Veri cação experimental da lei de...

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P (T )= σAT 4 , σ =5.67 × 10 -8 -2 -4 A T M -1 -2 -2 M (T )= σT 4 . M λ (λ, T )= 2πhc 2 λ 5 (e hc/λk B T ) - 1 , M λ (λ, T ) h c k B T (λ, T )= M λ (λ, T ) M λ,cn (λ, T ) ,

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Vericação experimental da lei de

Stefan-Boltzmann

3 de Novembro de 2005

Resumo

Nesta experiência verica-se a validade da lei de Stefan-Boltzmann através da mediçãoda densidade de uxo de energia emitida pelo lamento de uma lâmpada a diferentestemperaturas

1 Introdução

Já vimos que a potência emitida por um corpo negro é

P (T ) = σAT 4, (1)

em que σ = 5.67 × 10−8 Wm−2K−4 é a constante de Stefan-Boltzmann, A é aárea radiante e T a temperatura do corpo negro. Denindo a exitância radianteM como a energia radiante emitida por unidade de tempo e unidade de área(Js−1m−2=Wm−2), temos

M(T ) = σT 4. (2)

Vimos também que a lei de Planck dá a distribuição espectral da radiação docorpo negro:

Mλ(λ, T ) =2πhc2

λ5(ehc/λkBT )− 1, (3)

em que Mλ(λ, T ) é a exitância radiante espectral, h é a constante de Planck, cé a velocidade da luz e kB a constante de Boltzmann. A integração de (3) emtodos os comprimentos de onda dá (2).

Para um corpo qualquer em equilíbrio térmico à temperatura T , a potênciaemitida é, em geral, inferior àquela que seria emitida se fosse um corpo negro.Dene-se então a emissividade espectral,

ε(λ, T ) =Mλ(λ, T )

Mλ,cn(λ, T ), (4)

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em que o subscripto cn quer dizer corpo negro. Para um corpo não negrotemos então

Mλ(λ, T ) = ε(λ, T )Mλ,cn(λ, T ). (5)

Devido à depedência adicional em λ através de ε(λ, T ), a integração de (5) emtodos os comprimentos de onda não conduz a uma expressão do tipo (2). Assim, alei de Planck não é válida para um corpo qualquer. No entanto, se a emissividadenão depender de λ,

ε(λ, T ) = ε(T ), (6)

então

Mλ(λ, T ) = ε(T )Mλ,cn(λ, T ) = ε(T )2πhc2

λ5(ehc/λkBT )− 1. (7)

Um corpo cuja emissividade é independente ddo comprimento de onda chama-secorpo cinzento. A exitância espectral de um corpo cinzento é proporcional àde um corpo negro a uma dada temperatura, isto é, a uma dada temperatura oespectro da radiação emitida por um corpo cinzento é obtido a partir do espectrodo corpo negro por uma simples multiplicação. No entanto, como ε = ε(T ), essaproporcionalidade varia com a temperatura, ou seja, pode ser, por exemplo, 0.7para 5000 K e 0.6 para 3000 K.

A integração de (7) em todos os comprimentos de onda dá de novo a lei deStefan-Boltzmann a menos da emissividade constante:

M(T ) = ε(T )σT 4. (8)

Isto quer dizer que, em geral, a exitância de um corpo cinzento não varia com T 4,devido à dependência adicional introduzida por ε(T ). Em muitos casos, porém, aemissividade de um corpo cinzento depende muito pouco de T , pelo menos numadada gama de temperaturas, pelo que podemos tomar

ε(T ) = ε = constante. (9)

Note-se que ε(T ) só pode variar entre 0 e 1 e portanto, para a maior parte doscasos a variação de ε só se dá numa gama relativamente estreita, por exemplo, 0.3-0.7 entre 1000 K e 5000 K. Fica claro que a variação de ε com T é necessariamentelenta. Podemos então escrever

M(T ) = εσT 4 ≡ σ′T 4, (10)

o que é a lei de Stefan-Boltzmann com uma constante diferente, σ′ = εσ.No nosso trabalho vamos usar o lamento de tungsténio de uma lâmpada

como corpo cinzento. Verica-se que para o lamento de tungsténio ε varia entre0.4 e 0.5. O nosso objectivo é vericar que a exitância do lamento depende deT 4.

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2 A experiência

A montagem experimental para a vericação da lei de Stefan-Boltzmann estáilustrada na gura 1. Os dois componentes centrais da montagem são uma lâm-pada, cujo lamento é um corpo cinzento, e uma termopilha de Moll, que é uminstrumento que mede a potência óptica recebida através da sua janela.

Figura 1: Montagem experimental para a vericação da lei de Stefan-Boltzmann.

2.1 Relação entre a resistência e a temperatura do la-mento

Como o objectivo é comprovar a dependência da exitância do lamento em T 4 háque variar a temperatura do lamento e saber medi-la. É para isso que serve ocircuito da esquerda. A fonte de tensão é variável e vai fornecer valores de tensãocrescentes à lâmpada (de 1 a 8 VAC em passos de 1 VAC). A temperatura dalâmpada aumenta com a tensão aplicada. Assim, à medida que se vai aumentandoa tensão aplicada à lâmpada vai aumentando a temperatura do lamento. Masde que forma?

É bem conhecido que a resistência de um condutor varia com a temperatura deforma muito aproximadamente linear em intervalos pequenos. Costuma escrever-se para um condutor

R(T ) = R0(1 + α∆T ), (11)

em que R0 é a resistência à temperatura T0 (assumidas conhecidas), R(T ) éa resistência que se quer conhecer, à temperatura T , ∆T = T − T0 e α é o

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metal/liga α (oC−1)Cu 0.0038W 0.0045Ni 0.006Fe 0.005Pt 0.003

latão (0.7 Cu + 0.3 Zn) 0.00020constantan (0.6 Cu + 0.4 Ni) 0.00001ferro-níquel (0.75 Fe + 0.25 Ni) 0.00009

Tabela 1: Valores do coeciente de temperatura da resistividade para váriosmetais e ligas

coeciente de temperatura da resistividade, que tem unidades oC−1. Ocoeciente α está tabelado para vários condutores e ligas na tabela 1.

Da análise desta tabela vericamos que os metais têm um valor de α bastantemaior do que o das ligas, o que quer dizer que a sua resistência varia muito maiscom a temperatura. Por isso ps metais podem ser usados para fazer termómetroscom base na variação da resistência. Por outro lado as ligas são mais indicadasem aplicações onde a resistência deve variar o menos possível com a temperatura.

Vericamos facilmente que a expressão (11) corresponde a uma expansão deTaylor da função R(T ) em torno do ponto R0. Assim, podemos reescrever estaexpressão na forma

R(T ) = R(T0) +dR

dT

∣∣∣∣∣T=T0

(T − T0) +1

2!

d2R

dT 2

∣∣∣∣∣T=T0

(T − T0)2 + . . .

= R(T0)[1 + α∆T + β(∆T )2 + . . .

], (12)

onde se deniu

α =dR/dT |T=T0

R(T0)e β =

d2R/dT 2|T=T0

2R(T0). (13)

Como a gama de temperaturas que vamos usar é bastante alargada deve-mos usar a expansão de Taylor em segunda ordem, e portanto a expressão queefectivamente vamos usar para relacionar R e T é (12). Na verdade vamosainda reescrever esta expressão de uma forma ligeiramente diferente. Vamosassumir que T0 = 300oK, que é basicamente a temperatura ambiente, e portanto∆T = T − T0 = T − 300 = τ , em que τ representa a diferença de temperaturarelativamente à temperatura ambiente, e portanto vale o mesmo em graus Celsiusou em Kelvin. Assim, a expressão nal ca

R(τ) = R0(1 + ατ + βτ 2). (14)

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Para a lâmpada de tungsténio que vamos usar obteve-se o gráco da gura 2.Note-se que nesta gura temos a temperatura absoluta nas abcissas, T , e nãoτ (basta notar que a T = 300 K temos R/R0, que na gura é denotado porRT /R300, igual a 1. Isto quer dizer que o eixo das abcissas tem mesmo T e nãoτ ; se tivesse τ abcissas teríamos R/R0 = 1 em τ = 0).

Figura 2: Valores de R(τ)/R0 para o lamento que vamos usar na experiência(Note-se que nesta gura temos a temperatura absoluta nas abcissas, T , e nãoτ).

A gura 3 mostra uma regressão quadrática a alguns pontos retirados dagura 2. Nas abcissas já se usa o valor de τ = T − 300.

Da gura podemos ver que os valores de α e β são

α = 0.00471 oC−1 e β = 3.53× 10−7 oC−2. (15)

Estes valores correspondemmais ou menos aos vaores tabelados para o tungsténio.Na prática a construção da lâmpada inuencia o valor deste coecientes e por-tanto uma lâmpada de outro fabricante poderá ter valores ligeiramente diferentespara α e β.

A partir da razão R(τ)/R0 podemos então determinar T , a partir de

T = 300 +1

√√√√α2 + 4β

(R(τ)

R0

− 1

)− α

. (16)

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Figura 3: REgressão quadrática a alguns dos valores da gura 2. As abcissas játêm o valor de τ

2.2 Determinação da temperatura do lamento a 300 K(R0)

O circuito da esquerda da gura 1 serve precisamente para medir a resitência dolamento através dos valores da corrente através do lamento e tensão aos seusextremos. Tendo então R(T ) podemos inverter (14) para obter T se conhecermosR0.

Então, antes de tudo precisamos de determinar o valor da resistência do la-mento aos 300 K. Em princípio bastaria fazer a medida à temperatura ambientee pronto.

Mas o problema é que para medir a resistência do lamento temos semprede lhe fazer passar uma corrente e medir a ddp aos seus terminais. Temos deter cuidado em não fazer passar uma corrente muito elevada porque senão o la-mento começa a aquecer e a medida da resistência não é efectivamente realizadaà temperatura ambiente mas sim a uma temperatura mais elevada.

Temos então de garantir que na medição de R0, à temperatura ambiente,o lamento é alimentado com uma corrente muito pequena, de forma a não oaquecer. O circuito para a medição da resistência à temperatura ambiente estána gura 4.

A resistência de 82 Ω é introduzida para limitar a corrente. A fonte agoraempregue é uma fonte DC variável. Varia-se a tensão da fonte de forma a obtercorrentes de 100 mA a 200 mA em passos de 25 mA, por exemplo, e mede-se aqueda de tensão aos terminais do lamento a estas correntes. A resistência dolamento é obtida através do declive do gráco V × I. Se o ajuste aos pontos

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Figura 4: Montagem experimental para a determinação de R(τR).

da curva não for uma boa recta, então é porque os efeitos não lineares ligados aoaquecimento já estão presentes. Neste caso é necessário reduzir a gama de valoresou começar em valores mais pequenos da corrente.

2.3 Usando a termopilha. I: o que é uma termopilha?

Uma parte importante da experiência está relacionada com a utilização de umatermopilha, para medir a potência radiante emitida pelo lamento. Convém entãocomeçar por compreender genericamente como funciona uma termopilha

Uma termopilha de Moll, é constituída por um conjunto de termoparesem série e que dá uma tensão proporcional à potência óptica que entra atravésda sua janela.

Devemos então começar por ver o que é um termopar. Um termopar é umtransdutor conceptualmente simples que se baseia no efeito de Seeback, quediz o seguinte:

Se dois os de metais diferentes forem unidos pelas suas extremi-dades, formando um circuito, e se as duas junções forem mantidas atemperaturas diferentes, uma corrente eléctrica passará no circuito.

O efeito de Seeback está ilustrado na gura 5.Para que haja uma corrente no circuito é porque tem de haver uma força

electromotriz. Realmente assim é, gera-se uma força electromotriz entre as duasjunções, e é essa f.e.m. que vai originar a corrente.

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Figura 5: Efeito de Seebeck.

A força electromotriz de Seeback é proiporcional à diferença de temperaturaentre as duas junções,

VAB = SAB∆T, (17)

em que SAB é o coeciente de Seeback relativo aos metais A e B.Assim, um termopar é constituído por dois os de metais diferentes unidos

pelas duas extremidades. Uma das junções ca no ponto cuja temperatura sepretende avaliar e a outra é mantida a uma temperatura xa (por exemplo, gelofundente). Como se viu, devido à diferença de temperatura das duas junções,gera-se uma força electromotriz termoeléctrica que provoca a passagem dumacorrente eléctrica no circuito, pelo efeito de Seeback. Esta corrente pode entãoser medida por um amperímetro introduzido no circuito ou por um voltímetrotambém introduzido no circuito, tornando-o aberto e permitindo medir a tensãoentre as duas junções.

É isso que está patente na gura 6 a): o circuito do termopar é aberto paraintroduzir um voltímetro.

Na gura 6b) vemos o esquema de uma termopilha: é constituída por termo-pares ligados em série. As junções do lado direito estão em contacto térmico comum bloco de material absorvente preto que está à temperatura T1; as junções daesquerda estão a uma temperatura xa e bem conhecida T1, geralmente a tem-peratura ambiente, já que o meio ambiente funciona como um de calor. A placaabsorvente está bem isolada do resto da termopilha. Mas isto não quer dizer quea placa absorvente não perca calor por condução para o corpo da termopilha.Essa condução dá-se, mas como é pequena a temperatura da placa atinge umponto de equilíbrio acima da temperatura ambiente.

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Figura 6: a) termopar. b) termopilha

A radiação térmica incidente na pilha aquece a placa absorvente e as junçõesnela embutidas. A temperatura da placa é tanto maior quanto maior a potênciaincidente. Assim, a tensão gerada na série de termopares é também tanto maiorquanto maior a potência incidente na termopilha. Veremos na secção seguinte quea diferença de temperatura nas junções da termopilha é realmente proporcionalà potência incidente.

2.4 Usando a termopilha. II: Medição da exitância do l-amento

Para comprovar (10) resta medir a exitância, já que a temperatura é determinadaatravés da resistência do lamento. Para medir a exitância do lamento vamosusar uma termopilha de Moll, que é constituída por um conjunto de termoparesem série e que dá uma tensão proporcional à potência óptica que entra atravésda sua janela. Ora, a potência óptica que entra na termopilha é proporcional àexitância do lamento. Basta ver que a potência total emitida será Pt = AM ,em que A é a área radiante do lamento e M a sua exitância. A potência emitidapor unidade de ângulo sólido será Pt/4π e se dΩ for o ângulo sólido subtendidopela janela da termopilha, então a potência que chega à termopilha, Ptp, é

Ptp = PtdΩ

4π=

AdΩ

4πM =

AdΩ

4πεσT 4 ≡ aT 4, (18)

em que se deniu a constante

a =AdΩ

4πεσ. (19)

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Vejamos agora como será o sinal da termopilha. O sinal da termopilha é propor-cional à diferença de temperatura entre as junções "quentes"e as junções "frias".Assumindo que as junções quentes estão a uma temperatura Ttp e que as junçõesfrias estão à temperatura ambiente T0, o sinal da termopilha será da forma

Vtp = S(Ttp)(Ttp − T0), (20)

em que S(Ttp) é o coeciente de Seeback que resulta da associação em série dostermopares.

Como se determina Ttp? Através da equação de balanço energético. No equi-líbrio a potência que entra tem de ser igual à potência que sai. Quanto à potênciaque entra, além da radiação do lamento, a termopilha também recebe a radiaçãoproveniente do meio ambiente, que está à temperatura T0, e a radiação que vemdo vidro da lâmpada, que está a uma dada temperatura Tv. Quanto à potên-cia que sai, temos a perda de calor por condução e por radiação. Escrevemosportanto

aT 4 + bT 40 + cT 4

v = dT 4tp + K(Ttp − T0), (21)

em que a, b ,c, d e são dados coecientes constantes [a está dado em (19)]. Oúltimo termo é o termo de perda de calor por condução, e K tem dimensões deW/K (relembrar a experiência da condutividade térmica).

A resolução exacta desta equação em ordem a Ttp é complicada. No entantotemos razões fortes para desprezar o termo de radiação, dT 4

tp, face ao de condução,K(Ttp − T0). Com efeito, se iluminarmos a termopilha com uma luz ténue, deforma a depositar uma energia dQ, então a temperatura da placa da termopilhasubirá de acordo com

∆Q = mCp(Ttp − T0) (22)

(em que m é a massa e Cp a capacidade caloríca do material da placa da ter-mopilha). A pequena subida de temperatura fará com que a termopilha passea radiar uma potência dT 4

tp, em vez de dT 40 , antes da incidência de luz (porque

antes da incidência de luz, Ttp = T0). Usando ainda o mesmo facto podemosescrever que (21) ca, sem incidência de luz (usar Ttp = T0 na expressão)

bT 40 = dT 4

0 . (23)

Portanto esperamos que em (21) bT 40 ≈ dT 4

tp para iluminação fraca e que os doistermos se cancelem aproximadamente. Assim, podemos desprezar o termo deradiação dT 4

tp enquanto a temperatura da placa da termopilha não subir muito.Em resumo, se Ttp ≈ T0, (21) pode escrever-se muito aproximadamente

aT 4 + cT 4v = K(Ttp − T0). (24)

De (20) vem então

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Vtp = S(Ttp)(Ttp − T0) =S(Ttp)

K(aT 4 + cT 4

v ). (25)

Esta expressão mostra que o potencial gerado pela termopilha é realmente pro-porcional à potência exterior incidente.

2.5 Vericação da lei de Stefan-Boltzmann

Chegados a este ponto, podemos ainda distinguir dois casos:

2.5.1 Caso 1: Tv T

A temperatura do vidro depende da temperatura do lamento e da temperaturaambiente. Mais precisamente, esperamos que

Tv = Tv(T − T0) = Tv(τ). (26)

Se estivermos a trabalhar com temperaturas elevadas e se na gama de trabalhose vericar

T 4 Tv(τ)4, (27)

então podemos desprezar o termo cTv(τ)4 em (25) e escrever simplesmente

Vtp = aT 4. (28)

Portanto, se se zer o gráco de ln Vtp por ln T obtém-se

ln Vtp = ln a + 4 ln T, (29)

ou seja, deve obter-se um declive de 4. Na prática obter-se-á um declive próximoe espera-se que o desvio relativamente a 4 esteja dentro do erro experimental.

2.5.2 Caso 2: T 4v não se pode despezar face a T 4

Neste caso o que há a fazer é medir Tv(τ) (colocando um termopar na superfícieda lâmpada) e fazer um t da forma

Tv(T − T0) = T0 + A(T − T0) + B(T − T0)2. (30)

Introduzindo em (25) temos

Vtp = aT 4 + cTv(T − T0)4 = aT 4 + c[T0 + A(T − T0) + B(T − T0)

2]4. (31)

O procedimento é então procurar um ajuste do tipo

Vtp = aT ε + c[T0 + A(T − T0) + B(T − T0)2]ε, (32)

determinando o melhor valor de ε, que em princípio estará perto de 4 (A e B jáestão bem determinados neste passo).

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3 Protocolo

3.1 Material

1 fonte 20 VDC, 8 A, 3 multímetros (o 3o é para o caso de ser necessaário ampli-car a saída da termopilha), lâmpada de lamento 12V/5A, amplicador (se fornecessário), termopilha de Moll, resistência de 82 Ω, bancada óptica, 1 multímetrocom termopar.

3.2 Procedimento

1. Monte o circuito da gura 4. Fixe a corrente em 100 mA e faça a leitura dovoltímetro. Repita para 125, 150, 175 e 200 mA. Faça o gráco de V por I.É uma recta? Que indica isso? Qual o valor da resistência à temperaturaambiente?

2. Monte o circuito fa gura 2 no carril óptico. O lamento deve car a umadistância de 30 cm da termopilha e o seu eixo deve ser perpendicular ao eixodo carril. O amplicador pode ser necessário se a tensão da termopilha formuito pequena (existem dois modelos nosso laboratório e pelo menos umdeles precisa de amplicação). A saída do amplicador é por sua vez ligadaa um voltímetro para a leitura do sinal. Para um ganho de 103 ou 104 deveusar-se este voltímetro na escala de 10 V.

3. Monte a extremidade do termopar num suporte e encoste o termopar àlâmpada de forma a fazer bom contacto.

4. Comece por fazer uma leitura do fundo, isto é, uma leitura da tensão datermopilha na ausência do lamento. Esta leitura dá a contribuição daradiação que possa estar a ser emitida por fontes distantes e deverá serretirada às leituras seguintes. Faça também a leitura da temperatura atravésdo termopar.

5. Volte a colocar o lamento na posição e aplique uma tensão de 1 VDC.O valor da tensão e corrente permite de novo determinar a resistência dolamento. Essa resistência é denotada por R(τ) (τ = T − 300, em queT é a temperatura do lamento em Kelvin, a determinar). Determine atemperatura absoluta do lamento, T = 300 + τ , através da inversão de(14):

T = 300 +1

√√√√α2 + 4β

(R(τ)

R0

− 1

)− α

. (33)

6. Faça a leitura da temperatura do bolbo da lâmpada para esta tensão. Es-pere que o valor da leitura no multímetro estabilize (pode demorar algunsminutos).

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7. Faça ainda a leitura da tensão da termopilha, Vtp. A termopilha tambémdeve atingir o equilíbrio, e isso demora cerca de 1 minuto. Deve tomar-se muita atenção para que as condições de medição não se alterem; emparticular deve manter as condições de iluminação ambiente inalteradas.

8. Aumente a tensão para 1.5 VDC e repita o procedimento.

9. Varie a voltagem em passos de 0.5 VDC até aos 12 VDC.

10. Repita todo procedimento mais duas vezes, de forma a ter três réplicas dasmedições. Calcule para cada ponto a média e o desvio médio.

3.3 Tratamento dos dados

3.3.1 Desprezando a contribuição do vidro da lâmpada

O tratamento mais simples consiste em desprezar a inuência do vidro da lâm-pada. Sendo assim, de acordo com (28) e (29) temos

Vtp = aT 4. (34)

eln Vtp = ln a + 4 ln T, (35)

pelo que o declive do gráco ln Vtp× ln T deve ter declive 4. Na prática, o decliveencontrado através da regressão linear é a determinação experimental do expoenteda lei de Stefan-Boltzmann.

A condição para que se possa desprezar o efeito do vidro é que T Tv.Isto quer dizer que Vtp = aT 4 não deve ser verdade para temperaturas baixas.Assim, é previsível que o resultado da determinação só seja bom se se ignoraremos pontos experimentais correspondentes às temperaturas mais baixas. Devemportanto apresentar-se duas regressões, uma com todos os pontos, e outra comos pontos correspondentes às temperaturas mais altas.

Calcule os declives e os erros nos declives. Os intervalos de erro contém ovalor esperado?

3.3.2 Incluindo a contribuição do vidro da lâmpada

Neste caso usamos a expressão mais completa, (25),

Vtp = S(Ttp)(Ttp − T0) =S(Ttp)

K(aT 4 + cT 4

v ) ≡ k1T4 + k2T

4v , (36)

em que k1 e k2 são constantes. Só podemos fazer um ajuste a esta expressãose exprimirmos Tv em função de T . Para isso usam-se os dados do termopar deforma a encontrar uma relação entre a temperatura do vidro e a temperatura dolamento. Essa relação deverá ser da forma

Tv(T − T0) = T0 + A(T − T0) + B(T − T0)2. (37)

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Introduzindo em esta expressão em (36) passamos a ter uma expressão que já sódepende de T :

Vtp = k1T4 + k2T

4v = k1T

4 + k2[T0 + A(T − T0) + B(T − T0)2]4. (38)

O procedimento é então procurar um ajuste do tipo

Vtp = k1Tε + k2[T0 + A(T − T0) + B(T − T0)

2]ε. (39)

O ajuste devolve os valores dos parâmetros k1, k2 e ε. ESte último correspondeà determinação experimental do expoente da lei de Stefan-Boltzmann. Espera-seque esta determinação seja melhor do que a realizada na secção anterior.

Figura 7: Joseph Stefan (1835-1893)

Figura 8: Ludwig Boltzmann (1844-1906)

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