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[email protected] Argomento 5 Francesca Apollonio Dipartimento Ingegneria Elettronica E-mail: [email protected] Lezione 7 Lezione 8
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Argomento 5
Francesca Apollonio
Dipartimento Ingegneria Elettronica
E-mail: [email protected]
Lezione 7Lezione 8
Equazione delle onde dominio del tempo
( ) ( )
( ) ( ) ( )ttt
tt
r,J tr,Dr,H
tr,Br,E
+∂
∂=×∇
∂∂
−=×∇ ( ) ( )( ) ( )( ) r,J
r,H r,B r,E r,D
0===
ttt
ttµε
L-S-O-I-nonD
+costanti
Per semplicità di notazione faremo riferimento ad assenza di cariche e sorgenti impresse:
tDH
tBE
∂∂
=×∇
∂∂
−=×∇
tEH
tHE
∂∂
=×∇
∂∂
−=×∇
ε
µ
Equazione delle onde
Facciamo l’ipotesi che i vettori in gioco varino solo in una direzione: z0
∂
∂+
∂
∂−=
=∂∂
=
zE
zE
EEEz
zyx
rot
xy
zyx
00 yx
E 00000
tH
zE xy
∂∂
−=∂
∂− µ su x0
tH
zE yx
∂
∂−=
∂∂
µ su y0
tH z
∂∂
−= µ0 su z0
tE
zH xy
∂∂
=∂
∂− ε su x0
tE
zH yx
∂
∂=
∂∂
ε su y0
tEz
∂∂
= ε0 su z0
∂
∂+
∂
∂−=
=∂∂
=
zH
zH
HHHz
zyx
rot
xy
zyx
00 yx
H 00000
Equazione delle onde
tH
zE xy
∂∂
−=∂
∂− µ
tE
zH yx
∂
∂=
∂∂
ε
∂
∂∂∂
−=∂
∂−
tH
zz
E xy µ2
2
2
2
t
Ez
Ht
yx
∂
∂=
∂
∂∂∂ ε
2
2
2
2
t
E
z
E yy
∂
∂−=
∂
∂− µε
Equazione delle onde monodimensionale
La soluzione di questa eq. è una funzione(onda) che si propaga nella direzione z convelocità v
µε
1=v
( ) ( ) ( )vtzgvtzftzE y ++−=,
200
0
2
00
HEEEHEHE x
yxy ηηη
zz ==×=×=×=Π
Potenza trasportata
( ) ( )AtzHAtzE
AP xy ,
, '20
0
'2
ηη
==⋅Π= 0z
Passando al caso tridimensionale (i vettori in gioco variano su tutte e tre le direzioni)
tDH
tBE
∂∂
=×∇
∂∂
−=×∇
Equazione delle onde
JH B E D
0===
µε
( )
∂∂
∂∂
−=∇⋅∇∇⇒×∇∂∂
−=×∇×∇tE
tE-E H
tE εµµ 2
0EtDH =⋅∇=
∂∂
⋅∇⇒=×∇⋅∇ ε0
2tEE
∂∂
−=∇−2
2 µε
Equazione delle onde tridimensionale
022 =+∇ E E k
Dominio della frequenza
εµω 22 =k
Sistema di equazioni di partenzadominio della frequenza
Per determinare un campo EM occorre risolvere il sistema di equazioni differenziali del primo ordine alle derivate parziali costituito dalle equazioni di Maxwell e dallerelazioni costitutive del mezzo.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ωωωωω
ωωωωr,Dr,J r,Jr,H
r,Br,Jr,E
i
mi
jj
++=×∇−−=×∇
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) r,Er,J
r,Hr,B r,Er,D
ωωσωωωµω
ωωεω
===
funzioni vettoriali complesse
+
funzioni scalari complesse di ω
L-S-O-I-D
( )( )( ) r,E J
r,H B r,E D
D J JH B JE
i
mi
ωσωµ
ωε
ωω
===
++=×∇−−=×∇
jj
Per semplicità di notazione faremo riferimento a:
E E JHH JE
i
mi
εωσµωj
j++=×∇
−−=×∇
ωσεεεωσεω jjj cc −=+= con
E JH i cj εω+=×∇
Equazione di Helmholtz non omogenea
Obiettivo:ricavare un’equazione differenziale del secondo ordine alle derivate parziali in unasola funzione vettoriale incognita, la cui soluzione fornisce il campo EM
E JH H JE
ci
mi
jjεω
µω+=×∇
−−=×∇prendendo la divergenzadi entrambi i membri per ognuna delle due equazioni
E J H J
c ⋅∇−=⋅∇⋅∇−=⋅∇
εωµω
jj
i
mi
prendendo il rotore di entrambi i membri dellaprima delle due equazioni
( ) E J JE-EE cimi jj ωεµω +−×−∇=∇⋅∇∇=×∇×∇ 2
c
iimi j
jkεω
µω
JJ JEE
⋅∇∇−+×∇=+∇ 22
ck εµω 22 =
c
iimi j
jkεω
µω
JJ JEE
⋅∇∇−+×∇=+∇ 22
ck εµω 22 =
La classe di soluzioni fornita dal-l’eq. di Helmholtz è più ampia diquella fornita dal sistema di eq. di Maxwell (operazione di derivazione)
c
i
j εω J
E ⋅∇
−=⋅∇
Dualmente:
µωεω
J
J JHH c jjk mi
mii⋅∇∇
−+×∇=+∇ 22
ck εµω 22 =
µω J
H j
mi⋅∇−=⋅∇
quindi tra tutte le soluzioni dell’equazione di Helmholtz scegliamo quelle che soddisfano anche la
Equazione di Helmholtz omogenea
In assenza di correnti impresse:
0022
=⋅∇=+∇
EEE k
0022
=⋅∇=+∇
HHH k
*
*Molte volte si indicano come equazioni delle onde quelle che qui sono state chiamate come equazioni di Helmholtz; in realtà il nome di equazione delle onde è riservato alle corrispondenti equazioni nel dominio del tempo.
In conclusione per ricavare il campo EM si può risolvere la:
c
iimi j
jkεω
µω
JJ JEE
⋅∇∇−+×∇=+∇ 22
c
i
j εω J
E ⋅∇
−=⋅∇cone poi applicare la:
E JH ci jωε+=×∇oppure procedere in maniera duale
Funzioni d’onda
Consideriamo l’equazione vettoriale di Helmholtz generica:
haa =+∇ 22 k in cui a(r)= a(x,y,z) è la funzione vettoriale incognita eh(r)= h(x,y,z) è il termine noto
x,y,z ihaka iii ==+∇ 22 equazione scalare di Helmholtz
Una soluzione dell’eq. scalare di Helmholtz si chiama: funzione d’onda scalare
( ) [ ]0),,(),,(,, ϕϕ +−= zyxjezyxMzyxa funzione complessa
funzioni reali
Passo 1 (dominio della frequenza, funzione d’onda scalare)
Semplificando considero solo la dipendenza da una coordinata ad es. z:
( ) [ ]0)()( ϕϕ +−= zjezMza
022 =+∇ aka
In questo caso l’eq. scalare di H. omogenea diventa:
022
2
=+ akdz
ad
che nel caso k2 0 ammette come soluzione:≠
( ) ( ) jkzjkzjkz eaza a seeaeaza −− +−−+=⇒=+= 0000 0 ,
Ponendo:
αβ
ϕ
jk
eaa j
−=
= −++0
00( ) ( )
( ) z
0
0
0
0
ϕβα
αβϕ
+−−
−−−
+
+
=
==
jz
zjjj
eea
eeaza
( )zM ( ) zz βϕ =
confrontandola con
Passo 2 (dominio della frequenza, funzione d’onda scalare, semplificazione dimensionale)
αβ jk −=costante di propagazione
costante difase
costante diattenuazione
a(z)
La costante β è legata alla lunghezza d’onda nelsenso che rappresenta la distanza tra due punti(nella direzione di propagazione) per i quali esisteper la funzione a(z) una differenza di fase paria 2π
( )
λπβ
πβλβββϕϕ2
2121212
=
==−=−=− zzzz
( ) [ ] ( ) ( )[ ]( )( )0
)(
cos)(Re,)( 0
ϕϕω
ωϕϕ
−−===⇒= +−
ztzMezatzaezMza jzj
t
( ) ( ) - zttz ϕωφ =,variazione di fase nello spazio e nel tempo
Si definisce velocità di fase u nella direzione z la velocità di un osservatore che si muova nella direzione dell’asse z con velocità tale da non vedere variazioni di fase
( ) zttz - βωφ =,
Passo 3 (dominio del tempo, funzione d’onda scalare, semplificazione dimensionale)
( )βωβωφ - =⇒== udzdttzd 0,
udt
Passo 4 (dominio della frequenza, funzione d’onda scalare, caso generale: tridimensionale)
( ) [ ]0),,(),,(,, ϕϕ +−= zyxjezyxMzyxa
( ) tzyx cos,, =ϕ Superfici equifaseLa forma di tali superfici è usata per denominarel’onda:
•piana•sferica•cilindrica
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=ϕϕϕϕ 000 zyxβ
Vettore di fase Vettore la cui direzione è la dire-zione in cui si ha la max variazionedi fase
( ) tzyxM cos,, = Superfici equiampiezza
Se l’ampiezza è costante sulle superfici equifase l’onda si dice uniforme
Passo 5 (dominio del tempo, funzione d’onda scalare, caso generale: tridimensionale)
( ) [ ] ( ) ( )[ ]( )( )0
),,(
,,cos),,(,,Re,,,),,(,, 0
ϕϕω
ωϕϕ
−−===⇒= +−
t
zyxtzyxMezyxatzyxaezyxMzyxa jzyxj
( ) ( ) - zyxttzyx ,,,,, ϕωφ =variazione di fase nello spazio e nel tempo
Si definisce velocità di fase ur nella direzione r la velocità di un osservatore che si muova nella direzione di r con velocità tale da non vedere variazioni di fase
00
0
=−=⋅−=
=⋅∇−=∂∂
−==
drβdtdrdt
drdtdrr
dtddtd
r rβ
r -
ωω
ϕωϕωϕωφ
θβω
βω
cos
==r
ru
r0
udtur
Passo 6 (dominio della frequenza, funzione d’onda vettoriale, caso generale: tridimensionale)
( ) [ ]0),,(),,(,, ϕϕ +−= zyxjezyxMzyxa
( ) ( ) ( ) ( )zyxazyxazyxazyx y ,,,,,,,, 000 zx zyxa ++=
( ) ),,(),,(ˆ,, zyxjezyxzyx ϕ−= Ma
Se ),,(),,(),,(),,( zyxzyxzyxzyx zyx ϕϕϕϕ ===
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]zyxjz
zyxjz
zyxjy
zyxjy
zyxjx
zyxjx
zzz
yyy
xxx
ezyxMezyxMzyxa
ezyxMezyxMzyxa
ezyxMezyxMzyxa
,,,,
,,,,
,,,,
,,ˆ,,,,
,,ˆ,,,,
,,ˆ,,,,
0
0
0
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
−+−
−+−
−+−
==
==
==
z
y
x
vettori complessi
funzione d’onda scalare
funzioni complessa
funzioni reali
Ricapitolando
haa =+∇ 22 k( ) ( ) ( ) ( )zyxazyxazyxazyx y ,,,,,,,, 000 zx zyxa ++=
questa rappresenta i vettori complessi E(x,y,z) o H(x,y,z)
( ) ( )[ ]t a ωjex,y,ztzyxa Re,,, =questa rappresenta le corrispondenti funzioni vettoriali nel tempoE(x,y,z,t) o H(x,y,z,t)
( ) ),,(),,(ˆ,, zyxjezyxzyx ϕ−= Ma•Superficie equifase
•Superficie equiampiezza
•Vettore di fase
•Velocità di fase
2taa
∂∂
=∇2
22 1
v
Onde piane nello spazio libero
Consideriamo una soluzione particolare delle equazioni di Maxwell omogenee (assenza di grandezze impresse), nel dominio della frequenza nello spazio libero (privo di superfici di discontinuità). Mezzo L-S-O-I
022 =+∇ EE k
Consideriamo che la funzione vettoriale incognita E sia del tipo:
( ) )()()(0 zZyYxXx,y,z EE =
vettore complesso funzioni scalari complesse
[ ][ ] 0)()()()()()( 220 =+∇ zZyYxXkzZyYxXE
0)()()()(
)()()(
)()()(
)()( 22
2
2
2
2
2
0 =
+++ zZyYxXk
dzzZdyYxX
dyyYdzZxX
dxxXdzZyYE
Metodo di soluzione per separazionedelle variabili
0)(
)(1)(
)(1)(
)(1 2
2
2
2
2
2
2
=+++ kdz
zZdzZdy
yYdyYdx
xXdxX
0)(
)(1
2
2
=
dxxXd
xXdxd
0)(
)(1
2
2
=
dyyYd
yYdyd
0)(
)(1
2
2
=
dzzZd
zZdzd
22
2 )()(
1xk
dxxXd
xX−=
22
2 )()(
1yk
dyyYd
yY−=
22
2 )()(
1zk
dzzZd
zZ−=
Le quantità scalari complesse devono soddisfare la condizione: 222 ,, zyx kkk −−−
2222 kkkk zyx =++ Condizione di separabilità
0)()( 2
2
2
=+ xXkdx
xXdx
0)()( 2
2
2
=+ yYkdy
yYdy
0)()( 2
2
2
=+ zZkdz
zZdz
se 02 ≠xk xjkxjk xx eXeXxX −−+ += 00)(
se 02 =xk 0201)( XxXxX +=se X01=0 la seconda eq. può essere conglobata nella prima ponendo X02=X0
++X0-
Analogamente si procede per le altre due equazioni
( ) ( )zkykxkj zyxezyx ++−= 0,, EE
determina la polarizzazione del campo elettrico
determina la propagazione cioèla dipendenza dalle coordinate
zyx kkk 000 zyxk ++= zyx 000 zyxr ++=
rk ⋅=++ zkykxk zyx
( ) ( ) rk ErEE ⋅−== jezyx 0,,
zzz
yyy
xxx
jkjkjk
αβαβαβ
−=
−=−=
Ponendo:
( ) ( ) rβ rαErEE ⋅−⋅−== jeezyx 0,, sol. dell’eq. vettoriale di H. omogenea
αβk j−=
zyx
zyx
αααβββ
000
000
zyxαzyxβ
++=
++=
k=vettore di propagazione
β=vettore di fase
α=vettore di attenuazione
( ) ( ) rβ rαErEE ⋅−⋅−== jeezyx 0,, sol. dell’eq. vettoriale di H. Omogenea: funzione d’onda vettoriale
( ) ),,(),,(ˆ,, zyxjezyxzyx ϕ−= Ma
( )zyxeezyx zyx
0rα
0 EEM ααα ++−⋅− ==),,(ˆ
zyxzyx zyxrβ βββϕ ++=⋅=),,(
βzyxzyx zyx =++=∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ βββϕϕϕϕ 000000 zyx
( ) ( )( ) 0
'=⋅⇒⋅=⋅
⇒= r'-rβ r'βrβ
PP ϕϕ
tcos=⋅rα
Superfici equifase
Superfici equiampiezza
Se oppure se β //α onda piana uniforme
le superfici equifase sono i piani normali a β: onda piana
le superfici equiampiezza sono i piani normali a α
Se due punti P e P’ individuati dai vettori r ed r’ appartengono ad una superficie equifase
Il vettore P’P=r-r’ sarà ortogonale a β
0 α =
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