∆ιανυσµατικήανάλυσηlegacy.cup.gr/Files/files/chapters/electro-ch01.pdf6...

Κεφάλαιο 1

∆ιανυσmicroατική ανάλυση

11 ∆ιανυσmicroατική άλγεβρα

111 Πράξεις microε διανύσmicroατα

Αν περπατήσετε 4 microίλια προς τον βορρά και microετά 3 microίλια προς την ανατολή (Σχ 11)θα έχετε διανύσει συνολικά 7 microίλια αλλά δεν θα βρεθείτε σε 7 microίλια απόσταση από τοσηmicroείο που ξεκινήσατε ndash θα βρεθείτε microόνο σε 5 Χρειαζόmicroαστε microία άλγεβρα που ναπεριγράφει τέτοια microεγέθη τα οποία προφανώς δεν προστίθενται microε τον συνηθισmicroένοτρόπο Ο λόγος φυσικά που κάτι τέτοιο δεν συmicroβαίνει είναι ότι οι microετατοπίσεις (ταευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα που συνδέουν ένα σηmicroείο microε ένα άλλο) έχουν όχι microόνο μέγεθος(microήκος ή microέτρο) αλλά και κατεύθυνση και είναι ουσιώδες και τα δύο αυτά χαρακτη-ριστικά να λαmicroβάνονται υπrsquo όψη όταν τις προσθέτετε Τέτοιου είδους αντικείmicroεναονοmicroάζονται διανύσmicroατα άλλα παραδείγmicroατα είναι η ταχύτητα η επιτάχυνση η δύ-ναmicroη και η ορmicroή Αντιθέτως ποσότητες που έχουν microέγεθος αλλά όχι κατεύθυνσηονοmicroάζονται βαθmicroωτά Παραδείγmicroατα είναι η microάζα το φορτίο η πυκνότητα και ηθερmicroοκρασία

Τα διανύσmicroατα θα τα συmicroβολίζω microεπαχιά γράmicromicroατα (AB κλπ) ενώ τα βαθmicroωτά

3 mi

5 mi4

mi

Σχήmicroα 11

minusAA

Σχήmicroα 12

1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

θα τα συmicroβολίζω microε πεζά γράmicromicroατα Το microέγεθος του διανύσmicroατος A γράφεται |A| ήπιο απλά A Στα διαγράmicromicroατα τα διανύσmicroατα συmicroβολίζονται microε βέλη το microήκος τουβέλους αντιστοιχεί στο microέγεθος του διανύσmicroατος και η microύτη του βέλους δείχνει τηνκατεύθυνσή του Το μείον A (minusA) είναι ένα διάνυσmicroα microε microέγεθος ίσο microε του A αλλάmicroε αντίθετη κατεύθυνση (Σχ 12) Σηmicroειώστε ότι τα διανύσmicroατα έχουν microέγεθος καικατεύθυνση αλλά δεν έχουν συγκεκριμένη θέση microία microετατόπιση 4 microιλίων βόρεια τηςΟυάσιγκτον παριστάνεται από το ίδιο διάνυσmicroα microε microία microετατόπιση 4 microιλίων βόρεια τηςΒαλτιmicroόρης (αν αγνοήσουmicroε βέβαια την καmicroπυλότητα της επιφάνειας της Γης) Σrsquoένα διάγραmicromicroα λοιπόν microπορείτε να microετατοπίζετε το βέλος όπως θέλετε από τη στιγmicroήπου δεν αλλάζετε το microήκος του ή την κατεύθυνσή του (παράλληλη microετατόπιση)

Ορίζουmicroε τέσσερις πράξεις microε διανύσmicroατα την πρόσθεση και τα τρία είδη τουπολλαπλασιασmicroού

(i) Πρόσθεση δύο διανυσmicroάτων Τοποθετήστε την ουρά του B στη microύτη του Aτο άθροισmicroα A+B είναι το διάνυσmicroα που δείχνει από την ουρά του A στη microύτη τουB (Σχ 13) (Ο κανόνας αυτός αποτελεί γενίκευση της ευνόητης διαδικασίας συνδυα-σmicroού δύο microετατοπίσεων) Η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική

A+B = B+A

3 microίλια ανατολικά microετά από 4 microίλια βόρεια σας οδηγούν στο ίδιο σηmicroείο microε 4 microίλιαβόρεια microετά από 3 microίλια ανατολικά Η πρόσθεση είναι επίσης προσεταιριστική

(A+B) +C = A+ (B+C)

Για να αφαιρέσετε ένα διάνυσmicroα (Σχ 14) προσθέστε το αντίθετό του

AminusB = A+ (minusB)

A

A

B

B

(A+B)(B+A)

Σχήmicroα 13

minusB

A(AminusB)

Σχήmicroα 14

(ii) Πολλαπλασιασmicroός microε ένα βαθmicroωτό Ο πολλαπλασιασmicroός ενός διανύσmicroατοςmicroε ένα θετικό βαθmicroωτό microέγεθος a πολλαπλασιάζει το μέτρο του αφήνει όmicroως τηνκατεύθυνσή του ανέπαφη (Σχ 15) (Αν το a είναι αρνητικό η φορά αντιστρέφεται)Ο πολλαπλασιασmicroός microε βαθmicroωτό είναι επιμεριστικός

a(A+B) = aA+ aB

11 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 3

A

2A

Σχήmicroα 15

B

A

θ

Σχήmicroα 16

(iii) Εσωτερικό γινόmicroενο δύο διανυσmicroάτων Το εσωτερικό γινόmicroενο δύο διανυ-σmicroάτων ορίζεται από την

A middotB equiv AB cos θ (11)

όπου θ είναι η γωνία που σχηmicroατίζουν τα διανύσmicroατα αν ενωθούν οι ουρές τους (Σχ 16)Παρατηρήστε ότι το A middotB είναι ένα βαθμωτό microέγεθος (εξ ου και η εναλλακτική ονο-microασία βαθmicroωτό γινόmicroενο) Το βαθmicroωτό γινόmicroενο είναι αντιμεταθετικό

A middotB = B middotAκαι επιμεριστικό

A middot (B+C) = A middotB+A middotC (12)

Γεωmicroετρικά το A middotB είναι το γινόmicroενο του A επί το microήκος της προβολής του B στονάξονα του A (ή το γινόmicroενο του B επί το microήκος της προβολής του A στον άξονα τουB) Αν τα δύο διανύσmicroατα είναι παράλληλα τότε A middot B = AB Συγκεκριmicroένα γιακάθε διάνυσmicroα A

A middotA = A2 (13)

Αν τα A και B είναι κάθετα τότε A middotB = 0

Παράδειγmicroα 11

Θέστε C = AminusB (Σχ 17) και υπολογίστε το εσωτερικό γινόmicroενο του C microε τον εαυτότου

Λύση

C middotC = (AminusB) middot (AminusB) = A middotAminusA middotBminusB middotA+B middotBή

C2 = A2 +B2 minus 2AB cos θ

Η ισότητα αυτή ονοmicroάζεται νόmicroος των συνηmicroιτόνων

(iv) Εξωτερικό γινόmicroενο δύο διανυσmicroάτων Το εξωτερικό γινόmicroενο δύο διανυ-σmicroάτων ορίζεται από την

AtimesB equiv AB sin θ n (14)


B

CA

θ

Σχήmicroα 17

B

A

θ

Σχήmicroα 18

όπου το n είναι ένα microοναδιαίο διάνυσmicroα (διάνυσmicroα microε microήκος 1) microε διεύθυνση κάθετηστο επίπεδο που ορίζουν τα A και B (Θα χρησιmicroοποιώ ένα καπελάκι (ˆ) για να συmicro-βολίζω τα microοναδιαία διανύσmicroατα) Υπάρχουν φυσικά δύο κατευθύνσεις που είναικάθετες σε οποιοδήποτε επίπεδο η laquoπρος τα microέσαraquo και η laquoπρος τα έξωraquo Η κατεύθυν-ση του n αποσαφηνίζεται microε τον κανόνα του δεξιού χεριού τοποθετήστε τα δάχτυλάσας κατά microήκος της κατεύθυνσης του πρώτου διανύσmicroατος και κλείστε την παλάmicroησας (microέσω της microικρότερης γωνίας) προς το microέρος του δεύτερου ndash ο αντίχειράς σαςτότε δείχνει την κατεύθυνση του n (Στο Σχ 18 το A times B δείχνει προς τα μέσα στησελίδα ενώ το B timesA δείχνει έξω από τη σελίδα) Παρατηρήστε ότι το A times B είναικαι αυτό ένα διάνυσμα (εξ ου και η εναλλακτική ονοmicroασία διανυσmicroατικό γινόmicroενο)Το εξωτερικό γινόmicroενο είναι επιμεριστικό

Atimes (B+C) = (AtimesB) + (AtimesC) (15)

αλλά όχι αντιμεταθετικό Πράγmicroατι

(BtimesA) = minus(AtimesB) (16)

Γεωmicroετρικά το |AtimesB| είναι το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου microε πλευρές τα Aκαι B (Σχ 18) Αν δύο διανύσmicroατα είναι παράλληλα το εξωτερικό τους γινόmicroενοείναι microηδέν Συγκεκριmicroένα

AtimesA = 0

για κάθε διάνυσmicroα A

Πρόβληmicroα 11

Χρησιmicroοποιώντας τους ορισmicroούς των σχέσεων (11) και (14) και κατάλληλα σχήmicroαταδείξτε ότι το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόmicroενο είναι επιmicroεριστικά

(α) όταν τα τρία διανύσmicroατα είναι συνεπίπεδα

(β) στη γενική περίπτωση

Πρόβληmicroα 12 Είναι το εξωτερικό γινόmicroενο προσεταιριστικό

(AtimesB)timesC= Atimes (BtimesC)

Αν είναι αποδείξτε το αν όχι δώστε ένα αντιπαράδειγmicroα


(α)x

y

zx

y

z

(β)x

Axx

Ayy

Azz

y

z

A

Σχήmicroα 19

112 Η διανυσmicroατική άλγεβρα υπό microορφή συνιστωσών

Στην προηγούmicroενη παράγραφο όρισα τις τέσσερις διανυσmicroατικές πράξεις (πρόσθεσηπολλαπλασιασmicroό microε βαθmicroωτό εσωτερικό γινόmicroενο και εξωτερικό γινόmicroενο) χωρίςαναφορά σε κάποιο συγκεκριmicroένο σύστηmicroα συντεταγmicroένων Στην πράξη είναι συχνάευκολότερο να χρησιmicroοποιούmicroε τις καρτεσιανές συντεταγmicroένες x y z και να εργαζό-microαστε microε τις laquoσυνιστώσεςraquo των διανυσmicroάτων Έστω ότι τα x y και z είναι microοναδιαίαδιανύσmicroατα παράλληλα microε τους άξονες x y και z αντίστοιχα (Σχ 19(α)) Κάθεδιάνυσmicroα A microπορεί να εκφραστεί συναρτήσει αυτών των microοναδιαίων διανυσmicroάτωνβάσης (Σχ 19(β)) ως εξής

A = Axx+Ayy +Az z

Οι αριθmicroοί Ax Ay και Az ονοmicroάζονται συνιστώσες του A Γεωmicroετρικά είναι οιπροβολές τουA πάνω στους τρεις άξονες συντεταγmicroένων Μπορούmicroε τώρα να επανα-διατυπώσουmicroε κάθε microία από τις τέσσερις διανυσmicroατικές πράξεις microε κανόνες πράξεωνmicroεταξύ των συνιστωσών

A+B = (Axx+Ayy +Az z) + (Bxx+Byy +Bzz)

= (Ax +Bx)x+ (Ay +By)y + (Az +Bz)z (17)

(i) Κανόνας Για να προσθέσετε διανύσματα προσθέστε τις αντίστοιχες συνιστώσες

aA = (aAx)x + (aAy)y + (aAz)z (18)

(ii) Κανόνας Για να πολλαπλασιάσετε με ένα βαθμωτό πολλαπλασιάστε με αυτότην κάθε συνιστώσαΕπειδή τα microοναδιαία διανύσmicroατα x y και z είναι κάθετα το ένα στο άλλο

x middot x = y middot y = z middot z = 1 x middot y = x middot z = y middot z = 0 (19)

Κατά συνέπεια

A middotB = (Axx+Ayy +Az z) middot (Bxx+Byy +Bz z)

= AxBx +AyBy +AzBz (110)


(iii) Κανόνας Για να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο πολλαπλασιάστε τις αν-τίστοιχες συνιστώσες και προσθέστε τα γινόμεναΕιδικότερα

A middotA = A2x +A2

y +A2z

οπότεA =

radicA2

x +A2y +A2

z (111)

(Αυτή είναι αν προτιmicroάτε η τριδιάστατη γενίκευση του Πυθαγόρειου Θεωρήmicroατος)Παρατηρήστε ότι το εσωτερικό γινόmicroενο του A microε οποιοδήποτε μοναδιαίο διάνυσmicroαισούται microε τη συνιστώσα του A κατά microήκος της κατεύθυνσης του microοναδιαίου διανύ-σmicroατος (έτσι A middot x = AxA middot y = Ay και A middot z = Az)

Παροmicroοίως1

xtimes x = y times y = ztimes z = 0

xtimes y = minusytimes x = z

y times z = minusztimes y = x

ztimes x = minusxtimes z = y (112)

Εποmicroένως

AtimesB = (Axx+Ayy +Az z)times (Bxx+Byy +Bzz) (113)

= (AyBz minusAzBy)x+ (AzBx minusAxBz)y + (AxBy minusAyBx)z

Η έκφραση αυτή που είναι δύσκολο να τη θυmicroάται κανείς microπορεί να γραφτεί πιονοικοκυρεmicroένα υπό microορφή ορίζουσας

AtimesB =

∣∣∣∣∣∣x y zAx Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣ (114)

(iv) Κανόνας Για να βρείτε το εξωτερικό γινόμενο υπολογίστε την ορίζουσα που ηπρώτη γραμμή της είναι τα x y z η δεύτερή της γραμμή αποτελείται από τις συνιστώσεςτου A και η τρίτη της γραμμή από τις συνιστώσες του B


Βρείτε τη γωνία που σχηmicroατίζουν δύο διαγώνιοι διαδοχικών εδρών ενός κύβου

Λύση Μπορούmicroε να θεωρήσουmicroε έναν κύβο που η πλευρά του έχει microήκος 1 (χωρίςαπώλεια της γενικότητας) και να τον τοποθετήσουmicroε όπως φαίνεται στο Σχ 110 microε τη

1Τα πρόσηmicroα αυτά χαρακτηρίζουν ένα δεξιόστροφο σύστηmicroα συντεταγmicroένων (Σrsquo ένα τέτοιο σύστηmicroαόταν ο άξονας x δείχνει έξω από τη σελίδα ο άξονας y δείχνει προς τα δεξιά και ο άξονας z προς τα πάνωΚάθε άλλο δεξιόστροφο σύστηmicroα προκύπτει microε microια σειρά διαδοχικών περιστροφών του συστήmicroατος αυτούγύρω από κάποιους άξονες στο χώρο) Σε οποιοδήποτε αριστερόστροφο σύστηmicroα τα πρόσηmicroα αντιστρέφον-ται xtimes y = minusz και ούτω καθrsquo εξής Θα χρησιmicroοποιούmicroε αποκλειστικά δεξιόστροφα συστήmicroατα


microια γωνία του στην αρχή των αξόνων Οι διαγώνιοι A και B των εδρών του σχήmicroατοςείναι

A = 1 x+ 0 y + 1 z B = 0 x+ 1 y + 1 z

z

θA

B(0 0 1)

y(0 1 0)

x (1 0 0)

Σχήmicroα 110

Έτσι υπό microορφή συνιστωσών

A middotB = 1 middot 0 + 0 middot 1 + 1 middot 1 = 1

Εξάλλου από τον ορισmicroό του εσωτερικού γινοmicroένου έχουmicroε

A middotB = AB cos θ =radic2radic2 cos θ = 2 cos θ

Εποmicroένωςcos θ = 12 ή θ = 60

Μπορείτε φυσικά να βρείτε την απάντηση και microε ευκολότερο τρόπο σχεδιάζοντας τηδιαγώνιο της πάνω έδρας του κύβου οπότε σχηmicroατίζεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο Σεπεριπτώσεις όmicroως που η γεωmicroετρία του σχήmicroατος δεν είναι τόσο απλή το τέχνασmicroα τηςσύγκρισης των δύο σχέσεων υπολογισmicroού του εσωτερικού γινοmicroένου microπορεί να βοηθήσειπολύ αποτελεσmicroατικά στην εύρεση γωνιών

Πρόβληmicroα 13 Βρείτε τη γωνία που σχηmicroατίζουν οι εσωτερικές διαγώνιοι ενός κύβου

Πρόβληmicroα 14Χρησιmicroοποιήστε το εξωτερικό γινόmicroενο για να βρείτε τις συνιστώσες τουmicroοναδιαίου διανύσmicroατος n που είναι κάθετο στο επίπεδο του Σχ 111

113 Τριπλά γινόmicroενα

Αφού το εξωτερικό γινόmicroενο δύο διανυσmicroάτων είναι και αυτό ένα διάνυσmicroα microπορού-microε να ορίσουmicroε το εσωτερικό ή το εξωτερικό του γινόmicroενο microε ένα τρίτο διάνυσmicroασχηmicroατίζοντας έτσι ένα τριπλό γινόmicroενο


x

y

z

n

12

3

Σχήmicroα 111

BC

A

θn

Σχήmicroα 112

(i) Το βαθmicroωτό τριπλό γινόmicroενο A middot (B times C) Γεωmicroετρικά το |A middot (B times C)|είναι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου microε πλευρές τα A B και C αφού |BtimesC| είναιτο εmicroβαδόν της βάσης και |A cos θ| είναι το ύψος (Σχ 112) Προφανώς λοιπόν lowast

A middot (BtimesC) = B middot (CtimesA) = C middot (AtimesB) (115)

αφού όλα αντιστοιχούν στο ίδιο σχήmicroα Παρατηρήστε ότι τηρείται laquoαλφαβητικήraquo σει-ρά ndash τα τριπλά γινόmicroενα που δεν τηρούν την αλφαβητική σειρά

A middot (CtimesB) = B middot (AtimesC) = C middot (BtimesA)

λόγω της Εξίσωσης (16) έχουν αντίθετο πρόσηmicroο Υπό microορφή συνιστωσών

A middot (BtimesC) =

∣∣∣∣∣∣Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣ (116)

Παρατηρήστε ότι το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόmicroενο microπορούν να αντιmicroετατίθεν-ται

A middot (BtimesC) = (AtimesB) middotC

(αυτό συνάγεται άmicroεσα από την (115)) η τοποθέτηση των παρενθέσεων εν τούτοιςείναι πολύ σηmicroαντική η έκφραση (A middotB)timesC δεν έχει κανένα απολύτως νόηmicroα ndash δενmicroπορείτε να σχηmicroατίσετε το εξωτερικό γινόmicroενο ενός διανύσmicroατος και ενός βαθμωτού

(ii) Το ∆ιανυσmicroατικό Τριπλό Γινόmicroενο Atimes(BtimesC) Ο τύπος του διανυσmicroατικούτριπλού γινοmicroένου γίνεται πιο ευκολοmicroνηmicroόνευτος microε τον λεγόmicroενο κανόνα BACndashCAB

Atimes (BtimesC) = B(A middotC)minusC(A middotB) (117)

Παρατηρήστε ότι το

(AtimesB)timesC = minusCtimes (AtimesB) = minusA(B middotC) +B(A middotC)

lowastΟι ισότητες στην (115) προκύπτουν microε κυκλική microετάθεση των διανυσmicroάτων (ΣτΜ)


είναι ένα τελείως διαφορετικό διάνυσmicroα Παρεmicroπιπτόντως όλα τα ανώτερα διανυ-σmicroατικά γινόmicroενα microπορούν να απλοποιηθούν microε παρόmicroοιο τρόπο συνήθως microε κατrsquoεπανάληψη εφαρmicroογή της (117) έτσι ώστε να microην είναι αναγκαίο microια έκφραση ναπεριέχει περισσότερα του ενός διανυσmicroατικά γινόmicroενα σε κάθε όρο Για παράδειγmicroα

(AtimesB) middot (CtimesD) = (A middotC)(B middotD)minus (A middotD)(B middotC)

Atimes (Btimes (CtimesD)) = B(A middot (CtimesD)) minus (A middotB)(CtimesD) (118)

Πρόβληmicroα 15Αποδείξτε τον κανόνα BACndashCAB γράφοντας και τα δύο microέλη υπό microορφήσυνιστωσών

Πρόβληmicroα 16 Αποδείξτε ότι

[Atimes (BtimesC)] + [Btimes (CtimesA)] + [Ctimes (AtimesB)] = 0

Κάτω από ποιες συνθήκες είναι Atimes (BtimesC) = (AtimesB)timesC

114 ∆ιανύσmicroατα θέσης microετατόπισης και απόστασης

Η θέση ενός σηmicroείου στις τρεις διαστάσεις microπορεί να προσδιοριστεί από τις καρτεσια-νές του συντεταγmicroένες (x y z) Το διάνυσmicroα που έχει ως αρχή την αρχή των αξόνωνκαι τέλος το εν λόγω σηmicroείο (Σχ 113) λέγεται διάνυσmicroα θέσης

r equiv x x + y y + z z (119)

Για το διάνυσmicroα θέσης θα χρησιmicroοποιήσω το σύmicroβολο r σε όλο το βιβλίο Το microέτροτου

r =radicx2 + y2 + z2 (120)

ισούται microε την απόσταση από την αρχή των αξόνων και

r =r

r=x x+ y y + z zradicx2 + y2 + z2

(121)

είναι ένα microοναδιαίο διάνυσmicroα που δείχνει ακτινικά προς τα έξω Το απειροστό διά-νυσmicroα microετατόπισης από το (x y z) στο (x+ dx y + dy z + dz) είναι

dl = dx x+ dy y + dz z (122)

(Θα microπορούσαmicroε να το συmicroβολίσουmicroε microε dr καθώς περί αυτού πρόκειται αλλά έναειδικό σύmicroβολο για τις απειροστές microετατοπίσεις είναι χρήσιmicroο)

Στην ηλεκτροδυναmicroική συναντάmicroε συχνά προβλήmicroατα που αφορούν δύο σηmicroείαndash συνήθως ένα σηmicroείο πηγής rprime όπου βρίσκεται ένα ηλεκτρικό φορτίο και ένα ση-microείο πεδίου r στο οποίο υπολογίζουmicroε το ηλεκτρικό ή το microαγνητικό πεδίο (Σχ 114)


r

ry

z

z

yxx

(x y z)

O

Σχήmicroα 113

r

r

r

σημείο πηγής

σημείο πεδίου

O

Σχήmicroα 114

Συmicroφέρει να υιοθετήσουmicroε από την αρχή ένα συντοmicroογραφικό σύmicroβολο για το διάνυ-σmicroα απόστασης από το σηmicroείο πηγής microέχρι το σηmicroείο πεδίου Για αυτόν τον σκοπόθα χρησιmicroοποιήσω το γράmicromicroα r

r equiv rminus rprime (123)

Το microέτρο του είναιr = |rminus rprime| (124)

και το microοναδιαίο διάνυσmicroα microε κατεύθυνση από το rprime προς το r είναι

Or =rr=

rminus rprime

|rminus rprime| (125)

Σε καρτεσιανές συντεταγmicroένες

r = (x minus xprime)x + (y minus yprime)y + (z minus zprime)z (126)

r =radic(xminus xprime)2 + (y minus yprime)2 + (z minus zprime)2 (127)

Or =(xminus xprime)x+ (y minus yprime)y + (z minus zprime)zradic(xminus xprime)2 + (y minus yprime)2 + (z minus zprime)2 (128)

(απrsquo όπου microπορεί κανείς να εκτιmicroήσει το πλεονέκτηmicroα του συνοπτικού συmicroβολισmicroού)

Πρόβληmicroα 17 Βρείτε το διάνυσmicroα απόστασης r από το σηmicroείο πηγής (287) microέχρι τοσηmicroείο πεδίου (468) Υπολογίστε το microέτρο του (r) και κατασκευάστε το microοναδιαίοδιάνυσmicroα Or

115 Πώς microετασχηmicroατίζονται τα διανύσmicroατα

Ο ορισmicroός ενός διανύσmicroατος σαν laquoποσότητα microε microέτρο και κατεύθυνσηraquo δεν είναι εξολοκλήρου ικανοποιητικός Τι ακριβώς σημαίνει laquoκατεύθυνσηraquo2 Η ερώτηση αυτή

2Η ενότητα αυτή microπορεί να παραλειφθεί χωρίς απώλεια συνέχειας


microπορεί να φαίνεται σχολαστική σύντοmicroα όmicroως θα συναντήσουmicroε ένα είδος παραγώ-γου που microάλλον μοιάζει microε διάνυσmicroα οπότε θα θέλαmicroε να ξέρουmicroε αν πράγmicroατι είναιδιάνυσmicroα Έχετε συνηθίσει ίσως να νοmicroίζετε πως οτιδήποτε έχει τρεις συνιστώσεςπου προστίθενται κατάλληλα είναι ένα διάνυσmicroα Σκεφτείτε όmicroως το εξής Έχουmicroεένα κασόνι microε φρούτα που περιέχει Nx αχλάδια Ny microήλα και Nz microπανάνες Είναιάραγε τοN = Nxx+Nyy+Nzz διάνυσmicroα Έχει πράγmicroατι τρεις συνιστώσες και όταντο προσθέσετε microε ένα άλλο κασόνι που έχειMx αχλάδιαMy microήλα καιMz microπανάνεςτο αποτέλεσmicroα είναι (Nx +Mx) αχλάδια (Ny +My) microήλα και (Nz +Mz) microπανάνεςΆρα προστίθεται σαν διάνυσmicroα Σίγουρα όmicroως δεν είναι διάνυσmicroα microε τον τρόπο πουένας φυσικός εννοεί αυτή τη λέξη διότι δεν έχει κάποια κατεύθυνση Πού ακριβώςυστερεί

Η απάντηση είναι ότι τοN δεν μετασχηματίζεται κατάλληλα όταν αλλάζετε τις συν-τεταγμένες Το σύστηmicroα συντεταγmicroένων που χρησιmicroοποιούmicroε για να περιγράφουmicroε τιςθέσεις στον χώρο είναι βεβαίως τελείως αυθαίρετο υπάρχει όmicroως ένας συγκεκριmicroέ-νος γεωmicroετρικός νόmicroος microετασχηmicroατισmicroού που microετατρέπει τις διανυσmicroατικές συνιστώ-σες από το ένα σύστηmicroα στο άλλο Υποθέστε για παράδειγmicroα ότι το σύστηmicroα x y zέχει στραφεί κατά γωνία φ περί τον κοινό άξονα x = x ως προς το σύστηmicroα x y zΑπό το Σχ 115 έχουmicroε

Ay = A cos θ Az = A sin θ

ενώ

Ay = A cos θ = A cos(θ minus φ) = A(cos θ cosφ+ sin θ sinφ)

= cosφAy + sinφAz

Az = A sin θ = A sin(θ minus φ) = A(sin θ cosφminus cos θ sinφ)

= minus sinφAy + cosφAz

Το αποτέλεσmicroα αυτό microπορεί να εκφραστεί υπό microορφή πινάκων(Ay

Az

)=

(cosφ sinφminus sinφ cosφ

)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115


Γενικότερα ο νόmicroος microετασχηmicroατισmicroού για περιστροφή γύρω από κάποιον αυθαί-ρετο άξονα στον χώρο παίρνει τη microορφή⎛

⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)

ή συντοmicroότερα

Ai =3sum

j=1

RijAj (131)

όπου ο δείκτης 1 είναι για το x ο 2 για το y και ο 3 για το z Τα στοιχεία του πίνακα Rmicroπορούν να προσδιοριστούν για microια δεδοmicroένη περιστροφή microε γεωmicroετρική microέθοδοπαρόmicroοια microε εκείνη που χρησιmicroοποιήσαmicroε για την περιστροφή γύρω από τον άξονα x

Τώρα Οι συνιστώσες του N microετασχηmicroατίζονται microε τον ίδιο τρόπο Βεβαίως όχι ndashόποιες συντεταγmicroένες και να χρησιmicroοποιήσετε για να αναπαραστήσετε τις θέσεις στονχώρο θα υπάρχει πάντα η ίδια ποσότητα microήλων στο κασόνι ∆εν microπορείτε να microετα-τρέψετε ένα αχλάδι σε microπανάνα χρησιmicroοποιώντας ένα διαφορετικό σύστηmicroα αξόνωνμπορείτε όmicroως τοAx να το microετατρέψετε σεAy Τυπικά λοιπόν ένα διάνυσμα είναι έναοποιοδήποτε σύνολο τριών συνιστωσών που μετασχηματίζεται όταν αλλάζουν οι συντε-ταγμένες ακριβώς όπως οι συνιστώσες μιας μετατόπισης Ως γνωστόν η microετατόπισηείναι το πρότυπο συμπεριφοράς για όλα τα διανύσmicroατα

Παρεmicroπιπτόντως ένας τανυστής (δεύτερης τάξης) είναι ένα microαθηmicroατικό αντικεί-microενο microε εννιά συνιστώσες Txx Txy Txz Tyx Tzz για το microετασχηmicroατισmicroό τωνοποίων απαιτείται δύο φορές η δράση του πίνακα R

T xx = Rxx(RxxTxx +RxyTxy +RxzTxz)

+Rxy(RxxTyx +RxyTyy +RxzTyz)

+Rxz(RxxTzx +RxyTzy +RxzTzz)


T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)

Εν γένει ένας τανυστής τάξης n έχει n δείκτες και 3n συνιστώσες και microετασχηmicroα-τίζεται αν δράσουmicroε πάνω του n φορές microε τον πίνακα R Στην ιεραρχία αυτή έναδιάνυσmicroα είναι τανυστής τάξης 1 και ένα βαθmicroωτό είναι τανυστής τάξης 0


(α) Αποδείξτε ότι ο διδιάστατος πίνακας στροφής (129) διατηρεί το μήκος του A (∆η-λαδή δείξτε ότι AyBy + AzBz = AyBy + AzBz)

(β) Ποιους περιορισmicroούς πρέπει να ικανοποιούν τα στοιχεία (Rij) του τριδιάστατου πί-νακα στροφής (130) προκειmicroένου να διατηρούν το microήκος του A (για όλα τα A)

12 ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 13

Πρόβληmicroα 19 Βρείτε τον πίνακα microετασχηmicroατισmicroού R που περιγράφει microία στροφή 120

γύρω από έναν άξονα που περνάει από την αρχή των αξόνων και από το σηmicroείο (1 1 1)Η στροφή γίνεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού καθώς κοιτάτε κατά microήκοςτου άξονα προς την αρχή


(α) Πώς microετασχηmicroατίζονται οι συνιστώσες ενός διανύσmicroατος σε microία ευθύγραmicromicroη microετα-φορά των αξόνων (πχ x = x y = y minus a z = z Σχ 116(α))

(β) Πώς microετασχηmicroατίζονται οι συνιστώσες ενός διανύσmicroατος σε microία αντιστροφή τωνσυντεταγmicroένων (x = minusx y = minusy z = minusz Σχ 116(β))(γ) Πώς microετασχηmicroατίζεται το εξωτερικό γινόmicroενο (113) δύο διανυσmicroάτων σε microία αντι-στροφή (Το εξωτερικό γινόmicroενο δύο διανυσmicroάτων δικαιολογηmicroένα ονοmicroάζεται ψευδο-διάνυσmicroα λόγω αυτής της laquoανώmicroαληςraquo συmicroπεριφοράς του) Το εξωτερικό γινόmicroενο δύοψευδοδιανυσmicroάτων είναι διάνυσmicroα ή ψευδοδιάνυσmicroα Κατονοmicroάστε δύο ψευδοδιανυ-σmicroατικές ποσότητες της κλασικής microηχανικής

(δ) Πώς microετασχηmicroατίζεται σε microια αντιστροφή το βαθmicroωτό τριπλό γινόmicroενο τριών διανυ-σmicroάτων (Ένα τέτοιο αντικείmicroενο ονοmicroάζεται ψευδοβαθmicroωτό)

y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116

12 ∆ιαφορικός λογισmicroός

121 laquoΣυνήθειςraquo παράγωγοι

Ερώτηση Υποθέστε ότι έχουmicroε microία συνάρτηση microιας microεταβλητής f(x) Τι microας δίνει ηπαράγωγός της dfdx Απάντηση Μας λέει πόσο γρήγορα microεταβάλλεται η συνάρτησηf(x) όταν αλλάζουmicroε τη microεταβλητή x κατά ένα απειροστό ποσό dx

df =

(df

dx

)dx (133)

Με λόγια Αν αλλάξουmicroε την x κατά ένα dx τότε η f αλλάζει κατά ένα df η παρά-γωγος είναι ο συντελεστής αναλογίας Για παράδειγmicroα στο Σχ 117(α) η συνάρτηση


microεταβάλλεται αργά καθώς αλλάζει η x και η παράγωγος είναι κατrsquo αντιστοιχία microικρήΣτο Σχ 117(β) η f αυξάνεται γρήγορα microε την x και η παράγωγος γίνεται microεγάληκαθώς αποmicroακρύνεστε από το σηmicroείο x = 0

Γεωμετρική ερμηνεία Η παράγωγος dfdx είναι η κλίση της καmicroπύλης f(x)

x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση

Υποθέστε στη συνέχεια ότι έχουmicroε microία συνάρτηση τριών microεταβλητών ndash σαν τη θερ-microοκρασία ας πούmicroε T (x y z) σε ένα δωmicroάτιο (Ξεκινώντας από microία γωνία του δω-microατίου τοποθετήστε ένα σύστηmicroα αξόνων η T τότε θα δίνει τη θερmicroοκρασία κάθεσηmicroείου microε συντεταγmicroένες (x y z) στο δωmicroάτιο) Θέλουmicroε να γενικεύσουmicroε την έν-νοια της laquoπαραγώγουraquo για συναρτήσεις όπως η T που εξαρτώνται όχι από μία αλλάαπό τρεις microεταβλητές

Υποτίθεται τώρα ότι η παράγωγος microας λέει πόσο γρήγορα microεταβάλλεται microία συ-νάρτηση όταν microετακινηθούmicroε κατά microία microικρή απόσταση Εδώ όmicroως το πρόβληmicroαείναι πιο πολύπλοκο διότι προφανώς η παράγωγος θα εξαρτάται και από την κατεύ-θυνση προς την οποία θα κινηθούmicroε Αν πάmicroε προς τα πάνω (προς την οροφή) ηθερmicroοκρασία πιθανώς να αυξηθεί αρκετά γρήγορα αλλά αν κινηθούmicroε οριζοντίωςmicroπορεί να microην αλλάξει καθόλου Εν ολίγοις η ερώτηση laquoΠόσο γρήγορα microεταβάλλε-ται η T (x y z)raquo έχει ένα άπειρο πλήθος απαντήσεων microία για κάθε κατεύθυνση πουεπιλέγουmicroε να εξερευνήσουmicroε

Ευτυχώς το πρόβληmicroα δεν είναι τόσο πολύπλοκο όσο φαίνεται Σύmicroφωνα microε έναθεώρηmicroα για τις microερικές παραγώγους

dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)

Ο κανόνας αυτός microας λέει πόσο microεταβάλλεται η T αν αλλάξουmicroε τις τρεις microεταβλητέςκατά απειροστά ποσά dx dy και dz Παρατηρήστε ότι δεν χρειαζόmicroαστε άπειρο πλή-θος παραγώγων ndash τρεις microόνο φτάνουν οι μερικές παράγωγοι κατά microήκος κάθε microιαςαπό τις τρεις κατευθύνσεις των αξόνων

Η Εξίσωση (134) φέρνει στο νου ένα εσωτερικό γινόmicroενο

dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)middot (dx x + dy y + dz z)


= (nablaT ) middot (dl) (135)

όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)

είναι η κλίση της T είναι microία διανυσματική ποσότητα microε τρεις συνιστώσες και απο-τελεί τη γενίκευση της παραγώγου που αναζητούmicroε Η Εξίσωση (135) είναι η τριδιά-στατη εκδοχή της (133)

Γεωμετρική Ερμηνεία της Κλίσης Όπως κάθε διάνυσmicroα η κλίση έχει μέτρο καικατεύθυνση Για να προσδιορίσουmicroε το γεωmicroετρικό της νόηmicroα ας ξαναγράψουmicroε τοεσωτερικό γινόmicroενο (135) στη γενική microορφή

dT = nablaT middot dl = |nablaT ||dl| cos θ (137)

όπου θ είναι η γωνία microεταξύ των nablaT και dl Κρατώντας τώρα σταθερό το μέτροτου |dl| και διερευνώντας τις διάφορες κατευθύνσεις (microεταβάλλοντας δηλαδή την θ)είναι προφανές ότι η μέγιστη microεταβολή της T παρατηρείται στην κατεύθυνση θ = 0(αφού τότε θα είναι cos θ = 1) Συνεπώς microε το |dl| σταθερό το dT παίρνει τη microέγιστητιmicroή του αν κινηθώ προς την κατεύθυνση του nablaT Έτσι

Η κλίση nablaT δείχνει προς την κατεύθυνση της μέγιστης αύξησης της συνάρ-τησης T

Επιπλέον

Το μέτρο |nablaT | μας δίνει την κλίση (δηλαδή τον ρυθμό αύξησης) της T στηνκατεύθυνση αυτή της μέγιστης αύξησής της

Φανταστείτε ότι βρίσκεστε στην πλαγιά ενός λόφου Κοιτάξτε γύρω σας και βρεί-τε προς ποια κατεύθυνση η ανάβαση είναι δυσκολότερη Αυτή είναι η κατεύθυνση τηςκλίσης Μετρήστε τώρα την κλίση της πλαγιάς προς αυτή την κατεύθυνση (το πηλίκοτου ύψους προς το αντίστοιχο microήκος) Αυτό είναι το μέτρο της κλίσης (Η συνάρτησηγια την οποία microιλάmicroε εδώ είναι το ύψος του λόφου και οι συντεταγmicroένες από τις οποίεςεξαρτάται είναι ας πούmicroε το γεωγραφικό microήκος και το γεωγραφικό πλάτος Η συνάρ-τηση αυτή εξαρτάται microόνο από δύο microεταβλητές όχι τρεις το γεωmicroετρικό όmicroως νόηmicroατης κλίσης γίνεται ευκολότερα αντιληπτό σε δύο διαστάσεις) Παρατηρήστε από την(137) ότι η κατεύθυνση της πιο απότοmicroης καθόδου είναι αντίθετη από την κατεύθυν-ση της πιο απότοmicroης ανόδου ενώ σε γωνία 90 προς τη διεύθυνση αυτή η κλίση είναιmicroηδέν (το διάνυσmicroα της κλίσης τέmicroνει κάθετα τις ισοϋψείς καmicroπύλες) Μπορείτε ναφανταστείτε επιφάνειες που δεν έχουν τέτοιες ιδιότητες δεν θα αντιστοιχούν όmicroως σεπαραγωγίσιmicroες συναρτήσεις γιατί θα έχουν laquoσπασίmicroαταraquo

Τι σηmicroαίνει άραγε microηδενική κλίση ΑνnablaT = 0 στο (x y z) τότε dT = 0 για microικρέςmicroετατοπίσεις γύρω από το σηmicroείο (x y z) Αυτό λοιπόν είναι ένα στάσιmicroο σηmicroείοτης συνάρτησης T (x y z) Μπορεί να είναι ένα microέγιστο (κορυφή) ή ένα ελάχιστο(κοιλάδα) ή κάποιο σαγmicroατικό σηmicroείο (πέρασmicroα) ή κάποιο σηmicroείο καmicroπής (laquoράχηraquo)


Πρόκειται για κατάσταση ανάλογη microε εκείνη των συναρτήσεων μιας microεταβλητής ό-που ένας microηδενισmicroός της παραγώγου σηmicroατοδοτεί την ύπαρξη microεγίστου ελαχίστουή σηmicroείου καmicroπής της συνάρτησης Ειδικότερα αν θέλετε να εντοπίσετε τα ακρότα-τα microιας συνάρτησης τριών microεταβλητών βρείτε πρώτα τα σηmicroεία όπου microηδενίζεται ηκλίση


Βρείτε την κλίση του r =radicx2 + y2 + z2 (το microέτρο του διανύσmicroατος θέσης)

Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z

=x x+ y y + z zradicx2 + y2 + z2

=r

r= r

Βγάζει νόηmicroα το αποτέλεσmicroα Λοιπόν το νόηmicroά του είναι ότι η απόσταση από την αρχήτων αξόνων αυξάνεται microε τον ταχύτερο ρυθmicroό στην ακτινική διεύθυνση και ότι ο ρυθμόςαύξησής της σε αυτήν την κατεύθυνση είναι 1 ακριβώς ότι αναmicroέναmicroε

Πρόβληmicroα 111 Βρείτε τις κλίσεις των παρακάτω συναρτήσεων

(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4

(γ) f(x y z) = ex sin(y) ln(z)

Πρόβληmicroα 112 Το ύψος κάποιου λόφου (σε πόδια) δίνεται από την

h(x y) = 10(2xy minus 3x2 minus 4y2 minus 18x + 28y + 12)

όπου x και y είναι αντίστοιχα οι αποστάσεις (σε microίλια) ανατολικά και βόρεια κάποιαςσυγκεκριmicroένης πόλης (που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων)

(α) Σε ποιο σηmicroείο βρίσκεται η κορυφή του λόφου

(β) Πόσο είναι το ύψος του

(γ) Πόσο απότοmicroη είναι η κλίση του λόφου (σε πόδια ανά microίλι) σrsquo ένα σηmicroείο που βρί-σκεται 1 microίλι ανατολικά και 1 microίλι βόρεια της πόλης Προς ποια κατεύθυνση στο σηmicroείοαυτό η κλίση του λόφου γίνεται πιο απότοmicroη

Πρόβληmicroα 113 Έστω r το διάνυσmicroα απόστασης από κάποιο σταθερό σηmicroείο (xprime yprime zprime)bullστο σηmicroείο (x y z) και έστω r το microήκος του ∆είξτε ότι

(α) nabla(r2) = 2r

(β) nabla(1r) = minusOrr2(γ) Ποιος είναι ο γενικός τύπος για το nabla(rn)


Πρόβληmicroα 114 Υποθέστε ότι η f είναι microία συνάρτηση microόνο δύο microεταβλητών (y και z)∆είξτε ότι η κλίσηnablaf = (partfparty)y+(partfpartz)z microετασχηmicroατίζεται σε στροφές όπως στην(129) δηλ σαν διάνυσmicroα [Υπόδειξη (partfparty) = (partfparty)(partyparty)+ (partfpartz)(partzparty)(και ο τύπος για το partfpartz είναι παρόmicroοιος) Γνωρίζετε ότι y = y cosφ + z sinφz = minusy sinφ + z cos φ laquoλύστεraquo τις εξισώσεις αυτές ως προς y και z (σαν συναρτήσειςτων y και z) και υπολογίστε τις απαραίτητες παραγώγους partyparty partzparty κλπ]

123 Ο τελεστής nablaΗ κλίση microοιάζει microε ένα διάνυσmicroα nabla που laquoπολλαπλασιάζειraquo ένα βαθmicroωτό microέγεθοςT

nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)

(Γράφω τα microοναδιαία διανύσmicroατα αριστερά ώστε να microη νοmicroίζει κανείς ότι εννοώ πχpartxpartx ndash πράγmicroα που ισούται microε microηδέν αφού το x είναι σταθερό Ο παράγοντας πουβρίσκεται στην παρένθεση της (138) ονοmicroάζεται laquoντελraquo

nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)

Το ντελ βεβαίως δεν είναι διάνυσmicroα microε τη συνήθη έννοια Πράγmicroατι δεν έχει κάποιοσυγκεκριmicroένο νόηmicroα παρά microόνο αν του δώσουmicroε microία βαθmicroωτή συνάρτηση για ναδράσει πάνω της Επιπλέον δεν laquoπολλαπλασιάζεταιraquo microε την T είναι microάλλον κάτι σανεντολή για την παραγώγιση αυτής της συνάρτησης Για να είmicroαστε ακριβείς λοιπόνθα έπρεπε να πούmicroε ότι τοnabla είναι ένας διανυσmicroατικός τελεστής που δρα πάνω στηνT όχι ένα διάνυσmicroα που την πολλαπλασιάζει

Και όmicroως παρά τα ξεχωριστά αυτά προσόντα που διαθέτει το nabla ουσιαστικά microι-microείται microε κάθε τρόπο τη συmicroπεριφορά ενός απλού διανύσmicroατος σχεδόν οποιαδήποτεπράξη γίνεται microε τα άλλα διανύσmicroατα microπορεί επίσης να γίνει και microε το nabla αν αντικα-ταστήσουmicroε απλώς τη φράση laquoπολλαπλασιάζειraquo microε τη φράση laquoδρα πάνω τηςraquo Πρέ-πει εποmicroένως να πάρετε στα σοβαρά το διανυσmicroατικό προσωπείο του nabla πρόκειταιγια ένα έξοχο δείγmicroα απλοποίησης του συmicroβολισmicroού πράγmicroα που θα αναγκαστείτε νααναγνωρίσετε αν τύχει να διαβάσετε ποτέ την πρωτότυπη εργασία τουMaxwell για τονηλεκτροmicroαγνητισmicroό που γράφτηκε χωρίς ουσιαστικά να χρησιmicroοποιηθεί το σύmicroβολοnabla

Ως γνωστόν ένα κοινό διάνυσmicroα A πολλαπλασιάζεται microε τρεις τρόπους

1 Πολλαπλασιάζεται microε ένα βαθmicroωτό a Aa

2 Πολλαπλασιάζεται microε ένα άλλο διάνυσmicroα B microέσω του εσωτερικούγινοmicroένου A middotB3 Πολλαπλασιάζεται microε ένα άλλο διάνυσmicroα microέσω του εξωτερικού γινο-microένου AtimesB


Κατrsquo αντιστοιχία υπάρχουν τρεις τρόποι microε τους οποίους microπορεί να δράσει ο τελεστήςnabla

1 Πάνω σε microια βαθmicroωτή συνάρτηση T nablaT (η κλίση)

2 Πάνω σε microια διανυσmicroατική συνάρτηση v microέσω του εσωτερικού γινο-microένου nabla middot v (η απόκλιση)

3 Πάνω σε microια διανυσmicroατική συνάρτηση v microέσω του εξωτερικού γινο-microένου nablatimes v (ο στροβιλισmicroός)

Ήδη microιλήσαmicroε για την κλίση Στις επόmicroενες παραγράφους εξετάζουmicroε τα άλλα δύοείδη διανυσmicroατικών παραγώγων την απόκλιση και τον στροβιλισmicroό

124 Η απόκλιση

Από τον ορισmicroό του nabla έχουmicroε

nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot (vxx+ vyy + vz z)

=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)

Παρατηρήστε ότι η απόκλιση microιας διανυσματικής συνάρτησης είναι ένα βαθμωτό μέ-γεθος (∆εν είναι δυνατό να υπάρχει η απόκλιση ενός βαθmicroωτού δεν έχει νόηmicroα)

Γεωμετρική ερμηνεία Ορθώς έχει επιλεγεί το όνοmicroα απόκλιση διότι το nabla middot vmicroας δείχνει κατά πόσο το διάνυσmicroα v εκπηγάζει (αποκλίνει) από το υπό συζήτηση ση-microείο Η διανυσmicroατική συνάρτηση του Σχ 118(α) έχει microεγάλη (θετική) απόκλιση στοκέντρο (αν τα βέλη δείχνανε προς τα μέσα η απόκλιση θα ήταν η ίδια αλλά αρνητική)Από την άλλη η συνάρτηση του Σχ 118(β) έχει microηδέν απόκλιση ενώ η συνάρτησητου Σχ 118(γ) έχει πάλι θετική απόκλιση (Σας παρακαλώ να καταλάβετε ότι οι τιμέςτης συνάρτησης v είναι διανύσματα ndash δηλαδή σε κάθε σηmicroείο του χώρου αντιστοιχείένα διαφορετικό διάνυσmicroα Στα σχήmicroατα βέβαια το microόνο που microπορώ να κάνω είναινα σχεδιάσω τα βέλη σε λίγα αντιπροσωπευτικά σηmicroεία) Φανταστείτε ότι στέκεστεστην όχθη microιας microικρής ήρεmicroης λίmicroνης Σκορπίστε λίγο πριονίδι ή microερικές πευκοβε-λόνες ή ότι έχετε πρόχειρο στην επιφάνεια Αν το υλικό που σκορπίσατε απλώνεταιπρος τα έξω τότε το έχετε ρίξει σrsquo ένα σηmicroείο microε θετική απόκλιση αν microαζευτεί τότετο έχετε ρίξει σrsquo ένα σηmicroείο microε αρνητική απόκλιση (Σύmicroφωνα microε το πρότυπο αυτό ηυπό συζήτηση διανυσmicroατική συνάρτηση ν δεν είναι παρά η ταχύτητα του νερού στηνεπιφάνεια της λίmicroνης ndash είναι ένα διδιάστατο παράδειγmicroα αλλά βοηθάει να αποκτήσου-microε microια laquoαίσθησηraquo τι σηmicroατοδοτεί η απόκλιση Ένα σηmicroείο θετικής απόκλισης λέγεταιlaquoπηγήraquo ενώ ένα σηmicroείο αρνητικής απόκλισης λέγεται laquoχοάνηraquo)


Έστω ότι οι διανυσmicroατικές συναρτήσεις στο Σχ 118 είναι οι va = r = x x+ y y+ z zvb = z και vc = z z Υπολογίστε τις αποκλίσεις τους


(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση

nabla middot va =part

partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3

Όπως περιmicroέναmicroε αυτή η διανυσmicroατική συνάρτηση έχει θετική απόκλιση

nabla middot vb =part

partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0

επίσης αναmicroενόmicroενο

nabla middot vc =part

partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1


Πρόβληmicroα 115Υπολογίστε την απόκλιση των παρακάτω διανυσmicroατικών συναρτήσεων

(α) va = x2 x+ 3xz2 y minus 2xz z

(β) vb = xy x+ 2yz y + 3zx z

(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z

Πρόβληmicroα 116 Σχεδιάστε τη διανυσmicroατική συνάρτησηbull

v =r

r2

και υπολογίστε την απόκλισή της Ίσως εκπλαγείτε από την απάντηση microπορείτε να τηνεξηγήσετε

Πρόβληmicroα 117∆είξτε ότι στις δύο διαστάσεις η απόκλιση microετασχηmicroατίζεται σε στροφέςσαν βαθmicroωτό microέγεθος [Υπόδειξη Χρησιmicroοποιήστε την (129) για να προσδιορίσετε ταvy και vz και τη microέθοδο του Προβλήmicroατος 114 για να υπολογίσετε τις παραγώγουςΠρέπει δηλαδή να δείξετε ότι partvyparty + partvzpartz = partvyparty + partvzpartz]

125 Ο στροβιλισmicroός


nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z

partpartx partparty partpartzvx vy vz

∣∣∣∣∣∣= x

(partvzpartyminus partvy

partz

)+ y

(partvxpartzminus partvz

partx

)+ z

(partvypartxminus partvx

party

) (141)

Σηmicroειώστε ότι ο στροβιλισmicroός microιας διανυσmicroατικής συνάρτησης v είναι (όπως όλα ταεξωτερικά γινόmicroενα) διάνυσμα (∆εν είναι δυνατόν να υπάρχει ο στροβιλισmicroός ενόςβαθmicroωτού microεγέθους δεν έχει νόηmicroα)

Γεωμετρική ερμηνεία Ορθώς έχει επιλεγεί το όνοmicroα στροβιλισμός διότι το nablatimesvείναι microέτρο του κατά πόσο το διάνυσmicroα v laquoστροβιλίζεταιraquo (σχηmicroατίζει δίνη) γύρωαπό κάθε συγκεκριmicroένο σηmicroείο Εποmicroένως οι τρεις διανυσmicroατικές συναρτήσεις στοΣχ 118 έχουν όλες microηδενικό στροβιλισmicroό (όπως microπορείτε εύκολα να δείτε και microόνοισας) ενώ αντιθέτως ο στροβιλισmicroός των πεδίων που απεικονίζονται στο Σχ 119 είναιmicroεγάλος Πράγmicroατι ο στροβιλισmicroός αυτός έχει την κατεύθυνση του θετικού άξονα zπράγmicroα σύmicroφωνο microε τον κανόνα του δεξιού χεριού Φανταστείτε (ξανά) ότι στέκε-στε στην όχθη microιας microικρής ήρεmicroης λίmicroνης Τοποθετήστε τώρα έναν microικρό τροχό (πουmicroπορείτε να φτιάξετε microόνοι σας microε έναν φελλό καρφώνοντας πάνω του microερικές οδον-τογλυφίδες που δείχνουν ακτινικά προς τα έξω) Αν αρχίσει να περιστρέφεται τότετον τοποθετήσατε σrsquo ένα σηmicroείο microη microηδενικού στροβιλισμού Μία δίνη είναι σηmicroείοmicroε microεγάλο στροβιλισmicroό


z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119


Έστω ότι η συνάρτηση του Σχ 119(α) είναι η va = minusyx+ xy και αυτή του Σχ 119(β)είναι η vb = xy Υπολογίστε τους στροβιλισmicroούς τους

Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z

partpartx partparty partpartzminusy x 0

∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z

partpartx partparty partpartz0 x 0

∣∣∣∣∣ = z

Όπως περιmicroέναmicroε οι στροβιλισmicroοί αυτοί έχουν την κατεύθυνση του θετικού άξονα z(Παρεmicroπιπτόντως και οι δύο συναρτήσεις έχουν microηδενική απόκλιση όπως microπορείτε ναδείτε και από τις εικόνες τίποτα δεν laquoαπλώνεται προς τα έξωraquo ndash απλώς laquoστροβιλίζεταιraquoγύρω-γύρω)

Πρόβληmicroα 118 Υπολογίστε τους στροβιλισmicroούς των τριών διανυσmicroατικών συναρτήσε-ων του Προβλήmicroατος 115

Πρόβληmicroα 119 Βρείτε microία διανυσmicroατική συνάρτηση που να έχει microηδέν απόκλιση καιστροβιλισmicroό παντού (Και microία σταθερά βεβαίως είναι αρκετή προσπαθήστε όmicroως ναβρείτε κάποια λίγο πιο ενδιαφέρουσα συνάρτηση)

126 Κανόνες γινοmicroένων

Ο υπολογισmicroός των συνήθων παραγώγων διευκολύνεται από κάποιους γενικούς κανό-νες όπως ο κανόνας της πρόσθεσης

d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx


ο κανόνας του πολλαπλασιασmicroού microε microία σταθερά

d

dx(kf) = k

df

dx

ο κανόνας του γινοmicroένουd

dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx

και ο κανόνας του πηλίκου

d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2

Παρόmicroοιες σχέσεις ισχύουν για τις διανυσmicroατικές παραγώγους Έτσι

nabla(f + g) = nablaf +nablag nabla middot (A+B) = (nabla middotA) + (nabla middotB)

nablatimes (A+B) = (nablatimesA) + (nablatimesB)

και

nabla(kf) = knablaf nabla middot (kA) = k(nabla middotA) nablatimes (kA) = k(nabla timesA)

όπως microπορείτε να δείτε και microόνοι σας Οι κανόνες όmicroως των γινοmicroένων δεν είναι τόσοαπλοί Υπάρχουν δύο τρόποι να κατασκευαστεί ένα βαθmicroωτό microέγεθος ως γινόmicroενοδύο συναρτήσεων

fg (γινόmicroενο δύο βαθmicroωτών συναρτήσεων)A middotB (εσωτερικό γινόmicroενο δύο διανυσmicroατικών συναρτήσεων)

και δύο τρόποι microε τους οποίους microπορεί να παραχθεί ένα διάνυσmicroα

fA (βαθmicroωτό επί διάνυσmicroα)AtimesB (εξωτερικό γινόmicroενο διανυσmicroάτων)

Υπάρχουν κατrsquo αντιστοιχία έξι κανόνες γινοmicroένων ∆ύο για κλίσεις

(i) nabla(fg) = fnablag + gnablaf

(ii) nabla(A middotB) = Atimes (nablatimesB) +Btimes (nablatimesA) + (A middotnabla)B+ (B middotnabla)A

δύο για αποκλίσεις

(iii) nabla middot (fA) = f(nabla middotA) +A middot (nablaf)

(iv) nabla middot (AtimesB) = B middot (nablatimesA)minusA middot (nablatimesB)


και δύο για στροβιλισmicroούς

(v) nablatimes (fA) = f(nablatimesA)minusAtimes (nablaf)

(vi) nablatimes (AtimesB) = (B middotnabla)Aminus (A middotnabla)B+A(nabla middotB)minusB(nabla middotA)

Επειδή θα χρειάζεται να ανατρέχετε συχνά στους κανόνες αυτούς τους έβαλα αmicroέσωςmicroετά το microπροστινό εξώφυλλο για να microπορείτε να τους βρίσκετε εύκολα Οι αποδείξειςπροκύπτουν άmicroεσα χρησιmicroοποιώντας τους κανόνες γινοmicroένου των συνήθων παραγώ-γων Για παράδειγmicroα

nabla middot (fA) =part

partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz

)= (nablaf) middotA+ f(nabla middotA)

Υπάρχουν επίσης τρεις κανόνες πηλίκων

nabla(f

g

)=

gnablaf minus fnablag

g2

nabla middot(A

g

)=

g(nabla middotA)minusA middot (nablag)

g2

nablatimes(A

g

)=

g(nablatimesA) +Atimes (nablag)

g2

Από τη στιγmicroή όmicroως που οι κανόνες αυτοί θυmicroίζουν έντονα τον αντίστοιχο κανόνα τωνσυνήθων παραγώγων δεν θεώρησα απαραίτητο να τους συmicroπεριλάβω στο εσωτερικότου microπροστινού εξωφύλλου

Πρόβληmicroα 120 Αποδείξτε τους κανόνες γινοmicroένων (i) (iv) και (v)


(α) Αν οι A και B είναι δύο διανυσmicroατικές συναρτήσεις τι νόηmicroα έχει η έκφραση(A middot nabla)B (Ποιες είναι δηλαδή οι x y και z συνιστώσες της συναρτήσει των καρ-τεσιανών συνιστωσών των A B και nabla)

(β) Υπολογίστε το (r middotnabla)r όπου r είναι το microοναδιαίο διάνυσmicroα το οποίο ορίστηκε στηνΕξ (121)

(γ) Για τις συναρτήσεις του Προβλήmicroατος 115 υπολογίστε το (va middotnabla)vb

Πρόβληmicroα 122 (Για microαζοχιστές(-τριες) microόνο) Αποδείξτε τους κανόνες γινοmicroένου (ii)και (vi) Αναζητήστε τον ορισmicroό του γινοmicroένου (A middotnabla)B στο Πρόβληmicroα 121


Πρόβληmicroα 123 Επαληθεύστε τους κανόνες των πηλίκων


(α) Επαληθεύστε τον κανόνα γινοmicroένου (iv) (υπολογίζοντας κάθε microέλος χωριστά) για τιςσυναρτήσεις

A = x x+ 2y y + 3z z B = 3y xminus 2x y

(β) Κάντε το ίδιο για τον κανόνα γινοmicroένου (ii)

(γ) Το ίδιο για τον κανόνα (vi)

127 ∆εύτερες παράγωγοι

Όλες οι πρώτες παράγωγοι που microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε microε το nabla είναι η κλίση ηαπόκλιση και ο στροβιλισmicroός δρώντας microε τοnabla δύοφορές microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroεπέντε είδη δεύτερων παραγώγων Αφού η κλίση nablaT είναι διάνυσμα microπορούmicroε ναβρούmicroε την απόκλιση και τον στροβιλισμό της Έχουmicroε λοιπόν

(1) Την απόκλιση της κλίσης nabla middot (nablaT )

(2) Τον στροβιλισmicroό της κλίσης nablatimes (nablaT )

Επειδή η απόκλιση nabla middot v είναι microέγεθος βαθμωτό το microόνο που microπορούmicroε είναι ναβρούmicroε την κλίση της Εποmicroένως

(3) Κλίση της απόκλισης nabla(nabla middot v)Ο στροβιλισmicroός nabla times v είναι διάνυσμα άρα microπορούmicroε να βρούmicroε την απόκλιση καιτον στροβιλισμό του

(4) Απόκλιση του στροβιλισmicroού nabla middot (nablatimes v)

(5) Στροβιλισmicroός του στροβιλισmicroού nablatimes (nablatimes v)

Τα πέντε αυτά είδη δεύτερης παραγώγου εξαντλούν τις δυνατότητες και στηνπραγmicroατικότητα δεν προσφέρουν όλα τους κάτι καινούριο Ας τα εξετάσουmicroε λε-πτοmicroερώς ένα-ένα

(1) nabla middot (nablaT ) =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)

Το αποτέλεσmicroα που συντοmicroότερα το γράφουmicroεnabla2T ονοmicroάζεταιΛαπλασιανή του T θα το εξετάσουmicroε λεπτοmicroερώς παρακάτω Σηmicroειώστε ότι η Λαπλασιανή ενός βαθμω-τού microεγέθους είναι επίσης βαθμωτό microέγεθος Συχνά εν τούτοις θα γίνεται λόγος και


για τη Λαπλασιανή ενός διανύσματος nabla2v Με αυτό θα εννοούmicroε microια διανυσματικήποσότητα που η x συνιστώσα της είναι η Λαπλασιανή της vx κλπ3

nabla2v equiv (nabla2vx)x+ (nabla2vy)y + (nabla2vz)z (143)

Αυτό είναι απλώς microια χρήσιmicroη επέκταση της σηmicroασίας του συmicroβόλου nabla2(2) Ο στροβιλισmicroός της κλίσης είναι πάντα μηδέν

nablatimes (nablaT ) = 0 (144)

Το σηmicroαντικό αυτό αποτέλεσmicroα θα το χρησιmicroοποιήσουmicroε πολλές φορές είναι άmicroε-ση συνέπεια του ορισmicroού του nabla όπως microπορείτε εύκολα να δείτε (Εξίσωση (139))Προσοχή όμως ίσως σκεφθείτε ότι η Εξίσωση (144) είναι εντελώς laquoπροφανήςraquo ndashδεν ισούται άραγε microε (nabla timesnabla)T και δεν είναι πάντα microηδέν το εξωτερικό γινόmicroενοοποιουδήποτε διανύσmicroατος (στην προκειmicroένη περίπτωση του nabla) microε τον εαυτό τουΟ συλλογισmicroός αυτός όmicroως είναι απλώς υποδεικτικός και όχι αποδεικτικός αφού τοnabla είναι ένας τελεστής και δεν laquoπολλαπλασιάζεταιraquo microε τον συνήθη τρόπο Η (144)απορρέει ουσιαστικά από την ισότητα των microεικτών παραγώγων

part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

Αν νοmicroίζετε ότι όλα αυτά που αναφέρω δεν είναι απαραίτητα σκεφθείτε το διάνυσmicroα

(nablaT )times (nablaS)

Είναι άραγε πάντα microηδέν (Θα ήταν βεβαίως αν και το nabla ήταν ένα συνηθισmicroένοδιάνυσmicroα)

(3) Το nabla(nabla middot v) για κάποιους λόγους το συναντάmicroε σπάνια σε φυσικές εφαρmicroο-γές και δεν του έχει δοθεί κάποιο ειδικό όνοmicroα ndash είναι απλώς η κλίση της απόκλισηςΠαρατηρήστε ότι το nabla(nabla middot v) δεν είναι το ίδιο microε τη Λαπλασιανή ενός διανύσmicroατοςnabla2v = (nabla middotnabla)v = nabla(nabla middot v)

(4) Η απόκλιση του στροβιλισmicroού όπως ο στροβιλισmicroός της κλίσης είναι πάνταmicroηδέν

nabla middot (nablatimes v) = 0 (146)

Μπορείτε να το αποδείξετε microόνοι σας (Υπάρχει πάλι microία γρήγορη αλλά laquoψεύτικηraquoαπόδειξη που χρησιmicroοποιεί τη διανυσmicroατική ταυτότηταA middot (BtimesC) = (AtimesB) middotC)

(5) Από τον ορισmicroό του nabla microπορείτε να ελέγξετε ότι

nablatimes (nablatimes v) = nabla(nabla middot v)minusnabla2v (147)

Εποmicroένως ο στροβιλισmicroός του στροβιλισmicroού δεν microας δίνει τίποτα καινούριο ο πρώ-τος όρος είναι απλώς η παράγωγος αριθmicroός 3 και ο δεύτερος η Λαπλασιανή (ενόςδιανύσmicroατος) (Η (147) χρησιmicroοποιείται συχνά για να δοθεί ένας γενικός ορισμός της

3Σε καmicroπυλόγραmicromicroες συντεταγmicroένες όπου τα microοναδιαία διανύσmicroατα εξαρτώνται από τη θέση πρέπεινα παραγωγίζονται και αυτά (δείτε την Παράγραφο 141)


Λαπλασιανής ενός διανύσmicroατος επειδή η (143) ισχύει microόνο στις Καρτεσιανές συντε-ταγmicroένες)

Άρα δύο microόνο είδη δεύτερης παραγώγου υπάρχουν η Λαπλασιανή (που είναιθεmicroελιώδους σηmicroασίας) και η κλίση της απόκλισης (που συναντάται σπανίως) Ακο-λουθώντας την ίδια τυπική διαδικασία microπορούmicroε να διερευνήσουmicroε τις τρίτες παρα-γώγους αλλά ευτυχώς οι δεύτερες παράγωγοι είναι πρακτικά επαρκείς για όλα ταφυσικά προβλήmicroατα

Και ένα τελευταίο σχόλιο για τον διανυσmicroατικό λογισmicroό Απορρέει στο σύνολότου από τον τελεστή nabla και από το ότι παίρνουmicroε σοβαρά υπrsquo όψη τον διανυσmicroατικότου χαρακτήρα Ακόmicroα και μόνο τον ορισmicroό του nabla αν θυmicroόσασταν θα ήσαστανικανοί θεωρητικά να αναπαράγετε όλα τα υπόλοιπα

Πρόβληmicroα 125 Υπολογίστε τη Λαπλασιανή των παρακάτω συναρτήσεων

(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4

(β) Tb = sin x sin y sin z

(γ) Tc = eminus5x sin 4y cos 3z

(δ) v = x2 x+ 3xz2 yminus 2xz z

Πρόβληmicroα 126 Αποδείξτε ότι η απόκλιση του στροβιλισmicroού ισούται microε microηδέν Ελέγξτετο αυτό για τη συνάρτηση va του Προβλήmicroατος 115

Πρόβληmicroα 127 Αποδείξτε ότι ο στροβιλισmicroός της κλίσης ισούται microε microηδέν Ελέγξτε τοαυτό για τη συνάρτηση (β) του Προβλήmicroατος 111

13 Ολοκληρωτικός λογισmicroός

131 Επικαmicroπύλια επιφανειακά και χωρικά ολοκληρώmicroατα

Στην ηλεκτροδυναmicroική συναντάmicroε διάφορα είδη ολοκληρωmicroάτων microεταξύ των οποίωντα σηmicroαντικότερα είναι τα επικαmicroπύλια ολοκληρώmicroατα τα επιφανειακά ολοκλη-ρώmicroατα (ή αλλιώς ροής) και τα ολοκληρώmicroατα όγκου

(α) Επικαmicroπύλια ολοκληρώmicroατα Ένα επικαmicroπύλιο ολοκλήρωmicroα γράφεται microετην παρακάτω microορφή

int b

aPv middot dl (148)

όπου v είναι microια διανυσmicroατική συνάρτηση dl είναι το διάνυσmicroα της απειροστής microε-τατόπισης (122) και η ολοκλήρωση γίνεται κατά microήκος microιας προκαθορισmicroένης καmicro-πύλης P από το σηmicroείο a microέχρι το σηmicroείο b (Σχ 120) Αν η εν λόγω καmicroπύλη είναικλειστή (δηλαδή αν b = a) βάζουmicroε ένα κυκλάκι στο σύmicroβολο του ολοκληρώmicroατος∮

v middot dl (149)

13 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 27

y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121

Σε κάθε σηmicroείο της καmicroπύλης παίρνουmicroε το εσωτερικό γινόmicroενο της v (που υπολογίζε-ται σε αυτό το σηmicroείο) επί την microετατόπιση dl microέχρι το επόmicroενο σηmicroείο της καmicroπύληςΓια έναν φυσικό το πιο γνωστό παράδειγmicroα επικαmicroπύλιου ολοκληρώmicroατος είναι τοέργο που παράγει microια δύναmicroη F W =

intF middot dl

Συνήθως η τιmicroή ενός επικαmicroπύλιου ολοκληρώmicroατος εξαρτάται καίρια από τη συγ-κεκριmicroένη καmicroπύλη microεταξύ των σηmicroείων a και b αλλά υπάρχει microια ειδική κατηγορίαδιανυσmicroατικών συναρτήσεων για τις οποίες η τιmicroή του επικαmicroπύλιου ολοκληρώmicroατοςείναι ανεξάρτητη της καmicroπύλης και καθορίζεται πλήρως από τα άκρα Σε εύθετο χρό-νο θα περιγράψουmicroε την ειδική αυτή κατηγορία διανυσmicroατικών πεδίων (Μια δύναμηπου χαρακτηρίζεται από αυτήν την ιδιότητα λέγεται διατηρητική)


Υπολογίστε το επικαmicroπύλιο ολοκλήρωmicroα της συνάρτησης v = y2 x + 2x(y + 1) y απότο σηmicroείο a = (1 1 0) microέχρι το σηmicroείο b = (2 2 0) κατά microήκος των διαδροmicroών (1) και(2) του Σχ 121 Πόσο είναι το

∮v middot dl για τον βρόχο που ξεκινά από το a φτάνει στο b

κατά microήκος της (1) και επιστρέφει στο a κατά microήκος της (2)

Λύση Όπως πάντα dl = dx x + dy y + dz z Η διαδροmicroή (1) αποτελείται από δύοτmicroήmicroατα Κατά microήκος του laquoοριζόντιουraquo τmicroήmicroατος έχουmicroε dy = dz = 0 εποmicroένως

(i) dl = dx x y = 1 v middot dl = y2 dx = dx οπότεintv middot dl =

int 2

1dx = 1

Στο laquoκατακόρυφοraquo τmicroήmicroα έχουmicroε dx = dz = 0 συνεπώς

(ii) dl = dy y x = 2 v middot dl = 2x(y + 1) dy = 4(y + 1) dy οπότεintv middot dl = 4

int 2

1(y + 1) dy = 10

Για τη διαδροmicroή (1) έχουmicroε int b

a

v middot dl = 1 + 10 = 11

Εν τω microεταξύ στη διαδροmicroή (2) ισχύει x = y dx = dy και dz = 0 οπότε

dl = dx x+ dy y v middot dl = x2 dx+ 2x(x+ 1) dx = (3x2 + 2x) dx


εποmicroένως int b

a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10

(Στρατηγική microας είναι να τα εκφράσουmicroε όλα ως προς microία microεταβλητή εξίσου καλά θαmicroπορούσαmicroε απαλείφοντας το x να τα εκφράσουmicroε όλα ως προς το y)

Για τον βρόχο που ακολουθεί αρχικά την (1) και επιστρέφει microέσω της (2) έχουmicroε∮v middot dl = 11minus 10 = 1

(β) Επιφανειακά Ολοκληρώmicroατα Ένα επιφανειακό ολοκλήρωmicroα γράφεται microετην παρακάτω microορφή int

Sv middot da (150)

όπου v είναι πάλι κάποια διανυσmicroατική συνάρτηση και da είναι το στοιχειώδες εmicroβα-δόν microε κατεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια (Σχ 122) Υπάρχουν βέβαια δύο κάθετεςκατευθύνσεις σε κάθε επιφάνεια οπότε το πρόσημο ενός επιφανειακού ολοκληρώmicroα-τος έχει microια εγγενή απροσδιοριστία Αν η επιφάνεια είναι κλειστή (σχηmicroατίζοντας έναlaquomicroπαλόνιraquo) όπου πάλι βάζουmicroε ένα κυκλάκι στο σύmicroβολο του ολοκληρώmicroατος∮

v middot da

τότε κατά σύmicroβαση η laquoπρος τα έξωraquo κατεύθυνση είναι θετική ενώ για ανοιχτές επι-φάνειες καθορίζεται αυθαίρετα Αν το v περιγράφει τη ροή ενός ρευστού (διερχόmicroενηmicroάζα ανά microονάδα επιφάνειας ανά microονάδα χρόνου) τότε το

intv middot da αναπαριστά τη

συνολική microάζα ανά microονάδα χρόνου που διαπερνά την επιφάνεια ndash εξ ου και ο εναλλα-κτικός όρος laquoροήraquo

Συνήθως η τιmicroή ενός επιφανειακού ολοκληρώmicroατος εξαρτάται από τη συγκεκρι-microένη επιφάνεια που επιλέγουmicroε αλλά υπάρχει microια ειδική κατηγορία διανυσmicroατικώνσυναρτήσεων για τις οποίες η τιmicroή είναι ανεξάρτητη της επιφάνειας και καθορίζεταιεξ ολοκλήρου από το σύνορό της Σύντοmicroα θα είmicroαστε σε θέση να χαρακτηρίσουmicroετην ειδική αυτή κατηγορία


Υπολογίστε το επιφανειακό ολοκλήρωmicroα της v = 2xz x+ (x+2) y+ y(z2 minus 3) z πάνωστις πέντε πλευρές (εκτός από την κάτω) του κυβικού κουτιού (πλευράς 2) στο Σχ 123Έστω ότι η laquoπρος τα πάνω και προς τα έξωraquo κατεύθυνση είναι η θετική όπως δείχνουντα βέλη

Λύση Αν πάρουmicroε microία microία τις πλευρές έχουmicroε

(i) x = 2 da = dy dz x v middot da = 2xz dy dz = 4z dy dz άραintv middot da = 4

int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123

(ii) x = 0 da = minusdy dz x v middot da = minus2xz dy dz = 0 άραintv middot da = 0

(iii) y = 2 da = dx dz y v middot da = (x+ 2) dx dz άραintv middot da =

int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12

(iv) y = 0 da = minusdx dz y v middot da = minus(x+ 2) dx dz άραintv middot da = minus

int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12

(v) z = 2 da = dx dy z v middot da = y(z2 minus 3) dx dy = y dx dy άραintv middot da =

int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4

Προφανώς η συνολική ροή είναιintεπιφάνεια

v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20

(γ) Ολοκληρώmicroατα όγκου Ένα ολοκλήρωmicroα όγκου γράφεται microε την παρακάτωmicroορφή int

VT dτ (151)

όπου T είναι microια βαθmicroωτή συνάρτηση και dτ είναι ο στοιχειώδης όγκος Σε καρτεσια-νές συντεταγmicroένες

dτ = dx dy dz (152)

Για παράδειγmicroα αν T είναι η πυκνότητα microιας ουσίας (η οποία microπορεί να microεταβάλλεταιαπό σηmicroείο σε σηmicroείο) τότε το ολοκλήρωmicroα όγκου θα αντιστοιχεί στη συνολική microάζα


x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124

της ουσίας Ενίοτε θα συναντούmicroε ολοκληρώmicroατα όγκου διανυσματικών συναρτήσε-ωνint

v dτ =

int(vx x+ vy y + vz z)dτ = x

intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)

Τα microοναδιαία διανύσmicroατα όντας σταθερά βγαίνουν έξω από το ολοκλήρωmicroα


Υπολογίστε το ολοκλήρωmicroα όγκου της T = xyz2 για το πρίσmicroα του Σχ 124

Λύση Τα τρία ολοκληρώmicroατα microπορούν να υπολογιστούν microε οποιαδήποτε σειρά Αςδούmicroε πρώτα το x πηγαίνει από το 0 ώς το (1 minus y) microετά το y (πάει από το 0 ώς το 1)και τέλος το z (πάει από το 0 ώς το 3)int

T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8

Πρόβληmicroα 128 Υπολογίστε το επικαmicroπύλιο ολοκλήρωmicroα της διανυσmicroατικής συνάρτη-σης v = x2 x + 2yz y + y2 z από την αρχή των αξόνων microέχρι το σηmicroείο (111) microέσωτριών διαφορετικών διαδροmicroών

(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)

(γ) Μέσω ευθείας γραmicromicroής

(δ) Πόσο είναι το επικαmicroπύλιο ολοκλήρωmicroα επάνω στην κλειστή καmicroπύλη που ακολουθείαρχικά τη διαδροmicroή (α) και επιστρέφει κατά microήκος της (β)

Πρόβληmicroα 129 Υπολογίστε το επιφανειακό ολοκλήρωmicroα της συνάρτησης του Παρα-δείγmicroατος 17 πάνω στη βάση του κουτιού Για λόγους συνέπειας θεωρήστε την laquoπροςτα πάνωraquo κατεύθυνση θετική Το επιφανειακό ολοκλήρωmicroα για αυτή την συνάρτηση


εξαρτάται microόνο από το σύνορο Ποια είναι η συνολική ροή διαmicroέσου της κλειστής επι-φάνειας του κουτιού (συμπεριλαμβανομένης της βάσης) [Σημείωση Για την κλειστήεπιφάνεια η θετική κατεύθυνση είναι η laquoπρος τα έξωraquo και συνεπώς η laquoπρος τα κάτωraquoγια την κάτω πλευρά]

Πρόβληmicroα 130 Υπολογίστε το ολοκλήρωmicroα όγκου της συνάρτησης T = z2 στο τετρά-εδρο microε γωνίες τα σηmicroεία (000) (100) (010) και (001)

132 Το θεmicroελιώδες θεώρηmicroα της ανάλυσης

Υποθέστε ότι η f(x) είναι συνάρτηση microιας microεταβλητής Το θεmicroελιώδες θεώρηmicroα τηςανάλυσης λέει ότι int b

a

df

dxdx = f(b)minus f(a) (154)

Αν δυσκολεύεστε να αναγνωρίσετε αυτή την εξίσωση ας τη γράψουmicroε αλλιώς

int b

a

F (x) dx = f(b)minus f(a)

όπου dfdx = F (x) Το θεmicroελιώδες θεώρηmicroα σας λέει πώς να ολοκληρώσετε τηνF (x) πρέπει να βρείτε microια συνάρτηση f(x) που η πρώτη της παράγωγος ισούται microετην F

Γεωμετρική Ερμηνεία Σύmicroφωνα microε την Εξ (133) το df = (dfdx)dx είναι ηαπειροστή microεταβολή της f όταν πηγαίνετε από το (x) στο (x + dx) Το θεmicroελιώδεςθεώρηmicroα (154) λέει ότι αν τεmicroαχίσετε το διάστηmicroα από το a στο b (Σχ 125) σε πολλάmicroικρά τmicroήmicroατα dx και προσθέσετε τις microεταβολές df από κάθε microικρό τmicroήmicroα το αποτέ-λεσmicroα (όχι απρόσmicroενα) θα ισούται microε τη συνολική microεταβολή της f f(b)minus f(a) Μεάλλα λόγια δύο είναι οι τρόποι για να βρείτε τη συνολική microεταβολή microιας συνάρτη-σης είτε αφαιρώντας τις τιmicroές της στα άκρα είτε βήmicroα-βήmicroα προσθέτοντας όλες τιςmicroικρές microεταβολές καθώς προχωράτε Όποιο τρόπο και αν προτιmicroήσετε η απάντησηείναι ίδια

Παρατηρήστε τη δοmicroή του θεmicroελιώδους θεωρήmicroατος Το ολοκλήρωμα μιας παρα-γώγου σε κάποιο διάστημα υπολογίζεται από τις τιμές της συναρτήσεως στα άκρα (ήσύνορα) του διαστήματος Στον διανυσmicroατικό λογισmicroό υπάρχουν τρία είδη παραγώ-γων (κλίση απόκλιση και στροβιλισmicroός) και το καθένα έχει το δικό του laquoθεmicroελιώδεςθεώρηmicroαraquo microε την ίδια ουσιαστικά διατύπωση ∆εν σκοπεύω να τα αποδείξω εδώ αυτάτα θεωρήmicroατα θα προσπαθήσω να εξηγήσω το νόημά τους καθιστώντας τα έτσι πιοευλογοφανή Οι αποδείξεις δίνονται στο Παράρτηmicroα Α

133 Το θεmicroελιώδες θεώρηmicroα για τις κλίσεις

Υποθέστε ότι έχουmicroε microία βαθmicroωτή συνάρτηση τριών microεταβλητών T (x y z) Ξεκι-νώντας από το σηmicroείο a microετακινούmicroαστε κατά microία microικρή απόσταση dl1 (Σχ 126)


θα τα συmicroβολίζω microε πεζά γράmicromicroατα Το microέγεθος του διανύσmicroατος A γράφεται |A| ήπιο απλά A Στα διαγράmicromicroατα τα διανύσmicroατα συmicroβολίζονται microε βέλη το microήκος τουβέλους αντιστοιχεί στο microέγεθος του διανύσmicroατος και η microύτη του βέλους δείχνει τηνκατεύθυνσή του Το μείον A (minusA) είναι ένα διάνυσmicroα microε microέγεθος ίσο microε του A αλλάmicroε αντίθετη κατεύθυνση (Σχ 12) Σηmicroειώστε ότι τα διανύσmicroατα έχουν microέγεθος καικατεύθυνση αλλά δεν έχουν συγκεκριμένη θέση microία microετατόπιση 4 microιλίων βόρεια τηςΟυάσιγκτον παριστάνεται από το ίδιο διάνυσmicroα microε microία microετατόπιση 4 microιλίων βόρεια τηςΒαλτιmicroόρης (αν αγνοήσουmicroε βέβαια την καmicroπυλότητα της επιφάνειας της Γης) Σrsquoένα διάγραmicromicroα λοιπόν microπορείτε να microετατοπίζετε το βέλος όπως θέλετε από τη στιγmicroήπου δεν αλλάζετε το microήκος του ή την κατεύθυνσή του (παράλληλη microετατόπιση)

Ορίζουmicroε τέσσερις πράξεις microε διανύσmicroατα την πρόσθεση και τα τρία είδη τουπολλαπλασιασmicroού

(i) Πρόσθεση δύο διανυσmicroάτων Τοποθετήστε την ουρά του B στη microύτη του Aτο άθροισmicroα A+B είναι το διάνυσmicroα που δείχνει από την ουρά του A στη microύτη τουB (Σχ 13) (Ο κανόνας αυτός αποτελεί γενίκευση της ευνόητης διαδικασίας συνδυα-σmicroού δύο microετατοπίσεων) Η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική

A+B = B+A

3 microίλια ανατολικά microετά από 4 microίλια βόρεια σας οδηγούν στο ίδιο σηmicroείο microε 4 microίλιαβόρεια microετά από 3 microίλια ανατολικά Η πρόσθεση είναι επίσης προσεταιριστική

(A+B) +C = A+ (B+C)

Για να αφαιρέσετε ένα διάνυσmicroα (Σχ 14) προσθέστε το αντίθετό του

AminusB = A+ (minusB)

A

A

B

B

(A+B)(B+A)

Σχήmicroα 13

minusB

A(AminusB)

Σχήmicroα 14

(ii) Πολλαπλασιασmicroός microε ένα βαθmicroωτό Ο πολλαπλασιασmicroός ενός διανύσmicroατοςmicroε ένα θετικό βαθmicroωτό microέγεθος a πολλαπλασιάζει το μέτρο του αφήνει όmicroως τηνκατεύθυνσή του ανέπαφη (Σχ 15) (Αν το a είναι αρνητικό η φορά αντιστρέφεται)Ο πολλαπλασιασmicroός microε βαθmicroωτό είναι επιμεριστικός

a(A+B) = aA+ aB


A

2A

Σχήmicroα 15

B

A

θ

Σχήmicroα 16







A middotA = A2 (13)




Λύση







B

CA

θ

Σχήmicroα 17

B

A

θ

Σχήmicroα 18






AtimesA = 0










(α)x

y

zx

y

z

(β)x

Axx

Ayy

Azz

y

z

A

Σχήmicroα 19



A = Axx+Ayy +Az z













A middotA = A2x +A2

y +A2z

οπότεA =

radicA2

x +A2y +A2

z (111)







Εποmicroένως




AtimesB =


Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣ (114)








A = 1 x+ 0 y + 1 z B = 0 x+ 1 y + 1 z

z

θA

B(0 0 1)

y(0 1 0)

x (1 0 0)

Σχήmicroα 110












x

y

z

n

12

3

Σχήmicroα 111

BC

A

θn

Σχήmicroα 112








Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣ (116)





















r =radicx2 + y2 + z2 (120)


r =r


(121)


dl = dx x+ dy y + dz z (122)




r

ry

z

z

yxx

(x y z)

O

Σχήmicroα 113

r

r

r



O

Σχήmicroα 114





Or =rr=

rminus rprime















ενώ


= cosφAy + sinφAz




Az

)=


)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115



⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a








A

2A

Σχήmicroα 15

B

A

θ

Σχήmicroα 16







A middotA = A2 (13)




Λύση







B

CA

θ

Σχήmicroα 17

B

A

θ

Σχήmicroα 18






AtimesA = 0










(α)x

y

zx

y

z

(β)x

Axx

Ayy

Azz

y

z

A

Σχήmicroα 19



A = Axx+Ayy +Az z













A middotA = A2x +A2

y +A2z

οπότεA =

radicA2

x +A2y +A2

z (111)







Εποmicroένως




AtimesB =


Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣ (114)








A = 1 x+ 0 y + 1 z B = 0 x+ 1 y + 1 z

z

θA

B(0 0 1)

y(0 1 0)

x (1 0 0)

Σχήmicroα 110












x

y

z

n

12

3

Σχήmicroα 111

BC

A

θn

Σχήmicroα 112








Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣ (116)





















r =radicx2 + y2 + z2 (120)


r =r


(121)


dl = dx x+ dy y + dz z (122)




r

ry

z

z

yxx

(x y z)

O

Σχήmicroα 113

r

r

r



O

Σχήmicroα 114





Or =rr=

rminus rprime















ενώ


= cosφAy + sinφAz




Az

)=


)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115



⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a








B

CA

θ

Σχήmicroα 17

B

A

θ

Σχήmicroα 18






AtimesA = 0










(α)x

y

zx

y

z

(β)x

Axx

Ayy

Azz

y

z

A

Σχήmicroα 19



A = Axx+Ayy +Az z













A middotA = A2x +A2

y +A2z

οπότεA =

radicA2

x +A2y +A2

z (111)







Εποmicroένως




AtimesB =


Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣ (114)








A = 1 x+ 0 y + 1 z B = 0 x+ 1 y + 1 z

z

θA

B(0 0 1)

y(0 1 0)

x (1 0 0)

Σχήmicroα 110












x

y

z

n

12

3

Σχήmicroα 111

BC

A

θn

Σχήmicroα 112








Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣ (116)





















r =radicx2 + y2 + z2 (120)


r =r


(121)


dl = dx x+ dy y + dz z (122)




r

ry

z

z

yxx

(x y z)

O

Σχήmicroα 113

r

r

r



O

Σχήmicroα 114





Or =rr=

rminus rprime















ενώ


= cosφAy + sinφAz




Az

)=


)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115



⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a








(α)x

y

zx

y

z

(β)x

Axx

Ayy

Azz

y

z

A

Σχήmicroα 19



A = Axx+Ayy +Az z













A middotA = A2x +A2

y +A2z

οπότεA =

radicA2

x +A2y +A2

z (111)







Εποmicroένως




AtimesB =


Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣ (114)








A = 1 x+ 0 y + 1 z B = 0 x+ 1 y + 1 z

z

θA

B(0 0 1)

y(0 1 0)

x (1 0 0)

Σχήmicroα 110












x

y

z

n

12

3

Σχήmicroα 111

BC

A

θn

Σχήmicroα 112








Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣ (116)





















r =radicx2 + y2 + z2 (120)


r =r


(121)


dl = dx x+ dy y + dz z (122)




r

ry

z

z

yxx

(x y z)

O

Σχήmicroα 113

r

r

r



O

Σχήmicroα 114





Or =rr=

rminus rprime















ενώ


= cosφAy + sinφAz




Az

)=


)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115



⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a









A middotA = A2x +A2

y +A2z

οπότεA =

radicA2

x +A2y +A2

z (111)







Εποmicroένως




AtimesB =


Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣ (114)








A = 1 x+ 0 y + 1 z B = 0 x+ 1 y + 1 z

z

θA

B(0 0 1)

y(0 1 0)

x (1 0 0)

Σχήmicroα 110












x

y

z

n

12

3

Σχήmicroα 111

BC

A

θn

Σχήmicroα 112








Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣ (116)





















r =radicx2 + y2 + z2 (120)


r =r


(121)


dl = dx x+ dy y + dz z (122)




r

ry

z

z

yxx

(x y z)

O

Σχήmicroα 113

r

r

r



O

Σχήmicroα 114





Or =rr=

rminus rprime















ενώ


= cosφAy + sinφAz




Az

)=


)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115



⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a









A = 1 x+ 0 y + 1 z B = 0 x+ 1 y + 1 z

z

θA

B(0 0 1)

y(0 1 0)

x (1 0 0)

Σχήmicroα 110












x

y

z

n

12

3

Σχήmicroα 111

BC

A

θn

Σχήmicroα 112








Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣ (116)





















r =radicx2 + y2 + z2 (120)


r =r


(121)


dl = dx x+ dy y + dz z (122)




r

ry

z

z

yxx

(x y z)

O

Σχήmicroα 113

r

r

r



O

Σχήmicroα 114





Or =rr=

rminus rprime















ενώ


= cosφAy + sinφAz




Az

)=


)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115



⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a








x

y

z

n

12

3

Σχήmicroα 111

BC

A

θn

Σχήmicroα 112








Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣ (116)





















r =radicx2 + y2 + z2 (120)


r =r


(121)


dl = dx x+ dy y + dz z (122)




r

ry

z

z

yxx

(x y z)

O

Σχήmicroα 113

r

r

r



O

Σχήmicroα 114





Or =rr=

rminus rprime















ενώ


= cosφAy + sinφAz




Az

)=


)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115



⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a



















r =radicx2 + y2 + z2 (120)


r =r


(121)


dl = dx x+ dy y + dz z (122)




r

ry

z

z

yxx

(x y z)

O

Σχήmicroα 113

r

r

r



O

Σχήmicroα 114





Or =rr=

rminus rprime















ενώ


= cosφAy + sinφAz




Az

)=


)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115



⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a








r

ry

z

z

yxx

(x y z)

O

Σχήmicroα 113

r

r

r



O

Σχήmicroα 114





Or =rr=

rminus rprime















ενώ


= cosφAy + sinφAz




Az

)=


)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115



⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a











ενώ


= cosφAy + sinφAz




Az

)=


)(Ay

Az

) (129)

y

z

y

z

θθ φ

A

θ

Σχήmicroα 115



⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a









⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ =

⎛⎝ Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

⎞⎠⎛⎝ Ax

Ay

Az

⎞⎠ (130)


Ai =3sum

j=1

RijAj (131)








T ij =3sum

k=1

3suml=1

RikRjlTkl (132)












y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a














y

z

x x

z

(α)

ya

z

(β)

y

x

x

z

y

Σχήmicroα 116




df =

(df

dx

)dx (133)





x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a










x

f

(α) x

f

(β)

Σχήmicroα 117

122 Κλίση




dT =

(partT

partx

)dx+

(partT

party

)dy +

(partT

partz

)dz (134)



dT =

(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz




όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a









όπου

nablaT equiv partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz (136)






Επιπλέον








Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a











Λύση

nablar =partr

partxx+

partr

partyy +

partr

partzz

=1

2

2xradicx2 + y2 + z2

x+1

2

2yradicx2 + y2 + z2

y +1

2

2zradicx2 + y2 + z2

z


=r

r= r



(α) f(x y z) = x2 + y3 + z4

(β) f(x y z) = x2y3z4









(α) nabla(r2) = 2r





nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a










nablaT =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)T (138)


nabla = xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz (139)














nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a















nabla middot v =

(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz


=partvxpartx

+partvyparty

+partvzpartz

(140)






(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a








(α) (β)

(γ)

Σχήmicroα 118

Λύση


partx(x) +

part

party(y) +

part

partz(z) = 1 + 1 + 1 = 3



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(1) = 0 + 0 + 0 = 0



partx(0) +

part

party(0) +

part

partz(z) = 0 + 0 + 1 = 1





(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a











(γ) vc = y2 x+ (2xy + z2) y + 2yz z


v =r

r2





nablatimes v =

∣∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣∣= x


partz

)+ y


partx

)+ z


party

) (141)




z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a








z

x(α)

y

x (β)

y

z

Σχήmicroα 119



Λύση

nablatimes va =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = 2z

και

nablatimes vb =

∣∣∣∣∣x y z


∣∣∣∣∣ = z






d

dx(f + g) =

df

dx+dg

dx



d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a









d

dx(kf) = k

df

dx


dx(fg) = f

dg

dx+ g

df

dx


d

dx

(f

g

)=gdf

dxminus f dg

dxg2




και


















partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a













partx(fAx) +

part

party(fAy) +

part

partz(fAz)

=

(partf

partxAx + f

partAx

partx

)+

(partf

partyAy + f

partAy

party

)+

(partf

partzAz + f

partAz

partz



nabla(f

g

)=


g2

nabla middot(A

g

)=


g2

nablatimes(A

g

)=


g2

























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a
























(xpart

partx+ y

part

party+ z

part

partz

)middot(partT

partxx+

partT

partyy +

partT

partzz

)

=part2T

partx2+part2T

party2+part2T

partz2 (142)








part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a













part

partx

(partT

party

)=

part

party

(partT

partx

) (145)

















(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a












(α) Ta = x2 + 2xy + 3z + 4










int b

aPv middot dl (148)


v middot dl (149)


y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a








y

z

x

a

bd l

Σχήmicroα 120

x

y

2

1

1 2

(2)

(1)(i)

(ii)

b

a

Σχήmicroα 121


intF middot dl








int 2

1dx = 1



int 2

1(y + 1) dy = 10


a

v middot dl = 1 + 10 = 11





a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a









a

v middot dl =int 2

1

(3x2 + 2x) dx = (x3 + x2)∣∣21= 10




Sv middot da (150)


v middot da









int 2

0

dy

int 2

0

z dz = 16


x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a








x

y

zda

Σχήmicroα 122

x

y

z

(iii)

(ii)

(i)

(v)

(iv)

2

2

2

Σχήmicroα 123



int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = 12


int 2

0

(x+ 2) dx

int 2

0

dz = minus12


int 2

0

dx

int 2

0

y dy = 4


v middot da = 16 + 0 + 12minus 12 + 4 = 20


VT dτ (151)





x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a








x

y

z

11

3

Σχήmicroα 124


v dτ =


intvxdτ + y

intvydτ + z

intvzdτ (153)





T dτ =

int 3

0

z2int 1

0

y

[int 1minusy

0

x dx

]dy

dz =

1

2

int 3

0

z2 dz

int 1

0

(1minus y)2y dy = 12(9)( 1

12) = 3

8


(α) (0 0 0) rarr (1 0 0) rarr (1 1 0) rarr (1 1 1)

(β) (0 0 0) rarr (0 0 1) rarr (0 1 1) rarr (1 1 1)









a

df



int b

a












a

df



int b

a







∆ιανυσµατικήανάλυσηlegacy.cup.gr/Files/files/chapters/electro-ch01.pdf6...

Documents

Transcript of ∆ιανυσµατικήανάλυσηlegacy.cup.gr/Files/files/chapters/electro-ch01.pdf6...