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Atom-, Molekül- und Festkörperphysik Atom-, Molekül- und Festkörperphysik Transport, von 1D zu 2 & 3D, Bandstruktur Fermienergie, Zustandsdichte 9. Vorlesung, 20. 6. 2013 für LAK, SS 2013 – Peter Puschnig basierend auf Unterlagen von Prof. Ulrich Hohenester

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Atom-, Molekül- und FestkörperphysikAtom-, Molekül- und Festkörperphysik

Transport, von 1D zu 2 & 3D, BandstrukturFermienergie, Zustandsdichte

9. Vorlesung, 20. 6. 2013

für LAK, SS 2013 – Peter Puschnigbasierend auf Unterlagen von

Prof. Ulrich Hohenester

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Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?

Gruppengeschwindigkeit

Elektrisches Feld F, Energieänderung in Zeit δt

andererseits gilt

Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper – ähnlich wie 2. Newtonsches Gesetz

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Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?

Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper … Dispersion freies Teilchen

Ohmsches Gesetz … Strom (mittlere Geschwindigkeit der Elektronen) ist proportional zu angelegter Spannung

Was ist falsch ?

Was müssen wir noch zusätzlich berücksichtigen ?

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Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?

Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper … Dispersion freies Teilchen

Ohmsches Gesetz … Strom (mittlere Geschwindigkeit der Elektronen) ist proportional zu angelegter Spannung

Reibungsterm (Stöße mit Gitterfehlstellen und Gitterschwingungen)

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Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?

Reibungsterm (Stöße mit Gitterfehlstellen und Gitterschwingungen)

F

Beschleunigung

Streuung

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Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?

Spin

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Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?

Beispiel: ein Atomzustand, ein Elektron pro Atom

besetzte Zustände

unbesetzte Zustände

Nur Zustände bis zur Hälfte des Bandes sind besetzt

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Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?

Beispiel: ein Atomzustand, zwei Elektronen pro Atom

besetzte Zustände

Alle Zustände des Bandes sind besetzt

Was passiert, wenn man elektrisches Feld anlegt ?

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Isolator versus Metall

Ohne Feld : es gibt genau so viele Elektronen, die sich nach links bewegen, wie solche, die sich nach rechts bewegen … kein Nettostrom

Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen

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Isolator versus Metall

Mit Feld : alle Endzustände sind besetzt, es kann kein Strom fließen… Isolator

Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen

alle Endzustände besetzt … keine Umbesetzung

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Isolator versus Metall

Ohne Feld : es gibt genau so viele Elektronen, die sich nach links bewegen, wie solche, die sich nach rechts bewegen … kein Nettostrom

Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen

besetzte Zustände

unbesetzte Zustände

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Isolator versus Metall

Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen

Mit Feld : mehr Elektronen, die sich nach rechts als links bewegen… Metall

F

Elektronen werden angeregt

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Isolator versus Metall

Isolator, Halbleiter und Metall unterscheiden sich durch die vollständige bzw. teilweiseBesetzung der Energiebänder

Isolator, Halbleiter: Unterstes Energieband (Valenzband) vollständig besetzt

Metall: Unterstes Energieband (Leitungsband) nur teilweise besetzt

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Von 1D zu 2D und 3D

Beispiel Grapheneeine einzelne Schicht von Graphit Brillouinzone

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Von 1D zu 2D und 3D

Zustände unbesetzt

Beispiel Grapheneeine einzelne Schicht von Graphit Brillouinzone

Zustände besetzt

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Kann man Bandstruktur E(k) messen ?

ARPES Angle Resolved Photon Emission Spectroscopy

K

Photon überträgt Energie und Impulsan Elektron im Festkörper

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3D Bandstruktur E(k)

Brillouinzone

In 3D (Beispiel GaAs) trägt man üblicherweise die Bandstruktur E( kx, ky, kz ) entlang bestimmter Symmetrielinien (L – Γ – ∆ – X) auf

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Zustandsdichte und Fermienergie

Die höchste in einem Festkörper besetzte Elektronenenergie bezeichnet man als„Fermienergie“

Fermienergie

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Zustandsdichte und Fermienergie

Wie zählt man (unendlich) viele Zustände ?

Zustandsdichte … Zahl bzw. Dichte der Zustände pro Energieintervall

Gesamtzahl der Zustände muß N ergeben

Zahl der Zustände mit einer Energie kleiner als E

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2D Zustandsdichte

Zahl der Zustände im Intervall [ E, E + δE ]

Beispiel: Dispersion eines freien Teilchens

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2D Zustandsdichte

Beispiel: Dispersion eines freien Teilchens

Fläche konstanter Energie E

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Zustandsdichte und Fermienergie

Zahl der Zustände mit einer Energie kleiner als E

Bestimmen Sie N2D(E) und N3D(E) für freies Teilchen

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Zustandsdichte und Fermienergie

Bestimmen Sie EF für N = 1023 Atome pro cm-3 und m=m0

Zahl der Elektronen pro Bohr3

Fermienergie

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Zustandsdichte und Fermienergie

Bestimmen Sie EF für N = 1023 Atome pro cm-3 und m=m0

Temperatureffekt

Fermienergie

Thermische Energie

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Fermienergie, -geschwindigkeit, -wellenvektor

Elektronengasparameter rs, Fermienergien E

F,

Fermivektoren kF, und Fermigeschwindigkeiten v

F für typische Metalle.

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Freie Elektronen im fcc-Gitter

1. Brillouin Zone

Wellenvektor 1. Brillouin Zone Reziproker Gittervektor

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Vergleich: Freie Elektronen vs. Aluminium

fcc Al

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Bandstruktur von Na

Brillouin Zone eines kubisch-raumzentrierten Gitters

[Ne]3s1

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Bandstruktur von Al [Ne]3s23p1

Brillouin Zone eines kubisch-flächenzentrierten Gitters

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Bandstruktur von Kupfer und Silber

Cu [Ar]3d104s1 Ag [Kr]4d105s1

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Bandstruktur Gold

Licht überträgt an Festkörper Impuls: Da Lichtwellenlänge (~ µm) viel größer als Gitter-konstante (~ nm) ist, ist der Wellenzahlvektor von Licht sehr klein im Vergleichzu dem Festkörper – Wellenzahlvektor

… die Übergänge erfolgen „senkrecht“

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Bandstruktur Palladium

Licht überträgt an Festkörper Impuls: Da Lichtwellenlänge (~ µm) viel größer als Gitter-konstante (~ nm) ist, ist der Wellenzahlvektor von Licht sehr klein im Vergleichzu dem Festkörper – Wellenzahlvektor

… die Übergänge erfolgen „senkrecht“

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Fermifläche für 2D und 3D

Fermienergie

3D … Fläche konstanter Energie EF

liegt ≈ auf einer Kugeloberfläche2D … „Fläche“ konstanter Energie EF

liegt ≈ auf einem Kreis

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Sr2RuO4

2D Fermifläche

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3D Fermifläche

Silber Palladium

Ein Energieband bei Fermienergie Mehrere Energiebänder bei Fermienergie

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Bandstruktur Diamant

Diamant ist Halbleiter bzw. Isolator undabsorbiert nicht im sichtbaren Bereich.

Farben entstehen durch Einlagerung vonFremdatomen.

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Bandstruktur Silizium