Μαθηματικά

και Στατιστικη

στην Βιολογια

ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (1ο ) 

Mathematics

and Statistics

in Biology

WINTER SEMESTER (1st) 

Τμημα Βιολογιας

Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης 

School of Biology

Aristotle University of Thessaloniki 

 

2. Πιθανοτητες Iωαννης Αντωνιου Χαραλαμπος Μπρατσας

iantonio@math.auth.gr cbratsas@math.auth.gr 

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε Αδεια Χρήσης Creative Commons 

Σκοπος ‐ Περιεχομενο Πως Οριζεται η Πιθανοτητα Γεγονοτων Πιθανολογειν. Στοιχηματα   Πιθανότητα  

  Μεταβλητές και Διαμέριση του Δειγματοχώρου 

  Κοινη Παρατηρηση Μεταβλητων 

        Συνδυαστική. Η Τεχνη της Απαριθμησης χωρις Μετρηση 

  Πιθανότητα ως Συχνότητα 

  Πιθανότητα Κolmogorov 

  Αλγεβρα Boole Γεγονοτων

Πως Οριζεται η Εξαρτηση Γεγονοτων  Δεσμευμένη Πιθανότητα   Εξαρτημενα Γεγονότα και Ανεξάρτητα Γεγονότα 

  Εξαρτημενες Μεταβλητες και Ανεξαρτητες Μεταβλητες   

  Θεώρημα Bayes 

ΠΙΘΑΝΟΤΗΣ  ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΑ Πιθανόω= καθιστώ πειστικό  

                          Πιθανός = πειστικός, από το πειθώ  

                          Πιθανουργία = η τέχνη του πείθειν  

Αριστοτελης Ρητορικη Βιβλιο 1, Κεφαλαιο 2  

Πιθανότης Κατά Ειμαρμένης  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ἔστιν οὖν ὁ Πυρρώνειος λόγος μήνυσίς τις τῶν φαινομένων  

ἢ τῶν ὁπωσοῦν νοουμένων, καθ' ἣν πάντα πᾶσι συμβάλλεται  

καὶ συγκρινόμενα πολλὴν ἀνωμαλίαν καὶ ταραχὴν ἔχοντα εὑρίσκεται,  

καθά φησιν Αἰνεσίδημος ἐν τῇ εἰς τὰ Πυρρώνεια ὑποτυπώσει.  

πρὸς δὲ τὰς ἐν ταῖς σκέψεσιν ἀντιθέσεις προαποδεικνύντες  

καθ' οὓς τρόπους πείθει τὰ πράγματα, κατὰ τοὺς αὐτοὺς ἀνῄρουν τὴν περὶ αὐτῶν πίστιν·  

πείθειν γὰρ τά τε κατ' αἴσθησιν συμφώνως ἔχοντα καὶ τὰ μηδέποτε ἢ σπανίως γοῦν μεταπίπτοντα τά τε  

συνήθη καὶ τὰ νόμοις διεσταλμένα καὶ  τέρποντα καὶ τὰ θαυμαζόμενα.  

εδείκνυσαν οὖν ἀπὸ τῶν ἐναντίων τοῖς πείθουσιν ἴσας τὰς πιθανότητας.  

[Διογενης Λαερτιος 10 Πυρρων 94]  

 

Τό τε πεῖθον οὐχ ὑποληπτέον ἀληθὲς ὑπάρχειν·  

οὐ γὰρ πάντας τὸ αὐτὸ πείθειν οὐδὲ τοὺς αὐτοὺς συνεχές.  

γίνεται δὲ καὶ παρὰ τὰ ἐκτὸς ἡ πιθανότης, παρὰ τὸ ἔνδοξον τοῦ λέγοντος  

ἢ παρὰ τὸ φροντιστικὸν ἢ παρὰ τὸ αἱμύλον ἢ παρὰ τὸ σύνηθες ἢ παρὰ τὸ κεχαρισμένον [Διογένης Λαέρτιος 10 Πυρρων 78,79]  

Η μαθηματικη μελετη των Πιθανοτητων συνδεθηκε με τα τυχερα παιγνια,  

  

Ιδιαιτερα η ριψη 2 η 3 ζαριων οπου οι παικτες στοιχηματιζουν χρηματα 

  

Πλεονεκτημα (Odds) του Γεγονοτος Ξ (ως προς το συμπληρωματικο Γεγονος Ξ ) 

Ξ :  το συμπληρωματικο γεγονος του Ξ, το γεγονος ότι δεν συμβαινει το Ξ: 

  

οdds(𝛯)  = 

 

  

𝛭 𝛭 𝛭 = Τα Δυνατα Ενδεχομενα 

  

Ο Δειγματικος Χωρος 𝛺  

  

Αξιωμα: 

Τα Ενδεχομενα Ισοπιθανα  

Πως Στοιχηματιζω Παραδειγμα: Ρουλεττα 

Στοιχηματιζω στην 1η 12αδα της Ρουλεττας 

𝑂𝑑𝑑𝑠 Ξ   

⟺ στοιχηματιζω 1 προς 2 ότι θα συμβει το Ξ (η 1η 12αδα)  

  

Στοιχηματιζω 100, κερδιζω 200,   

παιρνω συνολικα 300 

  

Payout Στοιχηματος: Payout 1 1 3 

  

Ποσο Λαμβανω τελικα? Payout 100 3 100 300 

 

 

Πως Στοιχηματιζω Παραδειγμα: Ρουλεττα με 0 

Στοιχηματιζω στην 1η 12αδα της Ρουλεττας 

⟺ στοιχηματιζω ότι θα συμβει το Ξ (η 1η 12αδα)   

            𝜊𝑑𝑑𝑠 Ξ  

  

Στοιχηματιζω 100, κερδιζω 208,3 ,   

Παιρνω συνολικα 308,3  

  

Payout Στοιχηματος:  

Payout 1 1 3.08333333 …  

Ποσο Λαμβανω τελικα?  

Payout 100 3.0833 100 308,3  

 

Πιθανότητα  

The theory of chance consists in reducing all the events of the same kind to a certain number of cases equally possible, that is to say, to such as we may be equally undecided about in regard to their existence, and in determining the number of cases favorable to the event whose probability is sought. The ratio of this number to that of all the cases possible is the measure of this probability, which is thus simply a fraction whose numerator is the number of favorable cases and whose denominator is the number of all the cases possible.  

Laplace P. 1814, Essai Philosophique sur les Probabilités 

 

 

 

 

 

Ο Ορισμός της Πιθανότητας προϋποθέτει  

την Βασική Παραδοχή:  

Ισες Πιθανοτητες στα στοιχειώδη Ενδεχόμενα  

Αρχή Ίσων Πιθανοτήτων  

Principle of Sufficient Reason  

Principle of Indifference 

The probabilities of all elementary events are equal  

(the possible outcomes are equally likely),  

unless there is some reason (observed or conjectured) for the opposite.  

if N possibilities are indistinguishable except for their names,  

then each possibility should be assigned a probability equal to   

Leibniz G. 1686 Discourse on Metaphysics, ed. By Martin R. and Brown S. ,  

Manchester University Press, Manchester, UK, 1988. 

Λαμβανεται συνηθως ως Μηδενικη Υποθεση 

Παραδειγματα Δειγματοχωροι και Πιθανοτης Ριψη Νομισματος

Ω Η,Τ . 𝑝

Ριψη 2 Νομισματων

Ω ΗΗ,ΗΤ,ΤΗ,ΤΤ . 𝑝

Ριψη Ζαριου

Ω 1,2,3,4,5,6 𝑝

Ριψη 2 Ζαριων

𝛺

⎩⎪⎨

⎪⎧

1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,62,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,63,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,64,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,65,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,66,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6 ⎭

⎪⎬

⎪⎫

𝜅, 𝜆 | 𝜅, 𝜆 1,2,3,4,5,6 𝑝

Ξ Χ 7 , Χ 3 2,5 , 5,2

Ρουλεττα 

Υ={0,1,2,3,4,5,…,36} 

 𝑝  

  

Τραπουλα 

Υ={1,2,3,4,5,…,52} 

𝑝1

52 

Ανατολη  

Υ={Ανατολη, Μη Ανατολη} 

𝑝 Ανατολη 0.9999999999  𝑝 Μη Ανατολη 0.0000000000 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Η Πιθανοτητα από το Στοιχημα 

  

𝑜𝑑𝑑𝑠   

⟺  1 𝑝 𝑜𝑑𝑑𝑠 𝑝  ⟺ 𝑜𝑑𝑑𝑠 𝑝 𝑝 𝜊𝑑𝑑𝑠   

⟺  𝑝  =    

  

  

odds =1 ⟺ p=0.5 τυχαιο γεγονος odds >1 ⟺ p>0.5 το γεγονος είναι περισσοτερο πιθανο odds 

Μεταβλητες = Παρατηρησιμες Μεταβλητες = Τυχαιες Μεταβλητες  

Variables = Observable Variables = Random Variables  

Περιγραφουν τις Παρατηρησιμες Ιδιοτητες με τιμες Αριθμούς ή Συμβολα  

Μεταβλητη με τιμες στο Συνολο 𝕂  

 Χ: 𝛺 → 𝕂 : 𝜔 ⟼ 𝑋 𝜔 , 𝕂 ένα συνολο από Συμβολα ειτε Αριθμους 

Ποσοτικές η Αριθμητικες Μεταβλητές (Quantitative, Numerical)  

Χ: 𝛺 → ℝ: 𝜔 ⟼ 𝑋 𝜔 ένας πραγματικος αριθμος, 

 ℝ : το Συνολο των Πραγματικων Αριθμων 

 Αναπαριστουν ιδιοτητες μετρήσιμες αριθμητικα. Παίρνουν αριθμητικές τιμές. 

Παραδειγμα: η αποσταση μεταξυ των οφθαλμών των φοιτητων,  το υψος των φοιτητων, το εισοδημα των οικογενειων των φοιτητων  

Διακριτη ή Απαριθμητη (Discrete) Ποσοτική Μεταβλητή  

Λαμβανει πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος τιμών. 

Συνεχής (continuous) Ποσοτική Μεταβλητή  

Λαμβανει τιμές σε ένα διάστημα (α,β) με  ∞ 𝛼 𝛽 ∞  

Ποιοτικές ή Κατηγορικές ή Συμβολικές Μεταβλητές (Qualitative, Categorical, Nominal, Symbolic)  

Χ: 𝛺 → 𝕂 : 𝜔 ⟼ 𝑋 𝜔 ένα συμβολο εκ του συνόλου 𝕂  

Αναπαριστουν ιδιοτητες που παριστανται ως συμβολα διοτι δεν ειναι μετρήσιμες αριθμητικα 

Παραδειγμα:  το χρώμα των οφθαλμών των φοιτητων, η συναισθηματικη κατασταση των φοιτητων,  

                         η βάση στη θέση κ στο DNA, 

  

Διατακτικές Μεταβλητές (Ordinal, Ranked)  

οι τιμες τους διατασσονται. 

Διατακτικες είναι οι Αριθμητικες Μεταβλητές  και οσες Κατηγορικες Μεταβλητές Διατασσονται. 

Πχ  Κατασταση Υγειας: Αριστη, Καλη, Μετρια, Κακη, Κρισιμη 

       5‐level Likert Scale:  

Strongly Disagree,  Disagree,  Neither Agree Nor Disagree,  Agree,  Strongly Agree 

Ορισμος

Φασμα Μεταβλητης   

το συνολο των Τιμων της Μεταβλητης 

𝜑 𝑥: 𝑥 𝜏𝜄𝜇𝜂 𝜋𝜊𝜐 𝛿𝜐𝜈𝛼𝜏𝛼𝜄 𝜈𝛼 𝜆𝛼𝛽𝜀𝜄 𝜂 Μεταβλητη Χ  ⊆ K Φασμα ⊆ ℝ για Ποσοτικές η Αριθμητικες Μεταβλητές                   ℝ : το Συνολο των Πραγματικων Αριθμων  

Φασμα ⊆ ℚ ⊆ ℝ για Ποσοτικές η Αριθμητικες Μεταβλητές                                που επεξεργαζομαστε 

           ℚ: το Συνολο των Ρητων Αριθμων  

Φασμα ⊆ 𝕂  για Ποιοτικές Μεταβλητές                   𝕂 Συνολο (αυθαιρετων) Συμβολων 

Πιθανοτητα Μεταβλητης   

Εστω η Μεταβλητη Χ με Φασμα τιμων 𝜑  ⊆ 𝕂  Η Κατανομη Πιθανοτητας της Χ είναι: 

𝑝 ξ 𝑝 Χ ξ 𝑝  για κάθε ξ από το Φασμα 𝜑  

Χ ξ  = το Γεγονος ότι η Μεταβλητη Χ λαμβανει τιμη ξ Δηλαδη  Χ ξ  είναι το συνολο των στοιχειωδων ενδεχομενων που αντιστοιχουν στην τιμη Χ ξ 

Αν θελουμε να επεκτεινουμε την Πιθανοτητα 𝑝 της Μεταβλητης Χ, σ'ολο το Πεδιο τιμων 𝕂, απλα οριζουμε: 𝑝 ξ =0, για κάθε ξ στο 𝕂 𝜑    

 

 

 

 

Παρατηρησιμες Μεταβλητες και Διαμερισεις

Κάθε Μεταβλητη  Χ: Ω → 𝕂  Διαμεριζει τον Δειγματοχωρο Ω σε Κελια Στοιχειωδων Ενδεχομενων ω  

δεν μπορουμε να διακρινουμε τα Ενδεχομενα 𝜔 , 𝜔   Παρατηρωντας μεσω της Μεταβλητης  Χ, καθοτι: Χ 𝜔  Χ 𝜔  Τα Στοιχειωδη Ενδεχομενα 𝜔 , 𝜔  ονομαζονται  Ισοδυναμα Παρατηρησιακα (δια της Μεταβλητης Χ) 

Παραδειγμα 1    

Ξ Χ 𝜉 𝓎: 𝑋 𝜔 𝜉 ]      𝑝 𝜉  

Ξ Χ 𝜉 𝓎: 𝑋 𝜔 𝜉 ]      𝑝 𝜉  

Ξ Χ 𝜉 𝓎: 𝑋 𝜔 𝜉 ]      𝑝 𝜉  

Ξ Χ 𝜉 𝓎: 𝑋 𝜔 𝜉 ]      𝑝 𝜉  

Παραδειγμα: Ριψη 2 Ζαριων Α: η Μεταβλητη Αθροισμα των Ενδειξεων 2 Ζαριων Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων 

Παρατηρησιμα Γεγονοτα (Κελια) Observable Events (Cells) 

Πιθανοτητα Probability 

2  Ξ2 ={ (1,1)}  1/36=3% 3  Ξ3 ={ (1,2), (2,1)}  2/36=6% 4  Ξ4 ={ (2,2), (1,3),(3,1)}  3/36=8% 5  Ξ5 ={ (1,4), (2,3),(3,2), (4,1)}  4/36=11% 6  Ξ6 ={ (1,5), (2,4),(3,3), (4,2), (5,1)}  5/36=14% 7  Ξ7 ={ (1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}  6/36=17% 

8  Ξ8 ={ (2,6), (3,5),(4,4), (5,3), (6,2)}  5/36=14% 9  Ξ9 ={ (3,6), (4,5),(5,4), (6,3)}  4/36=11% 

10  Ξ10 ={ (4,6), (5,5),(6,4)}  3/36=8% 11  Ξ11 ={ (5,6), (6,5)}  2/36=6% 12  Ξ12 ={ (6,6)}  1/36=3% 

Το πιο πιθανο Γεγονος (αποτελεσμα της Παρατηρησης της Μεταβλητης Α) είναι  το [Α=7], με ρ[Α=7]= 1/6  Το Γεγονος [Α=7] πραγματοποιειται με 6 τροπους (Στοιχειωδη) Ενδεχομενα:  (1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)   

Παραδειγμα: Ριψη 2 Ζαριων Β: η Μεταβλητη Διαφορα των Ενδειξεων 2 Ζαριων Η Διαφορα Ενδειξεων 2 Ζαριων 

Παρατηρησιμα Γεγονοτα (Κελια) Observable Events (Cells) 

Πιθανοτητα Probability 

0  Η0 ={ (1,1), (2,2),(3,3), (4,4), (5,5),(6,6)}  6/36=16.66% 1  Η1 ={ (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,5), (5,4), (4,3),(3,2), (2,1)}  10/36=27.77%2  Η2 ={ (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (6,4), (5,3),(4,2), (3,1)}  8/36=22.22% 3  Η3 ={ (1,4), (2,5), (3,6), (6,3), (5,2),(4,1)}  6/36=16.66% 4  Η4 ={ (1,5), (2,6), (6,2), (5,1)}  4/36=11.11% 5  Η5 ={ (1,6), (6,1)}  2/36=5.55% 

   1, αλλα: 

16.66 + 27.77 + 22.22 + 16.66 + 11.11+ 5.55=99.97?  Το πιο πιθανο Γεγονος (αποτελεσμα της Παρατηρησης της Μεταβλητης Β) είναι  το [Β=1], με p[Β=1]= 10/36  Το Γεγονος [Β=1] πραγματοποιειται με 10 τροπους (Στοιχειωδη) Ενδεχομενα:  (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,5), (5,4), (4,3),(3,2), (2,1)  

Ριψη Ζαριων 

Παλαμηδης 13ος αιων πΧ 

Λαζος Χ. 2002, Παιζοντας στο Χρονο, Αιολος, Αθηνα 

Cardano G. 1526, Book on Games of Chance  

Bernstein P. 1996, Against the Gods: the remarkable story of risk, Wiley, new Jersey.  

Ore O. 1953, Cardano: The Gambling Scholar, Princeton University Press , New Jersey.  

http://betting.betfair.com/poker/poker‐news/the‐gambling‐scholar‐girolamo‐cardano‐280111.html 

 

 

 

 

Ριψη 3 Ζαριων 

Χ = το αθροισμα των ενδειξεων 3 ζαριων   Εκτιμηση Chevalier De Mere (1607‐1684) 

Τα Αποτελεσματα Χ=11και Χ=12 ειναι ισοπιθανα διοτι 

Το Γεγονος Χ=11 πραγματοποιειται με 6 τροπους  

 (οι 3αδες αριθμων με αθροισμα 11):                                                                   

               641,632,551,542,533,443    

Το Γεγονος Χ=12 πραγματοποιειται με 6 τροπους  

(οι 3αδες αριθμων με αθροισμα 12):   

                651,642,561,552,543,444. 

  

Στην πραξη όμως ο De Mere διαπιστωσε οτι το 11 εμφανιζεται πιο συχνα απο το 12 

Πιθανοτερο είναι το γεγονος που συμβαινει συχνοτερα  

Πιθανοτης ως Συχνοτητα [Αριστοτελης Ρητορικη Βιβλιο 1, Κεφαλαιο 2] 

Ο Στοχαστης της Τυχης 

 

Εκτιμηση Pascal 1654 

Ο Pascal o καθορισε ως δειγματοχωρο Ω, το συνολο των δυνατων Ενδεχομενων  

Οι τροποι ριψης των 3 ζαριων που δεν είναι οι απλες 3αδες αριθμων, αλλα  

οι διαταγμενες 3‐δες (α,β,γ),  α,β,γ=1,2,3,4,5,6.  

Ο Δειγματοχωρος Ω περιεχει 63=216 στοιχειωδη Ενδεχομενα , ενω  

Ο  δειγματοχωρος του De Mere δεν περιλαμβανει ολους τους δυνατους τροπους  ριψης 

Το συνολο  6,4,1  πραγματοποιειται με 6 τριαδες: {(6,4,1),(4,6,1),(6,1,4),(4,1,6),(1,6,4),(1,4,6)} 

Το Γεγονος Χ=11 πραγματοποιειται με 27 Ενδεχομενα ενω  

Το Γεγονος Χ=12 πραγματοποιειται με 25 Ενδεχομενα  

 P[Χ=11] =        

 P[Χ=12] =        

Pascal‐Fermat Letters  Pascal Blaise, Oeuvres Completes.  

Text annotated by Jacques Chevalier.Bibliotheque de la Ploiade. Paris: Gallimard, 1954 

Renyi A. 1972, Letters on Probability, Wayne State University Press, Detroit 

Σύγκριση Λανθασμένων και Ορθών Πιθανοτήτων Εμφανισης

των τιμων του Αθροισματος των Ενδειξεων 3 Ζαριων {3,4,…,18}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Πείραμα‐ Δειγματοχώροι‐ Μεταβλητές Πειραμα Παρατηρηση

ιδιοτητων – Χαρακτηριστικων ως Μεταβλητες

Ριψη 2 ζαριων

Δειγματοχωρος  Πειραματος  

τα δυνατα Ενδεχομενα  Οι 36 διαταγμενες 2αδες (α,β), α,β=1,2,3,4,5,6 

Μεταβλητη   𝜲: Ω → ℝοι Τιμες της Μεταβλητης  (Φασμα της Μεταβλητης) αντιστοιχουν και περιγραφουν  τα δυνατα Αποτελεσματα η Γεγονοτα που ειναι Μετρησιμα Υποσυνολα του Δειγματοχωρου 

Α= το αθροισμα των ενδειξεων 2 ζαριων  𝜑 ={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}   Β= η διαφορα των ενδειξεων 2 ζαριων 𝜑 ={0,1,2,3,4,5} 

Μεταβλητες  Ενα γεγονος δυναται να οριζεται απο τις τιμες 2 η περισσοτερων Μεταβλητων  

Το γεγονος [Α=7 , Β=3] αντιστοιχει  στα Ενδεχομενα: (2,5), (5,2)   Το γεγονος [Α=7 , Β=4] αντιστοιχει  στο Ενδεχομενο: ∅ 

 

Ορισμος

Κοινη Παρατηρηση των Μεταβλητων (Α,Β) 

(α,β) = [Α=α,Β=β] το Γεγονος οτι 

 

Το Αθροισμα των Ενδειξεων 2 Ζαριων είναι Α=α, α=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 

 

Η Διαφορα των Ενδειξεων 2 Ζαριων είναι Β=β, β=0,1,2,3,4,5 

Τα Κοινα Γεγονοτα είναι τα διαταγμενα ζευγη:  

(α,β), α=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,  β=0,1,2,3,4,5 

 

Η Κοινη Διαμεριση εχει δυναμει 11×6=66 Κελια 

Ποια η Πιθανοτητα εκαστου Κελιου? 

 

Α  Β  (Α,Β) Παρατηρησιμα Γεγονοτα  Πιθανοτητα 2  0  Ξ2 ∩Η0  = Ξ2 ={(1,1)}  1/36 2  1  Ξ2 ∩Η1  = ∅  0 2  2  Ξ2 ∩Η2  = ∅  0 2  3  Ξ2 ∩Η3  = ∅  0 2  4  Ξ2 ∩Η4 = ∅  0 2  5  Ξ2 ∩Η5 = ∅  0 3  0  Ξ3 ∩Η0 = ∅  0 3  1  Ξ3 ∩Η1 = Ξ3 ={(1,2), (2,1)}  2/36 3  2  Ξ3 ∩Η2  = ∅  0 3  3  Ξ3 ∩Η3 = ∅  0 3  4  Ξ3 ∩Η4 = ∅  0 3  5  Ξ3 ∩Η5 = ∅  0 4  0  Ξ4 ∩Η0  =  Ξ4 ={(2,2)}  1/36 4  1  Ξ4 ∩Η1  = ∅  0 4  2  Ξ4 ∩Η2  = {(1,3),(3,1)}  2/36 4  3  Ξ4 ∩Η3  = ∅  0 4  4  Ξ4∩Η4  = ∅  0 4  5  Ξ4 ∩Η5   = ∅  0 5  0  Ξ5 ∩Η0  = ∅   0 5  1  Ξ5 ∩Η1  = {(2,3),(3,2)}  2/36 5  2  Ξ5 ∩Η2 = ∅   0 5  3  Ξ5 ∩Η3 = {(1,4), (4,1)}  2/36 5  4  Ξ5 ∩Η4 = ∅  0 5  5  Ξ5 ∩Η5  = ∅  0 

 

6  0  Ξ6 ∩Η0 = {(3,3)}  1/36 6  1  Ξ6 ∩Η1 =∅  0 6  2  Ξ6 ∩Η2 ={(2,4), (4,2)}  2/36 6  3  Ξ6 ∩Η3 = ∅  0 6  4  Ξ6 ∩Η4 = {(1,5), (5,1)}  2/36 6  5  Ξ6 ∩Η5 =  ∅  0 7  0  Ξ7 ∩Η0 =∅  0 7  1  Ξ7 ∩Η1 = {(3,4), (4,3)}  2/36 7  2  Ξ7 ∩Η2 =∅  0 7  3  Ξ7 ∩Η3 = {(2,5), (5,2)}  2/36 7  4  Ξ7 ∩Η4 =∅  0 7  5  Ξ7 ∩Η5 ={(1,6), (6,1)}  2/36 8  0  Ξ8 ∩Η0 = {(4,4)}  1/36 8  1  Ξ8 ∩Η1 = ∅  0 8  2  Ξ8 ∩Η2 = {(3,5), (5,3)}  2/36 8  3  Ξ8 ∩Η3 = ∅  0 8  4  Ξ8 ∩Η4 ={(2,6), (6,2)}  2/36 8  5  Ξ8 ∩Η5 = ∅  0 9  0  Ξ9 ∩Η0  =  ∅  0 9  1  Ξ9 ∩ Η1 = {(4,5), (5,4)}  2/36 9  2  Ξ9∩Η2 = ∅  0 9  3  Ξ9 ∩ Η3 =  {(3,6), (6,3)}  2/36 9  4  Ξ9 ∩Η4 =  ∅  0 9  5  Ξ9∩Η5  =  ∅  0 

 

 10  0  Ξ10 ∩Η0  = {(5,5)}  1/36 10  1  Ξ10 ∩Η1 = ∅  0 10  2  Ξ10 ∩ Η2 = {(4,6), (6,4)}  2/36 10  3  Ξ10 ∩Η1 = ∅  0 10  4  Ξ10 ∩Η4 = ∅  0 10  5  Ξ10 ∩Η5 = ∅  0 11  0  Ξ11 ∩Η0  = ∅  0 11  1  Ξ11 ∩Η1 = Ξ11 ={(5,6), (6,5)}  2/36 11  2  Ξ11∩Η2 = ∅  0 11  3  Ξ11 ∩Η3 =  ∅  0 11  4  Ξ11 ∩Η4 =  ∅  0 11  5  Ξ11 ∩Η5 =  ∅  0 12  0  Ξ12 ∩Η0  = Ξ12 ={(6,6)}  1/36 12  1  Ξ12 ∩Η1  =  ∅  0 12  2  Ξ12∩Η2 =  ∅  0 12  3  Ξ12 ∩Η3 =  ∅  0 12  4  Ξ12 ∩Η4 =  ∅  0 12  5  Ξ12 ∩Η5 =  ∅  0 Αθροισμα  6

136

152

361 

 

 

Συνοψη: 

6 Κελια εχουν 1 Στοιχειο  

                και Πιθανοτητα   εκαστο 

15 Κελια εχουν 2 Στοιχεια 

                και Πιθανοτητα   εκαστο 

Τα υπολοιπα κελλια είναι κενα συνολα 

 

 

 

 

 

 

 

Παραδειγμα 

Ρίχνουμε ένα Κοκκινο ζάρι και ένα Πρασινο ζαρι.  

Ποια η Πιθανότητα η Ενδειξη του Πρασινου Ζαριου  

να ειναι μεγαλύτερη από την Ενδειξη του Κοκκινου Ζαριου 

Ευνοικα Ενδεχομενα 

ζάρι Κ: 1   ζάρι Π: 2, 3, 4, 5, 6,   (5 ενδεχομενα)  

ζάρι Κ: 2   ζάρι Π:  3, 4, 5, 6,                (4 ενδεχομενα) 

ζάρι Κ: 3   ζάρι Π:  4, 5, 6,                (3 ενδεχομενα) 

ζάρι Κ: 4   ζάρι Π:  5, 6,                  (2 ενδεχομενα) 

ζάρι Κ: 5   ζάρι Π:  6                                 (1 ενδεχομενο) 

ζάρι Κ: 6   ζάρι Π:                    (0 ενδεχομενα) 

Από τα 36 δυνατα Ενδεχομενα μόνο 15 είναι ευνοϊκα 

Άρα: P[Ενδειξη Πρασινου Ζ. > Ενδειξη Κοκκινου Ζ. ]  

Πως Υπολογιζουμε  

• το Πληθος των δυνατων Διαμερισεων       με καθορισμενο αριθμο στοιχειων σε κάθε Κελι? 

• το Πληθος των δυνατων Υποσυνολων       ενός Συνολου? 

• το Πληθος των δυνατων Διαταγμενων       2‐αδων, 3‐αδων, 4‐αδων από τα Στοιχεια 

     ενός Συνολου? 

Συνδυαστικη 

 

 

 

 

Συνδυαστική  Η Τεχνη της Απαριθμησης χωρις Μετρηση Ποια τα Δυναμει Γεγονοτα (Στοιχειωδη Ενδεχομενα)? 

Ποιος ο Δειγματοχωρος 

Ποια τα Παρατηρησιμα Γεγονότα  

Ποια Γεγονότα μας Ενδιαφερουν 

Ο Δειγματοχώρος και τα Γεγονότα ενός πρέπει να προσδιορίζεται προσεκτικά ,  

για να αποτρεπονται σφαλματα στους Υπολογισμούς,  

Αλλως προκύπτουν "Παράδοξα" .  

Πχ Chevalie de Mere, Bertand, D’Alembert  

H ανάγκη Υπολογισμού του αριθμού των δυνατών αποτελεσμάτων  

οδήγησε στην ανάπτυξη της Συνδυαστικής  

που αρχικά ήταν συνυφασμένη με την Πιθανότητα  

Ο Υπολογισμός Πιθανοτήτων ανάγεται στην Τέχνη της Απαρίθμησης  Μωυσιάδης Χ. 2002 Συνδυαστική Απαρίθμηση. Η τέχνη να μετράμε χωρίς μέτρημα  

Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. 

Οι 3 Κυριες Κλασσεις Δεδομενων (Δειγματα) Προς Μετρηση 

Ακολουθιες Καθορισμενου Μηκους: Διαταξεις 

Μεταθεσεις 

Λεξεις 

Συνδυασμοι Καθορισμενου Μεγεθους 

Διαμερισεις σε Κελια Καθορισμενων Μεγεθων 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ακολουθια Μηκους Μ εκ Συνολου Ν Διακρισιμων Στοιχειων Ονομα Νame Ορισμος Πληθος

Ακολουθιων Μ‐Διαταξη  Ν Στοιχειων    

M‐Permutation of  N Elements   

1≦M≦N  καθε Στοιχειο  εμφανιζεται  το πολυ μια φορα  

𝛮!𝛮 𝛭 ! 𝑃  

Pochhammer  Symbol 

Μεταθεση  Ν Στοιχειων 

Permutation of  N Elements   

1≦M=N  καθε Στοιχειο  εμφανιζεται  μονο μια φορα  (N‐Διαταξη) 

𝛮! 𝑃  𝛮! 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙∙

∙ Ν1 Ν 

N‐Factorial Symbol 

M‐Λεξη  εκ  Ν Στοιχειων  = Μ‐Διαταξη     Ν Στοιχειων     Με Επαναθεση 

Μ‐Word  from  N Elements   = Μ‐Permutation    of N Elements    with Repetition 

Μ=1,2,3,...  τα Στοιχεια μπορει  να επαναλαμβανονται 

      ΝΜ 

Παραδειγμα το Συνολο (Αλφαβητο) {Α,G,C,T} Υπαρχουν 4 16 Λεξεις με 2 Γραμματα ΑΑ, ΑG, ΑC, ΑΤ GA, GB, GC, GT CA, CB, CC, CT TA, TB, TC, TT Κάθε μερος του DNA με Μ Γραμματα είναι Λεξη με Ν=4  Συμβολα Υπαρχουν 4  Λεξεις με Μ Γραμματα  

 

 

 

 

 

 

Συνδυασμος Μεγεθους Μ εκ Συνολου Ν Διακρισιμων Στοιχειων

Ονομα  Νame  Ορισμος  Πληθος  

Συνδυασμων 

Μ‐Συνδυασμος  

Ν Στοιχειων  

  

Μ‐Combination 

of N Elements 

  

1≦M≦N 

καθε Στοιχειο εμφανιζεται 

το πολυ μια φορα  

(Υποσυνολο Μ Στοιχειων) 

𝜨!𝑴! 𝜨 𝜧 !

= 𝜨𝜧 𝑪𝑴𝑵  

Διωνυμικος Συντελεστης

=Binomial Coefficient 

Μ‐Συνδυασμος  

Ν Στοιχειων  

Με Επαναθεση 

Μ‐Combination 

of N Elements 

with Repetition 

Μ=1,2,3,...  

τα Στοιχεια μπορει  

να επαναλαμβανονται 

  

𝜨 𝜧 𝟏𝜧 𝑪𝑴

𝜨 𝜧 𝟏

 

Μ‐Συνδυασμος  

Ν Στοιχειων  

Με Επαναθεση 

εμπεριεχον  

ολα τα Ν στοιχεια 

Μ‐Combination 

of N Elements 

with Repetition 

including  

all Ν elements 

Μ=N,N+1,N+2,N+3,... 

καθε Στοιχειο εμφανιζεται τουλαχιστον μια φορα  

𝜧 𝟏𝜨 𝟏 𝑪𝑵 𝟏

𝑴 𝟏  

 

Παραδειγμα 

το Πληθος των Υποσυνολων Συνολου Ν Στοιχειων είναι 𝟐𝚴 Αποδειξη 

Κάθε Υποσυνολο Μ Στοιχειων είναι ενας  

Μ‐Συνδυασμος των Ν Στοιχειων. 

Το Πληθος των Υποσυνολων Μ Στοιχειων είναι 𝑪𝑴𝑵  Το Πληθος των Υποσυνολων του Συνολου Ν Στοιχειων είναι το Αθροισμα: 

1 𝑪𝟏𝑵 𝑪𝟐𝑵 ⋯ 𝑪𝚴𝑵 1 1 2  Λημμα: Το Διωνυμικο Θεωρημα, Newton 1665:  

1 𝑥 1 𝑪𝟏𝑵𝒙𝟏 𝑪𝟐𝑵𝒙𝟐 ⋯ 𝑪𝚴𝑵𝒙𝑵  𝒙  Πραγματικος Αριθμος  

 

Παραδειγμα 

το Προβλημα (Παραδοξο) των Γενεθλιων. 

Ποια η Πιθανοτητα Ν=2,3,4,… ατομα που επιλεγονται τυχαια να εχουν Γενεθλια την ιδια μερα? 

Ασκ 0.5 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Διαμεριση Διακρισιμων Στοιχειων σε Καθορισμενα Μεγεθη Ονομα  Νame  Ορισμος  Πληθος Διαμερισεων 

𝑛‐Διαμεριση  Συνολου Ν Διακρισιμων Στοιχειων  Σε Καθορισμενα Μεγεθη Ν , Ν , … , Ν , 

𝑛‐Partition of N  Distinct Elements into Specified Sizes Ν , Ν , … , Ν , 

εκαστον  εκ των 𝑛 ≦ 𝛮 κελλιων της Διαμερισης  περιεχει καθορισμενο  πληθος στοιχειων Ν , Ν , … , Ν   και 𝛮 𝛮 ⋯ 𝛮 𝛮

N!Ν ! ∙ Ν ! ∙∙∙ Ν !  

C , , …,  Ν

Ν Ν ∙∙∙ Ν  

Πολυωνυμικος Συντελεστης  = Multinomial Coefficient. Για Μ=2: C , 𝐶  

 

Ν 17 2 8 4 3 

Ν 2, Ν 8, Ν 4, Ν 3 

Υπαρχουν  𝟏𝟕!𝟐!∙𝟖!𝟒!𝟑!

388.150.963.200   

διαφορετικες Διαμερισεις 17 Στοιχειων 

Σε 4 Κελλια με 2, 8, 4, 3  Στοιχεια αντιστοιχα 

 

Πιθανοτητα ως Συχνοτητα 

  

Αριστοτελης Ρητορικη Βιβλιο 1, Κεφαλαιο 2 

  

𝑃 Ξ 𝑙𝑖𝑚→

𝛭𝛭  

  Venn J. 1866, The Logic of Chance, McMillan, London, reprinted Chelsea, New York, 1962.  

Richard von Mises 1936, Probability, Statistics and Truth, 2nd rev. English ed., Dover, New York, 1981. 

  

Προβλημα: Η Επαναληψιμοτητα του Πειραματος  

 

 

 

 

Ορισμος Πιθανοτητα Κolmogorov 1933Κάθε συνολοσυναρτηση set function : 𝑃: ℬ → 0,1 : Ξ ⟼ 𝑃 Ξℬ η Αλγεβρα των Γεγονοτων Μετρησιμων Υποσυνολων Ξ του Δειγματοχωρου 𝛺 K1 P Ω 1 K2 P ∅ 0

∅ το αδυνατο γεγονος, το γεγονος που δεν είναι πραγματοποιησιμο K3 𝑃 Ξ ∪ Ξ ∪ … 𝑃 Ξ 𝑃 Ξ ⋯, αν Ξ , Ξ ,… Ασυμβατα Γεγονοτα

Ξ , Ξ ,… Ασυμβατα Γεγονοτα Ξ, Η Ασυμβατα ή ξενα μεταξυ τους ⟺ Ξ ∩ Η ∅ Αν πραγματοποιηθει το ένα, Τοτε δεν μπορει να πραγματοποιηθει το αλλο Disjoint Εvents Mutually Exclusive Events 

 

 

Ορισμοι

Ξ ∪ Η Ξ⋁Η Ξ Η Ξ 𝝄𝒓 ΗΤο γεγονος ότι συμβαινει τουλαχιστον ενα εκ των γεγονοτων Ξ, Η

𝑃 Ξ ∪ Η 𝑃 Ξ⋁Η 𝑃 Ξ Η 𝑃 Ξ 𝜊𝑟 Η η πιθανοτητα να συμβει τουλαχιστον ενα εκ των γεγονοτων Ξ, Η

Ξ, Η Ξ ∩ Η Ξ ∧ Η ΞΗ Ξ 𝑎𝑛𝑑 ΗΤο γεγονος ότι συμβαινουν από Κοινου ταυτοχρονα τα Γεγονοτα Ξ, Η

𝑃 Ξ, Η 𝑃 Ξ ∩ Η 𝑃 Ξ ∧ Η 𝑃 ΞΗ Ρ Ξ 𝒂𝒏𝒅 Η η Κοινη Πιθανοτητα των Ξ και Η

 

 

Θεωρημα

Ιδιοτητες της Αλγεβρας ℬ των Υποσυνολων Γεγονοτων του Συνολου Δειγματοχωρου 𝛺

1 Οι Πραξεις ⋃, ⋂ : 𝓑 𝓑 → 𝓑, για κάθε A,B,C εν ℬ:

L1. Ταυτοδυναμια Idempotency : A⋃A A A⋂A A

L2. Μεταθετικοτης Commutativity : A⋃B B⋃A A⋂B B ⋂A

L3. Προσεταιριστικοτης Associativity : A⋃ B⋃C A⋃B ⋃C A⋂ B⋂C A⋂B ⋂C

L4. Απορροφητικοτης Absorptivity : A⋂ A ⋃B A A⋃ A⋂B A

2 Η Σχεση Διαταξης , για κάθε A,B,C εν ℬ:

L5. A B ⟺ A A ⋂ B ⟺ B A ⋃ B

3 Το Συνολο ℬ είναι Κατω και Ανω Φραγμενο Bounded από τα συνολα O ∅ , I Ω :

L6. O⋃A A O⋂A O

I ⋃ A I I ⋂ A A

4 Η Πραξη Συμπληρωμα Complement για κάθε A,B,C εν ℬ: c : 𝓑 → 𝓑 : 𝑨 ⟼ 𝑨𝒄

L7. A ⋃ 𝑨𝒄 I A ⋂𝑨𝒄 O

L8. 𝑨𝒄 A

5 Επιμεριστικοτης Distributivity των Πραξεων ⋃, ⋂ :

L9. A⋃ B ⋂ C A ⋃ B ⋂ A ⋃ C A ⋂ B ⋃C A ⋂ B ⋃ A ⋂ C

ΣΧΟΛΙΟ

H Aλγεβρα Boole ειναι η Αλγεβρα της Λογικης του Αριστοτελη διατυπωμενη στη γλωσσα της θεωριας Συνολων

Boole G. 1854, An Investigation of the Laws of Thought, MacMillan; Dover reprint, New York 1958

Α,Β,C,… οι προτασεις

∧ AND KAI

∨ OR EITE c NOT OXI

O ANTIΦΑΣΗ

Ι ΤΑΥΤΟΛΟΓΙΑ

2 Ο Boole εθεσε τις βασεις

της Λογικης,

της Αλγοριθμικης ψηφιακης επεξεργασιας,

των Συλλογισμων,

επεσημανε τη σχεση με την Στατιστικη

την θεωρια Πιθανοτητων και

την Αιτιοτητα

Θεωρημα Ιδιοτητες Πιθανοτητας Κolmogorov ∀ υποσυνολα 𝐴, 𝐵 του Ω1 𝛲 𝛢 1 𝛲 𝛢 2 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 , 𝛼𝜈 𝐴 ⊆ 𝐵

3 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐵 – 𝑃 𝐴 , 𝛼𝜈 𝐴 ⊆ 𝐵4 𝑃 𝛢 ∪ 𝛣 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝛢 ∩ 𝐵

5 𝑃 𝛢 𝑃 𝛢 ∩ 𝐵 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 , ∀ υποσυνολο 𝐵 του Ω 6) 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ≦ 𝑃 𝐴 ∩ 𝑍 𝑃 𝐵∩𝑍 , Ανισοτητα Wigner- d’Espagnat - Bell  

Αποδειξη

1 ,2 ,3 ,4 Απλη Αλγεβρα, Βιβλιο Γ Λυκειου

5 𝑃 𝛢 𝑃 𝛢 ∩ 𝛺 𝑃 𝐴 ∩ 𝛣 ∪ 𝐵 𝑃 𝐴 ∩ 𝛣 ∪ 𝛢 ∩ 𝐵 𝑃 𝛢 ∩ 𝐵 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

Διοτι 𝐴 ∩ 𝛣 ∩ 𝛢 ∩ 𝐵 ∅

6 P A∩Z P B∩𝑍

𝑃 𝐴 ∩ 𝑍 ∩ 𝐵 𝑃 𝛢 ∩ 𝑍 ∩ 𝐵 𝑃 𝐵 ∩ 𝑍 ∩ 𝛢 𝑃 𝐵 ∩ 𝑍 ∩ 𝛢

𝑃 𝐴 ∩ 𝑍 ∩ 𝐵 𝑃 𝐵 ∩ 𝑍 ∩ 𝛢 𝑃 𝛢 ∩ 𝑍 ∩ 𝐵 𝑃 𝐵 ∩ 𝑍 ∩ 𝛢

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝑍 𝑃 𝛢 ∩ 𝐵 ∩ 𝑍 𝑃 𝛢 ∩ 𝑍 ∩ 𝐵 𝑃 𝐵 ∩ 𝑍 ∩ 𝛢

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑃 𝛢 ∩ 𝑍 ∩ 𝐵 𝑃 𝐵 ∩ 𝑍 ∩ 𝛢 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

ΣΧΟΛΙΟ Aν δεν γνωριζουμε κατι για τα Δυνατα Γεγονοτα, Εκχωρουμε Υποθετουμε Ισες Πιθανοτητες Αρχη Αποχρωντος Λογου .

Αν γνωριζουμε Παρατηρηση, Θεωρια, Υποθεση Τις Πιθανοτητες, τοτε αυτές συνοψιζουν την Γνωση μας, αρα και την εκτιμηση μας για τα παρατηρουμενα Αν γνωριζουμε ότι η Ζαρια ειναι Περιττος αριθμος Γεγονος 𝛱 Πως αλλαζουν οι Πιθανοτητες? Αν γνωριζουμε ως Γεγονος ότι η Ζαρια ειναι Αρτιος αριθμος 𝛢 Πως αλλαζουν οι Πιθανοτητες?

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ριψη ΖαριουΓΝΩΣΗ ΥΠΟΘΕΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ𝛨 : Καμια Πληροφορια 𝑃 𝟏 𝑃 𝟐 𝑃 𝟑 𝑃 𝟒 𝑃 𝟓 𝑃 𝟔

𝛨 : Ζαρι "Πειραγμενο": Η εδρα 6 εμφανιζεται στις μισες ριψεις

𝑃 𝟏 𝑃 𝟐 𝑃 𝟑 𝑃 𝟒 𝑃 𝟓 , 𝑃 𝟔

𝛨 : η Ζαρια ειναι Αρτιος αριθμος 𝛢

𝑃 𝟏 0, 𝑃 𝟐 , 𝑃 𝟑 0, 𝑃 𝟒 , 𝑃 𝟓 0 𝑃 𝟔

𝛨 : η Ζαρια ειναι Περιττος αριθμος 𝛱

𝑃 𝟏 0, 𝑃 𝟐 , 𝑃 𝟑 0, 𝑃 𝟒 , 𝑃 𝟓 0 𝑃 𝟔

𝛨 𝜅𝛼𝜄 𝛨 𝑃 , 𝟏 0, 𝑃 , 𝟐 , 𝑃 , 𝟑 0, 𝑃 , 𝟒 , 𝑃 , 𝟓 0, 𝑃 , 𝟔

𝛨 𝜅𝛼𝜄 𝛨 𝑃 , 𝟏 , 𝑃 , 𝟐 0, 𝑃 , 𝟑 , 𝑃 , 𝟒 0, 𝑃 , 𝟓 𝑃 , 𝟔 0

𝛨 𝜅𝛼𝜄 𝛨   𝑃 0

𝜊𝜒𝜄 𝛨𝛢 𝜅𝛼𝜄 𝜊𝜒𝜄 𝛨𝛱: η Ζαρια δεν ειναι Αρτιος ουτε Περιττος αριθμος

Το γεγονος 𝜊𝜒𝜄 𝛨 𝜅𝛼𝜄 𝜊𝜒𝜄 𝛨 Αδυνατο

Παραδοξο Kolmogorov-Borel

Δεσμευμένη Πιθανότητα   ΣΧΟΛΙΟ Είναι Αναγκαιο να ορισουμε μια Νεα Πιθανοτητα 𝑝   η οποια να προσφερει εκτιμηση της πραγματικοτητας  υπο την δεσμευση ότι το Γεγονος Η (με 𝑝 Η >0) είναι πλεον Βεβαιο. 

Αν γνωριζουμε ότι το Γεγονος Η, με 𝑷 𝜢 𝟎 , εχει συμβει είναι βεβαιο , Οι Πιθανοτητες των Γεγονοτων στο συμπληρωμα 𝜢𝒄μηδενιζονται Τα δυνατα Γεγονοτα «περιοριζεται» στο βεβαιο πλεον Γεγονος Η. Τα Γεγονοτα Ξ περιοριζονται στα Ξ∩Η που συγκροτουν την Δεσμευμενη Αλγεβρα Boole από το Γεγονος Η: 𝓑𝜢 𝜩𝜢 𝜩 ∩ 𝜢|𝜩 ∈ 𝓑 Χρειαζομαστε μια νεα Πιθανοτητα 𝒑𝜢 η οποια ενσωματωνει την δεσμευση-γνωση ότι: Το γεγονος 𝜢 είναι Βεβαιο: 𝒑𝜢 𝜢 𝟏 Αρα: To Συμπληρωματικο Γεγονος 𝜢𝒄 είναι Αδυνατο: 𝒑𝜢 𝜢𝒄 𝟎 Δεσμευμενη Πιθανοτητα 𝒑𝜢 των Γεγονοτων

Ορισμος (Κοlmogorov)Δεσμευμενη Πιθανοτητα του Γεγονοτος Ξ εκ του Γεγονοτος Η

P Ξ 𝑃 Ξ |Η , ∩   προυποθεση: Ρ Η 0   

ΣΧΟΛΙΟ 

Το Γεγονος Ξ ως Αποτελεσμα της (πιθανης) Αιτιας H 

Ποσο συμβαλλει το Γεγονος H  

στην πραγματοποιηση του Γεγονοτος Ξ  

  

Η Δεσμευμενη Πιθανοτητα 𝑃 Ξ | Η  

είναι Πιθανοτητα στην Αλγεβρα Boole των Υποσυνολων του Η, δηλαδη Πιθανοτητα στον περιορισμενο Δειγματικο Χωρο Η 

 

 

Πορισμα 1 

Η Δεσμευμενη Πιθανοτητα 𝑃 . | Η  

ικανοποιει  ολες τις Ιδιοτητες της Πιθανοτητας,  

Αλλα η συνολοσυναρτηση  𝑃 Ξ|. δεν  είναι Πιθανοτητα:  

𝑃 Ξ|Η 1 𝑃 Ξ| Η  

Πορισμα 2 

Η Πιθανοτητα Κolmogorov προκυπτει  

απο την Δεσμευμενη Πιθανοτητα:  

𝑃 Ξ 𝑃 Ξ|𝛺 , για κάθε Γεγονος Ξ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Δεσμευμενη Πιθανοτητα. Παραδειγμα  Εχουμε 3 γάτες. Μία Λευκη (Λ),  μια Μαύρη (Μ) και μια Γκριζα (Γ)   

Ποιά είναι η πιθανότητα να είναι και οι 3 Θηλυκές;           

α=αρσενικη 

θ=θηλυκη 

Γεγονοτα: Αα, Αθ, Μα, Μθ, Γα, Γβ 

Ενδεχομενα:      [Αα, Μα, Γα],  

                                   [Αα, Μθ, Γα],  

                                   [Αθ, Μα, Γα],  

[Αθ, Μθ, Γα],  

[Αα, Μα, Γθ],  

[Αθ, Μα, Γθ],  

[Αα, Μθ, Γθ],  

[Αθ, Μθ, Γθ],  

 P[Αθ, Μθ, Γθ]=   

Αν η Γκριζα εχει τριχρωμια, τοτε είναι θηλυκη. Με αυτό το βεβαιο γεγονος: P[Αθ, Μθ, Γθ| Γθ] =  

Δεσμευμενη Πιθανοτητα. Παραδειγμα 

 

Θεωρημα Πολλαπλασιαστικο 

𝑃 𝐴, 𝐵 𝑃 Α|𝐵 𝑝 𝐴 𝑃 Β|Α 𝑝 Β  P[A1,A2,A3] =  p[A3|A2,A1] p[A2|A1]p[A1] 

P[A1,A2,A3,A4] =  p[A4|A3,A2,A1] p[A3|A2,A1] p[A2|A1] p(A1] 

P[An,A n−1,…,A2,A1] =  p[An|A n−1,…,A2,A1] ∙∙∙ p[A3|A2,A1] p[A2|A1)] p(A1],  n=2,3, . .  

  

Αποδειξη 

p(An,A n−1,…,A2,A1)= p(An|A n−1,…,A2,A1) p(A n−1,…,A2,A1) 

Επαναλαμβανεται η διαδικασια διαδοχικα 

Τελεια Επαγωγη 

ΣΧΟΛΙΟ: Εφαρμογες Πολλαπλασιαστικου Θεωρηματος 

Θεωρια Πληροφοριας 

Δικτυα Σχεσεων Bayes  

Θεωρημα Ολικης Πιθανοτητος 1Αν H , H ,…,H  Γεγονοτα Ασυμβατα (H ∩ H ∅), τοτε: 𝑝 A ∩ H ∪ H ∪ … ∪ H 𝑝 H 𝑝 A|H 𝑝 H 𝑝 A|H ⋯ 𝑝 H 𝑝 A|H   

    𝑝 A|H1 ∪ H2 ∪ … ∪ H𝑁∑ |

∪ ∪…∪ 

   

 

Αποδειξις 

 

 

𝑝 A ∩ H1 ∪ H2 ∪ … ∪ H𝑁 𝑝 A ∩ H ∪ A ∩ H ∪ … ∪ A ∩ H                                                      𝑝 A ∩ H p A ∩ H ⋯ 𝑝 𝐴 ∩ H                                            𝑝 H 𝑝 A|H 𝑝 H 𝑝 A|H ⋯ 𝑝 H 𝑝 A|H  

 𝑝 A|H ∪ H ∪ … ∪ H ∩ ∪ ∪…∪∪ ∪…∪

∑ |∪ ∪…∪

 

 

Θεωρημα Ολικης Πιθανοτητος 2Αν H , H ,…,H  αποτελουν Διαμερισμο του Δειγματοχωρου 𝛺 (H , H ,…,H  Ασυμβατα (H ∩ H ∅) και H ∪ H ∪ … ∪ H 𝛺) ,  τοτε:  

𝑝 A 𝑝 H 𝑝 A|H 𝑝 H 𝑝 A|H ⋯ 𝑝 H 𝑝 A|H 𝑝 H 𝑝 A|H  

 

Αποδειξις  

 

 

𝑝 A 𝑝 A ∩ 𝛺         𝑝 A ∩ H1 ∪ H2 ∪ … ∪ H𝑁           𝑝 A ∩ H ∪ A ∩ H ∪ … ∪ A ∩ H         𝑝 Β ∩ A p Β ∩ A ⋯ 𝑝 𝐵 ∩ A        𝑝 H 𝑝 A|H 𝑝 H 𝑝 A|H ⋯ 𝑝 H 𝑝 A|H   

Αναλυση Bayes   Θεωρημα Bayes = Νομος Bayes = Κανων Bayes Εκφραση της Δεσμευμενης Πιθανοτητας 𝑃 𝐴|𝐵   ως προς την Δεσμευμενη Πιθανοτητα  𝑃 𝐵|𝐴  1) Η Δεσμευμενη Πιθανοτητα μεταξυ Γεγονοτων δεν είναι Συμμετρικη Σχεση    εκτος αν τα Γεγονοτα είναι Ισοπιθανα 

𝑝 Α|𝐻 𝑝 H|Α𝑝 Α𝑝 H  

 𝑝 Α|𝐻 𝑝 H|Α ⟺ 𝑝 𝐴 𝑝 H  

2)            𝑃 𝐴|𝐻 𝑃 𝐻|𝐴 𝐴 𝐻 𝐴 𝐻   

για οποιοδηποτε γεγονος H, με P H 0

3 𝑃 𝐴|𝐻 𝑃 𝐻|𝐴𝑃 𝐴

∑ P A|H P H 

 για Γεγονοτα H , H ,…,H  που αποτελουν Διαμερισμο του Δειγματοχωρoυ Ω  

Αποδειξη 

1) 𝑝 Α|𝐻 ∩ ∩ 𝑝 H|Α  

 Και απο το Πολλαπλασιαστικο Θεωρημα  

2) P[A] 𝑃 𝐴 ∩ 𝛺 𝑃 𝐴 ∩ 𝐻 ∪ 𝐻        

              𝑃 𝐴 ∩ 𝐻 ∪ 𝐴 ∩ 𝐻                𝑃 𝐴 ∩ 𝐻 𝑃 𝐴 ∩ 𝐻                 𝑃 𝐴|𝐻 𝑃 𝐻 𝑃 𝐴|𝐻 𝑃 𝐻  Εφαρμογη της Ιδιοτητας 5) Πιθανοτητας Kolmogorov 

 

3) 𝑃 A 𝑃 A ∩ 𝛺 𝑃 A ∩ 𝐻 ∪ 𝐻 ∪ … ∪ 𝐻  

                𝑃 𝐴 ∩ 𝐻 ∪ A ∩ 𝐻 ∪ … ∪ A ∩ 𝐻                  P 𝐴 ∩ 𝐻 P A ∩ 𝐻 ⋯ P A ∩ 𝐻  

                ∑ 𝑃 𝐴|𝐻 P 𝐻 ]   

Εφαρμογη της Ιδιοτητας 5) Πιθανοτητας Kolmogorov 

ΣΧΟΛΙΟ Θεωρημα Bayes. Ερμηνεια  

𝑃 𝐻 , 𝑃 𝐻 , … , 𝑃 H  οι Πιθανοτητες των Γεγονοτων H , H ,…, H   Προ της Παρατηρησης  Προτερες Πιθανοτητες (apriori probabilities) 𝑃 𝐻 |𝐴 , 𝑃 𝐻 |𝐴 , … , 𝑃 H |𝐴  οι πιθανοτητες των Γεγονοτων H , H ,…, H   μετα την Διαπιστωση ότι συνεβη το γεγονος B  Υστερες Πιθανοτητες (aposteriori probabilities) 𝑃 𝐴|𝐻 , 𝑃 𝐴|𝐻 , … , 𝑃 𝐴|H   οι Πιθανοτητες τα Γεγονοτα H , H ,…, H  να επηρεαζουν (ως Αιτιες) τo γεγονος Β  Οι Πιθανοτητες Εξαρτησης του A από τα Γεγονοτα H , H ,…, H    Ο Τυπος Bayes συνδεει  Τις Υστερες Πιθανοτητες 𝑃 𝐻 |𝐴 , 𝑃 𝐻 |𝐴 , … , 𝑃 H |𝐴   με τις Προτερες Πιθανοτητες (apriori probabilities) 𝑃 𝐻 , 𝑃 𝐻 , … , 𝑃 H    Μεσω των Πιθανοτητων Εξαρτησης  𝑃 A|𝐻 , 𝑃 A|𝐻 , … , 𝑃 𝐴|H    

Bayesian Statistics 

ΣΧΟΛΙΟ Θεωρημα Bayes. Εφαρμογη στον Ελεγχο Υποθεσεων 

Σχεση Διαγνωσης‐Παρατηρησης με την Πραγματικοτητα

 

Η συμβολιζει την Υποθεση που διατυπωνουμε για ένα Φαινομενο ως Μεταβλητη

𝛨 1 𝑻𝑅𝑈𝐸  σημαινει ότι η Υποθεση είναι Αληθης  

                 Η Υποθεση περιγραφει Αληθως την Πραγματικοτητα  

𝛨 0 𝑭𝐴𝐿𝑆𝐸   σημαινει ότι η Υποθεση είναι Ψευδης  

                Η Υποθεση περιγραφει Ψευδως την Πραγματικοτητα  

 

𝚮 συμβολιζει το αποτελεσμα της Δοκιμης‐Ελεγχου της Υποθεσης Η μεσω Παρατηρησης (Δεδομενα, Οργανο) Η 𝑷𝑂𝑆𝐼𝑇𝐼𝑉𝐸  σημαινει ότι η Παρατηρηση είναι Θετικη για την Υποθεση Η  

                  Η Υποθεση Επιβεβαιωνεται από την Παρατηρηση  

Η 𝑁𝐸𝐺𝐴𝑇𝐼𝑉𝐸  σημαινει ότι η Παρατηρηση είναι Αρνητικη για την Υποθεση Η  

                  Η Υποθεση Δεν Επιβεβαιωνεται από την Παρατηρηση  

 

Συναφεια της Παρατηρησης 𝐻 με την Υποθεση HTRUE POSITIVE OUTCOME

𝐻 και 𝛨 1 Η Παρατηρηση Επιβεβαιωνει 𝑯 την Αληθη Υποθεση 𝜢 𝟏 ΑΛΗΘΕΣ ΘΕΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ Διαγνωση Θετικη και το Ατομο ΠΑΣΧΕΙ Ο Ενοχος Καταδικαζεται

FN FALSE NEGATIVE OUTCOME𝐻 και 𝛨 1

Η Παρατηρηση Απορριπτει 𝑯 την Αληθη Υποθεση 𝜢 𝟏 ΨΕΥΔΕΣ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ Διαγνωση Αρνητικη

αλλα το Ατομο ΠΑΣΧΕΙ Ο Ενοχος Απαλασσεται

Σφαλμα 2ου Ειδους Τυπου IΙ

FP FALSE POSITIVE OUTCOME𝐻 και 𝛨 0

Η Παρατηρηση Επιβεβαιωνει 𝑯 την Ψευδη Υποθεση 𝜢 𝟎 ΨΕΥΔΕΣ ΘΕΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ Διαγνωση Θετικη αλλα το Ατομο ΔΕΝ ΠΑΣΧΕΙ Ο Αθωος Καταδικαζεται

Σφαλμα 1ου Ειδους Τυπου I

TN TRUE NEGATIVE OUTCOME𝐻 και 𝛨 0

Η Παρατηρηση Απορριπτει 𝑯 την Ψευδη Υποθεση 𝜢 𝟎 ΑΛΗΘΕΣ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ Διαγνωση Αρνητικη και το Ατομο ΔΕΝ ΠΑΣΧΕΙ Ο Αθωος Απαλλασσεται

Συναφεια Παρατηρησης με την ΠραγματικοτηταΑΛΗΘΕΣ ΘΕΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤPΑΛΗΘΕΣ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤNΗ Παρατηρηση Αναπαριστα (Φανερωνει) την Πραγματικοτητα  Παιρνεις oτι Βλεπεις  What you see is What you get 

ΨΕΥΔΕΣ ΘΕΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ FPΨΕΥΔΕΣ ΑΡΝHΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ FNΗ Παρατηρηση δεν Αναπαριστα (Συγκαλυπτει) την Πραγματικοτητα  Αλλα Βλεπεις, αλλα Παιρνεις  What you see is Νot What you get Το Δικαστηριο είναι ο Φοβος του Αθωου και η Ελπιδα του Ενοχου ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΗ HALLUCINATION ΠΑΡΑΠΛΑΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗ ILLUSION ΑΥΤΑΠΑΤΗ GLAMOUR

 

Πληθος Γεγονοτων Συμβολο Πληθος Αληθως Θετικων Γεγονοτων    𝛨  και   𝛨 1  

𝑇𝑃

Πληθος Αληθως Αρνητικων Γεγονοτων    𝛨  και   𝛨 0  

𝑇𝛮 

Πληθος Ψευδως Θετικων Γεγονοτων   𝛨  και  𝛨 0  

𝐹𝑃 

Πληθος Ψευδως Αρνητικων Γεγονοτων 𝛨  και  𝛨 1  

𝐹𝛮

Πληθος Θετικων Γεγονοτων/Παρατηρησεων   𝛨   

𝑃 𝑇𝑃 𝐹𝑃

Πληθος Αρνητικων Γεγονοτων/Παρατηρησεων   𝛨   

𝑁 𝑇𝑁 𝐹𝑁 

Πληθος Αληθων Γεγονοτων/Παρατηρησεων   𝛨 1  

𝛵 𝑇𝑃 𝑇𝑁 

Πληθος Ψευδων Γεγονοτων/Παρατηρησεων   𝛨 1  

𝐹 𝐹𝑃 𝐹𝑁 

Πληθος Γεγονοτων που Παρατηρηθηκαν 𝛭 𝑃 𝑁 𝑇 𝐹 

Συναφεια Διαγνωσης‐Παρατηρησης με την Πραγματικοτητα 

Πιθανοτητα Σφαλματων False Positive Probability = False Alarm Probability = Type I Error Probability = Significance Σημαντικοτητα

False Negative Probability =False Confidence Probability =Type II Error Probability

𝑃 𝛨 𝛨 0𝑃 𝐻 , 𝐻 0

𝑃 𝐻 0𝐹𝑃𝑀

𝐹𝑃 𝑇𝑁𝑀

𝐹𝑃

𝐹𝑃 𝑇𝑁

𝒂

𝑃 𝛨 𝛨 1𝑃 𝐻 , 𝐻 1

𝑃 𝐻 1 𝐹𝑁𝑀

𝑇𝑃 𝐹𝑁𝑀

𝐹𝑁

𝐹𝑁 𝑇𝑃 𝜷

Συναφεια Διαγνωσης‐Παρατηρησης με την Πραγματικοτητα 

Πιθανοτητα Αληθους Ελεγχου True Positive Probability = Sensitivity Ευαισθησια = Power of the Test = Recall Ανακληση 

True Negative Probability = Specificity Ειδικοτητα = Confidence Εμπιστοσυνη

𝑃 𝛨 𝛨 1𝑃 𝐻 , 𝐻 1

𝑃 𝐻 1

𝛵𝑃𝑀

𝛵𝑃 𝐹𝑁𝑀

𝛵𝑃

𝛵𝑃 𝐹𝑁

𝟏 𝜷

𝑃 𝛨 𝛨 0𝑃 𝐻 , 𝐻 0

𝑃 𝐻 0

𝑇𝑁𝑀

𝑇𝑁 𝐹𝑃𝑀

𝑇𝑁

𝑇𝑁 𝐹𝑃

𝟏 𝒂

Πιθανοτητα Αληθως Θετικου Ελεγχου

Πιθανοτητα Ψευδως Θετικου Ελεγχου Πιθανοτητα Σφαλματος Τυπου ΙΙ

Πιθανοτητα Ψευδως Αρνητικου Ελεγχου

Πιθανοτητα Σφαλματος Τυπου Ι

Πιθανοτητα Αληθως Αρνητικου Ελεγχου

Πιθανοτητα Ορθης Διαγνωσης

𝑃 𝛨 , Η 1 𝑜𝑟 𝛨 , Η 0 𝑃 𝛨 , Η 1 𝛨 , Η 0𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1 𝑃 𝛨 Η 0 𝑃 Η 0  

1 𝛽 𝑃 Η 1 1 𝛽 𝑃 Η 0 1 𝛽 𝛱 1 𝛽 1 𝛱

𝛱 𝑃 Η 1  Η Επικρατηση (Prevalence) 

Πιθανοτητα Εσφαλμενης Διαγνωσης

𝑃 𝛨 , Η 1 𝑜𝑟 𝛨 , Η 0 𝑃 𝛨 , Η 0 𝛨 , Η 1𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1 𝑃 𝛨 Η 0 𝑃 Η 0  

𝛽 ∙ 𝑃 Η 1 𝛼 ∙ 𝑃 Η 0  𝛽 ∙ 𝛱 𝛼 ∙ 1 𝛱  

 

𝛱 𝑃 Η 1  Η Επικρατηση (Prevalence) 

Θεωρημα Bayes. Διαγνωση Νοσου  Εστω Μεθοδος Διαγνωσης Νοσου Η Νοσος εμφανιζεται σε ποσοστο 0.5% στον Πληθυσμο Η Μεθοδος Διαγνωσης εχει Πιθανοτητα 95% Αληθους Θετικης Διαγνωσης και Πιθανοτητα 10% Ψευδους Θετικης Διαγνωσης 1 Ποια η Πιθανοτητα να υπαρχει Νοσος, αν η Διαγνωση είναι Θετικη? 2 Ποια η Πιθανοτητα να μην υπαρχει Νοσος, αν η Διαγνωση είναι Θετικη? 3 Ποια η Πιθανοτητα Θετικης Διαγνωσης? 4 Ποια η Πιθανοτητα Αρνητικης Διαγνωσης? 5 Ποια η Πιθανοτητα να μην υπαρχει Νοσος, αν η Διαγνωση είναι Αρνητικη? 6 Ποια η Πιθανοτητα να μην υπαρχει Νοσος, αν η Διαγνωση είναι Θετικη? 7 Ποια η Πιθανοτητα Ορθης Διαγνωσης? 8 Ποια η Πιθανοτητα Εσφαλμενης Διαγνωσης?       

 Υπαρχουν 4 Ενδεχομενα:  Η 1 : Υπαρχει Νοσος                                                Η 0  : Δεν Υπαρχει Νοσος                                                Η  : η Δοκιμη είναι Θετικη                                                Η  : η Δοκιμη είναι Αρνητικη   ΔΙΔΟΝΤΑΙ: Επικρατηση Prevalence Νοσου: 0.5% P Η 1 0.005 Επιδημιολογια Ευαισθησια Sensitivity : 80% P 𝛨 |Η 1 0.95 Προδιαγραφες  

Μεθοδου ΔιαγνωσηςΣφαλμα False Positive: 10% P 𝛨 |Η 0 0.1         

1 Ποια η Πιθανοτητα να υπαρχει Νοσος, αν η Διαγνωση είναι Θετικη? Δηλαδη Ζητειται η Δεσμευμενη Πιθανοτητα 𝑃 Η 1|𝛨 Ευστοχια (Precision) της Διαγνωσης Εφαρμοζω το Θεωρημα Bayes: 

𝑃 𝐴|𝐵𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴

𝑃 𝐵𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴

𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵|𝛢𝑐 𝑃 𝛢𝑐  

 

𝑃 Η 1|𝛨𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1

𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1 𝑃 𝛨 Η 0 𝑃 Η 0 

0.95 0.0050.95 0.005 0.1 0.995 0.0455 

Η Πιθανοτητα να υπαρχει Νοσος, αν η Διαγνωση είναι Θετικη, είναι 4.55%  2 Ποια η Πιθανοτητα να μην υπαρχει Νοσος, αν η Διαγνωση είναι Θετικη?

𝑃 Η 0|𝛨 1 𝑃 Η 1|𝛨 1 0.0455 0.9545     

3 Ποια η Πιθανοτητα Θετικης Διαγνωσης? Από το Θεωρημα Ολικης Πιθανοτητος:  

𝑃 𝛨 𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1 𝑃 𝛨 Η 0 𝑃 Η 0 0.10425 4 Ποια η Πιθανοτητα Αρνητικης Διαγνωσης?

𝑃 Η 1 𝑃 𝛨 1 0.10425 0.89575          

5 Ποια η Πιθανοτητα να μην υπαρχει Νοσος, αν η Διαγνωση είναι Αρνητικη?

𝑃 𝐴|𝐵𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴

𝑃 𝐵

𝑃 Η 0|𝛨𝑃 𝛨 Η 0 𝑃 Η 0

𝑃 𝛨 

1 𝑃 𝛨 Η 0 1 𝑃 𝛨 1𝑃 𝛨

 

. ..

0,999916!   6 Ποια η Πιθανοτητα να μην υπαρχει Νοσος, αν η Διαγνωση είναι Θετικη?

𝑃 Η 0|𝛨 1 𝑃 Η 1|𝛨 1 0.0455 0.9545 

7 Ποια η Πιθανοτητα Ορθης Διαγνωσης?

𝑃 𝛨 , Η 1 𝑜𝑟 𝛨 , Η 0 𝑃 𝛨 , Η 1 𝛨 , Η 0

𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1 𝑃 𝛨 Η 0 𝑃 Η 0

0.95 ∙ 0.005 0.9 ∙ 0.995 0.90025  

 

 

𝑃 𝛨 Η 1 0.95, δεδομενο 

𝑃 Η 1 0.005, δεδομενο 

𝑃 𝛨 Η 0 1 P 𝛨 |Η 0 1 0.1 0.9 

𝑃 Η 0 1 𝑃 Η 1 0.995 

8 Ποια η Πιθανοτητα Εσφαλμενης Διαγνωσης?

𝑃 𝛨 , Η 1 𝑜𝑟 𝛨 , Η 0 𝑃 𝛨 , Η 0 𝛨 , Η 1𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1 𝑃 𝛨 Η 0 𝑃 Η 0  

0.05 ∙ 0.005 0.1 ∙ 0.995 0.0995 

𝑃 𝛨 Η 1 1 P 𝛨 |Η 1 1 0.95 0.05 

𝑃 Η 1 0.005, δεδομενο  𝑃 𝛨 Η 0 0.1, δεδομενο 

𝑃 Η 0 1 𝑃 Η 1 0.995 

Θεωρημα Bayes. Ταξινομηση  Εστω Μεθοδος Ταξινομισης Ερπετων. Παρατηρησαμε μια περιεργη Σαυρα.  4 Ενδεχομενα: Η 1 : Η Σαυρα είναι Σπανιου Ειδους  Η 0  : Η Σαυρα δεν είναι Σπανιου Ειδους Η  : H Μεθοδος δειχνει ότι Η Σαυρα είναι Σπανιου Ειδους  Η  : H Μεθοδος δεν δειχνει ότι Η Σαυρα είναι Σπανιου Ειδους  ΔΙΔΟΝΤΑΙ: Επικρατηση (Prevalence) Σπανιου Ειδους Σαυρων:  0.4%    P[Η=1] 0.004 Επιδημιολογια Ευαισθησια (Sensitivity): 80%                                   P[𝛨 |Η 1 0.8 Προδιαγραφες  

Μεθοδου Διαγνωσης Σφαλμα Τυπου Ι: 10%                                                     P[𝛨 |Η 0]=0.1 ΖΗΤΕΙΤΑΙ: η Ευστοχια (Precision) της Μεθοδου Ταξινομισης  Είναι η Σαυρα Σπανιου Ειδους [H=1], αν η Μεθοδος είναι Θετικη [𝜢 ] ? 

𝑃 Η 1|𝛨𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1

𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1 𝑃 𝛨 Η 0 𝑃 Η 0 

0.8 0.0040.8 0.004 0.1 0.996 0.031 

Η Πιθανοτητα η Σαυρα που Παρατηρησαμε να είναι Σπανιου Ειδους,  αν η Μεθοδος Ταξινομισης είναι Θετικη,  είναι 3.1% 

Θεωρημα Bayes. Αξιολογηση Μαρτυρα 

Ταξί κάνει τροχαίο ατύχημα και αφήνει το θύμα αβοήθητο.  Υπαρχουν δύο εταιρείες ταξί τα πράσινα και τα μπλε.  Αυτόπτης μάρτυρας κατέθεσε ότι το ταξί ήταν μπλε.  Είναι γνωστό ότι τα μπλε ταξί αποτελούν μόνο το 15% των ταξί της πόλης, ενώ τα υπόλοιπα 85% είναι πράσινα.  Ο μάρτυς εξετάστηκε ως προς την ικανότητά του να διακρινει τα χρώματα. Διαπιστωθηκε ότι σε συνθήκες φωτισμού ανάλογες του ατυχήματος, ο μάρτυς αναγνωρίζει σωστά το χρώμα στις 80% των περιπτώσεων.  Ποια η πιθανότητα στο ατύχημα να εμπλέκονταν μπλε ταξί? Υπαρχουν 4 Ενδεχομενα:   Μ = Το ταξι είναι μπλε                                                  Π = Το ταξι είναι πρασινο                                                 Μ = ο μάρτυρας καταθέτει ότι το ταξί ήταν μπλε 

𝑷 𝑴|𝑴𝑃 𝑀 𝑀 𝑃 𝑀

𝑃 𝑀 𝑀 𝑃 𝑀 𝑃 𝑀 Π 𝑃 Π 

0.8 0.150.8 0.15 0.2 0.85 0.413 

η πιθανότητα να είναι ορθη η καταθεση του μάρτυρα είναι πολύ μικρή.  Ομως συχνά αποδεχομαστε ως βέβαιη τη μαρτυρία του.  

Θεωρημα Bayes. Πιθανοτητα θετικης Διαγνωσης Σε μια πολη νοσουν 40 στα 100 ατομα.  Το Διαγνωστικο Οργανο δειχνει Διαγνωση θετικη (ανιχνευεται νοσος) στα 92 από τα 100 ατομα που νοσουν πραγματικα, ενω στα ατομα που δεν νοσουν πραγματικα η διαγνωση είναι θετικη στα 2 από τα 100 ατομα.  Αν εξεταστει ένα τυχαιο ατομο, ποια η πιθανοτητα η Διαγνωση να είναι θετικη  Δεδομενα Η = το γεγονος ότι ενα τυχαιο ατομο νοσει πραγματικα 𝛨 = το γεγονος ότι ενα τυχαιο ατομο φαινεται από την διαγνωση να νοσει πραγματικα  𝑃 𝛨 0,4 

𝑃 𝛨|𝐻 0,92 𝑃 𝛨|𝛨 0,02 

 Απαντηση Από το Θεωρημα Ολικης Πιθανοτητας: 

𝑃 𝛨 𝑃 𝛨 𝑃 𝛨 𝐻 𝑃 𝛨 𝑃 𝛨 𝛨  𝑃 𝛨 𝑃 𝛨 ∩ 𝛨 ∪ 𝛨  

𝑃 𝛨 ∩ 𝛨 ∪ 𝛨 ∩ 𝛨  𝑃 𝛨 ∩ 𝛨 𝑃 𝛨 ∩ 𝛨  

𝑃 𝛨 𝑃 𝛨 𝐻 𝑃 𝛨 𝑃 𝛨 𝛨   𝑃 𝛨 0,4 ∙ 0,92 0,6 ∙ 0,02 0.38 

Θεωρημα Bayes. Εξεταση πολλαπλης Επιλογης Σε εξεταση πολλαπλης Επιλογης 5 Ερωτησεων (μια από τις 5 είναι ορθη) ενας Υποψηφιος γνωριζει το αντικειμενο 70%. Αν απαντησε ορθα, ποια η πιθανοτητα να μην απαντησε τυχαια? Δεδομενα Η = το γεγονος ότι γνωριζει την απαντηση  𝛨 = το γεγονος ότι απαντησε ορθα  𝑃 𝛨 0,7  Απαντηση Η πιθανοτητα να μην απαντησε στην τυχη, δεδομενου οτι απαντησε ορθα είναι: 

𝑃 𝛨 𝛨𝑃 𝛨 ∩ 𝛨

𝑃 𝛨 

Από το Θεωρημα Ολικης Πιθανοτητας: 𝑃 𝛨 𝑃 𝛨 𝑃 𝛨 𝐻 𝑃 𝛨 𝑃 𝛨 𝛨  

Αντικαθιστουμε:  𝑃 𝛨 𝛨 || |

, ∙, ∙ , ∙ ,

0,92 

 𝑃 𝛨 0,7  𝑃 𝛨 𝛨 1  𝑃 𝛨 0,3  𝑃 𝛨 𝛨 0,2 διοτι δεν γνωριζει την απαντηση και απαντησε τυχαια  

Παραδειγμα: Ανιχνευση ανεπιθυμητων μηνυματων (spam) Εστω Φιλτρο ανεπιθυμητων (spam) μηνυματων.  To Φιλτρο προγραμματιζεται να αναγνωριζει επιλεγμενες συγκεκριμενες λεξεις  στα μηνυματα. Εχει διαπιστωθει από μετρησεις ότι 40% των  μηνυματων ειναι ανεπιθυμητα  και οτι 1% των  ανεπιθυμητων μηνυματων περιεχουν τις συγκεκριμενες λεξεις που αναγνωριζει το Φιλτρο. Αυτές οι συγκεκριμενες λεξεις όμως, περιεχονται επισης και σε μηνυματα που δεν ειναι ανεπιθυμητα σε ποσοστο 0,4% Ποια η Πιθανοτητα να ληφθει μηνυμα ανεπιθυμητο, αν το Φιλτρο δειχνει ότι το μηνυμα είναι ανεπιθυμητο? Είναι ικανοποιητικο το Φιλτρο?   Δεδομενα Η 1 : Το Μηνυμα είναι ανεπιθυμητο Η 0  : Το Μηνυμα δεν είναι ανεπιθυμητο Η  : Το Φιλτρο δειχνει ότι το μηνυμα είναι ανεπιθυμητο Η  : Το Φιλτρο δειχνει ότι το μηνυμα δεν είναι ανεπιθυμητο   P[Η=1]=0.4 P[𝛨 |Η 1]=0.01 P[𝛨 |Η 0]=0.004 

Απαντηση Η ζητουμενη Πιθανοτητα να ληφθει μηνυμα ανεπιθυμητο,  αν το Φιλτρο δειχνει ότι το μηνυμα είναι ανεπιθυμητο  είναι η Δεσμευμενη Πιθανοτητα:  𝑃 Η 1|𝛨    Από τον Τυπο του Bayes: 

𝑃 Η 1|𝛨𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1

𝑃 𝛨 Η 1 𝑃 Η 1 𝑃 𝛨 Η 0 𝑃 Η 0 

  0.01 0.4

0.01 0.4 0.004 0.60.004

0.0064 0.625 

    Το Φιλτρο εχει ευστοχια 62.5%.  Δεν κρινεται ικανοποιητικη.  Απαιτουνται προσθετα κριτηρια  (αλλες λεξεις, ονομα αποστολεα, αξιολογηση αποστολεα)   

ΣΧΟΛΙΟ Ο Thomas Bayes (1701‐1761) ήταν υιος προτεστάντη κληρικού και διετέλεσε, για το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του, προτεστάντης κληρικός στο Τάνμπριτζ Ουέλς.  Παροτι γνωστός ως ικανός μαθηματικός, καμία εργασία του δεν δημοσιεύτηκε όσο ζούσε. Ο Bayes εκλέχτηκε μέλος της Βασιλικής Εταιρείας το 1742, ως «άνθρωπος εγνωσμένης αξίας, με σπουδαία κατάρτιση στη γεωμετρία και όλους τους κλάδους της μαθηματικής και φιλοσοφικής γνώσης και άξιος από όλες τις απόψεις να γίνει πολύτιμο μέλος μεταξύ ομοίων.» Μετά το θάνατο του Bayes, o φίλος του Richard Price ανακάλυψε ανάμεσα στα πράγματα του Bayes μια εργασία του για «την επίλυση ενός προβλήματος στη διδασκαλία του τυχαίου», που δημοσιεύτηκε στα πρακτικά της Βασιλικής Εταιρείας το 1763 και έκτοτε ανατυπώθηκε πολλές φορές.  Αυτή η εργασία περιείχε την πεμπτουσία αυτού που σήμερα γνωρίζουμε ως θεώρημα του Bayes και η οποία επηρέασε και επηρεάζει σημαντικά την ανάπτυξη της σύγχρονης στατιστικής 

Εφαρμογες Θ. Bayes: Αναλυση Δεδομενων Αξιολογηση Δοκιμαστηριων Ελεγχος Υποθεσεων Ταξινομιση Μαθηση Νοημοσυνη  

• Gelman A., Carlin J., Stern H., Dunson D., Vehtari A., Rubin D. 2011, Bayesian Data Analysis        Third Edition, CRC Press, Boca Raton, London, New York 

• Murphy K. 2012, Machine Learning. A Probabilistic Perspective        MIT Press, Cambridge, Massachusetts 

• Pouget A., Beck J., Ma W., Latham P. 2013, Probabilistic brains: knowns and unknowns, Nature Neuroscience 16, No 9, 1170‐1178 

• Lee M., Wagenmakers E.‐J. 2014, Bayesian Cognitive Modeling. A Practical Course        Cambridge University Press, UK 

• ERIC‐JAN Russell S. and Norvig P. 2016, Artificial Intelligence. A Modern Approach        Third Edition, Pearson, Essex, UK  

Ανεξαρτησια και Εξαρτηση Το Γεγονος Α είναι Ανεξαρτητο του Γεγονοτος Β ⟺ 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐴   Λημμα H Ανεξαρτησια είναι Συμμετρικη σχεση  Αν το Α Ανεξαρτητο του Β, τοτε και το Β Ανεξαρτητο του Α.  Δηλαδη τα γεγονοτα Α, Β ειναι Ανεξαρτητα (μεταξυ τους). Α,Β Ανεξαρτητα ⟺ P[A,B] = P[A] P[B] , προυποθεση: Ρ[Α] ≠ ∅, Ρ[Β] ≠ ∅ Αποδειξη 

𝑷 𝐴│𝐵 𝑃 𝐴 ⟺𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 ⟺𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 ⟺ 𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐵  

𝑃 𝐴|𝐵 Ρ Α και 𝑃 Β|Α Ρ Β , προυποθεση: Ρ Α ∅, Ρ Β ∅    ΣΧΟΛΙΟ Η συνθηκη: P[A,B] = P[A] P[B] , οριζει την Ανεξαρτησια Γεγονοτων  χωρις την προυποθεση: Ρ[Α] ≠ ∅, Ρ[Β] ≠ ∅  

Ορισμος Ξ, Η Ανεξαρτητα Γεγονοτα ⟺ 𝑃 Ξ ∩ Η 𝑃 Ξ ∙ 𝑃 Η   Πορισμα 1 Αν τουλαχιστον ένα εκ των 𝛯, 𝛨 είναι Αδυνατο,       τοτε τα γεγονοτα 𝛯, 𝛨 είναι Ανεξαρτητα  Πορισμα 2 Τα Ανεξαρτητα Γεγονοτα  𝑃 Ξ ∩ Η 𝑃 Ξ ∙ 𝑃 Η  δεν είναι Ασυμβατα  Ξ ∩ Η ∅ ,  ουτε τα Ασυμβατα Γεγονοτα είναι Ανεξαρτητα           Παραδειγμα:            Τα Γεγονοτα Ξ10 και Η1 στα 2 ζαρια είναι Ασυμβατα αλλα δεν είναι Ανεξαρτητα:            P[Ξ10 ]=P{ (4,6), (5,5),(6,4)}=  

           P[H5 ]=P{ (1,6), (6,1)} =             P[Ξ10 ∩Η5 ]=0 , καθοτι  Ξ10 ∩Η5 = ∅  

Παραδειγμα 

Γεγονος Α= το Αθροισμα των Ενδειξεων 2 ζαριων είναι 7 Γεγονος Β= η Ενδειξη εκαστου ζαριου  δεν είναι πανω από 4 Είναι τα Α,Β Ανεξαρτητα? 𝑝 𝐴      𝑝 Β                               𝑝 𝐴 𝑝 Β =  

𝑝 𝐴, 𝐵 𝑝 𝐴 𝑝 Β                          Τα Α,Β δεν είναι Ανεξαρτητα  2  Ξ2 ={ (1,1)}  1/36 3  Ξ3 ={ (1,2), (2,1)}  2/36 4  Ξ4 ={ (2,2), (1,3),(3,1)}  3/36 5  Ξ5 ={ (1,4), (2,3),(3,2), (4,1)}  4/36 6  Ξ6 ={ (1,5), (2,4),(3,3), (4,2), (5,1)}  5/36 7  Ξ7 ={ (1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}  6/36 8  Ξ8 ={ (2,6), (3,5),(4,4), (5,3), (6,2)}  5/36 9  Ξ9 ={ (3,6), (4,5),(5,4), (6,3)}  4/36 10  Ξ10 ={ (4,6), (5,5),(6,4)}  3/36 11  Ξ11 ={ (5,6), (6,5)}  2/36 12  Ξ12 ={ (6,6)}  1/36 

Ασκηση  Είναι τα γεγονοτα {Χ1=7} , {Χ2=3} ανεξαρτητα?  P[Χ1=7] =  P[Χ2=3]= P[Χ1=7 , Χ2=3]=               

Παραδειγμα:  Ρίχνουμε ένα πράσινο και ένα κόκκινο ζάρι και θέτουμε: Α={το κόκκινο ζαρι έφερε 5},  Β={το άθροισμα είναι περιττός},  Γ={το άθροισμα είναι 11} Τότε: Τα Α,Β είναι Ανεξαρτητα           Τα Α,Γ είναι Ανεξαρτητα            Τα Β,Γ δεν είναι Ανεξαρτητα  P[Α]=        P[Β] =      P[Γ] =  

           P[Α,Β]=   ∙   

           P[Β,Γ]= ≠  ∙      Γ Β, επομένως τα Β,Γ «εξαρτώνται» πολύ 

           P[Α,Γ] =  ≠  ∙      

Θεωρημα Η Ανεξαρτησια 2 Γεγονοτων συνεπαγεται  την Ανεξαρτησια των Συμπληρωματικων Γεγονοτων Αν τα Γεγονοτα Α,Β είναι Ανεξαρτητα,  Τοτε είναι Ανεξαρτητα και τα Γεγονοτα:   Α, Β                                                                            Α , Β                                                                             B, A Aποδειξις 

𝑝 𝐴 ∩ Β 𝑝 𝐴 𝑝 Β |𝐴                                             𝑝 𝐴 1 𝑝 Β|𝐴                                             𝑝 𝐴 1 𝑝 𝐵                                                                  𝑝 𝐴 𝑝 Β  Ομοιως και τα αλλα ζευγη     

ΣΧΟΛΙΟ Ποτε Ν Γεγονοτα είναι Ανεξαρτητα ?  Αρκει να είναι Ανεξαρτητα ανα Ζευγη? OXI! Υπαρχουν Γεγονοτα Ανεξαρτητα ανα Ζευγη, Αλλα Ολικα Εξαρτημενα  Παραδειγμα: 2 Ζαρια 𝛢  : Η Ενδειξη του ζαριου (1) ειναι Αρτιος Αριθμος  𝛢  : Η Ενδειξη του ζαριου (2) ειναι Αρτιος Αριθμος 𝛢  : Το Αθροισμα των Ενδειξεων των ζαριων ειναι Αρτιος Αριθμος   P[𝛢 ] = P[𝛢 ]= P[𝛢 ]=    

P[𝛢 𝛢 ] = P[𝛢  𝛢 ]= P[𝛢 𝛢 ]=    

P[𝛢 𝛢 𝛢 ]=    Τα ζευγη  𝛢 , 𝛢 ],  𝛢 , 𝛢 ],  𝛢 , 𝛢 ] είναι Ανεξαρτητα,  αλλα  P[𝛢 ] P[𝛢 ] P[𝛢 ]=  ≠  = P[𝛢 𝛢 𝛢 ]  

Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων 

Παρατηρησιμα Γεγονοτα Observable Events 

Πιθανοτητα Probability 

2  Ξ2 ={ (1,1)}  1/36=3% 3  Ξ3 ={ (1,2), (2,1)}  2/36=6% 4  Ξ4 ={ (2,2), (1,3),(3,1)}  3/36=8% 5  Ξ5 ={ (1,4), (2,3),(3,2), (4,1)}  4/36=11% 6  Ξ6 ={ (1,5), (2,4),(3,3), (4,2), (5,1)}  5/36=14% 7  Ξ7 ={ (1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}  6/36=17% 8  Ξ8 ={ (2,6), (3,5),(4,4), (5,3), (6,2)}  5/36=14% 9  Ξ9 ={ (3,6), (4,5),(5,4), (6,3)}  4/36=11% 10  Ξ10 ={ (4,6), (5,5),(6,4)}  3/36=8% 11  Ξ11 ={ (5,6), (6,5)}  2/36=6% 12  Ξ12 ={ (6,6)}  1/36=3%  P[Aθροισμα Αρτιος]=P[Aθροισμα Περιττος]=   

ΣΧΟΛΙΟ Ποτε Ν Γεγονοτα είναι Ανεξαρτητα ?  Υπαρχουν Γεγονοτα Ολικα Ανεξαρτητα, Αλλα Εξαρτημενα ανα Ζευγη?  Παραδειγμα: 2 Ζαρια 𝛢  : Η Ενδειξη του ζαριου (1) ειναι 1 ή 2 ή 3 𝛢  : Η Ενδειξη του ζαριου (2) ειναι 3 ή 4 ή 5 𝛢  : Το Αθροισμα των Ενδειξεων των ζαριων ειναι 9  P[𝛢 𝛢 𝛢 ]=          P[𝛢 ] P[𝛢 ] P[𝛢 ]=   ∙   ∙   =   Τα Γεγονοτα είναι Ολικα Ανεξαρτητα P[𝛢 𝛢 ] =             P[𝛢 ] P[𝛢 ] =   ∙   =    ≠    

P[𝛢  𝛢 ]=          P[𝛢 ] P[𝛢 ]=   ∙   =    ≠    

P[𝛢 𝛢 ]=            P[𝛢 ] P[𝛢 ]=   ∙   =  ≠    Τα Γεγονοτα δεν  είναι Ανεξαρτητα ανα ζευγη  

Γεγονος   Πιθανοτητα Δειγματοχώρος 

𝛺 𝜅, 𝜆 : 𝜅, 𝜆 1,2,3,4,5,6  Tα 36 Στοιχειωδη Ενδεχομενα είναι Ισοπιθανα 

Α 𝜅, 𝜆 : 𝜅 1,2,3, 𝜆 1,2,3,4,5,6  Η Ενδειξη του ζαριου (1) ειναι 1 ή 2 ή 3 

𝑃 Α12 

Α 𝜅, 𝜆 : 𝜅 3,4,5, 𝜆 1,2,3,4,5,6  Η Ενδειξη του ζαριου (1) ειναι 3 ή 4 ή 5 

𝑃 Α12 

Α (3,6), (4,5),(5,4), (6,3)} Το Αθροισμα των Ενδειξεων των ζαριων ειναι 9 

𝑃 Α4

3619 

Α Α (3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (3,6)}  𝑃 Α Α6

3616 

Α Α 3,6   𝑃 Α Α1

36 

Α Α (3,6), (4,5),(5,4)   𝑃 Α Α3

361

12 

Α Α Α 3,6   𝑃 Α Α Α1

36 

ΣΧΟΛΙΟ Ποτε Ν Γεγονοτα είναι Ανεξαρτητα ?  Υπαρχουν Γεγονοτα Ολικα Ανεξαρτητα και Ανεξαρτητα ανα Ζευγη?  Παραδειγμα: