Control 4, MA-1001 Introduccion al calculoEscuela de Ingenierıa, FCFM, U. de Chile

Semestre 2011/1 (7 de Mayo)

Problema 1a) En el triangulo ABC de la figuraM es el puntomedio del lado BC. Usando el teorema del senoen los triangulos ABM y AMC, demuestre que

cotg(δ) = 2cotg(α) + cotg(β).

b) Encuentre todas las soluciones de la ecuaciontrigonometrica

cos2(x) + cos2(2x) + cos2(3x) =3

2

a

2

B

β

M

δ

A

α

C

d

a

2

Indicacion: En la ecuacion, es conveniente usar (sin demostrar) las identidades

cos2 α =1 + cos 2α

2cos β + cos γ = 2 cos(β+γ

2) cos(β−γ

2)

Problema 2En este problema usted demostrara que todo conjunto A acotado inferiormente y no vacıo poseeınfimo, el cual se relaciona con el supremo de −A, donde

−A ={y = −x : x ∈ A

}.

Para ello se pide lo siguiente

a) Considere el caso particular A = (−1, 0]∪ [1,+∞). En este caso, encuentre −A, sup(−A) e inf(A).

b) Demuestre que en el caso general, solo sabiendo que A es no vacıo y acotado inferiormente, entoncesel conjunto −A es acotado superiormente y posee supremo.

c) Demuestre que si c es una cota superior arbitraria de −A, entonces −c es cota inferior de A.

d) Demuestre que si s = sup(−A) entonces −s es ınfimo de A. Con esto habra demostrado quecuando A es no vacıo y acotado inferiormente siempre existe su ınfimo.