Universidad de las Fuerzas ArmadasEcuaciones Diferenciales Ordinarias

Deber 4: ECUACIONES HOMOGENEAS

C. Benalcazar y T. Villacres

Cual de las funciones siguientes son homogeneas

0.1.

f(x;y) = x3 + xy2exy

Comprobacion

f(λx;λy) = (λx)3 + λx(λy)2eλxλy

Scamos factor comun λ

f(λx;λy) = λ3(x3 + xy2exy )

Concluimos que si es una funcion HOMOGENEA de grado 3

0.2.

f(x;y) =1

x32√xy − y2

Comprobacion

f(λx;λy) =1

(λx)32√(λx)(λy)− (λx)2

1

Scamos factor comun λ

f(λx;λy) =1

λ2(1

x32√xy − y2)

Concluimos que si es una funcion HOMOGENEA

0.3.

f(x;y) =x2 + y2 + 1

2xy

Comprobacion

f(λx;λy) =(λx)2 + (λy)2 + 1

2(λx)(λy)

Scamos factor comun λ

f(λx;λy) =(λx)2x2 + (λx)2y2 + 1

2(λx)(λy)

Concluimos que NO es una funcion HOMOGENEA

0.4.

(x2 + y2)dx+ 2xy = 0 (1)

Reemplazo y = xui y dy = udx+ xdu, en la ec(1)

(x2 + (xu)2)dx+ 2x2u(udx+ xdu) = 0

(1 + (u)2)dx+ 2xudu) = 0

−dx2x

=udu

1 + 3u2

2

factor de integracion a ambos mienbros

−∫dx

2x=

∫udu

1 + 3u2

−1

2ln|x| =

1

6ln|1 + 3u2|+ c

(2)

Remmplazo y = xu, en ecu2

12√x

=6

√1 + 3x2

x2K

0.5.

xydx− (x2 + 3y2)dy = 0

Reemplazo x = uy y dx = udy + ydu, en la ec(3)

uy2(udy + ydu)− ((uy)2 + 3y2)dy = 0

udu = 3dy

factor de integracion a ambos mienbros

∫udu = 3

∫dy

u2

2= 3 + c

(3)

Remmplazo y = xu, en ecu3

x2

2y2− 3y = k

3

0.6.

xdy − ydx = 2√x2 + y2

(4)

Reemplazo y = ux y dy = udx+ xdu, en la ec(4)

x(udx+ xdu)− uxdy = 2√x2 + (ux)2

xudx+ x2du− uxdy = 2√1 + (u)2

xdu = 2√1 + (u)2

1

x=

du2√1 + (u)2

(5)

factor de integracion a ambos mienbros

1

x=

∫du

2√1 + (u)2

1

x= ln |u+ 2

√1 + (u)2|+ ln k

1

x= ln (|u+ 2

√1 + (u)2)k|

Remmplazo y = xu, en ecu4

1

x= ln (|y

x+ 2

√1 + (

y

x)2)k|

0.7.

xy3dy = (y3 + y3)dx (6)

Reemplazo y = ux y dy = udx+ xdu, en la ec(6)

4

x(ux)3(udx+ xdu) = ((ux)3 + y3)dx

x4u4dx+ x4u3du) = (ux)3dx+ (ux)3dx (7)

u4dx = ududx

x=

du

(u)4

factor de integracion a ambos mienbros

∫dx

x=

∫du

(u)4

lnx = − du

(u)3+ c (8)

Remmplazo y = xu, en ecu8

lnx = −(xy)3 + c

lnx+ (x

y)3 = c

(9)

0.8.

(y +√x2 + y2)dx− xdy = 0; y(1) = 0 (10)

Reemplazo y = ux y dy = udx+ xdu, en la ec(10)

(ux+√x2 + (ux)2)dx− x(udx+ xdu) = 0

xdu =√x2 + (ux)2)dx

du =√1 + (u)2dx

factor de integracion a ambos mienbros

du√1 + (u)2

=

∫dx

ln |u+√

1 + (u)2| = −x+ c

5

Remmplazo y = xu, en ecu10

ln |y +√y2 + x2

x| = −x+ c

ln |y +√y2 + x2

x|+ x = c

sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos x0 = 1, y0 = 0

ln |√1

1|+ 1 = c

e = c

solucion particular

ln |y +√y2 + x2

x|+ x −e = 0

0.9.

eyx + y′ − y

x= 0 (11)

Reemplazo y = ux y dy = udx+ xdu, en la ec(11)

euxx + (udx+ xdu)− ux

x= 0

−eudx = xdudu

eu= −dx

x

factor de integracion a ambos mienbros

∫du

eu= −

∫dx

x

− ln |x|+ c = − 1

eu(12)

6

Remmplazo y = xu, en ecu12

− ln |x|+ c = − 1

eyx

c = − 1

eyx

+ ln |x|

0.10.

y′ =2xye(

xy )

2

y2 + y2e(xy )

2

+ 2x2e(xy )

2 (13)

Reemplazo x = uy y dx = udy + ydu, en la ec(13)

dx

du=

y2 + y2e(xy )

2

+ 2x2e(xy )

2

2xy2e(xy )

2

dx

du=

(xu )2 + (xu )

2e(u)2

+ 2x2e(u)2

x2

u e(u)2

dx

du=

1 + e(u)2

+ 2u2e(u)2

2ue(u)2

1 = e(u)2

[2uydu

dx− 1]

1

e(u)2= [2uy

du

dy− 1] (14)

2ue(u)2

du

1− e(u)2=

dy

y(15)

(16)

factor de integracion a ambos mienbros

∫2ue(u)

2

du

1− e(u)2=

∫dy

y

ln 1− e(u)2

= ln y + ln k

(17)

Remmplazo y = xu, en ecu12

ln |1− e( xy )

2

y| = k

7

Ecuaciones que se reducen a Ec. Homogeneas:Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes.

0.11.

y′ =x− y

x+ y + 2(18)

Sacamos los puntos de las dos Rectas

x− y = 0

x+ y + 2 = 0

Donde x = −1 y y = −1 Reemplazo en la formula

x = u− 1 (19)

y = v − 1 (20)

Reemplazo en la formula Original ec18

dv

du=

u− vu+ v

(u+ v)dv − (u− v)du = 0

Cambio de variable sea v = zu y dv = zdu+ udz Reemplazo en la ec(21)

(u+ v)dv − (u− v)du = 0

(u+ zu)(udz + zdu)− (u− zu)du = 0

dz(u2 + zu2) + du(2uz + z2u− u) = 0

dz(1 + z2)

2z + z2 − 1= −du

u

factor de integracion a ambos mienbros

∫dz(1 + z2)

2z + z2 − 1= −

∫du

u

8

la integral obtneida

1

2ln |2z + z2 − 1| − lnu = c

1

2ln |

( vu )2 + 2v

u − 1

u| − lnu = c (21)

Remmplazo u y v en ecuacion 21

2

√y2 + 6y + 4− x+ 2yx

(x+ 1)3= c

0.12.

(x− y + 1)dy + (4− y − 2x)dx = 0 (22)

Sacamos los puntos de las dos Rectas

x− y + 1 = 0

2x+ 3y + 2 = 0

Donde x = −1 y y = 0 Reemplazo en la formula

x = u− 1

y = v

Reemplazo en la formula Original ec22

(u− v)du+ (2u+ 3v)dv = 0 (23)

Cambio de variable sea v = zu y dv = zdu+ udz Reemplazo en la ec(23)

(u− v)du+ (2u+ 3v)dv = 0

(u− uz)du+ (2u+ 3uz)(zdu+ udz) = 0

dz(3u3z + 2u2) + du(u+ 3uz + 3z2) = 0

dz(3z + 2)

3z + 3z2 + 1= −du

u

9

factor de integracion a ambos mienbros

∫dz(1 + z2)

2z + z2 − 1= −

∫du

u∫dz(3z + 2)

3z + 3z2 + 1= −

∫du

u

Cambio de variable para la integracionsea m = 1 + 3z + 3z2 sustituyo en la integral

∫dz(3z + 2)

3z + 3z2 + 1=

1

2

∫2(3z + 1)

3z + 3z2 + 1+

∫2

3z + 3z2 + 1=

la integral obtneida

(1

2) ln |3z + 3z2 + 1|+

2√2

3arctan

z + 12

12√2

= − lnu+ c

Remmplazo u y v en ecuacion 25

ln |3z + 3z2 + 1|+2√2

3arctan

z + 12

12√2

= − lnu+ c

Remmplazo x y y en ecuacion 25

ln |(x+ 1)2 − 3y(x+ 1) + 3y2|+2√2

3arctan

(2y + x+ 1) 2√2

2(x+ 1)= c

0.13.

(2x+ 3y − 1)dx+ (2x+ 3y + 2)dy = 0 (24)

Sacamos los puntos de las dos Rectas

−x+ y + 1 = 0

3x− y − 1 = 0

10

Donde no se cruzan por lo tanto es paralelaCambio de variable seau = 2x+ 3y y du = 2dx+ 3dyReemplazo en la ec(24)

du

x= 2 +

3dy

dxdux − 2

3=

dy

dx

Reemplazo en la formula Original ec24

dux − 2

3=

u− 1

u+ 25− u5 + u

= −dux

(5 + u)du

5− u= dx

factor de integracion a ambos mienbros

∫(5 + u)du

5− u=

∫dx

la integral obtneida

x = −10 ln 5− u+ u+ ln |c|

Remmplazo u por las variables originales en ecuacion 24

x = −10 ln 5− 2x− 3y + 2x+ 3y + ln |c|

y =10 ln |(5− 2x− 3y)c| − x

3

0.14.

y′ = (x+ y − 1

2x)2 (25)

11

Sacamos los puntos de las dos Rectas

x+ y − 1 = 0

2x = 0

Donde x = 0 y y = 1 Reemplazo en la formula

x = u

y = v + 1

Reemplazo en la formula Original ec25

dv

du= (

u+ v

2u)2

4u2dv − (u+ v)2du =

Cambio de variable sea v = zu y dv = zdu+ udz Reemplazo en la ec(25)

4u2zdu+ 4u3dz − 4u2du− 4u2z − z2u2du =

4udz = du(4 + z2)

dz

(4 + z2)=

du

4u

factor de integracion a ambos mienbros

∫dz

(4 + z2)=

∫du

4u

1

2arctan |z

2| =

1

4lnu+ ln k

1

2arctan |z

2| =

1

4ln |u.k|

Remmplazo u y z en ecuacion 27

y = 2x tan lnxk + 1

12