Ergebnisse zur Aufgabensammlung TM II

Erganzungen zur 1. Auflage

Ergebnis 1.1:

u(x) =Gl

EA

[F

G+(1 1

2

x

l

)] xl

mit G = Alg

Ergebnis 1.2:

(a) xx = 142.3 Nmm2

, (b) u(x1 = l1) = 0.56mm

Ergebnis 1.3:

xx = 12.6 Nmm2 , xx(x) = 1.8 104 (2x

l 1

), u(x =

l

3) = 0.04mm

Ergebnis 1.4:

(a) ~e1 =

( sin cos

), ~e2 =

(sin cos

)(b) S1 = S2 = F

2 cos

(c)Li = 12 cos

FLiEAi

, ~u = 12 cos

FL2EA2

( sin cos

)

A22A1

+ sin2 cos2 2 sin cos

(cossin

)(d) A2 = 2A1, uy =

b

cos=

1

2 cos2

FL1EA1

Ergebnis 1.5:

(a) S1 = F l1l22 l21

, 1 = FA1

l1l22 l21

, S2 = Fl2l22 l21

, 2 =F

A2

l2l22 l21

(b)l1 = Fl1E1A1

l1l22 l21

, l2 = Fl2E2A2

l2l22 l21

(c) ux = Fl21

E1A1

1l22 l21

, uy = Fl1l31

E1A1(l22 l21)(1 +

E1A1E2A2

l32l31

)

Ergebnis 1.6:

l = 4FER

1

Ergebnis 1.7:

(a) F = 2h

aEA, (b) St = h

3aE, Cu = 0.5St, (c)uCu = h

3

Ergebnis 1.8:

(a) utherm(x) = T02l

x2, (b) utherm(l) = 0.3mm , (c) F = 60 kN

(d) umech(x) =F

EAx, (e) ux(x) =

T0l

x2

2+

F

EAx, (f) x=0 =

l

2, (g) gar nicht

Ergebnis 1.9:

r = 7.61mm

Ergebnis 1.10:

(a) Kupfermantel: K = 5 Nmm2

, Stahlzylinder: S = 10 Nmm2

(b) Verzerrung: = 4.55 105

Ergebnis 1.11:

N = 409.1N

mm2, H1 = 136.4

N

mm2, H2 = 77.9

N

mm2

Ergebnis 1.12:

(a) v =22

3 1Fa

EA, u = 2

6

3 1Fa

EA, (b)h = (6 + 2

2)Fa

EA

Ergebnis 1.13:

(a) N1 = N2 = F, 1 =F

A1, 2 =

F

A2(b) u1(x) =

F

EA1x, u2(x) =

Fl

EA2

[x

l 1 + A2

A1

]

Ergebnis 1.14:

(a) a = 0.018 cm1 , (b) u(x2 = 61.03 cm ) = 2 cm , (c) xx = 0.018e0.018 cm1 x

Ergebnis 1.15:

(a) ux =FL

(52 + 8)EA

[(32 + 8) sin + 3

2 cos ]

uy =3FL

(52 + 8)EA

[(2 + 4) cos +

2 sin ]

(b) 1 = 19.1, 2 = 160.9, (c) 1 = 70.9, 2 = 250.9

Ergebnis 1.16:

Kupfermantel: K = 66 Nmm2

, Stahlzylinder: S = 44N

mm2

Ergebnis 1.17:

(a) xx =1

A

[F +G(1 x

l)], G = gAl, (b) xx(x) =

1

EA

[F +G(1 x

l)]

(c) u(x) =Fl

EA

[x

l+

G

2F

x

l(2 x

l)

], (d) uohnex (l) = 1.9mm ,

umitx (l)

uohnex (l)= 1.005

Ergebnis 1.18:

(a) xx =35(5 8 x

L+ 3 x

2

L2

)+ 21000

100(4 3 xL)

N

mm2

(b) xx =16.66

(5 8 x

L+ 3 x

2

L2

)+ 10000

(4 3 xL)

107 (c) u(x) =1

30ln

4

4 3 xL

mm

Ergebnis 1.19:

b = 1480

mm (Kontraktion gema Skizze)

Ergebnis 1.20:

l = 6FlEA

Ergebnis 1.21:

(a)T = l l0T l0

, (b) = E(T T ) = 0, (c) = TT1E

Ergebnis 1.22:

u(x) =2

5000ax2, xx =

4

5000

x

a

Ergebnis 1.23:

(a) A(x) = A0egA0F

(lx), (b) u(L) =kEL =

FL

A0E

Ergebnis 1.24:

l2 =1

10l0

Ergebnis 1.25:

(a) S1 = S3 = S22, S1 + S3 = 2

2S2 (b)l1 = u, l2 = u

2

2+ v

2

2, l3 = v

(c) 1 :u

l=

S1EA

, 2 :

2

2

u+ v

l=

S2EA

+ T, 3 : vl=

S3EA

(d) S2 = 12EAT, S1 = S3 = 1

22EAT

Ergebnis 1.26:

(a) u =FL sin

4EA cos2 , v =

FL cos

4EA sin2 ,

(b) S1 =F cos( )4 cos sin

, Ax =F

4

( sin cos

tan

), Ay =

F

4(sin tan + cos)

(c) 1 =S1A, 1 =

1E

Ergebnis 2.1:

xx = 0.02, xy = yx = 0.005 yy = 0.02

Ergebnis 2.2:

xx =1

50yy =

1

50xy =

1

200, T =

E

250

8 1 01 8 00 0 4

, SpT = 2

25E

TD =

E

750

4 3 03 4 00 0 8

= E

0, 0053 0, 004 00, 004 0, 0053 0

0 0 0, 006

= E

5, 3 4 04 5, 3 0

0 0 6, 6

103

Ergebnis 2.3:

(a) E =1

200

[1 33 3

], (b) = 54.2 bzw. = 35.78

Ergebnis 2.4:

1 = 0.0073, 2 = 0.0053, max = 9.2

Ergebnis 2.5:

E =

a 0 b0 c 0b 0 a

Ergebnis 2.6:

(a) xx =1

25yy =

1

50 6

10000 cmx xy =

1

50 3

10000 cmy

(b) E1 =1

50

2 1 01 1 00 0 0

, E2 = 1

100

4 1 01 2 0

0 0 0

(c) ES1 =

150 0 00 1

500

0 0 150

, ES2 =

150 0 00 1

500

0 0 150

,

V (0 cm , 0 cm ) =350, V (0 cm , 100 cm ) =

350

Ergebnis 2.7:

(a) T =

[50 86.6

86.6 50]

N

mm2

(b) = 45 |xy| = 100 N

mm2

(c) xx = 0 yy = 0

-100 10030

50-50

-86

max

100

45

AB

O

C

D

E

F

Ergebnis 2.8:

(a) t = pd

4s= 60

N

mm2, = p

d

2s= 120

N

mm2

(b) = 30 Nmm2

, 45 gegenuber den Normalspannungen verdreht

(c) t = 90N

mm2=

Ergebnis 2.9:

1 = 100 Nmm2

2 = 600 Nmm2

1 = 26.57 2 = 116.57

max1 = 71.57 max2 = 18.43 max = 250

N

mm2

Ergebnis 2.10:

165

FE

y

58.4

x

1E = 25 MPa

-215

y

x

116

-165

-50

31.6 13.4

O AB

C

D

M

G

H

Durch Ablesen

(a) 0 arctan 3E12.6E

= 13.4

2 215 Nmm2

, 1 116 Nmm2

(b) 0 = 0 + 45 58.4,

|xy | 165 Nmm2

,

(c) xx = yy 50 Nmm2

Ergebnis 2.11:

(a) und (b) xx = 175N

mm2yy = 125

Nmm2

xy = yx = 253 Nmm2

Ergebnis 2.12:

(a)

16000

300

-300

2

(b) 1 = 300(1 +2)MPa , 2 = 300(1

2)MPa ,

1 = 22.5 und 2 = 112.5

, (c) 1,2 = 3002MPa , 1 = 67.5

und 2 = 157.5

Ergebnis 2.13:

(a) 1 = 178N

mm2, 2 = 78 N

mm2, 0 = 19.2

(b) T =

[69 127127 30

]N

mm2fur x, y, (c) 0 = 64.7

(d) (ik) = T =

[50 128128 50

]N

mm2fur x, y

Ergebnis 2.14:

(a) 1 = 177.7MPa , 2 = 217.7MPa , = 13.3 bzw. 103.3(b) 1 = 167.7MPa , 2 = 167.7MPa , = 31.7 bzw. 58.3(c) m = 50MPa

Ergebnis 2.15:

1 = 24.88, 2 = 16.88, 3 = 4. = 36.65

Ergebnis 2.16:

(a)

21

1 2

100

50

-50

-100

xy

2-Achse

1-Achse

-100-150-200-250

2 xx

50-50 100

1

xy

-150

150

21 yy

(b) 1 = 85.08N

mm22 = 235.08 Nmm2 1 = 70.67 2 = 19.33

max = 64.33 max = 160.08 Nmm2

Ergebnis 2.17:

(a) xx = 50MPa , yy = 50MPa , xy = 503MPa

(b) = 45, 1/2 = 100MPa , (c) m = 0

Ergebnis 2.18:

(a) 1 = 170.16MPa 2 = 470.16MPa , (b) = 571.77MPa(c) 1 = 707.88MPa 2 = 436.10MPa , (d) max = 2 max2G = 535.976000 = 0.7%

Ergebnis 2.19:

(a) xx = 175N

mm2, yy = 125

N

mm2, xy = 43.3 N

mm2

Ergebnis 2.20:

Schweinaht A: = 6.05MPa , = 12.15MPaSchweinaht B: = 7.39MPa , = 12.15MPa

Ergebnis 2.21:

(a) 1 = 312.49N

mm2, 2 = 212.49 N

mm2

1 = 8.87, 2 = 81.13

(b) max = 262.48 Nmm2

, m = 50N

mm2

(c)

x

y

y

x

1 E = 50 N

50

260

-210 310

82

37

Ergebnis 2.22:

(a) 0 = 56.6N

mm2, (b) max = 35.32

N

mm2, = 12.86

N

mm2, (c) = 90

Ergebnis 2.23:

(a) T =

[69.3 126.6126.6 30.7

]N

mm2

(b) 0 = 19.33, 1 = 178.1

N

mm2, 2 = 78.1 N

mm2

(c) 0 = 25.67 bzw. 0 = 64.33, |xy(0)| = 128.1N

mm2

(d) xx(

0) = 50N

mm2, yy(

0) = 50N

mm2

Ergebnis 2.24:

siehe Skript

Ergebnis 2.25:

(a)TH =

2003 0 00 200

30

0 0 2003

N

mm2TD =

1003 20 1020 50

30

10 0 503

N

mm2V = 63.25

Nmm2

(b) Sp(TD) = 0

Ergebnis 2.26:

(a) SpAD = 0, (b) BD = 0

Ergebnis 2.27:

TH =

1

3

xx + yy + zz 0 00 xx + yy + zz 0

0 0 xx + yy + zz

TD =

1

3

2xx yy zz 3xy 03xy xx + 2yy zz 0

0 0 xx yy + 2zz

V =(2xx +

2yy +

2zz) (xxyy + xxzz + yyzz) + 3 2xy

Ergebnis 2.28:

xy

yy

yx

xx

z

y

zz

x

TH =

4003 0 00 400

30

0 0 4003

N

mm2, TD =

10

3

10 3 03 20 0

0 0 10

N

mm2

Ergebnis 2.29:

(a)TD = 13

2xx yy 3xy 03xy xx + 2yy 0

0 0 xx yy

(b) V =2xx + 2yy xxyy + 3 2xy

Ergebnis 2.30:

(a) ~uA = ~0, ~uB = 4~exmm , ~uC = (8~ex + 10.727~ey) mm , ~uD = (4~ex + 2.727~ey) mm

(b) E = 103

2xa 1 + ya1 +

y

a3 cos y

a+ 2x

a

(c) EA = 103

[0 11 3

], EB = 10

3

[4 11 7

]

(d) T =

[207.7 525525 692.3

]MPa

Ergebnis 2.31:

(a) E(x, y) =f

2l2

6l 2y 2l x 02 x 0 0

0 0 0

, (b) T( l

2,l

2) =

Ef

4l

10 3 03 0 00 0 0

(c) Hauptspannungen: 1/2 =Ef

4l(5 6), = 15.5

Ergebnis 2.32:

(a)T = 83.33K , (b)B = 0.999B0, (c) = 210 Nmm2

, (d) = 105 Nmm2

Ergebnis 2.33:

(a) T =

10.7 0 00 10.7 0

0 0 25

MPa E =

0 0 00 0 00 0 8.84

105

(b) L = 200.018mm

Ergebnis 2.34:

(a) xx =l l0l0

, yy = 0, xy =f

h0

(b) xx = El l0l0

, yy = 0, xy =E

2

f

h0, (c) = 13.3

Ergebnis 2.35:

(a) E =

a 0 00 a b20 b2 a

(b) T =

0 0 00 Ea Gb0 Gb 0

Ergebnis 2.36:

T =

43.2 0 00 0 0

0 0 144

N

mm2, E =

0 0 00 2.76 00 0 6.24

104

Ergebnis 2.37:

(a) T =

114.4 0 00 87.5 0

0 0 60.6

MPa (b) T =

107.7 11.6 011.6 94.2 0

0 0 60.6

MPa

Ergebnis 2.38:

(a) xx = 3z (b) xx = 0 yy = zE(32 + 2) zz = z

E(32 + 2 1)

Ergebnis 2.39:

x = y = E1 T

Ergebnis 2.40:

E =

[a b2b2 a

], T = 2G

[a b2b2 a

]

Ergebnis 2.41:

(a) xx = 420 Nmm2

, (b) L0 = 20.04mm , (c) a = 0.052mm

Ergebnis 2.42:

T =

17 3 03 14 00 0 14

Ergebnis 2.43:

T =

5950 850 0850 2250 0

0 0 2250

N

mm2

Ergebnis 2.44:

(a) 0 > 0.6

(b) yy = 0.428 FrB

, xy = 0.2575F

rB, (c) 1 = 0.12

F

rB, 2 = 0.54 F

rB

(d) xx = zz = 0.428F

ErB, yy = 0.428 F

ErB, xy = 0.2575

F

GrB, yz = zx = 0

Ergebnis 3.1:

f =17

54Fa2

Ergebnis 3.2:

Iyy =975

12b4, Izz =

255

12b4

Ergebnis 3.3:

Iyy =bh3

36, Izz =

hb3

48

Ergebnis 3.4:

Iyy = 330.9a3, Izz = 297.4a

3, Iyz = 79.6a3, = 39.1

Ergebnis 3.5:

(a) ys = 8a, zs = 10a (bzgl. links unten)(b) Iyy = 8928a

3, Izz = 6912a3, Iyz = 4032a

3

(c) I1 = 12076a3, I2 = 3763a

3, (d) = 37.98

Ergebnis 3.6:

(a) Iyy =BH3

16, Izz =

HB3

16, Iyz =

B2H2

64(b) =

1

2arctan

BH

2(H2 B2)

Ergebnis 3.7:

Iyy =b4

2, Iyy =

53

8b4

Ergebnis 3.8:

(a)IHyyIVyy

= 1 43k2(4k2 + 2k + 1

), (b)

AH

AV= 1 4k2

Ergebnis 3.9:

(a)IHyyIVyy

= 1 432(1 + 2 + 32

), (b)

AH

AV= 1 42

Ergebnis 3.10:

(a) Iyy = 5006.3 cm4 , Izz = 1504.5 cm

4 , (b) Iyy = 73b4, Izz =

255

12b4

Ergebnis 3.11:

(a) Iyy =37

6b4, (b) xx(x1, z) =

F

b2

(1

50+

3050

111

z

b

)(c) zN = 7.28 104b

Ergebnis 3.12:

xx = (3.57 + 0.084 zcm

)MPaz

Ergebnis 3.13:

f = Fl3

24EI, =

Fl2

24EI

Ergebnis 3.14:

(a) w =Mal

2

6EI

((x

l)3 3(x

l)2 + 2

x

l

), w =

Mal

6EI

(3(x

l)2 6x

l+ 2

)(b) f =

Mal2

16EI, l(1

3

3), fm =

Mal2

93EI

(c) A =Mal

3EI, B

Mal

6EI

Ergebnis 3.15:

h > 33.04mm

Ergebnis 3.16:

(a) w =qbl

4

360EI

(3(x

l)5 10(x

l)3 + 7

x

l

), w =

qbl3

360EI

(15(

x

l)4 30(x

l)2 + 7

)(b) xm = 0.51933l, fm = 2.348

qbl4

360EI(c) A =

7qbl3

360EI, B =

8qbl3

360EI

Ergebnis 3.17:

(a)

w = Fl3

6EI

( b

l(xl)3 + x

l a

l3 + b

l

(1 ( b

l)2)xl

),

w = Fl2

6EI

( 3 b

l(xl)2 + 3x

l a

l2 + b

l

(1 ( b

l)2)) (b) f = Fl33EI a

2b2

l4

(c)

a > l2: xm

l=

13

(1 ( b

l)2), fm =

Fl3

9EIbl

13

(1 ( b

l)2)3

a < l2: xm

l= 1

13

(1 (a

l)2), fm =

Fl3

9EIal

13

(1 (a

l)2)3

(d) A =Fab

6EI

(1 +

b

l

), B = Fl

2

6EI

ab

l2(1 +

a

l)

Ergebnis 3.18:

(a) N = 0, Q = 3q0L, M = 52q0L

2

(b) yS = zS =a

4von rechts unten, Iyy = Izz =

5

24a3t, Iyz = 1

8a3t

(c) I1 =1

3a3t,

1

12a3t, = 45 (d) xx(x = 0, y, z) =

15

4

q0L2

a3t(3y 5z)

z

x,

Ergebnis 3.19:

(a) w =qal

4

120EI

( (x

l)5 + 5(

x

l)4 10(x

l)3 + 10(

x

l)2),

w = qal3

24EI

( (x

l)4 + 4(x

l)3 6(x

l)2 + 4x

l

), (b) f =

qal4

30EI, =

qal3

24EI

Ergebnis 3.20:

(a) w =qbl

4

120EI

((x

l)5 10(x

l)3 + 20(

x

l)2), w =

qbl3

24EI

((x

l)4 6(x

l)2 + 8

x

l

)(b) f =

11qbl4

120EI, =

qbl3

8EI

Ergebnis 3.21:

(a) w =q0l

4

24EI

((x

l)4 2(x

l)3 +

x

l

), w =

q0l3

24EI

(4(x

l)3 6(x

l)2 + 1

)(b) xm =

l

2, fm =

5q0l4

384EI(c) A = B =

q0l3

24EI

Ergebnis 3.22:

(a)M(x) =1

6q0l

2

(x3

l3 3x

2

l2+ 3

x

l 1

)

(b) w(x) = q0l4

120EI

(x5

l5 5x

4

l4+ 10

x3

l3 10x

2

l2

)

(c) max =q0l

2

bh2an der Stelle xmax = 0, (d) w (x = l) =

q0l4

30EI= 6.09mm

Ergebnis 3.23:

(a) w =q0l

4

24EI

((x

l)4 4(x

l)3 + 6(

x

l)2), w =

q0l3

6EI

((x

l)3 2(x

l)2 + 3

x

l

)(b) f =

q0l4

8EI, =

q0l3

3EI

Ergebnis 3.24:

(a) w =Fl3

6EI

( (x

l)3 + 3(

x

l)2), w =

Fl2

2EI

( (x

l)2 + 2

x

l

)(b) f =

Fl3

3EI, =

Fl2

2EI

Ergebnis 3.25:

(a) w =Mb2EI

x2, w =MbEI

x (b) f =Mbl

2

2EI, =

Mbl

EI

Ergebnis 3.26:

(a) w =Fl3

48EI

(3x

l+ 8x

l 1

23 4(x

l)3)(b) xm =

l

2m, fm =

Fl3

48EI(c) A = B

Fl2

16EI

Ergebnis 3.27:

xx =24M

d3, yy =

8M

d3, xy =

83M

d3

Ergebnis 3.28:

x =12Q

49a

( 1/2a

2 + (3a 1

2(3a)2) 1 4/5

a

), mitt = 0.27 max

Ergebnis 3.29:

w(x) =q0a

4

24EI

(4 24 73 + 12 32 + 49) , = x

a

Ergebnis 3.30:

(a)

Ka2

Ah

Av

F

BMa

(d)Q M

(Darstellung furK = F )

(b),(c) w =a3F

96EI

((11 6K

F)(x

a)3 + 16x

a 13F + (18 12K

F)(x

a)2)

Ergebnis 3.31:

(i) =20

51

Q

at

310

1a

(1310 122a )

2a

45 +

310

3a

76 + (

310 12

4a )

4a

Ergebnis 3.32:

(a) (x, z) = 0.187MPa (1 xl)

254 (zs )2 ; |z| > h2 s574 (zs )2) ; |z| < h2 s

, max = 2.66MPa

(b) w(x) =(0.74173

[6 4x

l+ (

x

l)2](x

l)2 + 0.03125

[2 x

l

]xl

)mm

Ergebnis 3.33:

Ah = 0, Av =5

7F, Ma = 3

7FL, B =

2

7F w(2L) =

FL3

14EI

Ergebnis 3.34:

(a) w(L

2) =

5q0L4

32EBH3, max =

3q0L2

4BH2(b) w(

L

2) =

q0L4

16EBH3=

2

5w(L

2) von Fall (1)

(c) Maximales Moment bei x = L: max =3q0L

2

4BH2

Ergebnis 3.35:

(a) , (b) w =1

EI(F

6x a3 Ka

2x 2a2 + C1x

3

6+ C3x,

C1 =5

18K 14

27F , C2 =

13Fa2 1

4Ka2

(c) A = C1, B = F + C1, ME = 49Fa+

1

6Ka, (d)

Ergebnis 3.36:

(a) w =Fl3

192EI

(5(x

l)3 + 32x

l 3

23 + 15(x

l)2 24x

l 11

)(b) w(l) =

5

96Fl3

(c) Q M

Ergebnis 3.37:

(a) Q(x) = F , (b) (z) =

3F232a4

(9a2 z2) |z| > aF

232a4(11a2 3z2) |z| a

, (0) =11F

232a2

(c) max =24F

232a2

Ergebnis 3.38:

max =15

4

q0a2

B3, max =

3

4

q0a

B2

Ergebnis 3.39:

(a) f =5qL4

384EI, (b) A =

5

8qL, (c) w =

1

3072

qL4

EI

Ergebnis 3.40:

(a) v = 71920

l4

Ea2, w =

24

1920

l4

Ea2(b) max =

3

10

l2

a

Ergebnis 3.41:

(a) w(x) =q0l

4

48EI

x2

l2

(2x2

l2 5x

l+ 3 + 12

M0q0l2

[1 x

l

])

(b) xmax =5

8l, Mmax =

9

128q0l

2 (c) max =9

128

q0l2

Izmax

Ergebnis 3.42:

(a)

Av

MA

Bv

q0

F

EIw =1

24q0x l4 + 1

6F x 3

2l3 1

12(q0l + F )x

3

+1

4(q0l + F )lx

2 + EIx l1

(b) = l2

48EI(18q0l + 17F )

(c) Av =1

2(q0l + F ), MA = 1

2l(q0l + F ), Bv = 1

2(q0l + F )

(d)

QM

Ergebnis 3.43:

Q(x = 0) =5

8q0L, (x = 0, z) =

15

32

q0L

B4(B2 z2)

Ergebnis 3.44:

(a) fmax =FL3

3EI, (b) S = 4

2F , (c) fred =

11FL3

81EI,

fred fmaxfmax

= 59.3%

Ergebnis 3.45:

N = 0 Q = q02a

[x2 2 x a2 + x 2a2 + 2a2 x 2a0 + 2a2

x 5

2a

0 5a2

]

M = q06a

[x32 x a3+ x 2a3+6a2 x 2a1+6a2

x 5

2a

115a2x+24a3

]

MQ

F F

w( =x

a) = 10

(1

120

[5 2 15 + 25

]+

1

6

[ 23 +

5

2

3 ]

5123 + 22 135

165400 21

)mm

F F

Ergebnis 3.46:

(a)w

u= 400, (b) k 1

50EL, (c) = 1.15

F

BH

Ergebnis 3.47:

w(x) =q0l

4

180

2(xl )6 + 6(xl )5 7

1 +3

l3

(x

l)3 + 3

( 71 +

3

l3

6)xl+

42

3 + l3

=c

EI

Ergebnis 3.48:

(a) xx(x, z) =12

4692q0l

2

Ea4

(sin(

x

l) +

3

(x

l 1)

)z

(b) Maximale Normalspannung im Feld bei x = 0.598l und z = 218a :

|max| = 0.004 q0l2a3

Ergebnis 3.49:

(0 < x 0

0 ; sonst

(b) f =4

5

Fa3

EI

Ergebnis 3.59:

(a)M0 =1

2q0l

2 (b) w(x) =q0l

4

24EI

(x4

l4 4x

3

l3+ 3

x

l

)

Ergebnis 3.60:

(a)M(x) = 16q0l

2

(x3

l3 x

l

), (b) w(x) =

q0l4

360EI

(3x5

l5 10x

3

l3+ 7

x

l

)

(c) (l3) =

q0l2

93I

h

2an der Stelle x =

l3, (d) w(

l

2) =

5

768

q0l4

EI

Ergebnis 3.61:

(a) e =19

14a (b) Iyy = 9.44a

4 (c) u =1

42

q0l2

Ea2(d) =

(1 + 0.0988

l2

a2

)q0l

42Ea2

(e) max = 0.0179q0l

2

a3

Ergebnis 3.62:

f =7

24

q0l4

EI

Ergebnis 3.63:

h > 33.04mm

Ergebnis 3.64:

(a) wmax = Fl3

183EI

, xmax =l3, (b)

Fl3

12EI

Ergebnis 3.65:

(a)

FF

q0

Gv

Ah Gh

q0

Gh

Gv

FF

BAvx

Gh = Ah = 0, B = Av =q0l

2, GV = q0l

2, FF = q0l

(b) 0 x < l : EIw1 = q0l4

24

((x

l)4 2(x

l)3)+ C1x+ C2

l x < 2l : Losung wie 1, ersetze x durch 2l x(c) w1(0) = 0, w1(l) = xF , FF = cxF

(d) w1(x) =q0l

4

24EI

((x

l)3 2(x

l)2 + (1 + 24

EI

cl3)

)x

l

w2(x) =q0l

4

24EI

((2l xl

)3 2(2l xl

)2 + (1 + 24EI

cl3)

)2l xl

Ergebnis 3.66:

(a) AV = 800N AH = 0 BV = 2400N BH = 0 Bild fehlt

x1 x2

x3

F4

F

34F

QN

F4

F

F4 l

M

F

(b)(4 + 3.523

z

mm

)MPa , (c) zn = 1.135mm

Ergebnis 3.67:

(a) N = 0, Q = 3q0L, M = 52q0L

2

(b) yS = zS =a

4von rechts unten, Iyy = Izz =

5

24a3t, Iyz = 1

8a3t

(c) I1 =1

3a3t,

1

12a3t, = 45 (d) xx(x = 0, y, z) =

15

4

q0L2

a3t(3y 5z)

z

x,

Ergebnis 3.68:

E = zw0(x)1

, T = Ezw0(x)

1 0

0

~Q = ~0, ~M = M0y~ey, mit M0y = EIyyw0(x)

Ergebnis 3.69:

(a) Iyy = 21a4 (b) (x, z) =

(3

7

x

a

z

a 1

)F

18a2(c)

z(d) zn =

a

9

Ergebnis 3.70:

(a) xx(x, y, z) = Fa2

[5

3+

(l x)z5a2

+(l x)y4a2

](b) x = l 50

27a

Ergebnis 3.71:

(a) fq =19q0l

4

120EI(b) X =

19q0l

40(c) w(x) =

ql4

240EI[2(x

l)5 + 20(

x

l)4 41(x

l)3 + 23(

x

l)2]

(d) = 7q0l3

240EI

Ergebnis 3.72:Prinzipieller Momentenverlauf

quadr.

linear

Ergebnis 3.73:

(a) v = 51.9mm , w = 39mm(b) xx1 = 28.27MPa ,

maxxx = 108.7MPa , xx3 = 96.27MPa

Ergebnis 3.74:

(a) Iyy = 232.74 103mm4 , Izz = 46.44 10

3mm4 , Izz = 76.545 103mm4

(b) 1 = 19.706, 2 = 109.706

(c) in Hauptrichtungen: f1 = 28.13mm , f2 = 5.74mmin Koordinatenrichtung: fy = 24.55mm , fz = 14.89mmBetrag: f = 28.71mm

Ergebnis 3.75:

(a) Iyy =8

3a3h, Iyz = a

3h, Izz =2

3a3h (b) 1 = 22.5

, 2 = 112.5

(c) w(l) =Fl3

6Ea3h, v(l) =

Fl3

4Ea3h

Ergebnis 3.76:

(a) A = 6.35MPa , B = 126.3MPa , C = 153.95MPa (b) = 34.08

Ergebnis 3.77:

(a) 0 = 22.5 (b) xx(x, y, z) = q0l2

6tb3x

l

(1 (x

l)2)[0.1z 0.505y]

(c) Grote Normalspannung in B bzw. C: max = 0.018q0l

2

tb2

Ergebnis 3.78:

horizontal: v(l) = 0.4283 Fl3

Etb3, vertikal: w(l) = 0.2856

Fl3

Etb3

Ergebnis 3.79:

xy = 400N

mm2

Ergebnis 3.80:

(a) w =Fl3

3EI+

Fl

GAS(b) T (t) =

3F

8a

ta, Bereich 1

1 + ta 12( ta)2, Bereich 21 ta, Bereich 3

(c) yM =5

8a

Ergebnis 3.81:

IT =4(3a2)2

8a =

9

2a3

Ergebnis 3.82:

(a) geschlossenes ProfilMmaxT = 6400N

mm2max = 1.07

(b) geschlitztes ProfilMmaxT = 96N

mm2max = 35.8

Ergebnis 3.83:

(a)(x1) = 64Fx13GD31

, (l) = 4.41103, x1(r) = 64Fr

3GD31, x1(r) = 17

N

mm2

(b) w(F ) = 7017F

ED1= 1.75mm

Ergebnis 3.84:

(a) xx =75

2

F

a2, = 5

2

F

a2, (b) max = 37.67

F

a2

(c) IT = 1000h4 (ungeschlitzt), IT =

40

3h4 (geschlitzt), (d) = 950

F

Ga2(geschlitzt)

Ergebnis 3.85:

Rechteck: IgeschlossenT =36

5a3, IoffenT =

50

3a3

Dreieck: IgeschlossenT =9

22a3, IoffenT = 12a

3

Ergebnis 3.86:

IUProfilT = IIProfilT =

26

3a3

Ergebnis 3.87:

a = 4

20Mxl

G0= 50mm

Ergebnis 3.88:

(a) =M0l

d4G

(32 +

d

2

)= 0.2754 105 M0 1

Nmm, (b) max = 0.05391 = 3.089

Ergebnis 3.89:

x(r) = 8rR31

F , (x) = 8FGR31

x, (l) = 320G

F

R21

Ergebnis 3.90:

(a) IT = ta3 = 1.25 108mm4 , MT = (l)

lGIT = 1.06 108Nmm

max =MT2Amt

= 212N

mm2

(b) IT =4

3ta3 = 667mm4 , MT =

(l)

lGIT = 565.8Nmm , max =

MTIT

t = 0.85N

mm2

Ergebnis 3.91:

(a) Q(x) = Fz, My(x) = F (L x), Mx(x) = F a2

(b) Iyy =1

15a4, IT =

1

10a4, (c) uges = 5

FL

Ea2

(1 + +

L2

a2

)

Ergebnis 3.92:

(a) IT = a3, Iyy =

2

3a3, (b)

h

l= 0.7, MmaxT = 68.35Nm , (c) = 0.739

Ergebnis 3.93:

Ungeschlitzt: = 5MTR3

, IT =1

5R4, Geschlitzt: = 150

MTR3

, IT =1

600

1

5R4

Ergebnis 3.94:

=16FDL1Gd4

+L1L2

f

Ergebnis 3.95:

x = 88.4N

mm2, t = xh = 707.35

N

mm2, = 0.00728m1

Ergebnis 3.96:

1 = 28.3N

mm2, 2 = 7.1 N

mm2

Ergebnis 3.97:

E = 62Ml

Gr4

Ergebnis 3.98:

(l) =Ml

GIT

Ergebnis 3.99:

(a) N1 = F, Q1 = q0(a x1), M1 = Fb 12q0(a x1)2,

N2 = 0, Q2 = F, M2 = F (b x2)

(b)

N

Q

M0

F

q0a

FbFb 1

2q0a

2

(c) f =1

6EI

(q0a

3b+ 6Fb2a+ 2Fb3)

Ergebnis 3.100:

xx = 12Flbh2

1(1 + (n 1)x

l

)3 xl zh[1 G

6F(3x

l+ (n 1)(x

l)2)

], G =

{0 ; (a)ghbl ; (b)

Ergebnis 3.101:

(a)ME =1

2hc2l4, (b) w(r) =

c2l6

30Ebh2

((r

l)4 20r

l+ 45

)(r

l)2 sgn r

Ergebnis 3.102:

u1/2(x) = 2FEA

x, u3(x) = FlEA

w1 =Fl3

96EI

(28(x

l)2 + 17

) xl,

w2 =Fl3

96EI

(12(x

l)2 12x

l+ 20

) xl

w3 =Fl3

96EI

(20(

x

l)3 60(x

l)2 + 44

x

l 4

)

Ergebnis 3.103:

(a)l = 121

q0L2

Ea2, (b) = 0.048 q0l

Ea2+ 0.002

q0l3

Ea4= w(l)

(c) w(l

2) = 0.024

q0l2

Ea2+ 6.9 104 q0l

4

Ea4, (d) (

l

2, 4a e) = 0.017q0l

2

a3, M(

l

2) =

q0l2

16

Ergebnis 3.104:

AH = 0, AV = Fb2(a+ b)

, BV =3Fb

2(a+ b), CV =

Fa

(a+ b)

Ergebnis 3.105:

(a)M = q0a2 (b) A = 12(F q0a)

Ergebnis 3.106:

AH = 0.25 kN

Ergebnis 3.107:

(a) u(1

4l) =

Fl

4EA, (b) w(

3

4l) =

11Fl3

768EI, (c) (0) =

Fl2

16EI

Ergebnis 3.108:

(3

4l) =

3M0l

4GIT

Ergebnis 3.109:

Ergebnis 3.110:

b =a

ab , F =

b

lQ

Ergebnis 3.111:

B =1

2q0a

Ergebnis 3.112:

S = 14

2(2F +K +G+

M

l

)

Ergebnis 3.113:

S = F2, A =

F

2

Ergebnis 3.114:

f =31Fl3

24EI

Ergebnis 3.115:

S1 = P, S2 = P2

Ergebnis 3.116:

Ah = 0, Av = F2, Bv =

3

2F

x < l : N = 0, Q = F2 , M = F2x > l : N = 0, Q = F, M = F (x 32 l)

Ergebnis 3.117:

f =7Fl3

48EI

Ergebnis 3.118:

w(l) =q0l

4

30EI, (l) =

q0l3

24EI

Ergebnis 3.119:

u(l) =fl

2EA; w(

1

2l) =

Fl3

48EI

Ergebnis 3.120:

M =2

7

aMTGIt

Ergebnis 3.121:

N = F, Q = F, M = Fl(1 xl), Ah = F, Av = F, Me = Fl

Ergebnis 3.122:

(a) Z1 = 148.6 kN (b) Z2 = 360 kN

Ergebnis 3.123:

w(l) =q0l

4

8EI; (l) =

q0l3

6EI

Ergebnis 3.124:

wB =5

8

q0a4

EI, B =

2

3

q0a3

EI

Ergebnis 3.125:

(a) FA V =M0l

, FA H = F + M0l

(c) w =5(Fl M0)

EA

(b)M(x) =M0l(x l), N(x) = F M0

lStab: Ns(x) =

2

(F + M0

l

)

Ergebnis 3.126:

M0 = Fl1 + Al

2

15I

Ergebnis 3.127:

(a) P =qL

2 sin(b)M(x) =

1

2qL2

x

L

(1 x

L

)(c) f =

5

384

qL4

EI+qL2 cot2

4EA

Ergebnis 3.128:

(a) f =l2

6EI(3Me + 2Fl), = l

2EI(2Me Fl) (b) f = 3Fhl

2

2EI, =

Fhl

EI

Ergebnis 3.129:

(a) w = 7q0l4

480EI, (b) c =

7

320q0l

Ergebnis 3.130:

(a) S1 = F +3G, S2 = 2G, S3 = G (b)W = l

4EA

(3(F +

3G)2 + 9G2

)

(c) ux =l

2EA(F +

3G)

3, uz =

3l

2EA

(F + (3 +

3)G

)(d) Gkrit =

2

2l2EI

Ergebnis 3.131:

(a)MA = 3FL, (b)M1(x1) = (F2L+ F1x1), M2(x) = F2x2, (c)W = 236

F 2L3

EI

(d),(e) f2 =19FL3

6EI

Ergebnis 3.132:

(a)

B

Av FAh

(b)Ah = 2F, Av = F, B = 2FM1 = F (l x1), M2 = F (2x2 L), M3 = Fx3

(c) w =Fl3

EI

Ergebnis 3.133:

=l

2EI(2M + Fl)

Ergebnis 3.134:

f =Fb3

3EI

(2 + (

a

b)3 + 3

[r

b 2(r

b)2 + (

r

b)3

2

]), c = 0.7177

EI

b3

Ergebnis 3.135:

fh =Fa2b

2EI, fv =

Fb2

EI(a+

b

3)

Ergebnis 3.136:

f =7FL

4EA

Ergebnis 3.137:

f =b2F

EI

(a+

b

3

)

Ergebnis 3.138:

(a) S =F

2(b) wB =

FL

2ESA(c, d) w =

FL3

48EBI+

FL

4ESA

Ergebnis 3.139:

ux =Fa3

2EI, uz =

2Fa3

EI

Ergebnis 3.140:

uv = (42 + 7)

Fl

EA, uh =

3Fl

EA

Ergebnis 3.141:

(a) S1 = S5 = F, S2 = S3 = 3

2F, S4 = F (b)W (F ) = F

2l

8EA(10 + 3

3)

(c) w =Fl

4EA(10 + 3

3) (d) Fkrit =

8

9

3EI2

l2

Ergebnis 3.142:

fv =Fa

4EA(1 +

2), fh =

Fa

4EA

Ergebnis 3.143:

(a)W =F 2L

4EA sin2 (b) f =

FL

2EA sin2 (c) sin FL

2

22EI

Ergebnis 3.144:

(a)M(x) =

2

2(F/2B)x, (b)W = 1

2

a3

3EI(F

2 B)2, u = a

3

3EI(B F

2), (c) B =

F

2

Ergebnis 3.145:

(a) S =1

2(F1 + F2) = 2F (c) w1 =

F1L3B

48EI+F1 + F24EA

LS =F 2L3B16EI

+F 2LSEA

(b)W = (F 21 + F22 )

L3B96EI

+ (F1 + F2)2 LS8EA

=5F 2L3B48EI

+2F 2LSEA

Ergebnis 3.146:

(a) geschlossenes Profil x =5M0R3

, =5M0GR4

(b) geschlitztes Profil x =150M0R3

, =1500M0GR4

,geschlitztx

geschlossenx= 30,

geschlitzt

geschlossen= 300

Ergebnis 3.147:

(a) 500mm4 (b) (x) =mTL

2

2GIT

(xL (x

L)2)

(c)MT (x) =mTL

2

(1 2x

L

)(d) max = 10MPa

Ergebnis 3.148:

(a) S = mg sin, (b) F =1

4mg sin, (c) 2 =

30

mg

Gh2sin

(d) Seiltrommel: =1

20

mg

h2sin, Stange: max =

5

4

mg

h2sin

Ergebnis 3.149:

(a) (l) = 2 104 FGR2

, (b) f =F 106GR

, (c) h = 2R

Ergebnis 3.150:

MA =M0

1 +a

b

(d2d1

)4 , MB = M01 +

b

a

(d1d2

)4 , (a) = 32M0abG (d41b+ d42a)

Ergebnis 3.151:

(a) (l) =2M0l

GR4, (b) maxx =

2M0R3

, (c) Rm = 1.357 R

Ergebnis 3.152:

(a) geschlossen: IT = 86400mm4 ,

min = () = 1.389 104 MT

mm3, max = (2) = 2.778 10

4 MT

mm3

offen: IT = 200mm4 ,

min = (2) = 100 104 MT

mm3, max = () = 50 10

4 MT

mm3

(b) geschlossen: IT = 16200mm4 ,

min = () = 2.485 104 MT

mm3, max = (2) = 4.969 10

4 MT

mm3

offen: IT = 800mm4 ,

min = (2) = 50 104 MT

mm3, max = () = 25 10

4 MT

mm3

(c) offen: IT = 65000mm4 ,

min = (2) = 0.769 104 MT

mm3, max = () = 1.538 10

4 MT

mm3

Ergebnis 3.153:

(a) x(r) = 2.08r Nmm3

(b) (x) = 2.59767 105 x 1mm

, (l) = 1.49

Ergebnis 3.154:

w( =x

a) = 10

(1

120

[5 2 15 + 25

]+

1

6

[ 23 + 5

23]

5123 + 22 135

165400 21

)mm

F F

Ergebnis 3.155:

f =95

40

Fa3

EI

Ergebnis 3.156:

(a) sh =21

4, sv = 3a (bzgl. A)

(b) Iyy =512

3a4, Izz =

458

3a4, Iyz = 80a4, (c) xx 0.44F

a2

Ergebnis 3.157:

(a) Iy = 0.0197H4, (b) = FL

2

3EIyy, (c) max =

FL

0.0394H3

Ergebnis 3.158:

(a)Mvorher = 480Nm (b)Mnachher = 77.67Nm = 0.162Mvorher

Ergebnis 4.1:

k b(b

a

2EI

q0b3 1

)

Ergebnis 4.2:a

b=

1

4

Ergebnis 4.3:

Bedingung: sin(

FkritEI

l) = 0 Fkrit = EI2

l2entspricht Fall (a): gelenkig - gelenkig.

Ergebnis 4.4:

(a) F1 23

EI2

L2= 11.4

EI

L2(b)

F2F1

=

(8.98

)2= 8.17

Ergebnis 4.5:

= 35.26

Ergebnis 4.6:

FK = 5cF l

Ergebnis 4.7:

k =

a

2bEI

vq0 b

Ergebnis 4.8:

(a) Gelenk/Einspannung: Pkrit1 =4.492

a2E,

Einspannung/freies Ende:2

4(L a)2EI(b)

0

101

P2

P1

0.74

(c) aopt = 0.74L

Ergebnis 4.9:

F1 =1

3cl, x = z, y = 2x; F2 = cl, x = z, y = 0