ANNO ACCADEMICO 1998-99PROGRAMMA CORSO ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE

INDIRIZZO GENERALE

VITTORIO COTI ZELATI

1. Analisi Reale

1.1. Spazi misurabili e Misure astratte. Le definizioni e le principali proprietadelle -algebre, dei borelliani e delle misure astratte. (2.1 e 2.2 degli appunti)

1.2. La misura di Lebesgue su Rn. Misura esterna di un sottoinsieme di Rn(3.2 degli appunti), Insiemi misurabili secondo Lebesgue (3.3 e 3.4fino al teo-rema 3.4.4 esclusodegli appunti). Insiemi di misura nulla (3.5escluso la di-mostrazione del teorema 3.5.3degli appunti). Insiemi non misurabili (3.7 degliappunti).

1.3. Funzioni misurabili. Definizione di funzione misurabile e misurabile secondoBorel (4.1 degli appunti). Misurabilita della somma, del prodotto del sup fn etc.(4.2 degli appunti). Approssimazione mediante funzioni semplici (Teorema 4.3.2).Approssimazione mediante funzioni continue (teorema di Lusin) (4.3 degli appunti,dal lemma 4.3.6 al corollario 4.3.12 incluso).

1.4. Integrazione. Integrazione di funzioni positive (5.1 degli appunti). Teoremadella convergenza monotona(5.2sino al teorema 5.2.5 inclusodegli appunti)e lemma di Fatou(5.3 degli appunti). Integrazione di funzioni complesse (5.4degli appunti), teorema della convergenza dominata di Lebesgue(5.5saltandolosservazione 5.5.2 e la dimostrazione del teorema 5.5.6 di Vitali-Caratheodorydegli appunti). Legame fra integrazione secondo Riemann e secondo Lebesgue (5.6degli appunti). Molti di questi argomenti si possono anche trovare sul capitolo 1del Rudin.

1.5. Spazi Lp. Diseguaglianza di Jensen, di Holder e di Minkowski. Spazi Lp():completezza, legame fra convergenza Lp e puntuale. Densita delle funzioni continuein Lp, 1 p

PROGRAMMA ISTITUZIONI DI ANALISI 2

1.8. Misure complesse. Definizione di misura complessa. La misura variazionetotale. Il teorema di Radon-Nikodym. Funzionali lineari limitati su Lp (solo enun-ciato). (Capitolo 6 del Rudin, tranne: la dimostrazione del teorema 6.13 e la sezionesul teorema della rappresentazione di Riesz. Il teorema 6.16 va dimostrato solo nelcaso p = 1).

1.9. Integrazione su spazi prodotto. La -algebra S M. Misure prodotto.Teorema di Fubini. Convoluzioni. (Capitolo 7 del Rudin, senza la dimostrazionedel teorema 7.3 e senza le dimostrazioni nella sezione sul completamento di misureprodotto)

1.10. Differenziazione. Differenziabilita di misure. Teorema sulla Differenzia-bilita di misure di Borel . Insieme di Lebesgue di una funzione in L1(Rk). Funzionia variazione limitata e loro legame con le misure di Borel su R. Funzioni asso-lutamente continue. Teorema fondamentale del calcolo integrale. (Capitolo 8 delRudin, tranne: le dimostrazioni prima del teorema 8.8, i teoremi 8.9 e 8.11, ladimostrazione del teorema 8.14 e tutto cio che segue lesempio 8.20)

1.11. Trasformate di Fourier. Trasformate di Fourier in L1(R): definizione eproprieta. Il teorema di inversione. Trasformate di Fourier in L2(R): il teorema diPlancherel. (Capitolo 9 del Rudin, fino alla sezione 9.16, escludendo le dimostrazionidei teoremi 9.2, 9.10 e 9.13)

2. Analisi Complessa

2.1. Funzioni olomorfe. Definizione, serie di potenze. Integrazione su cammini:lindice di un cammino chiuso, il teorema di Cauchy. Rappresentazione medianteserie di potenze. Classificazione delle singolarita. Teoremi di Liouville, del massimomodulo e la diseguaglianza di Cauchy. I residui e applicazioni: teorema di Rouchee teorema fondamentale dellalgebra. (Capitolo 10 del Rudin: tutto prima delladefinizione 10.26, dimostrazione dei teoremi 10.29 e 10.30, enunciato dei teoremi10.31, 10.35 e 10.36)

Testi Consigliati

[1] E. Hewitt and K. Stromberg, Real and abstract analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1965.[2] E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, no. 14, American

Mathematical Society, 1997.

[3] W. Rudin, Analisi reale e complessa, Bollati Borenghieri, Torino, 1966.[4] W. Rudin, Principi di analisi matematica, McGraw-Hill, Milano, 1991.

[5] R. L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and integral, Marcel Dekker, New York, 1977.

1. Analisi Reale1.1. Spazi misurabili e Misure astratte1.2. La misura di Lebesgue su Rn1.3. Funzioni misurabili1.4. Integrazione1.5. Spazi Lp1.6. Spazi di Hilbert1.7. Spazi di Banach1.8. Misure complesse1.9. Integrazione su spazi prodotto1.10. Differenziazione1.11. Trasformate di Fourier

2. Analisi Complessa2.1. Funzioni olomorfe

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