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OndaseLinhas

31/05/17

1

SJBV SJBV

(pags 102 a 112 do Pozar)

•  Geometria e Condições de Contorno

•  Solução geral para Modos TE

•  Solução geral para Modos TM

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Guias de Onda

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•  Além disso, o interior do guia é preenchido por um dielétrico com parâmetros constitutivos ε e µ (normalmente ar).

•  Vamos considerar os campos de um guia circular metálico com raio‘a’.

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Guia de Onda Circular

x

b

z

y

ε, µ

a

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•  Os guias circulares não suportam modos TEM, pois possuem apenas um condutor.

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Guia de Onda Circular

•  O condutor é considerado ideal e por isso o campo elétrico tangencial ao condutor metálico do guia deve ser nulo.

•  Pergunta: que componentes do campo elétrico E (em Coord. Cilindr.) devem ser nulas?

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Guia Circular (modos TE)

∂2

∂ρ2+1ρ∂∂ρ

+1ρ2

∂2

∂φ 2+ kc

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Hz ρ, φ( ) = 0

∇2Hz + k2Hz = 0

•  Para encontrar os campos eletromagnéticos, temos que achar as soluções da Eq. de Onda em Coord. Cilíndricas.

•  Assumindo uma solução na forma , chegamos à Eq. de Helmholtz 2D:

Hz ρ, φ, z( ) = Hz ρ, φ( )e− jβz•  Para modos TE (Ez = 0, Hz ≠ 0).

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•  Onde a dependência com ρ e φ é desacoplada. Substituindo na Eq. de Helmholtz 2D, temos:

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Hz ρ, φ( ) = R(ρ)P(φ)

ρ2

Rd 2Rdρ2

+ρRdRdρ

+ρ2kc2 = −

1Pd 2Pdφ2

•  A solução da Eq de Helmholtz 2D possui a forma:

SJBV SJBV

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•  Como R só depende de ‘ρ’ e P só depende de ‘φ’, os lados direito e esquerdo da equação anterior têm de ser iguais a uma constante. Podemos chamar estas constantes de kφ.

•  Igualando o lado direito a kφ, temos a equações resultante:

d 2Pdφ2

+ kφ2P = 0

ρ2d 2Rdρ2

+ ρdRdρ

+ ρ2kc2 − n2( )R = 0

•  A solução geral desta equação possui a forma:

P φ( ) = A sen kφφ( )+B cos kφφ( )•  A solução é periódica em φ. Assim, kφ tem que ser um inteiro kφ = n (n = 0, 1, 2 ..).

•  Igualando o lado esquerdo da Eq. de Helmholtz 2D a ‘n’, temos:

(Eq. de Bessel)

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•  A solução geral para a componente z do campo magnético Hz(ρ, φ) é:

Hz (ρ, φ) = C Jn kcρ( )+D Yn kcρ( )⎡⎣ ⎤⎦ A sen nφ( )+B cos nφ( )⎡⎣ ⎤⎦

R(ρ)P(φ)

D = 0

Jn ρ( )

ρ

ρ

Yn ρ( )

•  Como a função de Bessel de segunda espécie Yn é igual a (menos) infinito em ρ = 0, D = 0 na equação acima.

0

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•  A solução geral para Hz(ρ, φ) fica:

•  Usando as equações para os campos transversais em função de Hz, podemos achar Eφ e aplicar a C. C. na superfície condutora do guia.

Hz (ρ,φ) = A sen nφ( )+B cos nφ( )⎡⎣ ⎤⎦Jn kcρ( )

Eφ ρ, φ( ) = jωµkc

A sen nφ( )+B cos nφ( )⎡⎣ ⎤⎦Jn' kcρ( ) = 0, em ρ = a

Derivadacomrelaçãoaoargumento•  Para que a C.C. seja satisfeita, temos que ter:

Jn' kca( ) = 0

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PARE

IAQUI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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•  Seja p’nm a m-ésima de J’n, para que a C.C. acima seja satisfeita temos que ter:

kc,nm =pnm'

a

p11, p21

, p01, p12

, p22,p02,

Raízes p’nm de J’n, para n = 0, 1, 2.

pnm' → Jn

' pnm'( ) = 0 (m− ésima raíz de Jn

' )

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•  Os componentes do campo eletromagnético para os modos TE do guia circular são:

Ez = 0

Guia Circular (modos TEnm)

A, e B são constantes de amplitude.

Hz = A sen nφ( )+Bcos(nφ)⎡⎣ ⎤⎦Jn kcρ( )e− jβz

Eρ = −jωµnkc2ρ

A cos nφ( )−Bsen(nφ)⎡⎣ ⎤⎦Jn kcρ( )e− jβz

Eφ =jωµkc

A sen nφ( )+Bcos(nφ)⎡⎣ ⎤⎦Jn' kcρ( )e− jβz

Hρ = −jβkc


Hφ = −jβnkc2ρ


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•  Para que β seja real (O que acontece se não for?):

•  A constante de propagação na direção de propagação (β) é:

k > kc =pnm'

a•  A frequência de corte, para modos da polarização TE no guia retangular, é:

βnm = k 2 − kc2 = k 2 − pnm

'

a

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

fc,nm =kc

2π µε=

pnm'

2πa µε

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•  A impedância de onda para modos TE é:

ZTE =Eρ

Hφ

= −Eφ

Hρ

=ηkβ

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Guia Circular (modos TM)

∂2

∂ρ2+1ρ∂∂ρ

+1ρ2

∂2

∂φ 2+ kc

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Ez ρ, φ( ) = 0

∇2Ez + k2Ez = 0

•  Para encontrar os campos eletromagnéticos, temos que achar as soluções da Eq. de Onda em Coord. Cilíndricas.

•  Assumindo uma solução na forma , chegamos à Eq. de Helmholtz 2D:

Ez ρ, φ, z( ) = Ez ρ, φ( )e− jβz•  Para modos TM (Hz = 0, Ez ≠ 0).

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•  Onde a dependência com ρ e φ é desacoplada. Substituindo na Eq. de Helmholtz 2D, temos:

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Ez ρ, φ( ) = R(ρ)P(φ)

ρ2

Rd 2Rdρ2

+ρRdRdρ

+ρ2kc2 = −

1Pd 2Pdφ2

•  A solução da Eq de Helmholtz 2D possui a forma:

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•  Como R só depende de ‘ρ’ e P só depende de ‘φ’, os lados direito e esquerdo da equação anterior têm de ser iguais a uma constante. Podemos chamar estas constantes de kφ.

•  Igualando o lado direito a kφ, temos a equações resultante:

d 2Pdφ2

+ kφ2P = 0

ρ2d 2Rdρ2

+ ρdRdρ

+ ρ2kc2 − n2( )R = 0

•  A solução geral desta equação possui a forma:P φ( ) = A sen kφφ( )+B cos kφφ( )

•  A solução é periódica em φ. Assim, kφ tem que ser um inteiro kφ = n (n = 0, 1, 2 ..).

•  Igualando o lado esquerdo da Eq. de Helmholtz 2D a ‘n’, temos:

(Eq. de Bessel)

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•  A solução geral para a componente z do campo Elétrico Ez(ρ, φ) é:

Ez (ρ, φ) = C Jn kcρ( )+D Yn kcρ( )⎡⎣ ⎤⎦ A sen nφ( )+B cos nφ( )⎡⎣ ⎤⎦

R(ρ) P(φ)

D = 0

Jn ρ( )

ρ

ρ

Yn ρ( )

•  Como a função de Bessel de segunda espécie Yn é igual a (menos) infinito em ρ = 0, D = 0 na equação acima.

0

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•  A solução geral para Ez(ρ, φ) fica:

•  Usando Ez, podemos aplicar a C. C. na superfície condutora do guia.

Ez (ρ,φ) = A sen nφ( )+B cos nφ( )⎡⎣ ⎤⎦Jn kcρ( )

Ez (ρ,φ) = A sen nφ( )+B cos nφ( )⎡⎣ ⎤⎦Jn kcρ( ) = 0, em ρ = a

Função de Bessel de 1ª Espécie

•  Para que a C.C. seja satisfeita, temos que ter:

Jn kca( ) = 0

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•  Seja pnm a m-ésima de Jn. Para que a C.C. acima seja satisfeita temos que ter:

kc,nm =pnma

p01 p11 p21p02 p12 p22

Raízes pnm de Jn, para n = 0, 1, 2.

pnm → Jn pnm( ) = 0 (m− ésima raíz de Jn )

n=0n=1

n=2

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•  Os componentes do campo eletromagnético para os modos TM do guia circular são

Hz = 0

Guia Circular (modos TMnm)

A, e B são constantes de amplitude.

Ez = A sen nφ( )+Bcos(nφ)⎡⎣ ⎤⎦Jn kcρ( )e− jβz

Eρ = −jβkc


Eφ = −jβnkc2ρ


Hρ =jωεnkc2ρ


Hφ = −jωεkc


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•  Para que b seja real (O que acontece se não for?):

•  A constante de propagação na direção de propagação (β) é:

k > kc =pnma

•  A frequência de corte, para modos da polarização TE no guia retangular, é:

βnm = k 2 − kc2 = k 2 − pnm

a

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

fc,nm =kc

2π µε=

pmn2πa µε

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•  A impedância de onda para modos TM é:

ZTM =Eρ

Hφ

= −Eφ

Hρ

=ηβk

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Modos Dominantes e Operação monomodo

•  Os modos TE0n e TM1n são degenerados (possuem o mesmo β para mesma frequência). Possuem mesma frequencia de corte também.

•  O modo TE11 é dito dominante entre os modos TE e o modo TM01 é dominante entre os modos TM.

•  O guia é dito monomodo se somente o modo fundamental se propaga. •  Qual a banda de operação monomodo do guia abaixo?

x

b

y

ε, µ

a

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