CALCULO DE VARIACIONESTarea 13 Para hacer en vacaciones. Ponemos las respuestas en la pagina a mas

tardar el 8 de enero.

1. Las geodesicas en la esfera de radio R corresponden a extremales del fun-cional

J(φ) =

∫ θ1

θ0

√1 + sen2 θφ′2 dθ,

donde φ es el angulo polar, θ es el angulo azimutal y φ′ denota dφ/dθ.Muestre que J satisface la condicion de Legendre fy′y′ ≥ 0.

2. Sea

J(y) =

∫ x1

x0

1 + y2

y′2dx.

Suponga que J tiene un extremo local en y. Use la condicion de Legendrepara determinar la naturaleza del extremo.

3. Derive la ecuacion de Riccati asociada con el funcional

J(y) =

∫ `

0

(y′2 − y2) dx.

Resuelva la ecuacion de Riccati directamente y muestre que no hay solu-ciones w definidas para toda x ∈ [0, `] si ` > π.

4. Seaf(x, y, y′) = y′2 − y′y + y2.

Muestre usando argumentos elementales que δ2J(η, y) ≥ 0 para todaη ∈ H. Derive la ecuacion accesoria de Jacobi y muestre resolviendo estaecuacion que cualquier solucion no trivial u puede tener a lo mas un cero.

5. Suponga que f no depende explicitamente de y y que f satisface la con-dicion estricta de Legendre a lo largo de un extremal y(x). Pruebe que nohay puntos conjugados a x0.

6. Sea

J(y) =

∫ π/4

0

(y2 − y′2 − 2y coshx) dx.

Encuentre extremales para J y muestre que para el problema con extremosfijos los extremales son maximos locales debiles.

7. Sea

J(y) =

∫ x1

x0

y′(1 + x2y′) dx

con x0 < x1. Encuentre los extremales de J y la solucion general de laecuacion accesoria de Jacobi. Encuentre los puntos conjugados a x0 siexisten y determine la naturaleza de los extremales para el problema conextremos fijos.

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