Ubungszettel 6 Theoretische Mechanik - SoSe 2013

Ubungszettel 6 - Ableitungen und Doppelpendel

(Abgabetermin: 29.05.2013)

Aufgabe 1 - Partielle und Totale Ableitungen (16 Punkte)

Sei α 6= 0 sowie x0 6= 0. Betrachte ein Teilchen der Masse m in einer Dimension, das sich auf einer Bahnkurve derfolgenden Form bewegt,

x (t) =α

2t2 + x0. (1)

(a) Bestimme das Potential V0 (x), das diese Bewegung verursacht.

(b) Betrachte nun das Potential Vγ (x, t) = e−γtV0 (x) mit γ ∈ R. Finde die Bahnkurve des Teilchens in diesemPotential unter den selben Randbedingungen x (t = 0) und x (t = 0) wie in Gleichung (1). Bestimme außerdemdie Gesamtenergie des Teilchens in Abhangigkeit des Parameters γ. Schlussfolgere aus der Formel fur dieEnergie, fur welche Werte des Parameters γ in diesem System Energieerhaltung gilt. Leite dazu folgendeRelation her,

dE

dt= −mγαx (t) e−γt. (2)

(c) Bestimme∂Vγ

∂t unddVγ

dt in Abhangigkeit des Parameters γ. Vergleiche dein Ergebnis mit Gleichung (2).Hinweis: Es ist nicht notig, die Bahnkurve bzw. die Geschwindigkeit in die allgemeinen Ableitungen einzuset-zen.

(d) Wie musste sich das Teilchen bewegen, damitdVγ

dt = 0 gilt? Existiert solch eine Bewegung im Potential furalle Werte von γ? Wie kann man diese Bewegung interpretieren in Bezug auf das Verschwinden der totalenAbleitung des Potentials?Beachte, dass diese Bewegung nicht die Form von Gleichung (1) hat!

Aufgabe 2 - Genaherte Bewegungsgleichung fur das Doppelpendel (16 Punkte)

m1

m2

l1

l2

θ1

θ2

x

y

z

~F = −mgey

Abbildung 1: Ebenes Doppelpendel

Betrachte das Doppelpendel aus Abbildung 1. Die Verbindungsstabe seien starr und masselos, die Massen konnenin der x, y-Ebene frei um ihre Aufhangepunkte rotieren. Wir betrachten die Bewegung der Massen m1 und m2.Der Aufhangepunkt des Doppelpendels sei der Koordinatenursprung. In der Vorlesung haben wir gesehen, dass diekartesischen Koordinaten x1, y1 bzw. x2, y2 der beiden Pendelmassen in Abhangigkeit ihrer Polarkoordinaten durchfolgenden Ausdruck gegeben sind,

y1 = −l1 cos (θ1) ,

x1 = l1 sin (θ1) ,

y2 = y1 − l2 cos (θ2) = −l1 cos (θ1)− l2 cos (θ2) ,

x2 = x2 + l2 sin (θ2) = l1 sin (θ1) + l2 sin (θ2) .

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(a) Der Einfachheit halber betrachten wir im Rest dieser Aufgabe nun den Spezialfall l1 = l2 = l sowie m1 =m2 = m. Zeige, dass sich die Lagrange-Funktion des Doppelpendels folgendermaßen schreiben lasst,

L = ml2θ21 +m

2l2θ22 +ml2θ1θ2 cos (θ2 − θ1) + 2mgl cos (θ1) +mgl cos (θ2) .

Hinweis: Benutze das Additionstheorem cos (x1 − x2) = sin (x1) sin (x2) + cos (x1) cos (x2).

(b) Bei kleinen Schwingungen (θ1, θ2 � 1) mussen nur lineare Terme in den Bewegungsgleichungen mitgenommenwerden. Warum ist dies aquivalent dazu, in der Lagrange-Funktion L nur Terme bis zur zweiten Ordnung inθ bzw. θ mitzunehmen? Bestimme die genaherte Lagrange-Funktion bis zur zweiten Ordnung in θ und θ.

(c) Zeige, dass die Bewegungsgleichung fur die Freiheitsgrade dieses Problems fur die genaherte Lagrange-Funktionaus Teilaufgabe (b) durch folgende Ausdrucke gegeben sind,

2ml2θ1 +ml2θ2 + 2mglθ1 = 0, (3)

ml2θ2 +ml2θ1 +mglθ2 = 0. (4)

Aufgabe 3 - Analytische Losung des Doppelpendels und Normalmoden (28 Punkte)

(a) Verwende zur Losung der genaherten Bewegungsgleichungen des Doppelpendels in den Gleichungen (3) und(4) den komplexen Ansatz θk = Ake

iωt fur k = 1, 2. Dies fuhrt auf ein lineares Gleichungssystem fur denVektor (A1, A2). Bestimme die Quadrate der Eigenfrequenzen, also diejenigen Werte fur ω2, fur die dasGleichungssystem nichttriviale Losungen hat. Bestimmen dann die Normalmoden, also die dazu gehorigennichttrivialen Losungen. Gib schließlich die allgemeine reelle Losung der Bewegungsgleichungen aus Aufgabe2 (c) an.Hinweis: Setze zur Vereinfachung ω2

0 = gl , um folgende Matrixgleichung fur den Vektor (A1, A2) zu erhalten(

2(ω20 − ω2

)−ω2

−ω2(ω20 − ω2

) )(A1

A2

)=

(00

).

Dieses Gleichungssystem hat Losungen, falls die Determinante der Matrix gleich null ist. Benutze dies, umdie Eigenfrequenzen ω2

+ und ω2− sowie die dazu gehorigen Eigenvektoren

(A+

1 , A+2

)beziehungsweise

(A−1 , A

−2

)des Systems zu berechnen. Die Relation 1±

√2

1± 1√2

= ±√

2 konnte zur Vereinfachung nutzlich sein.

(b) Zeige, dass die so genannten Normalkoordinaten η±,

η+ = θ1 −1√2θ2,

η− = θ1 +1√2θ2,

die Bewegungsgleichungen aus Aufgabe 2 (c) entkoppeln. Das heißt, dass man folgende Differentialgleichungenerhalt, welche nur noch jeweils von einer der beiden Normalkoordinaten abhangen,

ml2η+ +2

2−√

2mglη+ = 0,

ml2η− +2

2 +√

2mglη− = 0.

Hinweis: Bestimme zunachst θ1/2 in Abhangigkeit von η+ und η−. Es gilt 22±√2

= 2∓√

2.

(c) Lose nun die Bewegungsgleichung in Normalkoordianten, um die allgemeinen Losungen fur die beiden Nor-malmoden η+ (t) und η− (t) zu erhalten. Bestimme die spezielle Losung einmal fur den Satz an Randbedin-gungen η+ (t = 0) = 1, η− (t = 0) = 0, η± (t = 0) = 0 sowie fur den Satz von Randbedingungen η+ (t = 0) =0, η− (t = 0) = 1, η± (t = 0) = 0. Skizziere θ1 (t) und θ2 (t) fur diesen beiden Falle und diskutiere die Bewe-gungen.

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