Μαθηματικά και Στατιστικηστην Βιολογια

ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (1ο)

Mathematicsand Statistics in Biology

WINTER SEMESTER (1st)

Τμημα ΒιολογιαςΑριστοτελειο Πανεπιστημιο

Θεσσαλονικης

School of BiologyAristotle University of 

Thessaloniki

3. ΚατανομεςIωαννης Αντωνιου Χαραλαμπος Μπρατσαςiantonio@math.auth.gr cbratsas@math.auth.gr

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε Αδεια Χρήσης Creative Commons

• Ποια Κατανομη οριζει μια Μεταβλητη?• Ποιες Κατανομες Βρηκαμε ?

18 βασικες Κατανομες

Σκοπος ‐ Περιεχομενο

Κατανομη Πιθανοτητος Πραγματικων ΜεταβλητωνΠραγματικες Μεταβλητες: Πεπερασμενες Διακριτες Μεταβλητες: σ ={ x1 , x2 , …, xΝ}Απειρες Διακριτες Μεταβλητες :  σ ={x1 , x2 , …}Συνεχεις Μεταβλητες: σ  {‐∞, +∞}

Διακριτες ΠΜ:  σ ={ x1 , x2 , …}𝜅 𝜅

𝜅 1 2 𝜅

Συνεχεις ΠΜ: σ  {‐∞, +∞}

ρ(ξ)=  (ξ)          

Συναρτηση Κατανομης ή Αθροιστικη Συναρτηση Κατανομηςτης Πραγματικης Μεταβλητης Χ Cumulative Distribution Function of the Real Variable X

Συναρτηση Πιθανοτητας της Πραγματικης Μεταβλητης Χ Probability  Function  of the Real Variable X 

Συναρτηση Eπιβιωσης ή Αξιοπιστία ή Συναρτηση Ουράςτης Πραγματικης Μεταβλητης Χ Survival Function  or Reliability  Function or Tail  Function of the Real Variable X

• Αριθμητικες Πραγματικες ΜεταβλητεςΤα Προβληματα επιλυονται ως Προβληματα Πραγματικων Kατανομων ΠιθανοτηταςΦασμα (συνολο τιμων) ένα συνολο Πραγματικων Αριθμων

• Συμβολικες Μεταβλητεςδεν εχουν Αθροιστικη Συναρτηση ΚατανομηςΦασμα (συνολο τιμων) ένα συνολο συμβολων.Θεωρια Πληροφοριας

ΠαραδειγμαΜεταβλητη X:Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων

Παρατηρησιμα ΓεγονοταObservable Events

ΠιθανοτηταProbabilityP(x)

Συναρτηση ΚατανομηςF(x)

ΣυναρτησηEπιβιωσης1− F(x)

2 Ξ2 ={(1,1)} 1/36 1/36=2.78% 35/363 Ξ3 ={(1,2),(2,1)} 2/36 3/36=8.4% 33/364 Ξ4 ={(2,2),(1,3),(3,1)} 3/36 6/36=16.7% 30/365 Ξ5 ={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} 4/36 10/36=27.8% 26/366 Ξ6 ={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} 5/36 15/36=41.7% 21/367 Ξ7 ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} 6/36 21/36=58.3% 15/368 Ξ8 ={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} 5/36 26/36=72.2% 10/369 Ξ9 ={(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)} 4/36 30/36=83.3% 6/3610 Ξ10 ={(4,6),(5,5),(6,4)} 3/36 33/36=91.7% 3/3611 Ξ11 ={(5,6),(6,5)} 2/36 35/36=97.2% 1/3612 Ξ12 ={(6,6)} 1/36 36/36=100% 0

18 βασικες Κατανομες απο αυτέςπουανακαλυφθηκανΚλασση Διακριτή ΣυνεχηςKαθορισμενη (Deterministic) Kronecker DiracΟμοιομορφη (Uniform) Ομοιομορφη [Λ] Ομοιομορφη Συνεχης [Λ]

Bernoulli [Λ]Διωνυμικη (Binomial) [Λ] Poisson [Λ] Υπεργεωμετρικη [Λ] Hypergeometric

Αμνημων (Memoryless) Γεωμετρικη Geometric [Λ] Εκθετικη (Exponential) [Λ] Kανονικη (Normal, Gauss) [Λ] Kατανομη 𝜒 [Λ] Kατανομη Student-𝑡 [Λ] Kατανομη FisherΛογαριθμο‐Κανονικη(Log‐Normal)Σιγμοειδης (Sigmoid)

Δυναμης (PowerLaw) Zipf ParetoEγχειριδιο / Καταλογος Kατανομωνwww.stat.rice.edu/~dobelman/textfiles/DistributionsHandbook.pdfhttp://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions

Καθορισμενη Κατανομη (Διακριτη) Αριστοτελης 360πΧ

(Ακεραιος)

ο φορεας είναι ο αριθμος ξ

Καθορισμενη Κατανομη (Συνεχης) Dirac P.A.M. 1927Κβαντικη θεωρια

𝛿 𝑥 𝛿𝜀𝜈 𝜊𝜌𝜄𝜁𝜀𝜏𝛼𝜄, 𝑥 𝜉0, 𝑥 𝜉 𝛿 𝑥 𝜉

𝑥 Πραγματικος Αριθμος

𝑑𝑥𝛿 𝑥 1

𝑑𝑥𝛿 𝑥 𝜑 𝑥 𝜑 𝜉

𝜑 ομαλη πραγματικη συναρτησηΠου μηδενιζεται ασυμπτωτικα

Ομοιομορφη Κατανομη (Διακριτη) Αριστοτελης 360πΧ, Leibnitz 1680

, Αll points are equally likely.

Ομοιομορφη Κατανομη στο διαστημα [a,b] (Συνεχης)

, 

Αll points are equally likely.

Κατανομη  Bernoulli Jacob 1713 (Διακριτη)

ο φορεας είναι το συνολο {0,1}

Πείραμα Bernoulli ονομαζεταιΚάθε Πείραμα με δειγματόχωρο Υ = {0,1}2 στοιχειωδων ενδεχομένων με πιθανοτητες

Διωνυμικη Κατανομη Bernoulli Jacob 1713 (Διακριτη)

𝝆𝒕,𝒑 𝒙 𝒕𝒙

𝒑𝒙 𝟏 𝒑 𝒕 𝒙 , x 0,1,2,3, …,t

0 𝑝 1η Πιθανοτητα x Επιτυχιων σε t 1 Πειραματα Bernoulli

σε Κάθε Πειραμα η πιθανοτητα επιτυχιας είναι p𝑡𝑥 𝐶 !

! !Ο Διωνυμικος Συντελεστης=Binomial Coefficient

𝜌 , 𝑥

Πολυωνυμικη Κατανομη (Διακριτη)Bernoulli Jacob 1713, Leibnitz 1680

𝜌 , 𝑥 𝜌 , , ,…, x1, x2,…,xn  𝑡

𝑥 𝑥 … 𝑥 𝑝 𝑝 … 𝑝the probability of occurrences of the outcomes {1,2,3…n} 

                x1, x2,…, xn times correspondingly in t Bernoulli trialsx1 0,1,2,3, … , 𝑡x2 0,1,2,3, … , 𝑡…𝑥 0,1,2,3, … , 𝑡𝑥 is the number of times the outcome ν with probability pν 

was observed in n independent trials 

𝑡𝑥 𝑥 … 𝑥

! ! !… !

Ο Πολυωνυμικος Συντελεστης (Multinomial Coefficient)

(p1 + p2+…+ pn)t = ∑ 𝑡

𝑥 𝑥 … 𝑥 𝑝 𝑝 … 𝑝, ,…,

The sum over all n‐ads (x1, x2,…, xn): xν =0,1,2,…,n with x1+ x2+ …+xn= t

Κατανομη Poisson 1838 (Διακριτη)

, !, x=0,1,2,3,…

, !, x=0,1,2,3,…

Η Πιθανοτης να συμβουν x γεγονοτα σε ορισμενο χρονικο διαστημα [0,t]λt 0: ο αναμενομενος αριθμος γεγονοτων στο διαστημα [0,t], t>0λ 0: ο αναμενομενος αριθμος γεγονοτων στο διαστημα [0,1]

Υπεργεωμετρικη Κατανομη (Διακριτη)Pearson K. (1899)

𝝆𝒕,𝑵𝟏,𝑵 𝒙

𝑵𝟏𝒙

𝑵 𝑵𝟏𝒕 𝒙

𝑵𝒕

𝒕 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝑵 Θεωρια Εξελιξης𝒙 𝒎𝒊𝒏 𝒕, 𝑵𝟏 Μαθηματικη ΣτατιστικηΗ Πιθανοτης 𝑥 "Επιτυχιων" σε Δειγμα Μεγεθους 𝑡απο Δεδομενα Πληθους Ν, στα οποια περιεχονται𝑵𝟏< Ν ενδιαφεροντα Στοιχεια (Επιτυχιες) και 𝑵 𝑵𝟏 μη ενδιαφεροντα Στοιχεια (Αποτυχιες) 

• Ταξινομιση (Βιολογικων) Δεδομενων• Ελεγχος Υποθεσεων

Εκθετικη Κατανομη (Συνεχης) Poisson 1838, x 0

η Πιθανοτητα η διαρκεια‐αποσταση μεταξυανεξαρτητων γεγονοτων (ανμνημων διεργασια) να είναι x

θετικη παραμετρος, ο ρυθμος μεταβολης

: ο αναμενομενος χρονος ζωης

Γεωμετρικη Κατανομη (Διακριτη)Pascal‐Fermat 1654

,t (Γεωμετρικη προοδος)

η Πιθανοτητα η πρώτη Επιτυχία να παρατηρηθει στο Πειραμα x tσε t διαδοχικα Ανεξαρτητα Πειραματα BernoulliΣε Κάθε Πειραμα Bernoulli η πιθανοτητα επιτυχιας είναι pΣτις x−1 προηγουμενες προσπάθειες παρατηρηθηκε Αποτυχια

Κανονικη Κατανομη Gauss 1809 (Συνεχης)

𝜌 , 𝑥 𝑒 ,  Πραγματικος Αριθμος

Παραμετροι: η Μεση Τιμη μ και η Τυπικη Αποκλιση σ

• Σφαλματα• Βαθμολογια Φοιτητων• Κεντρικο Οριακο Θεωρημα [Λυκ]

Η Κατανομη της Μεσης Τιμης Δειγματος προσεγγιζει την Κανονικη κατανομη

καθως το Μεγεθος του Δειγματος αυξανει

Κανονικη Κατανομη Gauss 1809 (Συνεχης)Youden W. 1962, Experimentation and Measurement, p55

Κατανομη 𝟐 (Συνεχης) Helmert F. (1876)Pearson K. (1900)

ρν(x) =  𝑥 𝑒 , x≥0

𝜈 0 θετικη παραμετρος (βαθμος ελευθεριας)Γ 𝑧 η συναρτηση Γ

Η μεταβλητη χ =  ακολουθει την κατανομη Xι – τετραγωνο βαθμου ν= Ν − 1 

𝑠 ⋯ η αμεροληπτη διασπορα του Δειγματος

Ελεγχος Υποθεσεων

Κατανομη Student‐t (Συνεχης) Gosset 1908

ρν(t) = 𝟏𝝂𝝅

𝜞 𝝂 𝟏𝟐

𝜞 𝝂𝟐

𝒕𝟐

𝝂

𝝂 𝟏𝟐, t 

Γ(z) η συναρτηση Γθετικη παραμετρος (βαθμος ελευθεριας)

Η μεταβλητη 𝑡= 𝒎 𝝁𝒔 𝑵

ακολουθει την κατανομη Student‐t βαθμου ν= Ν − 1 

s  𝝃𝟏 𝒎 𝟐 ⋯ 𝝃𝜨 𝒎 𝟐

𝜨 𝟏η  Αμεροληπτη Τυπικη Αποκλιση του δειγματος

• Ελεγχος Υποθεσεων

H Κατανομη Student‐t εχειπιο "παχεια Ουρα" από την Κανονικη Κατανομη

Κατανομη F (Συνεχης) Fisher R. (1924)Βιολογος και Μαθηματικος

Η Μεταβλητη 𝒔𝜲𝟐

𝒔𝜰𝟐

𝝈𝒀𝟐

𝝈𝑿𝟐 των Διασπορων 𝝈𝜲

𝟐 , 𝝈𝜰𝟐

2 Ανεξαρτητων Πληθυσμων με Κανονικες ΚατανομεςΑκολουθει Κατανομη F (Fisher) με παραμετρους (βαθμους Ελευθεριας): ν1= 1,2,…, ν2 = 1,2,…

𝝆𝝂𝟏𝝂𝟐(x) = 𝝂𝟏𝝂𝟐

𝝂𝟏𝟐 𝜞 𝝂𝟏 𝝂𝟐

𝟐

𝜞 𝝂𝟏𝟐 𝜞 𝝂𝟐

𝟐

𝒙𝝂𝟏 𝟐

𝟐

𝟏 𝝂𝟏𝝂𝟐

𝒙𝝂𝟏 𝝂𝟐

𝟐, x≥0

Γ(z) η συναρτηση Γ

• Ελεγχος Υποθεσεων

Λογαριθμο‐Κανονικη Κατανομη Galton F. (1879) (Συνεχης)

𝜌 , 𝑥 𝑒 , 𝑥 0Οι τιμες 𝑙𝑛𝑥 ακολουθουν Κανονικη ΚατανομηΚατανομη τιμων γινομενου πολλων θετικων ανεξαρτητων μεταβλητων

Εφαρμογες:• Geology and Mining• Atmospheric sciences and aerobiology• Environment• Biochemical Networks• Food Technology• Medicine• Software Reliability• Linguistics• Economics• Sociology• Internet

Σιγμοειδης Κατανομη (Συνεχης) Verhulst 1845

Πραγματικος Αριθμος

Population DynamicsNeural ΝetworksLearningInnovationsOpinion Diffusion

InnovationManagement

Rogers, E. 1962, Diffusion of Innovations. Free Press, London, NY, 5th ed. 2003http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diffusion_of_ideas.svg#/media/File:Diffusion_of_ideas.svg

Sigmoid Curve:  X t

The Solution of the Verhulst Logistic Equation:     𝑟 1 𝑋, 𝑋 0 𝑋Verhulst P.F. 1838, Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement. Corresp. Math. Phys. 10, 113‐121Pianka, E.R. 1970, On r and K selection. American Naturalist 104, 592‐597

Opinion Diffusion

Κατανομη Δυναμης (Συνεχης) Pareto 1897,

Εφαρμογες• Κατανομη του πλουτου• Μεγεθη Κερδων από Επενδυσεις• Εφαρμογες• Στατιστικη Φυσικη• Σεισμοι, Κρατηρες Σεληνης• Ηλιακες Εκρηξεις• Μεταβολισμος σε σχεση με το Μεγεθος• Νευρικες Διεγερσεις• Φωτιες Δασων• Ειδη ανα Γενος• Διεγερση‐Αποκριση• Κατανομη Συνδεσεων στον Παγκοσμιο Ιστο

Κατανομη Δυναμης (Διακριτη) Zipf 1949

𝜶, 𝜨𝜶

𝜨 𝜶𝜨

𝝂 𝟏

Εφαρμογες• Συχνοτης Λεξεων• Συχνοτης Επιστημονιων Δημοσιευσεων• Μουσικη• Πολεοδομια• Facebook