4. Wechselwirkung Atom - Licht

4.1Strahlungsprozesse 4.2Übergangs-Wahrscheinlichkeiten4.3Auswahlregeln 4.4Linienbreiten4.5Röntgenstrahlen

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.1

4.1 Strahlungsprozesse

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.2

bisher isoliertes Atom: Hψ = Eψ→ Lösungen ψn, Enjetzt Atom + Umgebung: elektromagnetische Wechselwirkung

wird übertragen durch Photonen

klassisch: Strahlungsfeld mit Leistungs-Frequenzspektrum W(ω)dωtrifft Atom = elektr. Dipol → erzwungene Schwingung bei Eigenfrequenz ω0:

Beispiele:Atom + thermisches Strahlungsfeld →

Plancks Strahlungsgesetz W(ω)dωBeispiel: Ofen, heißes Gas; Demo: Flamme + Kochsalz

Atom + Lichtquelle: Linienspektrum W(ω)dω →Beispiel: Laser, Mikrowellen

Atom + Atom: Fourier Spektrum W(ω)dω des zeitabhängigen Feldes des 'gegnerischen' Atoms

p+

e−

Spektroskopie

Energieniveaus En Spektren ħωmn = Em – En

Spektralapparat:

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.3

Übergänge zwischen Energieniveaus

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.4

e.s.: N2, E2

Emission:normale Lichtquellen: Leistungsdichte W(ω) klein, spontane Emission überwiegt

Beispiel: Lampe, Röntgenquelle, γ-Strahler

starke kohärente Lichtquellen: W(ω) groß, stimulierte Emission überwiegtBeispiel: Laser, NMR

g.s.: N1, E1

Ratengleichungen

Übergangswahrscheinlichkeiten pro Atom für

(induzierte) Absorption: P12 = B12W(ω) ω =(E1−E2)/ħinduzierte Emission: P21

ind = B21W(ω)spontane Emission: P21

sp = A21

mit Leistungsdichte W(ω) des Strahlungsfeldes (pro Frequenzintervall).

Ratengleichungen für die mittleren Besetzungen N1, N2, mit N1+N2=N

(gilt im klassischen Grenzfall weißen Lichts oder kleiner Intensität)

)()( 21212121221 ωω WBNWBNAN

dtdN

dtdN +−=−=

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.5

SpezialfälleSpezialfälle:1. ohne Lichtfeld: W=0, Anfangsbedingung t=0: N1(0)=0, N2(0)≠0:

dN2/dt = −A21N2, ergibt exponentiellen Zerfall:

N2(t) = N2(0) exp(−A21t), mit Lebensdauer τ = 1/A21

2. im thermischen Gleichgewicht ist dNi/dt = 0

Atomzustände werden nach Boltzmann besetzt →

mit Gewichten gi = 2Ji+1 = Multiplizität

)())(( 12121212 ωω WBNWBAN =+

)()(

2121

12

1

2

1

2

ωωω

WBAWBe

gg

NN kT

+==

− h

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.6

Einstein-Relationen

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.7

daraus Strahlungsfeld:

Muss identisch sein mit Plancks Strahlungsgesetz:

(Joule/m3/Hz)

= Zustandsdichte g(ω)=2ω2/πc3 (Moden/m3/Hz)× Energie ħω (Joule/Photon)× mittlere Besetzung <n> =(eħω/kT−1)−1 (Photon/Mode)

Vergleich ergibt Einstein-Relationen:

dh.:1. die spontane Emission wächst stark mit dem Frequenzabstand ω;2. die Wahrscheinlichkeiten für Absorption und induzierte Emission sind gleich

(für g1=g2).

1)()(1)(

21122121

21

−= kTeBBggB

AW ωωh

12)( 3

2

−= kTec

W ωω

πωω

h

h

<n>

ħω/kT

"Infrarot-Katastrophe"

k-Raum

122

121213

3

21 ,2 BggBB

cA ==

πωh

Lampen und Laser

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.8

Verhältnis induzierte/spontane Emissionswahrsch. in eine Mode des Strahlungsfeldes (Bosonen):

= mittlere Besetzung/ModeLampen:Im thermischen Gleichgewicht und bei irdischen Temperaturen ist im sichtbaren Bereich des Lichtes die mittlere Zahl der Photonen pro Mode immer < n > << 1.

Laser:arbeitet weitab vom thermischen Gleichgewicht und kann < n > >> 1 haben.

>=<−

== nkTA

WBPP

spont

ind

1)/exp(1)(

21

21

21

21

ωω

h

Spektrallinien

Messgrößen: Lage ħω = E2 – E1

Breite ∆E bzw. Form g(ω)Höhe, bzw. Intensität = Fläche ~ Breite x Höhe

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.9

4.2 ÜbergangswahrscheinlichkeitenFrage: Wie groß sind die Einstein-Koeffizienten Aik, Bik absolut?

klassisch: Atom = schwingender Dipol p(t) = e r(t) = p0sinωtemittierte Leistung

quantenmechanisch:statisches Dipolmoment definiert als: analog:spontane Emission von E2 nach E1 wird bestimmt durch:Übergangs-Dipolmoment

dh. emittierte Leistung P12=A12ħω= ħω/τ:(Lebensdauer τ)

+e −er

30

420

434

cpPπεω=

VψeeV

d 11 rrp ∫ ∗>=<=>< ψ

Vψe eV

d 211212 rrp ∫ ∗=><=>< ψ

30

212

4

12 434

cp

Pπε

ω ><=

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.10

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.11

absolute Größe der Einstein-Koeffizienten

folglich ist Einstein-Koeffizient für spontane Emission

und damit

mit FSK α=1/137________________allgemein:emittierteLeistung:

mit Matrixelement

2123

0

3212

12 32 ><== r

hcεωePA

ωhVψ

Vd 2112 rr ∫ ∗>=< ψ

211

221212 3

8 BggcB =><= rαπ

h

ik

l23

0

4

434

ikik

ik Mc

Pπεω=

23

0

32

32 ><= ik

ikik hcε

ωeA r

VψreM kV iik d ∫ ∗= ψi↓

k →

Mik

4.3 Auswahlregeln

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.12

Erhaltungssätze für: Energie: gibt Lage der Spektrallinien im SpektrumDrehimpuls: gibt Auswahlregeln für Auftreten einer Linie

Photonspin S = 1Magnetquantenzahl bezüglich Flugrichtung z: nur M = ±1M = +1: rechts-zirkular polarisiert σ+

M = −1: links- zirkular polarisiert σ−linear polarisiertes Licht = kohärente Überlagerung von σ+ und σ−(N.B.: mögliche Photonenzustände sind die Basiszustände

ψphoton(M=+1) und ψphoton(M=−1)sowie jede Linearkombination dieser Basiszustände)

Absorption eines Photons durch ein Atom genügt Drehimpulserhaltung:

σ + π σ −

g.s.: ℓ=0: m=0

e.s.: ℓ=1: m=+1 m=0 m=−1

E

k

S

(entartet für B=0:)

Photon Absorptionvorher: Atom im m = 0 g.s. + Photon

zirkular polarisiertes: linear polarisiertes Licht: σ+ σ − σ++σ − π (bzgl. z)

z zz

z

x

nachher: Atom im e.s.m = +1 m = −1 m = ±1 m = 0

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.13

Photon Emissionvorher: Atom im e.s.

m = +1 m = −1 m = 0

nachher: Atom im m = 0 g.s. + Photon

zirkular pol. σ+ oder σ − linear pol. π Licht

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.14

x

z

σ +

oder

σ −

σ −

oder

σ +

z N.B.: Schwingung längs z-Achse besitzt keine Drehimpuls-Komponente längs z, d.h. π-Licht hat ∆m=0

Winkelverteilung des emittierten Lichtes

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.15

Die Richtung des Drehimpulses ist nicht scharf definiert. Deshalb wird π-Lichtes nicht exakt in der x-y Ebene emittiert,und σ± Lichtes nicht exakt entlang der ±z Achse,sondern nur vorzugsweise:

Winkelverteilung (ohne Beweis): σ± Licht: π Licht:

W(θ) = ¼(1+cos2θ) W(θ) = ½sin2θ= 'Charakteristik' Kreisantenne Dipolantenne

N.B.: π + σ+ + σ −: W(θ) = 1 = isotrop

Licht-Detektor

linear polaris.max. Intensität

keine Intensität

linear pol.

zirkular polaris.max. Intensität

Spektrum bei Zeeman-Aufspaltung

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.16

Bei Zeeman-Aufspaltung der Zustände des Atoms im Bz-Feldsind die σ± und π Komponenten des Lichtes auch im Spektrum getrennt sichtbar: bei Messung in z-Richtung ist die σ± zirkular polarisierte Emission:

bei Messung in x-Richtung die linear polarisierte Emission(π: Schwingung längs z; σ±: Schwingung längs y)getrennt sichtbar:

σ − π σ+

ℓ=0, m=0

ℓ=1 m=+1 m=0 m=−1

σ + σ −

ω0 Frequenz ω

y z y

z

B

y

z

x

Auswahlregel für BahndrehimpulsDa Spin des Photons S = 1 vom Atom absorbiert oder emittiert wird, ist die maximal erlaubte Änderung des atomaren Drehimpulses |∆j| = 1.

Der Spin s des Elektrons kann von Licht nicht umgeklappt werden: ∆s = 0Dies ist nur bei schweren Atomen als 'verbotener Übergang' möglich, bei starker relativistischer L·S-Kopplung.

Daher: die maximale Änderung des Bahndrehimpulses ist |∆ℓ| = 1.Nach den Regeln der Drehimpuls-Kopplung heißt dies ∆ℓ = 0 oder ±1.

∆ℓ = +1: s ∆ℓ = 0: s ∆ℓ = −1:

Merkwürdigerweise ist ∆ℓ = 0 verboten, wegen 'Erhaltung der Parität', s.u.,so dass Auswahlregel für den Bahndrehimpuls ∆ℓ = ±1 und ∆mℓ = 0, ±1

ℓℓ'=ℓ+1

ℓℓ'=ℓ

ℓ

ℓ'=ℓ−1

s

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.17

Parität

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.18

cos(x) ist gerade Funktion von x: cos(−x) = cos(x)sin(x) ist ungerade Funktion von x: sin(−x) = − sin(x) s-Orbital:

Wellenfunktionen der Atome haben entweder gerade Parität P = +1, wenn ψ(−r) = +ψ(r), oder ungerade Parität P = −1, wenn ψ(−r) = −ψ(r).

Dies gilt für Potentiale mit V(−r) = V(r), und ist dann eine Eigenschaft der Kugelfunktionen Yℓ

m: diese haben die Parität P = (−1)ℓ. Beispiel:s und d Wellenfunktionen sind gerade, p und f Wellenfunktionen ungerade.

Folge: wenn bei Photon-Emission der Anfangszustand des Atoms ψi* dieselbe Parität P hat wie der Endzustand ψk, dann verschwindet das Dipol-Matrixelement des Übergangs: Mik = e ∫V ψi*r ψkdV = 0,da r und damit der gesamte Integrand ungerade ist. Für ℓ=ℓ', d.h. ∆ℓ=0, haben Anfangs- und Endzustand gleiche Parität P=(−1)ℓ,d.h.: Übergänge zwischen Zuständen mit gleichem Bahndrehimpuls sind

verboten.

+

+−

s:

p:

4.4 LinienbreitenWdh. Fourier-Transformierte:

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.19

1) natürliche Linienbreite

Atom im angeregten Zustand E2 mit Lebensdauer τhat Energie-Unschärfe ∆E = ħ/τbzw. Spektrum hat Frequenz-Unschärfe ∆ω = 1/τ( = 'natürliche Linienbreite')

Beispiel gelbe Natrium-Linie: τ ~ 10−8 s hat ∆ω ~ 108 Hz (bei ω0 ~ 2π 4·1014 Hz)

Linienform des Spektrums ist Lorentzförmig,d.h. so, als ob Atom ein gedämpft schwingender Oszillator wäre

∆E

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.20

2) Dopplerbreite

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.21

Durch die thermische Bewegung der Atome ist die relative Frequenzverschiebung in Detektorrichtung z: ∆ω/ω = υz/c.Die Verteilung der Frequenzen in der Spektrallinie spiegelt also genau die Verteilung der Geschwindigkeiten υz der Atome im Gas wieder:

P(υz) ~ exp(−υz2/υ0

2), mit υz=c(ω−ω0)/ω0

d.h. die Dopplerverbreiterung ist Gauss-förmig:

mit der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit υ0 = (2kT/m)½

wird die Dopplerbreite ∆ω/ω = 7·10−7(T(K)/A)½.Beispiel: Na-D, T=500K, Massenzahl A=23:

∆ω/ω=3·10−6, ∆ν=∆ω/2π=2·109s-1= 2GHz.

im allg. Dopplerbreite >> natürliche Linienbreite

υz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−∝ 200

20

)()(exp)(

cP

υωωωω

3) Stoßverbreiterung

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.22

Energieniveaus sind verschoben durch Wechselwirkungmit anderen Atomen im Gas. Stoßverbreiterung spielt heute eine geringere Rolle, da Spektroskopie mit sehr wenigen Atomen möglich.

Elastische Stöße führen zu statistischen Phasenschübenin der Lichtemission:Fourierspektrum des statistisch gestörten Oszillators = Fourierspektrum des gedämpften Oszillators (o. Bew.), dh. Linienform ist Lorentz-förmig, mit Linienbreite ∆ω = 1/mittlere Stoßzeit.

Inelastische Stöße verkürzen Lebensdauer des angeregten Niveaus, und verbreitern sie daher ebenfallsLorentz-förmig.

e.s.

g.s.

Energie E(R)

R

0 10 20 30 40 50-1

-0.5

0

0.5

1E-Feld

t

4) Leistungsverbreiterung

Im starken Laserfeld führt Wechsel von induzierter Absorption und induzierter Emission zu einer Oszillation in der Besetzung der beiden Zustände:

N2(t) = N1(0) sin(ΩRabit), mit ΩRabi~ Laserleistung: 'Rabi-Oszillation'

Die Verweildauer in einem Zustand wird ~ 1/ΩRabi, d.h. die Liniebreite wird ∆ω ~ ΩRabi~ Laserleistung:

N2(t)

t ω0 → ω

P

ΩRabi

e.s.: N2

g.s.: N1

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.23

4.5 Röntgenstrahlen

Elektron der Energie ~ 100 keVauf Metall-Anode ergibt:

1. Wärme: e− + A → (A+ + e−) + e− + Q

mit Wärme Q = eU − EB

1.

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.24

Bremsstrahlung

2. Bremsstrahlung:

e− + A → e− + A + γMaximalenergie des el.-magn. Bremsstrahlungs-γ: Emax = eU

Wellenlänge der Röntgenstrahlenaus E=hν, d.h. λ = hc/E:λ(nm) = 1240/E(eV)

U=10kV: λ~1ÅU=100kV: λ~0.1Å

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.25

charakteristische Strahlung3. charakteristische Strahlung: e− + A → e− + A*+ → e− + A+ + ħωElektronenstoß erzeugt Loch in innerer k. Schale des Atoms. Dieses wird aufgefüllt durch Elektron aus höherer i. Schale, unter γ-Emission der Energie ħω = Ei − Ek

n=2, 3, 4 auf n=1: Kα, Kβ, Kγn=3, 4, 5 auf n=2: Lα, Lβ, Lγ, n=4, 5, 6 auf n=3: Mα, Mβ, Mγ

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.26

Synchrotron Strahlung

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.27

Absorption von Röntgenstrahlen

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.28

dN/N = −σan dx (Anzahldichte n):N(x) = N(0) exp(−x/ξ)mittlere freie Weglänge ξ=1/nσa

N(0) x N(x)Quelle Absorber Detektor

Absorptionsquerschnitt σa ist stark abhängig(nicht-linear) von der Energie des Röntgenquants.

Absorptionskantenwenn ħω > Ionisationsenergie:

Photon Energie Eγ

σa

Wellenlänge λ

Feinstruktur der Absorptionskanten

Eγ und Z-Abhängigkeit des Abs.-Koeff.

Z

E beachte Unstetigkeiten des Abs.Koeff. in Abh. von E und Z (aufgrund von Absorptionskanten).

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.29

Lage der Absorptionskanten gegeben durch Balmer-Formel zu ħω ~ Zeff

2(1/nk2-1/ni

2) mit Zeff = Z−S, 'Abschirmzahl' S(↑Mosley-Gesetz)

auch σa ist stark abhängig von Z des Absorbers, s. Tafel oben

Auger-Elektronen Emission

Auger-Elektronen Spektrum ist charakteristisch für das Element des emittierenden Atoms.

Nützliche Methode zur Charakterisierung und Reinheitsprüfung in der Oberflächenphysik

Physik IV SS 2005 4. Atom-Licht 4.30