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Anhang ALosungen zu den Aufgaben

A.1 Kapitel 2

Losung der Aufgabe 2.1σ= 140N/mm2, F= 280N, Δh= 0,06mm

Losung der Aufgabe 2.2228 Einzeldrahte

Losung der Aufgabe 2.3a) außere Drahte: σ= 149N/mm2, Δl= 4,97mm,

innerer Draht: σ= 239N/mm2, Δl= 7,97mm,b) außere Drahte: σ= 209N/mm2, Δl= 6,97mm,

innerer Draht: σ= 119N/mm2, Δl= 3,97mm

Losung der Aufgabe 2.4Stahlzylinder σ=−120N/mm2, Graugussrohr σ=−72N/mm2,F= 253kN, σ=−293N/mm2.Ja, da diese Spannung weit unter der Druckfestigkeit von Grauguss liegt (σdB > 500N/mm2).

Losung der Aufgabe 2.5Losungsweg wie in Beispiel 2.11 mit α= 0 und l1 = l2. Verlangerung Δl= 2,62mmAluminiumstange: σ= 68N/mm2, Stangenkraft 12kN,Stahlstange: σ= 204N/mm2, Stangenkraft 16kN

Losung der Aufgabe 2.6Gewindegroße M 24

Losung der Aufgabe 2.7

a) σ(1) = 120N/mm2, FS1 = 75kN,b) F= 56kN (Abb. A.1 a),c) FS2 = 94kN, σ(2) = 25,2N/mm2,d) Δl1 = 1,8mm, dl2 = 1,8mm, vK = 3,5mm (Abb. A.1 b)

Losung der Aufgabe 2.8σ= 100N/mm2

Losung der Aufgabe 2.97650min−1

363

G. Holzmann et al., Technische Mechanik Festigkeitslehre, DOI 10.1007/978-3-8348-8101-4,© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden 2012

364 A Losungen zu den Aufgaben

Abb. A.1 Kranauslegera) Krafteplan fur denKnoten Kb) Verschiebungsplan

a) b)

F

FS1 FS2

10 kN

Δl1

Δl2

vK

K

1 mm

Losung der Aufgabe 2.10di = 1798mm, Δϑ= 93K, p= 13,3N/mm2


a) dw = 250,54mm,b) di = 249,775mm,c) σ= 108N/mm2, p= 8,64N/mm2


1. a) 170 bzw. 85N/mm2,b) 0,56mm,c) 103K,

2. 340 bzw. 170N/mm2,3. 297N/mm2


a) Mit der Anleitung in Abschnitt 2.4 und den Bezeichnungen von Abb. 2.23 ist

ΔdS =Δd1+Δd2 = d0

(σAl

EAl+

σSt

ESt

)

Aus den Gln. (2.25) und (2.26) werden die Spannungen in der obigen Gleichung durch diegemeinsame Pressung p ersetzt, die man nummehr aus den gegebenen Großen berechnen kann:p= 7,5N/mm2.

b) Im Ring σAl= 37,5N/mm2, in der Buchse σSt =−150N/mm2.c) Zum Erwarmen des Ringes Δϑ=+52K, zum Unterkuhlen der Buchse Δϑ=−104K. Das

Anwarmen des Ringes ist sinnvoller und einfacher durchzufuhren.

Losung der Aufgabe 2.14Fzul = 12,55kN, Verlangerung unter Eigengewichtskraft 14,8cm, unter Last 12,55kN ist dieVerlangerung 33,9cm


a) Querschnittsflache A= 90,9 ·104 mm2, a= 960mm,b) 46%,c) d= 163cm,d) Mit F. G = γAx. erhalt man die Eigengewichtskraft FG durch Integration

FG =

h∫0

γAx. mit A=A0eγ(h−x)

σzul und l=h .

A.3 Kapitel 4 365

A0= 62,5 ·104 mm2, a0= 790mm, A1= 85,5 ·104 mm2, a1= 925mm, Eigengewichtskraft36,7%

A.2 Kapitel 3


1. a) 2,26,b) 1,67,c) 1,44,

2. a) ±19,2kN,b) 14±14kN


a) F=±17,7kN,b) F= 7,3±14,6kN,c) F= 12,3±12,3kN,d) F= 20,25±6,75kN

Losung der Aufgabe 3.3σSch = 310N/mm2,

1. SD = 2,2. Fzul = 94±94kN


1. F= 25kN,2. σn = 162N/mm2, σwirksam = 235N/mm2, σW = 180N/mm2,

ein Dauerbruch war nicht zu vermeiden3. ca. 28 cm Durchmesser

Losung der Aufgabe 3.5Zum Zeichnen des Verspannungsschaubilds A.2 werden benotigtFn = pd0 = 300N/mm, FB = pidi = 380N/mm, ΔdAl = 0,021mm, ΔdSt = 0,029mmPressung im Aluminiumring , p0 = 12,9N/mm2,Spannungen σ=σm ±σa = 51±13,5N/mm2, mit σA = 50N/mm2 ist SD = 2,31,Restpressung p ′

V in der Stahlbuchse 3,4N/mm2, Spannungen σ=−68N/mm2, ohne Schrump-fung σ=+190N/mm2

A.3 Kapitel 4

A.3.1 Abschnitt 4.1

Losung der Aufgabe 4.1a) Iy = 15,21 ·107 mm4 < 10,50 ·104 mm4 >, Iy = 6,47 ·107 mm4 < 1,72 ·104 mm4 >,b) Ia = 1,63 ·107 mm4 < 0,71 ·104 mm4 >, IpS = 3,26 ·107 mm4 < 1,42 ·104 mm4 >,c) Ia = 3,58 ·107 mm4 < 12,76 ·104 mm4 >, IpS = 7,16 ·107 mm4 < 25,52 ·104 mm4 >


Abb. A.2 Verspannungsschaubild

ΔdAl ΔdSt

pd

0=

300

N/

mm

p′ Vd

0=

136

N/

mm

pidi=

380

N/

mm

p0d

0=

510

N/

mm

Losung der Aufgabe 4.2Fur Halbkreisring ist

γS =2

3π

d3a−d3

i

d2a−d2

i

= 16,1mm, Iy = 25,5 ·104 mm4, Iη = 5,1 ·104 mm4

Losung der Aufgabe 4.3Die Diagonale a teilt das Quadrat in zwei Dreiecke: fur ein Dreieck (b=

√2a, h =

√2a/2) ist

(Tabelle 4.1) Ia = bh3/12=a4/24, fur das Quadrat ist demnach Ia = 2a4/24=a4/12= Iy

Losung der Aufgabe 4.4zS = 198mm, Iy = 15,8 ·108 mm4, Iz = 2,7 ·108 mm4

Losung der Aufgabe 4.5zS= 129mm, Iy= 6,66 ·107 mm4, Anteil des Flachenmoments 17,5%, der Masse 30%

Losung der Aufgabe 4.6di = 136mm, da = 170mm


(a+ey)2 =

Iy−Iz

A+e2

z (Iy und Iz aus Profiltafel [22]), 2a= 142mm


a) Iy = 1584cm4, Iz = 466cm4, Iyz = 624cm4, ϕ1 =−α=−24,1◦, I1 = 1864cm4, I2 =186cm4 (Abb. A.3 a),

b) Iy = 1923cm4, Iz = 856cm4, Iyz = 180cm4, ϕ1 =−α=−9,35◦, I1 = 1952cm4, I2 =827cm4, yS = 43,6mm, zS = 78,6mm (Abb. A.3 b),

c) Iy = 41,25cm4, Iz = 13,13cm4, Iyz = −11,63cm4, ϕ1 = α = 19,8◦, I1 = 45,44cm4,I2 = 8,94cm4, yS = 13,3mm, zS = 23,3mm (Abb. A.3 c)

A.3 Kapitel 4 367

a) b) c)

SSS

v

v

v

www

y

yy

zzz

Abb. A.3 Querschnitte mit Koordinatensystemen

A.3.2 Abschnitt 4.2


a) Wb = 444 ·103 mm3,b) z1 = 66mm, z2 = 94mm, Wb1 = 295 ·103 mm3, Wb2 = 207 ·103 mm3,c) z1 = 86,7mm, z2 = 73,3mm, Wb1 = 317 ·103 mm3, Wb2 = 375 ·103 mm3

d) z1 = 136mm, z2 = 139mm, Wb1 = 555 ·103 mm3, Wb2 = 545 ·103 mm3


a) 1. σb = 50N/mm2,2. σb = 53,5 bzw. 84,5N/mm2,

b) da = 102mm bzw. 120mm, di = 51 bzw. 96mm (Abb. A.4),c) Masseersparnis nach a) 25% bzw. 64%, nach b) 22% bzw. 48%, Zunahme der Randspannungen

nach a) 7% bzw. 69%, nach b) 0%

a) b) c)

∅10

0

∅10

0

∅10

0

σbσbσb

zzz

50N/mm2

∅50

53,5N/mm2

21,75N/mm2

∅80

84,5N/mm2

67,5N/mm2

Abb. A.4 Biegespannungsverlaufa) in der Vollwelleb) in einer Hohlwelle mit großer Wandstarkec) in einer Hohlwelle mit kleiner Wandstarke



a) a= 64mm, Mb zul = 6,1 ·106 Nmm,b) h= 90mm, b= 45mm, Mb zul = 8,5 ·106 Nmm,c) d= 72mm, Mb zul = 5,15 ·106 Nmm,d) I, 220 Mb zul = 39 ·106 Nmm,e) L 130×75×10, Mb zul = 11 ·106 Nmm,f) da = 120mm, di = 96mm, Mb zul = 14 ·106 Nmm .

Tragfahigkeit, bezogen auf den Kreisquerschnitt, bei a) 1,18, b) 1,65, c) 1, d) 7,57, e) 2,14,f) 2,72fach. Die Kreiswelle als ubliche Querschnittsform im Maschinenbau fur Hebel, Wellenusw. hat die geringste Tragfahigkeit. Die Werkstoffausnutzung ist um so besser, je weiter dasMaterial von der Nulllinie entfernt liegt. Also Hohlwellen im Maschinenbau, Bauprofile imStahl- und Hochbau verwenden (Leichtbau).


a) qzul = 600N/m,b) Fzul = 10 ·104 N

Losung der Aufgabe 4.13z1 = 57,5mm, Iy = 2875mm4, σbd = 40N/mm2, σbz = 99N/mm2 (Abb. A.5)

Abb. A.5 Biegespannungsverlaufim T-Tragerquerschnitt

x

z

σb−40N/mm2

99N/mm2


a) σb = 145N/mm2,b) da = 57mm, di = 40mm,c) 39%

Losung der Aufgabe 4.15l=

√dσF/ρ= 7,3m


a) h(x) = h0x/l, Gerade, Abb. A.6 a)b) b(x) = b0x

2/l2, Parabel, Abb. A.6 b)

A.3 Kapitel 4 369

Abb. A.6 Formgebung vonFreitragern nach Abb. 4.50mit gleichmaßig verteilterLast q fur gleiche Biegebe-anspruchung, Begrenzung derLangsschnittea) Gerade Linienb) Parabel

a)

b)

x

x

l

h(x)

b0

b0

h0

h0

b(x)


a) Aus der Tabelle in [22] fur I-Stahl erhalt man Wb = 54,7cm3, mit einer Lasche ist Wb1 =117cm3, mit zwei Laschen Wb2 = 184cm3:

Mb(x)=ql2

2

[x

l−(xl

)2]

, Mb max=ql2

8= 225 ·105 Nmm, σb max= 122N/mm2 .

Fur eine zeichnerische Losung ist die folgende Parabel darzustellen

Wb(x) =Mb(x)

σb max=Wb2 =

Mb(x)

Mb max=Mb24

[x

l−(xl

)2]

.

Die diese Parabel schneidenden, zur x-Achse parallelen Geraden im Abstand Wb und Wb1ergeben die gesuchten Langen: l1 ≈ 2500mm,l2 ≈ 1800mm (Abb. A.7 a).

a) b) x/lx/l

Wb/

4Wb2

0 0,5 1

Wb/

4Wb2

Wb1/

4Wb2

Wb2/

4Wb2

l2/l= 0,6l1/l= 0,83

100

200

300

400

σb max

Mb max/Wb1

Mb max/Wb

σb

Ran

d[N

/mm

2]

Abb. A.7 Tragers annahernd konstanter Biegebeanspruchung nach Abb. 4.33a) Widerstandsmomentlinie Wb(x)b) Randspannungsverlauf


Rechnerische Losung: Aus der Parabelgleichung folgt die quadratische Gleichung fur x

(xl

)2−

x

l−

14Wb(x)

Wb2= 0

mit der hier brauchbaren Losung

x

l=

12

(1−

√1−

Wb(x)

Wb2

).

Dax1,2

l=

12

(1−

l1,2

l

)ist (Abb. A.7 a), ergibt sich

l1 = l

√1−

Wb

Wb2= 0,84l= 2,52m, l2 = l

√1−

Wb1

Wb2= 0,6l= 1,80m.

b) Abb. A.7 bc) σb = 410N/mm2, der Trager wurde diese Spannung nie erreichen, da das Material vorher

fließt.d) I 200, Wb = 214cm3, σb = 105N/mm2,e) 7,7%

A.3.3 Abschnitt 4.3

Losung der Aufgabe 4.18Iy = 7,8 ·107 mm4,Iz = 4,45 ·107 mm4,Iyz = 0mm4,FS = 2kN,α= 60◦ ,β= 18,25◦ ≈ 18◦(Abb. A.8)

Abb. A.8 Nulllinie undLastebene des Gittermastes y

z

S

α= 60◦

β= 18◦

Last

eben

e

Nulllinie

140

mm

Losung der Aufgabe 4.19β= 40,1◦ ≈ 40◦, σb max = 123N/mm2 (Abb. A.9)

Losung der Aufgabe 4.20Die Spur der Lastebene liegt um 21,5◦ gegenuber der z-Achse nach rechts geneigt.

A.4 Kapitel 5 371

Abb. A.9 Nulllinie und Las-tebene des Freitragers

y

z

S

Lastebene

Nullli

nie67 mm

α=30◦ β= 40 ◦


a) Iy = 24,9 ·106 mm4, Iz = 8,7 ·106 mm4, Iyz = 8,1 ·106 mm4, α= 22,5◦,I1 = 28,25 ·106 mm4, I2 = 5,35 ·106 mm4, β= 14,35◦ ,Zug 143N/mm2 links oben, 138,5N/mm2 rechts unten,

b) Zug 76N/mm2 links oben, 90N/mm2 rechts unten

A.3.4 Abschnitt 4.4

Losung der Aufgabe 4.22αK = 2,46, SD = 1,65


a) Fa,zul = 200N,b) βK = 2,08, βKσn = 420N/mm2 zulassige Spannung uberschritten,c) 135mm


a) Mb1 = 40 ·106 Nmm, Mb2 = 40 ·106 Nmm,b) h= 970mm .c) Mit der Zugschwellfestigkeit σz Sch= 220N/mm2 und σwirksam= 105N/mm2 ist SD= 2,1 .

A.4 Kapitel 5

Losung der Aufgabe 5.1s. Tabelle 5.1


I0=b0h30/12,w(x)=

Fl3

2EI0

(1−

x

l

)2,f=

Fl3

2EI0,w ′(x)=

Fl2

EI0

(xl−1

), tanα=−

Fl2

EI0


Losung der Aufgabe 5.3Aus Abb. 4.21 a) entnimmt man F1 = F= 2000N,F2 = F3 = 5F, l= 750mm, l2 = 450mm,l3 = 200mm, l2/l= 3/5, l3/l= 4/15, dann ist

f= f11+f21+ tanα21l

(1−

l2

l

)+f31+ tanα31l

(1−

l3

l

)=−

9134 ·5

Fl3

EI=−0,505mm,

tanα= tanα11+ tanα21+ tanα31 =232

Fl2

EI= 0,000665, α= 0,0381◦


a)

f1 =l3

48EIa

(F1+F2 ·3

a

l

)= 3

Fl3

48EIa,

f2 = −l3

48EIa

a

l

[3F1+F2 ·16

a

l

(1+

a

l

)]=−5,74

Fl3

48EIa,

FA =76F, FB =−

136F, MbF1 =

712

Fl, MbB =8

12Fl,

b)

f1 =l3

48EIa

(F1−F2 ·3

a

l

)=−1

Fl3

48EIa,

f2 = −l3

48EIa

a

l

[3F1−F2 ·16

a

l

(1+

a

l

)]= 3,74

Fl3

48EIa,

FA =−16F, FB =

196F, MbF1 =−

112

Fl, MbB =−812

Fl

Die Lastrichtung in b) ist mit Rucksicht auf die Durchbiegung gunstiger, mit Rucksicht auf die Bie-gemomente gleichwertig und mit Rucksicht auf die Lagerkrafte ungunstiger als die Lastrichtungin a).

Losung der Aufgabe 5.5Der Ansatz f= fm (Tabelle 5.1, Zeile 6) ergibt die quadratische Gleichung

(al

)2+

32a

l−

38= 0

mit der brauchbaren positiven Losung a/l= 0,218,l= 458mm,f= fm = 3,5mm. Mit fm =1mm ist l= 245mm und f= 2,08mm.

Losung der Aufgabe 5.6f= 21,3mm

Losung der Aufgabe 5.7ρ= 10m, f= 333mm, α= 6,9◦

Losung der Aufgabe 5.8fy = 16,65mm, fz = 7,5mm, f= 11,65mm

A.5 Kapitel 6

Losung der Aufgabe 6.1s. Beispiel 6.1

A.6 Kapitel 7 373

Losung der Aufgabe 6.2FA = FD =−(27/88)F=−1,35kN,FB = FC = (77/88)F= 3,55kN, σb = 58,9N/mm2,fF = (17/44)Fl3/48EI= 0,0585mm,σb = 99,7N/mm2


1. I 4502. a) FC = 5ql/8= 150kN, σb = 44,1N/mm2,

b) FC =5ql/8

1+48hI

l3A

= 1,491 ·105 N, σd = 19,3N/mm2, I 360


a) FA = 1,363F, MA =−0,289Fl, FB = 1,637F,MB =−0,343Fl, MbF = 0,052Fl, Mb2F = 0,203Fl,

b) FA = 0,25F, FB = F, FC = F, FD =−0,25F,Mb(l/2) =Mb(5l/2) = 0,125Fl, Mb(l) =Mb(3l) =−0,25F

Losung der Aufgabe 6.5FA = 26,1kN,FB = 84,2kN,FC = 10,0kN, gefahrdeter Querschnitt in B σb = 104N/mm

A.6 Kapitel 7

A.6.1 Abschnitt 7.1


a) d= 40mm,b) da = 44mm, di = 33mm (aufgerundet), 47%

Losung der Aufgabe 7.2d= 2 mm, l= 139 mm, W = 350 Nmm


a) τt = 285N/mm2, ϕ= 6,7◦,b) d= 38mm, ϕ= 5,2◦, m�/m◦ ≈ 2

Losung der Aufgabe 7.4α4/(1−α4), α2 (Abb. A.10)


a) τt = 225N/mm2 bzw. 318N/mm2,b) l1 = 1050mm, ϕ= 6,8◦,c) W = 237 ·103 Nmm, m�/m◦ ≈ 3,5


a) Mt = 1,47 ·107 Nmm,b) ϑ= 1,75◦/m,c) W = 224 ·103 Nmm


Abb. A.10 Schubspannungszunahme(1) und Masseersparnis (2)in % in Abhangigkeit vomWanddik-kenverhaltnis α

Wanddickenverhaltnis α

1Sc

hubs

pann

ungs

zuna

hme

in%

2M

asse

ersp

arni

sin

%

0, 2 0,4 0,6 0,8 1,0

20

40

60

80

100

0

1

2

Losung der Aufgabe 7.7Kreis Kreisring Rechteck

a) d= 22mm, da = 22mm, di = 17mm, h= 90mm, s= 30,5mm,b) s= 27,2mm, s= 25,6mm, s= 30,5mm,c) c= 74N/mm, c= 78N/mm, c= 66N/mm,d) W = 272 ·102 Nmm, W = 256 ·102 Nmm, W = 305 ·102 NmmMassen verhalten sich wie 1,65 : 1 : 3,5 .

Losung der Aufgabe 7.8αk = 1,93, SD = 1,9, ϕ= 2,3◦

A.6.2 Abschnitt 7.2


a) d= 3,1mm, R= 7,75mm, i= 49,5,b) lE = 160mm + Anschlussosen,c) l≈ 2500mm


a) s= 37,5mm, c= 226N/mm, τi = 198,5N/mm2,b) d= 2,1cm, i= 10, τi = 169,5N/mm2

Die Rechteckfeder ist etwa doppelt so schwer wie die beiden Kreisfedern.


a) Fzul = 8,8kN (fur eine Feder), s= 38,3mm, lE = 298mm,b) a= 28,3mm, R= 71mm, i= 7, lE = 303mm

Losung der Aufgabe 7.12szul = 20mm, c= 33N/mm, Fzul = 660N, W = 66 ·102 Nmm

A.8 Kapitel 9 375

A.7 Kapitel 8


a) l= 51cm,b) τq max = 16,5N/mm2

Losung der Aufgabe 8.2τs = 28,5N/mm2, s= 55mm

Losung der Aufgabe 8.3d1 = 15mm, τp max = 43,7N/mm2

Losung der Aufgabe 8.44,7 m, 57 kN


a) 98,5N/mm2,b) 37N/mm2,c) 79 bzw. 24,5N/mm2

A.8 Kapitel 9

A.8.1 Abschnitt 9.1

Losung der Aufgabe 9.1β= 5,9◦, u0 = 11,9cm, σ= 102N/mm2 in A, σ=−53N/mm2 in B

Losung der Aufgabe 9.2z0 = 6,95mm, σ= 97N/mm2, σ=−47N/mm2

Losung der Aufgabe 9.3d= 11,9mm, σd = 13,5N/mm2, σb =±96,5N/mm2


λ= 8r2

0

d2

⎡⎣1−

√1−

(d/2r0

)2⎤⎦−1

oder umgeformt

λ=

1−

√1−

(d/2r0

)2

1+

√1−

(d/2r0

)2= 0,0718.

Da 1+(Mby/Fnr0) = 1−(Fr0/Fr0) = 0, ist z0 = 0.

σx(z=−d/2) = 13,92F

A, σx(z= d/2) = 4,64

F

A

(Abb. A.11). Nach linearer Biegegleichung 9F/A bzw.−7F/A.


Abb. A.11 Spannungsverteilung

z/d

bezo

gene

Span

nung

σx

F/A

00

2

4

6

8

10

12

14

−2

−4

−6

−0,25

0,25 0,5

−0,5

2

1

A.8.2 Abschnitt 9.2

Losung der Aufgabe 9.12Abb. A.12Zugseite 1: σ1 = 100N/mm2, σ2 = 0N/mm2,α= 45◦,Druckseite 2: σ1 = 81N/mm2, σ2 =−31N/mm2, α= 31,7◦ ,σb = 0N/mm2, 3: σ1 = 89N/mm2, σ2 =−14N/mm2, α= 38,5◦,τ= 0N/mm2, Zugseite 4: σ1 = σ2 = 50N/mm2,τ= 0N/mm2, Druckseite 4: σ1 = 50N/mm2, σ2 = 0N/mm2, α= 0◦

Abb. A.12 Losungsbildσt

σt

σl

σl

−τ

−τ

τ

τ

σbσb

−σb−σb

Losung der Aufgabe 9.13σ1 = 180N/mm2, σ2 =−120N/mm2, α= 26,5◦,τmax = 150N/mm2, σ45◦ =−30N/mm2, β=−18,5◦

A.8 Kapitel 9 377

aa

ε1,σ1

ε1,σ1 ε2,σ2

ε2,σ2

α=−19,3◦

α ′ = 25,7◦

α= 19,3◦

α ′ =−25,7◦

ττ

σbσb

Abb. A.13 Losungsbild

A.8.3 Abschnitt 9.3


1. 1 : 0,05%−0,015%, 2 : 0,0452%−0,0277%, 3 : 0,0466%−0,0204%, 4 : 0,0175%,5 : 0,025%−0,0075%

2. 0,108%−0,087%


a) σ=Eε/(1−ν), ε1 = ε2 = ε,b) τ=Eε45◦/(1+ν), ε2 =−ε1 = ε45◦ ,c) σ1 = Eε1/(1−ν/2), σ2 = Eε2/(1−2ν), ε1 = (2−ν)ε2/(1−2ν)


A : B :ε1 = 55,6 ·10−5, ε1 = 27,6 ·10−5,ε2 = −27,6 ·10−5, ε2 = −55,6 ·10−5,α = 19,3◦, α = −19,3◦,σ1 = 104N/mm2, σ1 = 24N/mm2,σ2 = −24N/mm2, σ2 = −104N/mm2

Normalspannungen σx=σb=±80N/mm2, Schubspannungen τ= 50N/mm2 (Abb. A.13),Biegemoment ca. 6kNm, Drehmoment ca. 7,5kNm

Losung der Aufgabe 9.10σ= 523N/mm2, Δda = 3,8mm

Losung der Aufgabe 9.11σt = 16N/mm2, σl = 8N/mm2, pi = 0,4N/mm2


A.8.4 Abschnitt 9.4


1. 1: σV(N) =σV(Sch) =σV(GE) =σ1 = 100N/mm2,2: 81/112/100N/mm2,3: 89/103/96,7N/mm2,4 und 5: je 50N/mm2,

2. 180/300/261,5N/mm2

Losung der Aufgabe 9.131: 150, 2: 159, 3: 160, 4: 151, 5: 139,5, 6: 130, 7: 123,7N/mm

Losung der Aufgabe 9.14123,7N/mm2,154kN,830Nm,151,3N/mm2,−28,7N/mm2,0,221%,−0,112%,23,6◦

Losung der Aufgabe 9.151,48fache Sicherheit (mit b0 = 0,7) nach der GE-Hypothese

Losung der Aufgabe 9.16119 kW


a) 75N/mm2,b) 2,c) 1,5N/mm2


a) 55N/mm2, 86Nm,b) 57,5Nm,c) 103N/mm2 bzw. −30N/mm2, 0,053 bzw.−0,029 %, 28 bzw. 118◦

A.9 Kapitel 10

Losung der Aufgabe 10.1dm = 200mm, t= 10mm

Losung der Aufgabe 10.2Fzul = 3,77kN


a) Ierf = 154mm2 U 80,b) d= 27mm

Losung der Aufgabe 10.4F= 175kN

Losung der Aufgabe 10.5mind. 65×9 (σ= 137N/mm2)

Losung der Aufgabe 10.6σ= 92,9N/mm2

A.10 Kapitel 11 379

Losung der Aufgabe 10.7t� 0,875mm

Losung der Aufgabe 10.8tD = 8mm(7,9), pBeul = 0,0585N/mm2

A.10 Kapitel 11


a) σri =−90N/mm2, σti = 150N/mm2, σV max = 240N/mm2,b) p ′

i = 135N/mm2 (11.30), mit β= 1,1 ist nach W. u. B. σV =βp ′i rm/t= 222,5N/mm2


a) da1 = 280mm, da2 = 340mm, da3 = 400mm, σV = 233/252/267N/mm2,b) da1 = 280mm, da2 = 375mm, da3 = 550mm, 0%/25%/54%


Mit N=ESt

ECu

(η2

i +1

η2i −1

−μ

)+

η2a+1

η2a−1

+μ ist

c1 = pi1

η2i −1

−2pi

N

ESt

ECuη2

i1

(η2i −1)2

= 0,14pi,

c2 = −pir2

1

η2i −1

+2pi

N

ESt

ECu

1

(η2i −1)2

= 0,792pir21,

c3 =2pi

N

ESt

ECu

1

(η2i −1)2

1(η2

a−1)2 = 0,522pi ,

c4 = −2pir

2a

N

ESt

ECu

1

(η2i −1)2

1(η2

a−1)2 = −0,522pir2a

im Kupferrohr im Stahlrohrσri = −150N/mm2, σr1 = −98N/mm2,σti = 192N/mm2, σt1 = 254,5N/mm2,σr1 = −98N/mm2, σra = 0N/mm2,σt1 = 140N/mm2, σra = 156,5N/mm2,σV max = 342N/mm2, σV max = 352,5N/mm2


a) Der Ansatz σV = σt−σr fur die Innenwandungen der drei Teilrohre fuhrt auf das Glei-chungssystem

σV = −2p1η2

i

η2i −1

+ 2piη2

η2−1,

σV = 2p1η2

i

η2i −1

− 2p2η2

1

η21−1

+ 2piη2

1η2a

η2−1,

σV = 2p2η2

a

η2a−1

+ 2piη2

a

η2−1


mit den Losungenpi = 372,5N/mm2, p1 = 106,5N/mm2, p2 = 87N/mm2

σri = −372,5N/mm2, σt1 = 27,5N/mm2,σr1 = −261,5N/mm2, σt1 = −84/138,5N/mm2,σr2 = −111N/mm2, σt2 = −12/289N/mm2,σra = 0N/mm2, σta = 178N/mm2,σV max = 785N/mm2,

b) σV = 785N/mm2

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381


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Sachverzeichnis

Abscheren, 217, 238Achse, 5, 130Ausgangsquerschnitt, 18, 24Ausschlagfestigkeit, 61, 66Außendruck, 40, 277, 336, 341Axialdruck, 334

Balken, 5, 79, 99, 119, 141, 238Balkenachse, 79, 99, 101f., 119, 141Baustahl, 18, 23, 308Bauteile, 1

Berechnung, 29ringformige, 38rotationssymmetrische, 341

Beanspruchungdynamische, 58, 217einfache, 257mehrachsige, 294, 303f.ruhende, 58, 61, 217schwellende, 62schwingende, 58statische, 58wechselnde, 62zusammengesetzte, 6, 109, 257, 303

Beanspruchungsart, 2f.Behalter, 40, 277

dunnwandiger, 277kugelformiger, 277zylindrischer, 277, 344dickwandiger, 342

Belastungsfalleeinfache, 29

Belastungskollektiv, 59Bemessung, 68, 105, 113, 165, 203, 222, 227,

349BERNOULLI, 102Beuldruck, 336

Beulen, 6, 319, 334Beulspannung, 334f.Bezugsachse, 80, 88f.Biegebalken, 10, 180Biegebeanspruchung, 99, 103, 109, 188, 205,

238, 245, 260, 308f.dynamische, 126ruhende, 125, 127schwingende, 127

Biegebruch, 245Biegedehngrenze, 125Biegefeder, 161, 164, 220, 331Biegefestigkeit, 126f., 245Biegefließgrenze, 125Biegelinie, 141f., 144, 321, 325

Differentialgleichung 2. Ordnung, 144Differentialgleichung 4. Ordnung, 155

Biegemoment, 10, 79, 100, 125, 141, 173, 258,267, 320

Biegemomentvektor, 119, 120, 168Biegerandspannung, 104Biegespannung, 28, 101f., 104, 109, 120, 123,

125, 141, 161, 166, 235, 322maximale, 109resultierende, 119

Biegesteifigkeit, 144Biegeverformung, 141Biegung, 5, 79, 99, 173, 275

allgemeine, 119gerade, 99, 263querkraftfreie, 100reine, 100, 252schiefe, 119, 168

Blattfeder, 104, 163geschichtete, 116

BOLTZMANN, 200Bruch, 24, 26, 58ff., 65, 125, 322

383


384 Sachverzeichnis

Bruchdehnung, 24Brucheinschnurung, 24Bruchflache, 24, 277Bruchhypothesen, 303Bruchmoment, 125

CASTIGLIANO, 176CAUCHY, 9CLAPEYRON, 176COULOMB, 303

Dauerbruch, 59, 68, 126f., 307f.Dauerfestigkeit, 59f.Dauerfestigkeitsschaubild, 217DE ST. VENANT, 10Dehngrenze, 23, 25, 29, 58

bei nichtproportionaler Dehnung, 23Dehngrenzenverhaltnis, 125Dehnung, 17ff., 47, 102, 141, 268, 294f.,

298ff.beim Bruch, 24bleibende, 23, 25, 125plastische, 65technische, 17

Dehnungsmessung, 300Descartes, 9Dimensionierung, 2, 14Drehmoment, 197f., 342Drehstab, 197, 222Drehstabfeder, 5, 205, 220Dreieckfeder, 116Drillmoment, 197Druck, 6, 14, 125, 193, 262, 275, 278f.Druckbeanspruchung, 4, 14, 27f., 36, 79, 260,

277, 299, 303Druckbeanspruchung schlanker Stabe, 6Druckbehalter, 6, 12, 346f., 351, 353, 357Druckfestigkeit, 29, 125Druckkraft, 125, 261, 319, 322, 324, 329Druckspannung, 8, 14, 27f., 36, 125, 262, 319,

322, 347Druckstab, 4, 14, 35, 277, 319, 325Druckversuch, 27, 29, 304Durchbiegung, 5f., 141f., 166, 179, 188, 253

bei schiefer Biegung, 168kleine, 143resultierende, 168

Durchmesseranderung, 17, 41, 346Durchmesserverhaltnis, 204, 347

Ebenbleiben der Querschnitte, 252Eigengewicht, 45, 47, 49Eigenspannung, 42Einschnurdehnung, 24

Einschnurung, 25elastische Energie, 180elastische Feder, 21elastische Linie, 141Elastizitatsgrenze, 23Elastizitatsmodul, 19, 25f., 142, 144, 200, 332Empfindlichkeitszahl, 66Energiesatz, 162, 220Entlastung, 18Ersatzstreckgrenze, 25EULER, 321EULER’sche Knickkraft, 321EULERbereich, 332EULERkurve, 332, 333EULER’sche Knickkraft, 323exzentrischer Lastangriff, 259

Feder, 21, 116, 221, 227Federkonstante, 21, 74, 163, 164, 221, 227Federkraft, 21Federvolumen, 22Federweg, 21, 227Festigkeitsbedingung, 14, 48, 104, 109, 203,

210, 226, 236, 262, 349Festigkeitsberechnung, 2, 10f., 57, 60, 173,

300, 302, 349Festigkeitshypothese, 302ff.Festigkeitslehre, 1, 2, 7, 10f., 57, 80, 102, 176,

295Aufgabe, 1Berechnungsverfahren, 2Teilaufgaben, 2Ziele, 2

Flachenmoment, 800. Ordnung, 801. Ordnung, 812. Ordnung, 82

axiale, 82Dreieck, 85Kreisring, 84Rechteck, 83Vollkreis, 84

gemischte, 82statische, 81

Flachenpressung, 36, 38Fliehkraft, 51Fließgrenze, 23, 58Formanderungen, 173Formanderungsarbeit, 21, 161, 164, 200, 219,

221, 252spezifische, 22, 161, 164, 201, 219, 221

Formzahl, 64, 217

Sachverzeichnis 385

GALILEI, 303GERBER, 173Gestaltanderung, 295, 305Gestaltanderungsenergie, 304Gleichgewichtsbedingung, 13Gleichgewichtsbedingungen, 173Gleichmaßdehnung, 24Gleitbruch, 303Gleitfestigkeit, 303Gleitmodul, 200Gleitung, 295Gleitwinkel, 200f.Grenzbeanspruchung, 2Grenzschwingspielzahl, 60Grenzspannung, 57ff., 61f., 125f., 217, 302,

306Grundbeanspruchung, 3, 302

Biegebeanspruchung, 5Druckbeanspruchung, 4Knickbeanspruchung, 6Torsionsbeanspruchung, 5Verdrehbeanspruchung, 5Zugbeanspruchung, 3

Grundbeanspruchungsarten, 275

Hauptachsen, 96Hauptdehnung, 295

Richtung, 296Hauptflachenmomente, 97Hauptschnitt, 282Hauptspannung, 282, 288, 295, 342

Berechnung, 288Richtung, 289

Hauptsystem, 174Hencky, 304Hilfskraft, 182Hilfsmoment, 182Hohlkorper

zylindrischer, 40Hohlquerschnitt, 209

dunnwandiger, 208, 210Hohlstab, 204HOOKE, 19HOOKE’sches Gesetz, 19

erweitertes, 295HOOKE’sche Gerade, 19, 27HOOKE’sches Gesetz, 200HUBER, 304Hypothese der großten Gestaltanderungs-

energie, 304f.Hypothese der großten Hauptspannung, 305Hypothese der großten Normalspannung, 303Hypothese der großten Schubspannung, 303,

305

Ingenieurdehnung, 17Ingenieurspannung, 18Innendruck, 40, 277, 279, 345, 347, 350, 351,

353, 356f.innere Schnittkrafte, 7

JOHNSON, 333JOHNSON-Parabel, 333

Korperhomogener, 2isotroper, 2konstanter Beanspruchung, 49

Kastenprofil, 210Kennwerte, 17, 24, 26, 28, 58, 60, 200, 217,

297f., 306Kerbform, 63f., 66Kerbgrund, 64f., 67Kerbspannung, 64f.

wirksame, 66Kerbwirkung, 63, 65f., 68, 109, 119, 126, 217,

303, 308Kerbwirkungszahl, 66, 217Kesselformel, 278Knicken, 319Knickkraft, 319, 322Knicklange, 325Knicksicherheit, 324Knickspannung, 331Knickspannungsdiagramm, 331Kompatibilitatsbedingung, 201Krummung, 141ff., 224Krummungsradius, 64, 102, 141f., 267, 270,

339Kraftangriff

außermittig, 319exzentrischer, 261

Kriechen, 26

Langskraft, 79Lagerreaktion, 173Lame, 303Lastfalle, 61linienformiger Trager, 1Lochleibungsdruck, 38

MAXWELL, 303Mittelspannung, 60MOHR, 284MOHR’SCHER Spannungskreis, 284

Neigungswinkel, 143kleiner, 143

Nennschubspannung, 217

386 Sachverzeichnis

Nennspannung, 63f., 68, 128neutrale Schicht, 101Normalkraft, 258Normalspannung, 8, 13, 197, 257, 275f., 342Nulllinie, 101, 119, 260, 262

Oberflacheneinfluss, 67Oberflachenfaktor, 68Oberflachenziffer, 68Oberspannung, 60offener Profilquerschnitt, 214

Pendelstutze, 185POISSON, 19POISSON’sches Gesetz, 19POISSON’sche Konstante, 19POISSON’sches Gesetz, 28Poissonzahl, 20polares Flachenmoment, 82, 210Presspassungen, 236Pressung, 38, 44, 357ff., 361Prinzip von DE ST. VENANT, 10, 14, 278Profiltrager, 245Proportionalitatsgrenze, 23, 28

Querdehnung, 17, 28Querkontraktion, 17Querkontraktionszahl, 20Querkrafte, 79, 238Querschnittsfaktor, 269Querschnittsverwolbung, 201, 209Quertrager, 185Quetschgrenze, 29

Rahmen, 191Randbedingung

dynamische, 155homogene, 157inhomogene, 157kinematische, 144

Randschubspannung, 202, 205Raumzahl, 164Rechteckquerschnitt, 214

Satz von STEINER, 87Scherbeanspruchung, 4Scherfestigkeit, 236Scherspannung, 235Scherversuch, 236Schlankheitsgrad, 331Schnittgroßen, 7Schnittmethode, 7, 13, 275Schraubenfeder, 224Schrumpfspannungen, 42

Schub, 275Schubbeanspruchung, 4Schubfestigkeit, 277Schubfluss, 210Schubkraft, 250Schubmittelpunkt, 246Schubmodul, 200Schubspannung, 8, 198, 238, 245, 257, 274,

276Schubspannungsverteilung, 202

parabolische, 242Schwellfestigkeit, 62Sicherheit, 2, 57, 307Sicherheitsbeiwert, 57SIEBEL, 67SIMPSON, 270Spannung, 7, 13

technische, 18wirksame, 63zulassige, 57, 218, 307

Spannungs-Dehnungs-Diagramm, 18, 27Spannungsausschlag, 60Spannungsgefalle, 67Spannungsmatrix, 288Spannungstensor, 288Spannungsvektor, 7, 288Spannungszustand, 10

dreiachsiger, 288ebener, 280, 288, 294homogener, 277inhomoger, 277komplexer, 235raumlicher, 288zweiachsiger, 279f., 294

Spiel, 236Stutzwirkung, 65, 125f.Stutzziffer, 65Stabverlangerung, 180Stauchung, 27f.STEINER, 85Stoßziffer, 63Streckgrenze, 24Superpositionsgesetz, 147, 294Superpositionsmethode, 174

Tangentialspannung, 8Teilschwerpunktsatz, 81Tetmajer, 333Thum, 66Torsion, 275Torsionsbeanspruchung, 5, 82, 309Torsionsfeder, 220Torsionsfestigkeit, 217Torsionsfließgrenze, 217

Sachverzeichnis 387

Torsionsmoment, 197Torsionsschubspannung, 198Torsionsschwellfestigkeit, 217Torsionsstab, 197Torsionssteifigkeit, 204, 210Torsionsversuch, 217Torsionswechselfestigkeit, 217Torsionswinkel, 204Trager, 79

schwach gekrummter, 267stark gekrummter, 267

Tragfahigkeit, 14Trennbruch, 302Trennfestigkeit, 277, 303TRESCA, 303

Unterspannung, 60

Verdrehung, 198Verformung, 5f., 267

bleibende, 11elastische, 11plastische, 11, 23

Verformungsbedingungen, 173Verformungsbruch, 303Vergleichsmoment, 307Vergleichsspannung, 251, 258, 304

wirksame, 308Verlangerung, 20Versagen

bleibende Formanderungen, 58Trennbruch, 58

Vertraglichkeitsbedingung, 344Verwolbung, 252Volumenanderung, 298Volumenkrafte, 45VON BACH, 61VON MISES, 304

Wohler, 59

Warmeausdehnungsgesetz, 42Warmeausdehnungskoeffizient, 42Warmedehnung, 329

behinderte, 42Warmespannungen, 42WOHLER, 59WOHLERkurve, 60Wechselfestigkeit, 62Werkstoff

duktiler, 25, 65, 125, 217sproder, 26, 65, 125, 217

Werkstoffkennwert, 297, 306Werkstoffkunde, 2Werkstoffprufung, 2Werkstoffverhalten

duktiles, 303elastisches, 20sprodes, 302

Widerstandsmoment, 104, 202, 210Windungsverhaltnis, 226

Zeitbruchgrenze, 26Zeitdehngrenze, 26Zeitfestigkeit, 61Zerreißen, 17, 25Zug, 6, 14, 125, 262, 275Zugbeanspruchung, 3, 17f., 28, 48, 59, 68, 79,

126, 277, 299, 303Zugfeder, 21, 224Zugfestigkeit, 24, 29, 48, 61, 76, 107, 125, 303Zugkraft, 18, 24, 125Zugspannung, 8, 13, 18, 38, 44, 47, 48, 51,

125, 262, 347Zugstab, 3, 13, 21f., 24, 45ff., 64f., 114, 179,

275, 277, 299Dehnung, 20genormter, 17

Zugversuch, 10, 17f., 25f., 29, 58, 294, 299,351f.

Zusatzsystem, 174

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