Econometrıa I

Tema 2: El model de regresion simple

Guıa de respuestas para algunos ejercicios

3. a.

β1 =

∑4i=1(xi − x)(yi − y)∑4

i=1(xi − x)2=−2, 5 · 0 + (−1, 5) · (−1) + 1, 5 · 1 + 2, 5 · 0

(−2, 5)2 + (−1, 5)2 + (1, 5)2 + (2, 5)2

=3

17≈ 0, 1765

β0 = y − β1x = 2− 3

17· 2, 5 ≈ 1, 5588

b.

β = (X ′X)−1X ′y =

[1 1 1 10 1 4 5

]1 01 11 41 5

−1 [

1 1 1 10 1 4 5

]2132

=

[42/68 −10/68−10/68 4/68

] [823

]≈[1, 55880, 1765

]c. Observamos que ui = yi − β0 − β1xi. Entonces,

u1 = 0, 4412

u2 = −0, 7353

u3 = 0, 73553

u4 = −0, 4412

o

u = y− y = y−Xβ =

2132

−

1 01 11 41 5

[1, 55880, 1765

]=

2132

−

1, 55881, 73522, 26482, 4413

=

0, 4412−0, 73530, 7353−0, 4412

d.∑4

i=1 ui = 0, 4412− 0, 7353 + 0, 7353− 0, 4412 = 0.

4. Tenemos el siguiente modelo:

yi = β0 + ui i = {1, ..., n}

1

a. Tenemos un parametro: β0Tenemos un regresor: constante.Las observaciones de y tienen un componente fijado, comun, y uno aleatorio. Estemodelo de regresion supone que E(yi) = β0 ∀i. Es decir, que en promedio, elvalor de y es siempre el mismo.

b. Derivacion del estimador MCO del parametro β0:

Minβ0

SRC =n∑i=1

u2i =n∑i=1

(yi − β0)2 =n∑i=1

(y2i − 2β0yi + β02)

=n∑i=2

y2i − 2β0

n∑i=2

yi + nβ20

Condiciones de primer orden:

∂SRC

∂β0= −2

n∑i=1

yi + 2n·β0 → −2n∑i=1

yi + 2nβ0 = 0

n·β0 =n∑i=1

yi

β0 =

n∑i=1

yi

n= y

No es un resultado inesperado, ya que β0 = E(y). Por tanto, podemos ver que lamedia muestral, y, se puede interpretar como un estimador MCO en el contextode un modelo de regresion con solo un regresor constante.

c. Reescribimos las variables en forma vectorial:

y =

y1y2...yn

n×1

X =

11...1

n×1

i u =

u1u2...un

n×1

d. Usando algebra matricial:

β = β0 = (X ′X)−1X ′y

=

[1 1 . . . 1]

11...1

−1

·[1 1 . . . 1

]y1y2...y2

=

1

n·

n∑i=1

yi = y

Se obtiene exactamente el mismo resultado.

2

5. Tenemos el siguiente modelo:

yi = β1·xi + ui i = 1, ..., n

a. Tenemos un parametro: β1Tenemos un regresor: xSegun el modelo E(y|xi) = β1·xi. Es decir, el valor esperado de y dado xi varıaen funcion de xi. No es constante.

b. Igual que en la segunda pregunta, escribimos el problema de minimizacion paraderivar el estimador MCO de β1.

Minβ1

SRC =n∑i=1

u2i =n∑i=1

(yi − β1·xi)2 =n∑i=1

(y2i − 2β1xiyi + β12x2i )

=n∑i=2

y2i − 2β1

n∑i=2

xiyi + β21

n∑i=2

x2i

Condiciones de primer orden:

∂SRC

∂β1= −2

n∑i=1

yixi + 2·β1n∑i=1

x2i → −2n∑i=1

yixi + 2·β1n∑i=1

x2i = 0

Ası:

β1 =

n∑i=1

yixi

n∑i=1

x2i

c. En notacion matricial:

y =

y1y2...yn

n×1

X =

x1x2...xn

n×1

i u =

u1u2...un

n×1

d. Usando algebra matricial:

β = β1 = (X ′X)−1X ′y

=

[x1 x . . . xn]x1x...xn

−1

·[x1 x . . . xn

]y1y2...y2

=

1∑ni=1 x

2i

·n∑i=1

xiyi

El cual es el mismo que tenemos en el apartado (b).

3

6. Es facil ver que esta muestra no contiene ninguna informacion sobre como los cambiosen x se relacionan con cambios en y. Efectivamente, fijemonos que dado que xi = 3∀i,x = 3. Entonces

7∑i=1

(xi − x)2 = 0

y consecuenmente,

β1 =

7∑i=1

(xi − x)(yi − y)

7∑i=1

(xi − x)2

es indeterminado, no esta unicamente definido, y consecuentmente, lo mismo sucedecon β0.

7. a. Es facil deducir que si x∗i = ax, entonces x∗ = ax, y :

β1∗

=

∑ni=1(x

∗i − x∗)(yi − y)∑n

i=1(x∗i − x∗)2

=

∑ni=1 a(xi − x)(yi − y)∑n

i=1 a2(xi − x)2

=a

a2

∑ni=1(xi − x)(yi − y)∑n

i=1(xi − x)2=

1

aβ1

β∗0 = y − β1∗x∗ = y − 1

aβ1ax = β0

Ası, tal com esperavem, si cambiamos las unidades de medida del regresor, la es-timacion por MCO de β0 no cambia. Solo cambia, equivalentmente, la estimacionde β1.

b.

X∗ =

1 ax1...

...1 axn

=

1 x1...

...1 xn

· [1 00 a

]= X · A on A ≡

[1 00 a

]

β1∗

= (X∗′X∗)−1X∗′y

= ((X ·A)′(X ·A))−1(XA)′y

= (A′X′XA)−1A′X′y

= A−1(X′X)−1(A′)−1A′X′y

= A−1(X′X)−1X′y

= A−1β =

[1 00 a

]−1 [β0β1

]=

[1 00 (1/a)

] [β0β1

]=

[β01aβ1

].

Obtenemos el mismo resultado que en la pregunta (a).

4

8. a. Grafico de las observaciones:

10

20

30

40

50

60

70

80

10 20 30 40 50 60Y

X

b. Utilizando algebra matricial:

X =

1 66, 521 30, 481 67, 501 10, 671 51, 661 48, 971 60, 251 36, 991 25, 671 37, 42

10×2

X ′X =

[10 435, 12

435, 12 22015, 09

]2×2

(X ′X)−1 =

[0, 714 −0, 014−0, 014 0, 0003

]2×2

X ′y =

[453, 90

22584, 15

]2×1

Entonces:

β = (X ′X)−1X ′y =

[5, 3770, 919

]2×1

Los resultados han de coincidir con los dados en el apartado anterior.

c. Comprobacion:

5

d.

R2 =SEC

STC=

10∑i=1

(yi − y)2

10∑i=1

(yi − y)2

=(2606, 19)

(2856, 58)= 0, 9123

R2 = 1− SRC

STC= 1−

10∑i=1

ui2

10∑i=1

(yi − y)2

= 1− (250, 62)

(2856, 58)= 0, 9122

9. a. Modelo:Gi = β0 + β1·H i + ui

El parametre β1 representa como cambios en una hora de estudi se relacionan convariaciones en la nota. El parametre β0 capta aquella parte de la nota que enpromedio tiene todo estudiante independentmente de las horeas de estudio. Lapertorbacion capta todos los otros factores que, al margen de las horas d’estudio,afectan a la nota del estudiante (por ejemplo: nivel cognitivo).

b. Estimacion MCO:

Gi = 1, 028 + 0, 267·Hi R2 = 0, 45

1,028 serıa la nota esperada independentmente de las horas de estudio. A estanota hay que anadir la parte relacionada con las horas de estudio.

0,267 serıa el aumento en la nota esperada por cada hora de estudio adicional.

c. La nota esperada en el caso de estudiar durante 20 horas:

Gi = 1, 028 + 0, 267·(20) = 6, 37

Entonces, un estudiante que estudia 20 horas tiene una nota esperada de 6,37.

6

10. a. Guion de comandos de Gretl:

b. Plot de las 80 observaciones generadas:

-20

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30

y

x

Las observaciones muestran la presencia de una relacion no determinista entre yy x. Tambien indican correctamente la presencia de una relacion positiva entrelas dos.

-20

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30

y

x

y versus x (with least squares fit)

Y = 6.37 + 2.25X

Fijemonos que dado que conocemos el mgd podemos decir que con esta muestrahabrıamos subestimado el parametro β0 y sobreestimado el parametro β1.

c. Si el mecanismo de generacion de datos tiene menos ruido, las muestras que segeneren tendran menos dispersion. Fijemonos que en este caso:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30

y

x

7

11. a. Guion y grafico:

b. Estimaciones por MCO:

c. Esta muestra hace sobreestimar β0 y subestimar β1, dado que β0 = 2, 95 > 2 yβ1 = 0, 48 < 0, 5.

d. 10.000 estimaciones. Una por cada muestra

e. Con cada muestra obtendrıamos una estimacion del parametro β1, ası con 10000muestras, habrıamos obtenido 10000 estimaciones de este parametro.

f. Guion de instrucciones para generar 10000 muestras de 30 observaciones cada unay que comparten las mismas observaciones de la variable x2.

g. La media de las 10000 estimaciones MCO obtenidas del parametro β2 se puedever despues de ejecutar el guion, al final de la ventana de resultados del guion.Alternativamente, tambien podemos ver esta media abriendo el fichero en el cualse han guardado estas estimaciones, b1est.gdt y pidiendo ver los estadısticos prin-cipales.

¯β1 =

1

10000

10000∑j=1

β1(j) = 0.501 ' 0, 5

8

Fijemonos que la media de estas estimaciones es muy cercana al valor real delparametro β1 = 0, 5. Esto es lo que esperabamos dado que en este contexto elestimador MCO es condicionalmente insesgado, es decir:

E(β1/xi) = β1 .

h. Estimacion de la funcion de densidad de β1 con las 10000 estimaciones MCO:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

Densi

ty

b1

b1N(0.50029,0.054981)

Test statistic for normality:Chi-square(2) = 0.222 [0.8951]

De nuevo, es lo que esperabamos, ya que sabemos que bajo los supuestos clasicos,la distribucion condicionada del estimador MCO es una normal, centrada entornodel parametro correcto.

i. Podemos ilustrar que, bajo los supuestos clasicos, el estimador MCO es condi-cionalmente insesgado. Tal y como hemos indicado anteriormente:

E(β1/xi) = β1 .

Tambien fijemonos que su distribucion es bastante simetrica y en forma de cam-pana entorno del valor correcto del parametro. Ası, el experimento tambien sirvepara ilustrar que bajo los supuestos clasicos + normalidad de las perturbaciones,sabemos que sigue una distribucion normal:

β1/xi ∼ N(β1, σ2(X ′X)−122 ).

Por tanto, dado el mgd(1):

β1/xi ∼ N(0.5, 81(X ′X)−122 ).

Fijemonos que con la ayuda de Gretl podrıamos encontrar (X ′X)−122 , asociado aeste experimento.

j. Si en lugar de 10000 muestras, tuvieramos todas las posibles muestras, entoncesobtendriamos la funcion de densidad condicionada de β1. El grafico de esta funcionde densidad serıa:

9

12. a. El output de la estimacion es:

b. A mayor crecimiento economico esperamos en general un mayor crecimiento dela ocupacion, por tanto esperamos un signo positivo de β1. Dado que las vari-ables ya estan expresadas en porcentajes, podemos decir que si un paıs presentaun crecimiento economico un punto mas alto (1% mas), esperemos que su tasaade ocupacio sea 0,49 puntos mas alta (es decir un 0,49% mas grande). Inter-pretar la estimacio del parametro β1 en terminos del efecto que gdp tiene sobreemployment, solo se puede hacer bajo el supuesto de que el regresor gdp y la per-turbacion no estan correlacionados. Es decir, bajo el supuesto de que la variacionde gdp dentro de la muestra se ha producido en condiciones ceteris paribus.

c. El coeficiente de determinacion es R2 = 0, 59. Ası, el 59% de las diferencias encrecimiento de la ocupacion observadas entre los paıses de la muestra se puederelacionar a las diferencias entre su crecimiento economico.

d.employmenti = −0, 5458

(0,274)

+ 0, 48(0,085)

gdpi R2 = 0, 59

e. Plot de las observaciones y la recta ajustada por MCO:

10

13. a. El paıs con la mayor esperanza de vida es Andorra, y la menor Mozambique. Elpaıs con la renya mas grande es Luxembourg, y con la mas pequena son SierraLeone y Somalia. La renta media es 10.051 dolares.

b. Graficos:

Podemos observar que la relacion parece que no es lineal, tiene una forma concava.

30

40

50

60

70

80

90

6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11

LE

l_R

Ahora en cambio, con la transformacion logarıtmica hecha sobre R, la relacionparece mas lineal. Por tanto, tiene mucha mas sentido plantear el modelo deregresion con estas variables, tal como estan inicialmente en el modelo propuestoen la pregunta.

c. El parametro β1es una semi-elasticidad, que asocia las variaciones de la renta percapita (en forma de tasa) con las variaciones de la esperanza de vida. Esperamosque esta relacion sea positiva.

d. Estimaciones MCO:

e. Guion:

11

Output:

f. Recta de regresion:

LE = −2, 92(4,31)

+ 8, 035(0,498)

ln(Ri) R2 = 0, 59

g. Grafico:

30

40

50

60

70

80

90

6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11

LE

l_R

LE versus l_R (with least squares fit)

Y = -2.92 + 8.04X

12

h. Dado que β1 es una semi-elasticidad podemos decir que una renta per capita un1% mas grande se asocia con una esperanza de vida, en promedio, β1 anos masgrande.

i. R2 = 0, 59. La expresion es:

R2 =SEC

STC=

180∑i=1

(LEi − LE)2

180∑i=1

(LEi − LE)2

j. β1 nos indica que cuando la renta incrementa en un 1% la esperanza de vidaincrementa en 0,08035 anoss. Es decir:

4LE = β1 · 4ln(R) = 8, 035 · 0, 01 = 0, 08035

k. LE|ln(R) = −2, 92 + 8, 035 · ln(R). Por tanto en este caso, para una renta de15.000 dolares, la estimacion de la esperanza de vida serıa una edad de 74,34 anos.

l. Esta regresion nos servirıa para ver la asociacion entre las dos variables, pero nopara medir el efecto causal.

16. a. Output:

b. La propension marginal a consumir es 0,7836. Es decir, por cada euro de rentaadicional las familias gastan 0,7836 centimos de mas, en promedio. La bondad deajuste es R2 = 0, 44 , es decir, las diferencias en gasto entre los hogares se puederelacionar en un 44% por las diferencias en su renta.

c. Grafico:

0

50000

100000

150000

200000

250000

0 50000 100000 150000 200000

GA

STO

INGRESOS

13

Podemos ver la relacion positiva entre las dos variables, pero con una dispersioncreciente.

14