Álgebra Linear e Geometria Analíticaw3.ualg.pt/~mpires/alga/alga1112/auladeterminantes1.pdf ·...

Álgebra Linear e

Geometria Analítica

DETERMINANTES

Permutações

Uma permutaçãoσ = ( p1, p2, p3, … , pn)

dos elementos do conjunto {1, 2, 3, … , n}{1, 2, 3, … , n}

é um arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões

EXEMPLO:

σ = ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) é uma permutação dos elementos do conjunto conjunto

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

EXEMPLO:

σ = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) é a permutação identidade dos elementos do conjunto dos elementos do conjunto

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Paridade de uma permutação

Número de trocas de dois elementos que é necessário efectuar para voltar a pôr os números por ordem.

Permutação par ⇔ número de trocas parPermutação ímpar ⇔ número de trocas ímpar

Como determinar a paridade rapidamente?

Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.



Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2)Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2)



Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2)→

Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 → 31: → 03: 2 → 12: → 0



Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2)→

Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 → 31: → 03: 2 → 12: → 0 (3+0+1+0) = 4



Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2)→

Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 → 31: → 03: 2 → 12: → 0 (3+0+1+0) = 4

σ é par

Sinal de uma permutação

+

=parése σ

σ1

)sgn(−

=ímparése σ

σ1

)sgn(

Exemplos:

σ = (6, 5, 3, 1, 2, 4)paridade: 5 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0 = 11sgn(σ) = -1sgn(σ) = -1

ρ = (1, 3, 2, 4, 6, 5)paridade = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2sgn(ρ) = +1

Produtos elementares:

A é uma matriz quadrada n×n

Chama-se produto elementar da matriz Aa um produto de n entradas da matriz Aa um produto de n entradas da matriz Aque contenha uma entrada de cada linha e de cada coluna de A.a1p1

× a2p2× a3p3

× … × anpn

Exemplos:

σ = (6, 5, 3, 1, 2, 4)

Produto elementar correspondente:a16 × a25 × a33 × a41 × a52 × a64a16 × a25 × a33 × a41 × a52 × a64

ρ = (1, 3, 2, 4, 6, 5)Produto elementar correspondente:a11 × a23 × a32 × a44 × a56 × a65

Produtos elementares assinalados:

A é uma matriz quadrada n×n

Chama-se produto elementar assinalado da matriz A a um produto elementar com da matriz A a um produto elementar com o sinal da permutação correspondente:sign(σ)×a1p1

× a2p2× a3p3

× … × anpn

Com σ = (p1, p2, …, pn )

Exemplos:

σ = (6, 5, 3, 1, 2, 4)

Produto elementar assinalado correspondente:- a16 × a25 × a33 × a41 × a52 × a64- a16 × a25 × a33 × a41 × a52 × a64

ρ = (1, 3, 2, 4, 6, 5)Produto elementar assinalado correspondente:+ a11 × a23 × a32 × a44 × a56 × a65

Determinante de uma matriz:

Determinante da matriz A é a soma de todos os produto elementares todos os produto elementares assinalados de A.Representa-se por det(A)

Matrizes 2×2

Produto

elementar

Permutação

associada

Paridade Produto

elementar

assinalado

a11×a22 (1, 2) par a11×a22a11×a22 (1, 2) par a11×a22

a12×a21 (2, 1) ímpar - a12×a21

Matrizes 2×2

Produto

elementar

Permutação

associada

Paridade Produto

elementar

assinalado

a11×a22 (1, 2) par a11×a22a11×a22 (1, 2) par a11×a22

a12×a21 (2, 1) ímpar - a12×a21

det(A) = a11×a22 - a12×a21

Matrizes 3×3Produto elementar Permutação

associada

Paridade Produto elementar

assinalado

a11×a22×a33 (1, 2, 3) par + a11×a22×a33

a12×a23×a31 (2, 3, 1) par + a12×a23×a31

a13×a21×a32 (3, 1, 2) par + a13×a21×a32a13×a21×a32 (3, 1, 2) par + a13×a21×a32

a13×a22×a31 (3, 2, 1) ímpar - a13×a22×a31

a12×a21×a33 (2, 1, 3) ímpar - a12×a21×a33

a11×a23×a32 (1, 3, 2) ímpar - a11×a23×a32

Matrizes 3×3Produto elementar Permutação

associada

Paridade Produto elementar

assinalado

a11×a22×a33 (1, 2, 3) par + a11×a22×a33

a12×a23×a31 (2, 3, 1) par + a12×a23×a31

a13×a21×a32 (3, 1, 2) par + a13×a21×a32

a ×a ×a (3, 2, 1) ímpar - a ×a ×aa13×a22×a31 (3, 2, 1) ímpar - a13×a22×a31

a12×a21×a33 (2, 1, 3) ímpar - a12×a21×a33

a11×a23×a32 (1, 3, 2) ímpar - a11×a23×a32

det(A) = a11×a22×a33 + a12×a23×a31 + a13×a21×a32 –– a13×a22×a31 – a12×a21×a33 – a11×a23×a32

Regra prática para determinantes 3×3

112

121

det Regra de Sarrus

211

112det Regra de Sarrus(versão por linhas)


( )

121

121112211

211

112

121

det −××+××+××=

112

121

211

112

121


( )

( )111111222

121112211

211

112

121

det

××+××+××−

−××+××+××=

( )

112

121

211

112

121

111111222 ××+××+××−


( )

( )111111222

121112211

211

112

121

det

−=−=

=××+××+××−

−××+××+××=

112

121

211

112

121

4106 −=−=


112

121

det Regra de Sarrus

211

112det Regra de Sarrus(versão por colunas)


( )121112211

211

112

121

det −××+××+××=

11211

12112

21121

211


( )121112211

211

112

121

det −××+××+××=

( )

11211

12112

21121

111111222

211

××+××+××−

A REGRA DE SARRUS

ATENÇÃO

A REGRA DE SARRUS SÓ É VÁLIDA PARA MATRIZES 3×3

Determinantes de matrizes especiais

Se A é diagonal:det(A) = a11 × a22 × … × ann



Em particular:det(I) = 1det(I) = 1det(O) = 0



Em particular: det(I) = 1Em particular: det(I) = 1det(O) = 0

Se A é escalar e o elemento da diagonal é k então:

det(A) = kn


Se A é triangular (superior ou inferior):

det(A) = a × a × … × adet(A) = a11 × a22 × … × ann

Propriedades dos determinantes:

1. det(A) = det(AT)

2. Se A tem uma linha (ou coluna) nula então det(A) = 0então det(A) = 0

3. Se B é obtida de A trocando 2 linhas (ou colunas) então det(B) = - det(A)

4. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais então det(A) = 0


5. Se B é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por αentão det(B) = α det(A)

6. Se A tem uma linha (ou coluna) múltipla doutra então det(A) = 0

7. det(αA) = αn det(A)


8. Se L1, …, Li, …, Ln são as linhas de A e Li = L’i + L’’i então

L1

L1

det(A) = det + det

n

i

L

L

M

M

'

n

i

L

L

M

M

''


9. A mesma propriedade para as colunas

10. det(AB) = det(A) det(B)10. det(AB) = det(A) det(B)

11. A é invertível se e só se det(A) ≠ 0 (e se e só se car(A) = n)

12. Se A é invertível então det(A-1)= )det(

1

A

Efeitos das operações elementares no determinante:

• Operações tipo I

Trocando duas linhas o determinante muda o sinal

EXEMPLO

−

−=

−

162

510

963

det

162

963

510

det


• Operações tipo II

Multiplicar uma linha por um escalar não nulo

EXEMPLO

−=

−

162

321

510

det3

162

963

510

det


• Operações tipo III

Adicionar a uma linha outra multiplicada por um escalar

EXEMPLO

133 2

5100

510

321

det

162

510

321

det

LLL −←

−

−

=

−

Cálculo do determinante pelo método de eliminação:

162

510

321

det3

162

321

510

det3

162

963

510

det =

−

−=

−=

−

( ) ( ) 165553

5500

510

321

det3

5100

510

321

det3

162162162

=−×−=

−

−

−=

−

−

−

Cálculo do determinante pelo teorema de Laplace:

• Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por Aij

• Chama-se Complemento Algébrico de aij ao número (-1)i+j Aij e representa-se por ijA

EXEMPLO

−−

−

−

=

722

281

532

A

( )

( ) 341ˆ3428

53det

31ˆ372

21det

31

13

3131

12

21

1212

−=−=⇒−=

=

−=−=⇒=

−

−=

+

+

AAA

AAA

Teorema de Laplace

• Para cada linha k:

knknkkkk AaAaAaA ˆˆˆ)det( 2211 +++= L

• Para cada coluna j:

knknkkkk 2211

njnjjjjj AaAaAaA ˆˆˆ)det( 2211 +++= L

Observações

• O Teorema de Laplace permite calcular odeterminante de uma matriz de ordem natravés do cálculo de determinantes de ordemn-1;n-1;

• Deve-se escolher a linha ou coluna com maiszeros;

• Usar primeiro operações elementares sobrelinhas para obter uma coluna com mais zerose só depois o Teorema de Laplace sobre essacoluna.

EXEMPLO:

−−

−

−−

1211

1121

1112

1111

det

1211

EXEMPLO:

−

−

−−

=

−−

−

−−

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det

EXEMPLO:

( )

−

−

××−=

−

−

−−

=

−−

−

−−

+

032

221

113

det11

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det11

EXEMPLO:

( )

−

=

−

−

××−=

−

−

−−

=

−−

−

−−

+

221

032

221

113

det11

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det11

−

−

−=

032

113

221

det

EXEMPLO:

( )

− −

=

−

−

××−=

−

−

−−

=

−−

−

−−

+

221221

032

221

113

det11

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det11

−

−

−

−=

−

−

−=

470

770

221

det

032

113

221

det

EXEMPLO:

( ) =

−

−

××−=

−

−

−−

=

−−

−

−−

+

032

221

113

det11

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det11

03201211

( )

−

−××−−=

−

−

−

−=

−

−

−=+

47

77det11

470

770

221

det

032

113

221

det11

EXEMPLO:

( ) =

−

−

××−=

−

−

−−

=

−−

−

−−

+

032

221

113

det11

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det11

03201211

( )

( ) 214928

47

77det11

470

770

221

det

032

113

221

det11

−=+−−

=

−

−××−−=

−

−

−

−=

−

−

−=+

Inversa de uma matriz usando determinantes

• Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos:

= ijAA ˆˆ

• Matriz adjunta da matriz A:

• Matriz inversa de A:

TAAAdj ˆ)( =

)(det

11 AAdjA

A =−

EXEMPLO:

( ) [ ] ( ) [ ]

( ) [ ] ( ) [ ] 11det1ˆ22det1ˆ

33det1ˆ44det1ˆ

43

21

22

22

12

21

21

12

11

11

=−=−=−=

−=−==−=

=

++

++

AA

AA

A

−

−=

12

34A

EXEMPLO:

( ) [ ] ( ) [ ]

( ) [ ] ( ) [ ] 11det1ˆ22det1ˆ

33det1ˆ44det1ˆ

43

21

22

22

12

21

21

12

11

11

=−=−=−=

−=−==−=

=

++

++

AA

AA

A

−

−==

−

−=

13

24ˆ)(

12

34ˆ T

AAadjA

EXEMPLO:

( ) [ ] ( ) [ ]

( ) [ ] ( ) [ ] 11det1ˆ22det1ˆ

33det1ˆ44det1ˆ

43

21

22

22

12

21

21

12

11

11

=−=−=−=

−=−==−=

=

++

++

AA

AA

A

−

==

−

=24

ˆ)(34

ˆ AAadjAT

−

−−=

−=−=

−

==

−

=

−

13

24

2

1

264)det(

13ˆ)(

12ˆ

1A

A

AAadjAT

EXEMPLO:

( ) [ ] ( ) [ ]

( ) [ ] ( ) [ ] 11det1ˆ22det1ˆ

33det1ˆ44det1ˆ

43

21

22

22

12

21

21

12

11

11

=−=−=−=

−=−==−=

=

++

++

AA

AA

A

−

−==

−

−=

13

24ˆ)(

12

34ˆ AAadjA

T

−

−

=

−

−−=

−=−=

−

==

−

=

−

2

1

2

3

12

13

24

2

1

264)det(

13)(

12

1A

A

AAadjA

Álgebra Linear e Geometria Analíticaw3.ualg.pt/~mpires/alga/alga1112/auladeterminantes1.pdf ·...

Documents

Transcript of Álgebra Linear e Geometria Analíticaw3.ualg.pt/~mpires/alga/alga1112/auladeterminantes1.pdf ·...