askisi2
3
Επιστημονικός Υπολογισμός Ι (ΗΥ 343) Δεύτερη εργαστηριακή άσκηση Ημερομηνία επιστροφής για πληρη αθμό : 9 Δεκεμβρίου 2012 7 Νοεμβρίου 2012 Προσοχή : Μπορείτε να συζητήσετε την άσκηση με συναδέλφους σας αλλά αν διαπιστωθεί αντιγραφή, ϑα υποπολλαπλασιαστεί ο αθμός σας. Δείτε και τις οδηγίες που αναφέρονται στους κανόνες αθμολογίας ! Εισαγωγή Η άσκηση αυτή αναφέρεται στο ϑέμα της αριθμητικής και των σφαλμάτων που γίνονται στον υπολογιστή. Θα είναι επίσης ευκαιρία για να δείτε στην πράξη τις έννοιες του εμπρός και πίσω σφάλματος και του δείκτη κατάστασης του προβλήματος. Στην άσκηση αναφερόμαστε κυρίως σε υπολογισμούς και προσεγγίσεις απλών συναρτήσεων και σε πολυώνυμα. Τα πολυώνυμα έχουν τεράστια πρακτική σημασία, γιατί λόγω της απλότητάς τους (εύκολες πράξεις, παραγώγιση, ολοκλήρωση, κ.λπ.) και των ισχυρών ιδιοτήτων τους (με αυτά μπορούμε να προσεγγίσουμε δύσκολες - ακόμα και άγνωστες - συναρτήσεις με παρεμβολή και προσεγγιστικές τεχνικές) είναι ασικά εργαλεία στη μοντελοποίηση, με εφαρμογές από τα γραφικά ως τη ομποτική. Από την άλλη, όσον αφορά στην πρακτική, η απλότητά των πολυωνύμων είναι απατηλή 1 γιατί η αριθμητική τους, όπως είδαμε στο μάθημα και ϑα διαπιστώσετε εδώ. περιέχει πολλές παγίδες. Προσοχή : Θεωρούμε ότι το περιβάλλον που ϑα χρησιμοποιήσετε υποστηρίζει αναπαραστάσεις και αριθμη- τική κινητής υποδιαστολής μονής και διπλής ακρίβειας. Δομή Ο πρώτες ερωτήσεις ϑα σας οηθήσουν να εξασκηθείτε σε ϑέματα που αφορούν στη ϑεωρία. Επιση- μαίνουμε ότι αρκετές έχουν προέλθει (ή είναι παραλλαγές) από ερωτήματα σε εξετάσεις του μαθήματος. 1 Μέρος Α 1. Για κάθε συνάρτηση f j παρακάτω, έστω ότι γνωρίζουμε να την υπολογίσουμε σε διπλή ακρίβεια με αλγόριθμο που είναι πίσω ευσταθής με δείκτη κατάστασης αλγορίθμου ίσο με κάποιο δοθέν M j . Να υπολογίσετε το καλύτερο άνω ϕράγμα για το εμπρός σφάλμα που μπορείτε για κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις και να σχολιάσετε όποτε κρίνετε ότι η περίπτωση είναι προβληματική. f 1 (x)= x ln x, x> 0 f 2 (x)= 1 x p , p ∈ Z + , x ≥ 1 f 3 (x 1 ,x 2 )= p x 2 1 + x 2 2 (Στους υπολογισμούς σας χρησιμοποιήστε την ευκλείδεια νόρμα k·k 2 όπου αυτή απαιτείται.) f 4 (x)= √ 1+ x - 1 όπου x ∈ (-1, ∞). 2. Για την τελευταία περίπτωση 2 έστω ότι το x είναι α.κ.υ. και ότι υπολογίζεται η τιμή της f (x) με έναν αλγόριθμο f prog (x) για τον οποίο χρησιμοποιούμε τα δ 1 ,δ 2 ,δ 3 για να συμβολίσουμε αντίστοιχα το σχετικό σφάλμα στην πρόσθεση (εντός του ιζικού), στην τετραγωνική ίζα και στην αφαίρεση. Ως συνήθως, οι τιμές αυτές είναι ϕραγμένες από τη μονάδα στρογγύλευσης u. Ο στόχος είναι να «ρεθεί» Δ τέτοιο ώστε αν x prog = x(1 + Δ) να ισχύει ότι f (x prog )= f prog (x). Εσείς πρέπει να εκφράσετε το Δ συναρτήσει των x, δ 1 ,δ 2 ,δ 3 αγνοώντας τους πολύ μικρούς όρους (δηλ. όρους που μπορεί να είναι μικρότερης τάξης του u, όπως για παράδειγμα δ 1 δ 2 ,δ 2 1 κ.λπ.). Από το αποτέλεσμα αυτό, να ρείτε ένα άνω ϕράγμα για το |Δ| συναρτήσει των u και x και να εκτιμήσετε το δείκτη κατάστασης του 1 ΄Εχει αποκαλεστεί και «δόλια». 2 ΄Ενα μέρος της άσκησης οφείλεται στον W. Gautschi 1
description
askisi2
Transcript of askisi2
-
pi pi ( 343)
pi pi : 9 2012
7 2012
: pi pi , pipipi . pi !
pi pi. pi pi pi pi pi. pi pipi pi. pi pi , pi ( pi, pi, , .pi.) ( pi pi - - pi pi ) pi, pi pi. pi , pi, pi pi pi1 , pi pi . pi pi pi.: pi pi pi pi pi - pi pi . pi pi . pi- pi ( pi) pi .
1
1. fj pi, pi pi pi pi pi Mj . pi pi pi pi pi pi pipi pi pipi pi.
f1(x) = x lnx, x > 0 f2(x) =
1xp , p Z+, x 1 f3(x1, x2) =
x21 + x
22 ( pi pi 2
pi pi.) f4(x) =
1 + x 1 pi x (1,).
2. pipi2 x ... pi f(x) fprog(x) pi pi 1, 2, 3 pi ( ), . , pi u. xprog = x(1 + ) f(xprog) = fprog(x). pipi x, 1, 2, 3 pi (. pi pi u, pi pi 12, 21 .pi.). pi pi , || u x
1 pi .2 W. Gautschi
1
-
. pi x (1,) pi u ... IEEE . , ( pi, pi ) pipi , pi , pi pi f . pi.
3. pi MATLAB; pi .
[0/(1 == 1 + eps4) ; 0/(1 == (1+eps)*(1/(1+eps))) ; ...inf*((1+eps/4)-1) ; realmax + 1 = realmax]
2
pi pi pi pi pi pi Maclaurin
cosx0 = 1 x20
2!+x404! . . . =
+n=0
(1)n x2n0
(2n)!
sinx0 = x0 x30
3!+x505! . . . =
+n=0
(1)n x2n+10
(2n+ 1)!
1. pi MATLAB powersin powercos pipi- pi . pi pi . s t -pi , pipi s + t == s. pi pi ; pi pi . (: pi (Moler, Matlab .69).
2. x0 pi2 , pi,3pi2 , 2pi,
11pi2 ,
(21+)pi2
(21+)pi4 pi
= 10 + , pi . pi ; . pi ; ( MATLAB).
3. pi x0 pi . pi pi pipi .
4. x0 = pi30 . pi pi pi . ns pi pi pi pi powersin nc pi pi pi pi powercos. pi pi pi pi pi .
5. powersin pi k , ns = 2(k 1) + 1, ns x0 pi pi pi . powercos nc = 2(k 1). - Vandermonde Vc R(nc+1)(nc+1) Vs R(ns+1)(ns+1)
2
-
vander pi pi MATLAB c
s pi3
c
=
1 + 1101 + 2101 + 310
...1 + nc10
1 + 1+nc10
s
=
1 + 1101 + 2101 + 310
...1 + ns10
1 + 1+ns10
pi cond MATLAB pi Vc Vs. pi yc = cos(c) ys = sin(s) pi Vchc = yc Vshs = ys \ MATLAB. pi ;
c
=
234...
1 + nc2 + nc
s =
234...
1 + ns2 + ns
pi Vc Vs pi pipi pi ;
3
pi pi pi ( pi, pi -) pi pi pipi ...
pi
pn(x) = x(x 1)n3(x 2)(x 3).
n = 4, 6, 9, 12, 15 pn poly pi roots. pi pi pi ; , ; pn(x) pi roots pi plot(, x pi y .) pi pn(x) ( ) pi .: pi pi pi n, pi subplot pi n pi ( s pi, ).
pi pi e-mail sci_2012_hw02_xxxx .rar sci_2012_hw02_xxxx.rar.
3 Taylor pi pi pi 1, x, x2, . . ..
3
