Ασκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών

Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος,

email : mxenos@cc.uoi.gr

19 Απριλίου 2013

Κεφάλαιο Ι

1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε κυλινδρικές και

σφαιρικές συντεταγμένες. Να υπολογιστεί η εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης στην

τροχιά υλικού σημείου με τη βοήθεια των κυλινδρικών συντεταγμένων.

2. Υλικό σημείο κινείται στο επίπεδο Oxy έτσι ώστε οι συνιστώσες της θέσης του να πληρούντις παρακάτω σχέσεις:

x(t) = α + β cos t,y(t) = γ + δ sin t,

}με α, β, γ, δ σταθερές. (i) Να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου ως y = y(x) και (ii) ναπαρασταθεί γραφικά όταν α = 1, β = 2, γ = 4 και δ = 3 (*).

3. Η κίνηση υλικού σημείου δίνεται από την τομή των επιφανειών:

y = 2 sinπx

4,

z = 2 cosπx

4.

(i) Να βρεθεί η απόσταση, S, που διανύει το υλικό σημείο μεταξύ των σημείων (0, 0, 2) και

(1,√2,√2). (ii) Να παρασταθεί γραφικά η κίνηση του υλικού σημείου από x = 0 έως x = 10

(*).

4. Η γραφική παράσταση του μέτρου, u, της ταχύτητας με την απόσταση, S, υλικού σημείου,δίνεται στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 1). Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση του μέτρου της

επιτάχυνσης, a, με την απόσταση, S, και να υπολογιστεί ο χρόνος που χρειάζεται το υλικόσημείο να φτάσει στην απόσταση S = 400 m.

5. ΄Οταν ο σκιέρ (υλικό σημείο) φτάνει στο σημείο A πάνω στη παραβολική τροχιά του σχή-ματος, y(x) = x2/20, (Σχήμα 2) έχει ταχύτητα μέτρου 6 m/s και αυξάνεται κατά 2 m/s2. Ναπροσδιοριστεί η κατεύθυνση της ταχύτητας του υλικού σημείου καθώς και η κατεύθυνση και

το μέτρο της επιτάχυνσης του υλικού σημείου. Η ακτίνα καμπυλότητας δίνεται από τη σχέση:

ρ(x) =√

(1 + y′2(x))3/y′′(x).

6. Σωματίδιο (υλικό σημείο) κινείται επιταχυνόμενο σε κυκλική τροχιά ακτίνας, R, με στα-θερή επιτρόχια επιτάχυνση. (i) Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται ώστε η γωνία μεταξύ των

1

2

Σχήμα 1: Γραφική παράσταση του μέτρου της ταχύτητας, u, με την απόσταση, S, υλικούσημείου.

Σχήμα 2: ΄Οταν ο σκιέρ φτάνει στο σημείο A πάνω στην παραβολική τροχιά του σχήματος έχειταχύτητα μέτρου 6 m/s, που αυξάνεται κατά 2 m/s2.

διανυσμάτων της ταχύτητας, ~u, και της επιτάχυνσης, ~a, να γίνει ίση με φ. (ii) Να βρεθεί τοδιάστημα, S, που διανύει το σωματίδιο στο χρονικό αυτό διάστημα.

7. Η ράβδος, OA του σχήματος (Σχήμα 3) περιστρέφεται στο οριζόντιο Oxy επίπεδο έτσι ώστεθ = t3 rad. Συγχρόνως, το δακτυλίδι B ολισθαίνει πάνω στη ράβδο, OA, κινούμενο προς ταέξω με r = 100t2 mm. Να προσδιοριστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του δακτυλιδιού ότανt = 1 s.

8. ΄Εχουμε σχοινί με σταθερό μήκος (ACEDB, Σχήμα 4) και τα σημεία C και D είναι σταθερο-ποιημένα. Αν το σημείο B του σχοινιού κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου uB = 6 m/s,να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου A. Η ακτίνα των τροχαλιών θεωρείται αμελητέα.

9. Υλικό σημείο διαγράφει την τροχιά r = a(1− cosθ), όπου a = 25 m (Σχήμα 5). Το μέτροτης γωνιακής ταχύτητας του υλικού σημείου είναι θ = 2 rad/s και το μέτρο της γωνιακήςτου επιτάχυνσης θ = 0.3 rad/s2. Να υπολογιστούν το μέτρο της ταχύτητας και το μέτρο της

Σχήμα 3: Η ράβδος, OA, περιστρέφεται στο οριζόντιο Oxy επίπεδο και συγχρόνως το δακτυλίδιB ολισθαίνει πάνω στη ράβδο.

3

Σχήμα 4: Το ACEDB είναι σχοινί σταθερού μήκους και τα σημεία C και D είναι σταθεροποι-ημένα. Το σημείο, B του σχοινιού κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου uB = 6 m/s.

Σχήμα 5: Υλικό σημείο διαγράφει την τροχιά r = a(1− cosθ), όπου a = 25 m.

επιτάχυνσης όταν θ = 1000.

Κεφάλαιο ΙΙ

10. Μεταβλητή δύναμη ~F δίνεται από τη σχέση: ~F = 2y~x0 + xy~y0. Ποιό είναι το παραγόμε-νο έργο όταν το υλικό σημείο κινηθεί ευθύγραμμα από την αρχή των αξόνων έως το σημείο

~R1 = 2~x0 + ~y0;

11. Να υπολογιστεί το έργο, W της δύναμης ~F = xyz(2z + 3x)~x0 + z(x2z − 3y2 + x3)~y0 +y(2x2z − y2 + x3)~z0 από το σημείο A(1, 0, 2) έως το σημείο B(2, 1, 3).

12. Υλικό σημείο μάζας m = 1 kg, κινείται στο Oxy επίπεδο υπό την επίδραση της δύναμης~F = 2x~x0 − 4y~y0. Το σημείο ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 από την ηρεμία και το διάνυσμα

της ταχύτητας είναι: ~r0 = 2~x0 +5~y0. (i) Να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης του υλικού σημείου.(ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του υλικού σημείου κάθε χρονική στιγμή.

13. Υλικό σημείο μάζας, m, κινείται κατά μήκος του x−άξονα υπό την επίδραση συντηρητικής

δύναμης, δυναμικού V (x) =k

2x2 (k, θετική σταθερά). Εάν για t = 0 το σημείο ξεκινά από

την ηρεμία από τη θέση x = α, να μελετήσετε την κίνησή του. Να σχεδιαστεί η τροχιά του,x = x(t), με τιμές του α = 1 και k/m = 0.1, 1 και 10 από t = 0 μέχρι t = 4π (*), τι παρατηρείτε;

14. Υλικό σημείο μάζας m = 4 kg, κινείται κατά μήκος του x−άξονα υπό την επίδραση τηςδύναμης F (x) = 2x − 3x2. (i) Να βρεθούν τα σημεία ισορροπίας της τροχιάς του υλικού ση-μείου και να μελετηθούν (ασταθή ή ευσταθή σημεία ισορροπίας). (ii) Να βρεθεί αν υπάρχει

4

Σχήμα 6: Μέσα σε ποτάμι ταχύτητας ροής ~u2 = u2~x0, u2 = σταθερά, παράλληλης προς τιςόχθες, κινείται βάρκα (υλικό σημείο) M , με σχετική ταχύτητα σταθερού μέτρου u1.

και κάτω από ποιές προϋποθέσεις το δυναμικό V (x) της F (x), (x ∈ [0,+∞) και V (0) = 1).(iii) Να παρασταθεί γραφικά το δυναμικό της F (x) συναρτήσει του x στο διάστημα [0,+∞) (*).

15. Σε υλικό σημείο μάζας, m = 1 kg, ασκείται δύναμη F (x) = −kx + αx3 με k > 0 καια > 0. Να γραφεί η διαφορική εξίσωση κίνησης για το υλικό σημείο, να βρεθούν τα σημείαισορροπίας της κίνησης του και να μελετηθούν (ασταθή ή ευσταθή σημεία ισορροπίας). Να

βρεθεί το δυναμικό της F (x) και να παρασταθεί γραφικά για k = α = 1 και V (0) = 1 (*).

16. Υλικό σημείο κινείται στην επιφάνεια: z = 2 sin(x + y), με την επίδραση του βάρους,~B = −mg~z0. Σε ποιές θέσεις ισορροπεί το υλικό σημείο;

17. Μέσα σε ποτάμι η ταχύτητα ροής ~u2 = u2~x0, (u2 = σταθερά), είναι παράλληλη προς τιςόχθες και βάρκα (υλικό σημείο) M , κινείται με σχετική ταχύτητα σταθερού μέτρου u1. Ηταχύτητα ~u1 διευθύνεται πάντοτε προς το σημείο O της όχθης. Η βάρκα ξεκινάει από το σημείοM0, όπου OM0 = r∗0 και ~r

∗0⊥Ox (Σχήμα 6). Να βρεθεί η εξίσωση της απόλυτης τροχιάς της

βάρκας σε πολικές συντεταγμένες.

18. Σκιέρ (υλικό σημείο) ολισθαίνει πάνω στη ράμπα του σχήματος (Σχήμα 7) που δίνεται από

την έκφραση y = 0.005x2 − 200. Να προσδιοριστεί η κάθετη δύναμη, που ασκείται στο υλικόσημείο μάζας, m = 70 kg, την στιγμή που φτάνει στο σημείο A, το τέλος της ράμπας, όπουτο μέτρο της ταχύτητάς του είναι 22 m/s. Ποιά είναι η επιτάχυνση του υλικού σημείου στο

σημείο A; Η ακτίνα καμπυλότητας δίνεται από τη σχέση: ρ(x) =√(1 + y′2(x))3/y′′(x).

19. Υλικό σημείο μάζας, m = 60 kg, ολισθαίνει στην κυκλική ράμπα του σχήματος (Σχήμα 8)ξεκινώντας από την θέση A, όπου θ = 00. Να προσδιοριθεί το μέγεθος της κάθετης δύναμης(αντίδρασης) που ασκεί η κυκλική ράμπα στο υλικό σημείο όταν θ = 600.

20. Το ελατήριο του σχήματος κρατείται συσπειρωμένο κατά r1 = 0.7 m με σχοινί (αρχικόμήκος ελατηρίου l0 = 1 m). Στην κορυφή του το ελατήριο έρχεται σε επαφή με την σημειακήμάζα, m = 2 kg (Σχήμα 9, η μάζα του ελατηρίου θεωρείται αμελητέα). Αν κοπεί το σχοινί σεποιό ύψος h, από το έδαφος θα φτάσει η μάζα, m, και ποιό είναι το έργο, W , που παράγεται ήκαταναλώνεται; (k = 200 Nt/m, g ' 10 m/s2).

5

Σχήμα 7: Σκιέρ (υλικό σημείο) ολισθαίνει πάνω στη ράμπα του σχήματος.

Σχήμα 8: Υλικό σημείο μάζας, m = 60 kg, ολισθαίνει στην κυκλική ράμπα του σχήματοςξεκινώντας από την θέση A, όπου θ = 00.

Σχήμα 9: Το ελατήριο του σχήματος κρατείται συσπειρωμένο με σχοινί. Στην κορυφή του το

ελατήριο έρχεται σε επαφή με σημειακή μάζα (η μάζα του ελατηρίου θεωρείται αμελητέα).

6

Σχήμα 10: Δακτυλίδι μάζας,m, ολισθαίνει σε κατακόρυφη ράβδο. Το ελατήριο είναι ασυμπίεστοόταν το δακτυλίδι βρίσκεται στη θέση A.

Σχήμα 11: Η επίπεδη επιφάνεια περιορίζεται από τον άξονα x και τον κύκλο x2 + y2 = 1,(y > 0).

21. Δακτυλίδι μάζας, m = 2 kg, ολισθαίνει σε κατακόρυφη ράβδο. Αν το ελατήριο είναιασυμπίεστο όταν το δακτυλίδι βρίσκεται στη θέση A, (Σχήμα 10) να προσδιοριστεί το μέτρο τηςταχύτητας, uC , και η φορά με την οποία κινείται το δακτυλίδι όταν y = 1 m, στις περιπτώσεις:(i) αν αρχικά στο σημείο A ηρεμεί και (ii) αν αρχικά στο σημείο A έχει ταχύτητα μέτρουuA = 2 m/s και φοράς προς τα κάτω (k = 3 Nt/m).

Κεφάλαιο ΙΙΙ

22. Η επίπεδη επιφάνεια του σχήματος (Σχήμα 11) περιορίζεται από τον άξονα x και τον κύκλοx2 + y2 = 1, (y > 0) και έχει επιφανειακή πυκνότητα ρs = 3 kgr/m2

. Να υπολογιστούν: (i) ημάζα της επιφάνειας και (ii) οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας της επιφάνειας.

23. Δύο σωματίδια με μάζες m1 και m2 κινούνται έτσι ώστε η σχετική τους ταχύτητα να είναι

~u και η ταχύτητα του κέντρου μάζας τους ~u1 (Σχήμα 12). Αν M = m1 + m2 είναι η ολική

μάζα και µ = m1m2/(m1 +m2) είναι η ανηγμένη μάζα του συστήματος να δειχθεί ότι η ολική

κινητική ενέργεια είναι1

2M~u1 +

1

2µ~u.

25. Υποθέτουμε ότι έχουμε n συστήματα σωματιδίων με κέντρα μάζας ~r1, ~r2, ..., ~rn και ολικέςμάζεςM1, M2, ..., Mn αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το κέντρο μάζας όλων των συστημάτων είναι

στο σημείο:

M1~r1 +M2~r2 + ...+Mn~rnM1 +M2 + ...+Mn

.

7

Σχήμα 12: Δύο σωματίδια με μάζες m1 και m2 κινούνται έτσι ώστε η σχετική τους ταχύτητα

να είναι ~u και η ταχύτητα του κέντρου μάζας τους ~u1.

Σχήμα 13: Να υπολογιστεί το κέντρο μάζας του ομογενούς σφαιρικού τομέα.

26. Να υπολογιστεί το κέντρο μάζας του ομογενούς σφαιρικού τομέα που ορίζεται από τη σφαίρα

x2 + y2 + z2 = α2και από τα επίπεδα που διέρχονται από τον άξονα των z και σχηματίζουν

γωνίες με τον άξονα των x, φ και φ′ = −φ, αντίστοιχα (x ≥ 0) (Σχήμα 13).

27. Δίνεται η ομογενής επιφάνεια:(x− 1)2

4+

(y − 2)2

9= 1 στο επίπεδο z = 0. (i) Να βρεθεί

το κέντρο μάζας της. (ii) Να σχεδιαστεί η ομογενής επιφάνεια για x ≥ 0 και y ≥ 0 (*).

28. Σύστημα δύο μαζών A και B έχει συνολική μάζα,M = 2 kg, κέντρο μάζας το σημείο G και

υπόκειται στη δύναμη ~F = −8t~x0 (Σχήμα 14). Να υπολογιστεί η επιτάχυνση ~α του κέντρουμάζας του συστήματος G όταν t = 1 s. Ο συντελεστής τριβής του εδάφους και της B μάζαςείναι η = 0.3, (Οι μάζες A και B κινούνται μαζί, g ' 10 m/s2).

29. Διαστημικό όχημα μάζας, M = 200 kgr, ταξιδεύει με σταθερή ορμή ~p = mu0~x0(kg m/s)με ~u0 = 150~x0(m/s) (Σχήμα 15) και περνά από την αρχή των αξόνων, O, όταν t = 0. ΄Εκρηξητου οχήματος το διαχωρίζει σε τρία κομμάτια, A, B, C με μάζες 100, 60, 40 kgr αντίστοιχα. Ηταχύτητα της μάζας A κατά τη χρονική στιγμή t = 2.5 s, είναι ~uA = 270~x0−120~y0+160~z0(m/s)και η ταχύτητα του B βρίσκεται στο επίπεδο Oxz . Να υπολογιστεί η ταχύτητα του C τηνίδια χρονική στιγμή. Οι θέσεις των μαζών A, B, C κατά τη χρονική στιγμή t = 2.5 s, είναιA(555 m, −180 m, 240 m), B(255 m, 0 m, 120 m) και C(105 m, 450 m, 420 m). Οιεξωτερικές δυνάμεις πάνω στο σύστημα να θεωρηθούν αμελητέες.

8

Σχήμα 14: Σύστημα δύο μαζών A και B έχει συνολική μάζα, M = 2 kg, κέντρο μάζας το

σημείο G και υπόκειται στη δύναμη ~F = −8t~x0.

Σχήμα 15: Διαστημικό όχημα μάζας, M , ταξιδεύει με σταθερή ορμή και περνά από την αρχήτων αξόνων, O, όταν t = 0. ΄Εκρηξη του οχήματος το διαχωρίζει σε τρία κομμάτια, A, B, C.

30. Επιφάνεια περικλείεται από την παραβολή που περνάει από την αρχή των αξόνων και την

ευθεία y = h (Σχήμα 16). Η επιφανειακή πυκνότητα είναι σταθερή και ίση με ρs = 2 kg/m2.

Να βρεθεί το κέντρο μάζας.

31. Βρείτε το κέντρο μάζας της καμπύλης AB του σχήματος (Σχήμα 17) από θ = −α έωςθ = α, (α > 0) όταν η γραμμική πυκνότητα είναι σταθερή και ίση με ρl = 1 kg/m.

Οι ασκήσεις πρέπει να επιστραφούν μέχρι την Τετάρτη 29 Μαίου, στις 12μμ.

Σχήμα 16: Επιφάνεια περικλείεται από την παραβολή που περνάει από την αρχή των αξόνων και

την ευθεία y = h.

9

Σχήμα 17: Βρείτε το κέντρο μάζας της καμπύλης του σχήματος.

(*) ΄Οπου ζητείται να παρασταθεί γραφικά το αποτέλεσμα της άσκησης προτείνεται η χρήση του

προγράμματοςMathematica (εγχειρίδιο χρήσης και χρήσιμες ιστοσελίδες μπορούν να βρεθούνστην σελίδα του μαθήματος: http : //www.math.upatras.gr/ ∼ maik/KM.html).