Atom-, Molekül- und FestkörperphysikAtom-, Molekül- und Festkörperphysik

Transport, von 1D zu 2 & 3D, BandstrukturFermienergie, Zustandsdichte

9. Vorlesung, 20. 6. 2013

für LAK, SS 2013 – Peter Puschnigbasierend auf Unterlagen von

Prof. Ulrich Hohenester

Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?

Gruppengeschwindigkeit

Elektrisches Feld F, Energieänderung in Zeit δt

andererseits gilt

Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper – ähnlich wie 2. Newtonsches Gesetz

Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?

Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper … Dispersion freies Teilchen

Ohmsches Gesetz … Strom (mittlere Geschwindigkeit der Elektronen) ist proportional zu angelegter Spannung

Was ist falsch ?

Was müssen wir noch zusätzlich berücksichtigen ?

Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?

Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper … Dispersion freies Teilchen

Ohmsches Gesetz … Strom (mittlere Geschwindigkeit der Elektronen) ist proportional zu angelegter Spannung

Reibungsterm (Stöße mit Gitterfehlstellen und Gitterschwingungen)

Wie bewegt sich Elektron im Festkörper ?

Reibungsterm (Stöße mit Gitterfehlstellen und Gitterschwingungen)

F

Beschleunigung

Streuung

Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?

Spin

Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?

Beispiel: ein Atomzustand, ein Elektron pro Atom

besetzte Zustände

unbesetzte Zustände

Nur Zustände bis zur Hälfte des Bandes sind besetzt

Wie viele Zustände gibt es im Festkörper ?

Beispiel: ein Atomzustand, zwei Elektronen pro Atom

besetzte Zustände

Alle Zustände des Bandes sind besetzt

Was passiert, wenn man elektrisches Feld anlegt ?

Isolator versus Metall

Ohne Feld : es gibt genau so viele Elektronen, die sich nach links bewegen, wie solche, die sich nach rechts bewegen … kein Nettostrom

Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen

Isolator versus Metall

Mit Feld : alle Endzustände sind besetzt, es kann kein Strom fließen… Isolator

Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen

alle Endzustände besetzt … keine Umbesetzung

Isolator versus Metall

Ohne Feld : es gibt genau so viele Elektronen, die sich nach links bewegen, wie solche, die sich nach rechts bewegen … kein Nettostrom

Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen

besetzte Zustände

unbesetzte Zustände

Isolator versus Metall

Elektronen, die sich nach rechts bewegenElektronen, die sich nach links bewegen

Mit Feld : mehr Elektronen, die sich nach rechts als links bewegen… Metall

F

Elektronen werden angeregt

Isolator versus Metall

Isolator, Halbleiter und Metall unterscheiden sich durch die vollständige bzw. teilweiseBesetzung der Energiebänder

Isolator, Halbleiter: Unterstes Energieband (Valenzband) vollständig besetzt

Metall: Unterstes Energieband (Leitungsband) nur teilweise besetzt

Von 1D zu 2D und 3D

Beispiel Grapheneeine einzelne Schicht von Graphit Brillouinzone

Von 1D zu 2D und 3D

Zustände unbesetzt

Beispiel Grapheneeine einzelne Schicht von Graphit Brillouinzone

Zustände besetzt

Kann man Bandstruktur E(k) messen ?

ARPES Angle Resolved Photon Emission Spectroscopy

K

Photon überträgt Energie und Impulsan Elektron im Festkörper

3D Bandstruktur E(k)

Brillouinzone

In 3D (Beispiel GaAs) trägt man üblicherweise die Bandstruktur E( kx, ky, kz ) entlang bestimmter Symmetrielinien (L – Γ – ∆ – X) auf

Zustandsdichte und Fermienergie

Die höchste in einem Festkörper besetzte Elektronenenergie bezeichnet man als„Fermienergie“

Fermienergie

Zustandsdichte und Fermienergie

Wie zählt man (unendlich) viele Zustände ?

Zustandsdichte … Zahl bzw. Dichte der Zustände pro Energieintervall

Gesamtzahl der Zustände muß N ergeben

Zahl der Zustände mit einer Energie kleiner als E

2D Zustandsdichte

Zahl der Zustände im Intervall [ E, E + δE ]

Beispiel: Dispersion eines freien Teilchens

2D Zustandsdichte

Beispiel: Dispersion eines freien Teilchens

Fläche konstanter Energie E

Zustandsdichte und Fermienergie

Zahl der Zustände mit einer Energie kleiner als E

Bestimmen Sie N2D(E) und N3D(E) für freies Teilchen

Zustandsdichte und Fermienergie

Bestimmen Sie EF für N = 1023 Atome pro cm-3 und m=m0

Zahl der Elektronen pro Bohr3

Fermienergie

Zustandsdichte und Fermienergie

Bestimmen Sie EF für N = 1023 Atome pro cm-3 und m=m0

Temperatureffekt

Fermienergie

Thermische Energie

Fermienergie, -geschwindigkeit, -wellenvektor

Elektronengasparameter rs, Fermienergien E

F,

Fermivektoren kF, und Fermigeschwindigkeiten v

F für typische Metalle.

Freie Elektronen im fcc-Gitter

1. Brillouin Zone

Wellenvektor 1. Brillouin Zone Reziproker Gittervektor

Vergleich: Freie Elektronen vs. Aluminium

fcc Al

Bandstruktur von Na

Brillouin Zone eines kubisch-raumzentrierten Gitters

[Ne]3s1

Bandstruktur von Al [Ne]3s23p1

Brillouin Zone eines kubisch-flächenzentrierten Gitters

Bandstruktur von Kupfer und Silber

Cu [Ar]3d104s1 Ag [Kr]4d105s1

Bandstruktur Gold

Licht überträgt an Festkörper Impuls: Da Lichtwellenlänge (~ µm) viel größer als Gitter-konstante (~ nm) ist, ist der Wellenzahlvektor von Licht sehr klein im Vergleichzu dem Festkörper – Wellenzahlvektor

… die Übergänge erfolgen „senkrecht“

Bandstruktur Palladium

Licht überträgt an Festkörper Impuls: Da Lichtwellenlänge (~ µm) viel größer als Gitter-konstante (~ nm) ist, ist der Wellenzahlvektor von Licht sehr klein im Vergleichzu dem Festkörper – Wellenzahlvektor

… die Übergänge erfolgen „senkrecht“

Fermifläche für 2D und 3D

Fermienergie

3D … Fläche konstanter Energie EF

liegt ≈ auf einer Kugeloberfläche2D … „Fläche“ konstanter Energie EF

liegt ≈ auf einem Kreis

Sr2RuO4

2D Fermifläche

3D Fermifläche

Silber Palladium

Ein Energieband bei Fermienergie Mehrere Energiebänder bei Fermienergie

Bandstruktur Diamant

Diamant ist Halbleiter bzw. Isolator undabsorbiert nicht im sichtbaren Bereich.

Farben entstehen durch Einlagerung vonFremdatomen.

Bandstruktur Silizium