Ask€seic sta Majhmatik‹ IŸΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ.pdf · Ask€seic sta Majhmatik‹ I Tm€ma...

Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι

Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ

Μουτάφη Ευαγγελία

Θεσσαλονίκη 2018-2019

Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ (Αριστοτλε Υνιvερσιτψ οφ Τηεσσαλονικι)Ασκήσεις 2018 1 / 1

ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Ορισμοί

Αντιπαράγωγος συνάρτησης ΄Εστω συνάρτηση f : ∆→ R,∆ ⊆ R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F : ∆→ R ισχύει

F ′(x) = f (x) για κάθε x ∈ ∆,

τότε η F ονομάζεται αντιπαράγωγος ή παράγουσα ή αρχική συνάρτη-ση της f στο διάστημα ∆.

Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο ∆, τότε κάθε συνάρτηση τηςμορφής F + c , c οποιαδήποτε σταθερά, είναι επίσης αντιπαράγωγοςτης f .

Αόριστο ολοκλήρωμα της f είναι μία οικογένεια συναρτήσεωνπου διαφέρουν μεταξύ τους κατά μία σταθερά, κάθε μία από τις οποί-

ες είναι αντιπαράγωγος της f . Το αόριστο ολοκλήρωμα της f συμ-

βολίζεται

∫f (x) dx .


Ισχύει: ∫f (x) dx = F (x) + c για κάθε x ∈ ∆

Η διαδικασία εύρεσης της F (x) + c ονομάζεται ολοκλήρωση της f .

Παρατηρήσεις

1. Το σύμβολο∫και το dx δηλώνουν τη διαδικασία της ολοκλήρω-

σης η οποία είναι ανεξάρτητη από το όνομα της μεταβλητής x . Για

παράδειγμα οι εκφράσεις

∫f (x) dx ,

∫f (t) dt συμβολίζουν το αόρι-

στο ολοκλήρωμα της f .

2. Η παραγώγιση μιας στοιχειώδους συνάρτησης οδηγεί σε στοιχει-

ώδη συνάρτηση, ενώ η ολοκλήρωση όχι. Επίσης η διαδικασία της ο-

λοκλήρωσης είναι δυσκολότερη και απαιτεί ιδιαίτερες μεθόδους και

τεχνικές.

Ακολουθεί πίνακας βασικών και σύνθετων αόριστων ολοκληρωμά-

των. Οι τύποι του πίνακα ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι

παραστάσεις του x που εμφανίζονται έχουν νόημα.Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ (Αριστοτλε Υνιvερσιτψ οφ Τηεσσαλονικι)Ασκήσεις 2018 1 / 1

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΒΑΣΙΚΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ


1.

∫0 dx = c

2.

∫1 dx = x + c

∫f ′(x) dx = f (x) + c

3.

∫1

xdx = ln |x |+ c

∫f ′(x)

f (x)dx = ln |f (x)|+ c

4.

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ c, n 6= −1

∫f n(x)·f ′(x) dx =

f n+1(x)

n + 1+c, n 6= −1

5.

∫sin x dx = − cos x + c

∫sin(f (x)) · f ′(x) dx = − cos(f (x)) + c

6.

∫cos x dx = sin x + c

∫cos(f (x)) · f ′(x) dx = sin(f (x)) + c

7.

∫1

cos2 xdx = tan x + c

∫1

cos2(f (x))f ′(x) dx = tan(f (x)) + c

8.

∫1

sin2 xdx = − cot x + c

∫1

sin2(f (x))f ′(x) dx = − cot(f (x)) + c

9.

∫ex dx = ex + c

∫e f (x) · f ′(x) dx = e f (x) + c

10.

∫ax dx =

ax

ln a+ c, 0 < a 6= 1

∫af (x) · f ′(x) dx =

af (x)

ln a+ c, 0 < a 6= 1


ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΒΑΣΙΚΩΝ


ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ


11.

∫dx√1− x2

= arc sin x + c, |x | < 1

∫f ′(x)√1− f 2(x)

dx = arc sin f (x) + c

12.

∫1

1 + x2dx = arc tan x + c

∫f ′(x)

1 + f 2(x)dx = arc tan f (x) + c

13.

∫sinh x dx = cosh x + c,

∫f ′(x) sinh f (x) dx = cosh f (x) + c

14.

∫cosh x dx = sinh x + c,

∫f ′(x) cosh f (x) dx = sinh f (x) + c

Επίσης συχνά εμφανίζονται και τα ολοκληρώματα:

15.

∫ √x2 ± α2 dx =

x

2

√x2 ± α2 ± α2

2ln∣∣x +

√x2 ± α2

∣∣+ c, α ∈ R

16.

∫dx√

x2 ± α2= ln

∣∣x +√

x2 ± α2∣∣+ c, α ∈ R

17.

∫dx(

x2 ± α2)3/2 =

±xα2√x2 ± α2

+ c, α ∈ R∗

18.

∫ √α2 − x2 dx =

x

2

√α2 − x2 +

α2

2arc sin

(xa

)+ c, |x | < α



1. Γενικότερα για το ολοκλήρωμα 3 έχουμε:∫1

x − ρdx = ln |x − ρ|+ c .

2. Για το ολοκλήρωμα 4 και για ν = −12:∫

1√xdx = 2

√x + c , x > 0,

αν f (x) > 0 τότε

∫f ′(x)√f (x)

dx = 2√f (x) + c .

3. Για τα 11 και 12 έχουμε αντίστοιχα γενικότερα:∫dx√

α2 − x2= arc sin

( xα

)+ c , |x | < α,∫

dx

α2 + x2=

1

αarc tan

( xα

)+ c , α 6= 0.


Κανόνες ολοκλήρωσης

Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν παράγουσα στο διάστημα ∆, τότε:

•∫λf (x) dx = λ

∫f (x) dx , λ ∈ R∗

•∫

[f (x) + g(x)] dx =

∫f (x) dx +

∫g(x) dx

Μέθοδοι ολοκλήρωσης

1. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

΄Εστω συναρτήσεις f , g : ∆→ R, έτσι ώστε οι συναρτήσεις f ′, g ′ :∆→ R να είναι συνεχείς στο διάστημα ∆. Τότε ∀x ∈ ∆ ισχύει:∫

f (x) · g ′(x) dx = f (x) · g(x)−∫

f ′(x) · g(x) dx (1)


1. Η μέθοδος εφαρμόζεται όταν η προς ολοκλήρωση συνάρτηση εί-

ναι ή μπορεί να αναχθεί σε γινόμενο δύο συναρτήσεων εκ των οποί-


ων η μία μπορεί εύκολα να παραγωγιστεί επανειλημμένα ενώ η άλλη

εύκολα να ολοκληρωθεί επανειλημμένα.

2. Η μέθοδος εφαρμόζεται όταν το ολοκλήρωμα

∫f ′(x) · g(x) dx

του 2ου μέλους της σχέσης (1) είναι ευκολότερο από το ολοκλήρω-

μα

∫f (x) · g ′(x) dx του 1ου μέλους.

Παραδείγματα

1. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

∫ln x dx , x > 0.∫

ln x dx =

∫1 · ln x dx =

∫(x)′ · ln x dx (1)= x ln x −

∫x · (ln x)′ dx

= x ln x −∫

x · 1

xdx = x ln x −

∫dx = x ln x − x + c

(1) Εφαρμόστηκε ο τύπος (1) της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες.


2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

∫(x2 + x)ex dx .∫

(x2 + x)ex dx =

∫(ex)′(x2 + x) dx

(1)

= ex(x2 + x)−∫

ex(x2 + x)′ dx

= ex(x2 + x)−∫

ex(2x + 1) dx

= ex(x2 + x)−∫

(ex)′(2x + 1) dx

(1)

= ex(x2 + x)− ex(2x + 1) +

∫ex(2x + 1)′ dx

= ex(x2 + x)− ex(2x + 1) +

∫2ex dx

= ex(x2 + x)− ex(2x + 1) + 2ex + c

(1) Εφαρμόστηκε ο τύπος (1) της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες.

Στο γινόμενο των δύο αρχικών συναρτήσεων x2 + x και ex δεν γρά-

ψαμε x2 + x =(

x3

3+ x2

2

)′γιατί με την εφαρμογή του τύπου (1) θα

καταλήγαμε σε δυσκολότερο ολοκλήρωμα. �Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ (Αριστοτλε Υνιvερσιτψ οφ Τηεσσαλονικι)Ασκήσεις 2018 1 / 1

Η κατά παράγοντες ολοκλήρωση (τύπος (1)) εφαρμόζεται

στα παρακάτω ολοκληρώματα εφόσον αυτά είναι καλά ορισμένα.

1.

∫ln x dx =

∫(x)′ · ln x dx∫

ln(g(x)) dx =

∫(x)′ · ln(g(x)) dx∫

xκ · ln x dx =

∫ ( xκ+1

κ+ 1

)′· ln x dx∫

f (x) ln(g(x)) dx =

∫F ′(x) · ln(g(x)) dx , oπoυ F ′(x) = f (x)

2.

∫eαx · sin(λx) dx =

∫ ( 1

αeαx)′· sin(λx) dx∫

eαx · cos(λx) dx =

∫ ( 1

αeαx)′· cos(λx) dx

Ο τύπος (1) εφαρμόζεται 2 φορές και δημιουργείται εξίσωση με ά-

γνωστο το αρχικό ολοκλήρωμα.


3.

∫xκ · sin(αx) dx =

∫xκ ·

(− 1

αcos(αx)

)′dx∫

xκ · cos(αx) dx =

∫xκ ·

( 1

αsin(αx)

)′dx∫

xκ · eαx dx =

∫xκ ·

( 1

αeαx)′

dx

Ο τύπος (1) εφαρμόζεται κ φορές.

4.

∫P(x) · sin(αx) dx =

∫P(x) ·

(− 1

αcos(αx)

)′dx∫

P(x) · cos(αx) dx =

∫P(x) ·

( 1

αsin(αx)

)′dx∫

P(x) · eαx dx =

∫P(x) ·

( 1

αeαx)′

dx

Ο τύπος (1) εφαρμόζεται ν φορές όπου ν είναι ο βαθμός του πολυω-

νύμου P(x) .


2. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση

Ο στόχος μας είναι να αντικαταστήσουμε το ολοκλήρωμα

∫f (x) dx

με ένα ευκολότερο. Αν η μεταβλητή x είναι παραγωγίσιμη συνάρτη-ση μιας άλλης μεταβλητής u, δηλαδή x = g(u), όπου η g είναισυνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση, τότε αντικαθιστούμε το x με τησυνάρτηση g(u), το dx με g ′(u) du και το αρχικό ολοκλήρωμαμετασχηματίζεται ως εξής:∫

f (x) dx =

∫f (g(u)) · g ′(u) du

Μετά την ολοκλήρωση ως προς u επανερχόμαστε στη μεταβλητή x .

Παράδειγμα

Στο ολοκλήρωμα

∫ex sin ex dx θέτουμε u = ex οπότε du = (ex)′ dx

= ex dx και αυτό γίνεται∫ex sin ex dx =

∫sin u du = − cos u + c = − cos(ex) + c �


Στη συνέχεια δίνονται κάποια ολοκληρώματα όπου ενδείκνυται η μέ-

θοδος της αντικατάστασης. ΄Ολα τα ολοκληρώματα είναι καλά

ορισμένα ενώ στο κάθε ένα από αυτά προτείνεται μία αλλαγή μετα-

βλητής ή ένας μαθηματικός μετασχηματισμός.

1.

∫f (αx + β) dx ,

∫1

αx + βdx ,

∫eαx+β dx∫

cos(αx + β) dx ,

∫sin(αx + β) dx

u = αx + β

2.

∫f (x ,

κ1√xλ, ..., κν

√xµ) dx , u = κ

√x , κ = EKΠ(κ1, ..., κν)

3.

∫f(x , κ1

√(αx + β)λ, ..., κν

√(αx + β)µ

)dx , u = κ

√αx + β, �

4.

∫f

(κ

√αx + β

γx + δ

)dx , u = κ

√αx+βγx+δ


5.

∫f (x) κ

√αx + β dx , u = κ

√αx + β, f (x) πoλυωνυµo

6.

∫f (x) κ

√g(x) dx∫

f (x)κ√g(x)

dx

αν f (x) = αg ′(x) :

u = g(x) η u = κ√g(x)

7.

∫f ′(x)

f (x)dx , u = f (x)

8.

∫f (ex) dx , u = ex

9.

∫f (x2) dx , u = x2

10.

∫f (ln x)

1

xdx , u = ln x


11.

∫f (sin x) cos x dx , u = sin x

12.

∫f (cos x) sin x dx , u = cos x

13.

∫f (tan x)

1

cos2 xdx , u = tan x

14.

∫dx

(x2 + α2)2, x = α tan u, α > 0

15.

∫ √α2 − β2x2 dx , x =

α

βsin u, α, β > 0

16.

∫ √α2x2 − β2 dx , x =

β

α sin u, α, β > 0

17.

∫ √α2x2 + β2 dx , x =

α

βtan u, α, β > 0

Σχόλιο: Σε 14, 17 u ∈(− π

2,π

2

), σε 15 u ∈

[− π

2,π

2

], σε 16 u ∈

[− π

2, 0)ή

u ∈(0,π

2

].


18.

∫sin2ν+1 x dx ,

∫cos2ν+1 x dx ,∫

sin2ν+1 x cosκ x dx ,

∫sinκ x cos2ν+1 x dx ,∫

sin2ν+1 x

cosκ xdx ,

∫cos2ν+1 x

sinκ xdx , ν, κ ∈ N

α) sin2ν+1 x = sin2ν x · sin x = (1− cos2 x)ν · (− cos x)′, u = cos x ,

β) cos2ν+1 x = cos2ν x · cos x = (1− sin2 x)ν · (sin x)′, u = sin x

19.

∫sin2ν x dx∫

cos2ν x dx∫sin2ν x · cos2ν x dx

sin2 x =

1− cos 2x

2

cos2 x =1 + cos 2x

2


20.

∫sinαx · sinβx dx∫

cosαx · cosβx dx∫sinαx · cosβx dx

2 sinα · sinβ = cos(α− β)− cos(α + β)

2 cosα · cosβ = cos(α− β) + cos(α + β)

2 sinα · cosβ = sin(α− β) + sin(α + β)

21.

∫f (sin x , cos x) dx εκτ oς των 17, 18, 19 : u = tan

x

2

sin x =2u

1 + u2, cos x =

1− u2

1 + u2, dx =

2 du

1 + u2.

Μερικές φορές για άρτιες δυνάμεις των sin x και cos x θέτουμεu = tan x , οπότε:

sin2 x =u2

1 + u2, cos2 x =

1

1 + u2, dx =

du

1 + u2.


22.

∫P(x)

Q(x)dx

1η Περίπτωση: P(x) είναι ένα πολυώνυμο μικροτέρου βαθμού του ν,όπου ν είναι ο βαθμός του Q(x).

Αναλύουμε το πολυώνυμο Q(x) με τη βοήθεια των ριζών του (πραγ-ματικών και μιγαδικών) σε γινόμενο παραγόντων της μορφής

(x − ρ)κ και (x2 + px + q)λ με p2 − 4q < 0. Αναλύουμε το κλάσμαP(x)

Q(x)σε άθροισμα κλασμάτων με παρονομαστές τους παράγοντες

(x − ρ)κ και (x2 + px + q)λ.

• Σε κάθε παράγοντα της μορφής (x − ρ)κ αντιστοιχούμε τα κ κλά-σματα

A1

x − ρ+

A2

(x − ρ)2+ ...+

Aκ

(x − ρ)κ, Ai ∈ R, i = 1, ..., κ


• Σε κάθε παράγοντα της μορφής (x2 + px + q)λ με p2 − 4q < 0αντιστοιχούμε τα λ κλάσματα

B1x + C1

x2 + px + q+

B2x + C2

(x2 + px + q)2+ ...+

Bλx + Cλ

(x2 + px + q)λ,

Bj ,Cj ∈ R, j = 1, ..., λ.

Κάνουμε ομώνυμα όλα τα κλάσματα με παρονομαστή Q(x), τα α-

θροίζουμε και εξισώνουμε το άθροισμα με το αρχικό κλάσμαP(x)

Q(x).

Από την εξίσωση των αριθμητών θα προκύψει σύστημα ως προς

Ai ,Bj ,Cj που θα επιλυθεί ως προς τους αγνώστους αυτούς.

Το αρχικό ολοκλήρωμα

∫P(x)

Q(x)dx ανάγεται σε άθροισμα ολοκλη-

ρωμάτων της μορφής

∫1

(x − ρ)κdx και

∫Bx + C

(x2 + px + q)λdx με

p2 − 4q < 0.


α) Για τα ολοκληρώματα της μορφής

∫1

(x − ρ)κdx :

Αν κ = 1:

∫1

x − ρdx = ln |x − ρ|+ c ,

Αν κ 6= 1:

∫1

(x − ρ)κdx =

(x − ρ)1−κ

1− κ+ c .

β) Στα ολοκληρώματα της μορφής

∫Bx + C

(x2 + px + q)λdx με

p2 − 4q < 0 αρχικά κάνουμε τον μετασχηματισμό

x2 + px + q = (x + α)2 + β2, όπου α =

p

2, β =

√q − p2

4

και στη συνέχεια θέτοντας u = x + α καταλήγουμε σε ολοκληρώ-

ματα της μορφής

∫u

(u2 + α2)λdu ή

∫1

(u2 + α2)λdu.


Για τα ολοκληρώματα της μορφής

∫u

(u2 + α2)λdu έχουμε

Αν λ = 1:

∫u

u2 + α2du =

1

2ln(u2 + α2) + c ,

Αν λ 6= 1:

∫u

(u2 + α2)λdu =

1

2· (u2 + α2)1−λ

1− λ+ c .

Για τα ολοκληρώματα της μορφής

∫1

(u2 + α2)λdu έχουμε τον ανα-

δρομικό τύπο

Iλ =

∫1

(u2 + α2)λdu =

1

2(λ− 1)α2· u

(u2 + α2)λ−1+

2λ− 3

2(λ− 1)α2·Iλ−1+c

και I1 =

∫1

u2 + α2du =

1

αtan−1

(u

α

)+ c


2η Περίπτωση: P(x) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού μεγαλυτέρου ήίσου του ν, όπου ν είναι ο βαθμός του Q(x).

Αρχικά διαιρούμε το πολυώνυμο P(x) με το Q(x) και από την ταυ-τότητα της διαίρεσης έχουμε P(x) = Q(x) · π(x) + υ(x) και

P(x)

Q(x)=

Q(x) · π(x) + υ(x)

Q(x)= π(x) +

υ(x)

Q(x)

και το αρχικό ολοκλήρωμα γίνεται:∫P(x)

Q(x)dx =

∫π(x) dx +

∫υ(x)

Q(x)dx

όπου το δεύτερο ανάγεται στην 1η περίπτωση εφόσον ο βαθμός του

υ(x) είναι μικρότερος από τον βαθμό του Q(x).

Παράδειγμα

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

∫2x + 1

x4 + x2dx .


Αναλύουμε το κλάσμα2x + 1

x4 + x2σε άθροισμα απλών κλασμάτων:

2x + 1

x4 + x2=

A

x+

B

x2+

Γx + ∆

x2 + 1=

(A + Γ)x3 + (B + ∆)x2 + Ax + B

x4 + x2

άρα πρέπει να ισχύει

2x + 1 = (A + Γ)x3 + (B + ∆)x2 + Ax + B

οπότε προκύπτει A = 2,B = 1, Γ = −2,∆ = −1 και το αρχικό ολο-κλήρωμα γίνεται:∫

2x + 1

x4 + x2dx =

∫2

xdx +

∫1

x2dx −

∫2x

x2 + 1dx −

∫1

x2 + 1dx

= 2 ln |x | − 1

x− ln(x2 + 1)− tan−1 x + c . �


ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού

΄Εστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] ⊆ R. Αν F είναιμία παράγουσα της f στο [α, β], τότε∫ β

αf (x) dx = F (α)− F (β) �


1. Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας πραγματικός αριθμός ενώ το

αόριστο είναι ένα σύνολο συναρτήσεων.

2. Στο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού στο

ορισμένο ολοκλήρωμα

∫ β

α

f (x) dx απαιτείται α < β αλλά το ορισμέ-

νο ολοκλήρωμα ορίζεται γενικότερα και για α = β ή α > β.


Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:

α)

∫esin x cos x dx β)

∫x√

2 + x2dx

γ)

∫1

cos2 x tan xdx δ)

∫3x − 1

3x2 − 2x + 5dx

2. ΄Ομοια:

α)

∫2x + 3

x3 + x2 − 2xdx β)

∫1

x3 + x5dx

γ)

∫x4 + 3x3 + x

x2 + 1dx δ)

∫1

x4 − 1dx

3. ΄Ομοια:

α)

∫1

e2x − 3exdx β)

∫e3x + ex

e3x − 3ex + 2dx


4. ΄Ομοια:

α)

∫1

1 +√

3x + 2dx β)

∫x2√

4− x2dx

5. ΄Ομοια:

α)

∫sin 2x cos 6x dx β)

∫sin4 x dx

γ)

∫sin4 x cos3 x dx δ)

∫sin2 x cos2 x dx

6. ΄Ομοια:

α)

∫e−x cos 2x dx β)

∫x2 sin 4x dx

γ)

∫x2 ln 2x dx δ)

∫x ln(1 +

1

x) dx


Ask€seic sta Majhmatik‹ IŸΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ.pdf · Ask€seic sta Majhmatik‹ I Tm€ma...

Documents

Transcript of Ask€seic sta Majhmatik‹ IŸΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ.pdf · Ask€seic sta Majhmatik‹ I Tm€ma...