Der einfachste Aufbau eines Generators ist eine drehbar gelagerte Leiterschleife im Magnetfeld.

Dreht sich die Leiterschleife mit der konstanten Winkel-geschwindigkeit ω, dann istdie induzierte Spannung:

Eine solche sinusförmige Spannung nennt man Wechselspannung.

Wechselstromkreise

Br

∫−

⋅−=

schleifeLeiter

ind ABt

Urr

ddd

)sin()cos(ddcos

dd tABtAB

tAB

tUind ωωωα =−=−=

Achse

173

Im allgemeinen Fall schreibt man

Die Wechselspannung hat die Amplitude U0, und die Frequenz

Den Winkel ϕ bezeichnet man als Phase.

Die grüne Kurve hat 90° = π/2 rad Phasenverschiebung gegenüber derschwarzen Kurve.

Die Periodendauer T beträgt

)cos(0 ϕω += tUU

174

πω2

=f

)(tU

t

0U

ωπ2/1 == fT

T

Effektivspannung

Der Effektivwert Ueff wird so definiert, das eine Wechselspannung an einem ohmschen Widerstand R die gleiche mittlere Leistung erzeugt,wie eine Gleichspannung mit U=Ueff.

175

)cos()cos()()( 00 t

RUtUtItUP ωω==

221d)(cos1 0

220

0

220 UU

RU

RUtt

TRUP eff

effT

=⇒=== ∫ ω

)(tU)(tP

Wechselspannung Gleichspannung

effPeffU

Netzspannung

Zur Versorgung der Haushalte wird Wechselspannung mit Ueff = 220Vverwendet. Es stehen drei „Phasen“ zur Verfügung, die jeweils eine um 120° phasenverschobene Wechselspannung gegenüber dem „Nullleiter“besitzen (Drehstrom).

Die Amplitude beträgt 220V·√2 = 311 VZwischen unterschiedlichen Phasen misst man eine noch höhere Spannung,sie beträgt bis zu 540 V = 220V·√6 .Die Effektivspannung zwischen zwei Phasen beträgt 380V = 220V·√3 .

176

)(tU

teffU

0U

Wechselstromkreis mit Spule

Eine Induktivität (Spule) führt in einem Wechselstromkreis zu einer Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.

Beim Einschalten einer Spule hatten wir gesehen, das nach Anlegen derSpannung der Strom linear ansteigt

177

It

I

)(tU

t

I

U

entsprechendzum

Einschalten

Annahme: Spule ohne ohmschen Widerstand

Der Strom steigt so schnell mit der Zeit an, dass die angelegte Spannung gleich der induzierten Gegenspannung ist. Die Kirchhoffsche Maschenregel fordert:

Durch Integration ergibt sich

Der Strom ist gegenüber der Spannung um 90° phasenverschoben.

Die Spule verhält sich nicht als ohmscher Widerstand, d.h. der Strom istnicht zu jeder Zeit proportional zur Spannung.

178

0dd)cos(0 =−tILtU ω )(tU indU

0)( =+ indUtU

)90cos()sin(d)cos( 000 °+=== ∫ tL

UtL

UttL

UI ωω

ωω

ω

Komplexer Widerstand einer Spule

Die Effektivwerte von Strom und Spannung sind proportional zueinander

Um die Phasenverschiebung zu berücksichtigen und in Wechselstromkreisen mit Widerständen rechnen zu können, führt man den komplexen Widerstandein.

Mit reellem ohmschen Widerstand und imaginärem Widerstand der Spuleerhält man einen Winkel von 90° zwischen beiden.

179

LIU

IU

eff

eff ω==0

0

komplexe ZahlenebeneIm

Re

90°

Lω

R

LiZ ω=

180

Wechselstromkreis mit Kondensator

Die Spannung am Kondensator ist proportional zur Ladung und steigt beikonstantem Strom linear an:

)(tU

t

U

tI

U

entsprechendzum Laden des Kondensators

CtI

CQU ==

Annahme: Stromkreis mit Kondensator ohne ohmschen Widerstand

Es gilt:

Mit der Spannung folgt

Der Strom ist gegenüber der Spannung auch um 90° phasenverschoben,aber zeitlich in die andere Richtung.

Die Effektivwerte von Strom und Spannung sind proportional zueinander

)()( tCUtQ =

)cos()( 0 tUtU ω=

tUC

tQtI

dd

dd)( ==→

)90cos()sin()( 00 °−=−= tCUtCUtI ωωωω

CIU

IU

eff

eff

ω1

0

0 ==

181

Komplexer Widerstand eines Kondensators

Um die Phasenverschiebung richtig zu berücksichtigen wird dem Kondensator der komplexen Widerstand

zugeordnet.

182

CiCiZ

ωω11

=−=

komplexe ZahlenebeneIm

Re90° RC

iω1

−

Wechselstromkreis mit Spule, Kondensator und Widerstand

Nach der Kirchhoffschen Maschenregel gilt:

Es folgt

Ein weiteres Differenzieren liefert

Mit der äußeren Spannung

erhalten wir die Differentialgleichung für den Strom

183

)(tU

indU

CU

RU

CRind UUUtU +=+)(

CQRI

tILtU +=−

dd)(

)(tI

ICt

IRtIL

tU 1

dd

dd

dd

2

2

++=

)cos()( 0 tUtU ω=

ICt

IRtILtU 1

dd

dd)sin( 2

2

0 ++=ωω

184

Die Differentialgleichung ähnelt sehr der Dgl. für erzwungene Schwingungen aus der Mechanik.

Lösung durch Ansatz mit komplexer e-Funktion:Verwenden wir für die äußere Spannung die Funktion

Erhält man als Dgl.

Die Lösung dieser inhomogenen Dgl. ist die Summe aus der Lösung der homogenen Dgl. und einer speziellen Lösung der inhomogenen Dgl.

Die Lösung der homogenen Dgl. (d.h. ohne äußere Spannung) ist exponentiell gedämpft und spielt nach einer Weile keine Rolle mehr.

Als Ansatz für eine spezielle Lösung verwenden wir eine Funktion, diedie selbe Frequenz wie die äußere Spannung besitzt.

)sin()cos()( 000 tUitUeUtU ti ωωω +==

ICt

IRtILeUi ti 1

dd

dd

2

2

0 ++=ωω

185

Mit dem Ansatz

ergibt sich durch Einsetzen in die Dgl:

Umformen ergibt:

Man drückt jetzt den Zusammenhang zwischen den Scheitelwerten von Stromund Spannung mit einem komplexen Widerstand Z der s.g. Impedanz aus.

)(0

)(0

)(0

20

1 ϕωϕωϕωω ωωω −−− ++−= titititi eIC

eIRieILeUi

)(0)( ϕω −= tieItI

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= −

CRiLeeIeUi ititi

ωωϕωω 1

00

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= −

CiRLieIU i

ωωϕ

00

00 IZU ′=

186

In der Konstanten ist die Phasenverschiebung um den Phasenwinkel ϕenthalten

Es ergibt sich also für die Impedanz Z:

Für den Betrag von Z erhält man

Den Phasenwinkel berechnet man aus

( ) ( )2

222 1ImRe ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+=

CLRZZZ

ωω

ϕieIZIZU −=′= 000

0I ′

CiRLiZ

ωω −+=

RC

L

ZZ ω

ωϕ

1

arctanReImarctan

−==

Im

ReRϕC

Lω

ω 1−

|Z|

187

Schein-, Wirk-, und Blindwiderstand

Die Impedanz bezeichnet man auch als Scheinwiderstand.

Den Ohmschen Widerstand R, d.h. den Realteil von Z nennt man Wirkwiderstand.

Den Imaginärteil der Impedanz nennt man Blindwiderstand.

Die Darstellung der Impedanz als Pfeile in der komplexen Zahlenebenenennt man Zeigerdiagramm.

Die Impedanzen in einer Schaltungaddieren sich (komplex) wie die ohmschen Widerstände im reellen Fall.

Im

ReRϕC

Lω

ω 1−

|Z|

Elektrische Leistung beim Wechselstrom

Man muss zwischen Blindleistung und Wirkleistung unterscheiden.

In einem Wechselstromkreis ohne ohmschen Widerstand wird keine Energiein Wärme umgesetzt. Die von Spule und Kondensator aufgenommene Energie wird im Feld gespeichert und bei der folgenden Halbwelle wieder abgegeben.Im zeitlichen Mittel wird daher keine Leistung aufgenommen (Blindleistung).

Die tatsächlich „verbrauchte“ (in andere Energieformen umgewandelte) Leistung ist die Wirkleistung:

Bei Spule und Kondensator ist die Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung gerade ± 90° (cos ϕ = 0) und daher die Wirkleistung gleich Null.

ϕϕωω cos2

d)cos()cos(d)()(1 00

0

00

0

IUtttTIUttItU

TP

TT

el =+== ∫∫

188

189

Hochpass-Filter

Einen Hochpass-Filter passieren die hohen Frequenzen, während die tiefenFrequenzen unterdrückt werden.

Man kann die Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand alsSpannungsteiler auffassen.Am Ausgang Ua liegt also nur ein Bruchteil der Eingangsspannung Ue an:

Nach kurzer Rechnung erhält man für Betrag und Phase

eU aU

eeges

Ra U

CiR

RUZZU

ω−

==

ea UCR

CRU2221 ω

ω+

=CRω

ϕ 1arctan=

Frequenzabhängigkeit:

190

CRωCR1=ω

1=ea UU

CRωCR1=ω

°= 45ϕ

°= 90ϕ

21=ea UU

191

Tiefpass-Filter

Einen Tiefpass-Filter passieren die tiefen Frequenzen, während die hohenFrequenzen unterdrückt werden.

Man kann die Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand wieder alsSpannungsteiler auffassen.

Nach kurzer Rechnung erhält man für Betrag und Phase

eU aU

eeeges

Ca U

CRiU

CiR

Ci

UZZU

ωω

ω+

=−

−==

11

ea UCR

U2221

1ω+

= ( )CRωϕ −=arctan

192

CRωCR1=ω

CRωCR1=ω

1=ea UU

°−= 45ϕ

°= 0ϕ

21=ea UU

°−= 90ϕ

Frequenzabhängigkeit:

193

Frequenzfilter (Bandpass)

Aus Widerstand, Kondensator und Spule kann eine Filter für einenschmalen Frequenzbereich aufgebaut werden.Anwendung: Abstimmung auf einen Radiosender

Die Reihenschaltung erzeugt eine Spannung am Widerstand von

Nach kurzer Rechnung erhält man für Betrag und Phase

eU aU

eeges

Ra U

CiLiR

RUZZU

ωω −+

==

( ) e

C

a ULR

RU212

ωω −+=

RLC ω

ϕ ω −=

1

arctan

LCωCL1=ω

CL1=ω

1=ea UU

°= 90ϕ

°−= 90ϕ

LR

=Δω

°= 0ϕ

Frequenzabhängigkeit:

194LCω

195

Elektrischer Schwingkreis

Schaltungen aus Widerstand, Kondensator und Spule verhalten sich analogzu mechanischen Schwingungen.

Die äußere Wechselspannung entspricht der Anregung bei der erzwungenenSchwingung.

Die Energie oszilliert zwischen elektrischer Feldenergie im Kondensator undmagnetischer Feldenergie in der Spule.

Der ohmsche Widerstand verursacht Dissipation: (Erzeugung von Wärme) analog zur Reibung in der Mechanik.

Die Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung ist

Es tritt Resonanz auf, wenn die anregende Frequenz nahe der Eigenfrequenz der Schwingung liegt (vgl. Bandpass-Filter).

Bei der Resonanzfrequenz „springt“ die Phase um 180°.

LCT π2=

196

Transformatoren

In der Technik sind Transformatoren weit verbreitet. Zur Übertragung von elektrischer Leistung über weite Strecken ist Hochspannung erforderlich, für elektronische Anwendungen muss auf wenige Volt reduziert werden.

An der Primärspule liegt die Wechselspannung

die einen Strom I1 bewirkt:

Die selbe Flussänderung dΦ/dt geschieht in der Sekundärwicklung, da allemagnetischen Feldlinien durch beide Spulen verlaufen.

1U 2U

Br

)cos(01 tUU ω=

tN

tILtU

dd

dd)cos( 1

10

Φ==ω

197

Dadurch wird in der Sekundärwicklung die Spannung

induziert. Als Spannungsverhältnis ergibt sich

Beide Spannungen sind um 180° gegeneinander phasenverschoben.

Der Strom

hat eine Phasenverschiebung von 90 Grad gegenüber der Spannung.

Der unbelastete Transformator nimmt daher keine Leistung auf.(Durch den ohmschen Widerstand der Spule und Verluste bei derUmmagnetisierung des Eisenkerns wird dennoch Leistung aufgenommen.)

tNUind d

d2Φ

−=

1

2

1

2

2

2

1

1

dd

NN

UU

NU

tNU

−=⇒−=Φ

=

)sin()cos(dd 0

101 t

LUIt

LU

tI ωω =⇒=

198

Wird an die Sekundärspule ein Verbraucher angeschlossen, fließt auch dort

ein Strom ( I2 ). Dieser Strom ist um 90° phasenverschoben gegenüber dem

Strom I1 und erzeugt eine zusätzliche Flussänderung dΦ2/dt.

Durch die Phasenverschiebung beider magnetischer Flussänderungenergibt sich eine Phasenverschiebung von Strom gegenüber Spannung imPrimärkreis ungleich 90°. Dies führt zu einer Leistungsaufnahme im Primärkreis.

Die aufgenommene Leistung wird im Sekundärkreis wieder abgegeben.

Im Transformator treten ohmsche Verluste auf. Zusätzlich treten Verluste bei der Ummagnetisierung des Eisenkerns auf (Fläche der Hystereseschleife).Im Eisenkern induzierte Wirbelströme verursachen auch Verluste. Der Kern wird aus dünnen, gegeneinander isolierten Blechen aufgebaut,die die Ausbildung großräumiger Wirbelströme unterbrechen.

199

Tesla-Trafo

Mit einer Primärwicklung aus sehr wenigen Windungen und einer Sekundär-wicklung aus vielen tausend Windungen bei gleichzeitig hohen Spannungen und Frequenzen können sehr große Spannungen erzeugt werden.

200

Induktionsofen

Wenn die Spannung hochtransformiert wird, wird der maximal entnehmbare Strom auf der Sekundärseite entsprechend kleiner. Die maximal entnehmbareLeistung ist ≤ der abgegebenen Leistung an der Primärseite.

Transformiert man die Spannung herunter, können auf der Sekundärseitesehr hohe Ströme fließen.

→ Elektrisches Schweißen→ Induktionsofen

1U

Br