarelor semnale:a) ( )u n ;b) ( ) ( )u n u n N− − ;c) ( )nδ .

Rezolvare

a) Aplicăm definiţia

( ) ( )0

11

j jn jnj

n nX e u n e e

eω ω ω

ω

∞ ∞− −

−=−∞ =

= = =−∑ ∑ (1.28)

b) Folosind teorema întârzierii

( ) ( )( )

12 2 22

1 1 12 2 2

111

sin21sin2

jNj j jN

j

N N Nj j j Nj

j j j

eX e U e ee

Ne e e ee e e

ωω ω ω

ω

ω ω ωω

ω ω ω

ω

ω

−

−

− − −−

− −

−= − = =

−

−= =

−

(1.29)

c) ( ) ( ) 1j jn

nX e n eω ωδ

∞−

=−∞

= =∑ (1.30)

1.4. Se dau semnalele ( ) 0jnx n e ω= şi ( ) ( ) ( )w n u n u n N= − − .

a) Să se calculeze ( ) ( ) ( ){ }jFX e TFTD x n w nω = şi să se reprezinte

( )jFX e ω .

b) Să se exprime ( ) ( ){ }NX k TFD x n= în funcţie de ( )jFX e ω .

c) Reprezentaţi X(k) pentru 0 02nNπω = şi pentru 0 0

2nNπω ≠ .

Aplicaţie numerică: 8N = , 09,

2 16π πω ∈

.

Rezolvare

a) Semnalul x(n)w(n) este o bucată din semnalul x(n), delimitată de fereastradreptunghiulară w(n).


( ) ( ) ( ) ( )1

j j j

0

Nn n

Fn n

X e x n w n e x n eω ω ω∞ −

− −

=−∞ =

= =∑ ∑ (1.31)

Sau, înlocuind cu expresia semnalului x(n):

( ) ( )01

jj

0

Nn

Fn

X e e ω ωω−

− −

=

=∑ (1.32)

Termenii formează o progresie geometrică de N termeni, cu raţia( )0je ω ω− − , deci

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

00

00

jj 02j

1j j2

0

sin1 2

11 sin2

NN

F

Ne eX ee e

ω ωω ωω

ω ω ω ω

ω ω

ω ω

− −− −

− − − −

− − = = − −

(1.33)

În vederea reprezentării spectrului de amplitudini, considerăm funcţiaauxiliară

( )sin

21sin2

N

Fω

ωω

= (1.34)

În 0ω = funcţia tinde către N:

( )0 0 0

sin cos2 2 2lim lim lim1 1 1sin cos2 2 2

N N N

F Nω ω ω

ω ωω

ω ω→ → →= = = (1.35)

Funcţia suferă anulări în punctele în care se anulează numărătorul2sin 0 ,

2 2N N k k k

Nπω ω π ω= ⇔ = ∈ ⇔ =Z (1.36)

Pentru [ ]0;ω π∈ , numitorul este monoton crescător şi deci aluracaracteristicii va fi aceea a unei sinusoide amortizate cu anulările menţionatemai sus. Pentru [ ];2ω π π∈ , numitorul creşte monoton şi anvelopa sinusoideicreşte de asemenea.


Folosind Matlab, rezultă

Figura 1.11

Figura este reprezentată pe axa x normată la 2π şi se verifică apariţia

anulărilor la 28 4

k kπ π= (ceea ce în frecvenţe normate înseamnă 1/8, 1/4, 3/8,

etc.).Este evident că ( ) ( )0

jX e Fω ω ω= − şi spectrul de amplitudini rezultă

prin translatarea spectrului la dreapta cu ω0.

b) Prin definiţia TFD, avem ( ) ( )1

0

Nnk

Nn

X k x n W−

=

=∑ cu 2jN

NW eπ

−= şi deci

( ) ( ) ( )21 j j

20

N nkN

F kn N

X k x n e X eπ

ωπω

− −

==

= =∑ (1.37)

TFD rezultă prin eşantionarea uniformă a TFTD pentru semnalul

ferestruit corespunzător, cu 2Nπ .

c) Plecăm de la caracteristica din figura 1.11, pe care o translatăm cu 2π ,

respectiv 16π9 . În primul caz, se remarcă faptul că se eşantionează în vârful

lobului principal şi în punctele de anulare. Aceasta se datorează faptului că

0ω este un multiplu de 2Nπ şi deci TFD se calculează pe un număr întreg

de perioade. În al doilea caz însă, caracteristica nu se mai eşantionează învârful lobului principal, iar restul punctelor de eşantionare nu mai coincid


cu punctele de anulare. Aceasta este o cauză imediată că TFD nu secalculează pe un număr întreg de perioade.

Figura 1.12

Folosind instrucţiunile Matlab, se pot afişa cele două spectre deamplitudini.

N=8;x=exp(j*(0:N-1)*pi/2);figure,subplo(211),stem(abs(fft(x))),gridx=exp(j*(0:N-1)*9*pi/16);subplot(212),stem(abs(fft(x))),grid

Figura 1.13


1.5. Calculaţi funcţia pondere a filtrelor care au funcţia de transfer:a) a unui FTJ ideal cu ft=f0;b) a unui FTS ideal cu ft=f0;c) a unui FTB ideal cu banda de trecere între f1 şi f2;d) a unui FOB ideal cu banda de oprire între f1 şi f2.

Rezolvare

a) Un filtru trece-jos ideal analogic este caracterizat de o funcţie de transfer

( ) 0

0

1,0,FTJH

ω ωω

ω ω ≤

= >(1.38)

Sau în timp discret, pe o perioadă

( ) [ ][ ]

0

0

1, 0;0, ;

jFTJH e ω ω ω

ω ω π ∈= ∈

(1.39)

Aplicând formula de inversiune

( ) ( )2

12

j jnFTJ FTJh n H e e dω ω

πω

π= ∫ (1.40)

şi

( ) ( )0

0 0

0

00 0

1 1 1 sin sinc2 2

jn jnjnFTJh n e d e e n n

jn n

ωω ωω

ω

ωω ω ωπ π π π

−

−

= = − = =∫ (1.41)

b) Se observă că( ) ( )1j j

FTS FTJH e H eω ω= − (1.42)ceea ce în timp se scrie

( ) ( ) ( ) ( ) 00sincFTS FTJh n n h n n nωδ δ ω

π= − = − (1.43)

c) Observând că

( ) ( )( ) ( )( )p pj jjFTB FTJ FTJH e H e H eω ω ω ωω − += + (1.44)

cu notaţiile 1 2

2pω ωω +

= şi 2 10 2

ω ωω −= , folosind teorema modulaţiei

( ) ( )2 cosFTB FTJ ph n h n nω= (1.45)deci

( ) 2 1 2 1 1 2sinc cos2 2 2FTBh n n nω ω ω ω ω ωπ− − + =

(1.46)


d) ( ) ( )1j j

FOB FTBH e H eω ω= − (1.47)şi prin urmare

( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2sinc cos2 2 2FOB FTBh n n h n n n nω ω ω ω ω ωδ δπ− − + = − = −

(1.48)

1.6. Calculaţi produsul de convoluţie al semnalelor:( ) ( ) ( )1x n u n u n N= − − şi ( ) ( ) ( )2x n u n u n M= − − , cu M N≤ .

Rezolvare

Definiţia produsului convoluţiei

( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2m

y n x x n x m x n m∞

=−∞

= ∗ = −∑ (1.49)

Figura 1.14Se identifică următoarele situaţii:

a) 0n <În acest caz cele două semnale din figură au suporturi temporaledisjuncte şi y(n)=0.

b) 1 0M n− + + < şi 0n ≥ echivalent cu 0, 1n M= −În această situaţie, suporturile se intersectează pe 0,m n= şi y(n)=n+1.

c) 1 0M n− + + ≥ şi 1n N< − , deci 1, 1n M N= − −Suporturile se intersectează pe M-1 eşantioane, deci ( )y n M= .

d) 1n N≥ − şi 1 1n M N− + < − sau 1, 2n N M N= − + −


Suporturile se intersectează pe intervalul 1, 1m n M N= − + − sau( ) 1y n N M n= + − − .

e) 1n N M≥ − +Suporturile sunt din nou disjuncte astfel că y(n)=0.

Forma de undă rezultată este prezentată în figura 1.15.

Figura 1.15.

1.7. Calculaţi transformata Z şi domeniul de convergenţă pentru următoarelesemnale:a) ( )u n ;b) ( )na u n , 0<a<1;c) ( )1na u n− − − , 0<a<1;

d) na , 0<a<1;e) ( )0jne u nω ;f) ( )0sin n u nω ;g) ( )0cosn u nω ;h) ( )0jnnr e u nω , ( )0,1r∈ ;i) ( )0cosnr n u nω , ( )0,1r∈ ;j) ( )0sinnr n u nω , ( )0,1r∈ .

Rezolvare

a) ( ) ( ) 10

11

n n

n nX z x n z z

z

∞ ∞− −

−=−∞ =

= = =−∑ ∑ (1.50)

Progresia geometrică este convergentă dacă raţia z-1 este de modulsubunitar, deci dacă 1z > .


b) ( ) ( ) 10

11

n n n

n nX z x n z a z

az

∞ ∞− −

−=−∞ =

= = =−∑ ∑ (1.51)

cu condiţia 1 1az z a− < ⇔ > .

c) ( ) ( )11

11 1

n nn n n n n

n n n

a zX z x n z a z a za z

−∞ − ∞→−− − −

−=−∞ =−∞ =

= = − = − = −−∑ ∑ ∑ (1.52)

Rezultatul este de asemenea ( ) 11

1X z

az−=

−, însă de această dată

transformata Z are o convergenţă de interior, caracteristică oricărui semnalanticauzal. Acest fapt derivă şi din necesitatea ca raţia progresiei geometricesă fie de modul subunitar 1 1a z z a− < ⇔ < .

Se observă că legătura dintre domeniul timp discret şi planul complex znu este biunivocă. Aceeaşi transformată Z poate aparţine mai multor semnale,fiind necesară precizarea domeniului de convergenţă pentru determinareariguroasă.

d)

( ) ( )1

0

1 0

nn n n n n n

n n n n

n n n n

n n

X z x n z a z a z a z

a z a z

∞ ∞ − ∞− − − − −

=−∞ =−∞ =−∞ =

∞ ∞−

= =

= = = + =

= +

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑(1.53)

Calculând separat fiecare sumă, rezultă

( )2

1 2 11 1

1 1 1az aX z

az az a az az− −

−= + =

− − + − −(1.54)

cu condiţiile de convergenţă 1az < şi 1 1az− < , deci 1a za

< < .

e)

( ) ( ) ( )0 0

0

11

0 0

11

nn jn jn n nj

n n n nX z x n z a z e z e z

e zω ω

ω

∞ ∞ ∞ ∞− − − −

−=−∞ =−∞ = =

= = = = =−∑ ∑ ∑ ∑ (1.55)

cu 0 1je z zω < ⇔ > .f)

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }0 0

0 0

0

1 1

1sin2

1 1 12 1 1

jn jn

j j

n u n e u n e u nj

j e z e z

ω ω

ω ω

ω −

−− −

= − =

= − − −

Z Z Z(1.56)


g) După prelucrări

( )1

01 2

0

sin1 2cos

zX zz z

ωω

−

− −=− +

(1.57)

cu condiţiile de convergenţă 0 1jz e ω±> = .h) Similar se obţine

( )1

01 2

0

1 cos1 2cos

zX zz zω

ω

−

− −

−=

− +, 0 1jz e ω±> = . (1.58)

i) ( )0 1

1 ,1 jX z z r

re zω −= >−

; (1.59)

j) ( )1

01 2 2

0

sin ,1 2 cos

r zX z z rr z r z

ωω

−

− −= >− +

(1.60)

k) ( )1

01 2 2

0

1 cos ,1 2 cos

r zX z z rr z r z

ωω

−

− −

−= >

− +(1.61)

1.8. Să se calculeze coeficienţii SFETD (Seria Fourier Exponenţială în TimpDiscret) pentru semnalele:a) ( ) ( )Nx n nδ= ;

b) ( )2j nNx n eπ

= ;

c) ( ) 2cosx n nNπ =

;

d) ( ) 2sinx n nNπ =

.

Rezolvare

În cazul semnalelor discrete periodice, de perioadă N, se face apel exactca în cazul semnalelor analogice la dezvoltarea într-o serie ortogonală, de tipFourier exponenţială, cu coeficienţii ck.

( )1

0

Nnk

k Nk

x n c W−

−

=

=∑ (1.62)

unde ( )1

0

1 Nnk

k Nn

c x n WN

−

=

= ∑ , cu notaţia 2jN

NW eπ

−= .


a) ( )1

0

1 1Nnk

k Nn

c n WN N

δ−

=

= =∑ (1.63)

şi relaţia pentru sinteza semnalului se scrie

( )1

0

1 Nnk

Nk

x n WN

−−

=

= ∑ (1.64)

b) ( ) ( )1 1

1

0 0

1 , 11 1 1 10, 1

N Nn kn nk

k N N Nn n

kc W W W k N

N N N kδ

− −−−

= =

== = = − = ≠

∑ ∑ (1.65)

c) ( )2 2

2cos2

j n j nN Ne ex n n

N

π π

π−

+ = =

(1.66)

Folosind proprietăţile de liniaritate,

( ) ( ) { }

{ }

1 , 1, 21 2 1 22 0, 1, 2

k

k Nc k N k N

N k Nδ δ

∈ −= − + + − = ∉ −

(1.67)

d) Similar, ( ) ( )1 2 12jkc k N k

Nδ δ= − − + + − (1.68)

1.9. Să se calculeze folosind teorema reziduurilor transformata Z inversă a

( )2

zX zz

=−

în domeniul 2z < .

Rezolvare

Se aplică formula de inversiune

( ) ( ) 112 j

n

Cx n X z z dz

π−= ∫ (1.69)

Integrarea se face pe un contur C din planul z, un cerc care se află îndomeniul de convergenţă al lui X(z) (R<2), dar care conţine în interiorul săutoţi ceilalţi poli ai funcţiei ( ) 1nX z z − . În aceste condiţii, folosind teoremareziduurilor,

( ) ( ) ( ){ }1

12 j Rez , Rez ,2 j

nn

k kk k

X z zx n z X z z zπ

π

−− = =

∑ ∑ (1.70)

unde zk sunt toţi polii funcţiei ( ) 1nX z z − din interiorul cercului C.


În concluzie,

( )pol al lui

2<

Rez ,2n

k

k

n

kzz

zz R

zx n zz

=−

= −

∑ (1.71)

Dacă 0n ≥ , nu există singularităţi în interiorul cercului{ }, 2C z z R R= = < şi deci ( ) 0x n = .

Dacă n<0, 0 este pol de ordin -n al funcţiei în domeniul considerat şi

( )( )1Rez ,0

2nx nz z

= −

(1.72)

Avem

( ) ( ) ( ) ( )0 0

1 1 1 1lim lim1 ! 1 ! 22

n nn

n n nz z

d dx n zn n zdz z z dz→ →

= = − − −− (1.73)

S-a folosit formula

( ){ } ( ) ( )1Rez , lim1 ! k

mm

k mz z

dF z z z F zm dz→

= −(1.74)

unde m este ordinul polului zk al funcţiei F(z).Se deduce uşor (prin inducţie) că

( ) ( )( )

11 1 !12 2

nn

n n

ndzdz z

−− − = − −(1.75)

şi rezultă că( ) 2nx n = − (1.76)

Concluzionând:

( ) 2 , 10, 0

n nx n

n− ≤ −

= ≥

(1.77)

sau, într-o scriere compactă( ) ( )2 1nx n u n= − − − (1.78)

X(z) este olomorfă într-un disc, ceea ce face ca semnalul corespunzătorsă fie anticauzal.


1.10. Calculaţi ( )( )

1 zZz a z b

− − −

pe rând cu z a< , a z b< < , z b< ,

dacă a<b.

Rezolvare

Este util să exprimăm transformata Z în fracţii simple.

( ) ( )( )1not z z zX z

z a z b a b z a z b = = − − − − − −

(1.79)

Ţinem cont de rezultatele obţinute la 6b,c şi( )( )

1 ,1 ,

n

n

a u n z azz a a u n z a

− > = − − − − < Z (1.80)

şi în mod similar( )( )

1 ,1 ,

n

n

b u n z bzz b b u n z b

− > = − − − − < Z (1.81)

Putem calcula acum x(n) ca fiind

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 ,

1 1 ,

1 ,

n n

n n

n n

a b u n z aa b

x n a u n b u n a z ba b

a b u n b za b

− − − − < −= − − − < < − + < −

(1.82)

1.11. Verificaţi liniaritatea, cauzalitatea, invarianţa în timp şi stabilitateapentru sisteme discrete cu următoarele relaţii intrare-ieşire:a) ( ) ( )2y n nx n= ;b) ( ) ( )2y n n x n= ;c) ( ) ( ) ( ) ( )1 1y n n x n nx n= − + − ;d) ( ) ( )4y n n x n= + ;e) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2y n x n y n y n= + − − − ;

f) ( )1

1 11 2 0.99z zH z

z z

−

− −

+=

− +.


Rezolvare

a) Sistemul nu este evident liniar (dependenţă parabolică).Deoarece răspunsul nu anticipează intrarea, sistemul este şi cauzal.Condiţia de invarianţă în timp este ca răspunsul sistemului la x(n-n0) să

fie y(n-n0), ceea ce nu este adevărat.Sistemul furnizează un răspuns mărginit, la intrare mărginită, deci este

stabil.b) Sistemul este liniar deoarece

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2n x n n x n n x n x nα β α β+ = + (1.83)

El nu este în schimb şi invariant în timp, deoarece( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )2 2

0 0 0 0 0y n n n n x n n T x n n n x n n− = − − ≠ − = − (1.84)Răspunsul nu anticipează intrarea, deci este respectată condiţia de

cauzalitate.În plus, sistemul este şi stabil.

c) Se verifică uşor că sistemul este liniar, cauzal, stabil şi variabil în timp.d) Sistemul este neliniar, deoarece

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 24 4n x n n x n n x n x nα β α β+ + + ≠ + (1.85)De asemenea, el nu este nici cauzal, deoarece ieşirea anticipează

intrarea (la n curent, sistemul foloseşte eşantionul de intrare n+4).Similar b), se arată că este variabil în timp şi stabil.

e) Sistemul este recursiv şi liniar. Este evidentă cauzalitatea, deoarece apareşantioane de intrare şi ieşire anterioare.

Funcţia de transfer este

( ) 1 21

1 2H z

z z− −=− +

(1.86)

Coeficienţii nu depind de timp, deci sistemul este SLIT.Funcţia de transfer are un pol dublu în z=1, deci chiar pe cercul unitate

şi nu îndeplineşte condiţiile de stabilitate.f) Sistemul este evident SLIT.

Stabilitatea sa este legată de poziţionarea polilor. Se poate scrie

( ) ( )( )2

1 1

11 1.1 1 0.9

zH z zz z

−

− −

+=

− −(1.87)

Cum există cel puţin un pol în afara cercului unitate (z=1.1), sistemuleste instabil.

Ecuaţiile cu diferenţe finite se pot scrie( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 0.99 2y n x n x n y n y n= + + − + − − − (1.88)

şi ieşirea anticipează răspunsul, sistemul nefiind cauzal.


1.12. Scrieţi ecuaţiile cu diferenţe finite corespunzătoare sistemului cufuncţia de transfer

( ) 1 11

1 1.6 0.63H z

z z− −=− +

(1.89)

Rezolvare

( )( ) ( ) 1 2

11 1.6 0.63

Y zH z

X z z z− −= =− +

(1.90)

Sau( ) ( ) ( ) ( )1 21.6 0.63Y z z Y z z Y z X z− −− + = (1.91)

de unde, trecând în domeniul timp şi folosind teorema întârzierii( ) ( ) ( ) ( )1.6 1 0.63 2y n x n y n y n= + − − − (1.92)

1.13. Calculaţi răspunsul sistemului cu funcţia pondere( ) ( ) ( ) ( )2 1 2h n n n nδ δ δ= − − + − (1.93)

la semnalele:

a) ( ) sin2 4

x n nπ π = +

;

b) ( )j

2n

x n eπ

= ;c) ( ) ( )x n u n= ;d) ( ) ( ) ( )8x n u n u n= − − .unde u(n) este treapta unitate.

Rezolvare

Vom calcula mai întâi funcţia de transfer a filtrului:( ) ( ){ } 21 2j j jH e TFTD h n e eω ω ω− −= = − + (1.94)

care mai poate fi pusă sub forma

( ) ( ) ( ) 22 2 cos 1 4sin2

j j j j j jH e e e e e eω ω ω ω ω ωωω− − − −= − + = − = − (1.95)

de unde identificăm caracteristica de amplitudine şi de fază a filtrului.


( ) 24sin2

jH e ω ω= (1.96)

( ){ }arg jH e ω π ω= − (1.97)a) Folosim metoda armonică sub forma

( ){ } ( ) ( ){ }( )0 00 0sin sin argj jT n H e n H eω ωω ω+ ϕ = + ϕ+ (1.98)

rezultă

( ) 2 2sin arg2 4

2sin 2cos2 4 2 2 4

j jy n H e n H e

n n

π ππ π

π π π π π

= + + = = + + = +

(1.99)

b) Folosim metoda armonică sub forma{ } ( )0 0 0jn j jnT e H e eω ω ω= (1.100)

şi obţinem

( ) 2 22 2 22 2j nj jn jn

y n H e e je eπ ππ π π +

= = =

(1.101)

c) Folosim metoda transformatei Z

( ) ( ) ( ) ( )1 2 11

11 2 11

Y z H z X z z z zz

− − −−= = − + = −

−(1.102)

rezultând( ) ( ) ( )1y n n nδ δ= − − (1.103)

d) Procedând similar cu c), deducem

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

81 2

1

1 8 1 8 9

11 21

1 1 1

zY z H z X z z zz

z z z z z

−− −

−

− − − − −

−= = − + =

−= − − = − − +

(1.104)

cu soluţia( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 8 9y n n n n nδ δ δ δ= − − − − + − (1.105)


1.14. Se dă filtrul având funcţia pondere: ( ) ( ) ( )0sinnh n r n u nω= , unde

0 4πω = şi Fs=16kHz.

a) Calculaţi H(z);

b) Verificaţi stabilitatea filtrului pentru 1 , 22

r ∈

;

c) Reprezentaţi diagrama poli-zerouri pentru 1 , 22

r ∈

;

d) Reprezentaţi h(n) pentru 1 , 22

r ∈

;

e) Scrieţi ecuaţiile cu diferenţe finite;

f) Calculaţi atenuarea introdusă de sistem când 12

r = la

{ }[ ]0,4,8,24F kHz∈ .

Rezolvare

a) Se pleacă de la definiţia transformatei Z:

( ) ( ) n

nH z h n z

∞−

=−∞

= ∑ (1.106)

Ţinând cont de suportul temporal al răspunsului la impuls, avem

( ) ( )0 0j j0

0 0

1sin2j

n nn n n n

n nH z r n z r e e zω ωω

∞ ∞−− −

= =

= = −∑ ∑ (1.107)

Separând cele două sume, identificăm sumele a două progresii geometrice:

Fiecare din cele două serii este convergentă dacă raţia este subunitară înmodul:

0j 1 1re zω − < , respectiv 0j 1 1re zω− − < . (1.108)În aceste condiţii

( )0 0j j1 1

1 1 1 12j1 2j1

H zre z re zω ω−− −= −

− −(1.109)

După prelucrări

( )1

01 2 2

0

sin1 2 cos

r zH zr z r z

ωω

−

− −=− +

(1.110)

care este convergentă pentru z r> .


b) H(z) este stabil dacă domeniul de convergenţă z r> include cerculunitate 1z = . Rezultă că el va fi stabil dacă 1r < şi instabil dacă 1r ≥ .

Dacă 12

r = , sistemul va fi stabil, iar dacă 2r = , sistemul va fi instabil.

c) Se scrie

( ) 02 2

0

sin2 cosr zH z

z r z rωω

=− +

(1.111)

şi se observă că există un singur zerou: 0 0z = şi doi poli, rădăcini ai ecuaţiei2 2

02 cos 0z r z rω− + = , deci 01,2

jp re ω±= .Condiţia de stabilitate a sistemelor discrete, liniare este ca toţi polii să

fie incluşi în interiorul cercului unitate, deci 1,2 1 1p r< ⇔ < ceea ce este înconformitate cu rezultatul anterior.

Verificarea se poate face cu mediul Matlab, folosind instrucţiunile:

w0=pi/4;r=1/sqrt(2);b=[0,r*sin(w0)];%numaratorul lui H(z)a=[1,-2*r*cos(w0),r^2];%numitorul lui H(z)figure,zplane(b,a)%diagrama poli-zerouri

Rezultă figura de mai jos

Figura 1.16


Pentru 2r = , prelucrând corespunzător instrucţiunile, rezultă:

Figura 1.17

Se verifică amplasarea polilor în planul complex Z.

d) Reprezentarea h(n) se poate face folosind de asemenea mediul Matlab.

Pentru 12

r = :

r=1/sqrt(2);b=[0,r*sin(w0)];a=[1,-2*r*cos(w0),r^2];h=impz(b,a,30);--raspunsul la impulsfigure,stem(h),grid

Figura 1.18


Pentru 2r = , avem în mod similar

Figura 1.19

Se observă tendinţa de instabilitate în cazul al doilea (creştere explozivăa răspunsului la impuls în timp). De altfel, condiţia de stabilitate pentru un

SLIT este echivalentă cu ( )n

h n∞

=−∞

< ∞∑ , ceea ce se verifică numai pentru

1r < .

e) Notăm cu x(n) intrarea în sistem şi cu y(n) semnalul de ieşire, respectivtransformatele lor Z: ( ) ( ){ }Y z Z y n= şi ( ) ( ){ }X z Z x n= .

Atunci:

( ) ( )( )

10

1 2 20

sin1 2 cos

Y z r zH zX z r z r z

ωω

−

− −= =− +

, (1.112)

de unde rezultă( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

0 0sin 2 cosY z r z X z r z Y z r z Y zω ω− − −= + − (1.113)

În condiţii iniţiale nule, ţinând cont că ( ){ } ( )1 kZ z F z f n k− − = − , rezultăimediat

( ) ( ) ( ) ( )20 0sin 1 2 cos 1 2y n r x n r y n r y nω ω= − + − − − (1.114)

f) Când 12

r = ,

( )1

1 2

12

112

zH z

z z

−

− −=

− +. (1.115)


Cercul unitate este conţinut în domeniul de convergenţă şi atunci( ) ( ) j

jz eH e H z ω

ω=

= , iar atenuarea introdusă la o anumită frecvenţă absolutăeste:

( )j2

20lg s

FFa F H e

π = −

(1.116)

La F=0,

( ) ( )( ) ( )( )j010 20lg 20lg 0za H e H z dB== − = − = (1.117)

deoarece ( ) 1 1zH z = = .La F=4kHz,

( ) ( )( )j2

j

j24 20lg 20lg 20lg 812

za kHz H e H z dB

j

π

=

−

= − = − = − = +

(1.118)

La F=8kHz,

( ) ( )( ) ( )( )j1

128 20lg 20lg 20lg 14122

za kHz H e H z dBπ

=−

−

= − = − = − = +

(1.119)

Funcţia de transfer a filtrului este periodică cu perioada dată defrecvenţa de eşantionare Fs. De aici rezultă că

j2 j2,

s

s s

F kFFF FH e H e k

π π + = ∈

Z (1.120)

Prin urmare, atenuarea la frecvenţa de 24kHz va fi( ) ( ) ( )24 24 16 8 14a kHz a kHz a kHz dB= − = = (1.121)

1.15. Să se proiecteze un rezonator de ordinul II, având polii complexconjugaţi e jr θ±

( ) ( )( )1 11 1j j

GH zre z re zθ θ− − −

=− −

, (1.122)

cu θ=π/4, câştig maxim unitar şi banda la 3dB egală cu 0.05.


Rezolvare

Din ipoteză,( ) 1jH e θ = (1.123)

Cum

( ) 2 21 2 cosj

j jGH e

r e r eω

ω ωθ − −=− +

(1.124)

şi

( ) 21

1 1j

j

GH er re

θθ

= =− −

(1.125)

avem( ) 21 1 2 cos2G r r rθ= − − + (1.126)

Mai departe, banda rezonatorului este( )3 2 1dBB r≈ − (1.127)

(demonstraţi de ce!)şi deci

2 0.051 0.8432

r π= − = (1.128)

iar 0.205G = .

1.16. Se consideră un SLIT cauzal care furnizează ieşirea, în urma efectuăriimediei aritmetice între eşantionul de intrare curent, a celui de la tactul anteriorşi a eşantionului de ieşire de la tactul anterior.a) Găsiţi ecuaţia cu diferenţe finite;b) Găsiţi H(z);c) Este filtrul stabil?d) Trasaţi caracteristicile de amplitudine şi de fază folosind Matlab;e) Calculaţi h(n).

Rezolvare

a) Ecuaţia cu diferenţe finite rezultă

( ) ( ) ( ) ( )1 13

x n x n y ny n

+ − + −= (1.129)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 13 3 3

y n y n x n x n− − = + − (1.130)


b) Funcţia de transfer rezultă din aplicarea transformatei Z relaţiei de mai sus.

( ) ( ) ( ) ( )1 11

3 3 3z zY z Y z X z X z− −

− = + (1.131)

( ) ( )( )

1

1

1 11313

Y z zH zX z z

−

−

+= =

−(1.132)

c) Singurul pol apare ca rădăcină a polinomului de la numitor: zp=1/3, demodul subunitar. Prin urmare filtrul este stabil.

d) Instrucţiunile Matlab sunt

b=[1/3,1/3];a=[1,-1/3];figure,freqz(b,a)

Figura 1.20.

e) Scriem( ) ( ) ( )H z A z B z= (1.133)

cu ( )1

1113

A zz−

=−

şi ( ) ( )11 13

B z z−= + . (1.134)

Se ştie că pentru un sistem cauzal

( ) ( )13

n

a n u n =

(1.135)

şi în mod evident


( ) ( ) ( )1 1 13 3

b n n nδ δ= + − (1.136)

rezultând

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 13 3

h n a b n a n a n= ∗ = + − (1.137)

Avem

( ) ( ) ( )11 1 1

3 3

n n

h n u n u n+

= + −

(1.138)

Pentru n<0, h(n)=0.Pentru n=0, h(n)=1/3.

Pentru n>0, ( )11 1 11 4

3 3 3

n n

h n+

= + =

.

Figura 1.21.

Probleme propuse

1.17. La problema 1.1, reprezentaţi semnalul analogic de la ieşirea filtrului dereconstituire, dacă acesta din urmă reprezintă un interpolator liniar (ordinul 1)care are funcţia pondere

( ) [ ]1 , 0,2

0, in rest

ss

s

t Tt T

h t T −− ∈=

(1.139)

Reprezentaţi modulul funcţiei de transfer şi comparaţi performanţeleacestui interpolator cu cel de ordin 0.


1.18. Se dă sistemul ( ) z aH zz−

= cu 0<a<1.

a) Să se arate că sistemul este un FTS şi găsiţi atenuarea relativă la frecvenţejoase;

b) Să se demonstreze că sistemul defazează în sens trigonometric toatecomponentele spectrale.

1.19. Transformata Z a unui semnal x(n) este în fapt o serie Laurent:

( ) ( ) n

nX z x n z

∞−

=−∞

= ∑ (1.140)

a) Să se arate că în cazul general, această serie este convergentă într-ocoroană circulară R z R− +< < şi evaluaţi cele două limite;

b) Să se arate că în cazul unui semnal cauzal R+ = ∞ (convergenţă deexterior);

c) Să se arate că în cazul unui semnal anticauzal 0R− = (convergenţă deinterior);

d) Să se arate că în cazul în care ( ) ( )*x n x n= − , 1RR+−

= .

Indicaţie

O serie complexă ( )0na n

∞

=∑ este convergentă dacă şi numai dacă ( )

1lim 1n

nna

→∞< .

În cazul lui X(z), suma se poate descompune în două serii (una pentru n<0 şicealaltă pentru 0n ≥ ), fiind necesar şi suficient ca ambele serii să fieconvergente astfel ca X(z) să fie olomorfă. Se aplică criteriul de mai suspentru fiecare din cele două serii.Dacă semnalul este (anti)cauzal, una din cele două serii dispare şi se deduce osingură inegalitate pentru z .

1.20. Se dă sistemul cauzal ( ) 1zH zz a+

=−

, la intrarea căruia se aplică

( ) cos2

nx n π =

şi se remarcă faptul că la ieşire semnalul obţinut este în

cuadratură cu cel de la intrare. Să se găsească a, precum şi amplitudineasemnalului de la ieşire.


1.21. Reprezentaţi caracteristica de amplitudine a filtrului caracterizat deecuaţia intrare-ieşire

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.5 1 2 1 2y n y n x n x n x n= − + + − + − (1.141)

1.22. Se dă sistemul liniar cu ecuaţia recurentă( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 2 3y n x n x n x n x n= − − + − − − (1.142)

a) Să se calculeze funcţia de transfer şi să se reprezinte grafic caracteristicilede amplitudine şi fază;

b) Care este răspunsul filtrului la ( )1 10 4cos2

nx n π = +

, ( ) ( )2x n nδ= ,

( ) ( )3 3 10 4cos2

nx n n πδ = − + +

?

1.23. Proiectaţi un filtru de ordin minim care să aibă coeficienţi reali şi săprezinte rejecţii la frecvenţele normate 0, 0.25.

Indicaţie

Condiţiile se pun ( ) 0, 0,2

jH e θ πθ = ∈

, prin urmare funcţia de

transfer va avea zerouri la aceste frecvenţe şi în factorizarea lui H(z) vorapărea termenii ( )( )1 21 11 1j je z e zθ θ− −− − . Condiţia ca filtrul să aibă coeficienţireali impune ca zerourile complexe să apară în perechi complex conjugate.

1.24. Se dă filtrul cu ecuaţia intrare-ieşire

( ) ( )n

ky n x k

=−∞

= ∑ (1.143)

a) Calculaţi funcţia pondere a sistemului, h(n);b) Calculaţi H(z);c) Evaluaţi zerourile şi polii acestui sistem;d) Caracerizaţi sistemul din punct de vedere al cauzalităţii şi stabilităţii;e) Trasaţi caracteristicile de amplitudine şi fază.


Indicaţie

Remarcaţi că( ) ( ) ( )1y n y n x n= − + (1.144)

1.25. Calculaţi răspunsul la impuls al unui SLIT care implementează funcţialui Fibonacci

( ) ( ) ( )1 2y n y n y n= − + − (1.145)

1.26. Trasaţi caracteristicile de amplitudine şi fază pentru un filtrucaracterizat de ecuaţiile cu diferenţe finite

( ) ( )0

NkN

ky n C x n k

=

= −∑ (1.146)

IndicaţieSe va aplica operatorul Z{} relaţiei de mai sus şi se formează un binom

Newton sub forma (1+z-1)N.

1.27. Verificaţi dacă sistemele caracterizate de următoarele ecuaţii cudiferenţe finite sunt liniare, stabile, cauzale, respectiv invariante în timp:a) ( ) ( )2y n x n= − ;

b) ( ) ( )x ny n e= ;c) ( ) ( ) ( )y n x n u n= ;d) ( ) ( ) ( )y n x n w n= . Discuţie după w(n);e) ( ) ( )y n x n= − .

1.28. Se dă un SLIT şi legătura între TFTD ale intrării şi ieşirii:

( ) ( ) ( ) ( )4 20.5j

jj j j j

dX eY e X e e X e X e

d

ωπωω ω ω ω

ω

− −

= + − +

(1.147)

a) Deduceţi ecuaţia intrare-ieşire în domeniul timp;b) Este sistemul liniar, stabil, invariant în timp?c) Calculaţi funcţia pondere.


Indicaţie

Se vor folosi:- teorema întârzierii ( ){ } ( )0

0jn jTFTD x n n e X eω ω−− =

- teorema modulaţiei ( ){ } ( )( )00 jjnTFTD x n e X e ω ωω −=

- teorema derivării în frecvenţă ( ){ } ( )j

jdX e

TFTD nx nd

ω

ω− =

1.29. Trasaţi caracteristicile de amplitudine şi fază pentru următoarelesemnale:a) ( ) ( ) ( )1x n u n u n N= − − (fereastra dreptunghiulară);

b) ( ) ( ) ( )2 12 11 cos

2x n n x n

Nπα α

= − − + (fereastra Hamming).

Indicaţie

Este utilă scrierea

( ) ( )2 1 2 1j j

2 22 1

12

n nN Nx n e e x nπ παα + − +

− = − +

(1.148)

şi după prelucrări

( ) ( ) ( ) ( )2 2j j -j -j

2 1 1 11 1

2 2n n

N N N Nx n x n e e x n e e x nπ π π πα αα − −

= − − (1.149)

Se aplică TFTD relaţiei anterioare şi se foloseşte mai departe teoremaliniarităţii TFTD. Totodată se mai ţine cont că

( )22 jj

1 1

n NNTFTD x n e X eππ ω

±

=

∓(1.150)

CAPITOLUL 1. SEMNALE ŞI SISTEME DISCRETE · Capitolul 1 – Semnale şi sisteme discrete 3 Aşadar...

Documents

Transcript of CAPITOLUL 1. SEMNALE ŞI SISTEME DISCRETE · Capitolul 1 – Semnale şi sisteme discrete 3 Aşadar...