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TM&AC - Winter 2019/2020

velocities and accelerations in planar mechanismsEXAMPLE

Given: mechanism geometry andangular displacement φ(t)t)) of driven element.of of driven element.driven of driven element.element).

Warsaw University of Technology, The Faculty of Automotive and Construction Machinery EngineeringInstitute of Machine Design Fundamentals, Department of Mechanics, http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/,

Sebastian Korczak, PhD Eng.

φ(t)t)

A B

C

D

e

h

O

http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/

TM&AC, of driven element.Wint)er of driven element.2019/2020, of driven element.Sebast)ian of driven element.Korczak of driven element.PhD of driven element.Eng. 2

φ(t)t)

AB

C

D

e

h

1

23 4

5

O


φ(t)t)

AB

C

D

e

h

1

23 4

5

O

X

Y


φ(t)t)

AB

C

D

e

h

1

23 4

5

O

X

Y

r

ha


φ(t)t)

AB

C

D

e

h

1

23 4

5

O

X

Y

r

ha

c b

d

e


φ(t)t)

X

Y

r

ha

cb

d

e


φ(t)t)

X

Y

r

ha

cb

d

e

φh


φ(t)t)

X

Y

r

ha

cb

d

e

φhφ

h=90o


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa

φh=90o


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)

φa(t)t) ≠ const.


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)

φa(t)t) ≠ const.

φr


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t)


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)

φb(t)t) ≠ const.


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)

φb(t)t) ≠ const.

φc(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)

φb(t)t) ≠ const.

φc(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)

φb(t)t) ≠ const.

φc(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)

φb(t)t) ≠ const.

φc(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φe


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)

φb(t)t) ≠ const.

φc(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φeφ

e=180o


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)φ

a(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)

φb(t)t) ≠ const. φ

c(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φe

φe=180o


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)φ

a(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)


c(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φe

φe=180o

|r| = |AB| = r = const.


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)φ

a(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)


c(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φe

φe=180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)φ

a(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)


c(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φe

φe=180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)φ

a(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)


c(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φe

φe=180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)

|c| = |OC| = c = const.


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)φ

a(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)


c(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φe

φe=180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)φ

a(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)


c(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φe

φe=180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)t)


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)φ

a(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)


c(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φe

φe=180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)t)

|e| = e = const.


φ(t)t)

X

Y

r

h

a

cb

d

e

φh

φa(t)t)

φh=90o

φa(t)t)φ

a(t)t) ≠ const.

φr(t)t)

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t)


c(t)t)

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd

φd=270o

φe

φe=180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)t)

|e| = e = const.

h + r = ac + b + d + e = 0


φh=90o

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t) ≠ const.

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd= 270o

φe= 180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)t)

|e| = e = const.

h + r = ac + b + d + e = 0


φh=90o

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t) ≠ const.

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd= 270o

φe= 180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)t)

|e| = e = const.

h + r = ac + b + d + e = 0

x : hcos ϕ h+r cosϕ r(t )=a(t)cosϕ a(t)y : hsin ϕ h+r sin ϕ r(t)=a(t)sin ϕ a(t)


φh=90o

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t) ≠ const.

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd= 270o

φe= 180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)t)

|e| = e = const.

h + r = ac + b + d + e = 0


x : c cosϕ c(t)+bcosϕ b(t)+d(t)cosϕ d+e cosϕ e=0y : c sin ϕ c(t )+b sinϕ b (t)+d (t)sin ϕ d+e sin ϕ e=0


φh=90o

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t) ≠ const.

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd= 270o

φe= 180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)t)

|e| = e = const.

h + r = ac + b + d + e = 0



x : hcos 90o+r cos(90o−ϕ(t ))=a(t)cosϕ a(t)

y : hsin 90o+r sin(90o−ϕ (t))=a(t)sin ϕ a(t)x : c cosϕ a(t)+bcosϕ b(t)+d (t)cos270

o+e cos180o=0

y : c sin ϕ a(t)+b sin ϕ b(t)+d (t)sin270o+e sin180o=0


φh=90o

φa(t)t) ≠ const.

φr(t)t) = 90o - φ(t)t)

φb(t)t) ≠ const.

φc(t)t) = φ

a(t)t)

φd= 270o

φe= 180o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)t)

|e| = e = const.

h + r = ac + b + d + e = 0



x : hcos 90o+r cos(90o−ϕ(t ))=a(t)cosϕ a(t)

y : hsin 90o+r sin(90o−ϕ (t))=a(t)sin ϕ a(t)x : c cosϕ a(t)+bcosϕ b(t)+d (t)cos270

o+e cos180o=0

y : c sin ϕ a(t)+b sin ϕ b(t)+d (t)sin270o+e sin180o=0

x : r sinϕ (t)=a(t)cosϕ a(t)y : h+r cosϕ (t )=a(t )sin ϕ a(t )x : c cosϕ a(t)+bcosϕ b(t)−e=0y : c sin ϕ a(t)+b sin ϕ b(t)−d (t)=0



123

1

4



a ( t )=√ r2 sin2( t )+(h+r cosϕ ( t ) )

2

ϕ a ( t )=atan( h+r cosϕ ( t )

r sin ϕ ( t ) )

ϕ b ( t )=arccose−c cosϕ a ( t )

b

d ( t )=c sin ϕ a ( t )+b √ 1−( e−c cosϕ a( t )

b )2

123

1

4



a ( t )=√ r2 sin2( t )+(h+r cosϕ ( t ) )

2


r sin ϕ ( t ) )


b

vD ( t )=d ( t )

aD ( t )=d ( t )

123

1

4


b )2



b )2

r= 0,3 [m]

h= 0,4 [m]

c= 1 [m]

e= 0,4 [m]

b= 1 [m]

ω= 1 [rad/s]

a ( t )=√ r2 sin2( t )+(h+r cosϕ ( t ) )

2

ϕ ( t )

[m ]



r sin ϕ ( t ) )


b

ϕ ( t )

r= 0,3 [m]

h= 0,4 [m]

c= 1 [m]

e= 0,4 [m]

b= 1 [m]

ω= 1 [rad/s]

[rad ]


ϕ ( t )

r= 0,3 [m]

h= 0,4 [m]

c= 1 [m]

e= 0,4 [m]

b= 1 [m]

ω= 1 [rad/s]vD ( t )=d ( t )

ms


r= 0,3 [m]

h= 0,4 [m]

c= 1 [m]

e= 0,4 [m]

b= 1 [m]

ω= 1 [rad/s]

ϕ ( t )

aD ( t )=d ( t )

m

s2

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