ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Ο φορέας των βαρυτικών αλληλεπιδράσεων είναι ένα υποθετικό σωματίδιο, το

βαρυτόνιο. Το βαρυτόνιο περιγράφεται από ένα συμμετρικό τανυστή δεύτερης τάξης

h h που ικανοποιεί την εξίσωση:

16h h h h GS

(1)

όπου:

1

2S

(2)

με:

(1, 1, 1, 1) (3)

να είναι η μετρική και με να είναι ο τανυστής ορμής-ενέργειας, ο οποίος

ικανοποιεί τον νόμο διατήρησης:

0

(4)

i) Αποδείξτε ότι η εξίσωση του βαρυτονίου είναι αναλλοίωτη κάτω από τον

μετασχηματισμό:

h h h (5)

Πόσες είναι οι ανεξάρτητες συνιστώσες του βαρυτονίου;

ii) Λόγω της παραπάνω συμμετρίας, μπορούμε να διαλέξουμε τη συνθήκη (βαθμίδα):

10

2h h

(6)

Ποια εξίσωση ικανοποιεί το βαρυτόνιο σε αυτή τη βαθμίδα;

iii) Ποια είναι η ελικότητα του βαρυτονίου;

Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι στη βαθμίδα (6) το βαρυτόνιο περιγράφεται από επίπεδα

κύματα της μορφής:

(x) e hc,ikxh e kx k x

(7)

που παραμένουν αναλλοίωτα κάτω από τον μετασχηματισμό:

(x) e hcikxi e (8)

όπου e , e είναι σταθερές.

Βρείτε πως μετασχηματίζονται τα e κάτω από τους μετασχηματισμούς (5) και

δείξτε ότι για ένα επίπεδο βαρυτικό κύμα που ταξιδεύει στη διεύθυνση +z,

( 1 2k k 0 , 3 0k k k 0 ) μπορούμε να μηδενίσουμε όλα τα e εκτός των

11 12 22 11e ,e ,e e . Στη συνέχεια κάντε μια στροφή γύρω από τον άξονα των z κατά

γωνία θ, έτσι ώστε τα e να μετασχηματισθούν ως:

e eR R

(9)

όπου R

είναι ο πίνακας στροφής στο επίπεδο x-y. Δείξτε ότι για τα :

11 12e e ei ισχύει:

2e eie

(10)

Σημειώστε ότι το επίπεδο κύμα ψ το οποίο κάτω από στροφές κατά γωνία θ γύρω

από τον άξονα διάδοσης μετασχηματίζεται σαν:

ihe (11)

λέμε ότι έχει ελικότητα h.

i) Σύμφωνα με την εκφώνηση, το βαρυτόνιο υπακούει στην εξίσωση:

16h h h h GS

(12)

Το πρώτο λοιπόν μέλος της (12) γράφεται:

h h h h

h h h h

h h h h

(13)

Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό:

h h h (14)

οι επιπλέον όροι ( ) όταν εισαχθούν στη (13), δίνουν:

( ) ( ) ( ) ( )

Αναδιατάσσοντας λοιπόν τους όρους και χρησιμοποιώντας την μεταθετικότητα των

μερικών παραγώγων, η μεταβολή στο αριστερό μέλος της (12), λόγω του

μετασχηματισμού (14) γίνεται ίση με :

Στη συνέχεια, αλλάζοντας κατάλληλα τους «βωβούς δείκτες», η μεταβολή στο

αριστερό μέλος της (12), λόγω του μετασχηματισμού (14) γίνεται ίση με :

0

Επομένως η εισαγωγή του μετασχηματισμού h h h στην

εξίσωση του βαρυτονίου δεν επηρεάζει καθόλου το αριστερό μέλος της εξίσωσης (1)

και εφ’ όσον ο εν λόγω μετασχηματισμός αφήνει ανεπηρέαστο το δεξιό μέλος της (1),

συμπεραίνουμε ότι το βαρυτόνιο εξακολουθεί να υπακούει στην προ του

μετασχηματισμού εξίσωση.

Τώρα εφ’ όσον ο τανυστής δεύτερης τάξης h (16 στοιχεία) είναι συμμετρικός

( h h ), αυτό σημαίνει ότι από τα 16 στοιχεία του πίνακα, τα 10 είναι ανεξάρτητα

μεταξύ τους. Η επιπλέον «ελευθερία» που μας δίνεται από τον μετασχηματισμό

βαθμίδας (5) μας επιτρέπει να απαλλαγούμε από 4 επιπλέον στοιχεία του πίνακα.

(Διαλέγοντας πχ. 11 0h ή 11 1 1 1 1 1 12h ή 11

1 12

h . Ομοίως για τα

00 22 33, ,h h h ). Έτσι απομένουν τελικά 6 στοιχεία για τον τανυστή h που αποτελούν

και τις ανεξάρτητες συνιστώσες του βαρυτονίου).

ii) Επιλέγουμε τη βαθμίδα:

10

2h h

(15)

που μπορεί να γραφεί:

1

2h h

(16)

Με αλλαγή του βωβού δείκτη: έχουμε:

1

2h h

(17)

Και με αλλαγή του έχουμε:

1

2h h

(18)

Τώρα λοιπόν έχουμε:

16h h h h GS

που (μέσω της μεταθετικότητας των μερικών παραγώγων) γράφεται:

16h h h h GS

ή (μέσω των σχέσεων (15),(16) και (17)):

1 116

2 2h h h h GS

ή

16h GS

(19)

Έτσι λοιπόν με την επιλογή της βαθμίδας:

10

2h h

η εξίσωση που πλέον ικανοποιεί το βαρυτόνιο, απλουστεύεται στη μορφή:

16h GS

ή

16h GS

Οπότε πλέον η λύση της (1), ισοδυναμεί με την λύση του συστήματος:

16h GS

1

2h h

(20)

με:

(Νταλαμπερσιανή).

iii) Θεωρώντας την ομογενή εξίσωση:

0h (21)

και την βαθμίδα:

1

2h h

(22)

Έχουμε σαν λύσεις επίπεδα κύματα της μορφής:

(x) e eikx ikxh e e

(23)

ή:

(x) e hcikxh e , με kx k x

(24)

Η λύση: (x) e eikx ikxh e e

, ικανοποιεί την 0h , αν: k x 0

ή

2k 0 (δηλαδή αν το βαρυτόνιο είναι άμαζο), ενώ επίσης ικανοποιεί την βαθμίδα

(22) :

1

2h h

, αν είναι:

1k e k e

2

(25)

Ο συμμετρικός πίνακας: e ονομάζεται τανυστής πόλωσης (polarization tensor).

Στη συνέχεια εξακολουθούμε να «ανεβοκατεβάζουμε» δείκτες μέσω του μετρικού

τανυστή: , δηλαδή : k k

Τώρα, ένας 4x4 συμμετρικός τανυστής έχει (γενικά) 10 ανεξάρτητες συνιστώσες,

οπότε οι 4 εξισώσεις (για ν = 0, 1, 2, 3) κατεβάζουν τον αριθμό των ανεξάρτητων

συνιστωσών στις 6, όμως και από αυτές τις έξι, μόνο οι 2 αναπαριστούν σημαντικούς

από φυσική άποψη βαθμούς ελευθερίας. Με αλλαγή των συντεταγμένων:

( )x x x , αλλάζουμε τη μετρική: h σε μια νέα: h , με την

«διαταραχή»: h να δίνεται (όπως αποδεικνύεται) από τη σχέση (5).

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι επιλέγουμε να είναι:

(x) e eikx ikxi e i e , ή

(x) e hcikxi e .

Τότε, η σχέση: h h , δίνει:

e ikxh e , με: e e k e k e

(26)

Πράγματι, έχουμε:

e ikxh e ,

h h , με (x) e ikxh e και:

( e ) k eikx ikxi e e ,

( e ) k eikx ikxi e e ,

οπότε:

h h ή

e e k e k eikx ikx ikx ikxe e e e ή τελικά:

e e k e k e (27)

Η παραπάνω σχέση (27) μας λέει πως μετασχηματίζονται τα e μέσω της βαθμίδας

(5).

Στη συνέχεια εργαζόμαστε με τη σχέση (25): 1

k e k e2

(Είναι:

e e ).

Για 0 , έχουμε:

0 1 2 3 0 1 2 3

0 0 1 0 2 0 3 0 0 0 1 2 3

1k e k e k e k e k (e e e e )

2

Όμως (λόγω της μετρικής (3)), έχουμε: 0

0 00e e και 0 0e ei

i για 1,2,3i .

Μέσω λοιπόν των 1 2k k 0 ή 1 2k k 0 και

3 0k k k 0 ή

3 0k k k 0 παίρνουμε:

00 30 00 11 22 33

1e e (e e e e )

2 ή (μιας και 30 03e e )

00 03 00 11 22 33

1e e (e e e e )

2

(28)

Για 1 , έχουμε:

1 1

1k e k e 0

2

, (διότι 1k 0 ), οπότε: 0 1 2 3

0 1 1 1 2 1 3 1k e k e k e k e 0 ή

01 13e e 0 (29)

Για 2 , έχουμε:

02 23e e 0 (30)

Και τέλος για 3 , έχουμε:

03 33 00 11 22 33

1e e (e e e e )

2

(31)

Έχουμε λοιπόν το σύστημα των εξισώσεων (28), (29), (30) και (31):

00 03 00 11 22 33

1e e (e e e e )

2

01 13e e 0

02 23e e 0

03 33 00 11 22 33

1e e (e e e e )

2

Οπότε:

01 13e e (32)

και:

02 23e e (33)

Από την πρώτη και την τέταρτη εξίσωση παίρνουμε:

00 03 03 33e e e e ή

03 00 332e e e ή

03 00 33

1e (e e )

2

(34)

Η πρώτη λοιπόν εξίσωση του συστήματος, γράφεται:

00 00 33 00 11 22 33

1 1e (e e ) (e e e e )

2 2 ή

00 33 00 11 22 33

1 1 1e e (e e e e )

2 2 2 ή

22 11e e 0 ή

22 11e e (35)

Έχουμε λοιπόν ήδη:

01 13e e

02 23e e

03 00 33

1e (e e )

2

22 11e e

Έτσι λοιπόν τα 01e , 02e , 03e , και 22e μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει των

υπολοίπων, μειώνοντας έτσι τον αριθμό των ανεξάρτητων e σε 6 (από τα 10

αρχικά). Ανεξάρτητα πλέον είναι τα: 00e , 11e , 12e , 13e , 23e και 33e .

Μέσω της σχέσης μετασχηματισμού (27), τα ανεξάρτητα e γίνονται:

11 11 11e e e

12 12 12e e e

13 13 13 1e e e ke

23 23 23 2e e e ke

33 33 33 3e e e 2ke

00 00 00 0e e e 2ke

Επομένως μπορούμε να μηδενίσουμε τα 13e , 23e , 33e , και 00e επιλέγοντας να

είναι:

131

ee

k ,

232

ee

k ,

333

ee

2k ,

000

ee

2k

(36)

Με αυτό τον τρόπο πετυχαίνουμε να μηδενίσουμε όλα τα e εκτός των:

11e , 12e και 22 11e e .

Στη συνέχεια, αν θεωρήσουμε μια στροφή γύρω από τον άξονα των z κατά γωνία

θ, τα e μετασχηματίζονται στα e , που δίνονται από τη σχέση:

e eR R

(37)

όπου R

είναι ο πίνακας στροφής γύρω από τον z – άξονα, τα στοιχεία του

οποίου δίνονται από τα cos ij , όπου ij η γωνία που σχηματίζει ο νέος άξονας i με

τον παλιό j. Είναι:

(38)

Ακολούθως ορίζουμε:

11 12e e ei , οπότε:

11 12e e ei

(39)

Με τα e να δίνονται από τη σχέση μετασχηματισμού:

e eR R

,

με το R

να δίνεται από τον πίνακα (38) (όμοια για το R

).

Θα έχουμε λοιπόν (με άθροιση ως προς τους δείκτες ρ και σ):

2 2

11 11 21 12 22e cos e cos sin e cos sin e sin e ή

2 2

11 11 12e (cos sin )e 2cos sin e (αφού: 22 11e e και

12 21e e ) ή

11 11 12e cos2 e sin2 e (40)

Κατόπιν:

2 2

12 11 12 21 22e cos sin e cos e sin e cos sin e ή

2 2

12 11 12e 2cos sin e (cos sin )e ή

12 11 12e sin2 e cos2 e (41)

Από τις σχέσεις (40) και (41) έχουμε:

11 12 11 12 11 12e e cos2 e sin2 e sin2 e cos2 ei i i ή

11 12 11 12e e (cos2 sin2 )e (cos2 sin2 )ei i i i ή

2 2

11 12 11 12e e e ei ii e ie ή

2

11 12 11 12e e (e e )ii e i ή

2e eie

(42)

Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι:

2e eie

(43)

Επομένως και σύμφωνα με την υπόδειξη της άσκησης το βαρυτόνιο πρέπει να έχει

ελικότητα 2 . Τώρα μιας και η ελικότητα μπορεί να ιδωθεί σαν την προβολή του spin

στην κατεύθυνση της κίνησης, το βαρυτόνιο πρέπει να έχει spin 2.

Κατά τη λύση λοιπόν της άσκησης δείξαμε ότι το βαρυτόνιο:

i) Είναι άμαζο (2k k k 0

).

ii) Έχει ελικότητα 2 .

iii) Έχει spin 2.

Το γεγονός ότι το βαρυτόνιο δεν έχει μάζα ηρεμίας μας λέει ότι η βαρύτητα

πρέπει να έχει άπειρη εμβέλεια.

ΜΑΡΤΗΣ 2016

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ